44 θέματα - κανόνια από τον συνάδελφο Γιώργο Μιχαηλίδη, μια ευγενής προσφορά του ιδίου και των εκδόσεων «Μαυρίδη». Οι εφ' όλης της ύλης ασκήσεις που θα δείτε, θα σας αφήσουν κάτι παραπάνω από ικανοποιημένους!

1. 9 786188 021433
ISBN: 978-618-80214-3-3

2. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 623
 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
Θέμα 1ο
Έστω z∈ με z 2= και z 2.≠ Θεωρούμε τις συναρτήσεις:
[ )f : 0, + ∞ →  με ( ) ημx
f x e=
[ )F: 0, + ∞ →  με ( ) ( )
x
0
F x z 2f t dt x= − +∫
α) Να δείξετε ότι η F είναι γνησίως αύξουσα.
β) Να βρείτε τον z αν ισχύει:
( )
x 0
F x
lim 3
x→
=
γ) Να δείξετε ότι για κάθε x 0> υπάρχει ( )α 0,x∈ τέτοιος ώστε:
( ) ημαF x x
xe .
z 2
−
=
−
Θέμα 3ο
Θεωρούμε το σύνολο { }Α z / z 1=∈ > και τη συνάρτηση [ )f : 1,+ ∞ →  με:
( )
x z
f x ln x 2 .
x z
−
= − ⋅
+
α) Για κάθε z A∈ να βρείτε το όριο ( )x
lim x f x
→+∞
′⋅ .
β) Δείξτε ότι για κάθε z A∈ ισχύει:
( )
z 1
f x 2
z 1
−
≥ ⋅
+
για κάθε x 1≥ .
γ) Να βρείτε τα σύνολα:
z 1 z 1
B , z A και Γ , z A .
z 1 z 1
 − −   
= ∈ = ∈   
+ +   

3. 624 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
Θέμα 5ο
Έστω *
1 2z , z ∈ τέτοιοι, ώστε 1 2z z α= = και f : →  συνεχής συνάρτηση
με ( )f 2 1.= Θεωρούμε και τη συνάρτηση g : →  με:
( ) ( ) ( ) ( )
x
1 22
g x f t Re z z dt α 2 x .= ⋅ + + −∫
α) Να βρείτε τους ( ) ( )g 2 , g 2 .′
β) Έστω ( )g x 0≥ για κάθε x .∈
i) Να δείξετε ότι ( ) ( )1 2Re z Re z α.+ =
ii) Να βρείτε τη μέγιστη τιμή της παράστασης ( ) ( )
2 2
1 2Κ Ιm z Im z .=   +     
Θέμα 6ο
Έστω z∈ τέτοιος, ώστε ( )Im z 1.= Θεωρούμε τη συνάρτηση f : →  με:
( ) ( )x
f x x ln e z .=− +
α) Να βρείτε το ( )x
lim f x .
→+∞
β) Να δείξετε ότι η f είναι αύξουσα και ότι στρέφει τα κοίλα κάτω από το .
γ) Δείξτε ότι για κάθε x ,∈ ισχύει:
( ) ( )x 1 x
z z
f x 1 f x
e z e z+
< + − <
+ +
.
δ) Να βρείτε τον z αν ισχύει:
( ) ( ) ( )
1
2
0
x f x f x 2x f x dx ln 2. ′⋅ ⋅ + ⋅ =− 
⌠
⌡
Θέμα 7ο
Έστω *
z∈ με ( )Re z 1.= Θεωρούμε το πολυώνυμο:
( ) 3
P x x 3x z= − +
το οποίο έχει τρεις διαφορετικές πραγματικές ρίζες.
α) Να δείξετε ότι ( )Ιm z 3<
β) Αν ( )P 1 0= να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα
( )2
0
P x
I dx
x 2
=
+
⌠

⌡
.
γ) Αν ( )P z 0,= να δείξετε ότι 100 50
z 2 .= −

4. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 625
Θέμα 9ο
Έστω { }*
z i .∈ − Θεωρούμε και τη συνεχή συνάρτηση f : →  .
α) Αν x
e x z≥ + για κάθε x ,∈ να δείξετε ότι οι εικόνες του z ανήκουν σε
κυκλικό δίσκο.
β) Αν για κάθε x 0≥ ισχύει:
( )
x x
0
z f t dt e 1⋅ ≤ −∫
δείξτε ότι υπάρχει α 0≥ τέτοιο, ώστε
( ) α1
f α e
z
≤ ⋅ .
γ) Αν για κάθε x∈ ισχύει:
( )
x
x
0
z f t dt e 1,⋅ =−⌠
⌡
να βρείτε τον z όταν
( )
x
e
f x .
z i
=
−
Θέμα 11ο
Θεωρούμε την παραγωγίσιμη συνάρτηση ( )f : 0, + ∞ →  για την οποία ισχύουν:
( )f 1 0= και ( ) ( )xf x 2f x x′ − =για κάθε x 0> .
α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση ( )
( )
2
f x
h x ,
x
= είναι 1 1− στο ( )0, .+ ∞
β) Θεωρούμε τους μη μηδενικούς μιγαδικούς z, w με z w≠ και:
( ) ( )w w f z z z f w⋅ = .
Να δείξετε ότι
z w
Re 0.
z w
+ 
= 
− 
γ) Να βρείτε τις συναρτήσεις ( ) ( )h x , f x .
δ) Να υπολογίσετε το όριο
( )
( )
x
1
2x 1
f t dt
L lim .
ln x→
=
∫

5. 626 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
Θέμα 13ο
Θεωρούμε τους μιγαδικούς z∈ με την ιδιότητα
( ) ( )Re z Im z=
καθώς και τη συνάρτηση [ )f : 1, ,+ ∞ →  με
( ) ( )2
f x x z 2ln x .= −
α) Να βρείτε τον z, αν η f έχει τοπικό ακρότατο στο 4
0x e .=
β) Για τον z που βρήκατε στο προηγούμενο ερώτημα, να δείξετε ότι:
( ) ( ) 3f β f α
4e
β α
−
≤
−
για κάθε α, β με 1 α β.< <
γ) Να βρείτε τον z αν η f στρέφει τα κοίλα κάτω στο διάστημα [ )1, .+ ∞
Θέμα 15ο
Έστω z∈ τέτοιος ώστε z 1.> Θέτουμε:
z 1
α
ln z
−
=
και θεωρούμε τη συνάρτηση f : →  , τέτοια ώστε:
( ) x 2
f x z x− ≤ για κάθε x .∈
Να αποδείξετε ότι:
α) Η f είναι παραγωγίσιμη στο 0x 0= και να βρείτε τον ( )f 0 .′
β) Να αποδείξετε ότι α 1.>
γ) Αν η f είναι συνεχής, τότε:
( )
1
0
1
f x dx α .
3
− ≤⌠
⌡
Θέμα 17ο
Έστω z ,∈ με z 3 1.− = Θεωρούμε τη συνάρτηση f : →  με:
( ) ( )2
f x ln x x z= + + .
α) Να υπολογίσετε τα όρια:
( )x
lim x f x
→−∞
′⋅ και ( )x
lim x f x .
→+∞
′⋅

6. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 627
β) Να δείξετε ότι
z 2.≥
γ) Να δείξετε ότι για κάθε
2
α
2
> η εξίσωση ( )f x αx= έχει το πολύ μία λύση.
δ) Να βρείτε το z όταν:
1
2
1
dx
ln3.
x z−
=
+
⌠

⌡
Θέμα 19ο
Για κάθε z *∈ θεωρούμε τις παραγωγίσιμες συναρτήσεις f : →  με την ιδιό-
τητα:
( ) ( )f x z f x′ ≤ ⋅ για κάθε x∈ (1)
α) Αν z 1 i= + , να δείξετε ότι η συνάρτηση ( ) 2 1
f x x
2
= + έχει την ιδιότητα (1).
β) Να δείξετε ότι:
i) Η συνάρτηση g : →  με ( ) ( )x z
g x e f x
− ⋅
= ⋅ είναι γνησίως φθίνουσα.
ii)
( )
( )
f 2
z ln .
f 1
>
iii) ( ) ( ) x z
f x f 0 e
⋅
≤ ⋅ για κάθε x 0.≥
Θέμα 21ο
α) Να δείξετε ότι:
( ) ( )2 2
α 1 α ln 1 α≥ + ⋅ + για κάθε α 0≥ .
β) Δίνεται η συνάρτηση [ )f : 1, + ∞ →  με:
( )
( )
1
f x x
ln 1 x ln x
= −
+ −
.
i) Nα δείξετε ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα [ )1, + ∞ .

7. 628 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
ii) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f.
iii) Να βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή του Α καθώς και τη μικρότερη τιμή του Β,
ώστε να ισχύει:
x A x B
1 1
1 e 1
x x
+ +
   
+ ≤ ≤ +   
   
για κάθε x 1≥ .
Θέμα 23ο
Θεωρούμε τη συνάρτηση ( )f : 0, + ∞ →  με:
( ) 2
f x 3ln x x 5x m, m .= + − + ∈
α) Να βρείτε την τιμή του m∈ αν η εφαπτομένη της fC στο σημείο
( )( )A 1, f 1 διέρχεται από την αρχή των αξόνων.
β) Για m = 4, θεωρούμε τη συνάρτηση ( )F 0, + ∞ →  με:
( ) ( )
x
1
F x f t dt= ⌠
⌡
.
i) Να μελετήσετε την F ως προς τα κοίλα και τα σημεία καμπής.
ii) Αν ( )F α 0 και α 1= > να δείξετε ότι η εξίσωση:
2
3 x 5x 4
x e 1− +
⋅ =
έχει ακριβώς δύο ρίζες στο διάστημα [ ]1, α .
Θέμα 25ο
Έστω η συνάρτηση f:
( ) xx 1
f x e , x 1
x 1
−−
= − ≥
+
α) Να μελετήσετε τη μονοτονία και να βρείτε το σύνολο τιμών της f.
β) Nα δείξετε ότι υπάρχει ένα μόνο ( )α 1,∈ + ∞ τέτοιο, ώστε
( )f α 0.=
γ) Θεωρούμε τις συναρτήσεις [ ]g, h : 1,1− →  με:
( ) ( ) ( ) ( )2013 2013
g x 2ln α x , h x 2ln α x=− =+
καθώς και την ευθεία με εξίσωση: ( )
1
ε : y x 2014.
α
= +

8. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 629
i) Nα δείξετε ότι υπάρχει σημείο ( )( )M κ, g κ της gC στο οποίο εφαπτομέ-
νη είναι κάθετη στην ευθεία ( )ε .
ii) Να δείξετε ότι υπάρχει σημείο ( )( )Ν λ, h λ της hC στο οποίο η εφαπτο-
μένη είναι παράλληλη στην ( )ε .
Θέμα 27ο
Δίνονται οι f, g : →  , με:
( ) ( )
x
2 x
2x e 1
f x , g x .
1 x e 1
−
= =
+ +
α) Να βρείτε τα σύνολα των τιμών των συναρτήσεων f, g.
β) Να δείξετε ότι για κάθε β∈ υπάρχει α∈ τέτοιο, ώστε:
β
2 β
2α e 1
.
1 α e 1
−
=
+ +
γ) Να βρείτε τους x, y∈ με x 0, y 0> > για τους οποίους ισχύει:
( ) ( )f ln x lnf y 1.+ =
δ) Να αποδείξετε ότι:
( )
( )
1 x
x
2
1 1
f t
f t dt dt 0, x 0.
t
+ = >
⌠⌠ 
⌡ ⌡
Θέμα 29ο
Δίνονται οι συναρτήσεις f : →  με
( ) ( )( )( )f x x 1 x 2 x 3= − − −
και g : A →  με
( ) { }
1 1 1
g x , A 1, 2, 3 .
x 1 x 2 x 3
= + + =−
− − −

α) Να μελετήσετε την g ως προς τη μονοτονία στο Α.
β) Να δείξετε ότι
( )
( )
( )
f x
g x .
f x
′
=
γ) Να δείξετε ότι
( ) ( ) ( )
2
f x f x f x′ ′′  > ⋅  για κάθε x A.∈

9. 630 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
δ) Να δείξετε ότι η εξίσωση:
( ) ( )f x α f x 0′− ⋅ =
έχει ακριβώς τρεις λύσεις για κάθε α .∈
Θέμα 31ο
Θεωρούμε τη συνάρτηση f : →  με:
( ) x
f x e x α, α= − − ∈ .
α) Να μελετήσετε τη μονοτονία της f στο .
β) Να βρείτε τη μέγιστη τιμή του α έτσι ώστε ( )f x 0≥ για κάθε x .∈
γ) Να βρείτε το όριο
( )
( )
( )
( )x
f x f x
lim
f x f x→+∞
′ 
− 
′  
.
δ) i) Aν 0 α κ 1,< + < να δείξετε ότι η εξίσωση
( )x
α κ e 1 x+ = −
έχει ακριβώς μία λύση στο ( )0,1 .
ii) Nα δείξετε ότι υπάρχει μόνο ένα σημείο ( )( )0 0A x , f x με ( )0x 0,1∈ τέτοιο,
ώστε η εφαπτομένη της fC στο Α να διέρχεται από το σημείο ( )M 0, κ .
Θέμα 33ο
Έστω συνάρτηση ( )f : 0, + ∞ →  τέτοια, ώστε για κάθε x 0, y 0> > να ισχύει:
( ) ( ) ( )2 2
f xy x f y y f x .= +
Η f είναι παραγωγίσιμη στο 1 και ( )f 1 1.′ =
α) Να αποδείξετε ότι για κάθε x 0> ισχύει:
( ) ( ) ( )
h 1
f xh f x 2f x
lim x.
xh x x→
−
= +
−
β) Να αποδείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη στο ( )0, + ∞ και ότι για κάθε x 0>
ισχύει:
( ) ( ) 2
x f x 2f x x .′⋅ = +

10. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 631
γ) Να δείξετε ότι:
( ) 2
f x x ln x, x 0.= >
δ) Να βρείτε το όριο
( )
x 0
f x
lim .
x→
Θέμα 35ο
Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : →  με:
• ( )f 0 1=
• ( ) ( )f x f x 1 x′ + =+
α) Να βρείτε τη συνάρτηση ( )f x .
β) Να μελετήσετε τη μονοτονία της f.
γ) Nα δείξετε ότι
( ) x
x 1 e 1 0 για κάθε x .− ⋅ + ≥ ∈
δ) Να λύσετε την εξίσωση
( )f x 1.=
ε) Αν β, γ 0≠ να δείξετε ότι η εξίσωση:
( ) ( )f β 1 f γ 1
0
x 2 x 1
− −
+ =
− −
έχει τουλάχιστον μία ρίζα στο διάστημα ( )1, 2 .
Θέμα 37ο
α) Να δείξετε ότι υπάρχει μοναδικό ( )α 0,1∈ τέτοιο, ώστε:
lnα α 1 0.+ + =
β) Δίνεται η συνάρτηση ( )f : 0,+ ∞ →  με
( )
xln x
f x .
x 1
=
+

11. 632 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
i) Nα μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα και να δείξε-
τε ότι για κάθε x 0> ισχύει ( )f x α.≥ −
ii) Θεωρούμε τις συναρτήσεις ( )h, g : 0, + ∞ →  με
( ) ( ) ( )
( )f x
h x xf x , g x
x
= = .
Να δείξετε ότι οι εφαπτομένες των g hC , C στα σημεία ( )( )M α, g α ,
( )( )Ν α, h α αντίστοιχα είναι κάθετες.
Θέμα 39ο
Δίνεται η συνάρτηση f : →  με
( )
2x
2x
e 1
f x .
e 1
−
=
+
α) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f.
β) Να λύσετε την εξίσωση
( )
x
f x, x 1,1 .
2
 
= ∈ − 
 
γ) Αν για την παραγωγίσιμη συνάρτηση g : →  ισχύει:
( )
( )g x
g x f
2
 
=  
 
για κάθε x∈
να δείξετε ότι η g είναι σταθερή και να βρείτε την τιμή της.
δ) Να δείξετε ότι:
( ) ( )
2
f x 1 f x για κάθε x .′ = −   ∈  
ε) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα:
( )
1
2
0
A f x dx.= ⌠
⌡

12. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 633
Θέμα 41ο
Δίνεται συνάρτηση
( ) ( ) [ )
2
x
f x x 2 e , x 0, .= + ⋅ ∈ + ∞
α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία.
β) Να λύσετε την εξίσωση:
( )1
f 4 x 1
f 1 0.
e
−
 − −
 − =
 
 
γ) Να αποδείξετε ότι:
( ) ( ) ( )f x 1 f t f x 1− ≤ ≤ + για [ ]t x 1, x 1 , x 1∈ − + ≥
και να βρείτε το όριο
( )
2
x 1
t
x x 1
lim t 2 e dt
+
→+∞ −
+ ⋅⌠
⌡
.
δ) Να δείξετε ότι η εξίσωση ( ) ( )2
f 2x x f x 4+ = + έχει τουλάχιστον μία ρίζα
στο διάστημα [ ]0, 2 .
Θέμα 43ο
Για λ∈ δίνεται η συνάρτηση:
( ) 3 2
f x x λx 3x 1, x= + − + ∈ .
α) Να δείξετε ότι η f δεν είναι "1 1".−
β) Να δείξετε ότι εφαρμόζεται το θεώρημα Rolle για τη συνάρτηση
( ) ( )f x 2
F x e x λx 3.= + + −
γ) Αν η συνάρτηση f παρουσιάζει τοπικό ακρότατο στο 0x 1,= να βρείτε την
τιμή του λ.
δ) Για λ 0=
i) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα.
ii) Να βρείτε τις εξισώσεις των εφαπτομένων της γραφικής παράστασης της
f που είναι παράλληλες προς την ευθεία y 9x 2014.= +

13. 634 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
Θέμα 45ο
Έστω η συνάρτηση ( ) ( )4
f x x 1 αx, x= + − ∈ τέτοια, ώστε:
( )f x 1≥ για κάθε x∈ .
Να δείξετε ότι:
α) α 4.=
β) Η f είναι κυρτή.
γ) Η συνάρτηση ( ) ( )5 2
g x x 1 10x 5x= + − − είναι γνησίως αύξουσα στο διάστη-
μα [ )0, .+ ∞
δ) Υπάρχει A∈ ώστε
( ) ( ) 2
x 1 f x Ax x 1+ ≥ + + για κάθε x 0.≥
Θέμα 47ο
Δίνεται η συνάρτηση f : →  με:
( ) x 3
f x e x x.= + +
α) Να δείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε το πεδίο ορισμού της συ-
νάρτησης 1
f .−
β) Να λύσετε την εξίσωση
( )1
f x 0−
= .
γ) Να βρείτε το όριο:
( ) ( )
x 0
f x f x
lim .
5x→
′ ′′−
δ) Αν ( ) β
f α e= και ( ) α
f β e ,= να δείξετε ότι:
α β 0.= =
ε) Να δείξετε ότι η εξίσωση:
( )
1
3x
3
1 1
f e f x ln x ln x
xx
 
 + + = + +
 
 
έχει ακριβώς μία ρίζα στο διάστημα ( )1, e .

14. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 635
Θέμα 49ο
Δίνεται η δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση [ ]f : 0,1 →  η οποία είναι κοίλη
στο διάστημα [ ]0,1 .
α) Αν ( ) ( )f 0 f 1 0,= = να δείξετε ότι:
( )f x 0≥ για κάθε [ ]x 0,1 .∈
β) Να δείξετε ότι:
( ) ( ) ( ) ( )( )f x f 0 x f 1 f 0≥ + ⋅ − για κάθε [ ]x 0,1 .∈
γ) Θεωρούμε τις συναρτήσεις:
( ) ( )g x lnf x= και ( ) ( )2
1
h x ln , x 0,1 .
x x
 
= ∈ 
− 
Να δείξετε ότι υπάρχει ( )c 0,1∈ τέτοιο ώστε οι εφαπτομένες των g hC , C στο
σημείο με τετμημένη c να είναι παράλληλες.
δ) Να βρείτε το όριο:
( )x 0
lim x h x .+
→
⋅
Θέμα 51ο
Θεωρούμε τις συναρτήσεις
( )
1 1
f x ημx συνx, x
2 3
= + ∈ και ( ) ( )g x x f x , x=− ∈
Να δείξετε ότι:
α) ( )
5
f x
6
′ ≤ για κάθε x .∈
β) ( ) ( )
5
f x f y x y
6
− ≤ − για κάθε x, y .∈
γ) Υπάρχει ένα μόνο α 0> τέτοιο ώστε ( )g α 0.=
δ) Υπάρχει ξ∈ τέτοιο ώστε:
( )
( )
1
f ξ 1.
3f α
′ + =

15. 636 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
Θέμα 53ο
Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : →  για την οποία ισχύουν:
• ( )f 0 1=
• ( )f x 0, για κάθε x≠ ∈
• ( )( ) ( )( )x x
f x e x f x e 1 για κάθε x′ −= − ∈
α) Nα βρείτε την ( )f x .
β) Να δείξετε ότι υπάρχει ( )α 0, 2∈ τέτοιο, ώστε η εφαπτομένη της fC στο ση-
μείο ( )( )A α, f α να διέρχεται από το σημείο ( )P 1, 0 .
γ) Να δείξετε ότι ( )f x 1≥ για κάθε x .∈
δ) Να δείξετε ότι η εξίσωση
( )
2
2x 1
2
0
x f t dt βx βx 1 0, β
−
⋅ + − −= ∈⌠
⌡

έχει τουλάχιστον μία λύση στο διάστημα ( )0,1 .
Θέμα 55ο
Δίνεται η συνάρτηση
( ) ( )f x x 4 ln x 3x 4, x 0= − + − > .
α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα
( ]1Δ 0,1= και γνησίως αύξουσα στο διάστημα [ )2Δ 1, .= + ∞ Στη συνέχεια να
βρείτε το σύνολο τιμών της f.
β) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση
x 4 2014 3x
x e , x 0− −
= >
έχει ακριβώς δύο θετικές ρίζες.
γ) Αν α, β με α β< είναι οι ρίζες της προηγούμενης εξίσωσης, να δείξετε ότι
υπάρχει μοναδικό ( )ξ α, β∈ τέτοιο ώστε:
( ) ( )ξf ξ f ξ 2010.′ − =−
δ) Έστω η συνεχής συνάρτηση g : →  με
( )
x 1
g x 3x 4
lim 0.
x 1→
− +
=
−

16. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 637
Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης ( )ε της gC στο σημείο ( )( )Α 1, g 1
και στη συνέχεια το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική
παράσταση της συνάρτησης ( )f x και την ευθεία ( )ε .
Θέμα 57ο
Έστω η συνεχής συνάρτηση [ )f : 0, + ∞ →  για την οποία ισχύει:
( ) ( )x f x ln x 1⋅ = + για κάθε x 0≥ .
α) Να αποδείξετε ότι
( )
( )ln x 1
, x 0
f x x
1 x 0
 +
>
= 
 =
β) Να αποδείξετε ότι ορίζεται η αντίστροφη συνάρτηση 1
f −
και να βρείτε το
πεδίο ορισμού της.
γ) Να δείξετε ότι η συνάρτηση
( ) ( )g x xf x , x 0= ≥
στρέφει τα κοίλα κάτω στο διάστημα [ )0, .+ ∞ Στη συνέχεια, να βρείτε την
εξίσωση εφαπτομένης της gC στο σημείο ( )( )A 1, g 1 .
δ) Να δείξετε ότι η εξίσωση
( )
1 x
xf x ln 2, x 0
2 2
+ = + ≥
έχει ακριβώς μία λύση.
Θέμα 59ο
Έστω η παραγωγίσιμη συνάρτηση f : →  για την οποία ισχύουν:
• ( )f x 0> για κάθε x∈
• ( ) ( ) ( )( )2 2
x 1 f x f x x x 1′+ ⋅= − + για κάθε x∈
• ( )f 0 1=

17. 638 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
α) Να αποδείξετε ότι:
( )
x
2
e
f x , x
x 1
= ∈
+

και στη συνέχεια ότι η f είναι γνησίως αύξουσα στο .
β) Να δείξετε ότι:
( )
1
2
0
f x dx ln 2>⌠
⌡
γ) Να λύσετε στο σύνολο των πραγματικών αριθμών την ανίσωση:
( ) ( )2
x 1 4
f 2 e f x 1−
⋅ < + .
δ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ακριβώς ένα ( )ξ 0,1∈ τέτοιο, ώστε:
( ) ( ) ( )
ξ
2
0
f t dt 2 ξ 1 2ξ 1 ln 2.+ − = − ⋅⌠
⌡
Θέμα 61ο
Δίνεται η συνεχής και γνησίως αύξουσα στο διάστημα ( )0, + ∞ συνάρτηση f με
( )
3
4
f x dx 1=⌠
⌡
και ( )
5
4
f x dx 3.=⌠
⌡
Θεωρούμε τη συνάρτηση g:
( ) ( )
x 2
x 1
g x f t dt, x 0.
+
+
= >⌠
⌡
α) Να μελετηθεί η g ως προς τη μονοτονία.
β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα τουλάχιστον ( )ξ 2, 3∈ ώστε:
( ) ( )f ξ 2 f ξ 1 4.+ − + =
γ) Αν η f είναι παραγωγίσιμη στα σημεία 1 και 2 με ( ) ( )f 1 f 1 1′= = και
( ) ( )f 2 f 2 2′= = να βρείτε το όριο
( ) ( )
2
1
2x 0
g x f x dx x
lim
x→
− −⌠
⌡
.

18. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 639
δ) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση:
( ) ( )
2
2
2
2
x 3 x 3
x 4x 2
f t dt f t dt 2
+ +
++
= +
⌠ ⌠ ⌡⌡
έχει ακριβώς μία ρίζα στο διάστημα ( )0, .+ ∞
Θέμα 63ο
Θεωρούμε τη συνεχή και μη μηδενική συνάρτηση [ ]f : 0,1 →  , καθώς και τη συ-
νάρτηση [ ]g : 0,1 →  με:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2x x
2
0 0
1
g x t 1 f t dt t 1 f t dt
2
 
= + ⋅ − + ⋅ 
 
⌠ ⌠ 
⌡ ⌡
.
α) Να βρείτε την ( )g x όταν ( )
1
f x .
x 1
=
+
β) Αν για την ( )f x ισχύει ότι:
( )
1
0 f x
x 1
< ≤
+
για κάθε [ ]x 0,1∈ ,
τότε:
i) Να δείξτε ότι η g είναι γνησίως αύξουσα.
ii) Υπάρχει ( )ξ 0,1∈ τέτοιο ώστε:
( )
1
g ξ g .
2014
 ′ >  
 
γ) Να εξετάσετε αν υπάρχει συνάρτηση f για την οποία η g να είναι σταθερή.
Θέμα 65ο
Δίνεται η συνάρτηση f : →  με ( )
x
2
0
1
f x dt.
t 1
=
+
⌠

⌡
α) Να δείξετε ότι για κάθε x∈ ισχύει:
( ) ( ) 2
1
f x 1 f x f
x x 1
 
+ − = 
+ + 
.
β) Να υπολογίσετε το όριο
( ) ( )( )x
lim f x 1 f x
→+∞
+ −

19. 640 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
γ) Να δείξετε ότι υπάρχει ( )ξ 1, 2∈ τέτοιο, ώστε:
1
3
2 2
0
1 1
dt
1 ξ 1 t
=
+ +
⌠

⌡
.
δ) Για κάθε [ ]x 0,1∈ , να δείξετε ότι ( )f x x≤ .
ε) Να δείξετε ότι ισχύει ( )
1
2
0
1
f x dx .
3
<⌠

⌡
Θέμα 67ο
Έστω η συνάρτηση ( )g : 0, + ∞ →  με
( ) 2 1
g x 2x f
x
 
=  
 
για κάθε x 0> ,
όπου η f έχει συνεχή παράγωγο στο [ )0, + ∞ με ( )f 0 0.=
α) Αν η ευθεία y 2014x κ= + είναι πλάγια ασύμπτωτη της gC στο +∞ , να βρεί-
τε την εξίσωση εφαπτομένης της fC στο ( )( )A 0, f 0 .
β) Αν η ευθεία y 1007x= έχει δύο κοινά σημεία με την gC , να δείξετε ότι
υπάρχει m∈ τέτοιο, ώστε:
1 1
mf f .
m m
   ′=   
   
γ) Αν ισχύει:
1
β
21
α
1 1
f dx 0, α β
xx
 ′ = < 
 
⌠

⌡
να δείξετε ότι υπάρχει 0x ∈ τέτοιο, ώστε ( )0f x 0.′ =
δ) Αν για κάθε ( )x, y 0,∈ + ∞ με x y< ισχύει ( ) ( )2 2
y f x x f y> να δείξετε ότι:
( ) ( )g x g y .<
Θέμα 69ο
Δίνεται η παραγωγίσιμη συνάρτηση g : →  καθώς και η συνεχής συνάρτηση
f : →  με
( )g x 0> και ( )f x 0> για κάθε x .∈

20. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 641
Θεωρούμε τη συνάρτηση F: →  με:
( )
( )
( )x g x
0
t
F x f dt
g x
⋅
 
=   
 
⌠

⌡
.
α) Να δείξετε ότι για κάθε x∈ είναι
( ) ( ) ( )
x
0
F x g x f u du.= ⋅ ∫
β) Αν ( ) x
g x e= και ( ) x
f x e−
= , να βρείτε την F.
γ) Αν ( )F x x≥ για κάθε x∈ να δείξετε ότι: ( ) ( )g 0 f 0 1.⋅ =
δ) Να δείξετε ότι ισχύει:
( ) ( ) ( ) ( )F 1 g 2 F 2 g 1 .⋅ < ⋅
Θέμα 71ο
Δίδεται η συνάρτηση F:
( )
( )x
1
f t
F x x dt, x 1
t
= ≥
⌠

⌡
όπου f παραγωγίσιμη συνάρτηση στο [ )1,+ ∞ με ( )f 1 0= και:
( ) ( )f x xf x 0′+ ≥ για κάθε x 1.≥
α) Να δείξετε ότι ( )F x 0≥ για κάθε x 1.≥
β) Αν
( )
( )
2
1
f t
dt f 2
t
= −
⌠

⌡
να δείξετε ότι υπάρχει ( )ξ 1, 2∈ τέτοιο, ώστε:
( ) ( )f ξ ξf ξ 0.′+ =
γ) Να λύσετε την εξίσωση
( ) ( )
2
2
f x 1 f 2x
, x 1.
2x x 1
+
= ≥
+
δ) Να βρείτε την F αν
( )f x ln x, x 1.= ≥

21. 642 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
Θέμα 73ο
Έστω η τρεις φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f για την οποία ισχύει:
( ) ( ) ( )f x f x f x 0, x′′′ ′+ + = ∈
α) Αν η συνάρτηση g
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )
2 2
g x f x f x 2f x f x′′ ′ ′= + +
είναι σταθερή, να δείξετε ότι και η f είναι σταθερή.
β) Αν:
• ( ) ( )f 1 f 1 1′′ + =−
• ( ) ( )f 0 f 0 1′′ + =
να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα ( )
1
0
f x dx.⌠
⌡
γ) Αν επιπλέον ισχύει:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ln f β f β f β ln f α f α f α β α′ ′′ ′ ′′+ + − + + =−
για α,β∈ με α β< , να δείξετε ότι υπάρχει ( )c α,β∈ τέτοιος, ώστε:
( ) ( )f c f c .′′′ =
δ) Αν ισχύει ( )f x 0′′′ > για κάθε x∈ να δείξετε ότι:
( ) ( ) ( )( ) ( )
( )2
x α
f x f α f α x α f α
2
−
′ ′′≤ + − + για κάθε x α.≤
Θέμα 75ο
Έστω η f μία συνεχής συνάρτηση στο διάστημα [ )1, + ∞ με ( )f x 0> για κάθε
x 1.≥ Ορίζουμε τις συναρτήσεις:
( ) ( )
x
2
1
G x t f t dt, x 1= ≥⌠
⌡
και ( ) ( )
x
1
H x tf t dt, x 1.= ≥⌠
⌡
α) Θεωρούμε τη συνάρτηση Ρ:
( ) ( ) ( )P x xH x G x , x 1.= − ≥
Να δείξετε ότι:
i) ( )P x 0≥ για κάθε x 1.≥
ii) Η συνάρτηση ( )P x είναι κυρτή στο διάστημα [ )1, + ∞ .

22. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 643
iii) Για κάθε x 1> ισχύει:
( )
( ) ( )P x P x 2
P x 1 .
2
+ +
+ <
β) Nα δείξετε ότι η συνάρτηση:
( )
( )
( )
G x
F x
H x
=
είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα ( )1, .+ ∞
γ) Να βρεθεί το όριο:
( )
( ) ( )
2
x
1
2x 1
H x ln tdt
L lim .
G x x 1
+
→
⋅
=
⋅ −
⌠
⌡
Θέμα 77ο
Έστω η συνεχής συνάρτηση f : →  η οποία για κάθε x∈ ικανοποιεί τις
σχέσεις:
• ( )x
e f x 1 0⋅ − ≥
•
( )
( )
x t
x
0
e t
e x dt 1 f x
f t
 −
 −= + ⋅
 
 
⌠

⌡
α) Να αποδείξετε ότι η f διατηρεί σταθερό πρόσημο στο .
β) Να δείξετε ότι η f είναι παραγωγίσιμη και να βρείτε τον τύπο της.
Αν είναι
( ) x
x
f x 1 , x
e
=− ∈ ,
τότε:
γ) Να μελετήσετε την f ως προς τα κοίλα.
δ) Να δείξετε ότι υπάρχει ( )α 0,1∈ τέτοιο ώστε για το εμβαδόν που περικλείεται
από την fC , την εφαπτομένη αυτής στο 0x α= και τον άξονα y y,′ να ισχύει:
E 1 α.= −
ε) Να βρείτε τον όριο:
( )
( ) ( )
2
x
1 1
lim f x 1 συν ημ .
f x f x→−∞
 
⋅ − ⋅  
 

23. 644 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
Θέμα 79ο
Έστω g : →  μια παραγωγίσιμη συνάρτηση για την οποία ισχύει:
( ) ( )
x
x
x
e x g t dt 0
−
− =⌠
⌡
για κάθε x .∈
Θεωρούμε επίσης και την παραγωγίσιμη συνάρτηση f : →  με συνεχή πρώτη
παράγωγο για την οποία ισχύουν:
• ( ) ( )( )( )
( )
( ) ( )
g x
2
g x
f t f t 1 dt f x f x x
′ −
′
′+ += −⌠
⌡
για κάθε x∈
• ( )f x 0≠ για κάθε x∈ .
• ( )f 0 1.=
α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση ( )g x είναι περιττή.
β) Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης ( )f x .
γ) i) Nα δείξετε ότι:
( )
( ) ( )
( )2
f x xf x
f x
f x
′−
′′ =
και στη συνέχεια ότι η f είναι κυρτή στο .
ii) Να δείξετε ότι:
( )
1
0
2
f x dx
2
>⌠
⌡
.
δ) Nα βρείτε το όριο:
( )
( )x
1
lim lnf x ημ .
f x→+∞
 
⋅  
 
ε) Να λύσετε την εξίσωση:
( )
2 x
x
f t dt 0.
−
=⌠
⌡

24. ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 645
Θέμα 81ο
Δίνεται η συνεχής συνάρτηση [ )f : 0,+ ∞ →  για την οποία ισχύουν:
• ( ) [ )f x x για κάθε x 0,< ∈ + ∞
• ( )
( )
x ux
1 11
x 1 t
f t dt dt du
2 t f t
 −
 = +
 −
 
⌠ ⌠⌠
 ⌡ ⌡⌡
για κάθε x 0≥
α) Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη με
( )
( )
x
f x
x f x
′ =
−
για κάθε x 0.≥
β) Να δείξετε ότι η f είναι κυρτή.
γ) Να λύσετε την ανίσωση:
( ) ( )
2
4 4 2 2
x 1
f f
x f x x f x
   
   ′ ′<
   − −
   
δ) Να δείξετε ότι:
i) ( ) ( )xf x f x′ ≥ για κάθε x 0≥
ii) ( )
2
1
1 1
f x dx 2 f
2 2
 
< −  
 
⌠

⌡
.
Θέμα 83ο
Δίνεται συνάρτηση f : →  για την οποία ισχύουν:
• Η f είναι κυρτή στο  με ( )f x 0> για κάθε x∈
• ( )
x
2x
x 1
e 1 x f 2x t dt 0
−
− − − ≥⌠
⌡
για κάθε x∈
α) Να αποδείξετε ότι:
i) ( )
1
0
f t dt 2=⌠
⌡
ii) Υπάρχει ( )ρ 0,1∈ , τέτοιο ώστε ( )
ρ
0
f t dt 1=⌠
⌡
iii) Η εξίσωση
( ) ( )
( )
x
0
x x f t dt
x
0
f t dt xf x e e
⌠
⌡
 
+ ⋅ = 
 
⌠
⌡
έχει λύση στο διάστημα ( )0, ρ .

25. 646 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
β) Θεωρούμε τη συνάρτηση
( ) ( ) ( )
x
0
g x f t f 1 t dt, x=  + −  ∈ 
⌠
⌡

i) Να βρείτε τις ρίζες και το πρόσημο της g.
ii) Να μελετήσετε την g ως προς τα κοίλα.
iii) Να δείξετε ότι το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική
παράσταση της συνάρτησης ( )g x′ , τον άξονα x x′ και τις ευθείες x 0= ,
x 1= είναι ίσο με 4 μονάδες.
Θέμα 85ο
Έστω συνάρτηση f : →  , η οποία είναι παραγωγίσιμη και κυρτή με:
• ( )
2
1
x t
x 0
f 0 lim x e dt
→+∞
= ⋅⌠
⌡
• ( )f 0 0′ =
α) Να αποδείξετε ότι ( )f x 1≥ για κάθε x∈
β) Αν ( )f 0 0′′ = να βρείτε το όριο
( )
2x 0
f x 1
lim
x→
−
.
Αν επιπλέον δίνεται ότι για τις συναρτήσεις f και g : →  ισχύει:
( ) ( )( )
( )
( )g x
2 3
2 g x
f x 2x 2x f x x t 1dt, x ,
−
′ += + + − ∈
⌠

⌡

να αποδείξετε ότι ( )
2
x 2
f x e x= − για κάθε x∈ .
γ) Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία τη συνάρτηση
( ) ( )
2x 2
2x
h x f t x dt
+
= −⌠
⌡
, [ )x 0,∈ + ∞
και να λύσετε στο  την ανίσωση
( ) ( )
2
2
x 2x 3 4
x 2x 1 6
f t dt f t dt 0.
+ +
+ +
+ <⌠ ⌠ 
⌡ ⌡