Este documento explica el método de interpolación polinomial para aproximar una función desconocida mediante un polinomio. Se describe cómo encontrar el polinomio de interpolación para un conjunto de puntos dados resolviendo un sistema de ecuaciones. Finalmente, se presenta un ejemplo completo donde se aproxima la función cos(x) usando este método.

1. Academia de Precálculo Area de Matemáticas
Interpolación Polinomial
Esta presentación trata sobre
la interpolación polinomial y
contiene el método para
encontrar el polinomio
interpolante de n+1 puntos
en R2
.
El objetivo es que aprendas
a aproximar una función
mediante su polinomio de
interpolación.

2. Academia de Precálculo Area de Matemáticas
Interpolación Polinomial
Dados n+1 puntos de R2
(x0,y0), (x1,y1), …, (xn,yn) en
donde las abscisas son números diferentes,
queremos encontrar un polinomio de grado
menor o igual a n de tal manera que:
nkyxP kkn ,...,1,0,)( ==
Este polinomio nos permitirá aproximar una
función yk=f(xk) de la cual no se conozca una
formula explícita o que sea complicada de
derivar, integrar, hallar ceros, etc. El polinomio
puede usarse como aproximación de la función y
para aproximar valores de la función en puntos
intermedios de los valores conocidos xk.

3. Academia de Precálculo Area de Matemáticas
Interpolación Polinomial
Dados n+1 puntos de R2
(x0,y0), (x1,y1), …, (xn,yn), se
establece un sistema de ecuaciones como el que
se muestra.
¿Cómo obtengo
el polinomio de
interpolación?









=++++
=++++
=++++
=++++
n
n
nnnn
n
n
n
n
n
n
yxaxaxaa
yxaxaxaa
yxaxaxaa
yxaxaxaa
...
...
...
...
2
210
22
2
22210
11
2
12110
00
2
02010

Existe un teorema que
demuestra la existencia y
unicidad del polinomio de
interpolación para cada
conjunto de datos.
Existe un teorema que
demuestra la existencia y
unicidad del polinomio de
interpolación para cada
conjunto de datos.

4. Academia de Precálculo Area de Matemáticas
Interpolación Polinomial
Aproximar la función f(x)=cos(x) usando los puntos (nodos)
x0=-pi/2, x1=0 y x2=pi/2.
De acuerdo a estos datos, podemos encontrar un
polinomio de grado 2 para aproximar la función indicada.
Ejemplo
1. Sabemos que f(x0)=0, f(x1)=1 y f(x2)=0.
2. Establecemos el sistema de ecuaciones con los puntos
dados









=





++
=++
=




 −
+
−
+
0
22
100
0
22
2
210
2
210
2
210
ππ
ππ
aaa
aaa
aaa

5. Academia de Precálculo Area de Matemáticas
Interpolación Polinomial
Ejemplo 3. Planteamos el sistema de ecuaciones en forma
matricial.










=























 −
0
1
0
42
1
001
42
1
2
1
0
2
2
a
a
a
ππ
ππ

6. Academia de Precálculo Area de Matemáticas
Interpolación Polinomial
Ejemplo 4. Escribimos la matriz aumentada para aplicar Gauss-
Jordan y resolvemos el sistema













 −
0|
42
1
1|001
0|
42
1
2
2
ππ
ππ












− 2
4
|100
0|010
1|001
π

7. Academia de Precálculo Area de Matemáticas
Interpolación Polinomial
Ejemplo 5. Interpretamos la solución de la matriz escalonada
reducida por renglones y obtenemos el polinomio de
interpolación de grado 2
2
2
4
1)( xxp
π
−=
2210
4
,0,1
π
−=== aaa

8. Academia de Precálculo Area de Matemáticas
Interpolación Polinomial
Ejemplo Comparamos las gráficas
x
y
−0.5π 0 0.5π
-0.5
0
0.5
1
2
2
4
1)( xxp
π
−=
xxf cos)( =

9. Academia de Precálculo Area de Matemáticas
Interpolación Polinomial
Ejercicios
1. Use el polinomio de interpolación encontrado para la función
f(x)=cos(x) para aproximar f(pi/4). Compare el valor obtenido con el
valor real de la función.
2. Use los polinomios de interpolación de grado uno, dos y tres más
apropiados para aproximar el valor de f(2.5), conociendo los
puntos (2.0, 0.5103), (2.2, .5207), (2.4, .5104), (2.6, .4813) y (2.8, .4359).

10. Academia de Precálculo Area de Matemáticas
Interpolación Polinomial
Ejercicios
1. Use el polinomio de interpolación encontrado para la función
f(x)=cos(x) para aproximar f(pi/4). Compare el valor obtenido con el
valor real de la función.
2. Use los polinomios de interpolación de grado uno, dos y tres más
apropiados para aproximar el valor de f(2.5), conociendo los
puntos (2.0, 0.5103), (2.2, .5207), (2.4, .5104), (2.6, .4813) y (2.8, .4359).