1. TERCER GRADO SECUNDARIA PRIMER BLOQUE

3. Tanto en la multiplicación aritmética como en la algebraica se sigue un algoritmo (Un sistema en el que manipulamos símbolos) cuyos pasos nos lleva a un producto. Sin embargo, existen productos algebraicos que responden a una regla que simplifica el lograr los resultados. Estos son los productos notables. Ustedesdeberán descubrir esas regla.

4. ¿Qué es un producto notable? Los productos notables son aquellos que se pueden hallar sin tener que efectuar paso a paso la multiplicación, sino por simple observación y empleando la fórmula debida. ¿cuáles son los principales productos notables? (binomio de suma al cuadrado, diferencia de suma al cuadrado, diferencia de cuadrados, producto de binomios con término común)

5. CUADRADO DE LA SUMA 0 DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES ( a + b )2= a2 + 2ab +b2 ( a – b )2 = a2 – 2ab + b2 PRODUCTO DE LA SUMA POR SU DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES ( a + b) ( a – b )= a2 – b2 PRODUCTO DE BINOMIOS CON TÉRMINO COMÚN. (a + b)(a + c) =a2+ (+b +c)a + (b)(c)

6. BINOMIOS AL CUADRADO

7. Analizaremos geométricamente el cuadrado de un binomio . Consideremos que ( x + a) es el lado de un cuadrado El área del cuadrado de lado (x +a) corresponde a las sumas de las áreas que se forman. (x + a)2 = x2+ ax+ ax+ a2 = x2+ 2ax + a2 5 y 3

8. EJEMPLO 2 ( X + 6)2 = (X + 6)2 = X2 + 6X + 6X + 36 = X2 + 12X + 36 6 y 3

9. 4 y 3 3) (X + b)2 = (x + b)(x + b) (X + b)2 = (x + b)(x + b) = x2 + b x + b x + b2 = x2+ 2bx + b2 (4) (c + 5)2 = (c + 5)(c + 5) 5 y 2 (c + 5)2 = (c + 5)(c + 5) = c2 + 5c + 5c + 25 = c2 + 10c + 25 5) (2m + 1)2 = 6) (a2 + 2) (a2 + 2) = 7) (3a + 2)2 = 8) (2x2 + 3) (2x2 + 3) = 9) (2b + 1)2 = 10) (3m3 + 2n2) (3m3 + 2n2) =

11. ¿Qué sucede cuando tenemos signo menos? 1) (a – b)2 = (a – b) (a – b) (a – b)2 = (a – b) (a – b) = a2 – ab – ab + b2 = X2 – 2ab + b2 2) (m – n)2 = (m – n) (m – n) (m – n)2 = (m – n) (m – n) = m2 – m n – m n + n2 = m2 – 2mn + n2 3) (2x – 3y)2 = (2x – 3y) (2x – 3y)

12. CUADRADO DE LA SUMA o RESTA DE DOS CANTIDADES ( a + b )2 = a2 +2ab + b2 ( a – b )2 = a2 – 2ab + b2 El cuadrado de la suma y/o resta de dos términos es igual: Cuadrado del primer término, más o menos el doble producto de ambos términos, más el cuadrado del segundo término.

13. (5x + 7)2 = El cuadrado del 1er término es: (5x)(5x) = (25x2) El doble producto de ambos términos es: 2(5x)(7)=(10x)(7)=70x El cuadrado del 2do término es: (7)(7) = 49 Entonces: ( 5x + 7 )2 =25x2 +70x+49

14. APLICACIÓN. De manera mental, resolver la siguiente multiplicación (105) (105) = Es decir: (100 + 5) (100 + 5)= (100) (100) = 2(100) (5) = (5) (5) = R = 11025

15. Ejercicios (1) Nombre: Grupo: N° L: Fecha: Tema: productos notables, (binomios al cuadrado). (x + 9)2 = (x)2 + 2(x)(9) + (9)2 x2 + 18x + 81 2) (x – 10)2 = (x)2 – 2(x)(10) + (10)2 (2x + 9y)2= 4) (2x + 5m)(2x + 5m)=

16. (3a3–8b4) (3a3–8b4)= 6) (x10 – 10y12) = 7) (am + an) = 8) (24)2 = (20 + 4)2 = 9) (1996)2 = (2000 – 4)2 = 10) (33)2 =

17. Ejercicios

18. En binas los siguientes ejercicios pero cada quien entrega el suyo. Le agrega datos: Nombre iniciando con apellidos, grupo, n° de lista y fecha, al final la firma de Ud. (7x + 11)2 = (x + y)2 = (1 + 3x2)2 = (2x + 3y)2 = (a2x + by2)2 = (3a3 + 8b4)2 = (4m5 + 5n6)2 = (7a2b3 + 5x4)2 = (4ab2 + 5xy3)2 = 10) (8x2y + 9m3) =

19. En binas los siguientes ejercicios pero cada quien entrega el suyo. Le agrega datos: Nombre iniciando con apellidos, grupo, n° de lista y fecha, al final la firma de Ud. (9 – a)2 = (2a – 3b)2 = (4ax – 1)2 = (a3 – b3)2 = (3a4 – 5b2)2 = (x2 – 1)2 = (4m5 + 5n6)2 = (x5 – 3ay2)2 = (2m – 3n)2 = 10) (10x3 – 9xy5) =

20. BINOMIOS CONJUGADOS

21. BINOMIOS CONJUGADOS b2 a a2 b a (a – b) (a + b) = a2 – b2

22. 1) (x + y) (x – y) = x2 + x y – x y – y2 = x2 + x y – x y – y2 = x2 – y2 2) (2m + 3n) (2m – 3n) = (2m + 3n) (2m – 3n) = 4m2 + 6m n – 6m n – 9n2 = 4m2 – 9n2 3) ( – 2b3 + 5a2) (2b3 + 5a2) = ( 5a2 – 2b3) ( 5a2 + 2b3) = 25a2 + 10 a b – 10 a b – 4 b2 = 25a2 – 4b2

23. PRODUCTO DE LA SUMA POR LA DIFERENCIA DE DOS CANTIDADES (binomios conjugados) ( a + b ) ( a - b ) = a2 - b2 ( a - b ) ( a + b )= a2 - b2 La suma de dos términos multiplicada por su diferencia es igual: Cuadrado del primer término, Menos el cuadrado del segundo término.

24. Por tanto podemos decir: Que la suma por su diferencia (binomios conjugados) es igual al cuadrado de los términos que tienen el mismo signo, menos el cuadrado de los términos que tienen distinto signo.

25. (4x + 9y) (4x – 9y) = El cuadrado del 1er término es: (4x)(4x) = 16x2 El cuadrado del 2do término es: (9y)(9y) = 81y2 Entonces: ( 4x + 9y )( 4x - 9y )= 16x2– 81y2

26. binomios conjugados. 1) (2x + 5m)(2x – 5m)= 2) (3a3– 8b4) (3a3– 8b4)= 3) (4x3y – 1)(4x3y + 1) = 4) (3x4 – 4)(3x4 + 4) = 5) (2y5 – 5xz)(2y5 + 5xz) = 6) (1 + 100ab5)(1 – 100ab5) = 7) (20mn + 5)(– 5 + 20mn) = 8) (– 7ax3 + 6by)(7ax3 + 6by) = 9) (3m + 8n2)(3m – ___) =____ – 64n4 10)(3n3 – ___)(____ + 10) = 9n6 – ___

27. Ejercicios Nombre: Grupo: N° L. Fecha: Tema: productos notables, binomios conjugados 1) (4xy – 2x)(4xy + 2x) = ___ – 16y 2 = ( __ + 4y )(5x - __ ) (y2 – 3y) (y2 + 3y)= (1 – 8xy) (1 + 8xy)= 5) (6x2 – m2x) (6x2 + m2x) =

28. (am – bn) (am – bn) = (3xa + 5ym) (3xa – 5ym) = (35)(25) = (30 + 5)(30 – 5)= (52)(48) = (50 + 2) (50 – 2) = 10) (38)(42) =

29. BINOMIOS CON TERMINO COMUN

30. Producto de binomios con término común Ejemplo 1 (x + 4)(x + 2) = 2 x x 4

31. Ejemplo 2 (m + 1)(m + 4) = Ejemplo 3 (x + 2)(x + 1) = Ejemplo 4 (a + 4)(a + 4) = Ejemplo 5 (b + 3)(b + 5) =

32. (x + 2)(x + 7 )= El cuadrado del término común es: (x)(x) =x2 La suma de términos no comunes multiplicado por el término común es: (2 + 7)x = 9x El producto de los términos no comunes es: (2)(7) = 14 (x + 2)(x + 7 )= x2 + (2 + 7)x + (2)(7) = x2 + 9x+ 14

33. Analizaremos que sucede cuando los productos tienen diferentes signos. 1) (x + 5) (x – 2) = 2) (3y – 8) (3y – 3) = 3) (4b – 10) (2b + 7) = 4) (3m – 1) (2m + 6) = 5) (2a3 – 10) (2a3 – 4) =

34. PRODUCTO DE DOS BINOMIOS QUE TIENEN UN TÉRMINO COMÚN (x + a )(x + b )= x2 + (a+b) x + a b El producto de dos binomios de esta forma que tienen un término común es igual: Al cuadrado del término común, Más la suma algebraica de los términos no comunes, multiplicado por el término común. Más el producto de los términos no comunes.

35. Ejercicios en binas pero cada quien entrega su trabajo. Nombre: Grupo: N° L. Fecha: Tema: Binomios con término común (a + 1) (a + 2) = (x + 2) (x + 4) = (x + 5) (x – 2) = 4) (m – 6) (m – 5) = 5) (x + 7) (x – 3) =

36. 6) (x + 2) (x – 1) = 7) (x – 3)(x – 1) = 8) (x – 5) (x + 4) = 9) (a – 1) (a + 19) = 10) (n – 19) (n + 10) = 11) (a2 + 5) (a2 – 9) = 12) (x2 – 1) (x2 – 7) = 13) (2x3 + 8) (2x3 – 3) = 14) (7a2b3 – 6) (7a2b3 – 8) = 15) (3m3 + 9b) (3m3 -3b) =

37. Ejercicios en la libreta 1) 3052 = (300 + 5)2 = 2) (1996)2 = (2000 – 4)2 3) (64)(56) = (60 + 4)(60 – 4)= 4) (34)(26) = (30 + 4) (30 – 4) = 5) (36)(44) =

38. 6) (2a2 – 3b2) (2a2 – 3b2) = 7) (3x4 + 5y2) (3x4 – 5y2) = 8) (5ab + 5)(5ab – 5)= 9) (5x2 + 2) (5x2 – 8) = 10) (3m3 +9)(3m3 + 7) =

39. Nombre: Grupo: N° L. : Fecha: Tema: “Productos notables” Por simple inspección resuelve los siguientes ejercicios y después realiza la multiplicación para comprobar.

40. (x – 3)(x – 3)= 2) (m – 12)2 = 3) (2x2 + 5)2 = 4) (7x – y3)(7x – y3) = 5) (5m5 + 1)(5m5 – 4)= 6) (4x + 13y)(4x – 13y)= 7) (7x – 4)(7x – 3)= 8) (a2b3 + 2c5)2 = 9) (–3+5mn2)(5mn2 + 3)= 10) (3b3 + 2) (3b3 + 6)=

41. APLICACIONES DE LOS PRODUCTOS NOTABLES EJERCICIOS

42. 1) X + 6 = X + 4 X + 2 X – 8 2) X + 6 = X + 2 X + 2 X – 1 3) 2X + 6 = 2X + 2 2X + 1 2X – 4 4) 3X + 9 = 3X – 3 3X + 6 3X – 8 5) X – 1 = X – 2 X + 3 X +1

43. 1)X + 3= X + 1 X – 2 X – 9 2)X + 8= X + 12 X + 9 X + 15 3)X – 1 = X + 2 X + 3 X + 10 4)3X + 9 = 3X – 3 3X + 6 3X – 8 5) X + 8 = X – 4 X – 4 X – 7 Nombre: Grupo: N° L. : Fecha: Tema: “Productos notables”

44. FACTORIZACION

45. En matemáticas, la factorización es la descomposición de un número, un termino, un polinomio, en factores, y que, al multiplicarlos, resulta a la expresión dada originalmente. Por ejemplo, el número 15 se factoriza en números primos 3 × 5 La Factorización se utiliza normalmente para reducir algo en sus partes constituyentes. Factorizar enteros en números primos se describe en el teorema fundamental de la aritmética y factorizar polinomios en el teorema fundamental del álgebra.

46. Proceso inverso de desarrollar una multiplicación es la factorización . Factorizar quiere decir identificar los factores comunes de todos los términos y agruparlos. Los factores comunes son aquellos números que aparecen multiplicando a todos los términos de una expresión algebraica. Estos números pueden estar dados explícitamente o representados por letras. Así, factorizar un polinomio, es descomponerlo en dos o más polinomios llamados factores, de tal modo que al multiplicarlos entre si se obtenga el polinomio original.

47. FACTOR COMUN

48. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS FACTOR COMUN, MONOMIO: ESTE CASO SE DISTINGUE POR QUE EN TODOS LOS TERMINOS DEL POLINOMIO TENDREMOS COEFICIENTES Y LITERALES COMUNES, DE MANERA QUE TOMAREMOS LOS NUMEROS Y LITERALES COMUNES CON SU MENOR EXPONENTE. EL RESULTADO SERÁ UNA EXPRESIÓN CON DOS FACTORES, EN UNO EL FACTOR COMUN Y EN EL OTRO FORMADO POR LOS TERMINOS NO COMUNES.

49. Ejemplo 6X3 – 9X4 – 12X2 = 6x3 = 3*2 x*x*x 9x4 = 3*3 x*x*x*x 12x2 = 3*4 x*x 6X3 – 9X4 -12X2 = 3*2 x*x*x – 3*3 x*x*x*x – 3*4x*x 6X3 – 9X4 – 12X2 = 3x*x (2x – 3x*x – 4) 6X3 – 9X4 – 12X2 = 3x2 (2x – 3x2 – 4)

50. Ejemplo 2 3X4y – 6X2y4 + 12X3y3 – 15X4y2 = 3x2y (x2 – 2y3 + 4xy2 – 5x2y) Ejemplo 3 4x3y5z3 – 2x3y4z5 + 10x4y3z2 – 8x3y5z= 2x3y3z (2y2z2 – yz4 + 5xz– 2y2)

51. Ejercicios 10b – 30ab2 = 2) 3x4y – 6x2y4 + 12x3y3 – 15x4y2 = 3) 10a2 – 5a + 15a3 = 4) 6xy3 – 9nx2y3 + 12nx3y3 – 3n2x4y3 = x – x2 + x3 – x4 =

52. 6) a6 – 3a4 + 8a3 – 4a2= 7) 25x7 – 10x5 + 15x3 – 5x2= 8) 9a2 – 12ab + 15a3b2 – 24ab3 = 9) 16x3y2 – 8x2y – 24x4y2 – 40x2y3 = 10) 12m2n + 24m3n2 – 36m4n3 + 48m5n4=

53. Trinomio cuadrado perfecto

54. Una cantidad es cuadrado perfecto cuando tiene raíz exacta. Completa correctamente los espacios que faltan en las siguientes expresiones. (en una hoja blanca o de color con tus datos) (c + 5)(c + __ ) = ____ + 10c + _____ (__ + 7)( __ + 7) = ____ + 14 x + _____

55. (__ + 3)( 2a + __ ) = ___ + 12a + _____ (__ – 4)( __ – 4) = 9x2+ _____ + _____ (__ + 5)(2a + __ ) = ___ + 20a + _____

57. raíz cuadrada de 4y2 es …… 2y

58. Doble producto de estas raíces cuadrada, es decir: 2 ( x) ( 2y ) es ……. 4xyY coincide con el segundo término del trinomio x2 – 4xy + 4y2 = (x – 2y)2

60. raíz cuadrada de 4y8 es ……. 2y4

61. Doble producto de estas raíces cuadrada, es decir: 2 ( 6x) ( 2y4 ) es ……. 24xy4Y no coincide con el segundo término del trinomio

63. raíz cuadrada de 9z2 es ……. 3z

64. Doble producto de estas raíces cuadrada, es decir: 2 ( 2x) ( 3z ) es ……. 12xzY coincide con el segundo término del trinomio

65. Procedimiento: 1°Paso: Se reconocen los cuadrados perfectos, los cuales no deben tener un signo negativo adelante, se les extrae raíz cuadrada. 2° Paso: A las raíces se les multiplica por (2); y luego nos fijamos si se verifica que el doble producto en el segundo término del trinomio dado. 3° Paso: Si coinciden, entonces decimos que es un Trinomio Cuadrado Perfecto; y luego se factoriza como el cuadrado de un binomio.

66. Ejercicios En una hoja blanca o de color con tus datos 1) a2 + ab + b2 = 2) x2 – 2x + 1 = 3) y4 + 2y2 + 1 = 4) a2 – 10a + 25 = 5) 9 – 6x + x2 =

67. 6) 16 + 80x2 +25x4 = 7) 1 – 14a + 49a2 = 8) 36 + 12m2 + m4 = 9) 1 – 4a3 + a6 = 10) 9b2 – 30a2b + 25a4 =

68. Diferencia de cuadrados

69. Analicemos geométricamente la suma por su diferencia: Consideremos que (x + a) es un lado del rectángulo y (x – a ) el otro lado. x2 - ax ax – a2 x – a a x (x – a) (x + a) = x2 – a x + a x – a2 = x2 – a2

70. Ejemplo 2 x 3 x2 - 3x 3x – 9 x – 3 (x – 3) (x + 3) = x2 – 3x + 3x – 9 = x2 – 9 NOTA: Al factorizar una diferencia de cuadrados se obtienen, “binomios conjugados”

71. Ejercicios: Encuentra el producto de las siguientes multiplicaciones geométricamente, utiliza hojas de colores en el trazo de rectángulos. 1) (x +7) (x – 7) = 2) (m – 4) (m + 4) = 3) (2a + 3) (2a – 3) = 4) (3b – 1) (3b + 1) = 5) (4n – 2) (4n + 2)

72. Ejercicios Nombre: Grupo: N°L.: Fecha: Tema: factorización de una diferencia de cuadrados x2 – y2 = 2) a2 – 1 = 3) a2 – 4 = 4) 9 – b2 = 5) 16x2 – 25n2 = 6) 49m2n2 – 169 = 7) 121 – 36x4y2z = 8) 144x10 – 100y12 = 9) 196b6c2 – a2 = 10) 9x2 – 225y2 =

73. 11) ( x – y) (x + y) 12) (a + 1) (a – 1) 13) (a + 2) (a – 2) 14) (3 + b) (3 – b) 15) (4x+5n) (4x – 5n) 16) (7mn + 13)(7mn - 1) 17) (11 + 6x2yz)(11 – 6x2yz) 18) (12x5+ 10y6 ) (12x5 - 10y6) 19) (14b3c + a) (14b3c – a) 20) (3x + 5y) (3x – 5y)

74. Factorización de Trinomios de la forma x2 + bx + c.

75. Son ejemplos de trinomios de la forma ax2 + bx + c. x2 + 5x + 6 Tercer término (Término independiente) Primer término Elevado al cuadrado (término cuadrático) Segundo término La misma letra y una cantidad cualquiera. (término lineal)

76. Para factorizar un trinomio de la forma x2 + bx + c. Se descompone en dos factores (abrir dos paréntesis) cuyo primer término en ambos será la raíz cuadrada del término cuadrático. (x ) (x ) 2) En el primer factor, después de la raíz se escribe el signo del término lineal y en el segundo paréntesis después de la raíz, el signo que resulte de la multiplicación del lineal con el término independiente. (x + ) (x + ) Se buscan dos números que multiplicados den el término independiente pero que sumados o restados den el término lineal.

77. Ejemplo 1 X2 + 5x + 6 = 3 ( X ) ( x ) + + 2 X2 – 7x + 12 = ( X ) ( x ) – – 3 4

78. Ejemplo 3 X2 + 2x – 15 = 5 ( X ) ( x ) 3 – + X2 – 5x – 14 = ( X – 7 ) ( x + 2 )

79. Ejercicios Nombre: Grupo: N°L.: Fecha: Tema: factorización de la forma x2 + bx + c 1) m2 + 5m – 14 =2) y2– 9y + 20 = 3) x2– x – 6 = 4) x2 – 9x + 8 = 5) c2 + 5c – 24 = 6) x2 – 3x + 2 = 7) a2 + 7a + 6 = 8) y2– 4y + 3 = 9) n2 – 8n + 12 = 10) x2 + 10x + 21 =

80. EJERCICIOS EN BINAS PERO CADA QUIEN ENTREGA SU TRABAJO NOMBRE: GRUPO: N°. L.: FECHA: TEMA: Factorización de un trinomio de la forma x2 + bx + c 1) x2 – 13x + 40 = 2) X2 – 11x – 12 = 3) X4 – 5x2 – 50 = 4) X6 + 7x3 – 44 = 5) X4 + 5x2 + 4 =

81. 6) x2 +7x + 10 = 7) X4 – 5x2 + 6 = 8) X2 + 3x – 10 = 9) X6 + x3 – 2 = 10) X4 + 4x2 + 3 =

82. Factorización de Trinomios de la forma ax2 + bx + c.

83. Factorizar : 6x2 – 7x – 3 = Multiplicamos el trinomio por el coeficiente de x2 6*6x2 – 7(6)x – (6) 3 = (6x)2 – 7(6)x – 18 = Procedemos a factorizar como en los ejercicios anteriores (6x)2 – 7(6)x – 18 = ( ) ( ) 6x + 9 2 6x –

84. Como al principio multiplicamos por 6, ahora tendremos que dividir entre 6, para no alterar el trinomio. (6x – 9) (6x + 2) = 3 x 2 (2x – 3) (3x + 1) 6x2 – 7x – 3 = (2x – 3) (3x + 1)

85. Ejercicios Nombres: Grupo: N°L.: __________________ ________ ____ Fecha: Tema: factorización de la forma ax2 + bx + c 2x2 + 3x – 2 = 2) 3x2 – 5x – 2 = 3) 6x2 + 7x +2 = 4) 5x2 + 13x – 6 = 5) 6x2 – 6 – 5x = 6) 12x2 – x – 6 = 7) 4a2 +15a + 9 = 8) 3 + 11a + 10a2 = 9) 12m2 – 13m - 35 = 10) 20y2 + y – 1 =

87. Integrarse en tríos y entregar un solo trabajo.Anotando los siguientes datos: Nombres Nº. L. ________________________ _____ ________________________ _____ Grupo: _____ Fecha: ____________ Tema: Factorización: ax2 + bx + c

88. 1) 4a2 + 15a + 9 = 2) 3 + 11a + 10a2 = 3) 12m2 – 13m – 35 = 4) 20y2 + y – 1 = 5) 8a2 – 14a – 15 = 7x2 – 44x – 35 = 7) 16m + 15m2 – 15 =

89. 8) 2a2 + 5a + 2 = 9) 12x2 – 7x – 12 = 10) 9a2 + 10a + 1 = 11) 20n2 – 9n – 20 = 12) m – 6 + 15m2 = 13) 15a2 – 8a – 12 = 14) 9x2 + 37x + 4 =

90. a 10 13 a 9 12 a 8 11 a 8 10 a 7 9 a 7 8 a 6 7 a 6 6 a 5 5 a 5 4 a 4 calificación

91. APLICACIONES DE LA FACTORIZACIÒN DE TRINOMIOS DE LA FORMA: AX + BX + C Trabajo 2ª parte

92. 1) X2 – 3X + 2 = X – 1 2)16X2 – 36= 4X + 6 3) 2X2 – 7X – 4 = 4X2 – 4x – 3

93. 1)X2 – X – 56 = X – 8 2)4X2– 10X + 4= 2X – 1 3)4X2+ 6X – 18= 2X – 3 4)9X2– 15x + 4= 3X2 + 5x – 2 5)2X2 + 9x + 10 = 2X2 – x – 15

94. Fin