Se trabaja una parte de la unidad Función cuadrática para enseñanza media. Se completará la unidad .

1. FUNCIÓN CUADRÁTICA
Son diversas las situaciones que has podido analizar, en niveles
anteriores, utilizando expresiones matemáticas y más específicamente
a través de la expresión que define la función lineal con la cual lograste
por ejemplo calcular el costo final de un producto determinado
sabiendo sus costos fijos y variables, o también transformar grados
Fahrenheit en Celsius y viceversa. Pero existen otras situaciones o
fenómenos que no se pueden resolver mediante funciones lineales. Por
Para transformar de grados a ejemplo analizar el lanzamiento de una piedra o también si tenemos
Fahrenheit y viceversa una lámina de acero, ¿cómo podemos determinar los valores que
utilizaste esta igualdad. debemos considerar para construir una caja que tenga la mayor
C F − 32 capacidad? Incluso, conociendo las propiedades de la luz, ¿qué forma
= debe tener un instrumento para aprovechar mejor la luminosidad? Para
100 180 dar respuesta a estas inquietudes debemos utilizar un nuevo tipo de
función. La función cuadrática.
Definición:
Una función cuadrática de valores reales, f :  →  , es de la forma f ( x) = ax 2 + bx + c , donde
a , b , c ∈  y a ≠ 0 . Los valores a , b , c son constantes y se llaman coeficientes numéricos
de la función cuadrática.
Observa que:
1. Si a = 0 , al reemplazar se obtendría f ( x= bx + c , es decir, una ecuación lineal (recuerda
)
que la ecuaciones lineales las estudiaste en niveles anteriores y la forma obtenida se llama
ecuación afín).
2. Se exige que a ≠ 0 . Nada se dice de b y c , excepto que sean constantes reales.
Ejemplo
1. f ( x) = 2 x 2 + 3 x + 2 es una función cuadrática donde a = 2 , b = 3 , c = 2 .
2. h( x= ( x + 2 ) es una función cuadrática. En efecto, aplicando el desarrollo
2
) del binomio,
tenemos ( x + 2 ) = x 2 + 4 x + 4 , es decir, h( x) = ( x + 2 ) = x 2 + 4 x + 4 .
2 2
Ejercicios
1. Dadas las siguientes ecuaciones, identifica los coeficientes numéricos de la función.
2 2 1
a. f ( x) = 6 x 2 + 2 x + 1 b. g (= ( 2 x − 1) c. h( x= x +x−
2
x) )
3 4
2. Dados los siguientes coeficientes, determina la función cuadrática.
a. a = 2 , b = 2 , c = 6 b. a = −7 , b = 5 , c = 0 c. a = 4 , b = 0 , c = 0
Habilidad:
Item 1: Reconocer
Item 2:Representar

2. Esta función nos ayuda a modelar, o representar en forma general, una situación o fenómeno que se
nos presente. Pero antes de presentar sus aplicaciones, debemos conocer más sobre esta función.
REPRESENTACIÓN GEOMÉTRICA DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA.
Toda función de valores reales tiene una representación gráfica.
La función lineal, por ejemplo, representa gráficamente una línea recta.
Así, dada una función lineal para determinar su gráfico consideramos
elementos que identificamos de la propia función, por ejemplo la
pendiente y la coordenada que corta al eje Y . También podemos
generar una tabla de valores y obtener los valores de x y de y . Por
otro lado si nos presentan el gráfico de una función lineal podemos
determinar la función que lo representa.
La función cuadrática, por su parte, representa gráficamente una parábola. Pero dada una función
cuadrática, ¿cómo podemos graficarla? ¿Podemos ocupar una tabla de valores para graficarla? Y por
otro lado, si nos presentan el gráfico de una parábola ¿podemos determinar la función que lo genera?
Debes considerar que una recta queda definida por solo dos puntos, pero una curva no puede
determinarse por dos puntos, por lo tanto, realizar una tabla de valores para poder graficar una
parábola no es muy recomendable. Sin embargo, dada una función cuadrática y utilizando elementos
que identificaremos a continuación, que se desprenden de los coeficientes de la función, podrás
determinar su gráfico.
Luego, como identificarás estos elementos, podrás, dado un gráfico, determinar la función que lo
genera.
Debes saber que:
Aunque te pueden parecer que una cadena o una cuerda colgando representan una
parábola, el gráfico que representa esta situación, se llama catenaria y la función
que lo genera no es una función cuadrática.
La demostración que la curva seguida por una cadena no es una parábola fue
demostrado por Joachim Jungius (1587-1657) y publicado póstumamente en 1669.
Debes recordar que:
El significado geométrico de una función es que para cada valor que toma x en
el eje X o eje de las abscisas, f ( x) toma un valor en el eje Y o eje de las
ordenadas. Por lo que puedes considerar f ( x ) = y . Luego el par ordenado es
( x, y ) = ( x, f ( x ) )

3. ELEMENTOS DE UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA
I. CONCAVIDAD
Uno de los valores que nos entrega información en la función f ( x) = ax 2 + bx + c es el coeficiente a .
Este valor es de gran importancia, ya que su signo nos indicará hacia dónde se abre la parábola. El
concepto que encierra esta idea se llama concavidad. De esta manera:
A. Si a es positivo ( a > 0 ) entonces la función f ( x ) = ax 2 + bx + c representa una parábola
cóncava hacia arriba. Gráficamente, si a > 0 , la parábola tiene la siguiente forma:
B. Si a es negativo ( a < 0 ) entonces la función f ( x ) = ax 2 + bx + c representa una parábola
cóncava hacia abajo. Gráficamente, si a < 0 , la parábola tiene la siguiente forma:
Ejemplo
Dada la función f ( x ) = 2 x 2 + 5 x − 3 , podemos decir lo siguiente:
a = 2 , b = 5 , c = −3 y como a= 2 > 0 , entonces la parábola que representa es
cóncava hacia arriba.
Ejercicios
1. Dadas las siguientes ecuaciones, identifica los coeficientes a , b y c e indica su concavidad.
1 2 3
x + 3 x −  − ( x 2 + 4 x − 1)
1
a. f ( x) x 2 − 4 x
= b. g ( x) =x − 4
− c. h( x= 
2
)
2 2 5
5 2
d. m( x)= 4 − e. t ( x) =( x − 3) + 2 x 2
− f. s ( x= ( x − 2)
2 2
x )
6
Habilidad:
Item 1: Reconocer

4. II. INTERSECCIÓN CON LOS EJES
Debes recordar que:
1. Los puntos que se encuentran sobre el eje Y , son de la forma ( 0, y ) , es decir, la coordenada
x es x = 0 .
2. Los puntos que se encuentran sobre el eje X , son de la forma ( x, 0 ) , es decir, la
coordenada y es y = 0
A. Intersección de la función cuadrática con el eje Y
Otro valor que nos entrega información en la función f ( x ) = ax 2 + bx + c es el coeficiente c .
El valor de c corresponde a la coordenada del eje Y donde la parábola corta a este eje. En
efecto, cuando x = 0 se tiene f ( 0 ) = a ⋅ 02 + b ⋅ 0 + c = c .
Ejemplo
En nuestro ejemplo f ( x ) = 2 x 2 + 5 x − 3 donde a = 2 , b = 5 , c = −3 , determinemos el valor dónde la
parábola que representa intercepta al eje Y .
Solución
La parábola corta al eje Y en c = −3 , es decir el punto de intersección es ( 0, −3)
Ejercicios
1. Dadas las siguientes funciones, identifica los coeficientes a , b , c y determina el valor donde
la parábola intercepta al eje Y .
2 2
a. m( x) = 5 x 2 + x − 4
− b. n= x − 3x c. f (= ( 2 x − 3)
2
( x) x)
3
2
3 2 2 1
d. g ( x)= 2 − e. p ( x) = 3 x − 1) + 2 x 2 − 4
−( f. f =  x− 
2
x ( x)
7 3 4
Habilidad:
Item 1: Reconocer

5. B. Intersección de la función cuadrática con el eje X
Cuando la gráfica de una función corta al eje X en uno o más puntos, estos puntos reciben el
nombre de raíces reales o ceros de la función. Es decir, las raíces reales de la función
cuadrática f ( x ) = ax 2 + bx + c son los valores x tal que f ( x ) = 0 . Expresado de otra forma,
se deben encontrar los x que cumplan con que ax 2 + bx + c =.0
Los coeficientes a , b y c nos proporcionan la información requerida. Para ello, escribe el
trinomio ax 2 + bx + c como una expresión factorizada y aplica la propiedad de los números
reales que dice: Si a ⋅ b = entonces a = 0 o b = 0
0
ax 2 + bx + c =0
 bx c 
a  x2 + +  = 0 (Factorizando por a )
 a a
 bx b 2 b2 c 
a  x2 + + 2 − 2 +  =0 (Sumando 0 para completar cuadrados)
 a 4a 4a a 
 2 bx b 2  b 2 c
x + + 2 − 2 + = 0 (Ya que a no puede ser 0 por definición)
 a 4a  4a a
2
 b  b2 c
x+  = 2 − (Igualando cantidades)
 2a  4a a
b  b 2 − 4ac
2

 x+  = (Extrayendo raíz cuadrada, se obtiene)
 2a  4a 2
b b 2 − 4ac b b 2 − 4ac
x+ = o x+ =
−
2a 2a 2a 2a
Despejando x en ambas ecuaciones y renombrando estos valores como x1 y x2 , obtenemos los
valores buscados
−b + b 2 − 4ac −b − b 2 − 4ac
x1 = o x2 =
2a 2a
En conclusión:
En la función cuadrática f ( x ) = ax 2 + bx + c , los valores c , x1 y x2 nos
indicarán dónde la parábola corta a los ejes.

6. Pero ¿Puede haber una parábola que no corte al eje X ? La respuesta
es afirmativa, ya que la parábola no depende del eje X , sino que de
los valores que vaya tomando f ( x ) , respecto de los valores de x .
Si observas, los valores obtenidos en x1 y x2 se presenta la expresión
b 2 − 4ac y por las propiedades de raíces cuadradas el cálculo de
b 2 − 4ac nos lleva a tres situaciones:
1. Si b 2 − 4ac > 0 , entonces b 2 − 4ac tiene dos valores reales y distintos y, por lo tanto, x1 y
x2 son dos raíces reales y distintas, lo que geométricamente significa que la parábola corta al
eje X en las coordenadas x1 y x2 .
2. Si b 2 − 4ac =
0 , entonces b 2 − 4ac = que implica que x1 = x2 . Es decir, la función tiene
0 , lo
una sola raíz, lo que geométricamente significa que la parábola corta al eje X en solo una
coordenada.
3. Si b 2 − 4ac < 0 , entonces b 2 − 4ac no tiene valores reales y, por lo tanto, x1 y x2 no son
raíces reales, lo que geométricamente significa que la parábola no corta al eje X .
Debes saber que:
b 2 − 4ac se llama discriminante y se simboliza por ∆ , es decir ∆ b 2 − 4ac
=
Ejemplo.
En la función f ( x ) = 2 x 2 + 5 x − 3 donde a = 2 , b = 5 , c = −3 , determinemos los puntos de
intersección con el eje X .
Analizando el discriminante, tenemos que:
∆ b 2 − 4ac
= = ( 5) − 4 ⋅ 2 ⋅ ( −3) 25 + 24 49 , es decir ∆ > 0 lo que nos indica que las raíces
= =
2
son reales y distintas. Calculando estos valores, tenemos:
−b + b 2 − 4ac − ( 5 ) + 49 −5 + 7 2 1
=
x1 = = = =
2a 4 4 4 2
−b − b 2 − 4ac − ( 5 ) − 49 −5 − 7 −12
x2 = = = = = −3
2a 4 4 4
1 
Por lo tanto, la parábola generada corta al eje X en los puntos ( −3, 0 ) y  , 0 
2 

7. Ejercicios.
1. Dadas las siguientes funciones, analiza el discriminante y determina si su gráfico, es decir, la
parábola corta o no al eje X .
a. f ( x) = x 2 + 4 x + 4 b. f ( x) x 2 − 2 x
= c. f (= ( 2 x + 1)
2
x)
1 2
d. f ( x ) = x 2 + x + 1 ( x)
e. f = x − 2x f. f ( x ) = x 2 − 6 x + 16
2
2. Dadas las siguientes funciones, determina sus raíces.
3
a. g ( x) = x 2 − 3 x + 2 b. g ( x) =x +
− x +1 c. g ( x) =x 2 − 2 x − 1
−
2
2
3 2 7 9
d. g (= 3 x 2 − 48
x) e. g ( x) =x 2 + 3 x − 4
− f. g ( x) = x + x−
5 3 4
3. En las siguientes funciones, analiza su discriminante y comprueba tu conclusión calculando el
valor de las raíces.
a. h( x) = x 2 b. h( x) 4 x 2 + 3
= c. h( x) = x 2 + x − 5
4 2 1
d. h( x) =x 2 − 1
−5 e. h( x)= x + 3x − 1 f. h( x) =x 2 − 2
−
9 4
4. Discute las siguientes situaciones:
a. Si en una función cuadrática f ( x ) = ax 2 + bx + c el discriminante es positivo y además
c > 0 , ¿qué puedes decir de la concavidad de la parábola que representa?
b. Si una función cuadrática f ( x ) = ax 2 + bx + c es cóncava hacia abajo, pero no intercepta
al eje X , ¿qué signo tendrá siempre el coeficiente c ?
5. Determina qué valor debe tener k en la función f ( x ) = x 2 + 2 x + k para que la parábola
intercepte al eje X en un solo punto.
Solución:
Como se pide que la parábola intercepte al eje X en un solo punto, entonces se debe tener
que ∆ =0 . De la función tienes que a = 1 , b = 2 , c = k , luego
∆ = 22 − 4 ⋅1 ⋅ k = 4 − 4k , es decir 4 − 4k = lo que implica que 4 = 4k , es decir k = 1 y la
0,
función es f ( x ) = x + 2 x + 1 .
2
6. Para qué valores de k , la parábola de la función f ( x ) = kx 2 + 2 x + 2 no corta al eje X
7. Qué valor debe tener k para que la función f ( x ) = x 2 − 2(k + 1) x + (2k + 1) intercepte al eje
X en dos puntos.
Habilidad:
Item 1, y 3: Calcular y Analizar Item 2: Aplicar y Calcular Item 4 : Analizar y conjeturar
Item 5, 6 y 7: Analizar, aplicar y calcular

8. III. EJE DE SIMETRÍA
La parábola es simétrica respecto del eje Y o de un eje paralelo al eje Y . Por lo tanto existe un eje
de simetría, esto significa que este eje divide a la parábola en partes iguales.
Debes recordar que:
x1 + x2
El punto medio entre dos valores, por ejemplo x1 y x2 , se determina realizando el cálculo de .
2
Por lo tanto, podemos calcular el eje de simetría de una parábola ocupando los valores determinados
por las raíces de la función. En efecto,
−b + b 2 − 4ac −b − b 2 − 4ac
+
x1 + x2 2a 2a = −2b −b
= =
2 2 4a 2a
En conclusión:
−b
El eje de simetría es la recta perpendicular al eje X , x =
2a
Ejemplo
En nuestro ejemplo, f ( x ) = 2 x 2 + 5 x − 3 donde a = 2 , b = 5 , c = −3 , determinemos el eje de
simetría de la parábola.
Solución
La parábola que representa nuestra función, tiene como eje de simetría la recta
−b −5 −5
=
x = =
2a 2 ⋅ 2 4
Ejercicios
1. Dadas las siguientes funciones, determina el eje de simetría de sus respectivas parábolas.
a. h( x) = x 2 b. f ( x) =x 2 + 2 x
− c. g ( x) = x 2 − 2 x + 1
−5
2
3 1 2 x 4 1
d. h( x) = x + x
− e. f ( x) =x + 5 x − 7
− 2
f. g ( x) = + x −
−
4 8 2 3 2
2. Si en la función f ( x ) = ax 2 + bx + c , se tiene que b = 0 , ¿qué puedes decir del eje de
simetría?
3. Analiza los signos de a y b en la función f ( x ) = ax 2 + bx + c , y determina la posición del eje
de simetría.
Habilidad:
Item 1 : Calcular Item 2 y 3: Analizar y conjeturar

9. IV. VÉRTICE DE UNA PARÁBOLA
Otro elemento que podemos determinar de una función cuadrática es el vértice de la parábola que
representa. Si observamos, el eje de simetría corta a la parábola en un único punto, que exactamente
−b
corresponde al vértice de la parábola y donde su coordenada en el eje X es x = , por lo tanto
2a
para determinar la ordenada del vértice, reemplazamos en f ( x ) = ax 2 + bx + c y obtenemos:
 −b   −b  −b b 2 − 2b 2
2
b2 b2 b2 b2
f   = a  +b +c = a⋅ 2 − +c = − +c = +c
 2a   2a  2a 4a 2a 4a 2a 4a
−b 2
= c+
4a
En conclusión:
El vértice que simbolizamos por V , es el punto de la parábola
 −b −b 2 
V  ,c + 
 2a 4a 
Ejemplo
En nuestro ejemplo, f ( x ) = 2 x 2 + 5 x − 3 donde a = 2 , b = 5 , c = −3 , determinemos el vértice de la
parábola.
Solución
La parábola que representa nuestra función, tiene como vértice el punto
 −5 − ( 5) 
2
 −b −b 2   −5 −25   −5 −24 − 25   −5 −49 
V  , c += V  , −3 + = V   , −3 + = V  ,
 = V ,
 
 2a 4a   2⋅2 4⋅2   2⋅2 8   4 8   4 8 
 
Ejercicios
1. Dadas las siguientes funciones, determina el vértice de sus respectivas parábolas.
a. f ( x) = x 2 − 5 x + 6 b. g ( x) =x 2 + 2 x
− c. h( x)= 3 x 2 − x + 2
1 2 3 2
d. f ( x=
) x +x+2 e. g ( x) = x 2 + 8 x + 2
−8 f. h( x) =− x − x +1
2 2
2. En las funciones cuadráticas de la forma f ( x ) = ax 2 , es decir, b = 0 y c = 0 . Determina su
vértice.
Habilidad:
Item 1 : Calcular Item 2 y 3: Analizar, calcular y conjeturar

10. ¿Qué has visto en esta Unidad?
Has podido determinar que una función representa geométricamente una parábola, y que podemos
graficarla identificando elementos que se presentan en ella y que se deducen de los coeficientes de la
función cuadrática a , b y c . Por otra parte, con los elementos identificados, si tienes una parábola
puedes determinar la función que la genera. Los ejemplos siguientes ilustran tus aprendizajes.
Graficar una parábola dada su función
Grafiquemos nuestro ejemplo.
De nuestra función f ( x ) = 2 x 2 + 5 x − 3 identificamos:
1. Coeficientes: a = 2 , b = 5 , c = −3
2. Concavidad: Como a= 2 > 0 , entonces la parábola es cóncava hacia arriba
3. Intersección con los ejes:
a. Intersección con el eje Y en el punto ( 0, −3)
1 
b. Intersección con el eje X en los puntos ( −3, 0 ) y  , 0 
2 
−5
Eje de simetría: El eje de simetría corresponde a la recta x =
4
4. Vértice de la Parábola: El vértice corresponde al punto
 −5 −49 
5. V  , 
 4 8 
Así, el gráfico corresponde al de nuestra función, donde se encuentran
identificados nuestros elementos calculados.
Dada el gráfico de una parábola determinar la función
Obtengamos la función correspondiente a la parábola presentada.
De la parábola, podemos identificar que c = 6
−b 5 5
Por otra parte, sabemos que /
= , lo que implica −b = 2a ⋅ = 5a
2a 2 /
2
es decir, b = −5a
Reemplazando esta igualdad en la coordenada y del vértice, obtendrás:
− ( −5a )
2
−b 2 −1 −25a 2 −1
c+ =
6+ = , lo que implica = −6
4a 4a 4 4a 4
Es decir:
−25a −1 − 24
= . Despejando, obtenemos a = 1
4 4
Así a = 1 , b = −5 y como c = 6 , la función que genera la parábola es f ( x ) = x 2 − 5 x + 6

11. Revisa tus aprendizajes en esta unidad.
1. Dadas las siguientes funciones, grafique la parábola correspondiente, identificando
coeficientes, concavidad, intersección con los ejes, eje de simetría y vértice.
7 5 2
a. f ( x) =x 2 + 6
−3 b. g ( x) =x 2 − x+ c. h( x) = x 2 + x −
−
2 2 9
1 5 1 2
d. m( x) = x + 2 x −
− e. n( x) =x 2 + 4 x − 4
− f. t ( x= x + x +1
2
)
2 3 2
2. Dadas las siguientes parábolas, determinar con los datos presentados, la función que la
genera.
a. b.
c.
3. Determinar el valor de k en la función f ( x ) = 2 x 2 − kx − 8 de tal manera que la parábola
intercepte en un punto al eje X .
4. Calcular el valor de k en la función f ( x ) = x 2 + kx + 3 para que el vértice sea el punto
( 2, −1)
5. Calcula las raíces de una función cuadrática f ( x ) = ax 2 + bx + c , donde b = 0
6. Si una función cuadrática f ( x ) = ax 2 + bx + c , la parábola es cóncava hacia arriba e
intercepta al eje X en x1 y x2 y además el coeficiente c es positivo, ¿qué ocurre con los
signos de las raíces de la función? ¿y si c fuese negativo?

12. Item Completamente Logrado Medianamente Por Lograr
Logrado Logrado
Item 1 Desarrolla Desarrolla Desarrolla Desarrolla tres o
correctamente la correctamente el correctamente menos ejercicios
totalidad de los cálculo de los más de tres, pero en forma correcta.
ejercicios. elementos menos de cinco
Determinando la estudiados. Sin ejercicios.
gráfica de cada embargo no
uno de ellos. grafica
correctamente la
totalidad de ellos.
Item 2 Determina en Determina en Determina dos de Logra determinar
forma correcta forma correcta las tres funciones una o ninguna de
cada una de las cada una de las con errores en el las funciones.
funciones funciones, pero proceso
presentando un presenta errores algebraico de.
desarrollo en el proceso
algebraico claro. algebraico para
obtenerlas.
Item 3 y 4 Resuelve en Resuelve en Resuelve en No resuelve
forma correcta forma correcta forma correcta el ninguno de los
ambos ejercicios ambos ejercicios, primer ejercicio. ejercicios. No
presentando pero con dificultad No aplica identifica que
claridad en la en la aplicación definición de elementos ocupar
aplicación de los de conceptos y vértice en la para la resolución.
elementos proceso de solución del
requeridos y resolución. ejercicio N°4. Lo
prolijidad en el que indica un
desarrollo. proceso mecánico
y no analítico.
Item 5 y 6 Analiza y aplica Resuelve ambos Resuelve en No resuelve
en forma correcta ejercicios, pero forma correcta 1 ningún ejercicio.
los conceptos entrega una de los ejercicios No presenta
para poder conclusión con dificultad en capacidad de
obtener un general de sus el proceso de generalizar ni de
resultado general resultados resolución. No conjeturar.
(Pregunta 5) y obtenidos. presenta la
conjeturar conclusión
(Pregunta 6). general del
resultado
obtenido.
BIBLIOGRAFIA
1. Fundamentos de Matemática Elemental Vol. 01: Conjuntos y Funciones Gelzon Iezzi & Carlos
Murakami, Tercera Edición, Atual Editora. 1977.
2. Geometría Analítica: Charles Lehmann, Noriega Editores, 1980.
3. Apuntes: La Parábola Jaime C. Bravo Febres
4. Apuntes PSU Pedro de Valdivia.
5. Curvas Maravillosas: Vicente Viana Martínez
6. www.sectormatemática.cl