Dokumen tersebut membahas tentang konsep vektor pada bidang dan bangun ruang, termasuk definisi vektor, vektor posisi, vektor satuan, penjumlahan vektor, pengurangan vektor, dan hasil kali bilangan dengan vektor.

1. VEKTOR PADA BIDANG

2. SK : Menerapkan konsep vektor dalam pemecahan
masalah
KD : Menerapkan konsep vektor pada bidang datar
Menerapkan konsep vektor pada bangun ruang
TUJUAN PELATIHAN :
Peserta memiliki kemampuan untuk
mengembangkan keterampilan siswa
dalam melakukan, menerapkan dan
memecahkan masalah dalam kehidupan
sehari-hari yang berkaitan dengan vektor.
Hal.: 2 Vektor Adaptif

3. VEKTOR PADA BIDANG DATAR
BESARAN
VEKTOR
SKALAR
Tidak memiliki arah Memiliki arah
(panjang, masa,waktu,suhu dsb) (gaya, kecepatan,
Perpindahan dsb)
Hal.: 3 Vektor Adaptif

4. VEKTOR PADA BIDANG DATAR
Pengalaman Belajar
 1. Berapa besar resultan gaya pada sebuah katrol
yang ditunjukan seperti pada gambar di bawah ini!
600 P2 = 4 KN
P1 = 5 KN
Hal.: 4 Vektor Adaptif

5. VEKTOR PADA BIDANG DATAR
PERHATIKAN RUAS-RUAS GARIS BERARAH BERIKUT
SETIAP RUAS GARIS BERARAH
MEWAKILI PERGESERAN
YANG SAMA:
4 KE KIRI
2 KE ATAS
LAM-



−
 − 
 4 
–– 4 44KE KIRI

KE KIRI
 
BANG: 

 


22 22KE ATAS
 
  KE ATAS


SETIAP RUAS GARIS BERARAH DI ATAS



− 4 
–
 
MEWAKILI SE UAH VE T
B K OR 
 2 
2
Hal.: 5 Vektor Adaptif

6. VEKTOR PADA BIDANG DATAR
5 KE KIRI
4
K SETIAP RUAS GARIS BERARAH
E MEWAKILI PERGESERAN
B YANG SAMA:
A
LAM-
W
BANG:
A
H






− 4   5 KE KIRI
−4 5
−
– 54  5 KE KIRI
–5 
 


  





–2
24
2
–4  

 
 4 KE BAWAH
KE BAWAH



−4 
–5 

SETIAP RUAS GARIS BERARAH DI ATAS  
MEWAKILI SE UAH VE T
B K OR 

–2 
4 
Hal.: 6 Vektor Adaptif

7. VEKTOR PADA BIDANG DATAR
Soal
 Lukislah ruas garis melalui titik A yang sejajar PQ dan
ruas garis melalui titik B yang tegak lurus PQ !
Q
B
P
A
Hal.: 7 Vektor Adaptif

8. VEKTOR PADA BIDANG DATAR
Penyelesaian:
Q E
3
3
C B 1
P 3 3 D
1
A 1 1
AC // PQ
BD atau BE tegak lurus PQ
Hal.: 8 Vektor Adaptif

9. VEKTOR PADA BIDANG DATAR
VEKTOR POSISI
Jika titik P adalah sebuah titik pada bidang Kartesius maka vektor =
x 
OP = p =  1 
y 
 1
P (x1,y1 )
Jika koordinat titik P(x1, y1) maka vektor
p posisi dari titik P adalah:
y1
 x1 
 
y  disebut komponen vektor p
X1  1
Vektor Satuan Adalah vektor yang panjangnya satu satuan
→ 1 
Vektor satuan dengan arah sumbu X, disebut dengan i = 
0 
 
Vektor satuan dengan arah sumbu Y, disebut dengan → 0 
j = 
1 
 
Hal.: 9 Vektor Adaptif

10. VEKTOR PADA BIDANG DATAR
VEKTOR DALAM BENTUK KOMBINASI LINEAR
Perhatikan vektor p pada gambar berikut:
P (x1,y1)
X
Bila titik P(x1,y1) maka OP = OQ + QP
Maka dapat dinyatakan dengan vektor basis:
p = x1 i + y1 j
x1 dan y1 disebut komponen-komponen vektor p
Hal.: 10 Vektor Adaptif

11. VEKTOR PADA BIDANG DATAR
PANJANG VEKTOR
Besar atau panjang suatu vektor apabila digambarkan dengan
garis berarah adalah panjang ruas garis berarah itu.
P(x1,y1)
p OP = OQ + QP 2 2
o
Q
 x1 
Jadi bila p =  
y 
 1
Maka panjang vektor
 2
+y
2
p adalah p = x 1 1
Hal.: 11 Vektor Adaptif

12. VEKTOR PADA BIDANG DATAR
Contoh soal
1. Nyatakan vektor posisi titik A (5,3) sebagai vektor basis
(kombinasi linier dari i dan j)
Jawab: vektor a atau OA = 5 i + 3 j
2. Nyatakan vektor posisi titik A (3,2,- 4) sebagai vektor
basis (kombinasi linier dari i, j dan k)
Jawab: vektor a atau OA = 3 i + 2 j – 4 k
3. Nyatakan vektor AB sebagai vektor basis (kombinasi
linier dari i dan j) jika titik A (5,-3) dan B (3,2)
Jawab: AB = ....
Hal.: 12 Vektor Adaptif

13. VEKTOR PADA BIDANG DATAR
Penjumlahan Vektor
Jika vektor a dijumlahkan dengan vektor b menghasilkan
vektor c di tulis → → →
a +b =c
Bagaimana caranya
cara segitiga
cara jajaran genjang
Hal.: 13 Vektor Adaptif

14. VEKTOR PADA BIDANG DATAR
cara segitiga
Memindahkan vektor b sehingga
Pangkalnya berhimpitan dengan
C
ujung vektor a
b
B = c
a +b
a
A B
c=a + b AC = AB + BC
Hal.: 14 Vektor Adaptif

15. VEKTOR PADA BIDANG DATAR
Cara Jajaran Genjang
Memindahkan vektor b sehingga pangkalnya
berhimpitan dengan pangkal vektor a
ac
b=
a+
b
b
a
Hal.: 15 Vektor Adaptif

16. VEKTOR PADA BIDANG DATAR
CONTOH SOAL
Jabarkan vektor AE dalam bentuk vektor u dan v ?
→ → →
AE = AD + DE
→ 1→ 1→ →
= v + u = u+ v
2 2
Bagaimana dengan vektor EF ?
Hal.: 16 Vektor Adaptif

17. VEKTOR PADA BIDANG DATAR
D E
C
→
v
F
→
A u B
→ → →
EF = EC + CF
1→ 1→
= U − V
2 2
Hal.: 17 Vektor Adaptif

18. VEKTOR PADA BIDANG DATAR
Pengurangan Vektor
Selisih vektor a dengan vektor b adalah vektor c yang
diperoleh dengan cara menjumlahkan vektor a dengan
lawan vektor b
a - b = a + ( -b) a – b = a + (-b)
= (-b) +a
R = PS + ST
= PT
= RQ
b
b
P Q
a
-b
a
S a T
Hal.: 18 Vektor Adaptif

19. VEKTOR PADA BIDANG DATAR
Hasil kali bilangan real k dengan vektor a adalah vektor yang
panjangnya |k| kali panjang vektor a dan arahnya adalah:
sama dengan arah vektor a jika k > 0
berlawanan dengan arah vektor a jika k < 0
sama dengan nol jika k = 0
Hal.: 19 Vektor Adaptif

20. VEKTOR PADA BIDANG DATAR
Jika vektor
→ 1  → 1  2 
a =  , maka 2 a = 2   =
 − 2  − 2  
 − 4
     
Dalam bentuk ruas garis
→
→ 2a
a
Hal.: 20 Vektor Adaptif

21. VEKTOR PADA BIDANG DATAR
Jika vektor
2  2  6 
→   →    
a = 3  , maka 3 a = 3 3  = 9 
     
     
Dalam bentuk ruas garis
→
3a
→
a
Hal.: 21 Vektor Adaptif

22. VEKTOR PADA BIDANG DATAR
→ →
u dan v tampak pada gambar
→
v
→
u
→ →
Tunjukkan dengan gambar vektor 2 u + v
→ →
→ 2u + v
v
→
2u
Hal.: 22 Vektor Adaptif

23. VEKTOR DALAM BANGUN RUANG
VEKTOR . . . ?
Secara aljabar, vektor dalam dimensi dua (R2) adalah
pasangan terurut dari bilangan real [x, y], dengan x dan y
adalah komponen-komponen vektor tersebut dan dalam
dimensi tiga (R3) vektor adalah pasangan terurut dari
bilangan real [x, y, z], dengan x, y dan z adalah
komponen-komponen vektor tersebut.
Secara geometri, vektor merupakan himpunan ruas garis
berarah. Panjang ruas garis berarah menandakan ukuran
besarnya, sedangkan arah anak panah menunjukkan
arah vektor yang bersangkutan
Hal.: 23 Vektor Adaptif

24. VEKTOR PADA BANGUN RUANG
VEKTOR POSISI  x1 
Jika titik P adalah sebuah titik pada bidang Kartesius maka vektor = OP = p =  y1 
 
 Z 1
 
P (x1,y1 )
Jika koordinat titik P(x1, y1,Z1) maka
p
y1 vektor posisi dari titik P adalah:
 x1 
y 
X1  1 disebut komponen vektor p
 Z 1
 
Vektor Satuan Adalah vektor yang panjangnya satu satuan

1
→

i =0 
Vektor satuan dengan arah sumbu X, disebut dengan 
0

Hal.: 24 Vektor Adaptif

25. VEKTOR PADA BANGUN RUANG
 0
j = 1 
Vektor satuan dengan arah sumbu Y, disebut dengan →
 
 0
 
 0
k =  0
→
Vektor satuan searah dengan sumbu z disebut dengan
 
1 
 
Hal.: 25 Vektor Adaptif

26. VEKTOR PADA BANGUN RUANG
PANJANG VEKTOR
 x1 
 
Jadi bila p =  y1


 Maka panjang vektor p adalah
z 
 1   2 2 2
p = x 1 +y
1 +z
1
Jika diketahui dua titik yaitu A (x1, y1,z1) dan B (x2, y2, z2)
Didalam ruang maka panjang AB dirumuskan sebagai berikut :
AB = ( X 2 − X 1 ) 2 + (Y2 − Y1 ) 2 + ( Z 2 − Z1 ) 2
Hal.: 26 Vektor Adaptif

27. VEKTOR PADA BANGUN RUANG
RUMUS PEMBAGIAN
B Jika titik P terletak pada ruas garis AB
n maka dapat dinyatakan:
b P
 Dalam Bentuk Vektor
p
m
O a A mb + n a
p=
m +n
Dalam Bentuk Koordinat
mxB + nx A myB + ny A mzB + nz A
xP = yP = zP =
m+n m+n m+n
Hal.: 27 Vektor Adaptif

28. VEKTOR DALAM BANGUN RUANG
Perkalian skalar dari dua Vektor
  2
 x1  x
    
Jika a =  y  dan b =  y2 
1
z  z 
 1  2
 
Hasil kali skalar dua vektor a dan b adalah

a.b = x1.x2 + y1. y2 + z1.z2
Hal.: 28 Vektor Adaptif

29. VEKTOR DALAM BANGUN RUANG
Hasil kali skalar dua vektor a dan b jika keduanya membentuk sudut
tertentu didefinisikan:
a.b = a b Cos θ
dimana θ :sudut yang diapit oleh kedua vektor a dan b
Besar sudut antara vektor a dan vektor b dapat ditentukan dengan:
a.b a .b + a .b + a .b
cos θ = = 1 1 2 2 3 3
a .b a 2 + a 2 + a 2. b 2 + b 2 + b 2
1 2 3 1 2 3
Hal.: 29 Vektor Adaptif

30. VEKTOR DALAM BANGUN RUANG
Perkalian Silang Dua Vektor  
Hasil perkalian silang dua vektor a dan b didefinisikan : axb b
θ
   
a xb = a . b . sin Θ a
bxa
 
Bila Vektor a = x1i + y1 j + z1k dan Vektor b = x2 i + y2 j + z 2 k
Maka perkalian silang dua vektor dirumuskan sebagai berikut :
    
axb = ( y1 z2 − y2 z1 ) i + ( x2 z1 − x1 z2 ) j + ( x1 y2 − x2 y1 ) k
Perkalian silang dua matriks bisa juga diselesaikan menggunakan
Determinan 3x3 dengan cara Sarrus
Hal.: 30 Vektor Adaptif