1. Producto escalar
Longitudes, distancias y ángulos en R3

2. PEDRO ROMERO
CALCULO VECTORIAL
Producto escalar - definición
Dados
X = (x1 , x2 , x3 ) Y = (y1 , y2 , y3 )
CARLOS BAHOQUEZ
EDGAR NOGUERA
c Jana Rodriguez Hertz – p. 2/2

3. Producto escalar - definición
Dados
X = (x1 , x2 , x3 ) Y = (y1 , y2 , y3 )
el producto escalar X · Y se define como:
c Jana Rodriguez Hertz – p. 2/2

4. Producto escalar - definición
Dados
X = (x1 , x2 , x3 ) Y = (y1 , y2 , y3 )
el producto escalar X · Y se define como:
X · Y = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3
c Jana Rodriguez Hertz – p. 2/2

5. Ejemplo
X = (1, 2, 3), Y = (3, 2, 1)
X · Y = 1.3 + 2.2 + 3.1 = 10
c Jana Rodriguez Hertz – p. 3/2

6. Proposición
Dados X, Y ∈ R3 ,
c Jana Rodriguez Hertz – p. 4/2

7. Proposición
Dados X, Y ∈ R3 , y α ∈ R,
c Jana Rodriguez Hertz – p. 4/2

8. Proposición
Dados X, Y ∈ R3 , y α ∈ R, valen las siguientes
propiedades:
c Jana Rodriguez Hertz – p. 4/2

9. Proposición
Dados X, Y ∈ R3 , y α ∈ R, valen las siguientes
propiedades:
X ·X ≥0
c Jana Rodriguez Hertz – p. 4/2

10. Proposición
Dados X, Y ∈ R3 , y α ∈ R, valen las siguientes
propiedades:
X ·X ≥0
X · X = 0 ⇔ X = (0, 0, 0)
c Jana Rodriguez Hertz – p. 4/2

11. Proposición
Dados X, Y ∈ R3 , y α ∈ R, valen las siguientes
propiedades:
X ·X ≥0
X · X = 0 ⇔ X = (0, 0, 0)
MULTILINEALIDAD :
c Jana Rodriguez Hertz – p. 4/2

12. Proposición
Dados X, Y ∈ R3 , y α ∈ R, valen las siguientes
propiedades:
X ·X ≥0
X · X = 0 ⇔ X = (0, 0, 0)
MULTILINEALIDAD :
(X + Y ) · Z = X · Z + Y · Z
c Jana Rodriguez Hertz – p. 4/2

13. Proposición
Dados X, Y ∈ R3 , y α ∈ R, valen las siguientes
propiedades:
X ·X ≥0
X · X = 0 ⇔ X = (0, 0, 0)
MULTILINEALIDAD :
(X + Y ) · Z = X · Z + Y · Z
(αX) · Y = α(X · Y )
c Jana Rodriguez Hertz – p. 4/2

14. Proposición
Dados X, Y ∈ R3 , y α ∈ R, valen las siguientes
propiedades:
X ·X ≥0
X · X = 0 ⇔ X = (0, 0, 0)
MULTILINEALIDAD :
(X + Y ) · Z = X · Z + Y · Z
(αX) · Y = α(X · Y )
´
SIM E TRICA : X ·Y =Y ·X
c Jana Rodriguez Hertz – p. 4/2

15. Módulo de un vector
Dado X ∈ R3
c Jana Rodriguez Hertz – p. 5/2

16. Módulo de un vector
Dado X ∈ R3
el módulo de X se define como:
c Jana Rodriguez Hertz – p. 5/2

17. Módulo de un vector
Dado X ∈ R3
el módulo de X se define como:
√
|X| = X · X
c Jana Rodriguez Hertz – p. 5/2

18. Ejemplos
√
|(1, 2, 3)| = 14
c Jana Rodriguez Hertz – p. 6/2

19. Ejemplos
√
|(1, 2, 3)| = 14
|(1, 0, 0)| = 1
c Jana Rodriguez Hertz – p. 6/2

20. Ejemplos
√
|(1, 2, 3)| = 14
|(1, 0, 0)| = 1
|(−1, 0, 0)| = 1
c Jana Rodriguez Hertz – p. 6/2

21. Propiedades
Dados X, Y ∈ R3 , se cumplen:
c Jana Rodriguez Hertz – p. 7/2

22. Propiedades
Dados X, Y ∈ R3 , se cumplen:
|X + Y |2 = |X|2 + |Y |2 + 2X · Y
c Jana Rodriguez Hertz – p. 7/2

23. Propiedades
Dados X, Y ∈ R3 , se cumplen:
|X + Y |2 = |X|2 + |Y |2 + 2X · Y
(X + Y ) · (X − Y ) = |X|2 − |Y |2
c Jana Rodriguez Hertz – p. 7/2

24. Desigualdad de Cauchy-Schwartz
Para todo par de vectores X e Y de R3 se
cumple:
c Jana Rodriguez Hertz – p. 8/2

25. Desigualdad de Cauchy-Schwartz
Para todo par de vectores X e Y de R3 se
cumple:
|X · Y | ≤ |X||Y |
c Jana Rodriguez Hertz – p. 8/2

26. Desigualdad de Cauchy-Schwartz
Para todo par de vectores X e Y de R3 se
cumple:
|X · Y | ≤ |X||Y |
Además
|X · Y | = |X||Y | ⇔ X||Y
c Jana Rodriguez Hertz – p. 8/2

27. Desigualdad de Cauchy-Schwartz
Para todo par de vectores X e Y de R3 se
cumple:
|X · Y | ≤ |X||Y |
Además
|X · Y | = |X||Y | ⇔ X||Y
c Jana Rodriguez Hertz – p. 8/2

28. Consecuencia
X ·Y
−1 ≤ ≤1
|X||Y |
c Jana Rodriguez Hertz – p. 9/2

29. Ángulo entre vectores no nulos
Dados X, Y = (0, 0, 0) en R3 ,
c Jana Rodriguez Hertz – p. 10/2

30. Ángulo entre vectores no nulos
Dados X, Y = (0, 0, 0) en R3 ,
el ángulo entre X e Y se define como el único
número θ ∈ (−π, π] que cumple:
c Jana Rodriguez Hertz – p. 10/2

31. Ángulo entre vectores no nulos
Dados X, Y = (0, 0, 0) en R3 ,
el ángulo entre X e Y se define como el único
número θ ∈ (−π, π] que cumple:
X · Y = |X||Y | cos θ
c Jana Rodriguez Hertz – p. 10/2

32. Ángulo entre vectores no nulos
Dados X, Y = (0, 0, 0) en R3 ,
el ángulo entre X e Y se define como el único
número θ ∈ (−π, π] que cumple:
X · Y = |X||Y | cos θ
a veces anotamos:
θ = ∠(X, Y )
c Jana Rodriguez Hertz – p. 10/2

33. Ejemplo
√
Sea X = ( 3, 1, 0)
c Jana Rodriguez Hertz – p. 11/2

34. Ejemplo
√
Sea X = ( 3, 1, 0) y consideremos los vectores:
e1 = (1, 0, 0) e2 = (0, 1, 0) e3 = (0, 0, 1)
c Jana Rodriguez Hertz – p. 11/2

35. Ejemplo
√
Sea X = ( 3, 1, 0) y consideremos los vectores:
e1 = (1, 0, 0) e2 = (0, 1, 0) e3 = (0, 0, 1)
tenemos que
|ei | = 1 para i = 1, 2, 3
c Jana Rodriguez Hertz – p. 11/2

36. Ejemplo
√
Sea X = ( 3, 1, 0) y consideremos los vectores:
e1 = (1, 0, 0) e2 = (0, 1, 0) e3 = (0, 0, 1)
y también
|X| = 2
c Jana Rodriguez Hertz – p. 11/2

37. Ejemplo
√
Sea X = ( 3, 1, 0) y consideremos los vectores:
e1 = (1, 0, 0) e2 = (0, 1, 0) e3 = (0, 0, 1)
por lo tanto:
√
3
∠(X, e1 ) = arccos = π/6
2
c Jana Rodriguez Hertz – p. 11/2

38. Ejemplo
√
Sea X = ( 3, 1, 0) y consideremos los vectores:
e1 = (1, 0, 0) e2 = (0, 1, 0) e3 = (0, 0, 1)
por lo tanto:
√
3
∠(X, e1 ) = arccos = π/6
2
∠(X, e2 ) = arccos 1/2 = π/3
c Jana Rodriguez Hertz – p. 11/2

39. Ejemplo
√
Sea X = ( 3, 1, 0) y consideremos los vectores:
e1 = (1, 0, 0) e2 = (0, 1, 0) e3 = (0, 0, 1)
por lo tanto:
√
3
∠(X, e1 ) = arccos = π/6
2
∠(X, e2 ) = arccos 1/2 = π/3
∠(X, e3 ) = arccos 0 = π/2
c Jana Rodriguez Hertz – p. 11/2

40. Ortogonalidad - definición
Dos vectores X e Y de R3 que cumplan:
c Jana Rodriguez Hertz – p. 12/2

41. Ortogonalidad - definición
Dos vectores X e Y de R3 que cumplan:
X ·Y =0
c Jana Rodriguez Hertz – p. 12/2

42. Ortogonalidad - definición
Dos vectores X e Y de R3 que cumplan:
X ·Y =0
se llaman ortogonales
c Jana Rodriguez Hertz – p. 12/2

43. Ortogonalidad - definición
Dos vectores X e Y de R3 que cumplan:
X ·Y =0
se llaman ortogonales
Observación: esto incluye que X o Y sea el
vector nulo
c Jana Rodriguez Hertz – p. 12/2

44. Ortogonalidad - definición
Dos vectores X e Y de R3 que cumplan:
X ·Y =0
se llaman ortogonales
Observación: esto incluye que X o Y sea el
vector nulo
Si además se cumple que |X| = |Y | = 1,
entonces X e Y se llaman ortonormales
c Jana Rodriguez Hertz – p. 12/2

45. Teorema de Pitágoras
Si X e Y son vectores ortogonales de R3 .
c Jana Rodriguez Hertz – p. 13/2

46. Teorema de Pitágoras
Si X e Y son vectores ortogonales de R3 .
Entonces
|X + Y |2 = |X|2 + |Y |2
c Jana Rodriguez Hertz – p. 13/2

47. Proposición
Para todos los X, Y ∈ R3 , α ∈ R, el módulo |.|
cumple:
|X| ≥ 0
c Jana Rodriguez Hertz – p. 14/2

48. Proposición
Para todos los X, Y ∈ R3 , α ∈ R, el módulo |.|
cumple:
|X| ≥ 0
|X| = 0 ⇔ X = (0, 0, 0)
c Jana Rodriguez Hertz – p. 14/2

49. Proposición
Para todos los X, Y ∈ R3 , α ∈ R, el módulo |.|
cumple:
|X| ≥ 0
|X| = 0 ⇔ X = (0, 0, 0)
HOMOGENEIDAD : |αX| = |α||X|
c Jana Rodriguez Hertz – p. 14/2

50. Proposición
Para todos los X, Y ∈ R3 , α ∈ R, el módulo |.|
cumple:
|X| ≥ 0
|X| = 0 ⇔ X = (0, 0, 0)
HOMOGENEIDAD : |αX| = |α||X|
DESIGUALDAD : |X + Y | ≤ |X| + |Y |
c Jana Rodriguez Hertz – p. 14/2

51. Distancia
Dados X, Y ∈ R3 ,
c Jana Rodriguez Hertz – p. 15/2

52. Distancia
Dados X, Y ∈ R3 , definimos distancia entre X e
Y
c Jana Rodriguez Hertz – p. 15/2

53. Distancia
Dados X, Y ∈ R3 , definimos distancia entre X e
Y como:
d(X, Y ) = |X − Y |
c Jana Rodriguez Hertz – p. 15/2

54. Propiedades de la distancia
Para todo X, Y, Z ∈ R3 se cumple:
d(X, Y ) ≥ 0
c Jana Rodriguez Hertz – p. 16/2

55. Propiedades de la distancia
Para todo X, Y, Z ∈ R3 se cumple:
d(X, Y ) ≥ 0
d(X, Y ) = 0 ⇐⇒ X = Y
c Jana Rodriguez Hertz – p. 16/2

56. Propiedades de la distancia
Para todo X, Y, Z ∈ R3 se cumple:
d(X, Y ) ≥ 0
d(X, Y ) = 0 ⇐⇒ X = Y
SIMETR´A
I d(X, Y ) = d(Y, X)
c Jana Rodriguez Hertz – p. 16/2

57. Propiedades de la distancia
Para todo X, Y, Z ∈ R3 se cumple:
d(X, Y ) ≥ 0
d(X, Y ) = 0 ⇐⇒ X = Y
SIMETR´A
I d(X, Y ) = d(Y, X)
DESIGUALDAD : d(X, Z) ≤ d(X, Y ) + d(Y, Z)
c Jana Rodriguez Hertz – p. 16/2

58. Proyecciones
c Jana Rodriguez Hertz – p. 17/2

59. Versor
Llamamos vector unitario o versor
c Jana Rodriguez Hertz – p. 18/2

60. Versor
Llamamos vector unitario o versor a cualquier
vector de módulo 1.
c Jana Rodriguez Hertz – p. 18/2

61. Versor
Llamamos vector unitario o versor a cualquier
vector de módulo 1.
Dado X = (0, 0, 0), llamamos versor asociado a
X al vector
c Jana Rodriguez Hertz – p. 18/2

62. Versor
Llamamos vector unitario o versor a cualquier
vector de módulo 1.
Dado X = (0, 0, 0), llamamos versor asociado a
X al vector
X
eX =
|X|
c Jana Rodriguez Hertz – p. 18/2

63. Proposición
Todo conjunto de versores ortonormales es L.I.
c Jana Rodriguez Hertz – p. 19/2

64. Proyección
c Jana Rodriguez Hertz – p. 20/2

65. Proyección
Dados X ∈ R3 ,
Y = (0, 0, 0),
c Jana Rodriguez Hertz – p. 21/2

66. Proyección
Dados X ∈ R3 ,
Y = (0, 0, 0), se llama proyección de X sobre la
dirección de Y
c Jana Rodriguez Hertz – p. 21/2

67. Proyección
Dados X ∈ R3 ,
Y = (0, 0, 0), se llama proyección de X sobre la
dirección de Y al vector
(X · eY )eY
c Jana Rodriguez Hertz – p. 21/2

68. Producto escalar & planos
Observemos que la ecuación de cualquier plano
que pasa por el origen es de la forma:
c Jana Rodriguez Hertz – p. 22/2

69. Producto escalar & planos
Observemos que la ecuación de cualquier plano
que pasa por el origen es de la forma:
πH )ax + by + cz = 0
c Jana Rodriguez Hertz – p. 22/2

70. Producto escalar & planos
Observemos que la ecuación de cualquier plano
que pasa por el origen es de la forma:
πH )(a, b, c)(x, y, z) = 0
c Jana Rodriguez Hertz – p. 22/2

71. Producto escalar & planos
Observemos que la ecuación de cualquier plano
que pasa por el origen es de la forma:
πH )(a, b, c)(x, y, z) = 0
o sea que (x, y, z) ∈ πH ⇐⇒ (x, y, z)⊥(a, b, c)
c Jana Rodriguez Hertz – p. 22/2

72. Producto escalar & planos
Observemos que la ecuación de cualquier plano
que pasa por el origen es de la forma:
πH )(a, b, c)(x, y, z) = 0
o sea que (x, y, z) ∈ πH ⇐⇒ (x, y, z)⊥(a, b, c)
πH )x − z = 0
c Jana Rodriguez Hertz – p. 22/2

73. Producto escalar & planos
Sea ahora π un plano cualquiera
π)ax + by + cz = d
c Jana Rodriguez Hertz – p. 23/2

74. Producto escalar & planos
Sea ahora π un plano cualquiera
π)ax + by + cz = d
Si
P = (x0 , y0 , z0 ) ∈ π
c Jana Rodriguez Hertz – p. 23/2

75. Producto escalar & planos
Sea ahora π un plano cualquiera
π)ax + by + cz = d
P ∈π ⇒ ax0 + bx0 + cz0 = d
c Jana Rodriguez Hertz – p. 23/2

76. Producto escalar & planos
Sea ahora π un plano cualquiera
π)ax + by + cz = d
P ∈π ⇒ ax0 + bx0 + cz0 = d
restando tenemos
a(x − x0 ) + b(y − y0 ) + c(z − z0 ) = 0
c Jana Rodriguez Hertz – p. 23/2

77. Producto escalar & planos
Sea ahora π un plano cualquiera
π)ax + by + cz = d
P ∈π ⇒ ax0 + bx0 + cz0 = d
restando tenemos
a(x − x0 ) + b(y − y0 ) + c(z − z0 ) = 0
o sea que
(a, b, c)⊥(x − x0 , y − y0 , z − z0 )
c Jana Rodriguez Hertz – p. 23/2

78. Producto escalar & planos
Sea ahora π un plano cualquiera
π)ax + by + cz = d
P ∈π ⇒ ax0 + bx0 + cz0 = d
restando tenemos
a(x − x0 ) + b(y − y0 ) + c(z − z0 ) = 0
∴ X ∈ π ⇔ (a, b, c)⊥X − P
c Jana Rodriguez Hertz – p. 23/2