2. Derivada da função Implícita
O que é uma função implícita?
É uma função em que não podemos ou é trabalhoso colocar y em função somente de x.
É o oposto a função explícita:
y = 3x2+5x+1 explícita
xy + y6 = x6 – seny implícita
Calculo da função implícita:
dy
Considere y = f(x) derivável em D(f), para encontrar f ' ( x) =
dx
siga os seguintes passos:
1- Derive cada termo como algo independente, considerando
y=f(x);
2- Separe o que tiver dy no 1º membro da equação e o que não
tiver no 2º membro. dx
3-Coloque dy em evidência no 1º membro da equação;
dx
dy
4- Isole dx na equação e teremos a derivada de f.
3. Derivada da função Implícita
Observação: Provavelmente a derivada dy também será uma
função implícita, ou seja, dx
dy
= g ( x, y )
dx
Exemplo: Encontre dy para a equação abaixo:
dx
un senu
xy + y6 = x6 – seny
xn
produto
u.v
dy dy dy
x + y.1 + 6 y 5 = 6 x 5 − cos y
dx dx dx
dy dy dy
x + 6 y5 + cos y = 6x5 − y
dx dx dx
4. Derivada da função Implícita
dy dy 5 dy
x + cos y + 6 y = 6 x5 − y
dx dx dx
dy
dx
( )
x + 6 y 5 + cos y = 6 x 5 − y
dy 6x5 − 6 y5
=
dx x + 6 y 5 + cos y
Exercícios:
Considere y=f(x) derivável em D(f), determine dy para:
dx
3x4y2 – 7xy3 = 4 – 8y
(x+y)2 – (x – y)2 = x4 + x4
xcosy + ycosx = 1
5. Problemas de Taxa de variação
Interpretação geométrica de f ’:
∆y f ( x + ∆x) − f ( x)
tgα = =
∆x ∆x
∆y f ( x + ∆x) − f ( x)
tgβ = lim = lim = f ' ( x)
∆x →0 ∆x ∆x →0 ∆x β
Taxa de variação:
(a) Média: Se y= f(x) então a taxa média de variação de y em
relação a x no intervalo [a,b] é:
f (b) − f (a) ∆y
tvm = = ou
b−a ∆x
f ( x + ∆x) − f ( x) ∆y
tvm = =
∆x ∆x
6. Problemas de Taxa de variação
Exemplo: 1. Seja a função f(t) = t2 + 5, onde t é o tempo (s) e
f(t) é o deslocamento de um ponto móvel no tempo t (m).
Determine o taxa de variação média do deslocamento em t ∈
[2,5]?
∆f f (5) − f (2) 30 − 9 21
= = = = 7m / s
∆t 5−2 3 3
Ou seja, a tvm do deslocamento de um ponto em relação ao
tempo é a velocidade média do ponto no intervalo calculado.
v média = 7 m/s
7. Problemas de Taxa de variação
Exemplo: 2. A velocidade (m/s) de um móvel em relação ao
tempo (s) é dado por v(t) = 14 + 3t. Determine a taxa média da
variação de velocidade em relação ao tempo para t ∈ [1.3].
∆v v(3) − v(1) 23 − 17 6
= = = = 3m / s 2
∆t 3 −1 2 2
Ou seja, a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo
é a aceleração média no intervalo calculado.
amédia = 3m/s2
(b) Instantânea: Obtemos a taxa instantânea para um valor x
se ∆x 0, ou seja, aplicando o limite quando ∆x 0.
∆y f ( x + ∆x ) − f ( x )
lim = lim = f ' ( x)
∆x →0 ∆x ∆x →0 ∆x
8. Problemas de Taxa de variação
A taxa de variação instantânea de f em relação a x0 é dado por :
f ’(x0)
Exemplo: Se um objeto é solto em queda de uma altura de 100
pés e se a resistência do ar pode ser desprezada, a altura h do
objeto no instante t (s) é dado por h(t) = − 16t2 + 100.
Determine a taxa de variação de h no instante t = 1s, ou seja, a
velocidade instantânea do objeto quando t = 1s.
h’(t) = − 32t
h’(1) = − 32 pés/s.
Neste caso a velocidade é negativa, pois o móvel está se
deslocando para baixo.
9. Problemas de Taxa de variação
As aplicações das taxas de variação não são exclusividade do
campo da física. É possível obter uma taxa de variação
instantânea (ou média) desde que se tenha a expressão que
determine o que se quer investigar.
Exemplo: Os economistas se referem a lucro marginal, receita
marginal e custo marginal como taxas de variação do lucro,
receita e custo em relação ao número x de unidades
produzidas ou vendidas.
dP
P é lucro : lucro marginal
dx
dR
R é receita: receita marginal
dx
C é custo: dC custo marginal
dx
10. Problemas de Taxa de variação
Exemplo: O lucro resultante da venda de x unidades de um
artigo é dado por: P(x) = 0,0002x3 + 10x.
(b)Ache o lucro marginal para um nível de produção de 50
unidades.
(c)Comparar com o aumento do lucro decorrente do aumento
de produção de 50 para 51 unidades.
dP
(a) = 0,0006 x ² +10
dx
dP
= 0,0006( 50 ) ² +10 = 11,50
dx
$11,50 por unidade
11. Problemas de Taxa de variação
(b) Para x = 50 o lucro efetivo é P(50) = 0,0002(50)3+10.50=525
Para x = 51 o lucro efetivo é P(51) = 0,0002(51)3 + 10.51= 536,53
Note que o aumento efetivo de lucro de $11,53 (quando x
aumenta de 50 para 51 unidades) pode ser aproximado pelo
lucro marginal de $11,50 por unidade (quando x = 50).
Exemplo: Suponha que, em certo mercado, x milhares de
caixas de laranja sejam fornecidos diariamente sendo p o
preço por caixa e a equação da oferta:
px – 20p – 3x + 105 = 0
Se o fornecimento diário estiver decrescendo a uma taxa de
250 caixas por dia, com que taxa os preços estarão variando
quando o fornecimento diário for de 5.000 caixas?
12. Problemas de Taxa de variação
x – fornecimento de caixas (milhares) por dia;
p – preço por caixa;
t – dias;
dx = − 250 = − 1 - variação de caixas fornecidas por dia;
dt 1000 4
dP
dt - variação do preço por dia;
x= 5 (mil)
Se x = 5, então p.5 – 20.5 – 3x + 105 = 0 logo p = 6.
Calculando a derivada (implícita) da função oferta:
dP dx dP dx
x +P − 20 −3 =0
dt dt dt dt
dP 1 dP 1
5
Substituindo as informações: dt + 6. − − 20 −3− = 0
4 dt 4
13. Problemas de Taxa de variação
dP 1 dP 3 dP 1
−15 = ⋅3 ⇒ = ⇒ =−
dt 4 dt 4( −15) dt 20
Assim o preço de uma caixa de laranja estará decrescendo a uma
taxa $0,005 por dia, quando o fornecimento diário for de 5.000
caixas.
Exercícios:
1- No instante t=0, um mergulhador salta de um trampolim a 32 pés
de altura. Sua função posição é h = − 16t2 + 16t + 32, onde t é tempo
(s) e h é altura (pés). (a) Em que instante o mergulhador atinge a
água? (b) Qual a velocidade do mergulhador no momento do
impacto?
2-A lei de Boyle para a expansão de um gás é PV = C onde P é
pressão (kg/m2), V é volume (m3) e C é uma constante. Num certo
instante, a pressão é de 150 kg/m2, o volume é de 1,5m3 e está
crescendo a uma taxa de 1m3/min. Ache a taxa de variação da
