11

1. Тригонометр
Өнцгийг радионаар илэрхийлэх
Нэгж радиустай (r=1) тойрог
авъя: c- тойргийн урт .
Энэ тойргийн урт 𝑐 = 2𝜋𝑟 = 2𝜋
Нөгөө талаас тойргийн нумын эргэлтийн
хэмжээ нь 3600
тэнцүү байдаг. Иймд
2𝜋 = 3600
байна. 2𝜋 ≈ 6.28
(2𝜋 ≈)6.28 радион хэмжээ = 360 градус
Эндээс 𝟏 𝟎
=
𝝅
𝟏𝟖𝟎
; 𝟏 радиан =
3600
6.28
байна.
Тэгвэл зарим нэг өнцгийг радион
хэмжээгээр илэрхийлвэл: 𝟏𝟖𝟎 𝟎
= 𝝅;
𝟗𝟎 𝟎
=
𝝅
𝟐
; 𝟔𝟎 𝟎
=
𝝅
𝟑
; 𝟒𝟓 𝟎
=
𝝅
𝟒
; 𝟑𝟎 𝟎
=
𝝅
𝟔
; .
Бодолго: 𝟏𝟐𝟎 𝟎
, 𝟏𝟑𝟓 𝟎
, 𝟏𝟓𝟎 𝟎
, 𝟐𝟏𝟎 𝟎
, 𝟐𝟐𝟓 𝟎
, 𝟐𝟒𝟎 𝟎
, 𝟐𝟕𝟎
𝟎
,
𝟑𝟎𝟎 𝟎
, 𝟑𝟏𝟓 𝟎
, 𝟑𝟑𝟎 𝟎
өнцгүүдийг радионаар илэрхиил.
r=1
𝟑𝟔𝟎 𝟎

2. Тригонометрийн функцүүд ба
тэдгээрийн чанарууд, үндсэн адитгал
Тригнометрийн функцийг 10-р ангид
үзсэн билээ. Энд 𝐬𝐢𝐧 ∝, 𝐜𝐨𝐬 ∝, 𝐭𝐠 ∝, 𝐜𝐭𝐠 ∝
(синус, косинус, тангес, котангес)
функцүүдийг байдаг.
Өмнө нь тэгш өнцөгт гурвалжны хувьд
тодорхойлвол: a,b- катет, c -гипотенуз
∝ өнцгийн налсан катет a,
эсрэг катет b.
𝐬𝐢𝐧 ∝=
эсрэг катет
гипотенуз
=
𝒂
𝒄
𝐜𝐨𝐬 ∝=
налсан катет
гипотенуз
=
𝒃
𝒄
байдаг.
∝ 𝛽
𝒄
𝒃 𝒂

3. Одоо координатын эх дээр төвтэй нэгж
радиустай (r =1 ) тойрог байгуулая.
Тойрог дээр М цэг авч координатын эхтэй
хэрчмээр холбоно.
Хэрчим Ох
тэнхлэгтэй
үүсгэх
өнцгийг ∝ гэе.
M(x;y)-гэж үзье.
Зураг дахь ∆𝑨𝑶𝑴 нь
тэгш өнцөгт гурвалжин тул ∝ өнцгийн
хувьд өнцгийн харьцаа бичвэл: r =1
{ ∝-ийн налсан катет ОА=x, эсрэг катет
нь АМ= y болно.}
𝐬𝐢𝐧 ∝=
эсрэг катет
гипотенуз
=
𝑶𝑨
𝒓
=
𝒚
𝟏
= 𝒚
∝ x
y
0 1-1
-1
1
M(x,y)
𝑥
𝑦
𝑟
O A

4. 𝐜𝐨𝐬 ∝=
налсан катет
гипотенуз
=
𝑨𝑴
𝒓
=
𝒙
𝟏
= 𝒙
гэж гарна.
Эндээс {
𝒙 = 𝒄𝒐𝒔 ∝
𝒚 = 𝒔𝒊𝒏 ∝ буюу {
𝒄𝒐𝒔 − н утгыг 𝒙
𝒔𝒊𝒏 − н утгыг 𝒚
илэрхийлдэг байна.
Одоо sin∝; cos∝-ийн зарим өнцөг дээрх
утгуудыг зураг ашиглан олье.
𝐬𝐢𝐧 𝟑𝟎°
=
𝟎.𝟓
𝟏
=
𝟏
𝟐
𝐜𝐨𝐬 𝟑𝟎°
=
𝟎.𝟖𝟔
𝟏
=
√𝟑
𝟐
𝐬𝐢𝐧 𝟔𝟎°
=
𝟎.𝟖𝟔
𝟏
=
√𝟑
𝟐
𝐜𝐨𝐬 𝟔𝟎°
=
𝟎.𝟓
𝟏
=
𝟏
𝟐
𝐬𝐢𝐧 𝟗𝟎°
=
𝟏
𝟏
= 𝟏
𝐜𝐨𝐬 𝟗𝟎°
=
𝟎
𝟏
= 𝟎

5. Тэгвэл дараах зураг байгуулж
𝟎 𝟎
, 𝟗𝟎 𝟎
, 𝟏𝟖𝟎 𝟎
, 𝟐𝟕𝟎 𝟎
дээрх өнцгүүдийг авъя.
M≡ 𝑴 𝟏 үед ∝= 𝟎 𝟎
ба {
𝒙 = 𝟏
𝒚 = 𝟎
{ 𝒄𝒐𝒔𝟎 𝟎
= 𝟏
𝒔𝒊𝒏𝟎 𝟎
= 𝟎
M≡ 𝑴 𝟐 үед ∝= 𝟗𝟎 𝟎
ба {
𝒙 = 𝟎
𝒚 = 𝟏
{ 𝒄𝒐𝒔𝟗𝟎 𝟎
= 𝟎
𝒔𝒊𝒏𝟗𝟎 𝟎
= 𝟏
M≡ 𝑴 𝟑 үед ∝= 𝟏𝟖𝟎 𝟎
ба {
𝒙 = −𝟏
𝒚 = 𝟎
{ 𝒄𝒐𝒔𝟏𝟖𝟎 𝟎 = −𝟏
𝒔𝒊𝒏𝟏𝟖𝟎 𝟎 = 𝟎
𝑀1(1,0)
M(x,y)
O ∝
x
y
0 1-1
-1
1 𝑀2(0,1)
𝑀3(-1,0)
𝑀4(0,-1)

6. M≡ 𝑴 𝟒 үед ∝= 𝟐𝟕𝟎 𝟎
ба {
𝒙 = 𝟎
𝒚 = −𝟏
{ 𝒄𝒐𝒔𝟐𝟕𝟎 𝟎
= 𝟎
𝒔𝒊𝒏𝟐𝟕𝟎 𝟎
= −𝟏
M≡ 𝑴 𝟏 үед ∝= 𝟑𝟔𝟎 𝟎
ба {
𝒙 = 𝟏
𝒚 = 𝟎
{ 𝒄𝒐𝒔𝟑𝟔𝟎 𝟎
= 𝟏
𝒔𝒊𝒏𝟑𝟔𝟎 𝟎
= 𝟎
Тригонометрийн зарим өнцөг дээрх
утгууд
Градус 𝟎 𝟎
𝟑𝟎 𝟎
𝟒𝟓 𝟎
𝟔𝟎 𝟎
𝟗𝟎 𝟎
𝟏𝟖𝟎 𝟎
𝟐𝟕𝟎 𝟎
𝟑𝟔𝟎 𝟎
радион 0
𝛑
𝟔
𝛑
𝟒
𝛑
𝟑
𝛑
𝟐
𝛑
𝟑𝛑
𝟐
𝟐𝛑
sin∝ 0
𝟏
𝟐
√ 𝟐
𝟐
√ 𝟑
𝟐
1 0 -1 0
cos∝ 1 √ 𝟑
𝟐
√ 𝟐
𝟐
𝟏
𝟐
0 -1 0 1

7. tg ∝ 0
𝟏
√ 𝟑
1 √𝟑 ∞ 0 ∞ 0
ctg∝ ∞ √𝟑 1
𝟏
√ 𝟑
0 ∞ 0 ∞
Тригонометрийн үндсэн адитгалууд:
координатын эх дээр төвтэй нэгж
радиустай (r =1 ) тойргийн тэгшитгэл нь
𝒚 𝟐
+ 𝒙 𝟐
= 𝟏 ба {
𝒙 = 𝒄𝒐𝒔 ∝
𝒚 = 𝒔𝒊𝒏 ∝ байна гэдгээс
𝒔𝒊𝒏 𝟐
∝ +𝒄𝒐𝒔 𝟐
∝= 𝟏 болно.
1. 𝒔𝒊𝒏 𝟐
∝ +𝒄𝒐𝒔 𝟐
∝= 𝟏
2. 𝒕𝒈 ∝=
𝒔𝒊𝒏∝
𝒄𝒐𝒔∝
3. 𝒄𝒕𝒈 ∝=
𝒄𝒐𝒔∝
𝒔𝒊𝒏∝

8. 4. 𝒕𝒈 ∝∙ 𝒄𝒕𝒈 ∝= 𝟏
5. 𝒔𝒊𝒏 𝟐
∝ +𝒄𝒐𝒔 𝟐
∝= 𝟏 | ⋮ 𝒄𝒐𝒔 𝟐
∝
𝒔𝒊𝒏 𝟐∝
𝒄𝒐𝒔 𝟐∝
+ 𝟏 =
𝟏
𝒄𝒐𝒔 𝟐∝
⟺ 𝒕𝒈 𝟐
∝ +𝟏 =
𝟏
𝒄𝒐𝒔 𝟐∝
6. 𝒔𝒊𝒏 𝟐
∝ +𝒄𝒐𝒔 𝟐
∝= 𝟏 | ⋮ 𝒔𝒊𝒏 𝟐
∝
𝒄𝒐𝒔 𝟐∝
𝒔𝒊𝒏 𝟐∝
+ 𝟏 =
𝟏
𝒔𝒊𝒏 𝟐∝
⟺ 𝒄𝒕𝒈 𝟐
∝ +𝟏 =
𝟏
𝒔𝒊𝒏 𝟐∝
Жишээ1
𝐬𝐢𝐧 ∝=
√ 𝟑
𝟐
; 𝐜𝐨𝐬 ∝ = ±√ 𝟏 − (
√ 𝟑
𝟐
)
𝟐
= ±
𝟏
𝟐
𝐜𝐨𝐬 ∝=
√𝟐
𝟐
; 𝐬𝐢𝐧 ∝= ±√ 𝟏 − (
√ 𝟐
𝟐
)
𝟐
= ±
√ 𝟐
𝟐
Жишээ2
𝐜𝐭𝐠 ∝= √ 𝟑; 𝐬𝐢𝐧 ∝ −?
𝒄𝒕𝒈 𝟐
∝ +𝟏 =
𝟏
𝒔𝒊𝒏 𝟐∝
𝐬𝐢𝐧 ∝= ±√
𝟏
𝒄𝒕𝒈 𝟐∝+𝟏
= ±
𝟏
𝟐

9. Тригонометрийн өнцгүүдийн нийлбэр ба
ялгаврын томьёо:
1.𝒔𝒊𝒏(∝ +𝜷) = 𝒔𝒊𝒏𝜶 ∙ 𝒄𝒐𝒔𝜷 + 𝒔𝒊𝒏𝜷 ∙ 𝒄𝒐𝒔 ∝
sin-ийн өнцгүүдийн нийлбэрийн томьёо
2. 𝒔𝒊𝒏(∝ −𝜷) = 𝒔𝒊𝒏𝜶 ∙ 𝒄𝒐𝒔𝜷 − 𝒔𝒊𝒏𝜷 ∙ 𝒄𝒐𝒔 ∝
sin-ийн өнцгүүдийн ялгаврийн томьёо
3.𝒄𝒐𝒔(∝ +𝜷) = 𝒄𝒐𝒔 ∝∙ 𝒄𝒐𝒔𝜷 − 𝒔𝒊𝒏𝜶 ∙ 𝒔𝒊𝒏𝜷
cos-ийн өнцгүүдийн нийлбэрийн томьёо
4. 𝒄𝒐𝒔(∝ −𝜷) = 𝒄𝒐𝒔 ∝∙ 𝒄𝒐𝒔𝜷 + 𝒔𝒊𝒏𝜶 ∙ 𝒔𝒊𝒏𝜷
cos-ийн өнцгүүдийн ялгаврийн томьёо
𝟓. 𝒕𝒈(∝ +𝜷) =
𝒕𝒈𝜶+𝒕𝒈𝜷
𝟏−𝒕𝒈𝜶∙𝒕𝒈𝜷
6. 𝒕𝒈(∝ −𝜷) =
𝒕𝒈𝜶−𝒕𝒈𝜷
𝟏+𝒕𝒈𝜶∙𝒕𝒈𝜷
7. 𝒄𝒕𝒈(∝ +𝜷) =
𝒄𝒕𝒈𝜶∙𝒄𝒕𝒈𝜷−𝟏
𝒄𝒕𝒈𝜶+𝒄𝒕𝒈𝜷
8. 𝒕𝒈(∝ −𝜷) =
−𝒄𝒕𝒈𝜶∙𝒄𝒕𝒈𝜷−𝟏
𝒄𝒕𝒈𝜶−𝒄𝒕𝒈𝜷
=
𝒄𝒕𝒈𝜶∙𝒄𝒕𝒈𝜷+𝟏
𝒄𝒕𝒈𝜷−𝒄𝒕𝒈𝜶

10. Жишээ3
𝐬𝐢𝐧 ∝=
𝟏
𝟐
; 𝐜𝐨𝐬 𝜷 =
√ 𝟑
𝟐
; 𝐬𝐢𝐧(∝ +𝜷) − ол.
𝐜𝐨𝐬 ∝= √𝟏 − 𝒔𝒊𝒏 𝟐 ∝ =
√ 𝟑
𝟐
;
𝐬𝐢𝐧 𝜷 = √𝟏 − 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝜷 =
𝟏
𝟐
;
𝐬𝐢𝐧(∝ +𝜷) =
𝟏
𝟐
∙
√ 𝟑
𝟐
+
𝟏
𝟐
∙
√ 𝟑
𝟐
=
√ 𝟑
𝟐
Жишээ4
𝐬𝐢𝐧 ∝=
𝟏
𝟐
; 𝐜𝐨𝐬 𝜷 =
√ 𝟑
𝟐
; 𝐜𝐨𝐬(∝ +𝜷) − ол.
𝐜𝐨𝐬 ∝= √𝟏 − 𝒔𝒊𝒏 𝟐 ∝ =
√ 𝟑
𝟐
;
𝐬𝐢𝐧 𝜷 = √𝟏 − 𝒄𝒐𝒔 𝟐 𝜷 =
𝟏
𝟐
;
𝐜𝐨𝐬(∝ +𝜷) =
√ 𝟑
𝟐
∙
√ 𝟑
𝟐
+
𝟏
𝟐
∙
𝟏
𝟐
= 𝟏

11. Жишээ 5
𝐭𝐠 ∝= −
𝟓
𝟏𝟐
;
𝟑𝝅
𝟐
<∝< 𝟐𝝅 ; 𝐬𝐢𝐧 (∝ −
𝝅
𝟒
) ол
𝐬𝐢𝐧 (∝ −
𝝅
𝟒
) = 𝐬𝐢𝐧 ∝∙ 𝐜𝐨𝐬
𝝅
𝟒
− 𝐜𝐨𝐬 ∝∙ 𝐬𝐢𝐧
𝝅
𝟒
𝐜𝐨𝐬 ∝= ±
𝟏
√ 𝟏+𝒕𝒈 𝟐∝
=
𝟏𝟐
𝟏𝟑
𝐬𝐢𝐧 ∝= ±√𝟏 − 𝒄𝒐𝒔 𝟐 ∝= −
𝟓
𝟏𝟑
𝐬𝐢𝐧 (∝ −
𝝅
𝟒
) = −
𝟓
𝟏𝟑
∙
√ 𝟐
𝟐
−
𝟏𝟐
𝟏𝟑
∙
√ 𝟐
𝟐
= −
𝟏𝟕√ 𝟐
𝟐𝟔
Жишээ 6
𝐭𝐠 ∝= 𝟐; 𝐭𝐠 𝜷 =
𝟏
𝟒
; 𝐭𝐠(∝ +𝜷) = ол
𝐭𝐠(∝ +𝜷) =
𝐭𝐠 ∝ + 𝐭𝐠 𝜷
𝟏 − 𝐭𝐠 ∝∙ 𝐭𝐠 𝜷
=
𝟐 +
𝟏
𝟒
𝟏 − 𝟐 ∙
𝟏
𝟒
=
𝟗
𝟐

12. Тригонометрийн давхар өнцгийн томьёо:
1. 𝐬𝐢𝐧𝟐 ∝= 𝐬𝐢𝐧(∝ +∝) =
= 𝒔𝒊𝒏𝜶 ∙ 𝒄𝒐𝒔 ∝ +𝒔𝒊𝒏 ∝∙ 𝒄𝒐𝒔 ∝=
= 𝟐𝒔𝒊𝒏 ∝∙ 𝒄𝒐𝒔 ∝
𝒔𝒊𝒏𝟐 ∝= 𝟐𝒔𝒊𝒏 ∝∙ 𝒄𝒐𝒔 ∝
2. 𝒄𝒐𝒔𝟐 ∝= 𝒄𝒐𝒔 𝟐
∝ −𝒔𝒊𝒏 𝟐
∝= { 𝒔𝒊𝒏 𝟐
∝= 𝟏 − 𝒄𝒐𝒔 𝟐
∝}
= 𝒄𝒐𝒔 𝟐
∝ −𝟏 + 𝒄𝒐𝒔 𝟐
∝= 𝟐𝒄𝒐𝒔 𝟐
∝ −𝟏
={ 𝒄𝒐𝒔 𝟐
∝= 𝟏 − 𝒔𝒊𝒏 𝟐
∝}= 𝟏 − 𝒔𝒊𝒏 𝟐
∝ −𝒔𝒊𝒏 𝟐
∝=
= 𝟏 − 𝟐𝒔𝒊𝒏 𝟐
∝
𝒄𝒐𝒔𝟐 ∝= 𝒄𝒐𝒔 𝟐
∝ −𝒔𝒊𝒏 𝟐
∝= 𝟐𝒄𝒐𝒔 𝟐
∝ −𝟏 = 𝟏 − 𝟐𝒔𝒊𝒏 𝟐
∝
3. 𝒕𝒈𝟐 ∝=
𝟐𝒕𝒈∝
𝟏−𝒕𝒈 𝟐∝
4. 𝒄𝒕𝒈𝟐 ∝=
𝒄𝒕𝒈 𝟐∝−𝟏
𝟐𝒄𝒕𝒈∝

13. Жишээ7
𝐬𝐢𝐧 ∝=
𝟐
𝟑
; 𝐬𝐢𝐧 𝟐 ∝= ол
𝐜𝐨𝐬 ∝= √ 𝟏 − (
𝟐
𝟑
)
𝟐
=
√ 𝟓
𝟑
𝐬𝐢𝐧 𝟐 ∝= 𝟐 𝐬𝐢𝐧 ∝ 𝐜𝐨𝐬 ∝= 𝟐 ∙
𝟐
𝟑
∙
√ 𝟓
𝟑
=
𝟒√ 𝟓
𝟗
Жишээ8
𝐜𝐨𝐬 ∝=
√ 𝟑
𝟐
; 𝐜𝐨𝐬 𝟐 ∝= ол
𝐜𝐨𝐬 𝟐 ∝= 𝟐𝒄𝒐𝒔 𝟐
∝ −𝟏 = 𝟐 ∙ (
√ 𝟑
𝟐
)
𝟐
− 𝟏 =
𝟏
𝟐
Жишээ 9
𝐬𝐢𝐧 ∝=
𝟓
𝟏𝟑
; 𝐜𝐨𝐬 ∝=
𝟏𝟐
𝟏𝟑
; 𝐭𝐠 𝟐 ∝ = ол

14. 𝐭𝐠 𝟐 ∝ =
𝟐 𝐭𝐠 ∝
𝟏 − 𝒕𝒈 𝟐 ∝
=
𝟐 ∙
𝟓
𝟏𝟐
𝟏 − (
𝟓
𝟏𝟐
)
𝟐
=
𝟏𝟐𝟎
𝟏𝟏𝟗
Тригонометрийн хагас өнцгийн томьёо:
𝒄𝒐𝒔𝟐 ∝= 𝟏 − 𝟐𝒔𝒊𝒏 𝟐
∝ ⟺ 𝟐𝒔𝒊𝒏 𝟐
∝= 𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝟐 ∝⟺
𝒔𝒊𝒏 𝟐
∝=
𝟏−𝒄𝒐𝒔𝟐∝
𝟐
⟺ 𝒔𝒊𝒏 ∝= ±√
𝟏−𝒄𝒐𝒔𝟐∝
𝟐
Энд ∝→
𝜶
𝟐
− аар соливол ( 𝟐𝜶 → 𝜶 болно)
1. 𝒔𝒊𝒏
∝
𝟐
= ±√
𝟏−𝒄𝒐𝒔∝
𝟐
sin-ийн хагас өнцгиийн томьёо гарна.
𝒄𝒐𝒔𝟐 ∝= 𝟐𝒄𝒐𝒔 𝟐
∝ −𝟏 ⟺ 𝟐𝒄𝒐𝒔 𝟐
∝= 𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝟐 ∝⟺
𝒄𝒐𝒔 𝟐
∝=
𝟏+𝒄𝒐𝒔𝟐∝
𝟐
⟺ 𝒄𝒐𝒔 ∝= ±√
𝟏+𝒄𝒐𝒔𝟐∝
𝟐
Энд ∝→
𝜶
𝟐
− аар соливол ( 𝟐𝜶 → 𝜶 болно)
2. 𝒄𝒐𝒔
∝
𝟐
= ±√
𝟏+𝒄𝒐𝒔∝
𝟐
cos-ийн хагас өнцгиийн томьёо гарна.

15. 3. 𝒕𝒈
∝
𝟐
=
𝒔𝒊𝒏
∝
𝟐
𝒄𝒐𝒔
∝
𝟐
= ±√
𝟏−𝒄𝒐𝒔∝
𝟏+𝒄𝒐𝒔∝
= √
( 𝟏−𝒄𝒐𝒔∝)( 𝟏+𝒄𝒐𝒔∝)
( 𝟏+𝒄𝒐𝒔∝)( 𝟏+𝒄𝒐𝒔∝)
=
√
𝟏−𝒄𝒐𝒔 𝟐∝
( 𝟏+𝒄𝒐𝒔∝) 𝟐 =
𝒔𝒊𝒏∝
𝟏+𝒄𝒐𝒔∝
tg-ийн хагас өнцгиийн томьёо
4. 𝒄𝒕𝒈
∝
𝟐
=
𝟏
𝒕𝒈
∝
𝟐
= ±√
𝟏+𝒄𝒐𝒔∝
𝟏−𝒄𝒐𝒔∝
=
𝟏+𝒄𝒐𝒔∝
𝒔𝒊𝒏∝
ctg-ийн хагас
өнцгиийн томьёо
Жишээ 𝟏𝟎
𝐜𝐨𝐬 ∝ =
√ 𝟐
𝟐
; 𝟎 <∝<
𝝅
𝟐
; 𝐬𝐢𝐧
∝
𝟐
= ол
𝒔𝒊𝒏
∝
𝟐
= √
𝟏−𝒄𝒐𝒔∝
𝟐
= √ 𝟏−
√ 𝟐
𝟐
𝟐
=
√ 𝟐−√ 𝟐
𝟐
Жишээ 11
𝐜𝐨𝐬 ∝= −
𝟏
𝟒
; 𝝅 <∝<
𝟑𝝅
𝟐
; 𝐜𝐨𝐬
∝
𝟐
= ол
𝒄𝒐𝒔
∝
𝟐
= −√
𝟏+𝒄𝒐𝒔∝
𝟐
= −√ 𝟏−
𝟏
𝟒
𝟐
= −
√ 𝟑
√ 𝟖

16. Эмхтгэлийн томьёо:
1.
𝝅
𝟐
;
𝟑𝝅
𝟐
− өнцөг орсон функцын нэр
өөрчлөгдөн,
𝝅; 𝟐𝝅 − өнцөг орсон функцын нэр
өөрчлөгдөхгүй.
2. Эмхтгэгдсэн функцын тэмдэг нь
анхны функцын тэмдгээр
тодорхойлогдоно.
Энд ашиглагдах зарим томьёо:
мөч I II III IV
∝ 0< ∝<
𝝅
𝟐
𝝅
𝟐
< ∝< 𝝅 𝝅< ∝<
𝟑𝝅
𝟐
𝟑𝝅
𝟐
< ∝< 2𝜋
sin∝ + + - -
cos∝ + - - +
tg ∝ + - + -
ctg∝ + - + -

17. Жич: Энд 𝟎 <∝<
𝝅
𝟐
гэж үзнэ.
Жишээ 12
𝒔𝒊𝒏 (
𝟑𝛑
𝟐
−∝)=[
𝟑𝛑
𝟐
− тай тул нэр өөрчлөгдөн
𝟑𝛑
𝟐
−∝ 𝑰𝑰𝑰 мөчид орших тул −
]=−𝒄𝒐𝒔 ∝
𝒄𝒕𝒈( 𝛑−∝)=[
𝛑 − тай тул нэр өөрчлөгдөхгүй
𝛑−∝ 𝑰𝑰 мөчид орших тул −
]=−𝒕𝒈 ∝
𝒄𝒐𝒔𝟐𝟐𝟎 𝟎
= 𝒄𝒐𝒔(𝝅 + 𝟒𝟎 𝟎
) = [
𝛑 − нэр өөрчлөгдөхгүй
𝟐𝟐𝟎
𝟎
𝑰𝑰𝑰 мөч −
] = −𝒄𝒐𝒔𝟒𝟎 𝟎
𝒕𝒈𝟑𝟎𝟎 𝟎
= 𝒕𝒈 (
𝟑𝝅
𝟐
+ 𝟑𝟎 𝟎
) = [
𝟑𝛑
𝟐
− нэр өөрчлөгдөн
𝟑𝟎𝟎
𝟎
𝑰𝑽 мөч −
]= −𝒕𝒈𝟑𝟎 𝟎
= −
𝟏
√ 𝟑
Мөч I II III IV
𝝋 𝛑
𝟐
−∝
𝛑
𝟐
+∝ 𝛑 − 𝛂 𝛑+∝
𝟑𝛑
𝟐
−∝
𝟑𝛑
𝟐
+∝ 𝟐𝛑−∝
𝒔𝒊𝒏𝝋
𝒄𝒐𝒔 ∝ 𝒄𝒐𝒔 ∝ 𝒔𝒊𝒏 ∝ −𝒔𝒊𝒏 ∝ −𝒄𝒐𝒔 ∝ −𝒄𝒐𝒔 ∝ −𝒔𝒊𝒏 ∝
𝒄𝒐𝒔𝝋 𝒔𝒊𝒏 ∝ −𝒔𝒊𝒏 ∝ −𝒄𝒐𝒔 ∝ −𝒄𝒐𝒔 ∝ −𝒔𝒊𝒏 ∝ 𝒔𝒊𝒏 ∝ 𝒄𝒐𝒔 ∝
𝒕𝒈𝝋 𝒄𝒕𝒈 ∝ −𝒄𝒕𝒈 ∝ −𝒕𝒈 ∝ 𝒕𝒈 ∝ 𝒄𝒕𝒈 ∝ −𝒄𝒕𝒈 ∝ −𝒕𝒈 ∝
𝒄𝒕𝒈𝝋
𝒕𝒈 ∝ −𝒕𝒈 ∝ -𝒄𝒕𝒈 ∝ 𝒄𝒕𝒈 ∝ 𝒕𝒈 ∝ −𝒕𝒈 ∝ −𝒄𝒕𝒈 ∝

18. Жишээ 13
𝐬𝐢𝐧( 𝟑𝟗𝟎°) = 𝐬𝐢𝐧( 𝟐𝝅 + 𝟑𝟎°) = 𝐬𝐢𝐧 𝟑𝟎°
=
𝟏
𝟐
𝐬𝐢𝐧(−𝟐𝟏𝟎°) = − 𝐬𝐢𝐧 𝟐𝟏𝟎°
= − 𝐬𝐢𝐧 (
𝟑𝝅
𝟐
− 𝟔𝟎°
) =
= −(−𝐜𝐨𝐬 𝟔𝟎°
) =
𝟏
𝟐
𝐜𝐨𝐬(−𝟑𝟎𝟎°) = 𝐜𝐨𝐬 𝟑𝟎𝟎°
= 𝐜𝐨𝐬 (
𝟑𝝅
𝟐
+ 𝟑𝟎°
) =
= 𝐬𝐢𝐧 𝟑𝟎°
=
𝟏
𝟐
Жишээ 14
𝐭𝒈 𝟑𝟏𝟓°
= 𝐭𝐠(𝟐𝝅 − 𝟒𝟓°
) = − 𝐭𝐠 𝟒𝟓°
= −𝟏
𝐭𝐠(−𝟏𝟓𝟎°
) = − 𝐭𝐠 𝟏𝟓𝟎°
= − 𝐭𝐠( 𝝅 − 𝟑𝟎°) =
= −(−𝐭𝐠 𝟑𝟎°) =
𝟏
√ 𝟑