Sistem persamaan linear (spl)

1. P E R T E M U A N K E - 3
U M M U S A L A M A H
Sistem Persamaan Linear (SPL)
dan Kuadrat (SPK)

2. 1. Persamaan linear
 Persamaan linear satu variabel adl kalimat
terbuka yg menyatakan hubungan sama dengan dan
hanya memiliki satu variabel berpangkat satu.
Bentuk umum
𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑐 , 𝑎 ≠ 0
 Persamaan linear dua variabel adl pers yg
mengandung variabel dengan pangkat masing-masing
variabel sama dengan satu.
Bentuk umum
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐 , 𝑎 ≠ 0, 𝑏 ≠ 0

3. 2. Sistem Pers. Linear Dua Variabel (SPLDV)
 SPLDV adl sistem pers yg mengandung paling sedikit
sepasang (dua buah) pers linear dua variabel yg
hanya mempunyai satu penyelesaian.
 Bentuk umum
𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 = 𝑐1
𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 = 𝑐2
𝑎1, 𝑏1, 𝑐1, 𝑎2, 𝑏2 dan 𝑐2 ∈ 𝑅

4. Lanjutan 2
 Contoh
Jika 𝑥 dan 𝑦 memenuhi sistem persamaan
2𝑥 + 𝑦 = 5
3𝑥 − 2𝑦 = −3
tentukan nilai 𝑥, 𝑦 dan 𝑥 + y , serta sketsakan grafiknya.
 Latihan
Himpunan penyelesaian sistem persamaan linear
7𝑥 + 5𝑦 = 2
5𝑥 + 7𝑦 = −2
adalah {x, y}. Tentukan nilai 𝑥 − 𝑦, serta sketsakan
grafiknya.

5. Lanjutan 2
 Contoh Soal cerita
Sepuluh tahun yg lalu umur Aldy dua kali umur
Bony, lima tahun yg kemudian umur Aldy 1
1
2
kali
umur Bony. Sekarang umur Aldy dan Bony adl …
 Latihan Soal Cerita
Dua kali umur Amira ditambah tiga kali umur Yulia
adl 61 tahun, sedangkan empat kali umur Yulia dikurangi
tiga kali umur Amira adl 19 tahun, umur Amira
dijumlahkan dgn umur Yulia adl …

6. 3. Sistem Pers. Linear Tiga Variabel (SPLTV)
 Bentuk umum
𝑎1 𝑥 + 𝑏1 𝑦 + 𝑐1 𝑧 = 𝑑1
𝑎2 𝑥 + 𝑏2 𝑦 + 𝑐2 𝑧 = 𝑑2
𝑎3 𝑥 + 𝑏3 𝑦 + 𝑐3 𝑧 = 𝑑3
𝑎1, 𝑏1, 𝑐1, 𝑑1, 𝑎2, 𝑏2, 𝑐2, 𝑑2, 𝑎3, 𝑏3, 𝑐3, dan𝑑3 ∈ 𝑅

7. Lanjutan 3
 Contoh :
Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan
𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = 5
2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 = 9
𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = 4
adalah …
 Latihan 1
Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan
2𝑥 + 4𝑦 − 6𝑧 = −16
3𝑥 − 3𝑦 + 2𝑧 = 6
4𝑥 − 𝑦 + 3𝑧 = 22
adalah {x, y, z}
maka nilai x : y : z = …

8. Latihan 2
Jika 𝑥, 𝑦 dan 𝑧 adalah penyelesaian dari sistem
persamaan
𝑥
3
+
𝑦
2
− 𝑧 = 7
𝑥
4
−
3𝑦
2
+
𝑧
2
= −6
𝑥
6
−
𝑦
4
−
𝑧
3
= 1
maka nilai 𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = ⋯ .

9. 4. Sistem Pers. Linear dan
Kuadrat Dua Variabel (SPLKDV)
 Bentuk umum SPLKDV dengan variabel 𝑥 dan 𝑦 adalah
𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏 (𝑏𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑟)
𝑦 = 𝑝𝑥2
+ 𝑞𝑥 + 𝑟 (𝑏𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑘𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡)
dengan 𝑎, 𝑏, 𝑝, 𝑞, 𝑟 ∈ 𝑅

10. Lanjutan 4
 Contoh
Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan
𝑦 = 𝑥 − 3
𝑦 = 𝑥2
− 4𝑥 + 3
adalah …
 Latihan
Himpunan penyelesaian sistem persamaan
𝑥 − 𝑦 = 7
𝑦 = 𝑥2
+ 3𝑥 − 10
adalah {(𝑥1, 𝑦1); (𝑥2, 𝑦2)}, maka nilai 𝑥1 − 𝑥2

11. 5. Sistem Persamaan Kuadrat (SPK)
 Bentuk umum SPK dengan variabel 𝑥 dan 𝑦 adalah
𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐
𝑦 = 𝑝𝑥2
+ 𝑞𝑥 + 𝑟
dengan 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑝, 𝑞, 𝑟 ∈ 𝑅

12. Lanjutan 5
 Contoh
Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan
𝑦 = 𝑥2 − 2𝑥 − 3
𝑦 = −𝑥2 − 2𝑥 + 5
adalah …
 Latihan
Jika 𝑥 dan 𝑦 adalah penyelesaian dari sistem
persamaan
𝑦 = −𝑥2 + 7𝑥 + 12
𝑦 = 𝑥2
− 5𝑥 + 22
maka nilai 𝑦1 + 𝑦2 = ⋯ .

13. Program Linear
Sistem Pertidaksamaan Linear
 Pertidaksamaan linear adalah pertidaksamaan dg
pangkat tertinggi dari variabelnya satu, gabungan
dua atau lebih pertidaksamaan linear disebut sistem
pertidaksamaan linear. Lambang yg digunakan (<, ≤
, >, ≥)
 Himpunan penyelesaian pertidaksamaan dapat
ditentukan dengan menggunakan metode grafik dan
uji titik.
 Tanpa melakukan uji titik, daerah himpunan
penyelesaian suatu pertidaksamaan linear dapat
ditentukan dengan aturan sbb.

14. Pertidaksamaan 𝒃 > 𝟎 𝒃 < 𝟎
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 ≥ 𝑐
Daerah himpunan
penyelesaian berada
di kanan/di atas
garis 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐
Daerah himpunan
penyelesaian
berada di kiri/di
bawah garis 𝑎𝑥 +
𝑏𝑦 = 𝑐
𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 ≤ 𝑐
Daerah himpunan
penyelesaian berada
di kiri/di bawah
garis 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 = 𝑐
Daerah himpunan
penyelesaian
berada di kanan/di
atas garis 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 =
𝑐

15. Contoh 1
Himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan
2𝑥 + 𝑦 ≤ 40
𝑥 + 2𝑦 ≤ 40
𝑥 ≥ 0
𝑦 ≥ 0
Terletak pada daerah yang berbentuk ….

16. Contoh 2
 Perhatikan gambar (papan tulis)
Daerah yang diarsir pada gambar menunjukkan
himpunan penyelesaian dari pembatasan-pembatasan
untuk bilangan-bilangan real 𝑥 dan 𝑦. Tentukan
pembatasan-pembatasan atau pertidaksamaannya!

17. Latihan
1. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan
2𝑥 + 𝑦 ≥ 4 ; 3𝑥 + 4𝑦 ≤ 12 ; 𝑥 ≥ 0 ; 𝑦 ≥ 0
Dapat digambarkan dengan bagian bidang
yang diarsir, yaitu …
2. Daerah yang diarsir pada gambar (papan
tulis) di samping merupakan himpunan
penyelesaian sistem pertidaksamaan…

18. Program Linear dan Model Matematika
 Program linear adalah satu bagian dari matematika
terapan yang digunakan untuk memecahkan masalah
pengoptimalkan (memaksimalkan atau meminimalkan
suatu tujuan, seperti mencari keuntungan maksimum dari
penjualan suatu produk.
 Dalam memecahkan masalah pengoptimalkan dgn
program linear, terdapat kendala-kendala atau batasan-
batasan yang harus diterjemahkan ke dalam suatu
pertidaksamaan linear yang disebut pemodelan
matematika, dan sistem pertidaksamaan linear yang
terbentuk disebut model matematika.

19. Contoh
Untuk membuat barang A diperlukan 6 jam pada
mesin I dan 4 jam pada mesin II, sedangkan membuat
barang jenis B memerlukan 2 jam pada mesin I dan 8
jam pada mesin II. Kedua mesin tersebut setiap
harinya masing-masing bekerja tidak lebih dari 18 jam.
Jika setiap hari dibuat x buah barang A dan y buah
barang B, maka model matematika dari uraian
tersebut adalah …

20. Latihan
Sebuah pesawat udara mempunyai tempat duduk tidak
lebih dari 48 penumpang. Setiap penumpang kelas
utama boleh membawa bagasi 60 kg sedangkan untuk
kelas ekonomi 20 kg. Pesawat ini hanya dapat
membawa bagasi 1440kg, bila 𝑥 dan 𝑦 berturut-turut
menyatakan banyak penumpang kelas utama dan
ekonomi, maka model matematika dan persoalan di atas
adalah… .

21. Nilai Optimum Suatu Bentuk Objektif
 Dalam program linear, bentuk objektif atau fungsi
objektif adalah bentuk atau fungsi 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑎𝑥 +
𝑏𝑦 yg hendak dioptimumkan (dimaksimumkan atau
diminimumkan)
 Nilai optimum bentuk objektif dapat ditentukan
dengan garis selidik atau metode titik pojok (titik
sudut)

22. Contoh
 Tanah seluas 10.000 m2 akan dibangun rumah tipe
M dan tipe N. untuk rumah tipe M diperlukan 100
m2 dan tipe N diperlukan 75 m2. jumlah rumah
yang dibangun paling banyak 125 unit.
Keuntungan rumah tipe M adalah Rp 6.000.000,-
/unit dan tipe N adalah Rp 4.000.000,-/unit.
Keuntungan maksimum yang dapat diperoleh dari
penjualan rumah tersebut adalah …

23. Latihan
 Luas daerah parkir 1760 m2, luas rata-rata untuk
mobil sedan 4 m2 dan bus 20 m2. daya muat
maksimum hanya 200 kendaraan, biaya parkir
untuk mobil sedan Rp 2000,- dan untuk bus Rp
5000,-. Tentukan hasil maksimum dari tempat
parkir tsb adalah …