Integral definida

Integral Definida
Sea f una función continua en [a,b] y tal que
f(x)≥0.
El área entre la gráfica de f, el eje OX, y las
abscisas x=a y x=b se llama integral definida de
la función f entre a y b, y se representa por el
símbolo:

b

a
f ( x) dx

Aproximación al área bajo una curva
Si la función y=f(x) sólo toma valores no
negativos, ¿cómo calcularemos el área
entre la curva, eje OX y las abscisas x=a y
x=b?
Una idea útil consiste en dividir el intervalo
[a,b] en tramos y aproximar el área
mediante rectángulos con base en el eje OX
y altura el mínimo valor que toma en cada
tramo:

Si el intervalo [a,b] se divide en n trozos,
obtendremos unos valores xi tales que:
a=x0<x1<x2<∙∙∙∙∙<xn=b

x1 x2 x3 ..................... xn-1

Si llamamos mi al valor mínimo que toma
la función en el tramo [xi-1, xi],
obtendremos que el valor del área coloreado
en verde es:
n
m1 ( x1  x0 )  m2 ( x2  x1 )      mn ( xn  xn 1 )   mi ( xi  xi 1 )  sinf
i 1

Evidentemente, el valor de este área es
menor que el área buscada. Es decir, hemos
encontrado una aproximación por
defecto.


También podemos
aproximarnos por
exceso al área buscada
sin más que tomar
como altura de los
rectángulos el valor
máximo en cada tramo.

Si llamamos Mi al valor máximo que
toma la función en el tramo [xi-1, xi],
obtendremos que el valor del área
coloreada en azul es:
n
M1 ( x1  x0 )  M 2 ( x2  x1 )      M n ( xn  xn1 )   M i ( xi  xi 1 )  Ssup
i 1

Por tanto, se cumple:
b

sinf  
a
f ( x)dx  Ssup

Evidentemente, si tomamos unos
rectángulos más finos, es decir,
los puntos xi los tomamos cada
uno más cerca del siguiente, el
área obtenida se aproximará más
al área buscada.
Por tanto, en ese caso, dividimos
el intervalo [a,b] en más tramos.


Se mejoran las aproximaciones
dividiendo en más tramos el intervalo

Por tanto, parece que cuando n sea
cada vez más grande, tanto sinf como
Ssup se aproximan cada vez más al
valor del área buscada.
Por tanto, se cumple:
b

lim sinf   f ( x)dx  lim Ssup
n   n  
a

Propiedades de la integral definida
1. Sea y=f(x) cualquier función, a

entonces se cumple que:  f ( x)dx  0 a

2. Sea y=f(x) cualquier función
continua en [a,b], entonces se
cumple que: b

a) Si f(x)>0, entonces:  f ( x)dx  0
a

b
b) Si f(x)<0, entonces:  f ( x)dx  0
a

3. Si c es un punto interior del
intervalo [a,b], se verifica:

 f ( x)dx   f ( x)dx   f ( x)dx
b c b

a a c

y=f(x)

A1 A2
a c b

5. La integral definida de la suma o
diferencia de funciones es la suma o
diferencia de las integrales definidas de
ambas funciones:

 [ f ( x )  g( x )]dx   f ( x )dx   g( x )dx
b b b

a a a

6. Si k es un número real, se verifica:

 kf ( x )dx  k  f ( x )dx
b b

a a

7. Si f y g son dos funciones tales que:
f(x) ≤ g(x) en el intervalo [a , b]
Entonces se verifica:

 f ( x )dx   g( x )dx
b b

a a

y= g(x)

y= f(x)

a b

8. Si y=f(x) es una función no continua en el
intervalo [a,b], pero sin tener discontinuidades
infinitas, entonces:

 f ( x )dx   f ( x )dx   f ( x )dx
b c b

a a c

Donde c es un punto
del intervalo [a,b]
donde presenta una
discontinuidad evitable
o de salto finito.

La función área
Dada una función y=f(x) continua en [a,b],
definimos una nueva función y= F(x) como:

x
F( x )  
a
f ( t )dt

a x b

F(x) es el área entre la gráfica de f(x), x=a y un
punto variable x.

Teorema fundamental del Cálculo
integral
Sea y=f(x) una función continua en [a,b] y
F(x) la función definida por:
x
F( x )  
a
f ( t )dt

Entonces, se verifica que F(x) es una función
derivable en [a,b], y además:

F ' ( x )  f ( x)

Regla de Barrow
Si y=f(x) es una función continua en [a,b] y
G(x) es una primitiva suya, entonces:
b

 f ( x)dx  G(b)  G(a)
a

Reglas prácticas para calcular integrales definidas:

1. Buscamos una primitiva G(x) 2. Calculamos G(b) y G(a)
de f(x), calculando la integral
indefinida: Entonces:
b

G( x)   f ( x)dx  f ( x)dx  G(b)  G(a)
a

Cálculo de áreas mediante integrales
 Área del recinto limitado por la
gráfica de una función negativa, el
eje OX y las abscisas x=a y x=b.
Si cambiamos de signo la
función, obtenemos una
región simétrica a la
anterior, y por tanto, con
la misma área.

Entonces:

A    f ( x )dx
b

a

Cálculo de áreas mediante integrales
 Área del recinto
plano limitado por
la gráfica de una
función que toma
valores positivos y
negativos.
En este caso, el área es la suma de las
 f ( x )dx
c

áreas de las distintas regiones del plano en
A1 
a
la que se puede descomponer (A1, A2 y A3).
A2    f ( x )dx
d
Para ello hay que calcular los puntos de
corte c y d de la función con el eje OX. c

Entonces:

b
A3 
A  A1  A2  A3 d
f ( x )dx

Área entre dos funciones
¿Cómo calcular el área comprendida
entre las gráficas de dos funciones,
quedando la región entre ambas por
encima del eje OX?
Hay que calcular
los puntos de
corte a y b
entre ambas
funciones.


 f ( x )dx  g( x )dx
b b
A1  A2 
Por tanto: a a

A  A1  A2
b

 f ( x)dx   g( x)dx   [ f ( x)  g( x)]dx
b b
A
a a
a

¿Cómo calcular el área
comprendida entre las
gráficas de dos
funciones que se cruzan
varias veces veces?
Está claro que el área es la
suma de las áreas de las
regiones en las que se puede
descomponer (A1 y A2).
A1   [ f ( x )  g( x )]dx
c
Para ello hay que calcular los a
puntos de corte a, b y c entre
ambas funciones.

A2   [ g( x )  f ( x )]dx
b

A  A1  A2 c

¿Cómo calcular el
área comprendida
entre las gráficas
de dos funciones
que se cruzan,
quedando la región
comprendida entre
ambas, una parte
por encima del eje
OX y otra debajo?

Una idea para resolver el
cálculo del área es
trasladar la región hacia
arriba hasta que quede
por encima del eje OX.
Esto se consigue
sumándole a ambas
funciones una constante
k suficientemente grande
para que y=f(x)+k e
y=g(x)+k sean positivas
en el intervalo [a,b]

Entonces, el área será:

 [ g( x)  k ]  [ f ( x)  k ]dx
b
A
a
Quitando paréntesis, obtenemos que:

  g( x)  k  f ( x)  k dx
b
A
a
Entonces, podemos simplificar la constante k, y
por tanto:

  g( x)  f ( x)dx
b
A
a

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