Tailieu.vncty.com boi-duong-tu-duy-sang-tao-qua-giai-bt-hinh-hoc

Lêi c¶m ¬n
Trong thêi gian qua, ngoµi sù nç lùc cña b¶n th©n, ®Ò tµi luËn v¨n ®îc hoµn
thµnh víi sù híng dÉn tËn t×nh, chu ®¸o cña T.S NguyÔn §inh Hïng.
LuËn v¨n cßn cã sù gióp ®ì vÒ tµi liÖu vµ nh÷ng ý kiÕn gãp ý cña çc thÇy c«
gi¸o thuéc chuyªn ngµnh Lý luËn vµ Ph¬ng ph¸p gi¶ng d¹y bé m«n To¸n.
Xin tr©n träng göi tíi çc thÇy c« gi¸o lêi biÕt ¬n ch©n thµnh vµ s©u s¾c cña t¸c
gi¶.
T¸c gi¶ còng xin c¶m ¬n çc thÇy c« gi¸o trong Ban gi¸m hiÖu, tæ To¸n trêng
Nghi Léc 1 ® t¹o ®iÒu kiÖn trong qu¸ tr×nh t¸c gi¶ thùc hiÖn ®Ò tµi.·
Gia ®×nh, b¹n bÌ, ®ång nghiÖp lu«n lµ nguån cæ vò ®éng viªn ®Ó t¸c gi¶ thªm
nghÞ lùc hoµn thµnh LuËn v¨n nµy.
Tuy ® cã nhiÒu cè g¾ng, tuy nhiªn LuËn v¨n nµy ch¾c ch¾n kh«ng tr¸nh khái·
nh÷ng thiÕu sãt cÇn ®îc gãp ý, söa ch÷a. T¸c gi¶ rÊt mong nhËn ®îc nh÷ng ý kiÕn
®ãng gãp cña çc thÇy c« gi¸o vµ b¹n ®äc.
Vinh, th¸ng 11 n¨m 2007
T¸c gi¶

www.vnmath.com
Môc lôc
Trang
Më ®Çu 1
Ch¬ng 1. C¬ së lý luËn vµ thùc tiÔn 5
1.1. T duy 6
1.2. T duy s¸ng t¹o 6
1.3. Mét sè yÕu tè ®Æc trng cña t duy s¸ng t¹o 9
1.4. VËn dông t duy biÖn chøng ®Ó ph¸t triÓn t duy s¸ng t¹o
cho HS.
14
1.5. TiÒm n¨ng cña h×nh häc trong viÖc båi dìng t duy s¸ng
t¹o cho häc sinh
19
1.6. KÕt luËn ch¬ng 1 21
Ch¬ng 2. Mét sè vÊn ®Ò d¹y häc gi¶i bµi tËp h×nh häc
theo ®Þnh híng båi dìng t duy s¸ng t¹o cho häc sinh
22
2.1. VÊn ®Ò 1: RÌn luyÖn t duy s¸ng t¹o qua bµi to¸n dùng
h×nh
22
2.2. VÊn ®Ò 2: KhuyÕn khÝch häc sinh t×m ra nhiÒu c¸ch
gi¶i cho mét bµi to¸n h×nh häc kh«ng gian
54
2.3. VÊn ®Ò 3: X©y dùng hÖ thèng bµi to¸n gèc gióp häc
sinh quy l¹ vÒ quen
69
2.4. VÊn ®Ò 4: ChuyÓn viÖc t×m tßi lêi gi¶i bµi to¸n h×nh
häc kh«ng gian vÒ bµi to¸n h×nh häc ph¼ng
78
2.5. KÕt luËn ch¬ng 2 85
Ch¬ng 3. Thùc nghiÖm s ph¹m 86
3.1. Môc ®Ých thùc nghiÖm 86
3.2. Néi dung thùc nghiÖm 86
3.3. Tæ chøc thùc nghiÖm 86
3.4. KÕt luËn chung vÒ thùc nghiÖm 89
kÕt luËn 91
tµi liÖu tham kh¶o 92
www.vnmath.com
2

www.vnmath.com
Më ®Çu
1. Lý do chän ®Ò tµi
ThÕ giíi ngµy nay ®ang thay ®æi theo mét tèc ®é luü thõa,
nh»m ®¸p øng ®îc nh÷ng thay ®æi nhanh chãng ®ã trong khoa häc,
c«ng nghÖ, truyÒn th«ng. Chóng ta kh«ng nh÷ng dùa trªn çc gi¶i ph¸p
cña qu¸ khø, mµ cßn ph¶i tin tëng vµo nh÷ng qu¸ tr×nh gi¶i quyÕt çc
vÊn ®Ò míi.
§iÒu nµy kh«ng chØ hµm ý nãi ®Õn nh÷ng kü thuËt míi mµ cßn
nãi ®Õn môc tiªu gi¸o dôc. Môc tiªu cña gi¸o dôc ph¶i lµ ph¸t triÓn mét
x· héi trong ®ã con ngêi cã thÓ sèng tho¶i m¸i víi sù thay ®æi h¬n lµ
sù x¬ cøng. V× thÕ b¾t buéc b¶n th©n çc nhµ gi¸o dôc ph¶i võa gi÷
g×n, lu truyÒn tri thøc vµ çc gi¸ trÞ cña qu¸ khø võa chuÈn bÞ cho
mét t¬ng lai mµ ta cha biÕt râ.
To¸n häc cã liªn quan chÆt chÏ víi thùc tÕ vµ cã øng dông réng
r·i trong nhiÒu lÜnh vùc kh¸c nhau cña khoa häc, c«ng nghÖ, s¶n xuÊt
vµ ®êi sèng x· héi hiÖn ®¹i, nã thóc ®Èy m¹nh mÏ çc qu¸ tr×nh tù
®éng ho¸ s¶n xuÊt, trë thµnh c«ng cô thiÕt yÕu cho mäi ngµnh khoa
häc vµ ®îc coi lµ ch×a kho¸ cña sù ph¸t triÓn.
XuÊt ph¸t tõ nh÷ng yªu cÇu x· héi ®èi víi sù ph¸t triÓn nh©n çch
cña thÕ hÖ trÎ, tõ nh÷ng ®Æc ®iÓm cña néi dung míi vµ tõ b¶n chÊt
cña qu¸ tr×nh häc tËp buéc chóng ta ph¶i ®æi míi ph¬ng ph¸p d¹y häc
theo híng båi dìng t duy s¸ng t¹o cho häc sinh.
ViÖc häc tËp tù gi¸c tÝch cùc, chñ ®éng vµ s¸ng t¹o ®ßi hái häc
sinh ph¶i cã ý thøc vÒ nh÷ng môc tiªu ®Æt ra vµ t¹o ®îc ®éng lùc
trong thóc ®Èy b¶n th©n hä t duy ®Ó ®¹t ®îc môc tiªu ®ã.
Trong viÖc rÌn luyÖn t duy s¸ng t¹o cho häc sinh ë trêng phæ
th«ng, m«n To¸n ®ãng vai trß rÊt quan träng. Bëi v×, To¸n häc cã mét
www.vnmath.com
3

www.vnmath.com
vai trß to lín trong sù ph¸t triÓn cña çc ngµnh khoa häc vµ kü thuËt;
To¸n häc cã liªn quan chÆt chÏ vµ cã øng dông réng r·i trong rÊt nhiÒu
lÜnh vùc kh¸c nhau cña khoa häc, c«ng nghÖ, s¶n xuÊt vµ ®êi sèng x·
héi hiÖn ®¹i; To¸n häc cßn lµ mét c«ng cô ®Ó häc tËp vµ nghiªn cøu
çc m«n häc kh¸c.
VÊn ®Ò båi dìng t duy s¸ng t¹o cho häc sinh ®· ®îc nhiÒu t¸c gi¶
trong vµ ngoµi níc quan t©m nghiªn cøu. Víi t¸c phÈm "S¸ng t¹o to¸n
häc" næi tiÕng, nhµ to¸n häc kiªm t©m lý häc G.Polya ®· nghiªn cøu
b¶n chÊt cña qu¸ tr×nh gi¶i to¸n, qu¸ tr×nh s¸ng t¹o to¸n häc. §ång thêi
trong t¸c phÈm "T©m lý n¨ng lùc to¸n häc cña häc sinh", Krutecxiki ®·
nghiªn cøu cÊu tróc n¨ng lùc to¸n häc cña häc sinh. ë níc ta, çc t¸c gi¶
Hoµng Chóng, NguyÔn C¶nh Toµn, Ph¹m V¨n Hoµn, NguyÔn B¸ Kim,
Vò D¬ng Thôy, T«n Th©n, Ph¹m Gia §øc,… ®· cã nhiÒu c«ng tr×nh
gi¶i quyÕt nh÷ng vÊn ®Ò vÒ lý luËn vµ thùc tiÔn viÖc ph¸t triÓn t duy
s¸ng t¹o cho häc sinh. Hay nh luËn v¨n Th¹c sÜ cña Tõ H÷u S¬n - §¹i
häc Vinh n¨m 2004 víi tiªu ®Ò: "Gãp phÇn båi dìng mét sè yÕu tè
®Æc trng cña t duy s¸ng t¹o lý thuyÕt ®å thÞ". Ph¹m Xu©n Chung n¨m
2001: "Khai th¸c s¸ch gi¸o khoa h×nh häc 10 THPT hiÖn hµnh qua mét
sè d¹ng bµi tËp ®iÓn h×nh nh»m ph¸t triÓn n¨ng lùc t duy s¸ng t¹o cho
häc sinh". T¸c gi¶ Bïi ThÞ Hµ - §¹i häc Vinh n¨m 2003, trong luËn v¨n
cña m×nh víi ®Ò tµi: "Ph¸t triÓn t duy s¸ng t¹o cho häc sinh phæ th«ng
qua d¹y häc bµi tËp nguyªn hµm, tÝch ph©n".
Nh vËy, viÖc båi dìng vµ ph¸t triÓn t duy s¸ng t¹o trong ho¹t ®éng
d¹y häc to¸n ®îc rÊt nhiÒu nhµ nghiªn cøu quan t©m. Tuy nhiªn, viÖc
båi dìng t duy s¸ng t¹o th«ng qua d¹y gi¶i çc bµi tËp h×nh häc ë trêng
THPT th× çc t¸c gi¶ cha khai th¸c vµ ®i s©u vµo nghiªn cøu cô thÓ.
V× vËy, t«i chän ®Ò tµi nghiªn cøu cña luËn v¨n nµy lµ: "Båi dìng t
duy s¸ng t¹o cho häc sinh trung häc phæ th«ng qua d¹y häc gi¶i bµi tËp
h×nh häc".
www.vnmath.com
4

www.vnmath.com
2. Môc ®Ých nghiªn cøu
Môc ®Ých cña luËn v¨n nµy lµ nghiªn cøu vµ ®Ò xuÊt mét sè
vÊn ®Ò nh»m gãp phÇn rÌn luyÖn yÕu tè t duy s¸ng t¹o cho häc sinh
qua d¹y häc gi¶i bµi tËp h×nh häc.
www.vnmath.com
5

www.vnmath.com
3. Gi¶ thuyÕt khoa häc
NÕu d¹y häc h×nh häc theo ®Þnh híng båi dìng t duy s¸ng t¹o
cho häc sinh th× cã thÓ gãp phÇn ®æi míi ph¬ng ph¸p d¹y häc trong
giai ®o¹n hiÖn nay vµ n©ng cao chÊt lîng d¹y häc to¸n ë trêng phæ
th«ng trung häc.
4. NhiÖm vô nghiªn cøu
4.1- Lµm s¸ng tá kh¸i niÖm t duy, t duy s¸ng t¹o.
4.2- X¸c ®Þnh çc vÊn ®Ò ®· ®Ò xuÊt nh»m rÌn luyÖn n¨ng lùc
t duy s¸ng t¹o cho häc sinh.
4.3- X©y dùng vµ khai th¸c hÖ thèng bµi tËp h×nh häc phï hîp víi
sù ph¸t triÓn t duy s¸ng t¹o cho häc sinh.
4.4- TiÕn hµnh thùc nghiÖm s ph¹m nh»m ®¸nh gi¸ tÝnh kh¶ thi,
tÝnh hiÖn thùc, tÝnh hiÖu qu¶ cña ®Ò tµi.
5. Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu
5.1- Nghiªn cøu lý luËn
- Nghiªn cøu çc tµi liÖu vÒ gi¸o dôc häc m«n to¸n, t©m lý häc, lý
luËn d¹y häc m«n to¸n.
- Çc s¸ch b¸o, çc bµi viÕt vÒ khoa häc to¸n phôc vô cho ®Ò tµi.
- Çc c«ng tr×nh nghiªn cøu cã çc vÊn ®Ò liªn quan trùc tiÕp
®Õn ®Ò tµi.
5.2. Quan s¸t
- Dù giê, quan s¸t viÖc d¹y häc cña gi¸o viªn vµ viÖc häc cña häc
sinh trong qu¸ tr×nh khai th¸c çc bµi tËp s¸ch gi¸o khoa.
5.3. Thùc nghiÖm s ph¹m
TiÕn hµnh thùc nghiÖm s ph¹m víi líp häc thùc nghiÖm vµ líp
häc ®èi chøng trªn cïng mét líp ®èi tîng.
www.vnmath.com
6

www.vnmath.com
6. CÊu tróc luËn v¨n
A. PhÇn më ®Çu
- Lý do chän ®Ò tµi
- Môc ®Ých nghiªn cøu
- NhiÖm vô nghiªn cøu
- Gi¶ thiÕt khoa häc
- Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu
B. PhÇn néi dung
Ch¬ng 1. C¬ së lý luËn vµ thùc tiÔn
1.1. T duy
1.2. T duy s¸ng t¹o
1.3. Mét sè yÕu tè ®Æc trng cña t duy s¸ng t¹o
1.4. VËn dông t duy biÖn chøng ®Ó ph¸t triÓn t duy s¸ng t¹o cho
HS.
1.5. TiÒm n¨ng cña chñ ®Ò h×nh häc trong viÖc båi dìng t duy
s¸ng t¹o cho häc sinh.
1.6. KÕt luËn ch¬ng 1
Ch¬ng 2. Mét sè vÊn ®Ò d¹y häc gi¶i bµi tËp h×nh häc theo
®Þnh híng båi dìng t duy s¸ng t¹o cho häc sinh
2.1. VÊn ®Ò 1: RÌn luyÖn t duy s¸ng t¹o qua bµi to¸n dùng h×nh
2.2. VÊn ®Ò 2: KhuyÕn khÝch häc sinh t×m ra nhiÒu c¸ch gi¶i
trong mét bµi to¸n.
2.3. VÊn ®Ò 3: X©y dùng hÖ thèng bµi to¸n gèc gióp häc sinh quy l¹
vÒ quen.
2.4. VÊn ®Ò 4: ChuyÓn viÖc t×m tßi lêi gi¶i bµi to¸n h×nh häc
kh«ng gian vÒ bµi to¸n h×nh häc ph¼ng.
Ch¬ng 3. Thùc nghiÖm s ph¹m
3.1. Môc ®Ých thùc nghiÖm
www.vnmath.com
7

www.vnmath.com
3.2. Néi dung thùc nghiÖm
3.2.1. Líp thùc nghiÖm
3.2.2. TiÕn tr×nh thùc nghiÖm
3.3. KÕt qu¶ thùc nghiÖm
3.3.1. §¸nh gi¸ ho¹t ®éng häc tËp cña häc sinh ë líp häc
3.3.2. KÕt luËn vÒ thùc nghiÖm s ph¹m.
Ch¬ng 1
C¬ së lý luËn vµ thùc tiÔn
1.1. T duy
HiÖn thùc xung quanh cã nhiÒu çi mµ con ngêi cha biÕt.
NhiÖm vô cña cuéc sèng vµ ho¹t ®éng thùc tiÔn lu«n ®ßi hái con ngêi
ph¶i hiÓu biÕt çi cha biÕt ®ã ngµy mét s©u s¾c, ®óng ®¾n vµ
chÝnh x¸c h¬n, ph¶i v¹ch ra nh÷ng çi b¶n chÊt vµ nh÷ng quy luËt t¸c
®éng cña chóng. Qu¸ tr×nh nhËn thøc ®ã gäi lµ t duy.
T duy lµ mét qu¸ tr×nh t©m lý ph¶n ¸nh nh÷ng thuéc tÝnh, b¶n
chÊt mèi liªn hÖ vµ quan hÖ bªn trong cã tÝnh quy luËt cña sù vËt
hiÖn tîng trong hiÖn thùc kh¸ch quan mµ tríc ®ã ta cha biÕt (theo t©m
lý häc ®¹i c¬ng - NguyÔn Quang CÈn)
Theo tõ ®iÓn triÕt häc: "T duy, s¶n phÈm cao nhÊt cña vËt chÊt
®îc tæ chøc mét çch ®Æc biÖt lµ bé n·o, lµ qu¸ tr×nh ph¶n ¸nh tÝch
cùc thÕ giíi kh¸ch quan trong çc kh¸i niÖm, ph¸n ®o¸n, lý luËn. T duy
xuÊt hiÖn trong qu¸ tr×nh ho¹t ®éng s¶n xuÊt x· héi cña con ngêi vµ
®¶m b¶o ph¶n ¸nh thùc t¹i mét çch gi¸n tiÕp, ph¸t hiÖn nh÷ng mèi liªn
hÖ hîp quy luËt. T duy chØ tån t¹i trong mèi liªn hÖ kh«ng thÓ t¸ch rêi
khái ho¹t ®éng lao ®éng vµ lêi nãi, lµ ho¹t ®éng chØ tiªu biÓu cho x·
héi loµi ngêi cho nªn t duy cña con ngêi ®îc thùc hiÖn trong mèi liªn
hÖ chÆt chÏ víi lêi nãi vµ nh÷ng kÕt qu¶ cña t duy ®îc ghi nhËn trong
www.vnmath.com
8

www.vnmath.com
ng«n ng÷. Tiªu biÓu cho t duy lµ nh÷ng qu¸ tr×nh nh trõu tîng ho¸,
ph©n tÝch vµ tæng hîp, viÖc nªu lªn lµ nh÷ng vÊn ®Ò nhÊt ®Þnh vµ
t×m çch gi¶i quyÕt chung, viÖc ®Ò xuÊt nh÷ng gi¶ thiÕt, nh÷ng ý
niÖm. KÕt qu¶ cña qu¸ tr×nh t duy bao giê còng lµ mét ý nghÜ nµo
®ã".
Tõ ®ã ta cã thÓ rót ta nh÷ng ®Æc ®iÓm c¬ b¶n cña t duy.
- T duy lµ s¶n phÈm cña bé n·o con ngêi vµ lµ mét qu¸ tr×nh
ph¶n ¸nh tÝch cùc thÕ giíi kh¸ch quan.
- KÕt qu¶ cña qu¸ tr×nh t duy bao giê còng lµ mét ý nghÜ vµ ®îc
thÓ hiÖn qua ng«n ng÷.
- B¶n chÊt cña t duy lµ ë sù ph©n biÖt, sù tån t¹i ®éc lËp cña
®èi tîng ®îc ph¶n ¸nh víi h×nh ¶nh nhËn thøc ®îc qua kh¶ n¨ng ho¹t
®éng cña con ngêi nh»m ph¶n ¸nh ®èi tîng.
- T duy lµ qu¸ tr×nh ph¸t triÓn n¨ng ®éng vµ s¸ng t¹o.
- Kh¸ch thÓ trong t duy ®îc ph¶n ¸nh víi nhiÒu møc ®é kh¸c nhau
tõ thuéc tÝnh nµy ®Õn thuéc tÝnh kh¸c, nã phô thuéc vµo chñ thÓ lµ
con ngêi.
1.2. T duy s¸ng t¹o
Theo ®Þnh nghÜa trong tõ ®iÓn th× s¸ng t¹o lµ t×m ra çi míi,
çch gi¶i quyÕt vÊn ®Ò míi kh«ng bÞ gß bã vµ phô thuéc vµo çi ®·
cã. Néi dung cña s¸ng t¹o gåm hai ý chÝnh cã tÝnh míi (kh¸c çi cò, çi
®· biÕt) vµ cã lîi Ých (gi¸ trÞ h¬n çi cò). Nh vËy sù s¸ng t¹o cÇn thiÕt
cho bÊt kú ho¹t ®éng nµo cña x· héi loµi ngêi. S¸ng t¹o thêng ®îc
nghiªn cøu trªn nhiÒu ph¬ng diÖn nh lµ mét qu¸ tr×nh ph¸t sinh çi míi
trªn nÒn t¶ng çi cò, nh mét kiÓu t duy, nh lµ mét n¨ng lùc cña con ng-
êi.
www.vnmath.com
9

www.vnmath.com
Çc nhµ nghiªn cøu ®a ra nhiÒu quan ®iÓm kh¸c nhau vÒ t duy
s¸ng t¹o. Theo NguyÔn B¸ Kim: "TÝnh linh ho¹t, tÝnh déc lËp vµ tÝnh
phª ph¸n lµ nh÷ng ®iÒu kiÖn cÇn thiÕt cña t duy s¸ng t¹o, lµ nh÷ng
®Æc ®iÓm vÒ nh÷ng mÆt kh¸c nhau cña t duy s¸ng t¹o. TÝnh s¸ng t¹o
cña t duy thÓ hiÖn râ nÐt ë kh¶ n¨ng t¹o ra çi míi, ph¸t hiÖn vÊn ®Ò
míi, t×m ra híng ®i míi, t¹o ra kÕt qu¶ míi. NhÊn m¹nh çi míi kh«ng cã
nghÜa lµ coi nhÑ çi cò" (NguyÔn B¸ Kim - Ph¬ng ph¸p d¹y häc bé
m«n To¸n)
Theo T«n Th©n quan niÖm: "T duy s¸ng t¹o lµ mét d¹ng t duy
®éc lËp t¹o ra ý tëng míi, ®éc ®¸o, vµ cã hiÖu qu¶ gi¶i quyÕt vÊn ®Ò
cao". Vµ theo t¸c gi¶ "T duy s¸ng t¹o lµ t duy ®éc lËp vµ nã kh«ng bÞ
gß bã phô thuéc vµo çi ®· cã. TÝnh ®éc lËp cña nã béc lé võa trong
viÖc ®Æt môc ®Ých võa trong viÖc t×m gi¶i ph¸p. Mçi s¶n phÈm cña
t duy s¸ng t¹o ®Òu mang rÊt ®Ëm dÊu Ên cña mçi ç nh©n ®· t¹o ra
nã. (T«n Th©n - X©y dùng hÖ thèng c©u hái vµ bµi tËp nh»m båi dìng
mét sè yÕu tè cña t duy s¸ng t¹o cho häc sinh kh¸ vµ giái To¸n ë trêng
THCS ViÖt Nam, luËn ¸n phã TiÕn sü khoa häc s ph¹m - T©m lý, ViÖn
khoa häc gi¸o dôc Hµ Néi)
Nhµ t©m lý häc ngêi §øc Mehlhow cho r»ng "T duy s¸ng t¹o lµ h¹t
nh©n cña sù s¸ng t¹o ç nh©n, ®ång thêi lµ môc tiªu c¬ b¶n cña gi¸o
dôc" Theo «ng, t duy s¸ng t¹o ®îc ®Æc trng bëi møc ®é cao cña chÊt
lîng, ho¹t ®éng trÝ tuÖ nh tÝnh mÒm dÎo, tÝnh nh¹y c¶m, tÝnh kÕ
ho¹ch, tÝnh chÝnh x¸c. Trong khi ®ã, J.DanTon l¹i cho r»ng "T duy
s¸ng t¹o ®ã lµ nh÷ng n¨ng lùc t×m thÊy nh÷ng ý nghÜa míi, t×m thÊy
nh÷ng mèi quan hÖ, lµ mét chøc n¨ng cña kiÕn thøc, trÝ tëng tîng vµ
sù ®¸nh gi¸, lµ mét qu¸ tr×nh, mét çch d¹y vµ häc bao gåm nh÷ng
chuçi phiªu lu, chøa ®ùng nh÷ng ®iÒu nh: sù kh¸m ph¸, sù ph¸t sinh,
sù ®æi míi, trÝ tëng tîng, sù thÝ nghiÖm, sù th¸m hiÓm".
www.vnmath.com
10

www.vnmath.com
Trong cuèn: "S¸ng t¹o To¸n häc", G.Polya cho r»ng: "Mét t duy
gäi lµ cã hiÖu qu¶ nÕu t duy ®ã dÉn ®Õn lêi gi¶i mét bµi to¸n cô thÓ
nµo ®ã. Cã thÓ coi lµ s¸ng t¹o nÕu t duy ®ã t¹o ra nh÷ng t liÖu, ph¬ng
tiÖn gi¶i çc bµi to¸n sau nµy. Çc bµi to¸n vËn dông nh÷ng t liÖu ph-
¬ng tiÖn nµy cã sè lîng cµng lín, cã d¹ng mu«n mµu mu«n vÎ, th× møc
®é s¸ng t¹o cña t duy cµng cao, thÝ dô: lóc nh÷ng cè g¾ng cña ngêi
gi¶i v¹ch ra ®îc çc ph¬ng thøc gi¶i ¸p dông cho nh÷ng bµi to¸n kh¸c.
ViÖc lµm cña ngêi gi¶i cã thÓ lµ s¸ng t¹o mét çch gi¸n tiÕp, ch¼ng h¹n
lóc ta ®Ó l¹i mét bµi to¸n tuy kh«ng gi¶i ®îc nhng tèt v× ®· gîi ra cho
ngêi kh¸c nh÷ng suy nghÜ cã hiÖu qu¶".
T¸c gi¶ TrÇn Thóc Tr×nh ®· cô thÓ hãa sù s¸ng t¹o víi ngêi häc
To¸n: "§èi víi ngêi häc To¸n, cã thÓ quan niÖm sù s¸ng t¹o ®èi víi hä, nÕu
hä ®¬ng ®Çu víi nh÷ng vÊn ®Ò ®ã, ®Ó tù m×nh thu nhËn ®îc çi míi mµ
hä cha tõng biÕt. Nh vËy, mét bµi tËp còng ®îc xem nh lµ mang yÕu tè
s¸ng t¹o nÕu çc thao t¸c gi¶i nã kh«ng bÞ nh÷ng mÖnh lÖnh nµo ®ã chi
phèi (tõng phÇn hay hoµn toµn), tøc lµ nÕu ngêi gi¶i cha biÕt tríc thuËt
to¸n ®Ó gi¶i vµ ph¶i tiÕn hµnh t×m hiÓu nh÷ng bíc ®i cha biÕt tríc. Nhµ
trêng phæ th«ng cã thÓ chuÈn bÞ cho häc sinh s½n sµng ho¹t ®éng s¸ng
t¹o theo néi dung võa tr×nh bµy.
Theo ®Þnh nghÜa th«ng thêng vµ phæ biÕn nhÊt cña t duy s¸ng
t¹o th× ®ã lµ t duy s¸ng t¹o ra çi míi. ThËt vËy, t duy s¸ng t¹o dÉn ®Õn
nh÷ng tri thøc míi vÒ thÕ giíi vÒ çc ph¬ng thøc ho¹t ®éng. Lene ®·
chØ ra çc thuéc tÝnh sau ®©y cña t duy s¸ng t¹o:
- Cã sù tù lùc chuyÓn çc tri thøc vµ kü n¨ng sang mét t×nh huèng
s¸ng t¹o.
- Nh×n thÊy nh÷ng vÊn ®Ò míi trong ®iÒu kiÖn quen biÕt "®óng
quy çch"
- Nh×n thÊy chøc n¨ng míi cña ®èi tîng quen biÕt.
www.vnmath.com
11

www.vnmath.com
- Nh×n thÊy cÊu t¹o cña ®èi tîng ®ang nghiªn cøu.
- Kü n¨ng nh×n thÊy nhiÒu lêi gi¶i, nhiÒu çch nh×n ®èi víi viÖc
t×m hiÓu lêi gi¶i (kh¶ n¨ng xem xÐt ®èi tîng ë nh÷ng ph¬ng thøc ®·
biÕt thµnh mét ph¬ng thøc míi).
- Kü n¨ng s¸ng t¹o mét ph¬ng ph¸p gi¶i ®éc ®¸o tuy ®· biÕt nhng
ph¬ng thøc kh¸c (Lene - d¹y häc nªn vÊn ®Ò - NXBGD - 1977)
T duy s¸ng t¹o lµ t duy tÝch cùc vµ t duy ®éc lËp nhng kh«ng
ph¶i trong t duy tÝch cùc ®Òu lµ t duy ®éc lËp vµ kh«ng ph¶i trong t
duy ®éc lËp ®Òu lµ t duy s¸ng t¹o vµ cã thÓ biÓu hiÖn mèi quan hÖ
gi÷a çc kh¸i niÖm díi d¹ng vßng trong ®ång t©m
T duy tÝch cùc
T duy ®éc lËp
T duy s¸ng t¹o
Cã thÓ nãi ®Õn t duy s¸ng t¹o khi häc sinh tù kh¸m ph¸, tù t×m çch
chøng minh mµ häc sinh ®ã cha biÕt ®Õn. B¾t ®Çu tõ t×nh huèng gîi
vÊn ®Ò, t duy s¸ng t¹o gi¶i quyÕt m©u thuÉn tån t¹o trong t×nh huèng ®ã
víi hiÖu qu¶ cao, thÓ hiÖn ë tÝnh hîp lý, tiÕt kiÖm, tÝnh kh¶ thi vµ c¶ ë vÎ
®Ñp cña gi¶i ph¸p.
Nãi chung t duy s¸ng t¹o lµ mét d¹ng t duy ®éc lËp, t¹o ra ý tëng
míi ®éc ®¸o vµ cã hiÖu qu¶ gi¶i quyÕt vÊn ®Ò cao.
1.3. Mét sè yÕu tè ®Æc trng cña t duy s¸ng t¹o
www.vnmath.com
12

www.vnmath.com
Theo nghiªn cøu cña çc nhµ t©m lý häc, gi¸o dôc häc, … vÒ
cÊu tróc cña t duy s¸ng t¹o, cã n¨m ®Æc trng c¬ b¶n sau:
- TÝnh mÒm dÎo
- TÝnh nhuÇn nhuyÔn
- TÝnh ®éc ®¸o
- TÝnh hoµn thiÖn
- TÝnh nh¹y c¶m vÊn ®Ò
1.3.1. TÝnh mÒm dÎo
TÝnh mÒm dÎo cña t duy lµ n¨ng lùc dÔ dµng ®i tõ ho¹t ®éng trÝ
tuÖ nµy sang ho¹t ®éng trÝ tuÖ kh¸c, tõ thao t¸c t duy nµy sang thao
t¸c t duy kh¸c, vËn dông linh ho¹t çc ho¹t ®éng ph©n tÝch, tæng hîp,
so s¸nh, trõu tîng ho¸, kh¸i qu¸t hãa, cô thÓ ho¸ vµ çc ph¬ng ph¸p suy
luËn nh quy n¹p, suy diÔn, t¬ng tù, dÔ dµng chuyÓn tõ gi¶i ph¸p nµy
sang gi¶i ph¸p kh¸c, ®iÒu chØnh kÞp thêi híng suy nghÜ khi gÆp trë
ng¹i.
TÝnh mÒm dÎo cña t duy cßn lµ n¨ng lùc thay ®æi dÔ dµng,
nhanh chãng trËt tù cña hÖ thèng tri thøc chuyÓn tõ gãc ®é quan
niÖm nµy sang gãc ®é quan niÖm kh¸c, ®Þnh nghÜa l¹i sù vËt, hiÖn
tîng, g¹t bá s¬ ®å t duy cã s½n vµ x©y dùng ph¬ng ph¸p t duy míi, t¹o
ra sù vËt míi trong nh÷ng quan hÖ míi, hoÆc chuyÓn ®æi quan hÖ vµ
nhËn ra b¶n chÊt sù vËt vµ ®iÒu ph¸n ®o¸n. Suy nghÜ kh«ng rËp
khu«n, kh«ng ¸p dông mét çch m¸y mãc çc kiÕn thøc kü n¨ng ®· cã
s½n vµo hoµn c¶nh míi, ®iÒu kiÖn míi, trong ®ã cã nh÷ng yÕu tè ®·
thay ®æi, cã kh¶ n¨ng tho¸t khái ¶nh hëng k×m h·m cña nh÷ng kinh
nghiÖm, nh÷ng ph¬ng ph¸p, nh÷ng çch suy nghÜ ®· cã tõ tríc. §ã lµ
nhËn ra vÊn ®Ò míi trong ®iÒu kiÖn quen thuéc, nh×n thÊy chøc
n¨ng míi cña ®èi tîng quen biÕt.
www.vnmath.com
13

www.vnmath.com
Nh vËy, tÝnh mÒm dÎo lµ mét trong nh÷ng ®Æc ®iÓm c¬ b¶n
cña t duy s¸ng t¹o, do ®ã ®Ó rÌn luyÖn t duy s¸ng t¹o cho häc sinh ta
cã thÓ cho çc em gi¶i çc bµi tËp mµ th«ng qua ®ã rÌn luyÖn ®îc
tÝnh mÒm dÎo cña t duy.
1.3.2. TÝnh nhuÇn nhuyÔn
TÝnh nhuÇn nhuyÔn cña t duy thÓ hiÖn ë n¨ng lùc t¹o ra mét
çch nhanh chãng sù tæ hîp gi÷a çc yÕu tè riªng lÎ cña çc h×nh
huèng, hoµn c¶nh, ®a ra gi¶ thuyÕt míi. Çc nhµ t©m lý häc rÊt coi
träng yÕu tè chÊt lîng cña ý tëng sinh ra, lÊy ®ã lµm tiªu chÝ ®Ó ®¸nh
gi¸ s¸ng t¹o.
TÝnh nhuÇn nhuyÔn ®îc ®Æc trng bëi kh¶ n¨ng t¹o ra mét sè l-
îng nhÊt ®Þnh çc ý tëng. Sè ý tëng nghÜ ra cµng nhiÒu th× cµng cã
nhiÒu kh¶ n¨ng xuÊt hiÖn ý tëng ®éc ®¸o, trong trêng hîp nµy sè lîng
lµm n¶y sinh ra chÊt lîng. TÝnh nhuÇn nhuyÔn cßn thÓ hiÖn râ nÐt ë
2 ®Æc trng sau:
- Mét lµ tÝnh ®a d¹ng cña çc çch xö lý khi gi¶i to¸n, kh¶ n¨ng
t×m ®îc nhiÒu gi¶i ph¸p trªn nhiÒu gãc ®é vµ t×nh huèng kh¸c nhau.
§øng tríc mét vÊn ®Ó ph¶i gi¶i quyÕt, ngêi cã t duy nhuÇn nhuyÔn
nhanh chãng t×m vµ ®Ò xuÊt ®îc nhiÒu ph¬ng ¸n kh¸c nhau vµ tõ ®ã
t×m ®îc ph¬ng ¸n tèi u.
VÝ dô : Cho tø diÖn OABC, trong ®ã OA, OB, OC ®«i mét vu«ng gãc
vµ OA = OB = OC = a. Gäi I lµ trung ®iÓm cña BC. H·y tÝnh kho¶ng
çch gi÷a hai ®êng th¼ng chÐo nhau AI, OC?
Çch 1: Xem kho¶ng çch gi÷a 2 ®êng th¼ng chÐo nhau AI vµ OC lµ
kho¶ng çch tõ 1 ®iÓm thuéc 1 ®êng th¼ng (ch¼ng h¹n O ∈ OC) ®Õn
mét mÆt ph¼ng song song ®êng th¼ng ®ã vµ chøa ®êng th¼ng cßn
l¹i mÆt ph¼ng (AIJ).
www.vnmath.com
14

www.vnmath.com
Qua I kÎ IJ // OC (J ∈ OB)
Gäi (P) lµ mÆt ph¼ng qua AI, IJ khi ®ã (P) // OC.
VËy d(AI, OC) = d(OC, (P)) = d(O, (P)).
KÎ OH ⊥ AJ (H ∈ AJ). V× IJ // OC nªn
IJ OB
IJ OA
⊥

⊥
⇒ IJ ⊥ OH.
Do ®ã OH ⊥ (AIJ) hay OH ⊥ (P)
Suy ra d (AI, OC) = d ((P), OC) = d ((P), O) = OH =
a
5
.
- Hai lµ kh¶ n¨ng xem xÐt ®èi tîng díi nhiÒu khÝa c¹nh kh¸c
nhau, cã mét çi nh×n sinh ®éng tõ nhiÒu phÝa ®èi víi sù vËt vµ hiÖn
tîng chø kh«ng ph¶i çi nh×n bÊt biÕn, phiÕn diÖn, cøng nh¾c.
Trë l¹i vÝ dô trªn ta cã:
Çch 2: Dùng ®êng vu«ng gãc chung cña AI vµ OC.
- Qua I kÎ ®êng th¼ng IJ // OC (J ∈ OB)
- Qua O kÎ ®êng th¼ng OH // AJ (H ∈ AJ)
- Qua H kÎ ®êng th¼ng HE // IJ (I ∈ AI)
- Qua E kÎ ®êng th¼ng EF // OH (F ∈ OC)
Khi ®ã EF lµ ®o¹n ⊥ gãc chung cña AI vµ OC.
ThËt vËy. V× IJ // OC nªn
IJ OB IJ (AOB)
IJ OA IJ OH (1)
⊥ ⇒ ⊥

⊥ ⇒ ⊥
V× OH ⊥ AJ (theo çch dùng) nªn theo (1) ta cã OH ⊥ (AIJ)
⇒ OH ⊥ AI mµ EF // OH nªn ⇒ EF ⊥ AI (2)
Ta l¹i cã: OC ⊥ (AOB) ⇒ OC ⊥ OH.
Do ®ã EF ⊥ OC (OH // EF) (3)
Tõ (2) vµ (3) ta cã ®iÒu ph¶i chøng minh.
www.vnmath.com
15
o
f
c
i
e
h
a
j
b

www.vnmath.com
Kho¶ng çch gi÷a ®êng th¼ng AI vµ OC lµ:
d(AI, OC) = EF = OH.
Trong ®ã:
22 2 2 2 2
1 1 1 1 1 5
OH OA OJ a aa
2
= + = + =
 
 ÷
 
⇒ OH =
a
5
. VËy d(AI, OC) =
a
5
.
Çch 3: XÐt kho¶ng çch gi÷a hai ®êng th¼ng AI vµ OC lµ kho¶ng
çch gi÷a hai mÆt ph¼ng lÇn lît chøa hai ®êng th¼ng AI, OC vµ song
song víi nhau.
Tõ I kÎ IJ // OC (J ∈ OB)
Gäi (P) lµ mp qua AI vµ IJ,
(Q) lµ mp qua DC vµ // (P)
Khi ®ã:
d(AC, AI) = d ((P) (Q)) = d (O, (P)) = OH =
a
5
.
Çch 4: Xem kho¶ng çch gi÷a 2 ®êng th¼ng AI vµ OC lµ chiÒu cao
h×nh chãp cã ®Ønh lµ mét ®iÓm n»m trªn mét ®êng th¼ng (ch¼ng
h¹n O ∈ OC) ®¸y n»m trªn mÆt ph¼ng // ®êng th¼ng ®ã vµ chøa ®-
êng th¼ng cßn l¹i (mp (AIJ)). H×nh chãp OAIJ
Ta cã d(OC, AI) =
OAIJ
AIJ
3V
S
Trong ®ã:
VOAIJ =
3
1 1 a a a
OJ.AJ . . .a
6 6 2 2 24
= =
SAIJ =
2
21 1 a a a 5
AJ.IJ a .
2 2 4 2 8
= + =
www.vnmath.com
16
c
o
j
i
b
h
a

www.vnmath.com
⇒ d(OC, AI) =
3
2
a 8 a
3 .
2a a 5 5
=
VËy d (OC, AI) =
a
5
.
Çch 5: Xem kho¶ng çch gi÷a hai ®êng th¼ng AI, OC lµ chiÒu cao
h×nh hép cã hai ®¸y chøa 2 ®êng th¼ng trªn.
Dùng h×nh hép AMNPOCDI
Gäi V lµ thÓ tÝch cña h×nh hép. Khi ®ã d (OC, AI) =
MNCO
V
S
Trong ®ã V = AO . SOCDI = 2AO . SOCI
⇔ V = 2 . a .
3
1 a a a
OI.IC a. .
2 212 2
= =
SMNCO = SAPDI = IA . ID . sin ( ·AID)
= IA . OC . sin ( ¶AIJ )
⇔ SMNCO = IA . OC .
AJ
AI
= OC . AJ
Trong ®ã OC = a
AJ =
2
2 a
a
4
+
⇒ SMNCO =
2
a 5 a 5
a. .
2 2
VËy d(OC, AI) =
3
2
a
a2
a 5 5
2
= .
1.3.3. TÝnh ®éc ®¸o
TÝnh ®éc ®¸o cña t duy ®îc ®Æc trng bëi çc kh¶ n¨ng.
- Kh¶ n¨ng t×m ra nh÷ng hiÖn tîng vµ nh÷ng kÕt hîp míi.
www.vnmath.com
17
m
a p
d
co
n
b
i

www.vnmath.com
- Kh¶ n¨ng nh×n ra nh÷ng mèi liªn hÖ trong nh÷ng sù kiÖn mµ
bªn ngoµi liªn tëng nh kh«ng cã liªn hÖ víi nhau.
- Kh¶ n¨ng t×m ra nh÷ng gi¶i ph¸p l¹ tuy ®· biÕt nh÷ng gi¶i ph¸p
kh¸c.
Çc yÕu tè c¬ b¶n trªn kh«ng t¸ch rêi nhau mµ tr¸i l¹i chóng cã
quan hÖ mËt thiÕt víi nhau, hç trî bæ sung cho nhau. Kh¶ n¨ng dÔ
dµng chuyÓn tõ ho¹t ®éng trÝ tuÖ nµy sang ho¹t ®éng trÝ tuÖ kh¸c
(tÝnh mÒm dÎo) t¹o ®iÒu kiÖn cho viÖc t×m ®îc nhiÒu gi¶i ph¸p trªn
nhiÒu gãc ®é vµ t×nh huèng kh¸c nhau (tÝnh nhuÇn nhuyÔn) vµ nhê
®ã ®Ò xuÊt ®îc nhiÒu ph¬ng ¸n kh¸c nhau mµ cã thÓ t×m ®îc gi¶i
ph¸p l¹, ®Æc s¾c (tÝnh ®éc ®¸o). Çc yÕu tè nµy cã quan hÖ kh¨ng
khÝt víi çc yÕu tè kh¸c nh: TÝnh chÝnh x¸c, tÝnh hoµn thiÖn, tÝnh
nh¹y c¶m vÊn ®Ò. TÊt c¶ çc yÕu tè ®Æc trng nãi trªn cïng gãp phÇn
t¹o nªn t duy s¸ng t¹o, ®Ønh cao nhÊt trong çc ho¹t ®éng trÝ tuÖ cña
con ngêi.
1.3.4. TÝnh hoµn thiÖn
TÝnh hoµn thiÖn lµ kh¶ n¨ng lËp kÕ ho¹ch, phèi hîp çc ý nghÜa
vµ hµnh ®éng, ph¸t triÓn ý tëng, kiÓm tra vµ kiÓm chøng ý tëng.
1.3.5. TÝnh nh¹y c¶m vÊn ®Ò
TÝnh nh¹y c¶m vÊn ®Ò cã çc ®Æc trng sau:
- Kh¶ n¨ng nhanh chãng ph¸t hiÖn vÊn ®Ò
- Kh¶ n¨ng ph¸t hiÖn ra m©u thuÉn, sai lÇm, thiÕu logic, cha tèi -
u tõ ®ã cã nhu cÇu cÊu tróc l¹i, t¹o ra çi míi.
Çc yÕu tè c¬ b¶n cña t duy s¸ng t¹o nªu trªn ®· biÓu hiÖn kh¸ râ
ë häc sinh nãi chung vµ ®Æc biÖt râ nÐt ®èi víi häc sinh kh¸ giái.
www.vnmath.com
18

www.vnmath.com
Trong häc tËp To¸n mµ cô thÓ lµ trong ho¹t ®éng gi¶i to¸n, çc em ®·
biÕt di chuyÓn, thay ®æi çc ho¹t ®éng trÝ tuÖ, biÕt sö dông xen kÏ
ph©n tÝch vµ tæng hîp, dïng ph©n tÝch trong khi t×m tßi lêi gi¶i vµ
dïng tæng hîp ®Ó tr×nh bµy lêi gi¶i. ë häc sinh kh¸ vµ giái còng cã sù
biÓu hiÖn çc yÕu tè ®Æc trng cña t duy s¸ng t¹o. §iÒu quan träng lµ
ngêi gi¸o viªn ph¶i cã ph¬ng ph¸p d¹y häc thÝch hîp ®Ó cã thÓ båi d-
ìng vµ ph¸t triÓn tèt h¬n n¨ng lùc s¸ng t¹o ë çc em.
1.4. VËn dông t duy biÖn chøng ®Ó ph¸t triÓn t duy s¸ng t¹o cho häc
sinh.
T duy biÖn chøng cã thÓ ph¶n ¸nh ®óng ®¾n thÕ giíi xung
quanh vµ nhiÖm vô cña ngêi thÇy gi¸o lµ rÌn luyÖn cho häc sinh n¨ng
lùc xem xÐt çc ®èi tîng vµ hiÖn tîng trong sù vËn ®éng, trong nh÷ng
mèi liªn hÖ, mèi m©u thuÉn vµ trong sù ph¸t triÓn.
T duy biÖn chøng rÊt quan träng, nã lµ çi gióp ta ph¸t hiÖn vÊn
®Ò vµ ®Þnh híng t×m tßi çch gi¶i quyÕt vÊn ®Ò, nã gióp ta còng cè
lßng tin khi trong viÖc t×m tßi t¹m thêi gÆp thÊt b¹i, nh÷ng khi ®ã ta
vÉn v÷ng lßng tin r»ng råi sÏ cã ngµy thµnh c«ng vµ híng t×m ®Õn
thµnh c«ng lµ cè nh×n cho ®îc mçi kh¸i niÖm to¸n häc theo nhiÒu çch
kh¸c nhau, cµng nhiÒu cµng tèt.
T duy s¸ng t¹o lµ lo¹i h×nh t duy ®Æc trng bëi ho¹t ®éng vµ suy
nghÜ nhËn thøc mµ nh÷ng ho¹t ®éng nhËn thøc Êy lu«n theo mét ph-
¬ng diÖn míi, gi¶i quyÕt vÊn ®Ò theo çch míi, vËn dông trong mét
hoµn c¶nh hoµn toµn míi, xem xÐt sù vËt hiÖn tîng, vÒ mèi quan hÖ
theo mét çch míi cã ý nghÜa, cã gi¸ trÞ. Muèn ®¹t ®îc ®iÒu ®ã khi
xem xÐt vÊn ®Ò nµo ®ã chóng ta ph¶i xem xÐt tõ chÝnh b¶n th©n
nã, nh×n nã díi nhiÒu khÝa c¹nh kh¸c nhau, ®Æt nã vµo nh÷ng hoµn
www.vnmath.com
19

www.vnmath.com
c¶nh kh¸c nhau, ... nh thÕ míi gi¶i quyÕt vÊn ®Ò mét çch s¸ng t¹o ®-
îc. MÆt kh¸c t duy biÖn chøng ®· chØ râ lµ khi xem xÐt sù vËt ph¶i
xem xÐt mét çch ®Çy ®ñ víi tÊt c¶ tÝnh phøc t¹p cña nã, tøc lµ ph¶i
xem xÐt sù vËt trong tÊt c¶ çc mÆt, çc mèi quan hÖ trong tæng thÓ
nh÷ng mèi quan hÖ phong phó, phøc t¹p vµ mu«n vÎ cña nã víi çc sù
vËt kh¸c. §©y lµ c¬ së ®Ó häc sinh häc to¸n mét çch s¸ng t¹o, kh«ng
gß bã, ®a ra ®îc nhiÒu çch gi¶i kh¸c nhau.
§iÒu ®ã cã nghÜa lµ chóng ta ph¶i rÌn luyÖn t duy biÖn chøng
cho häc sinh hay nãi çch kh¸c lµ rÌn luyÖn t duy biÖn chøng cho
häc sinh tõ ®ã cã thÓ rÌn luyÖn ®îc t duy s¸ng t¹o cho häc sinh.
VÝ dô: XÐt bµi to¸n sau ®©y: "Cho tam gi¸c ABC, vÒ phÝa ngoµi
cña tam gi¸c ®ã ta dùng çc tam gi¸c ®Òu ABC', ACB', BCA'. Chøng
minh r»ng tam gi¸c IJK t¹o thµnh tõ çc ®iÓm lµ t©m cña çc tam gi¸c
®Òu trªn lµ mét tam gi¸c ®Òu".
Tríc hÕt ta cha nªu ra lêi gi¶i bµi to¸n ngay mµ h·y ®Æt bµi to¸n
trong nh÷ng mèi liªn hÖ, xem xÐt nã trong sù vËn ®éng, nh×n bµi to¸n d-
íi nhiÒu gãc ®é kh¸c nhau ®Ó t×m ph¬ng ¸n gi¶i quyÕt tèi u nhÊt, s¸ng
t¹o nhÊt.
§èi víi bµi to¸n chøng minh mét tam gi¸c lµ mét tam gi¸c ®Òu
chóng ta ph¶i híng häc sinh nh×n nhËn tam gi¸c ®Òu díi nhiÒu khÝa
c¹nh kh¸c nhau ®Ó t×m ra çc lêi gi¶i cho bµi to¸n:
- NÕu ta nh×n tam gi¸c ®Òu lµ mét tam gi¸c cã ba c¹nh b»ng nhau
chóng ta sÏ cã híng chøng minh ba c¹nh cña tam gi¸c b»ng nhau:
www.vnmath.com
20

www.vnmath.com
K
J
I
B'
A'
CB
A
C'
Ta t×m çch biÕn ®æi ®Ó cã biÓu thøc cña KJ2
®èi xøng ®èi víi
a, b, c. Chó ý r»ng ΔABCSbc.sinA
2
1
= vµ 222
a2bc.cosAcb =−+ . Ta cã
S
3
32
6
cba
KJ
S
3
32
6
c
6
b
6
2bc.cosAcb
KJ
222
2
2222
2
+
++
=
+++
−+
=
www.vnmath.com
21
Do ®ã
bc.sinA
3
3
bc.cosA
3
1
3
b
3
c
)60bc.cos(A
3
2
3
b
3
c
KJ
22
22
o
+−+=
+−+=
Çch gi¶i 1:
Chøng minh JI = JK = KI.
Trong tam gi¸c AKJ ta cã:
KJ2
= AK2
+AJ2
-2.AK.AJ. ·cosKAJ
Gäi çc c¹nh cña tam gi¸c ABC lÇn
lît lµ a, b, c th×
3
3b
AJ,
3
3c
AK ==
Cßn · )ocosKAJ cos(A 60= +

www.vnmath.com
V× biÓu thøc KJ2
®èi xøng ®èi víi a, b, c nªn mét çch t¬ng tù ta
cã: 222
KIJIKJ == . Suy ra KIJIKJ == hay tam gi¸c IJK ®Òu.
- NÕu ta nh×n tam gi¸c ®Òu lµ mét tam gi¸c cã ba gãc b»ng nhau
ta sÏ cã híng chøng minh ba gãc cña tam gi¸c b»ng nhau:
Ta yªu cÇu häc sinh h·y xÐt bµi to¸n nµy xem trong b¶n th©n nã
cã nh÷ng mèi liªn hÖ nµo? Lóc nµy buéc häc sinh ph¶i suy nghÜ, ph¶i
®Æt bµi to¸n trong nh÷ng mèi liªn hÖ kh¸c, ta cã çch gi¶i 2:
Çch gi¶i 2: Chøng minh ba gãc I, J, K b»ng nhau:
K
J
I
O
C'
B'
A'
C
A
B
Ta vÏ ®êng trßn ACB' vµ CA'B ngo¹i tiÕp hai tam gi¸c ACB' vµ
CA'B, hai ®êng trßn c¾t nhau t¹i C vµ O.
Ta cã · ·AOC BOC 120o
= = . Do ®ã ta cã · 0
AOB 120= vµ ®êng trßn
ABC' còng ®i qua O.
MÆt kh¸c, IJ lµ ®êng nèi t©m, OC lµ d©y cung cña hai ®êng trßn
BOC vµ AOC nªn IJ⊥ OC.
T¬ng tù, ta cã OAIK ⊥ . Do ®ã, v× · 0
AOB 120= , nªn · 0
IJK 60= .
Hoµn toµn t¬ng tù ta cã: · · 0
JKI KIJ 60= = .
(NÕu O n»m ngoµi tam gi¸c ABC ta còng cã çch chøng minh t-
¬ng tù nh trªn).
www.vnmath.com
22

A
A2
A1
B
O1
O2
www.vnmath.com
VËy ta cã tam gi¸c IJK lµ tam gi¸c ®Òu.
* Khi ®· nªu ®îc hai çch gi¶i cña bµi to¸n vµ nªu nhËn xÐt b©y giê
gi¸o viªn yªu cÇu häc sinh h·y ®Æc biÖt hãa çc gi¶ thiÕt cña bµi to¸n
®Ó lµm s¸ng tá h¬n bµi to¸n vµ cã thÓ t×m ra çc bµi to¸n t¬ng tù.
- Tríc hÕt ta xÐt trêng hîp ®Æc biÖt ®ã lµ khi tam gi¸c ABC suy
biÕn thµnh ®o¹n th¼ng tøc lµ ta nh×n ®o¹n th¼ng lµ mét tam gi¸c cã
hai ®Ønh trïng nhau khi ®ã ta sÏ cã kÕt qu¶ nh thÕ nµo?
Gi¶ sö tam gi¸c ABC cã ®Ønh C trïng víi ®Ønh A
Nh×n vµo h×nh vÏ ta thÊy: DÔ dµng
chøng minh ®îc r»ng tam gi¸c AO1O2 lµ tam
gi¸c ®Òu.
VËy ta còng cã kÕt qu¶ hoµn toµn t¬ng tù.
- B©y giê ta xÐt trêng hîp nÕu çc tam
gi¸c ®Òu ®îc dùng vÒ phÝa trong cña tam
gi¸c ABC th× sÏ cã ®iÒu g×?
NÕu ta nh×n miÒn trong vµ miÒn ngoµi cña tam gi¸c trong sù
thèng nhÊt th× kÕt qu¶ lµ ta còng thu ®îc mét ®iÒu t¬ng tù nh trªn.
* NÕu ta thay tam gi¸c ABC b»ng h×nh b×nh hµnh ABCD tøc lµ ta
xem tam gi¸c lµ h×nh b×nh hµnh cã hai ®Ønh trïng nhau th× ta sÏ cã
kÕt qu¶ g×?
NÕu xem tam gi¸c lµ h×nh b×nh hµnh cã hai ®Ønh trïng nhau th×
tõ çc çch dùng tam gi¸c ®Òu vÒ phÝa ngoµi cña tam gi¸c b©y giê trªn
çc c¹nh cña h×nh b×nh hµnh ta dùng çc h×nh vu«ng vÒ phÝa ngoµi
cña h×nh b×nh hµnh.
VËy tø gi¸c t¹o bëi t©m cña çc h×nh vu«ng cã tÝnh chÊt g× t¬ng tù trªn
kh«ng?
www.vnmath.com
23

www.vnmath.com
- Häc sinh vÏ h×nh vµ dù ®o¸n r»ng nÕu ABCD lµ h×nh b×nh hµnh
th× IKLM lµ h×nh vu«ng.
Tõ ®ã sÏ ®a häc sinh ®Õn viÖc chøng minh xem dù ®o¸n ®ã cã
®óng kh«ng.
M
L
K
I
D
C
B
A
ThËt vËy, v× ABCD lµ h×nh b×nh hµnh nªn ta cã I vµ L, K vµ M
®èi xøng nhau qua O (O lµ t©m ®èi xøng cña h×nh b×nh hµnh
ABCD), suy ra IKLM lµ h×nh b×nh hµnh. MÆt kh¸c, ta cã hai tam gi¸c
IBK vµ IAM b»ng nhau (c.c.c) nªn ta suy ra gãc KIM lµ gãc vu«ng. VËy
IKLM lµ h×nh vu«ng.
1.5. TiÒm n¨ng cña h×nh häc trong viÖc båi dìng t duy s¸ng t¹o cho häc
sinh.
Trong qu¸ tr×nh häc To¸n th× kü n¨ng vËn dông To¸n häc lµ quan
träng nhÊt, nhµ trêng phæ th«ng kh«ng chØ cung cÊp cho häc sinh
nh÷ng kiÕn thøc To¸n häc, mµ cßn luyÖn cho häc sinh kü n¨ng vËn
dông tÝnh ®éc lËp, sù ®éc ®¸o vµ kh¶ n¨ng s¸ng t¹o.
Çc nhµ t©m lý häc cho r»ng: "S¸ng t¹o b¾t ®Çu tõ thêi ®iÓm
mµ çc ph¬ng ph¸p logic ®Ó gi¶i quyÕt nhiÖm vô lµ kh«ng ®ñ vµ gÆp
trë ng¹i hoÆc kÕt qu¶ kh«ng ®¸p øng ®îc çc ®ßi hái ®Æt ra tõ ®Çu,
hoÆc xuÊt hiÖn gi¶i ph¸p míi tèt h¬n gi¶i ph¸p cò".
www.vnmath.com
24

www.vnmath.com
ChÝnh v× vËy ®iÒu quan träng lµ hÖ thèng bµi tËp cÇn ph¶i ®-
îc khai th¸c vµ sö dông hîp lý nh»m rÌn luyÖn cho häc sinh kh¶ n¨ng
ph¸t triÓn t duy s¸ng t¹o biÓu hiÖn ë çc mÆt nh: kh¶ n¨ng t×m híng ®i
míi (kh¶ n¨ng t×m nhiÒu lêi gi¶i kh¸c nhau cho mét bµi to¸n), kh¶ n¨ng
t×m ra kÕt qu¶ míi (khai th¸c çc kÕt qu¶ cña mét bµi to¸n, xem xÐt çc
khÝa c¹nh kh¸c nhau cña mét bµi to¸n).
Chñ ®Ò h×nh häc chøa ®ùng nhiÒu tiÒm n¨ng to lín trong viÖc
båi dìng vµ ph¸t huy n¨ng lùc s¸ng t¹o cho häc sinh. Bªn c¹nh viÖc gióp
häc sinh gi¶i quyÕt çc bµi tËp s¸ch gi¸o khoa, gi¸o viªn cã thÓ khai
th¸c çc tiÒm n¨ng ®ã th«ng qua viÖc x©y dùng hÖ thèng bµi tËp míi trªn
c¬ së hÖ thèng bµi tËp c¬ b¶n, t¹o c¬ héi cho häc sinh ph¸t triÓn n¨ng lùc
s¸ng t¹o cña m×nh.
Trong qu¸ tr×nh d¹y häc gi¸o viªn cÇn dÉn d¾t häc sinh gi¶i
quyÕt hÖ thèng bµi tËp míi, t¹o cho häc sinh ph¸t hiÖn vÊn ®Ò míi, ®ã
lµ vÊn ®Ò quan träng mµ ta cÇn quan t©m båi dìng cho häc sinh.
Cã nhiÒu ph¬ng ph¸p khai th¸c kh¸c çc bµi tËp c¬ b¶n trong
s¸ch gi¸o khoa, ®Ó t¹o ra çc bµi to¸n cã t¸c dông rÌn luyÖn tÝnh mÒm
dÎo, tÝnh nhuÇn nhuyÔn, tÝnh ®éc ®¸o cña t duy.
Trªn c¬ së ph©n tÝch kh¸i niÖm t duy s¸ng t¹o cïng nh÷ng yÕu
tè ®Æc trng cña nã vµ dùa vµo quan ®iÓm: båi dìng tõng yÕu tè cô
thÓ cña t duy s¸ng t¹o cho häc sinh lµ mét trong nh÷ng biÖn ph¸p ®Ó
ph¸t triÓn n¨ng lùc t duy s¸ng t¹o cho çc em. Çc bµi tËp chñ yÕu
nh»m båi dìng tÝnh mÒm dÎo cña t duy s¸ng t¹o víi çc ®Æc trng: dÔ
dµng chuyÓn tõ ho¹t ®éng trÝ tuÖ nµy sang ho¹t ®éng trÝ tuÖ kh¸c,
suy nghÜ kh«ng rËp khu«n; kh¶ n¨ng nhËn ra vÊn ®Ò míi trong ®iÒu
kiÖn quen thuéc, kh¶ n¨ng nh×n thÊy chøc n¨ng míi cña ®èi tîng quen
biÕt. Çc bµi tËp chñ yÕu nh»m båi dìng tÝnh nhuÇn nhuyÔn cña t
www.vnmath.com
25

www.vnmath.com
duy s¸ng t¹o víi çc ®Æc trng: kh¶ n¨ng t×m ®îc nhiÒu gi¶i ph¸p trªn
nhiÒu gãc ®é vµ hoµn c¶nh kh¸c nhau, kh¶ n¨ng xem xÐt ®èi tîng díi
nh÷ng khÝa c¹nh kh¸c nhau. Çc bµi tËp chñ yÕu nh»m båi dìng tÝnh
nh¹y c¶m vÊn ®Ò cña t duy s¸ng t¹o víi çc ®Æc trng: nhanh chãng
ph¸t hiÖn nh÷ng vÊn ®Ò t×m ra kÕt qu¶ míi, t¹o ®îc bµi to¸n míi, kh¶
n¨ng nhanh chãng ph¸t hiÖn ra çc m©u thuÉn, thiÕu logic.
Ngoµi ra t duy h×nh häc mang nh÷ng nÐt ®Æc trng quan träng
vµ c¬ b¶n cña t duy to¸n häc. ViÖc ph¸t triÓn t duy h×nh häc lu«n g¾n
víi kh¶ n¨ng ph¸t triÓn trÝ tëng tîng kh«ng gian, ph¸t triÓn t duy h×nh
häc lu«n g¾n liÒn víi viÖc ph¸t triÓn cña ph¬ng ph¸p suy luËn; viÖc
ph¸t triÓn t duy ë cÊp ®é cao sÏ kÐo theo sù ph¸t triÓn t duy ®¹i sè.
Nh vËy ®Ó n©ng dÇn cÊp dé t duy trong d¹y häc h×nh häc, viÖc d¹y
häc ph¶i ®îc chó ý vµo: ph¸t triÓn trÝ tëng tîng kh«ng gian b»ng çch:
gióp häc sinh h×nh thµnh vµ tÝch luü çc biÓu tîng kh«ng gian mét
çch v÷ng ch¾c, biÕt nh×n nhËn çc ®èi tîng h×nh häc ë çc kh«ng
gian kh¸c nhau, biÕt ®o¸n nhËn sù thay ®æi cña çc biÓu tîng kh«ng
gian khi thay ®æi mét sè sù kiÖn.
Nh vËy tiÒm n¨ng cña chñ ®Ò h×nh häc trong viÖc båi dìng t
duy s¸ng t¹o cho häc sinh lµ rÊt lín.
Trong ch¬ng nµy luËn v¨n ®· lµm râ çc kh¸i niÖm t duy, t duy
s¸ng t¹o, nªu ®îc çc yÕu tè ®Æc trng cña t duy s¸ng t¹o, vµ vËn dông
®îc t duy biÖn chøng ®Ó ph¸t triÓn t duy s¸ng t¹o, ®ång thêi nªu ®îc
tiÒm n¨ng cña chñ ®Ò H×nh häc trong viÖc båi dìng t duy s¸ng t¹o cho
häc sinh.
ViÖc båi dìng t duy s¸ng t¹o cho häc sinh th«ng qua qu¸ tr×nh d¹y
häc gi¶i bµi tËp to¸n lµ rÊt cÇn thiÕt bëi qua ®ã chóng ta gióp häc sinh
www.vnmath.com
26

www.vnmath.com
häc tËp tÝch cùc h¬n vµ kÝch thÝch ®îc tÝnh s¸ng t¹o cña häc sinh
trong häc tËp vµ trong cuéc sèng.
VËy c«ng viÖc cña mçi gi¸o viªn trong qu¸ tr×nh d¹y häc lµ t×m ra
®îc c¸c ph¬ng ph¸p nh»m ph¸t triÓn vµ rÌn luyÖn t duy s¸ng t¹o cho häc
sinh.
www.vnmath.com
27

www.vnmath.com
Ch¬ng 2
Mét sè vÊn ®Ò d¹y häc gi¶i bµi tËp h×nh häc theo ®Þnh híng båi
dìng t duy s¸ng t¹o cho häc sinh
2.1. VÊn ®Ò 1: RÌn luyÖn t duy s¸ng t¹o qua bµi to¸n dùng h×nh.
To¸n dùng h×nh lµ vÊn ®Ò kh¸ lý thó cña to¸n häc phæ th«ng.
Nã gióp ph¸t triÓn t duy logic, ãc s¸ng t¹o v× ®ßi hái tù t¹o ra h×nh vÏ
cÇn thiÕt ®Ó suy luËn t×m ra çch gi¶i.
2.1.1. Vµi nÐt vÒ lÞch sö h×nh häc dùng h×nh.
Vµo çc thÕ kû thø t vµ thø n¨m tríc c«ng nguyªn çc nhµ to¸n
häc HiL¹p næi tiÕng ®· quan t©m ®Õn dùng h×nh h×nh häc nh
Pitago, Hip«crat, ¬clit, Ap«l«niut.
Trêng ph¸i Pitago ®· thµnh c«ng trong mét sè bµi to¸n t¬ng ®èi
phøc t¹p nh dùng h×nh ngò gi¸c ®Òu. Vµo thÕ kû thø 5 tríc c«ng
nguyªn cã ba bµi to¸n næi tiÕng. Chia ba mét gãc, gÊp ®«i h×nh lËp
ph¬ng vµ cÇu ph¬ng h×nh trßn (kh«ng gi¶i ®îc b»ng thíc vµ compa).
§Õn thÕ kû thø 6 tríc c«ng nguyªn, ¥clit ngêi s¸ng lËp hÖ h×nh
häc ®Çu tiªn ®· nªu lªn nh÷ng tiªn ®Ò quan träng nhÊt cña h×nh häc
chøng tá vai trß cña dùng h×nh trong to¸n häc nh:
- Cã thÓ v¹ch mét ®êng th¼ng tõ mét ®iÓm tíi 1 ®iÓm kh¸c.
- Cã thÓ liªn tôc kÐo dµi mét ®êng th¼ng bÞ giíi h¹n.
- Víi mçi mét t©m vµ mçi mét kho¶ng çch cã thÓ v¹ch ®îc mét ®êng
trßn.
Çc nhµ h×nh häc cæ HiL¹p ®· gi¶i ®îc nh÷ng bµi to¸n dùng
h×nh khã b»ng thíc vµ compa, ch¼ng h¹n Ap«l«ni Pecxki ®· gi¶i ®îc
bµi to¸n næi tiÕng mang tªn «ng: "Dùng mét ®êng trßn tiÕp xóc víi ba
www.vnmath.com
28

www.vnmath.com
®êng trßn cho tríc". Hä l¹i gi¶i ®¹i sè víi dùng h×nh nh: Gi¶i ph¬ng
tr×nh bËc nhÊt vµ ph¬ng tr×nh bËc hai b»ng dùng h×nh.
Nh÷ng ngêi s¸ng lËp ra to¸n häc hiÖn ®¹i ®· quan t©m nhiÒu
®Õn çc bµi to¸n dùng h×nh. §Òçc vµ NewT¬n ®· gi¶i bµi to¸n chia ba
mét gãc b»ng çc thiÕt diÖn h×nh nãn, gi¶i ®îc bµi to¸n Ap«l«ni cïng
víi ¥le.
ViÖc kh¶o cøu nhiÒu vÊn ®Ò h×nh häc ®îc dùa vµo h×nh häc
dùng h×nh, ®Æc biÖt ®èi víi çch chøng minh sù tån t¹i, ch¼ng h¹n
sù tån t¹i t©m cña mét ®êng trßn néi tiÕp trong tam gi¸c, sù tån t¹i cña
nh÷ng tam gi¸c ®ång d¹ng, sù tån t¹i cña nh÷ng ®êng th¼ng song
song, … ®Òu ®îc chøng minh b»ng phÐp dùng h×nh.
2.1.2. Gi¶i mét bµi to¸n dùng h×nh lµ g×?.
Gi¶i mét bµi to¸n dùng h×nh lµ t×m ®îc 1 h×nh tho¶ m·n nh÷ng
®iÒu kiÖn trong bµi to¸n.
Nãi nh thÕ cha ®ñ, v× ®iÒu kiÖn quan träng lµ dïng nh÷ng dông
cô g× ®Ó dùng h×nh. Bëi v× trong thùc tiÔn cuéc sèng ®ßi hái tÝnh
hiÖu qu¶ cña c«ng viÖc. HiÖu qu¶ cµng cao th× c«ng viÖc cã gi¸ trÞ.
Lµm sao khi dùng h×nh, sè lîng dông cô sö dông lµ Ýt nhÊt.
VÝ dô víi bµi to¸n "dùng mét gãc b»ng 200
, lÊy 1 tia cho tríc lµm
c¹nh", nÕu dïng thíc ®o gãc th× bµi to¸n rÊt ®¬n gi¶n, nhng nÕu chØ
dïng thíc vµ compa th× bµi to¸n nµy kh«ng gi¶i ®îc! (ngêi ta ®· chøng
minh r»ng chØ dïng thíc vµ compa th× kh«ng thÓ dùng ®îc 1 gãc =
200
).
2.1.2.1. T¹i sao chØ dïng thíc vµ compa?
Çc nhµ to¸n häc cæ HiL¹p chØ xem phÐp dùng dïng thíc vµ
compa lµ hîp ph¸p, cã tÝnh chÊt h×nh häc ch©n chÝnh vµ kh«ng c«ng
nhËn viÖc sö dông çc dông cô kh¸c ®Ó dùng h×nh.
www.vnmath.com
29

www.vnmath.com
Quan ®iÓm ®ã vÉn tån t¹i cho ®Õn ngµy nay. Hä còng ®· thµnh
c«ng trong viÖc gi¶i nh÷ng bµi to¸n dùng h×nh rÊt khã b»ng thíc vµ
compa. Hä coi thíc kÎ lµ v« h¹n v× chØ cã mét c¹nh , coi compa cã
tÝnh chÊt dïng ®Ó vÏ nh÷ng ®êng trßn cã b¸n kÝnh tuú ý.
C¬ së lý luËn cña h×nh häc dùng h×nh lµ nh÷ng tiªn ®Ò sau
®©y.
* Tiªn ®Ò chung:
a) TÊt c¶ nh÷ng d÷ kiÖn trong ®Ò bµi to¸n dùng h×nh (®iÓm, ®-
êng th¼ng, ®êng trßn…) ®Òu coi lµ dùng ®îc.
b) Nh÷ng ®iÓm lÊy tuú ý trong mÆt ph¼ng (®Ó bæ sung çc d÷
kiÖn ®Òu coi nh lµ dùng ®îc).
c) NÕu hai ®êng th¼ng dùng ®îc mµ c¾t nhau th× giao ®iÓm
cña chóng coi nh lµ dùng ®îc.
* Tiªn ®Ò vÒ çi thíc:
d) Mét ®êng th¼ng x¸c ®Þnh bëi hai ®iÓm dùng ®îc th× coi nh dùng
®îc.
* Tiªn ®Ò vÒ çi compa:
®) Mét ®êng trßn x¸c ®Þnh bëi mét t©m dùng ®îc, mét b¸n kÝnh
dùng ®îc th× coi nh dùng ®îc.
Hai tiªn ®Ò d vµ ® biÓu thÞ díi h×nh thøc trõu tîng vÒ çi thíc vµ
compa. Theo hai tiªn ®Ò nµy th× muèn thùc hiÖn mét phÐp dùng
h×nh b»ng thíc vµ compa th× ph¶i cã Ýt nhÊt hai ®iÓm. Nhng nhiÒu
khi trong ®Ò bµi chØ cã mét ®iÓm hoÆc kh«ng cã ®iÓm nµo c¶.
Ch¼ng h¹n:
www.vnmath.com
30

www.vnmath.com
+) Cho mét ®êng th¼ng vµ mét ®iÓm trªn ®ã, dùng t¹i ®iÓm ®ã
®êng vu«ng gãc víi ®êng th¼ng. ë ®©y chØ cã mét ®iÓm cho tríc
tøc lµ dùng ®îc.
+) Cho hai ®êng th¼ng giao nhau. Dùng ph©n gi¸c cña gãc t¹o
thµnh. ë ®©y chØ cã mét ®iÓm dùng ®îc. (Theo tiªn ®Ò c).
+) Cho mét ®êng trßn. Dùng t©m cña nã. ë ®©y kh«ng cã ®iÓm
dùng ®îc nµo c¶.
2.1.2.2. Gi¶i mét bµi to¸n dùng h×nh b»ng thíc vµ compa lµ chØ râ thø
tù ¸p dông çc tiªn ®Ò a, b, c, d, ® ë trªn ®Ó ®a nh÷ng tiªn ®Ò cha
biÕt vÒ nh÷ng yÕu tè dùng ®îc.
VÝ dô bµi to¸n dùng h×nh sau:
Qua mét ®iÓm A ë ngoµi mét ®êng th¼ng d dùng ®êng th¼ng
song song víi d.
Çch gi¶i nh sau:
a) Chän mét ®iÓm M tuú ý trªn d (tiªn ®Ò b) vµ dùng ®êng trßn
t©m M b¸n kÝnh MA (phÐp dùng t¬ng øng víi tiªn ®Ò ®).
b) Dùng ®êng trßn t©m A b¸n kÝnh AM (tiªn ®Ò ®).
c) LÊy giao ®iÓm B cña ®êng trßn thø nhÊt víi ®êng th¼ng d (tiªn
®Ò c).
d) Dùng ®êng trßn t©m M b¸n kÝnh BA (tiªn ®Ò ®).
e) KÎ ®êng th¼ng qua A vµ P (tiªn ®Ò d).
Tãm l¹i gi¶i bµi to¸n dùng h×nh trªn ®ßi hái ph¶i lÇn lît ¸p dông
çc tiªn ®Ò b, ®, ®, , c, ®, c, d. (DÜ nhiªn tríc hÕt bao giê còng lµ tiªn
®Ò a).
Chó ý: Tuy nhiªn nhiÒu khi ngêi ta kh«ng nªu hai tiªn ®Ò a vµ b
mµ ph¸t biÓu gän nh sau:
www.vnmath.com
31

www.vnmath.com
Gi¶i mét bµi to¸n dùng h×nh b»ng thíc vµ compa lµ thùc hiÖn 1
sè cã h¹n ba phÐp dùng c¬ b¶n sau:
a) KÎ ®êng th¼ng ®i qua 2 ®iÓm ®· biÕt
(tiªn ®Ò vÒ çi thíc).
b) Dùng ®êng trßn cã t©m ®· biÕt vµ b¸n
kÝnh ®· biÕt (tiªn ®Ò vÒ çi compa).
c) LÊy giao ®iÓm cña 2 ®êng th¼ng ®·
biÕt (tiªn ®Ò c).
2.1.2.3. Dùng h×nh b»ng çc dông cô kh¸c.
NÕu kh«ng dïng thíc vµ compa mµ dïng nh÷ng dông cô kh¸c ®Ó
dùng nh: Thíc th¼ng cã 2 biªn, £ke, th× ta vÉn dïng 3 tiªn ®Ò a, b, c cßn
hai tiªn ®Ò d, ® ®îc thay b»ng nh÷ng tiªn ®Ò ph¶n ¸nh tÝnh chÊt cña
nh÷ng dông cô míi.
a) Dùng h×nh b»ng thíc cã hai biªn:
- Tiªn ®Ò vÒ thíc thêng (dïng 1 biªn).
- Mét ®êng th¼ng song song víi mét ®êng th¼ng dùng ®îc vµ
çch nã mét kho¶ng d th× xem nh dùng ®îc (h»ng sè d øng víi bÒ réng
cña thíc 2 biªn).
- NÕu cã hai ®iÓm dùng ®îc A vµ B vµ AB > d th× hai cÆp ®êng
th¼ng çch nhau mét kho¶ng d vµ theo thø tù ®i qua A vµ B ®îc xem nh
dùng ®îc.
VÝ dô: Dùng ph©n gi¸c cña gãc ·xOy.
Çch dùng:
- Dùng x'//x vµ çch x mét kho¶ng d (tiªn ®Ò).
- T¬ng tù dùng y'//y (tiªn ®Ò).
- LÊy giao ®iÓm A cña x' vµ y' (tiªn ®Ò c).
- VÏ ®êng th¼ng qua O vµ A (tiªn ®Ò d).
b) Dùng h×nh b»ng £ke.
www.vnmath.com
32
a p
mb
d
o
a
x
x'
y'
y
d

www.vnmath.com
- §êng th¼ng ®i qua 1 ®iÓm dùng ®-
îc t¹o víi mét ®êng th¼ng dùng ®îc mét
gãc α b»ng 900
, 600
, 300
hoÆc 900
vµ 450
,
th× xem nh dùng ®îc (**).
- Mét ®iÓm cña mét ®êng th¼ng dùng ®îc mµ tõ ®ã ta thÊy 2
®iÓm dùng ®îc díi mét gãc α th× xem nh dùng ®îc (.).
Eke thêng cã ba gãc 900
, 600
vµ 300
hoÆc 900
vµ 450
.
VÝ dô: GÊp ®«i mét ®o¹n th¼ng AB b»ng Eke.
- Qua B dùng ®êng th¼ng t¹o víi AB mét gãc 600
vµ qua A dùng
®êng vu«ng gãc víi AB (tiªn ®Ò **).
- LÊy giao ®iÓm cña hai ®êng võa dùng (tiªn ®Ò c).
- Trªn BA kÐo dµi dùng ®iÓm C nh×n BD díi gãc 600
(tiªn ®Ò
(.) ) hoÆc qua D dùng ®êng th¼ng t¹o víi BD mét gãc 600
.
2.1.2.4. Gi¸ trÞ lý luËn vµ thùc tÕ cña çc dông cô dùng h×nh.
Bèn dông cô; Compa, thíc, thíc hai biªn vµ eke ®Òu quan träng
nh nhau vÒ gi¸ trÞ lý luËn chÆt chÏ, chÝnh x¸c vµ gi¸ trÞ thùc tÕ cña
chóng trong ®êi sèng vµ s¶n xuÊt.
N¨m 1787 nhµ khoa häc ý MaxkªR«ni ®· chøng minh r»ng:
BÊt kú bµi to¸n nµo cã thÓ gi¶i ®îc b»ng thíc vµ compa ®Òu cã
thÓ gi¶i ®îc b»ng mét m×nh compa th«i.
N¨m 1890 A®¬le ®· chøng minh r»ng: BÊt kú bµi to¸n nµo gi¶i ®-
îc b»ng thíc vµ compa ®Òu cã thÓ gi¶i ®îc b»ng mét çi thíc hai biªn
hoÆc b»ng eke.
Trong thùc tÕ kinh nghiÖm cho thÊy r»ng ba dông cô: Compa,
thíc vµ eke lµ nh÷ng dông cô cÇn thiÕt vµ tiÖn lîi nhÊt cho ngêi vÏ.
2.1.3. Çc phÐp dùng h×nh c¬ b¶n.
www.vnmath.com
33

www.vnmath.com
Cã thÓ s¾p xÕp vµ ph©n lo¹i c¸c phÐp dùng h×nh c¬ b¶n thµnh
4 lo¹i vÒ ®êng th¼ng, ®êng trßn, tû lÖ vµ diÖn tÝch.
2.1.3.1. Lo¹i ®êng th¼ng
a) Dùng mét ®o¹n th¼ng cã ®é dµi cho tríc trªn mét ®êng th¼ng x¸c
®Þnh.
b) Dùng mét gãc b»ng mét gãc cho tríc.
c) Dùng ph©n gi¸c cña mét gãc cho tríc.
d) Dùng trung trùc cña ®o¹n th¼ng cho tríc.
®) T×m trung ®iÓm cña mét ®o¹n th¼ng cho tríc.
e) Qua mét ®Óm cho tríc dùng mét ®êng th¼ng vu«ng gãc víi
mét ®êng th¼ng cho tríc.
g) Chia mét ®o¹n th¼ng cho tríc ra nhiÒu phÇn b»ng nhau.
h) Dùng ∆ biÕt ba c¹nh (c. c. c.), biÕt hai gãc vµ c¹nh kÒ hai gãc
®ã (g.c.g), biÕt hai c¹nh vµ gãc xen gi÷a (c.g.c).
i) Dùng tam gi¸c ®Òu hoÆc h×nh vu«ng khi biÕt mét c¹nh cña
nã.
k) Dùng h×nh ch÷ nhËt khi biÕt 2 c¹nh kÒ nhau.
l) LÊy mét ®êng th¼ng ®· biÕt lµm mét c¹nh dùng mét gãc b»ng
600
hoÆc 300
.
2.1.3.2. Lo¹i ®êng trßn.
a) Dùng ®êng trßn ngo¹i tiÕp cña mét tam gi¸c cho tríc.
b) Dùng ®êng trßn néi tiÕp cña mét tam gi¸c cho tríc.
c) LÊy mét ®o¹n th¼ng cho tríc lµm b¸n kÝnh dùng mét ®êng
trßn.
d) Chia ®«i mét cung cho tríc.
®) Tõ mét ®iÓm cho tríc ë ngoµi hoÆc ë trªn ®êng trßn dùng
tiÕp tuyÕn cña ®êng trßn ®ã.
www.vnmath.com
34

www.vnmath.com
e) Dùng cung chøa gãc.
2.1.3.3. Lo¹i tû lÖ.
a) Cho tríc 3 ®o¹n th¼ng dùng ®o¹n th¼ng tû lÖ thø t.
b) Chia 1 ®o¹n th¼ng cho tríc thµnh 2 phÇn sao cho tû sè cña
chóng b»ng tû sè ®· biÕt
m
n
.
c) Dùng ®o¹n trung b×nh nh©n cña hai ®o¹n th¼ng cho tríc.
2.1.3.4. Lo¹i diÖn tÝch.
a) Dùng h×nh vu«ng cã diÖn tÝch b»ng tæng diÖn tÝch cña hai
h×nh vu«ng cho tríc.
b) Dùng h×nh vu«ng cã diÖn tÝch b»ng diÖn tÝch cña hai h×nh
vu«ng cho tríc.
2.1.4. Çc bíc gi¶i cña bµi to¸n dùng h×nh.
Ngay tõ thÕ kû thø t TCN, çc nhµ h×nh häc cæ HiL¹p ®· t×m ra
®êng lèi chung ®Ó gi¶i 1 bµi to¸n dùng h×nh gåm bèn bíc; Ph©n tÝch,
dùng h×nh, chøng minh vµ biÖn luËn.
2.1.4.1. Bíc ph©n tÝch.
Ph©n tÝch lµ phÇn quan träng nhÊt gióp lËp ph¬ng ¸n dùng ®Ó
t×m ra lêi gi¶i cña mét bµi to¸n lµm c¬ së x¸c ®Þnh ®îc mèi quan hÖ
gi÷a çc yÕu tè ph¶i t×m (gièng nh khi gi¶i bµi to¸n ®¹i sè ta chän Èn
biÓu thÞ b»ng ch÷ x ch¼ng h¹n råi lËp mèi liªn hÖ gi÷a x víi çc ®¹i l-
îng ®· cho cña bµi to¸n tõ ®ã mµ lËp ®îc ph¬ng tr×nh).
Nh thÕ tríc hÕt ph¶i vÏ mét h×nh t¬ng øng víi h×nh ph¶i dùng
(tøc lµ gi¶ sö h×nh vÏ ®· dùng ®îc tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cña bµi to¸n).
Qua h×nh vÏ ph¸t hiÖn nh÷ng yÕu tè cho tríc vµ nh÷ng yÕu tè ph¶i
dùng.
www.vnmath.com
35
α
b
s a
b
c
c '

www.vnmath.com
VÝ dô bµi to¸n sau ®©y:
Dùng tam gi¸c ABC biÕt c¹nh
®¸y AC = b; gãc A = α kÒ víi ®¸y vµ
tæng cña hai c¹nh kia AB + BC =
S".
Tríc hÕt ta gi¶ sö ∆ABC ®· dùng ®îc (h×nh vÏ). Nh thÕ trªn h×nh
vÏ ta ®· biÕt c¹nh ®¸y AC, gãc A cßn tæng hai c¹nh kia kh«ng cã. §Ó
thÓ hiÖn tæng S ta kÐo dµi c¹nh AB vµ ®Æt trªn ®êng kÐo dµi c¹nh
BC' = BC, thÕ lµ ta cã AC' = S ®· cho.
NÕu nèi C víi C' th× ∆AC'C cã thÓ dùng ®îc ngay (Dùng ∆ biÕt
2 c¹nh vµ gãc xen gi÷a).
Dùng ®îc ∆AC'C nµy chØ cßn ph¶i dùng ®iÓm B trªn c¹nh AC'
®Ó cã ®îc ∆ABC cÇn dùng.
Lu ý r»ng nÕu ta thÓ hiÖn tæng S b»ng c¸ch kÐo dµi c¹nh CB
trªn ®ã ®Æt ®o¹n BA' = BA ®Ó cã CA' = S th× viÖc dùng ∆AA"C
kh«ng dÔ dµng.
VËy bíc ph©n tÝch liªn quan tíi h×nh vÏ ban ®Çu, do ®ã h×nh vÏ
®Ó ph©n tÝch ph¶i ®îc vÏ cÈn thËn vµ chÝnh x¸c.
2.1.4.2. Bíc c¸ch dùng
Bíc nµy gåm 2 phÇn:
www.vnmath.com
36

www.vnmath.com
a) KÓ theo mét thø tù nhÊt ®Þnh tÊt c¶ çc phÐp dùng c¬ b¶n
cÇn thùc hiÖn ®îc suy ra tõ bíc ph©n tÝch.
b) Thùc hiÖn çc phÐp dùng ®ã b»ng çc dông cô thíc vµ
compa, kh«ng ph¶i chØ thùc hiÖn çch dùng mµ cßn ph¶i m« t¶ çch
dùng ®ã.
Víi bµi to¸n trªn, çch dùng sÏ nh sau:
- Trªn ®êng th¼ng bÊt kú xy dùng ®o¹n AC = b
- LÊy AC lµm c¹nh µA = α.
- KÐo dµi AB, trªn ®êng kÐo dµi dùng ®o¹n BC' = BC;
- Dùng ∆AC'C (biÕt gãc A vµ hai c¹nh AC', AC).
- Dùng trung trùc cña CC'.
- LÊy giao ®iÓm B cña trung trùc nµy víi AC'.
Ta ®îc ∆ABC ph¶i dùng.
Së dÜ ph¶i nªu çch thùc hiÖn phÐp dùng v× cïng mét phÐp
dùng cã thÓ cã nh÷ng ph¬ng ph¸p kh¸c nhau. Ta h·y xÐt vÝ vô sau:
"Dùng h×nh b×nh hµnh ABCD biÕt mét gãc nhän ·BAD = α vµ
hai ®êng chÐo AC = d vµ BD = e".
Gi¶ sö ®· dùng ®îc h×nh b×nh hµnh. V× çc ®êng chÐo c¾t
nhau t¹i trung ®iÓm cña mçi ®êng nªn cã thÓ dùng ®îc ngay ∆ABD
biÕt ®¸y BD=e, gãc ë ®Ønh ·BAD = α vµ trung tuyÕn
1
AO d
2
= .
Dùng ®îc ∆ABD nµy ta bæ sung nã thµnh h×nh b×nh hµnh
ABCD. Suy ra çch dùng sau:
- Trªn ®êng th¼ng bÊt kú xy
dùng ®o¹n BD b»ng ®êng chÐo nhá e
øng víi gãc nhän cho tríc α.
www.vnmath.com
37
b c
da
d e
o
α

www.vnmath.com
- Dùng cung chøa gãc α vÏ trªn
®o¹n BD.
- Dùng ®êng trßn cã t©m lµ trung ®iÓm cña BD vµ cã b¸n kÝnh
d
2
.
- LÊy giao ®iÓm cña cung chøa gãc vµ ®êng trßn (cã 2 giao
®iÓm).
- Nèi çc giao ®iÓm nµy víi B vµ D, ta ®îc ∆BAD (vµ ∆BA'D).
Cã thÓ bæ sung tam gi¸c thµnh h×nh b×nh hµnh (Tøc lµ x¸c
®Þnh ®Ønh thø t C cña h×nh b×nh hµnh) b»ng nhiÒu ph¬ng ph¸p,
ch¼ng h¹n:
- Qua B dùng BC // AD, qua D dùng DC// AB.
Trªn BD dùng ∆ biÕt hai c¹nh BC = AD vµ CD vµ AB, kÐo dµi AO
vÒ phÝa O vµ ®Æt OC = OA, nèi C víi çc ®iÓm B vµ D, …
2.1.4.3. Bíc chøng minh
Sau khi ®· dùng ®îc h×nh cÇn ph¶i x¸c nhËn xem nã cã tho¶
m·n çc ®iÒu kiÖn cña bµi to¸n hay kh«ng, tøc lµ ph¶i chøng minh
b»ng h×nh dùng ®îc tho¶ m·n tÊt c¶ çc ®iÒu kiÖn cña ®Ò bµi, çch
chøng minh nµy phô thuéc vµo çch dùng. Nãi çch kh¸c nÕu kh«ng
biÕt râ hai bíc ph©n tÝch vµ çch dùng th× kh«ng thÓ nãi r»ng chøng
minh ®óng hay sai, v× cã thÓ cã nh÷ng ph¬ng ph¸p gi¶i bµi to¸n kh¸c
nhau vµ ngay c¶ khi ®· ph©n tÝch gièng nhau th× còng cã nh÷ng çch
kh¸c nhau ®Ó thùc hiÖn, tøc lµ cã çch dùng kh¸c nhau.
Còng cÇn nãi thªm r»ng nÕu çch dùng ®· râ rµng th× bíc chøng
minh còng ®¬n gi¶n.
www.vnmath.com
38

www.vnmath.com
Trë l¹i bµi to¸n dùng tam gi¸c (bíc ph©n tÝch) çch chøng minh
nh sau: ∆ABC cã gãc A b»ng α (theo çch dùng), c¹nh ®¸y, AC = b,
tæng AB + BC' = AB + BC = S.
VËy tam gi¸c nµy tho¶ m·n çc ®iÒu kiÖn cña bµi to¸n nªn ∆ABC
lµ tam gi¸c ph¶i dùng.
HoÆc víi bµi to¸n dùng h×nh b×nh hµnh, çch chøng minh phô
thuéc vµo çch x¸c ®Þnh ®Ønh C. NÕu x¸c ®Þnh ®Ønh C b»ng çch
dùng BC // AD vµ qua D dùng DC //AB th× bíc chøng minh sÏ nh sau:
- Tø gi¸c ABCD lµ h×nh b×nh hµnh vÒ cã hai cÆp c¹nh song
song (AD//BC; AB//DC).
- Nã cã gãc nhän ·BAD = α, ®êng chÐo BD = e, ®êng chÐo
AC = 2; AO = d (theo çch dùng ∆ABD).
VËy h×nh b×nh hµnh nµy tho¶ m·n çc ®iÒu kiÖn cña bµi to¸n
nªn ABCD lµ h×nh b×nh hµnh ph¶i dùng.
2.1.4.4. Bíc biÖn luËn
Khi gi¶i bµi to¸n ®¹i sè cã tham sè thêng ®Æt ra c©u hái: Víi
nh÷ng yÕu tè cho tríc nh thÕ nµo th× bµi to¸n gi¶i ®îc, kh«ng gi¶i ®îc.
Trong gi¶i to¸n dùng h×nh còng ph¶i ®Æt ra c©u hái nh thÕ, vµ mçi
bµi to¸n lµ mét yªu cÇu vÒ dùng mét h×nh tho¶ m·n çc ®iÒu kiÖn x¸c
®Þnh, çc ®iÒu kiÖn nµy thêng ®îc cho bëi çc gi¸ trÞ vµ vÞ trÝ cña
mét sè yÕu tè cña h×nh.
ViÖc gi¶i mét bµi to¸n dùng h×nh chØ ®îc coi lµ xong nÕu ®îc
çc ®iÒu kiÖn ®Ó lêi gi¶i t×m ®îc lµ ®¸p ¸n cña bµi to¸n. Mét bµi to¸n
dùng h×nh cã thÓ cã mét nghiÖm h×nh, hai hoÆc h¬n 2 nghiÖm
h×nh, cã v« sè nghiÖm h×nh (v« ®Þnh) hoÆc kh«ng cã nghiÖm h×nh
(v« nghiÖm).
www.vnmath.com
39

d
cb
a
c
d '
d
a-b
b
www.vnmath.com
NÕu mét bµi to¸n mµ çc gi¶ thiÕt ®èi víi yÕu tè cho tríc thu hÑp
th× ph¹m vi çc gi¸ trÞ thÝch hîp cña çc yÕu tè ®ã sÏ hÑp ®i vµ bíc
biÖn luËn sÏ ®¬n gi¶n ®i. H·y xÐt vÝ dô sau ®©y:
"Dùng ®êng trßn tiÕp xóc víi hai ®êng th¼ng cho tríc vµ mét ®-
êng trßn cho tríc".
V× ®Ò bµi cho hai ®êng th¼ng bÊt kú nªn chóng cã thÓ c¾t
nhau, hoÆc song song víi nhau. NÕu chóng c¾t nhau th× phÇn biÖn
luËn sÏ phøc t¹p nhng nÕu chóng song song th× ®¬n gi¶n h¬n.
§èi víi vÝ dô sau: "Dùng tam gi¸c biÕt hai c¹nh vµ gãc ®èi diÖn
víi mét trong hai c¹nh ®ã", th× gãc ®· cho cã thÓ lµ nhän, vu«ng hoÆc
tï, v× thÕ khi biÖn luËn ph¶i xÐt ®Õn çc trêng hîp Êy. §Ó ®¬n gi¶n b-
íc biÖn luËn cã thÓ giíi h¹n ®é lín cña gãc, ch¼ng h¹n cho gãc nhän
®èi diÖn víi mét trong hai c¹nh, hay cã thÓ h¹ thÊp h¬n møc ®é b»ng
çch cho gãc nhän ®èi diÖn víi c¹nh nhá.
2.1.5. To¸n dùng h×nh b»ng çc ph¬ng ph¸p kh¸c nhau
§øng tríc mét bµi to¸n dùng h×nh muèn x¸c ®Þnh xem cã thÓ
gi¶i b»ng ph¬ng ph¸p nµo cÇn biÕt nh÷ng dÊu hiÖu ®Æc trng nhÊt
cña bµi to¸n gi¶i ®îc b»ng ph¬ng ph¸p nµy hay ph¬ng ph¸p kh¸c.
Mçi ph¬ng ph¸p ®Òu cã gi¸ trÞ riªng cña nã. Çc ph¬ng ph¸p th-
êng sö dông lµ: ph¬ng ph¸p tÞnh tiÕn, ph¬ng ph¸p ®èi xøng trôc, ph-
¬ng ph¸p quay, ph¬ng ph¸p quü tÝch, ph¬ng ph¸p ®ång d¹ng, ph¬ng
ph¸p ®¹i sè.
2.1.5.1. Ph¬ng ph¸p tÞnh tiÕn
VÝ dô: Dùng h×nh thang biÕt bèn c¹nh: hai c¹nh ®¸y a vµ b (a > b) vµ
hai c¹nh bªn c vµ d (c ≤ d)
- Ph©n tÝch:
www.vnmath.com
40

b
d
m n
a '
www.vnmath.com
Gi¶ sö ABCD lµ h×nh
thang ph¶i dùng cã AD lµ ®¸y lín,
BC lµ ®¸y nhá, AB vµ CD lµ hai
c¹nh bªn
Tõ B kÎ BD'//CD. Tam gi¸c
ABD' cã thÓ dùng ®îc ngay v×
biÕt ba c¹nh. ChØ cßn x¸c ®Þnh
®Ønh thø t C cña h×nh thang.
- C¸ch dùng:
Tríc tiªn dùng ∆ABD' biÕt ba c¹nh AB = c; BD' = d vµ AD' = a - b.
Qua B kÎ tia song song víi AD', trªn tia nµy dùng ®iÓm C sao cho BC =
b. Cuèi cïng qua C kÎ CD//BD' c¾t AD' kÐo dµi t¹i D. ABCD lµ h×nh
thang ph¶i dùng.
- Chøng minh:
Ta cã AB =- c, BC = b theo c¸ch dùng, AD = AD' + D'D = AD' +
BC = a - b + b = a.
Vµ CD = BD' vµ lµ ®o¹n ch¾n gi÷a hai ®êng th¼ng song song.
VËy ABCD lµ h×nh thang tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cña ®Ò bµi.
- BiÖn luËn:§iÒu kiÖn ®Ó dùng ®îc h×nh thang lµ d - c < a - b <
d+ c víi ®iÒu kiÖn nµy bµi to¸n cã mét nghiÖm h×nh (nÕu ®iÒu kiÖn
trªn kh«ng ®îc tho¶ m·n th× bµi to¸n v« nghiÖm).
2.1.5.2. Ph¬ng ph¸p ®èi xøng trôc
VÝ dô: Cho ®êng th¼ng d c¾t ®o¹n th¼ng AB. T×m trªn d mét ®iÓm
M sao cho ®êng th¼ng d lµ ph©n gi¸c cña gãc AMB.
Gäi A' lµ ®iÓm ®èi xøng cña A qua trôc d,ta cã: AM = A'M vµ
· · 0
ANM A'NM 90= = .
Do ®ã: ∆MNA = ∆MNA'
www.vnmath.com
41
a

a
a d
b
b
c
mc
c'
www.vnmath.com
Suy ra: · ·NMA NMA'=
VËy ®iÓm B ph¶i n»m trªn
A'M, nãi çch kh¸c ®iÓm M ph¶i
n»m trªn A'B. Do ®ã ta dùng ®îc
giao ®iÓm M cña ®êng th¼ng A'B
víi ®êng th¼ng d.
Bµi to¸n cã mét nghiÖm h×nh nÕu kho¶ng çch tõ A vµ B ®Õn d
kh«ng b»ng nhau. NÕu çc kho¶ng çch nµy b»ng nhau nhng hai
®iÓm A vµ B kh«ng ®èi xøng nhau qua d th× bµi to¸n v« nghiÖm (v×
A'B // d). Cuèi cïng nÕu A vµ B ®èi xøng nhau qua d th× bµi to¸n v«
®Þnh: BÊt cø ®iÓm nµo trªn d ®Òu tho¶ m·n.
2.1.5.3. Ph¬ng ph¸p quay
VÝ dô: Dùng ∆ biÕt hai c¹nh vµ trung tuyÕn
kÎ tíi c¹nh thø ba.
Gi¶ sö ABC lµ ∆ ph¶i dùng cã c¹nh
cho tríc lµ a vµ b, cã trung tuyÕn
CD = mc.
Ta quay toµn bé h×nh vÏ xung quanh ®iÓm D mét gãc 1800
sÏ ®-
îc h×nh b×nh hµnh ACBC'.
Trong ®ã biÕt çc c¹nh vµ mét ®êng chÐo CC' = 2mc.
Do ®ã çch dùng nh sau:
Dùng tam gi¸c ACC' biÕt ba c¹nh bæ sung nã thµnh h×nh b×h
hµnh ACBC'. Nèi A víi B ®îc tam gi¸c ABC ph¶i dùng.
www.vnmath.com
42

a
b
cd
a
o 1 o 2
c
b
p
www.vnmath.com
§iÒu kiÖn ®Ó dùng ®îc tam gi¸c ACC' lµ a b− < 2mc< a+b. Bµi
to¸n cã 1 nghiÖm h×nh.
2.1.5.4. Ph¬ng ph¸p quü tÝch.
VÝ dô: Dùng ®êng trßn tiÕp xóc víi hai ®êng th¼ng song song a vµ b
vµ qua 1 ®iÓm P cho tríc.
- Ph©n tÝch: Gäi kho¶ng çch gi÷a hai ®êng th¼ng song song lµ
d. B¸n kÝnh ®êng trßn ph¶i dùng sÏ lµ
d
2
. Bµi to¸n quy vÒ dùng t©m
cña ®êng trßn tho¶ m·n 2 ®iÒu kiÖn:
a) Çch ®Òu hai ®êng th¼ng a vµ b.
b) Çch ®iÓm P mét kho¶ng
d
2
.
Suy ra çch dùng sau:
- Çch dùng: Tõ ®iÓm A tuú ý trªn ®êng th¼ng a h¹ AH ⊥ b.
Dùng trung ®iÓm C cña ®o¹n AB. Quü tÝch n ®iÓm çch ®Òu a vµ b
lµ ®êng th¼ng c ®i qua ®iÓm C vµ song song víi a,b çch a,b mét
®o¹n b»ng
d
2
.
Quü tÝch tho¶ m·n ®iÒu kiÖn thø 2 lµ ®êng trßn (P,
d
2
).
LÊy giao ®iÓm O1 cña ®êng trßn nµy víi ®êng th¼ng C1 dùng
®êng trßn (O1; O1P) ®ã lµ ®êng trßn ph¶i t×m.
- Chøng minh: ®êng trßn (O1; O1P) tiÕp xóc víi 2 ®êng th¼ng a
vµ b v× kho¶ng çch tõ t©m O1 ®Õn hai ®êng th¼ng nµy b»ng nhau
www.vnmath.com
43

a
n '
n "
k ' k " l ' l " b
c
m"
m'
www.vnmath.com
vµ b»ng
1
2
d. ®êng trßn nµy l¹i qua ®iÓm P theo çch dùng. VËy nã
tho¶ m·n bµi to¸n.
BiÖn luËn:
a) NÕu P n»m gi÷a hai ®êng th¼ng a vµ b th× th× b× to¸n ta cã
hai nghiÖm h×nh lµ hai ®êng trßn (O1; O1P) vµ (O2; O2P).
b) NÕu P n»m trªn a hoÆc trªn b th× bµi to¸n cã 1 nghiÖm h×nh.
c) NÕu P n»m ngoµi kho¶ng t¹o bëi a vµ b th× bµi to¸n v«
nghiÖm.
2.1.5.5. Ph¬ng ph¸p ®ång d¹ng.
VÝ dô: Trong tam gi¸c ba gãc nhän ABC h·y dùng h×nh vu«ng sao cho
hai ®Ønh cña nãn»m trªn ®¸y tam gi¸c vµ hai ®Ønh kia n»m trªn hai
c¹nh bªn.
Ph©n tÝch: Ta ph¶i dùng mét
h×nh vu«ng ®ång thêi tho¶ m·n çc
®iÒu kiÖn sau:
a) Hai ®Ønh cña nã ph¶i n»m trªn AB.
b) Mét ®Ønh n»m trªn AC.
c) Mét ®Ønh n»m trªn BC.
Ta thÊy r»ng cã thÓ dùng dÔ dµng h×nh vu«ng tho¶ m·n hai
®iÒu kiÖn ban ®Çu. Gi¶ sö ®ã lµ h×nh vu«ng K'L'M'N'. Râ rµng phÐp
®ång d¹ng t©m A tû sè ®ång d¹ng bÊt kú sÏ biÕn ®æi h×nh vu«ng
K'L'M'N' thµnh h×nh vu«ng K"L"M"N" khi ®ã ®iÓm M'' n»m trªn ®êng
th¼ng AM'.
§Ó gi¶i bµi to¸n ph¶i chän trong sè çc h×nh vu«ng
K"L"M"N"®ång d¹ng víi h×nh vu«ng K'L'M'N' h×nh nµo mµ ®iÓm M''
www.vnmath.com
44

m
m"
c
bll 'kk '
n
n '
a
www.vnmath.com
n»m trªn BC. Trong trêng hîp nµy ®iÓm M'' sÏ lµ giao ®iÓm cña hai ®-
êng th¼ng AM' vµ BC. Suy ra çch dùng sau:
- Çch dùng:
a) Dùng h×nh vu«ng ng
K'L'M'N' tho¶ m·n hai ®iÒu kiÖn
ban ®Çu.
b) Dùng ®êng th¼ng AM' vµ
lÊy giao ®iÓm M cña nã víi c¹nh
BC.
c) Qua M kÎ ®êng th¼ng
song song víi M'N' ta lÊy giao
®iÓm M cña nã víi c¹ch BC.
d) Tõ M vµ N h¹ çc ®êng vu«ng gãc ML vµ NK xuèng AB. Ta ®-
îc KLMN lµ h×nh vu«ng ph¶i dùng.
ThËt vËy, KLMN lµ h×nh vu«ng theo çch dùng, nã ®ång d¹ng víi
h×nh vu«ng K'L'M'N' vµ tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cña ®Ò bµi lµ hai ®Ønh
M vµ N n»m trªn 2 c¹nh BC vµ AC. Bµi to¸n cã 1 nghiÖm h×nh.
2.1.5.6. Ph¬ng ph¸p ®¹i sè.
VÝ dô: LÊy ®Ønh cña mét tam gi¸c cho tríc lµm t©m h·y dùng ba ®êng
trßn tõng ®«i tiÕp xóc ngoµi víi nhau.
- Gi¶i: Gi¶ sö ABC lµ tam gi¸c cho tríc mµ ba c¹nh lµ a, b, c, vµ x,
y, z lµ b¸n kÝnh çc ®êng trßn ph¶i dùng.
Ta tÝnh ®é dµi çc b¸n kÝnh x, y, z theo ba c¹nh a, b, c ta cã: x +
y = c; x + z = b; y + z = a.
www.vnmath.com
45

a
b
c
x
y
y
x
z
z
a
b d c
kfe
www.vnmath.com
Do ®ã x =
c b a
2
+ −
;
a c b
y
2
+ −
=
;
a b c
z
2
+ −
= . B©y giê ta dùng mét
trong ba ®o¹n th¼ng ch¼ng h¹n x
theo c«ng thøc x =
c b a
2
+ −
; råi vÏ ®-
êng trßn (A, x). Sau ®ã vÏ tiÕp çc ®-
êng trßn t©m B vµ C b¸n kÝnh t¬ng
øng c - x vµ b - x.
§Ó chøng minh chØ cÇn nhËn xÐt r»ng hai ®êng trßn cuèi tiÕp
xóc nhau v× tæng çc b¸n kÝnh cña chóng. (c- x) + (b - x) = c + b - 2x
= c + b - (c + b - a) = a = BC tøc lµ kho¶ng çch gi÷a hai t©m.
Bµi to¸n lu«n cã mét nghiÖm h×nh v× trong ∆ABC th× b + c > a
nªn x cã thÓ dùng ®îc, ngoµi ra c - x = c-
( )a c bc b a
0
2 2
+ −+ −
= > .
V× a + c > b nªn c>x vµ b - x =
( )a b c
0
2
+ −
> .
V× a + b > c nªn b > x.
2.1.6. Dùng h×nh chØ dïng thíc (kh«ng dïng compa).
2.1.6.1. XÐt hai bµi to¸n sau:
a) "Cho tam gi¸c ABC cã E lµ
®êng trung b×nh . H·y dùng tam gi¸c
mµ ba c¹nh l¹i lµ ba trung tuyÕn AD,
BF, CE cña tam gi¸c ®· cho".
www.vnmath.com
46

A
E
B M D
N
G
F
c
P
m
b'
b
h
a '
a
m'
a
a '
h
b
b'
m
www.vnmath.com
KÐo dµi ®êng th¼ng ®êng th¼ng EF råi tõ C kÎ ®êng th¼ng
song song víi AB c¾t EF kÐo dµi t¹i K. Tam gi¸c AKD lµ tam gi¸c ph¶i
dùng.
ThËt vËy, do EK = BC nªn FK = BD vµ FB = DK, tø gi¸c AKCE lµ
h×nh b×nh hµnh. VËy AK = EC. Suy ra c¸c c¹nh cña tam gi¸c AKD
b»ng c¸c trung tuyÕn cña tam gi¸c ABC.
b) " Cho tam gi¸c ABC cã EF lµ
®êng trung b×nh. H·y t×m trªn c¹nh
®¸y BC mét ®iÓm M sao cho BM =
1
BC
3
.".
Dùng trung ®iÓm D cña c¹nh
®¸y BC vµ giao ®iÓm N cña 2 ®êng
th¼ng EB vµ DE, kÎ ®êng th¼ng AN
c¾t BD t¹i M vµ EF t¹i P (h×nh vÏ).
XÐt ∆ABM cã BM = 2EP. Tõ h×nh b×nh hµnh BEFD cã EM =
ND. XÐt hai tam gi¸c b»ng nhau EPN vµ DMN suy ra EN = MD. Nh
thÕ BM = 2MD, tøc lµ 3MD = BD, do ®ã BM =
1
BC
3
. VËy M lµ ®iÓm
ph¶i dùng.
2.1.6.2. Dùng ®êng vu«ng gãc víi ®êng kÝnh.
www.vnmath.com
47

a
c '
d
b
d '
m
c
e
www.vnmath.com
"Tõ mét ®iÓm M ë ngoµi hoÆc ë trong mét ®êng trßn ®êng
kÝnh AB cho tríc h·y dùng ®êng vu«ng gãc víi AB".
Nèi M víi hai ®Çu A vµ B cña ®êng kÝnh c¾t ®êng trßn lÇn lît t¹i
B' vµ A'. Hai ®êng th¼ng AA' vµ BB' c¾t nhau t¹i H lµ trùc t©m cña
∆MAB. ( V× hai gãc néitiÕp A' vµ B' ®Òu vu«ng). Do ®ã MH ph¶i lµ ®-
êng cao thø ba, tøc lµ MM' ⊥AB.
Cã thÓ ®êng vu«ng gãc dùng tõ M tíi AB kh«ng c¾t ®êng trßn
trùc t©m H n»m ngoµi ∆MAB.
2.1.7. Dùng h×nh chØ dïng compa (kh«ng dïng thíc).
2.1.7.1. XÐt bµi to¸n sau ®©y.
"Cho bèn ®iÓm A, B, C, D. H·y dùng giao ®iÓm cña hai ®êng
th¼ng AB vµ CD".
Gi¶ sö bµi to¸n ®· gi¶i ®îc vµ
M lµ giao ®iÓm ph¶i dùng. Ta dùng
hai ®iÓm C', D' ®èi xøngcña C, D
qua ®êng th¼ng AB. Giao ®iÓm hai
®êng th¼ng AB vµ CD b©y giê lµ
giao ®iÓm cña hai ®êng th¼ng CD
vµ C'D'.NÕu CDD'E lµ h×nh b×nh
hµnh th× ba ®iÓm C, C', vµ E n»m
trªn mét ®êng th¼ng.
Cã thÓ dùng ®iÓm E lµ giao ®iÓm cña hai ®êng trßn ( C, DD')
vµ (D', DC). xÐt hai tam gi¸c ®ång d¹ng CLC' vµ ED'C' ta cã
www.vnmath.com
48

a b
c
d
o
www.vnmath.com
C'E C'C
C'D' C'L
= . Do ®ã cã thÓ dùng ®o¹n C'L lµ ®o¹n tû lÖ thø t cña ba
®o¹n C'E, C'D' vµ C C'. §iÓm M ph¶i t×m sÏ lµ giao ®iÓm cña hai ®-
êng trßn(C',C'L) vµ (C, C'L).
2.1.7.2. XÐt mét bµi to¸n kh¸c
"ChØ dïng compa lµm sao biÕt ®îc mét tø gi¸c ABCD cho tríc cã
thÓ néi tiÕp trong ®êng trßn".
Çch gi¶i nh sau: LÊy B lµm
t©m víi b¸n kÝnh tuú ý v¹ch mét cung
c¾t c¹nh BA t¹i M vµ c¹nh BC t¹i N.
Tõ ®Ønh D lµm t©m víi cïng b¸n
kÝnh ®ã v¹ch mét cung c¾t c¾t c¹nh
DA t¹i E vµ c¹nh DC t¹i F trong trêng
hîp MN = EF' th× tø gi¸c ABCD cã
thÓ néi tiÕp trong ®êng trßn v×
· ·EDF' MBN= , do ®ã · ·ABC EFD+ =
1800
.
2.1.8. Dùng tam gi¸c.
Bµi to¸n 1: T×m trong tø gi¸c ABCD mét ®iÓm O sao cho tæng çc
kho¶ng çch tõ O ®Õn çc ®Ønh lµ nhá nhÊt.
Ph©n tÝch: - Gi¶ sö O lµ ®iÓm
t×m tæng çc kho¶ng çch tõ O ®Õn
çc ®Ønh lµ (OA + OC) + (OB + OD).
Tæng çc kho¶ng çch tõ O ®Õn A
vµ C lµ ng¾n nhÊt nÕu ba ®iÓm A,
www.vnmath.com
49
b
a
e
c
D
f '
m
n
f

o
a
d
cb
a b
c
d
o
www.vnmath.com
O, C th¼ng hµng. T¬ng tù tæng çc
kho¶ng çch tõ O ®Õn B vµ D lµ
ng¾n nhÊt nÕu ba ®iÓm B, O, D
th¼ng hµng. Suy ra Oph¶i lµ
giao®iÓm hai ®êng chÐo cña tø gi¸c
ABCD.
- Çch dùng: Nèi hai ®êng chÐo AC vµ BD c¾t nhau t¹i O. §iÓm
O lµ ®iÓm cÇn dùng.
- Chøng minh: ThËt v©y,do A, O, C th¼ng hµng nªn tæng OA +
OC lµ ng¾n nhÊt. T¬ng tù tæng OB + OD lµ ng¾n nhÊt. Suy ra tæng
OA + OB + OC + OC lµ ng¾n nhÊt.
- BiÖn luËn: Bµi to¸n lu«n cã 1 nghiÖm h×nh.
Chó ý: Ta cã thÓ xÐt bµi to¸n t¬ng tù sau ®©y:
"T×m mét ®iÓm O trong mÆt ph¼ng cña tø gi¸c ABCD sao
cho AO + OB - OC -OD lµ nhá nhÊt vÒ gi¸ trÞ tuyÖt ®èi, biÕt
r»ng OA = OD hoÆc OA = OC".
- Çch chøng minh nh sau: Tæng Oa + OB - OC - OD lµ nhá
nhÊt vÒ gi¸ tÞ tuyÖt ®èi khi tæng nµy =0.
a) NÕu OA = OD vµ OB = OC (h a) th× O lµ giao ®iÓm cña hai
®êng trung trùc cña AD vµ BC .
www.vnmath.com
50

a d ' d
c
b
b
c 1
c 2
a b
d c
o
e
www.vnmath.com
a) b)
b) NÕu OA = OC vµ OB = OD (h×nhb) th× O lµ giao ®iÓm cña
hai ®êng trungtrùc cña hai ®êng chÐo AC vµ BD.
Bµi to¸n 2: Dùng h×nh thang biÕt bèn c¹nh.
Xem çch dùng b»ng ph¬ng ph¸p tÞnh tiÕn ë (2.1.5.1).
Chó ý: Sau khi dùng xong tam gi¸c ABD' ta ph¶i bæ sung nã cho
thµnh h×nh thang mµ çch dùng ë trªn chØ lµ mét çch.
Ta cßn cã thÓ dùng theo çc çch sau:
- Coi c¹nh AD lµ dùng ®îc, ta
dùng BC//AD vµ sau khi ®Æt trªn
nã ®¸y nhá ta nèi ®iÓm C t×m ®îc
víi ®iÓm D
Khi ®ã ta ph¶i chøng minh r»ng: CD = BD'
- Coi C lµ giao ®iÓm cña hai cung t©m D, b¸n kÝnh DC = d vµ
t©m B b¸n kÝnh BC = b th× trong hai giao ®iÓm C vµ C1 chØ cã C lµ
®iÓm ph¶i t×m, v× ta cßn ph¶i chøng minh BC // AD hoÆc CD // BD'.
- NÕu dùng ®êng th¼ng qua B song song víi AD vµ ®Æt BC2
vÒ bªn tr¸i th× ®iÓm C2 sÏ kh«ng thÝch hîp vµ chØ cã ®iÓm C lµ
®iÓm ph¶i t×m.
Bµi to¸n 3: Dùng h×nh b×nh hµnh ABCD biÕt mét c¹nh AB = a, tæng
hai ®êng chÐo AC + BD = d vµ gãc t¹o bëi hai ®êng chÐo b»ng α.
- Ph©n tÝch: Gi¶ sö ABCD lµ
h×nh b×nh hµnh ®· dùng ®îc . Trong
www.vnmath.com
51

www.vnmath.com
®ã O lµ giao ®iÓm hai ®êng chÐo vµ
·AOB = α.
Ta cã
1 d
AO BO (AC BD)
2 2
+ = + =
.
∆AOB cã thÓ dùng ®îc ngay v×
viÕt mét gãc xen gi÷a hai c¹nh. Tõ
®ã x¸c ®Þnh tiÕp çc ®Ønh C vµ D
cßn l¹i cña h×nh b×nh hµnh.
- Çch dùng: Dùng ∆AEB biÕt hai c¹nh EA =
d
2
, AB = a, vµ gãc
®èi víi c¹nh a b»ng
α
2
.
+ Dùng ®iÓm O trªn c¹nh AE b»ng çch dùng tia Bx sao cho
·EBx
α
=
2
, c¾t AE t¹i O.
+ Trªn Ox dùng ®iÓm D sao cho OD = OB, råi trªn AE kÐo dµi
lÊy ®iÓm C sao cho OC = OA.
Nèi AD, DC, CB ta ®îc h×nh b×nh hµnh ABCD cÇn dùng.
- Chøng minh:
+ V× OE = OB nªn OA + OB = OA +OE = AE =
d
2
mµ OC ≠ OD = OA + OB =
d
2
nªn AC +BD = d.
Tø gi¸c ABCD cã hai ®êng chÐo c¾t nhau t¹i trung ®iÓm O cña
mçi ®êng nªn lµ h×nh b×nh hµnh mµ mét c¹nh AB = a. Ngoµi ra
www.vnmath.com
52

o
cd
ba
2
1
e
α
www.vnmath.com
· ·AOB 2AEB= (gãc ngoµi cña ∆OEB) b»ng α. VËy h×nh b×nh hµnh
ABCD võa dùng tho¶ m·n ®iÒu kiÖn ®Ò bµi.
- BiÖn luËn: NÕu
d
a
2
≥ th× bµi to¸n kh«ng cã nghiÖm h×nh
- NÕu
d
a
2
< th× sau khi dùng ®îc AE vµ gãc AEB, cung trßn t©m
A b¸n kÝnh a cã thÓ kh«ng gÆp EB hoÆc cã thÓ gÆp EB t¹i mét
®iÓm hoÆc c¾t nhau t¹i hai ®iÓm. Do ®ã bµi to¸n cã khi v« nghiÖm,
cã khi cã mét hoÆc hai nghiÖm h×nh.
- Chó ý:
1) NÕu víi bµi to¸n trªn ta thÊy
tæng hai ®êng chÐo b»ng hiÖu hai
®êng chÐo lµ AC - BD = h th× c¸ch
gi¶i sÏ nh sau:
- §Æt trªn ®o¹n OA mét ®o¹n
OF = OB
- Dùng ∆AFB biÕt hai c¹nh AB
= a,
h
AF
a
= vµ gãc ®èi víi c¹nh AB lµ
· 0
AFB 90
α
= +
2
(V× · · µ µ µ − α
= + = + = + α
2
0
1
180
AFB FBO O F O )
-T¹i B dùng gãc FBC b»ng gãc F1 tøc b»ng 0
90
α
−
2
®Ó ®îc
∆AOB. Tõ ®ã bæ sung cho thµnh h×nh b×nh hµnh ABCD b»ng nhiÒu
c¸ch kh¸c nhau.
2) Ngoµi ra cã thÓ gi¶i thªm bµi to¸n sau:
www.vnmath.com
53

a b
d c
o
d
c
ba
f
h
g
b
βα
e
d
www.vnmath.com
"Dùng h×nh b×nh hµnh biÕt hai
®êng chÐo vµ mét gãc"
Gi¶ sö ph¶i dùng h×nh b×nh
hµnh ABCD biÕt hai ®êng chÐo AC =
p vµ BD = q vµ gãc nhän t¹i A b»ng
α. Ta chØ cÇn dùng ∆ABD biÕt gãc A
b»ng α, c¹nh BD = q vµ trung tuyÕn
P
AO
2
= .
Dùng ®îc tam gi¸c nµy chØ cÇn bæ sung nã cho thµnh h×nh
b×nh hµnh ABCD. Nh vËy, ta ®· quy viÖc gi¶i bµi to¸n nµy vÒ viÖc
"dùng mét tam gi¸c biÕt ®¸y, trung tuyÕn vµ gãc ë ®Ønh"
Bµi to¸n 4: Dùng tø gi¸c ABCD biÕt hai c¹nh ®èi AD = a, BC =b, c¸c
gãc µ µ= α, = βA B vµ ®o¹n EF nèi trung ®iÓm hai c¹nh ®èi AD, BC.
- Ph©n tÝch: Gi¶ sö ABCD lµ
tø gi¸c ®· dùng ®îc.
NÕu dêi chæ song song AD
®Õn CG, AC ®Õn BH th× ba tø
gi¸c ACGD, ABHC vµ DBHG ®Òu
lµ h×nh b×nh hµnh. C¸c gãc
· µ · µ= = α = = βGCH A ;HCB B . Nh vËy
∆CGB dùng ®îc ngay (BiÕt hai
c¹nh vµ mét gãc). Tõ ®ã dùng ®îc
cx.
www.vnmath.com
54

www.vnmath.com
Ngoµi ra cã thÓ x¸c ®Þnh ®îc vÞ trÝ trung ®iÓm M cña BG vÞ
trÝ cña H n»m trªn cx v× F lµ trung ®iÓm cña AH vµ cña BC (giao
®iÓm cña hai ®êng chÐo). EF =
1
2
DH = MH = m.
X¸c ®Þnh ®îc vÞ trÝ cña D th× dùng ®îc ngay ®Ønh A.
- C¸ch dùng: ∆CGB biÕt hai c¹nh CG = a, CB = b, vµ ⊥
· =α+GCB B.
- Tõ trung ®iÓm M cña BG lÊy lµm t©m dùng cung trßn b¸n
kÝnh m c¾t cx t¹i H.
- Nèi HM vµ kÐo dµi ®Õn D sao cho MD = m.
- Tõ D dùng DA song song vµ b»ng GC.
- Tø gi¸c ABCD chÝnh lµ tø gi¸c cÇn dùng.
-Bµi to¸n cã mét nghiÖm h×nh
+ Chó ý: Cã thÓ gi¶i thªm bµi to¸n sau ®©y.
"Dùng tam gi¸c ABC biÕt hai c¹nh AB = a, BC = b vµ ba gãc A,B,
gãc M gi÷a hai ®êng chÐo".
C¸ch dùng nh sau:
- Dùng ∆ABC trong ®ã gãc B b»ng gãc ®· cho, AB = a, BC = b.
- Dùng t¹i C mét gãc ACx b»ng gãc M ®· cho vµ dùng By// (cx).
- Dïng A lµm ®Ønh vµ AB lµm mét c¹nh dùng mét gãc b»ng gãc
A ®· cho, c¹nh kia ®· c¾t By t¹i D.
Tø gi¸c ABCD lµ tø gi¸c ph¶i dùng.
Bµi to¸n cã mét nghiÖm h×nh.
*) Bµi tËp tù gi¶i.
www.vnmath.com
55

a
m
b p c
n
p
www.vnmath.com
Bµi 1: Cho hai ®êng th¼ng a vµ b c¾t bëi ®êng th¼ng thø ba.
Dùng mét ®o¹n th¼ng AB = m sao cho AB//C vµ hai ®Çu mót A vµ B
lÇn lît n»m trªn hai ®êng th¼ng a vµ b.
Bµi 2: Cho mét ®êng th¼ng P vµ hai ®iÓm A, B cïng n»m mét
phÝa cña p. H·y t×m trªn P hai ®iÓm P vµ Q sao cho PQ = a cho tríc
vµ AP = BQ.
Bµi 3: Dùng tø gi¸c ABCD biÕt hai c¹nh ®èi AD = a, BC = b vµ
gãc µA = α ; µB=β; ˆD=γ .
2.1.9. Dùng ®êng trßn.
Bµi to¸n 1: Dùng ®êng trßn néi tiÕp trong mét tam gi¸c cho tríc.
- Ph©n tÝch: Gi¶ sö ∆ABC lµ tam
gi¸c cho tríc vµ O lµ t©m ®êng trßn néi
tiÕp tam gi¸c ®ã, tiÕp xóc c¹nh AB t¹i
M.
Ta cã OM ⊥ AB , v× O çch ®Òu
ba c¹nh cña tam gi¸c nªn OA, OB, OC
lµ çc tia ph©n gi¸c trong cña çc gãc
cña ∆ABC.
- Çch dùng: - Tríc hÕt dùng çc
tia ph©n gi¸c cña hai gãc bÊt kú cña ∆
®· cho råi lÊy giao ®iÓm O cña chóng.
- Qua O dùng ®êng vu«ng gãc víi ®êng th¼ng AB. ®îc ®iÓm M
lµ ch©n ®êng vu«ng gãc nµy.
- Dùng ®êng trßn t©m O b¸n kÝnh OM.
Chøng minh: §êng th¼ng AB tiÕp xóc víi ®êng trßn (.) v× nã
vu«ng gãc b¸n kÝnh OM. T©m O l¹i çch ®Òu ba c¹nh cña ∆, (V× O lµ
www.vnmath.com
56
O

pq
o
m
i
t
www.vnmath.com
giao ®iÓm cña çc tam gi¸c trong cña ∆ nªn OM = ON = OP). Do ®ã
çc ®êng th¼ng AC vµ BC theo thø tù vu«ng gãc víi çc b¸n kÝnh cña
ON vµ OP t¹i ®Çu mót cña chóng; suy ra mçi ®êng th¼ng trªn tiÕp
xóc víi ®êng trßn (O).
VËy (O, OM) lµ ®êng trßn ph¶i dùng.
- BiÖn luËn; Bµi to¸n cã mét nghiÖm h×nh.
Chó ý: Cã thÓ gi¶i bµi to¸n t¬ng nh sau: "Dùng ®êng trßn ngo¹i
tiÕp 1 tam gi¸c cho tríc".
T©m M cña ®êng trßn ngo¹i tiÕp ph¶i çch ®Òu 3 ®Ønh cña ∆.
nªn M lµ giao ®iÓm ba ®êng trung trùc cña ∆ ®· cho.
NÕu lµ : "Dùng ®êng trßn bµng tiÕp cña 1 tam gi¸c cho tríc" th×
ta cã thÓ t×m t©m lµ giao ®iÓm cña ph©n gi¸c trong 1gãc vµ ph©n
gi¸c ngoµi cña hai gãc cßn l¹i. Ta dùng ®îc ba ®êng trßn bµng tiÕp
cña ∆.
Bµi to¸n 2: Dùng mét ®êng trßn tiÕp xóc víi mét ®êng trßn cho tríc t¹i
mét ®iÓm cho tríc thuéc ®êng trßn ®ã vµ tiÕp xóc víi mét ®êng th¼ng
cho tríc.
- Ph©n tÝch: Gi¶ sö ®êng trßn (O)
®· dùng ®îc qua ®iÓm M trªn ®êng trßn
(I) cho tríc vµ ®ång thêi tiÕp xóc víi (I) vµ
víi ®êng th¼ng d cho tríc.
T©m O ph¶i n»m trªn ®êng th¼ng
IM. Hai ®êng trßn t©m (O) vµ (I) ph¶i cã
chung mét tiÕp tuyÕn MT qua M nªn O l¹i
ph¶i n»m trªn ph©n gi¸c ®i qua giao
®iÓm P cña d vµ Mt.
www.vnmath.com
57

m
p
p
x
y
www.vnmath.com
+ Çch dùng: - Dùng tia IM.
- Qua M dùng tiÕp tuyÕn MT cña (I) c¾t t¹i P.
- Dùng ph©n gi¸c cña gãc ¶dpt c¾t tia IM t¹i O.
- Dùng ®êng trßn t©m O b¸n kÝnh OM.
§ã chÝnh lµ ®êng trßn ph¶i dùng.
+ Chøng minh: - Ta cã OQ ⊥ d. V× OQ = OM (O n»m trªn ph©n
gi¸c gãc ¶dpt ) nªn ®êng trßn (O) tiÕp xóc víi d.
§êng trßn (O) l¹i tiÕp xóc víi (I) v× ®iÓm M n»m trªn ®êng th¼ng
OI nèi t©m cña chóng.
+ BiÖn luËn: - V× Ph¬ng tr×nh vµ d c¾t nhau t¹o thµnh hai gãc
cña gãc tpx c¾t MI kÐo dµi t¹i mét ®iÓm O', ®êng trßn t©m O' nµy
tiÕp xóc víi d ®ång thêi tiÕp xóc trong víi (I). Do ®ã bµi to¸n cã hai
nghiÖm h×nh.
- NÕu IM ⊥d th× chØ cã mét nghiÖm h×nh.
Chó ý; Ta cã çc bµi to¸n t¬ng tù sau ®©y.
1) Dùng ®êng trßn tiÕp xóc
víi 1 c¹nh cña gãc cho tríc vµ tiÕp
xóc víi c¹nh kia t¹i mét ®iÓm cho
tríc.
Gi¶ sö ®êng trßn (O) ®·
dùng ®îc tiÕp xóc víi c¹nh Px vµ
víi c¹nh Py t¹i ®iÓm M cña gãc
xPy. Tia cã çch dùng nh nhau.
- Dùng ph©n gi¸c cña gãc
xPy.
- Dùng ®êng vu«ng gãc víi Dy t¹i M.
www.vnmath.com
58

m
O
y
I
B
yn
o 3
o 2
o 1
o
www.vnmath.com
Giao ®iÓm O tia ph©n gi¸c vµ ®êng vu«ng gãc chÝnh lµ t©m ®-
êng trßn ph¶i dông.
2) §êng trßn ®i qua mét ®iÓm cho tríc vµ tiÕp xóc víi 1 ®êng
trßn cho tríc t¹i mét ®iÓm cho tríc.
Gi¶ sö ®êng trßn (I) ®· dùng ®îc tiÕp xóc víi 1 ®êng trßn (O) ®·
cho t¹i ®iÓm A vµ ®i qua ®iÓm B.
Ta thÊy r»ng t©m I ph¶i n»m
trªn.
- §êng th¼ng OA v× tiÕp xóc
víi ®êng trßn ®· cho t¹i A.
- §êng trung trùc xy cña AB v×
®êng trßn ph¶i ®i qua A vµ B.
Giao ®iÓm cña OA vµ xy lµ
t©m I cña ®êng trßn ph¶i dùng. Bµi
to¸n cã mét nghiÖm h×nh nÕu B
kh«ng n»m trªn tiÕp tuyÕn chung
MN vµ v« nghiÖm nÕu B n»m trªn
MN.
NÕu A trïng víi B th× mäi ®êng trßn cã t©m O trªn OA ®i qua A
sÏ tho¶ m·n bµi to¸n; Cã v« sè nghiÖm h×nh.
3) Dùng ®êng trßn tiÕp xóc
ngoµi víi 3 ®êng trßn b»ng nhau cho
tríc.
Gi¶ sö ®êng trßn (O) ®· dùng
®îc tiÕp xóc víi 3 ®êng trßn b»ng
nhau (O1), (O2), (O3). Ta thÊy r»ng
t©m O ph¶i c¸ch ®Òu t©m ba ®êng
www.vnmath.com
59

b
p
a
n
c
m
h
www.vnmath.com
trßn ®· cho tøc lµ OO1 = OO2 = OO3
= R + r, trong ®ã R lµ b¸n kÝnh ®-
êng trßn cÇn t×m vµ r lµ b¸n kÝnh
çc ®êng trßn b»ng nhau cho tríc.
Suy ra çch dùng sau: Dùng ®êng trung trùc cña O1O2 vµ ®êng
trung trùc cña O2O3. Chóng c¾t nhau t¹i O lµ t©m ®êng trßn ph¶i
dùng.
Râ rµng nÕu ba ®iÓm O1, O2, O3 th¼ng hµng th× bµi to¸n v«
nghiÖm.
Bµi tËp:
Bµi 1: Cho tríc ba ®iÓm M,N,P, dùng ∆ABC sao cho ch©n ba ®êng
cao cña nã theo thø tù lµ M,N,P.
Bµi 2: Dùng ∆ABC biÕt ®¸y BC, gãc A = α vµ trung tuyÕn AM = m.
Bµi 3: Cho ®o¹n th¼ng AB = a. Dùng trªn ®o¹n AB ®iÓm M sao cho
AM2
= a (A - AM). (Bµi to¸n vÒ phÐp ph©n chia hoµng kim).
Gîi ý:
Bµi 1: Gi¶ sö ∆ABC ®· dùng ®îc vµ ba ®êng cao AM, BN, CP c¾t
nhau t¹i H. VËn dông tÝnh chÊt "ch©n ba ®êng cao cña mét tam gi¸c
t¹o thµnh ba ®Ønh cña 1 tam gi¸c míi mµ ba ®êng cao lµ ph©n gi¸c
cña ba gãc cña tam gi¸c míi".
Ta cã çch dùng sau:
- Nèi ba ®iÓm M,N,P ®îc ∆MNP.
- Dùng hai ph©n gi¸c cña ∆MNP
c¾t nhau t¹i H.
www.vnmath.com
60

www.vnmath.com
- Dùng qua M,N,P çc ®êng
vu«ng gãc víi HM, HN, HP c¾t nhau t¹i
A, B, C.
Tam gi¸c ABC lµ tam gi¸c cÇn
dùng.
Bµi 2: Dùng ®îc ®¸y BC ta chØ cÇn x¸c ®Þnh vÞ trÝ ®Ønh A, ®Ønh A
ph¶i n»m trªn cung chøa gãc α dùng trªn BC ®ång thêi n»m trªn ®êng
trßn t©m lµ trung ®iÓm cña BC b¸n kÝnh b»ng m.
Ta ®îc 4 tam gi¸c b»ng nhau, nhng bµi to¸n chØ cã 1 nghiÖm
h×nh.
Bµi 3: Lu ý: BiÓu thøc x2
= a(a - x) cã thÓ viÕt
x x
a a x
=
−
.
Nh vËy x lµ ®o¹n trung b×nh nh©n gi÷a a vµ a - x ta cßn nãi
r»ng ®©y lµ phÐp chia AB theo trung vµ ngo¹i tû. Bµi to¸n dùng h×nh
næi tiÕng nµy ®îc gäi lµ phÐp chia hoµng kim.
2.1.10. Dùng thiÕt diÖn (mÆt c¾t)
* Ph¬ng ph¸p dùng:
- Cho khèi ®a diÖn (K) vµ mét mÆt ph¼ng (P). NÕu (P) c¾t çc
mÆt cña (K) mét sè ®o¹n th¼ng th× h×nh ph¼ng giíi h¹n bëi çc ®o¹n
th¼ng Êy gäi lµ thiÕt diÖn cña (K) víi (P).
- Dùng thiÕt diÖn thùc chÊt lµ dùng giao ®iÓm cña mÆt ph¼ng
víi ®êng th¼ng hoÆc dùng giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng.
- Lu ý ®Õn çc tÝnh chÊt song song trong qu¸ tr×nh dùng giao
tuyÕn:
www.vnmath.com
61

www.vnmath.com
1.
d//(P)
d (Q) d//d'
(P) (Q) d'


⊂ ⇒
 ∩ =
2.
(P)//(Q) (R) (Q) d'
(R) (P) d d//d'
∩ = 
⇒ 
∩ = 
* Bµi to¸n 1:
Cho tø diÖn ABCD; M lµ mét ®iÓm trªn c¹nh BC.
1) Mét mÆt ph¼ng (P) qua M vµ song song víi CD c¾t c¸c c¹nh
BD, AD vµ AC t¹i N, R, S. Tø gi¸c MNRS lµ h×nh g×?
2) NÕu (P) song song víi CD vµ c¶ AB n÷a th× tø gi¸c MNRS lµ
h×nh g×?
Gi¶i:
1) (P) // CD. ThiÕt diÖn lµ h×nh g×?
CD//(P)
CD (BCD) MN//CD
(BCD) (P) MN


⊂ ⇒
 ∩ =
(1)
T¬ng tù: (ACD) c¾t (P) theo RS nªn:
RS // CD (2)
2) (P) // CD vµ (P) // AB. ThiÕt diÖn lµ h×nh g×?
Lý gi¶i nh trªn c©u 1) ta cã thªm MS // NR.
www.vnmath.com
62
A
B
C
D
M
N
S
R
A
B
C
D
M
N
S
R

www.vnmath.com
VËy thiÕt diÖn MNRS lµ h×nh b×nh hµnh.
* Bµi to¸n 2:
Cho h×nh chãp S. ABCD lµ mét tø gi¸c låi. Gäi I lµ giao ®iÓm
cña AC vµ BD. VÏ thiÕt diÖn cña h×nh chãp víi mÆt ph¼ng qua I,
song song víi AB vµ SC. ThiÕt diÖn lµ h×nh g×?
Gi¶i:
* Dùng thiÕt diÖn
- Gäi (α) lµ mÆt ph¼ng qua I song song víi AB vµ SC. (α) c¾t
AD t¹i M vµ BC t¹i N th×:
MN // AB
(α) c¾t SB t¹i P vµ SA t¹i Q th×:
NP // SC vµ PQ // AB
* C¸ch dùng
- Qua I dùng MN // AB (M ∈ AD; N ∈ BC)
- Tõ N dùng NP // SC (P ∈ SB)
- Tõ P dùng PQ // AB (Q ∈ SA)
ThiÕt diÖn cña h×nh chãp víi mÆt ph¼ng (α)
qua I song song víi AB vµ SC lµ tø gi¸c MNPQ.
* ThiÕt diÖn lµ h×nh g×?
Nh trªn ®· thÊy:
MN//AB
MN// PQ
PQ// AB

⇒

* Bµi to¸n 3:
Cho l¨ng trô tam gi¸c ABCA'B'C'. Gäi M, N, P lÇn lît lµ trung
®iÓm c¸c c¹nh AB, AA' vµ A'C'. H·y dùng thiÕt diÖn cña l¨ng trô víi
mÆt ph¼ng (MNP).
www.vnmath.com
63
S
Q P
BA
M N
C
D
I
J
A'
A
N
P
B'
B
M
R
C
C'
I

www.vnmath.com
Gi¶i:
• §êng th¼ng MN c¾t çc ®êng
th¼ng BB', B'A' lÇn lît t¹i I vµ J (MN, BB' vµ
B'A' cïng ë trong mÆt ph¼ng (ABB'A')).
• Nèi JP. §êng th¼ng nµy c¾t BC t¹i
Q.
• Nèi IQ. §êng th¼ng nµy c¾t BC t¹i
R.
ThiÕt diÖn cña l¨ng trô víi mÆt
ph¼ng (MNP) lµ ®a gi¸c MNPQR.
Ghi chó:
(i) Do (ABC) // (A'B'S') nªn MR // PQ. Ngoµi ®Æc ®iÓm nµy ra
th× thiÕt diÖn kh«ng cã ®Æc ®iÓm g× kh¸c.
(ii) Hai ®êng th¼ng chØ c¾t nhau khi chóng cïng mÆt ph¼ng
vµ kh«ng song song.
* Bµi to¸n 4:
Cho h×nh chãp SABCD, ®¸y lµ tø gi¸c låi ABCD. H·y dùng thiÕt
diÖn cña h×nh chãp víi mÆt ph¼ng (P) qua A vµ song song víi BD.
Gi¶i:
- Gäi O lµ giao ®iÓm cña hai ®êng chÐo AC vµ BD trong mÆt
®¸y ABCD. MÆt ph¼ng (P) c¾t SO t¹i O' vµ c¾t mÆt ph¼ng (SBD)
theo giao tuyÕn B'D' song song víi BD // (P). Do ®ã çch dùng:
* Çch dùng:
• Nèi SO; lÊy mét ®iÓm O' trªn ®o¹n
SO.
www.vnmath.com
64
S
A B
CD
O
B'
C'
D' O'

www.vnmath.com
• Qua O' dùng ®êng th¼ng song
song víi BD, ®êng th¼ng nµy c¾t SB vµ
SD t¹i B' vµ D'.
• AO' c¾t SC t¹i C'.
ThiÕt diÖn lµ tø gi¸c AB'C'D'.
2.2. VÊn ®Ò 2: KhuyÕn khÝch häc sinh t×m ra nhiÒu çch gi¶i cho mét
bµi to¸n h×nh häc kh«ng gian.
VÊn ®Ò nµy ®îc x©y dùng dùa trªn c¬ së mét vÊn ®Ò To¸n häc
cã nhiÒu çch nh×n nhËn theo çc gãc ®é kh¸c nhau. Víi mét bµi to¸n
®îc gi¶i b»ng nhiÒu çch gi¶i kh¸c nhau, häc sinh sÏ ®îc tiÕp cËn theo
nhiÒu ®êng lèi, kiÕn thøc réng h¬n, s©u s¾c h¬n. Tõ çc ph¬ng thøc
tiÕp cËn ®ã cã thÓ gi¶i quyÕt ®îc vÊn ®Ò mét çch nhanh chãng, linh
ho¹t. Tuy nhiªn, kh«ng ph¶i bµi to¸n nµo còng gi¶i ®îc theo nhiÒu ph-
¬ng ph¸p, çch gi¶i kh¸c nhau, song ®èi víi mét sè bµi to¸n vÒ h×nh
häc kh«ng gian, ®Æc biÖt lµ çc bµi to¸n vÒ h×nh hép, tø diÖn vu«ng,
h×nh chãp … ta cã thÓ gi¶i ®îc theo nhiÒu çch kh¸c nhau. Cô thÓ,
sau khi gi¶i xong mét çch nµo ®ã cña bµi to¸n, gi¸o viªn còng nªn hái
häc sinh: "Bµi to¸n nµy cã çch gi¶i nµo kh¸c n÷a hay kh«ng?". NÕu gi¸o
viªn kh«ng ®Æt ra c©u hái nµy e cã nhiÒu häc sinh sÏ tá ra bøc xóc vµ
biÕt ®©u çc em cßn cã nhiÒu çch gi¶i, ph¬ng ph¸p kh¸c hay h¬n nhiÒu
çch gi¶i võa ®îc tr×nh bµy. Mçi häc sinh cã kh¶ n¨ng liªn tëng, huy ®éng
kiÕn thøc kh¸c nhau tuú vµo kh¶ n¨ng t duy gi¶i quyÕt vÊn ®Ò cña çc
em.
VÝ dô 1: Cho tø diÖn ABCD. Gäi M, N lÇn lît lµ trung ®iÓm cña çc
c¹nh AB, CD, vµ G lµ trung ®iÓm cña ®o¹n MN. Chøng minh r»ng ®-
www.vnmath.com
65
a
d
m
b
g
n
c
i a '

www.vnmath.com
êng th¼ng AG ®i qua träng t©m A' cña ∆BCD. Ph¸t biÓu kÕt luËn t-
¬ng tù ®èi víi çc ®êng th¼ng BG; CG; DG.
Çch 1:
+ Chøng minh AG ®i qua A'.
⇔ Chøng minh A, G, A' th¼ng hµng.
⇔ Chøng minh A, G, A' cïng thuéc hai mÆt ph¼ng.
Do G ∈ MN nªn G ∈ mÆt ph¼ng (ABN)
Do A' lµ träng t©m ∆BCD nªn A' ∈ BN
⇒ A' ∈ mp (ABN)
⇒ A, G, A' ∈ mp (ABN) (1)
Gäi I, J lÇn lît lµ trung ®iÓm BC, AD. Ta dÔ dµng chøng minh
®îc tø gi¸c MIJ lµ h×nh b×nh hµnh hay G ∈ IJ ⇒ G ∈ mp (ADI)
MÆt kh¸c A' ∈ DI ⇒ A' ∈ mp (ADI)
⇒ A, G, A' ∈ mp (ADI) (2)
Tõ (1) vµ (2) ⇒ A, G, A' th¼ng hµng hay AG ®i qua A'.
Çch 2:
1) Chøng minh AG ®i qua A'.
Trong ∆ABN gäi A'' lµ giao cña BN vµ AG. ¸p dông ®Þnh luËt
Men ®e lªuyt cho ba ®iÓm A, G, A'' ta cã:
AM BA'' NG
. . 1
AB A''N GM
=
Trong ®ã:
AM 1
AB 3

=



(V ×M lµtrung ®iÓm cñaAB)
MG
=1(V ×Glµtrung ®iÓmcñaMN)
GM
www.vnmath.com
66

www.vnmath.com
Thay vµo ta cã:
BA'' AB
2
A''N AM
= = hay BA'' = 2A'N (1)
MÆt kh¸c v× A' lµ träng t©m ∆BCD nªn
A' BN
BA' 2A'N
∈

=
(2)
Tõ (1) vµ (2) ⇒ A'' ≡ A'. VËy AG ®i qua A'
C¸ch 3:
1) Chøng minh A, G, A' th¼ng hµng.
⇔ Chøng minh AA', GA' cïng song song mét ®êng th¼ng.
Dùng ®êng th¼ng MH // AA' (H ∈ BN) (1)
Khi ®ã MH lµ ®êng trung b×nh ∆ABA'.
⇒ H lµ trung ®iÓm BA ⇒ BH = HA'.
MÆt kh¸c: BA' = 2A'N hay 2HA' = 2A'N.
⇒ A' lµ trung ®iÓm HN
⇒ GA' // MH (2)
Tõ (1) vµ (2) ⇒ A, G, A' th¼ng hµng
hay AG ®i qua A' .
C¸ch 4:
Do A' lµ träng t©m ∆BCD ⇒ A' = BN ∩ DI (I lµ trung ®iÓm BC).
Nªn A, G, A' th¼ng hµng.
⇒ AG, BN, DI ®ång quy.
Gäi J lµ trung ®iÓm AD.
Khi ®ã ta cã tø gi¸c MINJ lµ h×nh b×nh hµnh.
⇒ G ∈ IJ, G ∈ MN ⇒ AG lµ giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng (ABN) vµ
(ADI).
DI lµ giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng (ADI) vµ (BCD).
BN lµ giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng (BCD) vµ (ABN)
www.vnmath.com
67
m
a
na '
g
b
h

www.vnmath.com
Mµ DI ∩ BN = A' (träng t©m ∆BCD).
Suy ra (theo ®Þnh luËt vÒ giao tuyÕn cña ba mÆt ph¼ng) AG,
BN, DI ®ång quy t¹i A' hay A, G, A' th¼ng hµng.
VËy AG ®i qua träng t©m A' cña ∆BCD. ( )
VÝ dô 2: Cho h×nh lËp ph¬ng ABCD A1B1C1D1
Chøng minh A, G, C1 th¼ng hµng (G lµ träng t©m ∆A1BD).
C¸ch 1:
A, G, C1 th¼ng hµng ⇔ A, G, C1 ®ång thêi thuéc hai mp ph©n
biÖt.
Gäi O lµ t©m h×nh vu«ng ABCD.
⇒ A1O ⊂ (AA1C1C)
V× G ∈ A1O ⇒ G ∈ (AA1C1C)
VËy A, G, C1 ∈ (AA1C1C) (1)
Gäi O1 lµ t©m cña h×nh vu«ng ABB1A1
⇒ DO1 lµ trung tuyÕn cña ∆A1B1D
⇒ G ∈ DO1 ⊂ (ADC1B1)
⇒ G ∈ (AD C1B1)
VËy A; G; C1 ∈ (ADC1B1) (2)
Do mÆt ph¼ng (ADC1B1) vµ mÆt ph¼ng (AA1C1C) lµ hai mÆt
ph¼ng ph©n biÖt nªn tõ (1) vµ (2) suy ra A, G, C1th¼ng hµng.
C¸ch 2:
A, G, C1 th¼ng hµng ⇔ AC1 chøa G.
Gäi O lµ t©m h×nh vu«ng ABCD. Ta cã A1O ∈ (AA1C1C)
Gäi G lµ giao ®iÓm AC1 vµ A1O.
www.vnmath.com
68
G
C1
D1
B1
o
A1
a
d c
b
O1

www.vnmath.com
Khi ®ã G lµ giao ®iÓm cña AC1 vµ mÆt ph¼ng (A1BD). Ta sÏ
chøng minh G lµ träng t©m ∆A1BD ⇔ Chøng minh A1G = 2GO.
XÐt ∆AOG vµ ∆C1GA1. Cã AO // A1C1 ⇒
1 1 1
AO OG 1
A C A G 2
= =
Hay A1G = 2GO.
VËy G lµ träng t©m ∆A1BD.
C¸ch 3: V× G lµ träng t©m ∆A1BD ⇒ G = A1O ∩ DO1
VËy A1, G, C1 th¼ng hµng ⇔ AC1, A1O, DO1 ®ång quy (O, O1
lÇn lît lµ t©m cña h×nh vu«ng ABCD, ABB1A1).
Ta cã: AC1lµ giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng (ADC1B1) vµ
(ACC1A1)
DO1lµ giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng (ADC1B1) vµ (A1BD).
A1O lµ giao tuyÕn cña hai mÆt ph¼ng (A1BD) vµ (ACC1A1)
(V× O1 ∈ A1B ⇒ DO1 ⊂ (A1BD); O = AC ∩ BD.
⇒ A1O ∈ (ACC1A1)
Mµ DO1 ∩ A1O = G. VËy theo ®Þnh lý vÒ giao tuyÕn cña ba
mÆt ph¼ng ta cã AC1, DO1, A1O ®ång quy t¹i G (G lµ träng t©m
∆A1BD)
Hay A, G, C1th¼ng hµng.
C¸ch 4: Hai gãc ë vÞ trÝ ®èi ®Ønh
Trong mÆt ph¼ng (ACC1A1). XÐt ∆AOG vµ ∆C1OA1 cã
1 1 1
AO OG 1
A C A G 2
= =
(V× O lµ trung ®iÓm AC, G lµ träng t©m ∆A1BD)
· ·
1 1AOG C A G= (Gãc so le trong)
VËy ∆C1OA1 ~ ∆AOG hay · ·
1 1OGA A GC=
(ë vÞ trÝ ®èi ®Ønh).
www.vnmath.com
69
a c
c '
g
o
a '

www.vnmath.com
⇒ A, G, C1 th¼ng hµng.
VÝ dô 3: Cho h×nh chãp S ABCD cã SA ⊥ mÆt ph¼ng (ABCD); SA =
2. §¸y ABCD lµ h×nh ch÷ nhËt, AB = 1, BC = 3. TÝnh kho¶ng çch
gi÷a hai ®êng th¼ng AC vµ SD.
Çch 1: Xem kho¶ng çch lµ ®é dµi ®o¹n ⊥ gãc chung.
Tõ D dùng Dx // AC.
Tõ A dùng AF ⊥ Dx (F ∈ Dx)
vµ AH ⊥ SF (H ∈ SF)
Qua H kÎ ®êng th¼ng HP // FD (P ∈ SD)
KÎ PQ // AH (Q ∈ AC)
Khi ®ã PQ lµ ®o¹n ⊥ gãc chung cña AC vµ SD.
ThËt vËy:
FD AF
FD SA
⊥ 

⊥ 
⇒ FD ⊥ (SAF) ⇒ FD ⊥ AH.
Mµ AH ⊥ SF ⇒ AH ⊥ (SFD) ⇒ AH ⊥ SD.
Do AH // PQ ⇒ PQ ⊥ SD (1)
MÆt kh¸c AH ⊥ FD ⇒ AH ⊥ AC ⇒ PQ ⊥ AC (2)
Tõ (1) vµ (20 ⇒ PQ lµ ®o¹n vu«ng gãc chung.
XÐt ∆AFD vu«ng vµ ∆CDA vu«ng cã
· · · ·FDA DAC (Sole); FAD ACD= =
VËy ∆AFD ~ ∆CDA ⇒
AF AD AD.CD AB.BC 3
AF
CD AC AC AC 10
= ⇒ = = =
2 2 2
1 1 1 1 10 49 6
AH
AH SA AF 4 9 36 7
= + = + = ⇒ = .
VËy d(AC, SD) = AH =
6
7
.
www.vnmath.com
70
b
c
s
h
f
d
x
a
qp

www.vnmath.com
Çch 2: Kho¶ng çch gi÷a AD vµ SD lµ kho¶ng çch tõ ®êng th¼ng AC
®Õn mÆt ph¼ng (SFD).
Gäi (P) lµ mp qua SD vÊn ®Ò Dx. Khi ®ã (P) // AC.
VËy d (AC, SD) = d(AC, (P)) = d(A, (P)).
Dùng AH ⊥ Dx (F ∈ Dx)
AH ⊥ SF (H ∈ F)
Sauy ra AH ⊥ (SFD) hay AH ⊥ (P)
Do ®ã: d(AC, SD) = d(A, P) = AH =
6
7
.
Çch 3: Xem kho¶ng çch gi÷a AC vµ
SD lµ kho¶ng çch cña hai mÆt ph¼ng.
Gäi (P) lµ mp qua SD vµ Dx, (Q) lµ mp qua AC vµ (P) // (Q).
Khi ®ã d(AC, SD) = d((Q), (P)) = d((A), (P)) = AH =
6
7
Çch 4: Xem kho¶ng çch AC vµ SD lµ chiÒu cao h×nh chãp cã ®Ønh
A vµ ®¸y lµ ∆SFD, h×nh chãp SAFD.
Ta cã: d(AC, SD) =
ASFD
SFD
3V
S . Trong ®ã VASFD =
1
6 SA. AF. FD
Ta cã: SA = 2, AF = 2 2 23 9 9
FD AD AF 3
1010 10
⇒ = − = − =
Suy ra VASFD =
1
6
. 2 .
3 9 9
.
1010 10
=
SD = 2 2
SA AD 4 9 13+ = + =
www.vnmath.com
71
a
x
d
f
h
s
c
b

www.vnmath.com
SF = 2 2 81 7
SD FD 13
10 10
− = − =
Suy ra SSFD =
1 1 7 9 63
SF.FD . .
2 2 2010 10
= =
Do ®ã d(AC, SD) =
6
7
.
Çch 5: Xem kho¶ng çch AC, SD lµ chiÒu cao h×nh hép cã 2 ®¸y lÇn
lît chøa hai c¹nh AC, SD.
Dùng h×nh hép ACEDPQRS.
Ta cã: d(AC, SD) =
2
h
DERS
V
S
Trong ®ã:
ThÓ tÝch h×nh hép
V = SA. SACDE
⇒ V = 2. SA . SACD = SA. AD. DC = 6.
Ta cã: SDERS = DS. DE. sin ( ·SDE )
= DS. DE . sin ( ·SDE )
= DS. DE .
FS
DE.FS
SD
=
= AC. FS =
7
10.
10
= 7.
VËy d(AC, SD) =
6
7
.
VÝ dô 4: Cho tø diÖn OABC cã OA, OB, OC ®«i mét ⊥ nhau vµ OA =
OB + OC. Chøng minh r»ng tæng ba gãc ph¼ng t¹i ®Ønh A b»ng 900
.
Çch 1: §Æt · · ·BAC ,OAB , OAC= α = β = γ . Khi ®ã bµi to¸n trë thµnh bµi
to¸n chøng minh α + β + γ = 900
⇔ α = 900
- (β + γ)
www.vnmath.com
72
p
q
r
s
a
c
c
df

www.vnmath.com
⇔ cos α = sin(β + γ) (*)
Ta cã VT cña (*) cosα =
2 2 2
AB AC BC
2.AB.AC
+ −
(§Þnh lý h/s cosin cho
∆ABC)
⇔ α =
2 2 2 2 2 2
OA OB OC (OB OC ) OA
2AB.AC AB.AC
+ + − +
= (1)
VÕ ph¶i cña (*): sin (β + γ) = sinβ . cosγ + cosβ . sinγ
⇒ sin (β + γ) =
OB OA OA OA
. .
AB AC AB AC
+
=
2
OA OA
(OB OC)
AB.AC AB.AC
+ = (2)
(V× OA = OB + OC theo gi¶ thiÕt).
Tõ (1) vµ (2) ⇒ (*) ®óng.
VËy tæng ba gãc ph¼ng t¹i ®Ønh A b»ng 900
.
C¸ch 2: Víi c¸ch ®Æt trªn
¸p dông ®Þnh lý h/s cosin cho ∆ABC.
cosα =
2 2 2
AB AC BC
2AB.AC
+ −
⇒ cosα =
2
OA CA OA
. cos .cos
AB.AC AB AC
= = β γ .
Theo gi¶ thiÕt
OA = OB + OC ⇔ 1 =
OB OC
tg tg
OA OA
+ = β + γ
⇔ cosβ . cosγ = sinβ . cosγ + sinγ . cosβ
⇔ cosα = sin(β + γ)
www.vnmath.com
73

www.vnmath.com
⇒
( )
2
2
π
α = − β + γ

πα = β + γ −

Trong ∆OAB cã OA > OB nªn β < ·OBA ⇒
4
π
β <
T¬ng tù ta cã γ < 4
π . VËy β + γ < 2
π .
Nªn α = 2
π - (β + γ)
VËy α + β + γ = 2
π hay tæng ba gãc ph¼ng t¹i ®Ønh A b»ng
900
.
C¸ch 3:
§Æt OA = a; OB = b; OC = c.
Khi ®ã v× ∆OBC ⊥ t¹i B.
Nªn BC = 2 2 2 2
OB OC B C+ = +
Trong mp bÊt kú ®i qua ®Ønh A, dùng
h×nh vu«ng c¹nh b»ng b + c.
H×nh vu«ng AA1A2A3
Trªn c¹nh A1A2 lÊy ®iÓm B sao cho A1B' = b.
Trªn c¹nh A2A3 lÊy ®iÓm C sao cho A3C' = c
⇒ B'C' = 2 2 2 2
2 2(A C') (A B') B C+ = +
Khi ®ã ta cã ∆AA3C' = ∆AOC; ∆AA1B' = ∆OAB
∆AB'C' = ∆ABC (C. C. C)
⇒ · · · · 0
3 1 3 1A AC' L'AB' BAA A AA 90+ + = = hay α + β + γ = 900
.
VËy tæng c¸c gãc ph¼ng ë ®Ønh cña tø diÖn b»ng 900
.
www.vnmath.com
74
a 3 c '
b'
a
α
α
β
a 2
a 1

www.vnmath.com
VÝ dô 5: Cho h×nh lËp ph¬ng ABCDA1B1C1D1 cã c¹nh b»ng 1. Gäi M,
N lÇn lît lµ çc ®iÓm thuéc çc c¹nh AD, BD1 sao cho AM = BN < 1.
Gäi I, J lÇn lît lµ trung ®iÓm AB, C1D1.
CMR: Bèn ®iÓm M, I, N, J ®ång ph¼ng.
Çch 1: §Ó chøng minh M, I, N, J ®ång ph¼ng ta sÏ chøng minh MI
c¾t NJ ta cã tø gi¸c AIJD1 lµ h×nh ch÷ nhËt
(V× AI // = JD1 =
1
2
vµ ·
1IAD = 900
).
⇒ IJ ⊥ AB vµ IJ ⊥ C1D1
(1)
Ta còng cã: Tø gi¸c DIB1J lµ h×nh
thoi
⇒ IJ ⊥ B1D1 t¹i trung ®iÓm O
cña mçi ®êng. Khi ®ã thùc hiÖn phÐp
®èi xøng trôc IJ.
DIJ: A α B tho¶ m·n AD = BB1
D α B1 AM = BM'
M α M'
Mµ BN = AM ⇒ BN = BM' ⇒ N ≡ M'.
VËy DIJ: M α N.
⇒ Bèn ®iÓm M, I, N, J ®ång ph¼ng.
Çch 2: (¸p dông ®Þnh lý Minebuyt trong kh«ng gian)
XÐt çc tø gi¸c ghÒnh ABB1D. Cã
1
1 1
IA BN B O DM BN DM
. . . . 1
IB NB OD MA NB MA
= =
(V× I, O lµ trung ®iÓm cña AB, B1D vµ BN = AM ⇒ DM = NB1)
www.vnmath.com
75
a M D
b
n
b1
C
i
A1
C1
J
D1

www.vnmath.com
⇒ 4 ®iÓm M, I, N, O ®ång ph¼ng.
MÆt kh¸c ta l¹i cã tø gi¸c DIB1J lµ h×nh thoi nªn J ∈ OI. VËy 4
®iÓm M, I, N, J ®ång ph¼ng.
C¸ch 3: §Ó chøng minh bèn ®iÓm M, I, N, J ®ång ph¼ng ta chøng
minh mÆt ph¼ng ®i qua ba trong bèn ®iÓm sÏ ®i qua ®iÓm cßn l¹i.
Gäi (P) lµ mp ®i qua ba ®iÓm I, M, J. Trong mp (ABCD)
∆IAM ~ ∆IBD ⇒
IA AM
1
IB BD
= =
⇒ AM = BD (1)
∆IAM ~ ∆QDM ⇒
IA AM
DQ MD
=
⇒ PQ =
IA.MD
AM
.
Trong mp (CDD1C1): ∆QDE ~ ∆JD1E.
⇒
1 1 1
1
JD ED JD .ED
ED
QD ED QD
= ⇒ =
⇒ 1
1
ID .ED.AM EA.AM
ED
IA.MD MD
= =
(IA = JD1 =
1
2
).
∆ ID1E ~ ∆JC1R ⇒
1 1
1 1
C R ED
C J JD
=
⇒ C1R + ED1 =
ED.AM
MD
.
(E1D1 =
1(1 ED )AM
(1 AM)
−
−
⇔ ED1 - ED1 . AM = AM - ED1 . AM
⇒ ED1 = AM
⇒ C1R = AM (2)
www.vnmath.com
76
D1
J
C1
A1
i
C
b1
D
Ma
b
f

www.vnmath.com
Tõ (1) vµ (2) ⇒ ∆PCR vu«ng c©n (CP = CR)
⇒ ∆PBN' ⊥ c©n hay BD = BM' = AM
⇒ N' = N hay N ∈ (P)
VËy M, I, N, J ®ång ph¼ng.
VÝ dô 6: CHo h×nh ch÷ nhËt ABCDA1B1C1D1 cã çc kÝch thíc lÇn lît
AB = a, AD = b, AA1 = C. TÝnh kho¶ng çch gi÷a hai ®êng th¼ng AD
vµ BD1.
Çch 1:
Tõ D kÎ DH ⊥ CD1 (H ∈ CD1)
Tõ H kÎ HE // BC (E ∈ BD1)
Tõ E kÎ EF // DH (F ∈ AD)
Khi ®ã EF lµ ®êng vu«ng
gãc chung cña AD vµ BD1.
ThËt vËy: Do BC ⊥
(CDD1C1) nªn BC ⊥ DH mµ DH ⊥
CD1 suy ra DH ⊥ (BCD1) ⇒ DH ⊥
BD1.
⇒ EF ⊥ BD1 (V× EF // DH) (1)
MÆt kh¸c: AD ⊥ (CDD1C1)
⇒ AD ⊥ DH
⇒ EF ⊥ AD (V× EF // DH) (2)
Tõ (1) vµ (2) ⇒ EF lµ ®êng ⊥ gãc chung cña BD1 vµ AD.
Ta cã d (AD, BD1) = EF = DH.
Trong ®ã:
2 2
2 2 2 2 2 2
1
1 1 1 1 1 a c
DH DD DC C a (ac)
+
= + = + =
www.vnmath.com
77
c 1
b1
d 1
f
b
a 1
a
cd
h
e

Tailieu.vncty.com boi-duong-tu-duy-sang-tao-qua-giai-bt-hinh-hoc

Tailieu.vncty.com boi-duong-tu-duy-sang-tao-qua-giai-bt-hinh-hoc

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

Tendances

Tendances (13)

En vedette

En vedette (17)

Similaire à Tailieu.vncty.com boi-duong-tu-duy-sang-tao-qua-giai-bt-hinh-hoc

Similaire à Tailieu.vncty.com boi-duong-tu-duy-sang-tao-qua-giai-bt-hinh-hoc (11)

Plus de Trần Đức Anh

Plus de Trần Đức Anh (20)

Tailieu.vncty.com boi-duong-tu-duy-sang-tao-qua-giai-bt-hinh-hoc