MatemáTica BáSica

APOSTILA DE MATEMÁTICA BÁSICA
PROF SÉRGIO

MATEMÁTICA BÁSICA ÍNDICE GERAL

I. Conjuntos numéricos;
II. As quatro operações fundamentais (números decimais);
ALUNO: _______________________________________________ III. Números relativos;
IV. Frações ordinárias;
V. Potências;
VI. Radicais;
VII. Operações algébricas;
VIII. Equações do 1º grau;
IX. Equações do 2º grau;
X. Equações irracionais;
XI. Inequações do 1º grau;
XII. Proporcionalidade;
XIII. Relações Trigonométricas;
XIV. Plano Cartesiano (seu produto, relações e funções);
XV. Noções de Geometria Plana e Espacial;

1

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I - CONJUNTOS NUMÉRICOS Q  Racionais
“São todas as decimais exatas ou periódicas diferente de
zero”
3 1
Q = {..., , , ...}
4 2

I  Irracionais
“São todas as decimais não exatas, não periódicas e não
negativas”
22
Esta figura representa a classe dos números.
I = {..., 2 , , , ...}
7
Veja a seguir:

N  Naturais
R  Reais
“São todos os números positivos inclusive o zero”
“É a união de todos os conjuntos numéricos,  todo número,
N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}
seja N, Z, Q ou I é um número R (real)”
“Não há números naturais negativos”

“Só não são reais as raízes em que o radicando seja negativo
Z  Inteiros
e o índice par”
“São todos os números positivos e negativos inclusive o
zero”
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}
“Não há números inteiros em fração ou decimal”

2

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1 2 1 15  40  12 67
+ + = =  1,1166
II - AS QUATRO OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS
(NÚMEROS DECIMAIS) 4 3 5 60 60
ou
1 2 1 2,25  6  1,8 10,05
1) Adição + + = =  1,1166
4 3 5 9 9
“Na adição os números são chamados de parcelas, sendo a
operação aditiva, e o resultado é a soma”
“Isto significa que qualquer número que for colocado no
denominador seguindo o processo, chegará à mesma resposta.
Com o MMC (mínimo múltiplo comum) você facilita seu
trabalho”
2+2=4

Parcelas Adição Soma
2) Subtração

Exemplos:
“Na subtração os números são chamados de subtraendo, sendo a
operação a subtração, e o resultado é o minuendo”

4,32 + 2,3 + 1,429 = 8,049
Subtração

4,32 
+ 2,3  parcelas
 Observe que as parcelas 3–2=1
1,429 
são dispostas de modo que
 se tenha vírgula sobre
8,049  soma vírgula. Minuendo Subtraendo Diferença

3

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Exemplos: 1 2 8 16 8
* * = =  2,6
“As regras para a subtração são as mesmas da
adição, portanto podemos utilizar os mesmos exemplos apenas 2 3 1 6 3
alterando a operação” “Na multiplicação de frações multiplica-se divisor com divisor,
dividendo com dividendo (ou simplesmente, o de cima pelo de

3) Multiplicação cima e o de baixo pelo de baixo)”

“Na multiplicação os números são chamados de fatores, sendo a
operação multiplicativa, e o resultado é o produto” 4) Divisão
“Na divisão os números são chamados de dividendo (a parte que

22 * 3 = 66 está sendo dividida) e divisor (a quantia de vezes que esta parte
está sendo dividida), a operação é a divisão, e o resultado é o

Fatores Multiplicação Produto quociente”

Exemplo: Divisão

7,32 * 12,5 = 91,500 7 / 4 = 1,75

7,32 Na multiplicação começa-se Dividendo (D) Divisor (d) Quociente (q)
 fatores

* 12,5
operar da esquerda para a
 direita.
3660 Quando a multiplicação Exemplo:
1464  envolver números decimais
Existe na divisão, o que pode-se chamar de resto. Isto é, quando
732 
(como no exemplo ao lado),
soma-se a quantidade de casas uma divisão não é exata irá sempre sobrar um determinado
91,500  produto após a vírgula.
valore, veja no exemplo a seguir:

4

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843 / 5 = 168 d) 48 – 33,45 =
34 e) 2,1 * 3,2 =
Para verificar se o resultado é
verdadeiro basta substituir os valores
43 na seguinte fórmula: f) 48,2 * 0,031 =
3  resto (r) g) 3,21 * 2,003 =
D=d*q+r
843 = 5 * 168 + 3
h) 8,4708 / 3,62 =
5) Casos particulares da multiplicação e divisão i) 682,29 / 0,513 =
j) 2803,5 / 4450 =
0,2 * 0,3
k) (FUVEST) =
Multiplicação
N*1=N 3,2  2,0
N*0=0 l) 0,041 * 21,32 * 401,05 
m) 0,0281 / 0,432 
2,31 * 4,82
n)
Divisão
5,1

N/1=N
N/N=1 0,021 * 4,32
o)
0,285

0/N=0
N/0= 

6) Exercícios

a) 2,31 + 4,08 + 3,2 =
b) 4,03 + 200 + 51,2 =
c) 32,4 – 21,3 =

5

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III - NÚMEROS RELATIVOS Exemplos:
a) 2 + 4 = 6
Definição: É o conjunto dos números positivos, negativos e o b) – 2 – 4 = – 6
zero, que não possuem sinal. c) 5 – 3 = 2
d) – 5 + 3 = – 2
7) Valor absoluto ou Módulo e) 2 + 3 – 1 – 2 = 5 – 3 = 2
“É um número desprovido de seu sinal. Suprimindo o sinal de f) – 1 – 3 + 2 – 4 + 21 – 5 – 32 = 23 – 45 = – 22
um número relativo, obtemos um número aritmético, que se
denomina valor absoluto ou módulo desse número relativo, 9) Multiplicação e divisão algébrica
sendo representado pelo símbolo .” Sinais iguais  resposta positiva
Sinais diferentes  resposta negativa

9 9
Isto é:
2 2 () * ()  () () : ()  ()
Exemplos:
0 0 ( ) * ( )  (  ) ( ) : ( )  (  )
7 7 (  ) * ( )  (  ) (  ) : (  )  ( )
( ) * ( )  ( ) ( ) : (  )  ( )
8) Soma e subtração algébrica

Exemplos:
Sinais iguais: Soma-se os valores absolutos e dá-se o sinal
comum.

a) 12 * 3 = 36
Sinais diferentes: Subtraem-se os valores absolutos e dá-se o

b) (-12) * (-3) = 36
sinal do maior.

6

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c) 2 * (-2) = -4 Exemplo:
d) (-2) * 3 = -6
4 a) 2 + [ 2 – ( 3 + 2 ) – 1 ] = 2 + [ 2 – 5 – 1 ] = 2 + [ 2 – 6 ]
e) =2
2 b) 2 + { 3 – [ 1 + ( 2 – 5 + 4 ) ] + 8 } = 11
20 c) { 2 – [ 3 * 4 : 2 – 2 ( 3 – 1 ) ] } + 1 = { 2 – [ 12 : 2 – 2 * 2
f) = -4
(5)
] } + 1 = { 2 – [ 6 – 4] } + 1
(20)
g) =4
(5)
11) Decomposição de um número em um produto de fatores
(20)
h) = -4 primos
5
A decomposição de um número em um produto de fatores primos
é feita por meio do dispositivo prático que será mostrado nos
10) Expressões numéricas
exemplos a seguir.
Para resolver expressões numéricas realizamos primeiro as

Exemplos:
operações de multiplicação e divisão, na ordem em que estas
estiverem indicadas, e depois adições e subtrações. Em

30 2
expressões que aparecem sinais de reunião: ( ), parênteses, [ ],

15 3
colchetes e { }, chaves, efetuam-se as operações eliminando-se,
30 = 2 * 3 * 5
na ordem: parênteses, colchetes e chaves, isto é, dos sinais 55
interiores para os exteriores. Quando à frente do sinal da 1 30
reunião eliminado estiver o sinal negativo, trocam-se todos os
sinais dos termos internos.

7

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21 3 b) m.m.c. (4; 3) = 12
7 7 21 = 3 * 7 c) m.m.c. (3; 5; 8) = 120
1 21 d) m.m.c. (8; 4) = 8
e) m.m.c. (60; 15; 20, 12) = 60

OBS: Número primo é aquele divisível somente por ele mesmo e
pelo número 1. 13) Exercícios

12) Mínimo múltiplo comum (m.m.c.) a) 2 + 3 – 1 =

O mínimo múltiplo comum a vários números é o menor número b) – 2 – 5 + 8 =

divisível por todos eles. c) – 1 – 3 – 8 + 2 – 5 =

Exemplo: d) 2 * (-3) =
e) (-2) * (-5) =

a) Calcular o m.m.c. entre 12, 16 e 45 f) (-10) * (-1) =
g) (-1) * (-1) * (-2) =
12 12 45 2
06 08 45 2 4
h) =
03 04 45 2 2
03 02 45 2 8
i) =
03 01 45 3 2
01 01 15 3  20
j) =
01 01 05 5 5
01 01 01 720

O m.m.c. entre 12, 16 e 45 é 720

8

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(4) * (1)
k) =
IV - FRAÇÕES ORDINÁRIAS
2
(1  3 - 5) * (2 - 7) Definição: Fração é um quociente indicado onde o dividendo é o
l) =
1
numerador e o divisor é o denominador.
(2  3 * 4 - 2 * 5 - 3)
m) =
1
n) 2 { 2 - 2 [ 2 - 4 ( 3 * 2 : 3 )  2 ] }  1 =
“As frações que serão apresentadas a seguir, partem de um

o) 8 - { - 20 [ ( - 3  3 ) : ( - 58 )]  2 ( - 5 ) } =
inteiro, e ao dividir formam as frações”

p) 0,5 * 0,4 : 0,2 =
q) 0,6 : 0,03 * 0,05 =
r) 5 : 10 = 1 3
=0,5 =0,75
s) 3 : 81 * 0,5 = 2 4
t) Calcule o m.m.c. entre:
a. 36 e 60
b. 18, 20 e 30 1 1
=0,25 =0,125
4 8
c. 12, 18 e 32

7
= 0,875
8

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A fração é própria quando o numerador é menor do que o Exemplos:
1 3 120
denominador: , , , etc.
2 5 210 1 1* 2 2
a)
A fração e imprópria quando o numerador é maior que o 2 2*2 4
 

denominador, sendo possível representa-la por um número misto 3 3 * 5 15
b)
e reciprocamente. 4 4 * 5 20
 

Exemplos: 20 20 :10 2
c)
30 30 :10 3
 

4 4:4 1
10 3 10 d) - - -
a) = 1 pois possui resto 3 8 8: 4 2
7 7 7
28 3 28
b) = 5 pois possui resto 3
5 5 5 15) Soma algébrica de frações

11 2
c) =3
Reduzem-se ao menor denominador comum e somam-se
3 3 algebricamente os numeradores.
1 7 OBS: O menor denominador comum é o m.m.c. dos
d) 2 =
3 3 denominadores.
1 5
e) -1 =-
4 4
Exemplos:

1 1 3 2 3 2 5
14) Propriedade
a)
2 3 6 6 6 6
Multiplicando ou dividindo os termos de uma fração por um     

1 5 2 3 5 4 35-4 4 2
b)  -   - 
número diferente de zero obtém-se uma fração equivalente à
2 6 3 6 6 6 6 6 3
 
inicial.

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1 3 4 1 9 16 24 1- 9 16- 24 16 4 1
c) -  -2 -  -   -  -  -1
17) Divisão de frações
12 4 3 12 12 12 12 12 12 3 3 Multiplica-se a fração dividendo pelo inverso da fração
1 1 7 5 28 15 48 28  15 - 48 5
d) 2  1 - 4   - 4   -  - divisora.
3 4 3 4 12 12 12 12 12

Exemplos:
16) Multiplicação de frações

1
Multiplicam-se os numeradores entre si, da mesma maneira se
a) 2  1 * 3  3 1 1
1 2 1 2 2
faz com os denominadores.
3
Exemplos:
b)
 2 3    - 2  * 2  - 4  - 1 1
1  3 1 3 3
 
2
1 3 3
a) *  1
2 5 10
c) 2  1*1  1
3 2 3 6
 1 1 1
b)    *  -
 4 2 8 5 5 3 15 1
d)  *  7
2 1 2 2 2
 1  2 2 3
c)    *    
 3   5  15 41 13
e) 3  3  13 *   4   - 52  - 1 25
 3 *   1  *   2   - 3 2 1 9 3  9 27 27
 
d) 4

4
 4  7 14
       
3 1 11 16 44 4
e) 2 * 3  *  8
4 5 4 5 5 5

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9
b) =
18) Exercícios
Transforme em número misto: 27
12
c) =
48
3
a) =
2
12 Comparar as frações ao menor
b) =
(sugestão: reduzi-las
5 denominador e comparar os numeradores).
100 OBS.: a < b lê-se “a é menor do que b”
c) =
3 a > b lê-se “a é maior do que b”

Transforme em fração ordinária: 1 2
a) ,
2 3
1 2 5
a) 1 = b) ,
5 3 6
3 4 3
b) 2 = c) ,
4 7 8
1
c)  10 =
10 Resolva:

Simplifique as frações: 1 1
a)
5 10
 

2 2 4
a) = b) - 
4 3 3

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1 1 1 1 1
c) -   3
2 3 6 n)
3
2 1
d) 2  3 - 5  1 1
3 2 1 2
o) 2
1 2 1
e) * 

3 5 2
3 1 2 3 1  1 1 1 5 *1 2
f) * *  p) 8 4- 7 5
7 3 5 5 -1 3 2 1 :3 1
2
8 4 4 3
 1  2
g)  -  *  -  
 6  5
Simplifique:
1  1
h) 2 *  - 1  
5  3
1
1 1
i) 3 a) 11 
1 1
2 1
1
1
2  1 11
j) :-  
3  5 1 1 1
1 2 1 2 3 4 :  9  1 
 
k) : *  b)
2 3 4 2 3  17 
 

3 4

2 1
l) 2 :1 
5 5
1 2 1
m)    : 
3 4 2

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V - POTÊNCIAS e) Toda potência de expoente ímpar tem o sinal da base:
3³ = 27 ; (- 3)³ = - 27
Definição: Potência de grau n de um número A é o produto de n 25 = 32 ; (- 2)5 = - 32
fatores iguais a A.
19) Multiplicação de potências de mesma base
A é a base da potência;
A n  AA * A *
 *  A * A * ... n é o expoenteda potência,que determinao seu grau.
Mantém-se a base comum e soma-se os expoentes.
n vezes 

Realmente: 2³ * 2²  2 ** 2 * 2 * 2  2 3  2  2 5
 2 
Assim:
 
vezesvezes
3  2  
5 vezes
2³ = 2 * 2 * 2 = 8  2³ = 8
(- 1)4 = (- 1) * (- 1) * (- 1) * (- 1) = 1  (- 1)4 = 1 Exemplo:

CASOS PARTICULARES: 5² * 57 = 59 = 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5 = 1 953 125

a) A potência de expoente 1 (1º grau) é igual à base: 20) Divisão de potências de mesma base

A1 = A; 21 = 2 Mantém-se a base comum e diminuem-se os expoentes.

b) Toda potência de 1 é igual a 1:
6 vezes
1² = 1; 1³ = 1
56

5*5*5*5*5*5
c) Toda potência de 0 é igual a 0: Realmente:  56 - 4  52
4 5 * 55 * 5
*
5

  
0² = 0; 0³ = 0 4 vezes

d) Toda potência de expoente par é positiva:
(- 2)4 = 16; 24 = 16; (- 3)² = 9; 3² = 9

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Exemplo: 37 : 33 = 34 = 3 * 3 * 3 * 3 = 81
Exemplo: 35  2  310  59 049
21) Multiplicação de potências de mesmo grau (semelhantes)
24) Expoente nulo
Multiplicam-se as bases e conserva-se o expoente comum.
Toda potência de base diferente de zero e expoente zero é igual

Realmente: 2² * 7² = 2 * 2 * 7 * 7 = (2 * 7)²
a unidade.

a 4 : a 4  a 4 - 4  a 0
Exemplo: 3³ * 5³ = 3 * 3 * 3 * 5 * 5 * 5 = (3 * 5)³ = 15³ = 3 375 Realmente:  a0 1

a 4 : a 4  1

22) Divisão de potências de mesmo grau (semelhantes)
Dividem-se as bases e conserva-se o expoente comum. Exemplo: (- 5)0 = 1

2
22 2*2 2 2  2 
25) Expoente negativo
Realmente:  *  
72 7*7 7 7  7 

Qualquer número diferente de zero, elevado a expoente negativo
é igual a uma fração cujo numerador é a unidade e cujo

Exemplo: 8³ : 2³ = 4³ = 64 denominador é a mesma base da potência elevada ao mesmo
expoente com o sinal positivo.

23) Potenciação de potência
Eleva-se a base ao produto dos expoentes.  23 23 1
 7  3 4  4
1
Realmente: 23 2  2323  23  3  26 ou 23 2  23 * 2  26 Realmente:  2 2 *2 2
2-4 
*

2 3
3-7 24
2 vezes
 7 2  2-4
2

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1 1 1 25 25
Exemplo: 5  2  Realmente: 0,0025   25 * 10 - 4
2 5 * 5 25 10 000 10 4
5
  

26) Potências de 10 Exemplos:
Efetuam-se as potências de 10 escrevendo à direita da unidade
tantos zeros quantas forem as unidades do expoente. a) 0,001 = 10-3
b) 0,002 = 2 * 10-3
Exemplos: c) 0,00008 = 8 * 10-5
d) 1,255 = 1255 * 10-3
a) 10² = 100 e) 2 * 10-3 = 0,002
b) 107 = 10 000 000
c) 200 = 2 * 100 = 2 * 10² 28) Exercícios
d) 4000 = 4 * 10³
e) 300 000 = 3 * 105 a) 1³ =
f) 3 * 108 = 300 000 000 b) 04 =
c) (- 2)³ =
27) Números decimais d) (- 4)³ =
Todo número decimal equivalente a um produto do qual um e) (- 2)4 =
fator é o número escrito como inteiro, e outro é uma potência de f) (- 4)4 =
dez com expoente negativo, com tantas unidades no expoente g) 2³ * 25 =
quantas são as ordens decimais. h) 3² * 3 * 35 =
i) 35 : 34 =

16

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j) 34 : 3² * 35 = 2
aa) =
4 4 4
k) 2 * 5 = 3
l) (- 35) * (- 55) = bb) (2-3 * 5-2)-4 =
m) 153 : 33 = cc) 2x + 1 * 4x =
n) (- 46) : 26 = dd) 32x * 24x =
o) (3³)2 = ee) 54x : 252x =
p) (2³)5 =
q) 3³2 = Exprimir, utilizando potências de 10:
r) [ (3³)² ]² =
s) (2 * 3)³ = a) 20 000 =
t) (3² * 5 * 2)4 = b) 4 800 000 =
5 c) 0,01 =
5
u)   =
3 d) 0,000045 =
3
 2
v)   = Efetuar, utilizando potência de 10:

 4
3


2
 2 2 * 33  2 000 * 48 000
w)   = a) =
 53  80
 
x) (2 * 3²)0 = 28 * 0,000032
b) =
0,00002
y) 4-2 =
z) 2 * 3-1 =

17

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a) 12  2 2 * 3  2 3
VI – RADICAIS

b) 180  2 2 * 3 2 5  2 * 3 5  6 5
Definição: Denomina-se raiz de índice n (ou raiz n-ésima) de A,
4 8
ao número ou expressão que, elevado à potência n reproduz A. c) 3 * 54 * 2  32 * 5 4 2
OBS: Representa-se a raiz pelo símbolo d) 4 8
3  38 : 4  3 2
n - índice da raiz
n A A - radicando Reciprocamente, para introduzir um fator no radical, multiplica-


 - radical se o expoente do fator pelo índice do radical. Assim:


Assim: 3
3 3 2  33 * 2

a) 16  4 porque 4² = 16 30) Adição e subtração de radicais semelhantes
b) 3 8  2 porque 2³ = 8 Radicais de mesmo índice e mesmo radicando são semelhantes.

c) 4 81  3 porque 34 = 81
Na adição e subtração de radicais semelhantes, operam-se os
coeficientes e conserva-se o radical.

Exemplos:
29) Propriedade
É possível retirar um fator do radical, bastante que se divida o
expoente do radicando pelo índice do radical.
a) 3 2  5 2 - 10 2  8 2 - 10 2  - 2 2

Exemplos: b) 3 3 2  6 3 2 - 5 3 2 - 3 2  9 3 2 - 6 3 2  3 3 2
31) Multiplicação e divisão de radicais de mesmo índice
18

PROF SÉRGIO
Multiplicam-se (dividem-se) os radicandos e dá-se ao produto Multiplicam-se os índices e conserva-se o radicando.
(quociente) o índice comum.
Exemplos:
Exemplo:

a) 3  2*2 3  4 3
a) 2 * 3  2*3  6
b) 3 4 3  24 3
6 6
b)  3
2 2


c) 3 * 5 * 2  3 * 5 * 2  30
34) Expoente fracionário

4 5*4 3 4 15
Uma potência com expoente fracionário pode ser convertida
15
d) 4
4 2 4 2 2
 numa raiz, cujo radicando é a base, o índice é o denominador do
expoente, sendo o numerador o expoente do radicando.

Exemplos:
32) Potenciação de radicais
Eleva-se o radicando à potência indicada e conserva-se o índice.

p
q
Exemplo: a) a q  a p
1
b) a 2  a
a) 4 3 3  4 33  4 27 2 3
c) 2 3  2 2  3 4
2 2 5
5 5
b)  2 2 * 3   2 2 * 3  2 4 * 32 4 3 3
d) 6 6 4
   
 
33) Radiciação de radicais
19

PROF SÉRGIO
35) Racionalização de denominadores Na racionalização aparecerá no denominador um produto do
1º Caso: O denominador é um radical do 2º grau. Neste caso tipo:
multiplica-se pelo próprio radical o numerador e o denominador (a + b) * (a – b) = a² - b²
da fração. Assim:
(5 + 3) * (5 – 3) = 5² - 3² = 25 – 9 = 16
Exemplo:
Exemplos:

1 1* 2 2 2
a)
2 2* 2 4 2 1 1* 5 - 2 5- 2 5- 2 5- 2
  
a)
 5  2* 5 - 2  52 -  22 5- 2 3
 
5 2
   
1 1* 3
3 3 3
b)
2 3 2 3 * 3 2 9 2*3 6
   
b) 5 5* 2 - 3 5* 2 - 3   5*2 - 3  5*2 - 3 5*2 - 3
2 4- 3 1
  
2 3 2  3*2 - 3 22 - 3
 
2 2* 3 6 6
c)
 
3 3* 3 9 3
  

2 2 2 2* 6 2 12 2 12 2 12 12
d)
36) Exercícios
5 6 5 6* 6 5 36 5*6 30 15
    

Efetuar:
2º Caso: O denominador é uma soma ou diferença de dois
termos em que um deles, ou ambos, são radicais do 2º grau. a) 5 - 2 5  10 5 

b) 32  3 2 - 8 
Neste caso multiplica-se o numerador e o denominador pela

c) 3 3  3 - 4 729 
expressão conjugada do denominador.
OBS: A expressão conjugada de a + b é a – b.

20

PROF SÉRGIO
d) 3* 6 
d) 2* 3 6 = 1
- 3 2 * - 3 4 

e)
48 Racionalizar o denominador das frações seguintes:
f)
4 2


1
g) 3 2 6  a)
5
=
2
3
h)  2 * 32   b)
3
=
7
 
 
33
i) 3 3
c) =
3 2 2
j) 2
2
d) =
k) 3 2 2  5-2

l) 3 3 3
2 2 2  5
e) =
4 - 11

Dar a resposta sob forma de radical, das expressões seguintes:
Simplifique:

3
a) 2 4 =
50 - 8
1
a) =
b) 2 2 = 2

1 b) 2352 =
 1  2
c)  2 2  =
 
 
21

PROF SÉRGIO
1 1
c) - =
São indicações de operações envolvendo letras ou letras e
1- 2 2 1 números.

Exemplos:

a) 5ax – 4b
b) ax² + bx + c
c) 7a²b

OBS: No exemplo 3, onde não aparece indicação de soma ou de
diferença, temos um monômio em que 7 é o coeficiente
numérico e a²b é a parte literal.

38) Operações com expressões algébricas
I. Soma algébrica
Somente é possível somar ou subtrair termos semelhantes
(monômios que possuem a mesma parte literal). Para somar
ou subtrair termos semelhantes (reduzir termos
semelhantes) repete-se a parte literal e opera-se com os
VII – OPERAÇÕES ALGÉBRICAS coeficientes.
Exemplo:
37) Expressões algébricas 3x²y – 4xy² + 7xy² + 5x²y = 8x²y + 3xy²

22

PROF SÉRGIO

(a + b)² = a² + 2ab + b²
II. Multiplicação
Multiplica-se cada termo do primeiro fator por todos os “O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do
termos do segundo fator e reproduzem-se os termos primeiro mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo mais
semelhantes. o quadrado do segundo.”
Exemplo:
(3a²y) * (2ay) = 6a³y² Exemplo:
(2 + x)² = 2² + 2 * 2x + x² = 4 + 4x + x²

III. Divisão II. Quadrado da diferença de dois termos:
1º Caso: Divisão de monômios: Divide-se o coeficiente
numérico do dividendo pelo 1º coeficiente do divisor, e a
(a - b)² = a² - 2ab + b²

parte literal do dividendo pela do divisor, observando-se as “O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do
regras para divisão de potências de mesma base. primeiro menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo mais
2º Caso: Divisão de polinômio por monômio: Divide-se o quadrado do segundo.”
cada termo do dividendo pelo monômio divisor.
Exemplo: Exemplo:
4
(42a³bx ) : (7ax²) = 6a²bx² (x – 3) = x² + 2 * x * (- 3) + (- 3)² = x² - 6x + 9
39) Produtos notáveis III. Produto da soma de dois termos por sua diferença:
Há certos produtos de polinômios, que, por sua importância,
(a + b) * (a – b) = a - b
devem ser conhecidos desde logo. Vejamos alguns deles:
I. Quadrado da soma de dois termos:

23

PROF SÉRGIO
“O produto da soma de dois termos por sua diferença é igual ao a) Fatorando o polinômio 4ax² + 8a²x³ + 2a³x tem-se:
 4ax² 8a²x³ 2a³x 
4ax²  8a²x³  2a³x  2ax   2ax2x  4ax² a²
quadrado do primeiro menos o quadrado do segundo.”
 2ax 2ax 2ax 
 

Exemplo:

(1 - 3 ) * (1 + 3 ) = 1² - ( 3 )² = 1 – 3 = - 2 b) Fatorar: 5x²y + x4y³ + 2x². O fator comum é x².
Assim: 5x²y + x4y³ + 2x² = x² (5y + x²y³ + 2)

40) Fatoração
Fatorar um polinômio é escreve-lo sob a forma de um produto 41) Exercícios

indicado.
Fator comum dos termos de um polinômio é o monômio cujo Efetuar:

coeficiente numérico é o máximo divisor comum dos
coeficientes dos termos do polinômio e cuja parte literal é a) 3a 2 - 7ab  4b 2 - 5a 2  3ab - 4b 2 =
formada pelas letras comuns com os menores expoentes. b) 3xy 2 - 7x 2 y  3y 3 - 2y 3 - 8x 2 y  3xy 2 =
Apresentando um fator comum, o polinômio pode ser escrito
  
como o produto de dois fatores: o 1º é o fator comum e o 2º é
c) 7xy2 * - 8x 2 y* xy =
obtido dividindo-se o polinômio original pelo fator comum. d) a  b  c  * a - b  =

e) x 3 - 3x 2 y  x * x 2 - y =
  
f) 6x 2 - 4x 5  2x 4 - 2x 2 : 2x =

Exemplos: g) 2a 2 bc  3a 3 b 3c 2  abc: abc =

h) x  22  3x - 32 =

24

PROF SÉRGIO

i) 3xy  8a 2
 2 = VIII – EQUAÇÕES DO 1º GRAU

j) 5ab  3c * 5ab  3c  =
UM BREVE RELATO DA HISTÓRIA DA EQUAÇÃO

Fatorar:
As equações foram introduzidas pelo conselheiro do rei da
França, Henrique IV, o francês François Viète, nascido em 1540.
a) 15a² - 10ab =
Através da matemática Viète decifrava códigos secretos que era
b) 3a²x – 6b²x + 12x =
mensagens escritas com a substituição de letras por numerais. Desta
forma Viète teve uma idéia simples mas genial: fez o contrário, ou
seja, usou letras para representar os números nas equações.
O sinal de igualdade foi introduzido por Robert Recorde
(matemático inglês) que escreveu em um de seus livros que para ele
não existiam duas coisas mais parecidas que duas retas paralelas.
Um outro matemático inglês, Thomas Harriot, gostou da idéia de seu
colega e começou a desenhar duas retas para representar que duas
quantidades são iguais:
Exemplo:
_________
400 cm _________ 4m

Assim, diminuiu-se um pouco este sinal, =, passando a usá-lo
nas equações de Viète.

25

PROF SÉRGIO
Até o surgimento deste sistema de notação as equações eram Os valores atribuídos às incógnitas que tornam verdadeiras as
expressas em palavras e eram resolvidas com muita dificuldade. igualdades denominam-se raízes da equação.
A notação de Viète significou o passo mais decisivo e Se a equação contiver apenas uma incógnita e se o maior
fundamental para construção do verdadeiro idioma da Álgebra: expoente dessa incógnita for 1 então a equação é dita equação do
as equações. Por isso, Fraçois Viète é conhecido como o Pai da 1º grau a uma incógnita.
Álgebra.
43) Resolução de uma equação do 1º grau a uma incógnita
42) Equação Resolver uma equação é determinar sua raiz. No caso de uma
Equação é uma igualdade que só se verifica para determinados equação do 1º grau a uma incógnita, consegue-se resolve-la
valores atribuídos às letras (que se denominam incógnitas). isolando-se a incógnita no 1º membro, transferindo-se para o 2º
Incógnita: Quantidade desconhecida de uma equação ou de um membro os termos que não contenham a incógnita efetuando-se
problema; aquilo que é desconhecido e se procura saber; enigma; a operação inversa (as operações inversas são: adição e
mistério. (Dicionário Silveira Bueno – Editora LISA) subtração; multiplicação e divisão; potenciação e radiciação).

Exemplo: Exemplos:

a) - 
x2 5
 só é verdade para x = 7 a) x + 2 = 7  x + 2 – 2 = 7 – 2  x = 5
1º membro 2º membro
b) x – 3 = 0  x – 3 + 3 = 0 + 3  x = 3
b) 3x + y = 7 só é verdade para alguns valores de x e y,
2x 8
c) 2 x  8    x4
como por exemplo x = 2 e y = 1 ou x = 1 e y = 4. 2 2
x 3* x
d) 5   3 * 5  x  15
3 3

26

PROF SÉRGIO
2º Passo: Eliminam-se os parênteses, efetuando as
Se o coeficiente da incógnita for negativo, convém, utilizar as multiplicações indicadas:
operações dos sinais (capítulo III – Números relativos): 45x – 30 – 30x – 10 = 24x – 36

- 2x - 8 3º Passo: Transpõem-se os termos que contém a incógnita para o
 2x  - 8   x4
-2 -2

1º membro, e os independentes (os que não contém a incógnita)
Se a equação envolver simultaneamente denominadores e adição para o 2º, efetuando as operações necessárias:
ou subtração, o primeiro passo será eliminar os denominadores, 45x – 30x – 24x = - 36 + 30 + 10
o que se faz mediante a aplicação da seguinte regra:

4º Passo: Reduzem-se os termos semelhantes em cada membro:
-9x = 4
Calcula-se o m.m.c. dos denominadores; divide-se o m.m.c.
encontrado por cada um dos denominadores e multiplicam-
se os resultados pelos respectivos numeradores.
5º Passo: Divide-se os dois membros pelo valor que o x está
sendo multiplicado, desta maneira isola-se a incógnita:
Os passos seguintes são descritos no exemplo a seguir:  9x 4
3x - 2 3x  1 4x - 6 9 -9

-
2 3 5


6º Passo: Sendo o divisor ou o dividendo negativo, a fração
1º Passo: Eliminam-se os denominadores, se houver: passa a ser negativa também:
m.m.c. (2; 3; 5) = 30 4
x-
Logo: 15 * (3x – 2) – 10 * (3x + 1) = 6 * (4x – 6) 9

27

PROF SÉRGIO
VERIFICAÇÃO OU “PROVA REAL” 5x  y  16 x  3
tem solução para
2 x  3 y  3 y  1
 
Substitui-se a raiz encontrada em cada um dos membros da
equação dada. Os valores numéricos devem ser iguais Pois apenas estes valores satisfazem simultaneamente às
duas igualdades. (Verifique!)
44) Sistema de equação do 1º grau com duas incógnitas Estudar-se-á nesta apostila três métodos de solução para um
A forma genérica de um sistema é: sistema, são eles: Substituição, comparação e adição.
ax  by  c
onde a, b, c, m, n, p   (Reais)
mx  ny  p

SUBSTITUIÇÃO

a. Equação a duas incógnitas: Uma equação a duas 2 x  3 y  8 equação1
1º) Seja o sistema: 
incógnitas admite infinitas soluções. Por exemplo, a 5x  2 y  1 equação 2
equação 2x – y = 4 é verificada para um número
ilimitado de pares de valores de x e y; entre estes pares 2º) Isola-se uma das incógnitas em uma das equações, por
estariam: exemplo, o valor de x na equação 1:
(x = 4; y = 4), (x = 2; y = 0), (x = -1; y = -6), etc. 2 x  3y  8
2 x  8  3y
b. Sistema de duas equações a duas incógnitas: resolver um 8  3y
x equação 3
2
sistema de suas equações a duas incógnitas é

3º) Substitui-se x da equação 2 pelo seu valor (equação 3):
determinar os valores de x e y que satisfaçam
simultaneamente às duas equações. Por exemplo o
 8 - 3y 
5*   2y  1 equação 4
 2 
sistema:

28

PROF SÉRGIO
4º) Resolve-se a equação 4 determinando-se o valor de y: 33  3y 7  2y
x e x
5 * 8  3y   4 y  2 7 5
40  15y  4 y  2
19 y  38 3º) Igualam-se os segundos membros pois os primeiros são
y2 iguais (x = x):
33 - 3y 7  2 y
5º) O valor obtido para y é levado à equação 3 (em que já está 7 5


isolado) e determina-se x:
8  3 * 2  4º) Resolve-se a equação e determina-se y:
x
2 5 * 33  3y   7 * 7  2 y 
86 165  15y  49  14 y
x
2
29 y  16
 x 1
 y4

6º) A solução do sistema é:
5º) O valor de y é levado a qualquer das equações em que x está
x=1 e y=2
isolado e determina-se o valor de x:
33 - 3y 33  3 * 4 33  12 21
x
7 7 7 7
COMPARAÇÃO   

 x3
7 x  3y  33
1º) Seja o sistema: 
5x  2 y  7 6º) A solução do sistema é:
x=3 e y=4
2º) Isola-se a mesma incógnita nas duas equações:

29

PROF SÉRGIO
ADIÇÃO Substituindo o valor de x na 1ª equação (ou na 2ª, fica a
critério do aluno), vem:
Este método consiste em somar, membro a membro, as duas 3 * 1  2y  7  3  2y  7  2y  4  y  2
equações com o objetivo de, nesta operação, eliminar uma das
incógnitas e só é vantajoso no caso de os coeficientes de uma 45) Exercícios
das incógnitas serem simétricos.
Resolver as seguintes equações:
Exemplos:
a) 4 x  8
x  y  4 equação1 b)  5x  10
a) 
x  y  0 equação 2 c) 7  x  8
Somando, membro a membro, vem: d) 3  2 x  7
2x  4  x  2 e) 16  4x  4  x  12
Substituindo o valor de x na equação 1 (ou na equação 2, fica f) 8  7 x  13  x  27  5x
a critério do aluno), vem: 2x 3
g)
2 y  4  y  2 3 4


1 3x
h)
4 10

3x  2 y  7 3x  2y  7
b)  i) 9x  2  4x  5  4x  3
5x  y  3  * (2) 10x - 2y  6
 

Somando, membro a membro, vem: j) 3 * 2  x   5 * 7  2x   10  4x  5

13x  13  x  1 x  2 12  x 5x  36
k) 1
3 2 4
 

30

PROF SÉRGIO
5x  3 3  4 x x 31 9  5x
l)
IX – EQUAÇÕES DO 2º GRAU
8 3 2 2 6
   

Equação do 2º grau na incógnita x, é toda igualdade do tipo:

Resolver os seguintes sistemas de equações:
a . x² + b . x + c = 0

onde a, b, c são números reais e a é não nulo (a  0).
x  y  12 A equação é chamada de 2º grau ou quadrática devido à
a) 
3x  y  24 incógnita x apresentar o maior expoente igual a 2.
5x  6 y  19 Se tivermos b  0 e c  0 teremos uma equação completa.
b) 
7 x  2 y  1 Se tivermos b = 0 ou c = 0 teremos uma equação incompleta.
x  5y  12
c) 
3x  4 y  2 46) Resolvendo Equações de 2º Grau

x y
  2 Quando a equação de 2º grau for incompleta sua resolução é
d)  4 5

 2x  1  y  3  2 bastante simples, veja:
 3
 2

1º caso: b = 0 e c = 0; temos então:
Considere o problema:
A idade do pai é o dobro da idade do filho. Há 10 anos atrás, a a . x² = 0

Exemplo:
idade do pai era o triplo da idade do filho. Qual é a idade do pai

3 x² = 0  x² = 0  x = 0  S = {0}
e do filho?

31

PROF SÉRGIO
2º caso: c = 0 e b  0; temos então:
A fórmula apresentada é uma simplificação de duas fo’rmulas;
veja:
a . x² + b . x = 0

Exemplo:
  b2  4 * a * c
3 x² - 12 x = 0  x . (3 x – 12) = 0  x = 0 ou 3 x – 12
= 0  3 x = 12  x = 4  S = {0; 4}  > 0 têm-se duas raízes reais e diferentes
 = 0 têm-se duas raízes reais e iguais
3º caso: b = 0 e c  0; temos então:  < 0 têm-se duas raízes imaginárias
e
a . x² + c = 0

Exemplo: b 
x
x² - 4 = 0  x² = 4  x =  4  x’ = 2 e x’’ = -2  2*a
 S = {-2; 2}
OBS: Nunca teremos a = 0, pois se houver, não existirá a

A resolução da equação completa de 2º grau é obtida através de equação de segundo grau visto que o x² seria anulado.

uma fórmula que foi demonstrada por Bhaskara, matemático
hindu nascido em 1 114; por meio dela sabemos que o valor da 47) Exercícios

incógnita satisfaz a igualdade:
Determinar as raízes das seguintes equações quadráticas:
 b  b²  4.a.c
Fórmula de Bhaskara x 
2.a
a) x 2  7 x  6  0

32

PROF SÉRGIO

b) x 2  3x  28  0 b) x 2  2x  15  0

c) 3x 2  5x  2  0 c) x 2  4x  12  0

d) 16x 2  16x  3  0 d) x 2  10x  21  0

e) 4x 2  16  0 e) x 2  5x  50  0

f) 2x 2  18  0
Resolver as seguintes equações:
g) 3x 2  5x

h) 2 x 2  8x  0
a) ax 2  b
i) 2x  32  4x  32 b) x x  1  x 2 x  1  18

Prever a natureza das raízes das equações:

a) 2 x 2  3x  1  0

b) x 2  x  3  0

c) 2x 2  4x  2  0

Determinar mentalmente as raízes das equações:

a) x 2  6x  5  0

33

PROF SÉRGIO
Isola-se o radical em um dos membros:

x 5  4
X – EQUAÇÕES IRRACIONAIS Elevam-se ambos os membros ao quadrado, para
eliminar a raiz:
Definição: Uma equação é denominada irracional quando
apresenta incógnita sob radical ou incógnita com expoente
 x 5 2  4 2
x  5  16
fracionário.
Determina-se x e verifica-se na equação original.
x  21
48) Resolução de uma equação irracional
Durante o processo de solução de uma equação irracional com
Verificação:
índice do radical igual a 2 (ou outro qualquer) é necessário
elevar ao quadrado (ou em caso de expoente diferente de 2, 21  5  4  0

eleva-se ao que se fizer necessário) ambos os membros da 16  4  0
00
equação e esta operação pode provocar o aparecimento de
raízes estranhas, isto é, valores que realmente não verificam a
equação original. Este fato obriga que toda raiz obtida deve ser b) Determinar as raízes da equação: x4 2 x

verificada na equação original e verificando a igualdade. Isolando o radical no 1º membro:

x4  x2
Exemplos: Elevando-se ambos os membros ao quadrado:

a) Determinar as raízes da equação: x 5 4  0

34

PROF SÉRGIO

 x4 2  x  22 a) x 40

x  4  x 2  4x  4 b) x 20
x 2  3x  0 c) x 1  2  0
d) x  2 x  15

e) 2x  7  4  2  x
As raízes da equação do 2º grau são:
xx  3  0 e x3 0
f) x  1  x  4  2x  9
x1  0 x 2  -3
g) x  2  x  2 1

Verificando as raízes na equação irracional: h) x  9  x 2  3

x4 2 x

Para x1=0 04 2  0
22  0
00
 3  4  2  3
Para x2=-3 1  2  3
 1  3
Observe que apenas x=0 verifica a igualdade, assim a raiz
da equação original é 0.

49) Exercícios

35

PROF SÉRGIO
XI – INEQUAÇÕES DO 1º GRAU Exemplo:
2x > 4
50) Símbolos de desigualdades A veracidade da desigualdade está condicionada ao valor de x.
São símbolos que permitem uma comparação entre duas Observa-se que o 1º membro será maior do que o 2º membro
grandezas. quando se atribui a x qualquer valor maior do que 2. Isto é:

a > b (a é maior do que b) x>2

a < b (a é menor do que b) x > 2 indica um conjunto de valores denominado solução da

a  b (a é maior ou igual a b) inequação. Para determinar-se o conjunto-solução de uma

a  b (a é menor ou igual a b) inequação do 1º grau isola-se x no 1º membro de forma à
solução de uma equação do 1º grau, e sempre que se multiplicar
Exemplos: ou dividir a inequação por um número negativo, inverte-se o
sinal da desigualdade.
a) 7 > 5 (7 é maior do que 5).
b) 3 < 6 (3 é menor do que 6). Exemplos:
c) x  1 (x é menor ou igual a 1).
d) y  4 (y é maior ou igual a 4). 4x  2
e) 1 < x  4 (x é maior do que 1 e menor ou igual x  24
a)
a 4).  x  2
x2
2x  1  1
2x  1  1
51) Inequação do 1º grau
b)
2x  0
Inequação do 1º grau é uma desigualdade condicionada em
que a incógnita é de 1º grau. x0
36

PROF SÉRGIO
52) Exercícios XII – PROPORCIONALIDADE

Resolver as seguintes inequações: 53) Razão
Seja dois números genéricos a e b. A razão entre a e b é
a) 2x  1  1 a
, a/b ou a : b, sendo b  0.
b)  3x  x  2 b
representada por

c) x  5x  16
d) 2x  1  3x  5  7 x 54) Proporção

2 1 4x
Proporção é a igualdade de duas razões.
e) x  1 a c
5 2 5 Seja a proporção:  ou a : b  c : d ou a : b :: c : d.
b d
7x 2
f) 7 x Seus elementos se denominam:
3 3
3x 2x
g) 9  4 a - primeiro termo a e b - extremos
4 7
b - segundo termo b e c - meios
c - terceiro termo a e c - antecedentes
d - quarto termo b e d - conseqüentes

PROPRIEDADE FUNDAMENTAL: Em toda proporção o
produto dos meios é igual ao produto dos extremos.

37

PROF SÉRGIO
Considerando as proporções:  Inversamente proporcionais: quando o produto delas é
constante.
a c k
então a * d  b * c x * y  k ou x 
b d y


4 8 Sendo k denominada constante de proporcionalidade.
então 4 * 6  3 * 8
3 6


x 3
então 5 * x  2 * 3 Exemplos:
2 5


a) Seja um carro que se desloca com velocidade
A principal aplicação desta propriedade é a determinação de um
constante em trajetória retilínea. A tabela mostra o
elemento desconhecido na proporção. Exemplificando:
deslocamento do carro em função do tempo.
Determine x na proporção:
Tempo Deslocamento
x 20
então 5 * x  4 * 20 ou x  16 (s) (m) A pergunta é: tempo e
4 5

1 20 deslocamento são
2 40 grandezas diretamente ou
inversamente
55) Grandezas diretamente ou inversamente proporcionais
Duas grandezas x e y são denominadas: 3 60
4 80 proporcionais?
 Diretamente proporcionais: quando a razão entre x e y é
constante. 5 100

x 10 200
 k ou x  ky
y Chamado de x o deslocamento e t o tempo, observa-se

que a razão x
t
é constante.

38

PROF SÉRGIO
x 20 40 60 80 100 200
 20
56) Regra de três simples
t 1 2 3 4 5 10
     
Utilizamos regra de três simples na solução de problemas que
Assim x e t são grandezas diretamente proporcionais e a envolvem grandezas proporcionais.
constante de proporcionalidade vale 20 (que é a
velocidade do carro). Exemplos:

b) Um gás é mantido à temperatura constante em um a) Um automóvel se desloca com velocidade constante
recipiente de volume variável. Quando se altera o percorrendo 40 km em 1 hora. Qual o tempo gasto
volume do gás a sua pressão também se modifica. para percorrer 100 km?
Registraram-se em uma tabela os valores SOLUÇÃO
correspondentes da pressão (P) e volume (V). As grandezas envolvidas são diretamente proporcionais.
Pressão Volume Teremos então uma regra de três simples e direta.
20 20 Dispomos os dados do problema colocando frente `frente
P e V são grandezas
40 10 aqueles que se correspondem. Marcamos x no local do
diretamente ou
80 5 valor procurado:
inversamente
100 4 40 km ...............1 h
proporcionais?
200 2 100 km ................x
400 1 Sendo a regra de três simples e direta, tem-se:
Note que PV é constante. 40 1
 (as grandezas são dispostas na mesma ordem de
PV  20.20  40.10  80.5  100.4  200.2  400.1  400 100 x
Assim: P e V são grandezas inversamente proporcionais correspondência).
com constante de proporcionalidade igual a 400.

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