Mata Kuliah Metode Numerik FMIPA Unpad

1. Metode Numeris Teknik Elektro UGM@2004 Ahmad Dedi Affdani
1
Bab 4
Interpolasi Newton

2. Metode Numeris Teknik Elektro UGM@2004 Ahmad Dedi Affdani
2
Interpolasi Polinomial
Diketahui:n titik data (x1, y1), (x2, y2), … (xn, yn)
Ditanya :a0, a1, …, an sehingga
Dua titik data : Garis
Tiga titik data : Kuadratik
Empat titik data :Polinomial tingkat-3
…
n titik data :Polinomial tingkat-n
( ) n
n xaxaxaaxf ++++= 2
210
02
2
1
0222
2
212
0112
2
111
ayaxaxax
ayaxaxax
ayaxaxax
nn
n
nnn
n
n
n
n
−=+++
−=+++
−=+++
...
...
...

Adakah cara yang lebih baik untuk menyelesaikan persamaan diatas?

3. Metode Numeris Teknik Elektro UGM@2004 Ahmad Dedi Affdani
3
Interpolasi Linear
( ) ( )
( ) ( )
( )0
01
01
01 xx
xx
xfxf
xfxf −
−
−
+=
Diketahui: Dua titik(x1, y1), (x2, y2)
Ditanya :Garis yang melewati 2 titik tersebut
Contoh: f(x) = ln x
x1 = 1 dan x2 = 6:
f1(2) = 0.3583519
x1 = 1 dan x2 = 4
f1(2) = 0.4620981
ln 2 = 0.6931472
Semakin kecil intervalnya semakin baik hasil interpolasi!

4. Metode Numeris Teknik Elektro UGM@2004 Ahmad Dedi Affdani
4
Interpolasi Kuadratis
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
02
01
01
12
12
2
01
01
100
xx
xx
xfxf
xx
xfxf
b
xx
xfxf
bxfb
−
−
−
−
−
−
=
−
−
==
( ) ( ) ( )( )1020102 xxxxbxxbbxf −−+−+=
Diketahui: Tiga titik(x1, y1), (x2, y2), (x3,y3)
Ditanya: kuadratis f2(x) = a0 + a1x + a2x2
yang melewati ke-3 titik diatas
Contoh: f(x) = ln x
Titik data: (1, 0), (4, 1.386294), (6, 1.791759)
b0 = 0
b1 = (1.386294 – 0)/(4 – 1) = 0.4620981
b2 = [(1.791759 – 1.386294)/(6-4) – 0.4620981]/(6-1)
= -0.0518731
f2(2) = 0.5658444
ln 2 = 0.6931472

5. Metode Numeris Teknik Elektro UGM@2004 Ahmad Dedi Affdani
5
Interpolasi Polynomial Newton
( )
[ ]
[ ]011
011
00
xxxxfb
xxfb
xfb
nnn ,,,
,


−=
=
=
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )110102010 −−−−++−−+−+= nnn xxxxxxbxxxxbxxbbxf ...
[ ] ( ) ( )
ji
ji
ji
xx
xfxf
xxf
−
−
=,
Diketahui: n titik (x1, y1), (x2, y2), …, (xn, yn) (yi = f(xi), i=1,2,…,n)
Ditanya: fn(x) = a0 + a1x + a2x2
+ … + anxn
yang melewati n titik tersebut.
dengan
[ ] [ ] [ ]
ki
kjji
kji
xx
xxfxxf
xxxf
−
−
=
,,
,,
[ ] [ ] [ ]
0
02111
011
,...,,,...,,
,,...,,
xx
xxxfxxxf
xxxxf
n
nnnn
nn
−
−
= −−−
−
Rekursif!

6. Metode Numeris Teknik Elektro UGM@2004 Ahmad Dedi Affdani
6
Contoh Interpolasi Polynomial Newton
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( )2103102102010 xxxxxxbxxxxbxxxxbxxbbxfn −−−+−−+−−+−+=
[ ] [ ] [ ] 182.0
65
791759.1609438.1
,203.0
46
386294.1791759.1
,462.0
14
0386294.1
, 231201 =
−
−
==
−
−
==
−
−
= xxfxxfxxf
[ ] [ ] 0200
45
20301820
0520
16
46202030
123012 .
..
,,.
..
,, −=
−
−
=−=
−
−
= xxxfxxxf
Diketahui: (1, 0), (4, 1.386294), (6, 1.791759), (5, 1.609438) (dari fungsi ln x)
Ditanya: Perkirakan ln 2 dengan interpolasi Newton orde ke-3
f3(2) = 0.629
[ ] 0080
15
)0520(0200
0123 .
..
,,, =
−
−−−
=xxxxf

7. Metode Numeris Teknik Elektro UGM@2004 Ahmad Dedi Affdani
7
Contoh Interpolasi Polynomial Newton
x0
x1
x3
x2

8. Metode Numeris Teknik Elektro UGM@2004 Ahmad Dedi Affdani
8
Perkiraan Error Polynomial Newton
( ) ( )
( )
( ) 1
1
1
1
+
+
+
−
+
= n
ii
n
n xx
n
f
R
!
ξ
( ) ( )
( )
( )( )( ) ( )n
n
n xxxxxxxx
n
f
R −−−−
+
=
+
210
1
1 !
ξ
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )110102010 −−−−++−−+−+= nnn xxxxxxbxxxxbxxbbxf ...
Jika f(x) dinyatakan oleh deret Taylor , error setelah terms ke-n adalah:
Untuk suatui polinomial Newton orde ke-n, Hubungan untuk error scr analogi:
Tapi kita tidak tahu apakah itu f(x)! Sebagai suatu perkiraan untuk error, bisa
kita gunakan
[ ]( )( )( ) ( )nnnnn xxxxxxxxxxxxfR −−−−≅ −+  210011 ,,,,
(Ingat: fn+1(x) = fn(x) + Rn)

9. Metode Numeris Teknik Elektro UGM@2004 Ahmad Dedi Affdani
9
Perkiraan Error, Orde, dan Titik data
x f(x) = ln x
1 0
4 1.386
6 1.792
5 1.609
3 1.099
1.5 0.405
2.5 0.916
3.5 1.253
Perkiraan Error polynomial Newton fk(x) pada ln 2: k = 1,2,…,7
x f(x) = ln x
3.5 1.253
2.5 0.916
1.5 0.405
3 1.099
5 1.609
6 1.792
4 1.386
1 0

10. Metode Numeris Teknik Elektro UGM@2004 Ahmad Dedi Affdani
10
Polinomial Interpolasi Lagrange
( ) ∏
−
−
=
≠
=
n
ij
j ji
i
i
xx
xx
xL
0
( ) ( ) ( )1
01
0
0
10
1
1:linear xf
xx
xx
xf
xx
xx
xf
−
−
+
−
−
=
dengan
( ) ( ) ( )i
n
i
in xfxLxf ∑=
=0
Contoh:
( ) ( )( )
( )( )
( )
( )( )
( )( )
( )
( )( )
( )( )
( )2
1202
10
1
2101
20
0
010
21
2
2
:order-2nd xf
xxxx
xxxx
xf
xxxx
xxxx
xf
xxxx
xxxx
xf
−−
−−
+
−−
−−
+
−−
−−
=

11. Metode Numeris Teknik Elektro UGM@2004 Ahmad Dedi Affdani
11
Interpretasi Grafis Polynomials Lagrange
( ) ( ) ( ) ( )2211002 xfLxfLxfLxf ++=
L0f(x0)
L1f(x1)
L2f(x2)

12. Metode Numeris Teknik Elektro UGM@2004 Ahmad Dedi Affdani
12
Interpolasi Inverse
x
x
y
Interpolated point of (xc, f(xc))
Interpolated curve
true curve
fn(x) = a0 + a1x + a2x2
+ … + anxn interpolasi yc = fn(xc)
Bagimana inverse-nya:
fn(y) = a0 + a1y + a2y2
+ … + anyn
interpolasi xc = fn(yc)
Keduanya tidak ekuivalen dalam hal keakuratan interpolasi!

13. Metode Numeris Teknik Elektro UGM@2004 Ahmad Dedi Affdani
13
Extrapolasi
Hasil interpolasi yang paling akurat bisanya diperoleh ketika yang tidak
diketahui berada dekat di tengah-tengah titik basis!
Untuk ekstrapolasi, yang tidak diketahui berada di luar jangkauan titik basis;
jadi perlu perhatian lebih!

14. Metode Numeris Teknik Elektro UGM@2004 Ahmad Dedi Affdani
14
Masalah-2 dalam Interpolasi Polinomial
• Derajat interpolasi polinomial sama dengan jumlah-n titik data. Jadi jika n=1000
titik data, maka kita akan mempunyai polinomial orde-1000
• Polinomial berorde tinggi (saat n > 5) dapat menampakkan ciri erratik (tak tentu)
dan sangat rentan dengan instabilitas numerik.
• Polinomial berorde tinggi seringkali menginterpolasi titik diluar jangkauan
titik data yang tepat karena adanya overshoot(melampaui).

15. Metode Numeris Teknik Elektro UGM@2004 Ahmad Dedi Affdani
15
Interpolasi Spline
Ide: Gunakan polinomial orde rendah (k ≤ 3) untuk menginterpolasi
sekumpulan data titik dan hubungkan polinomial interolasi ini dengan halus
Papan Drafting: menggunakan tali yang tipis dan
fleksibel (disebut spline)untuk menggambarkan kurva
yang halus melalui sekumpulan titik.Tiap bagian
interpolasi akhir melengkung antar 2 titik yang
berdekatan Titik data adalah polinomial derajat 3 Contoh

16. Metode Numeris Teknik Elektro UGM@2004 Ahmad Dedi Affdani
16
Interpolasi Spline Kuadratis
Diketahui: n+1 Titik data (xi, yi) untuk i=0,1,…,n
Ditanya: polynomials derajat-2 n fi(x) = aix2
+ bix + ci sedemikian sehingga
1. fi(x) menginterpolasi dua titik (xi-1, yi-1) dan (xi, yi), dan
2. fi(x) dan fi-1(x) punya turunan yang sama pada xi-1.

17. Metode Numeris Teknik Elektro UGM@2004 Ahmad Dedi Affdani
17
Turunan Quadratic Spline
1. fi-1(xi-1) = ai-1xi-1
2
+ bi-1xi-1 + ci-1 = yi-1
fi(xi-1) = aixi-1
2
+ bixi-1 + ci = yi-1
2n – 2 persamaan
2. f1(x0) = a1x0
2
+ b1x0 + c1 = y0
fn(xn) = anxn
2
+ bnxn + cn = yn
2 persamaan
3. (the 1st
derivative at the interior knots must be equal)
fi-1’(xi-1) = 2ai-1xi-1 + bi-1 = 2aixi-1 + bi = fi’(xi-1) n– 1 persamaan

18. Metode Numeris Teknik Elektro UGM@2004 Ahmad Dedi Affdani
18
Contoh of Quadratic Spline