2. LA DERIVADA
El concepto es sencillo, la derivada es la
pendiente de la recta tangente a la función
y=f(x) en el p = ( x, f ( x )).
y f
(x, f(x))
.
Recta tangente
x
x
3. Pendiente de la recta
tangente a una Curva
y
f Recta secante
.(x+ ∆x, f(x+ ∆x))
∆y (x, f(x)) ∆y Recta tangente
. ∆x ∆y = f(x + ∆x) − f(x)
ms= ∆x
∆x
∆x
x
x
x+∆x f(x + ∆x)− f(x)
mt ( x) = f ' (x) = lím
∆x→0 ∆x
4. Definición de derivada (diferenciabilidad)
La derivada de una función f es aquella función,
denotada por f ´, tal que su valor en un número
x1 del dominio de f está dado por:
f(x1 + ∆x) − f(x1 )
f ´(x1 ) = lím
∆x→0 ∆x
si este límite existe.
O equivalentemente:
f(x) − f(x 1 )
f´(x 1 ) = lím
x → x1 x - x1
5. Hallar las derivadas de las siguientes funciones
Y evaluar en el punto dado, si existe dicha
derivada.
1. f ( x ) = x , x ∈ R
3
, X=0
2. f ( x ) = x − 1 x ∈ R
2
, X=1
⎧ x sen (1 / x ) , x ≠ 0
3/ 2
3. f ( x ) = ⎨
⎩ 0 , x=0 , X=0
4. f ( x ) = x − 1
3 , X=1
6. Reglas de derivación
Siempre que f ´(x) y g´(x) existan
1. Diferenciación de una constante
Si f(x) = c, entonces, f ´(x) = 0
2. Diferenciación de potencias (n ∈ Z+)
Si f(x) = xn, entonces, f ´(x) = n x n -1
3. Diferenciación para producto con una constante
Si h(x) = c f(x), entonces, h´(x) = c f ´(x)
6
7. 4. Diferenciación de una suma
Si h(x) = f(x)+g(x), entonces, h´(x) = f ´(x) + g´(x)
5. La derivada de la suma de un número finito de
funciones es igual a la suma de las derivadas
6. Diferenciación de un producto
Si h(x) = f(x)g(x), entonces,
h´(x) = f ´(x)g(x) + f(x)g´(x)
7
8. 7. Diferenciación de un cociente
Si h(x) = f(x)/g(x), entonces,
h´(x) = f ´(x)g(x) - f(x)g´(x)
[g(x)]2
8. Diferenciación de potencias (n ∈ Z- )
Si f(x) = x- n, entonces, f ´(x) = -n x- n -1, x ≠ 0
De esto se deduce que si r ∈ Z-{0}, entonces,
Dx[x r ] = r x r -1
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9. Hallar las derivadas de las funciones
cos x
1. f (x) = 2
x + 4
senx
2. f (x) =
x
1 + x cos x
3. f (x) =
2 + senx
3x2 + 6x
4. f (x) =
tan x
5. f ( x ) = ( 3 cos x ) 4 x
( x + 1 )( x + 9 )( x − 2 )
6. f ( x) =
( x 4 + 1 )( x 2 + 5 )
10. 1
7. f ( x ) = ( x + 1)( x + 6 + )
2
x
5 + 2x
8. f ( x ) = hallar f ' ( 2)
x
1 − 3x
9. f ( x ) =
( x + 1)( x + 2)
11. DERIVADAS LATERALES
Definición. Sea la función f(x). Definimos
1. La derivada por la derecha de f(x) en el
a f (a + h) − f (a)
f '+ (a) = lim
h→0 +
h
si tal límite lateral existe.
2. La derivada por la izquierda de f(x) en el
a f ( a + h) − f ( a )
f '− (a) = lim
h→0−
h
si tal límite lateral existe.
12. Nota.
1. Si f es diferenciable f ' ( x ) si y solamente si
existen y son iguales las derivadas
laterales f ' + ( x ) = f ' − ( x ) .
2. Si los límites laterales son diferentes entones
la gráfica de la función f tiene un ANGULO
O ESQUINA en el punto (a, f(a))
Ejemplos. Hallar las derivadas laterales
1. f ( x ) = x , x = 0
2. f ( x ) = x 2 − 4 , x = 2 y x = −2
⎧2 x + 1 , x > 2
3. f ( x ) = ⎨
⎩ 4x , x < 2
13. Derivada de la función compuesta
Si la función g es diferenciable en x y la función
f es diferenciable en g(x), entonces la función
compuesta f o g es diferenciable en x, y
(f o g)´(x) = f ´(g(x)) g´(x)
También se le conoce como “regla de la cadena”
Si hacemos u = g(x), tenemos:
Dx[f(u)] = f ´(u)Dxu
13
14. Diferenciación Implícita
Algunas funciones no están definidas de manera
explicita por una ecuación, si no implícitamente,
Ejemplo:
x2 + y - y5 = x - 7y2
No podemos despejar y en términos de x. Pero
podemos determinar dy/dx de manera implícita,
basada en la regla de la cadena. Este proceso se
llama, “diferenciación implícita”.
14
15. Nota.
Sea una función y = ln( g ( x )) , g ( x ) > 0
1
entonces y ' = (ln g ( x ))' = g ' ( x)
g ( x)
Ejemplos. Hallar las derivadas de las siguientes
funciones .
( x +6)
1. y = 3
x ( x + 2 )( x + 3 )
2. y = 2
16. Recta tangente a la gráfica de una función
Suponga que f es contínua en x1. La recta
tangente
a la gráfica de f en el punto P(x1, f(x1))
(i) tiene pendiente
f(x1 + ∆x) − f(x1 )
m(x1 ) = lím
∆x →0 ∆x
si este límite existe.
(ii) tiene ecuación x = x1 si los límites
laterales
en la expresión anterior dan +∞ ó -∞
17. Recta normal a una gráfica
La recta normal a una gráfica en un punto dado es
la recta perpendicular a la recta tangente en ese
punto.
Recta normal
Ln
Recta tangenta
Lt
f ( x1 )
y = f(x)
x1
Lt : y = m( x1 )( x − x1 ) + f ( x1 )
18. Hallar las ecuaciones de las rectas tangente
Y normal de las siguientes funciones en el
punto dado.
* f ( x) = x 2
, x = −1 / 4
* f ( x ) = (1 / 4) x 3
, x =1
