Phương trình số phức - phần 1

Khóa học LTĐH môn Toán – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia các gói học trực tuyến Pro S – Pro Adv môn Toán tại Moon.vn để hướng đến kì thi THPT Quốc gia!
LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP CÓ TẠI WEBSITE MOON.VN
[Tab Toán học – Khóa Chuyên đề LTĐH – Chuyên đề Số phức]
I. CĂN BẬC HAI SỐ PHỨC
Cho số phức z = a + bi, số phức w = x + yi được gọi là căn bậc hai của số phức z nếu w2
= z hay
(x + yi)2
= a + bi.
Chú ý :
Khi b = 0 thì z = a, ta có 2 trường hợp đơn giản sau :
+) TH1 : 0 ωa a> ⇒ = ±
+) TH2 : 2
0 ωa z i a i a< ⇒ = ⇒ = ±
Khi b ≠ 0, để tìm căn bậc 2 của z ta giải hệ phương trình từ đồng nhất thức: (x + yi)2
= a + bi
hay
2 2
2 2
2
2
x y a
x y xyi a bi
xy b
 − =
− + = + ⇔ 
=
Ví dụ 1: [ĐVH]. Tìm các căn bậc hai của các số phức sau
a. z = 5 b. z = –7 c. 1 2 6z i= − −
Hướng dẫn giải:
a. 5 ω 5z = ⇒ = ±
b. 2
7 7 ω 7z i i= − = ⇒ = ±
c. Gọi w = x + yi là căn bậc hai của số phức 1 2 6z i= − − , ta có
( )
2
2 2
2 2 2
2
2
6
2
1
1 2 6 2 1 2 6 6
62 2 6
1
y x
xx y
x yi i x y xyi i
xy y
x x
x
 −
=  =
 − = −  
+ = − − ⇔ − + = − − ⇔ ⇔ ⇔   − −= − =   − = −   
 
Hệ phương trình trên có 2 nghiệm ( ) ( )2; 3 ; 2; 3− −
Vậy có 2 căn bậc hai của 1 2 6i− − là 2 3i− và 2 3i− +
Ví dụ 2: [ĐVH]. Tính căn bậc hai của các số phức sau :
a. 1 4 3z i= − + b. 4 6 5z i= + c. z = –18i
d. z = 4i e. 5 12z i= − − f. 11 4 3z i= +
g. 40 42z i= − + h.
1 2
4 2
z i= + i. z = −8 + 6i
Ví dụ 3: [ĐVH]. Viết các số phức sau dưới dạng chính phương ?
a) z = −21 + 20i = .....................................
b) 1 4 3z i= + = .......................................
c) z = −15 + 8i = .....................................
d) 1 2 2z i= − − = .......................................
e) z = 5 − 12i = .....................................
f) 13 8 3z i= + = .......................................
03. PHƯƠNG TRÌNH PHỨC – P1
Thầy Đặng Việt Hùng [ĐVH]

g) 22 10 2z i= − = .......................................
II. PHƯƠNG TRÌNH PHỨC BẬC 2
Xét phương trình phức bậc 2 : Az2
+ Bz + C = 0 có ∆∆∆∆ = B2
– 4AC.
TH1: Các hệ số A, B, C là các số thực. Tính 2
4B AC∆ = −
+ Nếu ∆ > 0 thì phương trình có nghiệm thực
2
B
z
A
− ± ∆
=
+ Nếu 2
0
2
B i
i i z
A
− ± ∆
∆ < ⇒ ∆ = − ∆ ⇒ ∆ = ± ∆ ⇒ =
TH2: Các hệ số A, B, C là các số phức.
Tính 2 2
4 ( )B AC a bi x yi∆ = − = + = +
Khi đó phương trình có nghiệm
( )
2
B x yi
z
A
− ± +
=
Ví dụ 1: [ĐVH]. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức
a. 2
z 2z 5 0+ + = b. 2
z 4z 20 0− + =
c. (z2
+ i)(z2
– 2iz – 1) = 0 d. z2
+ (1 – 3i)z – 2(1 + i) = 0
a. 2
2 5 0.z z+ + =
Ta có 2
' 4 4 2 1 2i i z i∆ = − = ⇒ ∆ = ± ⇒ = − ±
b. Ta có 2
' 16 16 4 2 4i i z i∆ = − = ⇒ ∆ = ± ⇒ = ±
c.
2
2 2
2
( )( 2 1) 0
2 1 0
z i
z i z iz
z iz
 = −
+ − − = ⇔ 
− − =
TH1 : ( )
2
2 2 2
1 1
1 1 1 2 2
0 2 (1 )
1 12 2 2
2 2
z i
i
z i z i i i
z i

= −− 
+ = ⇔ = − = − = − = ⇒ 
  = − +
TH2 : 2 2 2 2
2 1 0 2 0 ( ) 0 .z iz z iz i z i z i− − = ⇔ − + = ⇔ − = ⇔ =
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm là 1 2 3
1 1 1 1
; ; .
2 2 2 2
z i z i z i
−
= − = + =
Nhận xét :
Ngoài các cách giải chuẩn mực ở trên, chúng ta có thể giải tắt mà không cần tính toán ∆ hay ∆’ như sau
a. ( ) ( )
2 22 2 2 2
2 5 0 1 4 0 1 4 0 ( 1) (2 ) 1 2z z z z i z i z i+ + = ⇔ + + = ⇔ + − = ⇔ + = ⇒ = − ±
b. ( )
22 2 2 2
4 20 0 2 16 0 ( 2) 16 (4 ) 2 4z z z z i i z i− + = ⇔ − + = ⇔ − = = ⇒ = ±
d. z2
+ (1 – 3i)z – 2(1 + i) = 0.
Ta có ∆ = (1 – 3i)2
+ 8(1 + i) = 2i = (1 + i)2
Vậy các nghiệm của phương trình đã cho là
1
2
3 1 1
2
2
3 1 1
1
2
i i
z i
i i
z i
− + +
= =

− − − = = −

Ví dụ 2: [ĐVH]. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức
a)
2
3 3
3. 4 0
2 2
iz iz
z i z i
+ + 
− − = 
− − 
b) 3
8 0z − = c) 4 2
4 3 1 0z z− − =
a)
2
3 3
3. 4 0
2 2
iz iz
z i z i
+ + 
− − = 
− − 

Đặt 2 13
3 4 0
42
tiz
t t t
tz i
= −+
= ⇒ − − = ⇔  =− 
Với
( )
2
( 3 8 ) 43 3 8 4 35
4 4 3 4( 2 ) ( 4) 3 8
2 4 16 17
i iiz i i
t iz z i z i i z
z i i i
− − ++ − − − −
= ⇔ = ⇔ + = − ⇔ − = − − ⇒ = = =
− − − −
4 35
17 17
z i⇒ = +
Với ( )
( )( )
2
2 3 13 2 3 1 5
1 1 3 2 1 2 3
2 1 1 2
i iiz i i
t iz i z z i i z
z i i i
− −+ − −
= − ⇔ = − ⇔ + = − ⇔ + = − ⇒ = = =
− + − −
1 5
2 2
z i⇒ = − +
Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm phức là 1 2
4 35 1 5
;
17 17 2 2
z i z= + = − +
b) z3
– 8 = 0⇔ (z – 2)(z2
+ 2z + 4 ) = 0
TH1 : z – 2 = 0 ⇔ z = 2
TH2 : 2 2 2
2 4 0 ( 1) 3 3 1 3z z z i z i+ + = ⇔ + = − = ⇒ = − ±
Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm phức là 1 2 3z 2; z 1 i 3; z 1 i 3= = − − = − +
c) 4 2
4 3 1 0z z− − = .
Đặt z2
= t. Phương trình đã cho tương đương với 2
1
4 3 1 0 1
4
t
t t
t
=
− − = ⇔
 = −

Giải phương trình tìm được t = 1 hoặc
1
t
4
−
= .
Với t = 1 ta được z2
= 1 ⇒ z = ± 1
Với
2
1
0
4 4 2
i i
t z= − = = ⇔ = ±
Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phức là 1; .
2
i
z z= ± = ±
Ví dụ 3: [ĐVH]. Gọi z1, z2 là các nghiệm của các phương trình z2
+ 2z + 5 = 0. Tính giá trị các biểu thức sau
2 2 2 2
1 2 1 2 1 2; 4A z z B z z z z= + = + −
Ta có
12 2 2
2
1 2
2 5 0 ( 1) 4 (2 )
1 2
z i
z z z i
z i
= − +
+ + = ⇔ + = − = ⇒  = − −
Khi ta có
1
2
1 4 5
1 4 5
z
z
 = + =

= + =
và
11
1 2
51 2
1 2 5
zz i
z i z
 = = − − 
⇒ 
= − + =  
2 2
1 2 5 5 10A z z= + = + =
2 2
1 2 1 24 5 5 4. 5. 5 10B z z z z= + − = + − = −
Vậy A = 10 và B = –10
Ví dụ 4: [ĐVH]. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:
a) 2
z 2z 5 0+ + = b) 2
z 4z 20 0− + =
c) 2
3z z 5 0− + − = d) 2
4z 9 0+ =
e) 2
3z z 2 0− + = f) 2
z 3z 1 0− + =

a) 2
z 2(i 2)z 3 2i 0+ − + − = b) 2
z (i 3)z 2 2i 0− + − − =
c) 2
z (3 i)z 4 3i 0− + + + = d) 2
iz z 3 i 0− + + =
e) 2
iz 2iz 4 0+ − = f) 2
z (3 i)z 4 3i 0− − + − =
g) 2
3iz 2z 4 i 0− − + = h) 2
z 8(1 i)z 63 16i 0− − + − =
a) 2
(1 ) 6 3 0z i z i− + + + =
b) 2
(1 ) 10 11 0z i z i+ + − + =
c) 2
2(1 ) 4(2 ) 5 3 0i z i z i+ − − − − =
Ví dụ 7: [ĐVH]. Gọi 1 2,z z là các nghiệm phức của phương trình: 2
4 5 0z z− + = . Tính giá trị của các biểu
thức ( ) ( )
2013 2013
1 21 1P z z= − + −
Ví dụ 8: [ĐVH]. Gọi 1 2,z z là 2 nghiệm phức của phương trình: 2
2(1 ) 4(2 ) 5 3 0i z i z i+ − − − − = .
Tính giá trị của các biểu thức
2 2
1 2A z z= +
Ví dụ 9: [ĐVH]. Gọ 1 2,z z là các nghiệm phức của phương trình: 2
2 4 0z z− + = . Tính giá trị của các biểu
thức:
2
1 2 1 2
2 2
1 2
2z z z z
P
z z
+ +
=
+
Ví dụ 10: [ĐVH]. Trong mặt phẳng toạ độ, giả sử điểm A biểu diễn nghiệm z1 của phương trình:
2
2 5 0z z− + = và điểm B biểu diễn số phức 2 1
1
2
i
z z
+
= . Tính diện tích của tam giác OAB, với O là gốc toạ
độ.

Phương trình số phức - phần 1

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

Tendances

Tendances (20)

Similaire à Phương trình số phức - phần 1

Similaire à Phương trình số phức - phần 1 (20)

Plus de diemthic3

Plus de diemthic3 (20)

Dernier

Dernier (20)

Phương trình số phức - phần 1