intervalos de confianza

2. Las líneas verticales representan 50 construcciones diferentes de intervalos de
confianza para la estimación del valor μ.
En estadística, se llama intervalo de confianza a un par de números entre los cuales
se estima que estará cierto valor desconocido con una determinada probabilidad de
acierto. Formalmente, estos números determinan un intervalo, que se calcula a partir
de datos de una muestra, y el valor desconocido es un parámetro poblacional. La
probabilidad de éxito en la estimación se representa con 1 - α y se denomina nivel de
confianza. En estas circunstancias, α es el llamado error aleatorio o nivel de
significación, esto es, una medida de las posibilidades de fallar en la estimación
mediante tal intervalo.
El nivel de confianza y la amplitud del intervalo varían conjuntamente, de forma que
un intervalo más amplio tendrá más posibilidades de acierto (mayor nivel de
confianza), mientras que para un intervalo más pequeño, que ofrece una estimación
más precisa, aumentan sus posibilidades de error.
Para la construcción de un determinado intervalo de confianza es necesario conocer
la distribución teórica que sigue el parámetro a estimar, θ. Es habitual que el
parámetro presente una distribución normal. También pueden construirse intervalos
de confianza con la desigualdad de Chebyshov.
En definitiva, un intervalo de confianza al 1 - α por ciento para la estimación de un
parámetro poblacional θ que sigue una determinada distribución de probabilidad, es
una expresión del tipo [θ1, θ2] tal que P[θ1 ≤ θ ≤ θ2] = 1 - α, donde P es la función de
distribución de probabilidad de θ.

3. Ejercicio #1
 Los siguientes datos son los puntajes obtenidos para 45
personas de una escala de depresión (mayor puntaje
significa mayor depresión).
2 5 6 8 8 9 9 10 11 11 11 13 13 14 14 14 14 14 14 15 15 16 16 16 16 16 16 16 16 17 17 17 18 18 18
19 19 19 19 19 19 19 19 20 20.
 Para construir un intervalo de confianza para el puntaje promedio poblacional,
asumamos que los datos tienen distribución normal, con varianza
poblacional desconocida. Como es desconocido, lo estimamos por s=18,7.
Luego, un intervalo de confianza aproximado es:

4.  Luego, el intervalo de confianza para es (13,2 , 15,8). Es
decir, el puntaje promedio poblacional se encuentra
entre 13,2 y 15,8 con una confianza 95%.

5. Ejercicio #2
 En un estudio de prevalencia de factores de riesgo en
una cohorte de 412 mujeres mayores de 15 años en la
Región Metropolitana, se encontró que el 17.6% eran
hipertensas. Un intervalo de 95% de confianza para la
proporción de mujeres hipertensas en la Región
Metropolitana está dado por:
 Luego, la proporción de hipertensas varía entre (0,139 ,
0,212) con una confianza de 95%

6. Ejercicio #3
 supongamos que se plantea la hipótesis de que el
promedio de peso de nacimiento de cierta población es
igual a la media nacional de 3250 gramos.
 Al tomar una muestra de 30 recién nacidos de la
población en estudio, se obtuvo:
 = 2930
s= 450
n= 30
 Al construir un intervalo de 95% de confianza para la
media poblacional, se obtiene:

7.  Luego, el peso de nacimiento varía entre 2769 y 3091
gramos, con una confianza de 95%.
Como el intervalo no incluye el valor =3250 gramos
planteado en la hipótesis, entonces esta es rechazada
con confianza 95% (o un valor p menor a 0,5).

8. Ejercicio #4
 Un nadador obtiene los siguientes tiempos, en
minutos, en 10 pruebas cronometradas por su
entrenador: 41,48 42,34 41,95 41,86 41,60 42,04
41,81 42,18 41,72 42,26. Obtener un intervalo de
confianza para la marca promedio de esta prueba con
un 95% de confianza, suponiendo que se conoce por
otras pruebas que la desviación típica para este
nadador es de 0,3 minutos. Si el entrenador quiere
obtener un error en la estimación de la media de este
nadador inferior a tres segundos, ¿cuántas pruebas
debería cronometrar?

10. Ejercicio #5
 La puntuación promedio de una muestra de 20 jueces
de gimnasia rítmica, elegidos al azar,
 para una misma prueba presentó una media de 9,8525
y una cuasi desviación típica muestral de 0,0965.
Calcular un intervalo de confianza con un 95% para la
nota media. (Se sobreentiende que la puntuación de la
prueba sigue una distribución normal)

12. Ejercicio #4
 Un entrenador de fútbol está interesado en estimar,
con un 99% de confianza, la fuerza máxima de los
músculos cuadriceps de los futbolistas. Admitiendo
que dicha fuerza sigue una distribución normal,
selecciona al azar una muestra de 25 futbolistas, para la
que obtuvo una media de 85 Nw y una cuasivarianza
de 144. Determinar un intervalo de confianza para la
media y otro para la varianza de la fuerza máxima de
estos músculos.

14. Ejercicio #5
 En una encuesta hecha por los alumnos y alumnas de
un Instituto a un total de 100 votantes elegidos al azar
en su Ayuntamiento, se indica que el 55% volvería a
votar por el alcalde actual. Calcular un intervalo de
confianza al 99% e otro al 99,73% para la proporción
de votantes favorables al alcalde actual.

16. Ejercicio #6
 ¿Cuáles deben ser los tamaños muestrales en el sondeo
del problema anterior para tener,
 con los mismos niveles de confianza, la certeza de que
el alcalde actual salga reelegido por mayoría absoluta,
en el caso de arrojar la encuesta los mismos
resultados?

18. Ejercicio #7
 En una encuesta a 360 alumnos de un centro, elegidos
al azar, resultaron 190 a favor de la política del actual
equipo directivo. ¿Cuál es el intervalo de confianza,
con nivel del 95%, para la proporción de alumnos que
apoyan a esta dirección?

20. Ejercicio 8
 Se lanza una moneda 100 veces y se obtienen 62 cruces.
¿Cuál es el intervalo de confianza para la proporción de
cruces con un 99% de nivel de confianza?

22. Atentamente:
Luis Alberto Garcia Aguilar