Luyen thi đại học 2015- mở đầu số phức phần 2

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!
LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP CÓ TẠI WEBSITE MOON.VN
[Tab Toán học – Khóa Chuyên đề LTĐH – Chuyên đề Số phức]
5. CÁC PHÉP TOÁN VỀ SỐ PHỨC
5.1 Phép cộng, trừ hai số phức
♦ Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i
Khi đó số phức w = z + z’ được tính bởi : w = (a + a’) + (b + b’)i
♦ Tương tự, số phức u = z – z’ được tính bởi : u = (a – a’) + (b – b’)i
Chú ý:
Phép cộng hai số phức có đầy đủ tính chất như phép cộng hai số thực là tính giao hoán, kết hợp.
♦ Tính chất kết hợp :( ) ( )' " ' " ' "
z z z z z z z,z ,z+ + = + + ∀ ∈ℂ
♦ Tính chất giao hoán : ' ' '
z z z z z,z+ = + ∀ ∈ℂ
♦ Cộng với 0 : z 0 0 z z z+ = + = ∀ ∈ℂ
♦ Với mỗi số phức z a bi (a,b )= + ∈ℝ , nếu kí hiệu số phức a bi− − là –z thì ta có
z ( z) ( z) z 0+ − = − + =
Số –z được gọi là số đối của số phức z
Ví dụ. Thực hiện phép cộng, trừ các số phức sau
1. z = 2+ 3i ; z’
= 5 – 2i
2. z = –5 + 2i ; z’
= 3i
3. z = 2 – 3i ; z’
= 2 – i
Hướng dẫn giải:
Áp dụng công thức ' ' '
z z (a a ) (b b )i+ = + + + ; ' ' '
z z (a a ) (b b )i− = − + − , ta có
1. '
z z (2 5) (3 2)i 7 i+ = + + − = + ; '
z z (2 5) (3 2)i 3 5i− = − + + = − +
2. '
z z 5 (3 2)i 5 5i+ = − + + = − + ; '
z z 5 (2 3)i 5 i− = − + − = − −
3. '
z z (2 2) (3 1)i 4 4i+ = + − + = − ; '
z z (2 2) ( 3 1)i 2i− = − + − + = −
5.2 Phép nhân hai số phức
♦ Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’ + b’i
Khi đó số phức w = z.z’
được tính bằng công thức : w = aa’
– bb’
+ (ab’
+ a’
b)i
Nhận xét :
Với mọi số thực k và mọi số phức a + bi (a,b )∈ℝ , ta có k(a + bi) = (k + 0i)(a + bi) = ka + kbi
0z = 0 với mọi số phức z
Chú ý: Phép nhân các số phức có đầy đủ tính chất như phép nhân các số thực
♦ Tính chất giao hoán : ' ' '
z.z z .z, z,z= ∀ ∈ℂ
♦ Tính chất kết hợp : ' " ' " ' "
(zz )z z(z z ), z,z ,z= ∀ ∈ℂ
♦ Nhân với 1 : 1.z z.1 z, z= = ∀ ∈ℂ
♦ Tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng
( )' " ' " ' "
z z z zz zz , z,z ,z+ = + ∀ ∈ℂ
Ví dụ 1: [ĐVH]. Phân tích ra thừa số số phức các biểu thức sau
1. a2
+ 1 2. 2a2
+ 3
3. 4a2
+ 9b2
4. 3a2
+ 5b2
Sử dụng i2
= –1 ta được
1. 2 2 2
a 1 a i (a i)(a i)+ = − = − +
2. 2 2 2 2 2
4a 9b 4a 9b i (2a 3bi)(2a 3bi)+ = − = − +
01. MỞ ĐẦU VỀ SỐ PHỨC – P2
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]

3. ( )( )2 2 2
2a 3 2a 3i a 2 3i a 2 3i+ = − = − +
4. ( )( )2 2 2 2 2
3a 5b 3a 5b i 3a 5bi 3a 5bi+ = − = + −
5.3 Phép chia cho số phức khác 0
♦ Số nghịch đảo của số phức z khác 0 là số 1
2
1
z z
z
−
=
♦ Thương
'
z
z
của phép chia số phức z’
cho số phức z khác 0 là tích của z’
với số phức nghịch đảo của z, tức là
'
' 1z
z z
z
−
=
Vậy
( )( )
( )
' '' '
2 2 2
a bi a b iz z z
z a bz
− +
= =
+
với z 0≠
Nhận xét :
• Với z ≠ 0, ta có 1 11
1.z z
z
− −
= =
• Thương
'
z
z
là số phức w sao cho zw = z’
. Có thể nói phép chia cho số phức khác 0 là phép toán ngược của phép
nhân
• Thực chất của phép chia hai số phức là nhân cả tử số và mẫu số với biểu thức phức liên hợp của mẫu số.
Ví dụ 2: [ĐVH]. Thực hiện phép chia các số phức sau
1.
( )( )
1
z
1 i 4 3i
=
+ −
2.
5 6i
z
4 3i
− +
=
+
3.
7 2i
z
8 6i
 −
=  
− 
4.
3 4i
z
4 i
−
=
−
1.
( )( ) 2 2
1 1 7 7 7 1
1 4 3 7 (7 )(7 ) 7 50 50
i i
z i
i i i i i i
− −
= = = = = −
+ − + + − −
2. 2 2
5 6 ( 5 6 )(4 3 ) 2 39 2 39
4 3 (4 3 )(4 3 ) 4 3 25 25
i i i i
z i
i i i
− + − + − − + −
= = = = +
+ + − +
3. Tính 2 2
7 2 (7 2 )(8 6 ) 68 26 17 13
8 6 (8 6 )(8 6 ) 8 6 25 50
i i i i
z i
i i i
− − + +
′ = = = = +
− − + +
Vậy
7 2 17 13 17 13
8 6 25 50 25 50
i
z z i i
i
 −
′= = = + = − 
− 
Nhận xét :
Ta cũng có thể giải câu này theo cách khác như sau (sử dụng tính chất của số phức):
2 2
7 2 7 2 7 2 (7 2 )(8 6 ) 17 13
8 6 8 6 8 6 25 508 6
i i i i i
z i
i ii
 − − + + −
= = = = = − 
− + +− 
4. 2
3 4 (3 4 )(4 ) 16 13 16 13
4 (4 )(4 ) 4 1 17 17
i i i i
z i
i i i
− − + −
= = = = −
− − + +
6. CÁC TÍNH CHẤT CỦA SỐ PHỨC
♦ Cho số phức z = x + yi , ba tính chất sau của số phức được xếp vào 1 nhóm:
Tính chất 1: Số phức z là số thực z z⇔ =
Chứng minh:
Ta có : z z x yi x yi y 0 z x= ⇔ + = − ⇔ = ⇒ = . Vậy z là số thực.
Tính chất 2: Số phức z là số ảo z z⇔ = −

Chứng minh:
Ta có : x yi 0z z x yi x z yi= − ⇔ + = − + ⇔ = ⇒ = . Vậy z là số ảo.
Tính chất 3: Cho số phức z có số phức liên hợp z và module là |z|. Khi đó:
2
zz z=
Chứng minh:
( )
2 2 2 2 2
2
2
2 2 2 2 2
( )( )zz x yi x yi x y i x y
zz z
z x y x y
 = + − = − = +

→ =
= + = +

♦ Cho 2 số phức z1 = x1 + y1i ; z2 = x2 + y2i, ba tính chất tiếp theo được xếp vào nhóm liên hợp:
Tính chất 4: 1 2 1 2z z z z+ = +
Chứng minh:
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 2 1 2
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
z z x x y y i x x y y i
z z z z
z z x y i x y i x x y y i
 + = + + + = + − +
→ + = +
+ = − + − = + − +
Tính chất 5: 1 2 1 2z z z .z=
Chứng minh:
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1
1 2 1 2
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )
.
. ( )( ) ( ) ( )
z z x y i x y i x x y y x y x y i x x y y x y x y i
z z z z
z z x y i x y i x x y y x y x y i
 = + + = − + + = − − +
→ =
= − − = − − +
Tính chất 6: 1 1
2 2
z z
z z
 
= 
 
Chứng minh:
1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 1
1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 22
( ) ( )
( )( )
( )( )
z x y i x x y y x y x y i x x y y x y x y
i
z x y i x y x y x y z
zz x y i x y i x y i x x y y x y x y
i
x y i x y i x y i x y x yz
     + + − − + −
 = = = +     
+ + + +      →
− − + + −
= = = + − − + + +
1
2 2
z
z
 
= 
 
Nhận xét :
Ngoài cách chứng minh cổ điển trên thì ta có thể sử dụng ngay một “thành quả” đã chứng minh được là tính chất số 5.
Thật vậy, đặt 1
1 2
2
.
z
z z z z
z
= ⇒ =
Theo tính chất 5 ta có: 1
1 2 2
2
. .
z
z z z z z z
z
= = ⇒ = , hay 1 1
2 2
z z
z z
 
= 
 
.
♦ Cho 2 số phức z1 = x1 + y1i ; z2 = x2 + y2i, ba tính chất tiếp theo được xếp vào nhóm module:
Tính chất 7: 1 2 1 2z z z z=
Chứng minh:
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2
( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , (1)
z z x y i x y i x x y y x y x y i
z z x x y y x y x y x x x y x y y y
= + + = − + +
⇒ = − + + = + + +
2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2. ( ) ( ) ( ) ( ) , (2)z z x y x y x x x y x y y y= + + = + + +
Từ (1) và (2) ta có (đpcm)
Tính chất 8: 11
2 2
zz
z z
=
Chứng minh:

( )
( )( )
( )
1 1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2
2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2 2 2
1 1 2 21 1 2 1 2 2 1 1 2 1 1
22 2 2 22 2 2 2
2 2 2 2 22 2 2 2
( )( ) ( ) ( )
( )( )
(1)
z x y i x y i x y i x x y y x y x y i
z x y i x y i x y i x y
x y x yz x x y y x y x y x y
z x y x yx y x y
+ + − + + −
= = =
+ + − +
  + + + − +
 ⇒ = + = =   + ++  + 
Nhận xét :
Tương tự như nhận xét đã nêu ở tính chất 6, ta đặt 1
1 2
2
.
z
z z z z
z
= ⇒ =
Theo tính chất 7 ta có: 1
1 2 2
2
. .
z
z z z z z z
z
= = ⇒ = , hay 11
2 2
zz
z z
= .
Tính chất 9: 1 2 1 2z z z z+ ≤ +
Chứng minh:
( )
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2 2 2 1 1 2 2
2 2 2 2 2
1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2
2
1 2 2 1
( ) ( )
( ) ( ) 2 ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) 0
z z z z x x y y x y x y
x x y y x x x y x y x y
x x y y x x x y x y y y
x y x y
+ ≤ + ⇔ + + + ≤ + + +
⇔ + + + ≤ + + + + + +
⇔ + ≤ + + +
⇔ − ≥
Ví dụ 1: [ĐVH]. Thực hiện các phép tính sau :
a.
7 2
8 6
i
z
i
 −
=  
− 
b. (1 )(3 2 )z i i= + − c. (2 3 ) (1 )z i i= + + −
d.
1
1
i
z
i
+
=
−
e. (5 )(2 3 )z i i= + −
a. 2 2
7 2 7 2 7 2 (7 2 )(8 6 ) 17 13
8 6 8 6 8 6 25 508 6
i i i i i
z i
i ii
 − − + + −
= = = = = − 
− + +− 
b. 2 2 2 2
(1 )(3 2 ) 1 3 2 1 1 . 3 2 26z i i i i= + − = + − = + + =
c. (2 3 ) (1 ) 2 3 1 2 3 1 3 2z i i i i i i i= + + − = + + − = − + + = −
d.
11 1 1
1
1 1 1 1
ii
z
i i
++ +
= = = =
− − +
e. (5 )(2 3 ) 5 .2 3 (5 )(2 3 ) 13 13z i i i i i i i= + − = + − = − + = +
Ví dụ 2: [ĐVH]. Tính module của các số phức sau
a. z(1 2i) 1 3i+ = − + b.
z
3 2i
1 3i
= +
− +
c. ( )
z
1 2i 5 6i
2 3i
− + = −
+
d.
2 i 1 3i
z
1 i 2 i
+ − +
=
− +
Áp dụng các lớp tính chất liên quan đến module ta có:
a.
10
z(1 2i) 1 3i z(1 2i) 1 3i z .1 2i 10 z 2
5
+ = − + ⇒ + = − + ⇔ + = ⇒ = =
b.
zz z
3 2i 3 2i 13 z 13. 10 130
1 3i 1 3i 1 3i
= + ⇒ = + ⇔ = ⇒ = =
− + − + − +
c. ( )
zz z z
1 2i 5 6i 6 4i 6 4i 52 2 13 z 26
2 3i 2 3i 2 3i 2 3i
− + = − ⇔ = − ⇒ = − ⇔ = = ⇒ =
+ + + +
d.
1 3i2 i 1 3i 2 i 1 3i 2 i 5 10 2 5
z z . z . z z
1 i 2 i 1 i 2 i 1 i 2 i 52 5
− ++ − + + − + +
= ⇒ = ⇔ = ⇔ = ⇒ =
− + − + − +

Ví dụ 3: [ĐVH]. Tìm số phức z biết ( ) ( )
3
2 2 1z z i i+ = − − (1)
Giả sử z a bi= + z a bi⇒ = −
(1) 3 2 2 3
2( ) (2 3.2 3.2 )(1 )a bi a bi i i i i⇔ + + − = + + + −
2 2 (8 12 6 )(1 ) (11 2)(1 )a bi a bi i i i i i⇔ + + − = + − − − = + −
2
3 11 11 2 2 13 9a bi i i i i⇔ − = − + − = +
13
3 13 13
93
9 3
9
a a
z i
b
b

= = 
⇔ ⇔ ⇒ = − 
− =  = −
Ví dụ 4: [ĐVH]. Cho 1 22 3 , 1z i z i= + = + . Tính 1 23z z+ ; 1 2
2
z z
z
+
; 3
1 23z z+
+) 1 23 2 3 3 3 5 6z z i i i+ = + + + = + ⇒ 2 2
1 23 5 6 61z z+ = + =
+)
( )( )1 2
2
2
3 4 13 4 7
1 1 2
i iz z i i
z i i
+ −+ + +
= = =
+ −
⇒ 1 2
2
49 1 5 2
4 4 2
z z
z
+
= + =
+) 3 2 3
1 23 8 36 54 27 3 3 49 6z z i i i i i+ = + + + − − = − + ⇒ 3
1 23 2437z z+ =
Ví dụ 5: [ĐVH]. Tìm số phức z biết: ( ) ( )
2
3 3 2 2 (1)z z i i+ = − +
Giả sử z = a + bi, ta có:
( )( ) ( ) ( )2
(1) 3 3 9 12 4 2 5 12 . 2a bi a bi i i i i i⇔ − + + = − + + = − +
2
4 2 10 24 5 12 22 19a bi i i i i⇔ + = − + − = −
11 19
;
12 2
a b
−
⇔ = = . Vậy
11 19
2 2
z i= −
Ví dụ 6: [ĐVH]. Tìm phần ảo của z biết: ( ) ( )
3
3 2 2 (1)z z i i+ = + −
Giả sử z = a + bi
( )( ) ( ) ( )2 3
(1) 3 3 8 12 6 2 2 11 . 2a bi a bi i i i i i i⇔ + + − = + + + − = + − 2
4 2 4 2 22 11 20 15a bi i i i i⇔ − = − + − = +
15
; 10
4
a b⇔ = = − . Vậy phần ảo của z bằng -10
Ví dụ 7: [ĐVH]. Tìm môđun của z biết
( )
2
(1 2) 1
2 (1)
2
i i
z z
i
− +
+ =
−
(1) 2 2a bi a bi⇔ + + − =
( )2 2(1 2) 1 2 2 2 2
2 2
i i i i i
i i
− + + −
=
− −
( )
2
(2 2 2) 2 (4 2 2) 4 2 2
3
4 5
i i i
a bi
i
+ + + + −
⇔ − = =
−
4 2 2 4 2 2
;
15 5
a b
− − −
⇔ = =
32 4 16 2 144 72 144 2 225 128 2
225 15
z
+ − + + + +
⇒ = =
Ví dụ 8: [ĐVH]. (Đề ĐH khối A, A1 năm 2012) Cho số phức z thỏa mãn
5( )
2 (1)
1
z i
i
z
+
= −
+

Tính môđun của số phức 2
ω 1 z z= + + .
Hướng dẫn giải
Giả sử ( ), ,z a bi a b= + ∈ℝ
5( )
(1) 2
1
a bi i
i
a bi
− +
⇔ = −
+ +
2
5 5 ( 1) 2 2 2a i b a bi ai bi i⇔ − − = + + − − −
3 2 (5 5 2 1) 0a b i b b a⇔ − − − − − + + =
3 2 0 1
1
3 4 0 1
a b a
z i
b a b
− − = = 
⇔ ⇒ ⇒ = + 
+ − = = 
ω 1 1 1 2 1 2 3 ω 4 9 13i i i⇒ = + + + + − = + ⇒ = + =
Ví dụ 9: [ĐVH]. (Đề ĐH khối D năm 2012) Cho số phức z thỏa mãn:
2(1 2 )
(2 ) 7 8 (1)
1
i
i z i
i
+
+ + = +
+
Tìm môđun của số phức 1z iω = + +
Giả sử ( ), ,z a bi a b= + ∈ℝ
2(1 2 )
(1) (2 )( ) 7 8
1
i
i a bi i
i
+
⇔ + + + = +
+
2
2
2(1 2 )(1 )
2 2 7 8
1
i i
a bi ai bi i
i
+ −
⇔ + + + + = +
+
2
2 2 1 2 2 7 8a bi ai bi i i i i⇔ + + − + − + − = +
2 3 7 3
2 1 8 2
a b a
b a b
− + = = 
⇔ ⇔ 
+ + = = 
Do đó 3 2 1 4 3i i iω = + + + = + 16 9 5ω⇒ = + = .
Ví dụ 10: [ĐVH]. (Đề ĐH khối A năm 2012) Tìm tất cả các số phức z, biết
22
(1)z z z= +
( )2 2 2 2 2 2 2 2
(1) 2a bi a b a bi a b i abi a b a bi⇔ + = + + − ⇔ + + = + + −
2
2
1 1
;
2 2
2 0
2 2 0 0; 0
2 0
1 1
;
2 2
a b
b a
b a bi abi b a
b ab
a b

= − =
 + =
⇔ + − − = ⇔ ⇔ = = 
+ =  − −
= =

Vậy
1 1 1 1
0; ;
2 2 2 2
z z i z i
− −
= = + = −
Ví dụ 11: [ĐVH]. (Đề ĐH khối A năm 2011) Tính môđun của số phức z biết (2 1)(1 ) ( 1)(1 ) 2 2 (1)z i z i i− + + + − = −
(1) (2 2 1))(1 ) ( 1)(1 ) 2 2a bi i a bi i i⇔ + − + + − + − = −
2 2
2 2 2 2 1 1 2 2a ai bi bi i a ai bi bi i i⇔ + + + − − + − − + + − = −
3 3 2 2 2a ba ai bi i i⇔ − + + − = −
1
3 3 2 3
2 2 1
3
a
a b
a b
b

=− = 
⇔ ⇔ 
+ − = − −  =

. Suy ra
1 1 2
9 9 3
z = + = .
BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: [ĐVH]. Tính module và số phức liên hợp của mỗi số phức z sau :
1. z (2 5i)(3 i)= − + 2. ( )1 i z 3 2i 4z+ + = −

3.
1
z
(3i 4)(2 i)
=
+ −
4.
3i 7
z
10 i
−
=
+
5. z(2 3i) 4 5i+ = + 6. (1 2i)z ( 1 3i)(2 i)+ = − + +
7. ( ) ( )1 3i z 4 3i 7 5i− + + = − 8.
3 7i 5 8i
z
2 3i 2 3i
+ −
= +
+ −
9. z (1 2i)(2 4i)= + − 10.
3 4i
z
2 i
−
=
−
11.
7 i
z
2 i
+
=
−
12. z (2 i)( 3 2i)(5 4i)= − − + −
13.
5 5i 20
z
3 4i 4 3i
+
= +
− +
14.
(3 2i)(4 3i)
z 5 4i
1 2i
− +
= + −
−
15.
( )( )
2 3i
z
4 i 2 2i
+
=
+ −
Bài 2: [ĐVH]. Tìm số phức z biết
a)
3
( 2 )
1 2
i
z
i
−
=
+
b) . 3( ) 1 4z z z z i+ − = − c) 1
1 2z i−
= −
Bài 3: [ĐVH]. Tính mô-đun của số phức z biết
a) 2
1 (2 3 )
2
i i z
i
z z
− −
= + −
b) Cho số phức
3
3
1 2
1 2 (1 )
4 3 (1 ) ; .
1
i i
z i i z
i
+ − −
= − + − =
+
Tính mô-đun của số phức 1 2.z z z=
c) Cho số phức
( )
3
1 3
.
1
i
z
i
−
=
−
Tín mô-đun của số phức .z iz+
Bài 4: [ĐVH]. Tìm phần thực và phần ảo của số phức 2012 2012
( 1 3 ) (1 3 )z i i= − + + +
Bài 5: [ĐVH]. Cho số phức 2013 2012
1 .z i i+ = + Tìm 'z biết 'z z iz= +
Bài 6: [ĐVH]. Tìm số phức z thỏa mãn các hệ thức sau:
a) 2
2z z= b)
22
1 0z z− + =
c) 2
0z z+ = d)
2
( )
1
z i
i
z
+
=
+
a)
( )
4 6
1 2 2
z z i z z
i
i i
+ −
− = +
+ −
b) ( )(1 ) ( )(2 3 ) 4z z i z z i i+ + + − + = −
c) 2
2 0z z+ = d) 2
0z i z+ =
a)
2
2 8z
z z
z
−
+ = b) 3 1z i iz− = − và
9
z
z
− là số thuần ảo.
c)
2 1
( 1)(1 )
1
z
z z i
i
−
= + + +
−
d) 1 3z z− = + và
2 2
2z z+ =
a)
2
2 2
z
z iz
 =

+ =
b) 2
2 0z zz+ − =

c) 4 (1 3 ) 25 21z i z i+ + = + d) 2 35
2 4 5
8
z z z+ − =
a)
4 2
2 ( 5)z z z= − b)
3 3 10
2 3 109
z z
z i
 + + − =

+ =
c) 2
1 0iz z+ + =
Bài 11: [ĐVH]. Tìm số phức z thỏa mãn (1 3 )i z− là số thực và 2 5 1z i− + = .
Bài 12: [ĐVH]. Tìm số phức z biết:
37(1 )( 2 )( 1 6 )
1 10
i zz z i
i
−− − −
=
+
.

Luyen thi đại học 2015- mở đầu số phức phần 2

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

En vedette

En vedette (19)

Plus de diemthic3

Plus de diemthic3 (20)

Dernier

Dernier (20)

Luyen thi đại học 2015- mở đầu số phức phần 2