O documento descreve uma investigação matemática realizada por alunos e professores sobre poliedros, especificamente a bola de futebol. Os participantes investigaram as propriedades geométricas da bola e descobriram que é formada por 20 faces hexagonais e 12 vértices pentagonais, correspondendo a um icosaedro truncado. A atividade promoveu a aprendizagem significativa através da matemática realista e da abordagem de investigação.

1. Elda Vieira Tramm EMFoco/UFBA [email_address] www.grupoemfoco.com.br Matemática e Cultura popular : um casamento promissor?

2. A bola de futebol é um Objeto de desejo do aluno? A bola de futebol é um Objeto matemático? Você gostaria de construir uma bola de futebol?

3. Então precisamos Descobrir/Identificar PISTAS (regularidades e padrões) Investigar o objeto/ a BOLA PARA QUE?

4. O que descobrimos? Feita a Investigação do OBJETO DE ESTUDO/ a bola de futebol

5. Conclusões da investigação /por grupo - SHIAM - UNESP Grupo 1 3 fig geométricas diferentes 5 hexágonos e um pentágono no centro Elemento comum são as 3 figuras geométricas É uma esfera formada por 12 pentágonos e 36 hexágonos A união dos lados favorece a construção da esfera

6. Grupo 2 Redonda, tipos de materiais (couro ou sintético), costurados ou colados Formas geométricas são os pentágonos e hexágonos Parece flor, pentágono ao centro e hexágono em volta 10 pentágonos e 20 hexágonos

7. Grupo 3 É um polliedro não regular,formado por pentágonos e hexágonos Cada lado do pentágono é adjacente a um lado do hexágono Para cada hexágono há 3 pentágonos adjacentes e 3 hexágonos respectivamente alternados 10 pentágonos e 14 hexágonos

9. Destas conclusões nasce mais investigação/DESAFIO É formada por hexágonos e pentágonos O pentágono é arrodeado por hexágonos O lado do pentágono é o mesmo do hexágono portanto a aresta tem a mesma medida. É formada de .... pentágonos e ... hexágonos

11. D E S C O B R I N D O P A D R Õ E S Regularidades Investigação dos poliedros....

12. Nomeando!!! Etiquetando!!!

13. Registrando em tabelas...

14. Eis a tabela ( organizando as descobertas) Polígonos (com lados iguais) Poliedros formados por polígonos Elementos do poliedro (quantidade) Faces Arestas Vértices Triângulos (3 lados) Tenda 4 6 4 Triângulos Diamante 6 9 5 Triângulos Abajour 12 24 10 Triângulos Balão 8 12 6 Triângulos Pião 10 15 7 Triângulos Bola 20 30 12 Quadrados(4 lados) Cubo 6 12 8 Pentágono (5 lados) Invenção 12 30 20 Hexágonos (6 lados) Não forma - - - Preparando para o salto ( formalizando)

15. brota os “certinhos”, ops!, os “Poliedros de Platão” (surpresa) E da arrumação (classificação) ?

16. Investigando o porquê não fica em pé, REINVENTANDO DURO!!? Mais SURPRESAS!!!

17. balão transferidor As soluções dependem da vivência dos alunos Inventando uma solução REINVENTANDO.

18. Nosso objetivo é a formalização dos certinhos!!!! (salto ou zona proximal) Fórmula de Euler? F + V – A = 2? Formalizacão/Salto

19. O do aluno é a bola, é o icosaedro!!! Poliedros Elementos F V A Tenda 4 4 6 BOLA 20 12 30 Cubo 6 8 12 Balão 8 6 12 Invenção 12 20 30 O do professor é Formalizar . Por que são certinhos? Por que o Icosaedro é a bola?

21. O que estes poliedros significam ? É hora da História….e de pesquisa Curiosidade!!! Eis a aprendizagem significativa Tetraedro Hexaedro/ Cubo Octaedro Dodecaedro Icosaedro

22. I C O S A E D R O Professores do Ensino Fundamental ( 1ª a 4ª) Por que a bola é o Icosaedro?

23. Professores do Ensino Fundamental (1ª a 4ª) Corta os bicos do icosaedro!!! Nasce A BOLA !!! Como tornar o icosaedro mais redondo? Surgem os Triângulos sem bicos ,

24. Por que é formada de hexágonos e pentágonos? Quantos ? O triângulo equilátero (face) se transforma no hexágono Dos vértices nascem os pentágonos 20 Faces= hexágonos, 12 Vértices= pentágonos

25. Alunos do Ensino Fundamental (3º e 4º) O desejo do aluno influencia… Deu trabalho mas não desistiu Salto!!!! A Bola de futebol construída por

26. O aluno tinha razão?!!! Bola de futebol construída por NÓS

28. A consolidação e a transferência dos conhecimentos trabalhados acontece de maneira natural. A L U N O S As REINVENÇÕES dependem dos desejos e vivência dos alunos Resultados - alunos

29. Deu trabalho mas não desistimos. Por que? estávamos motivados. Motivação é o problema nº 1 do ensino (professor e alunos). Imagens falam mais que palavras Alegria - é o que este trabalho representou para todos os participantes envolvidos Considerações Finais - alunos

30. O grande prazer que é aprender, manifestado desta forma A L U N O S Resultados - alunos

31. C O N E X Õ E S Geometria e aritmética N A S C E M E L O S Matemática Realista E para o(s) professor(es)/pesquisador ?

32. Divisores de um número natural Cria-se atividades significativas para o aluno Matemática Realista Brotam atividades significativas

33. Planificação dos poliedros Nasce o estudo de ângulos, com o transferidor Matemática Realista Brotam atividades significativas

34. Criação do triângulo com corte Cria-se material , prepara-se para o salto Matemática Realista Brotam materiais de apoio

35. Nós iniciamos um percurso de inovação, reflexão e reorganização do ambiente de aprendizagem que ultrapassam a área de matemática. Despertou a curiosidade das comunidades envolventes, especialmente a família... (prof. da EB 1 – Lisboa) Nascem Atividades que reorganizam os conteúdos (currículo) Investigando e construindo o conceito de Matemática Realista Brotam ambientes de aprendizagem quadriláteros triângulos

36. Imagens falam mais que palavras Contagiou a Escola e o Ministério de Educação. Todos querem aprender. Considerações Finais

37. Aprendizagem significativa Problemas de disciplina? Tô fora

38. Concurso do AMM2000 - Portugal Tema: Poliedros População alvo: professores da Escola Básica do 1º ciclo escola/currículo/alunos Onde NASCEU e FLORESCEU esta INVESTIGAÇÃO

39. Matemática realista No domínio do conhecimento Matemático sobre poliedros Instituto Freudenthal - www.fi.ru.nl O apoio para Ousar Investigar ?

40. Que a Matemática euclideana não é um objeto ideal para se pensar dedutivamente. Prof. Freudenthal defendia: (meus pressupostos) A inclusão da geometria, o mais cedo possível, na aprendizagem da Matemática. A Matemática é uma atividade humana e a melhor forma de aprender uma atividade é executá-la , reinventá-la, recriá-la (...)

41. Prof. Freudenthal defendia que: (meus pressupostos) Em vez de proceder de maneira antididática, devia-se reconhecer que o aprendiz tem o direito de recapitular, de certa forma, o processo de aprendizagem da humanidade (...) (Freudenthal, 1983)

42. A geometria (espaço e plano) se presta muito bem para a matematização da realidade do aluno pois a criança vive uma ótima oportunidade de experimentar a organização local (espaço), se locomove no plano e com “boas” experiências descobre idéias matemáticas (Tramm, 2000) Conclui que:

43. Identificando um elo entre a teoria (conhecimento matemático) e a cultura do aluno ( a bola de futebol) Tendo um olhar de observador/ escutador Sendo corajoso e criativo Investigando o que? Sendo um pesquisador em processo COMO? A bola de futebol (Icosaedro truncado)

45. Ou seja, a Investigação Matemática permite ao aluno

46. A integração de diferentes ASSUNTOS A redescoberta A memorização de resultados A aprendizagem de diferentes estratégias de resolução de problemas A verificação de conjecturas ou de resultados Ou seja, a Investigação Matemática permite

48. Qual o papel do professor? Elaborar e (re)elaborar atividades identificando os elos que permitam que o aluno trabalhe conhecimentos matemáticos na realidade do aluno. Ter um olhar de observador Ser um escutador Ser um professor/pesquisador do processo

49. “ Aprender Matemática não é simplesmente compreender a Matemática já feita, mas ser capaz de fazer investigação de natureza matemática (ao nível adequado de cada grau de ensino). Só assim se pode verdadeiramente perceber o que é a Matemática e a sua utilidade na compreensão do mundo e na intervenção sobre o mundo (p.98) Braumann (2002, apud Ponte, 2003) Uma atividade humana

50. E mais… Por que os jogadores estão estranhando a Jobulani? E aí? Matemática e Cultura popular é um casamento promissor?

51. Agradecimentos http://www.fi.ru.nl Matemática realista A VOCÊ, Muito OBRIGADA .

52. Referências bibliográficas NCTM. Princípios e Normas para a Matemática Escolar. Trad. Associação de Professores de Matemática (APM). Lisboa. 2007. Disponível em: http://www.apm.pt/portal/index.php?id=89310 Acesso em 14/05/2008. Freudenthal, Hans. Mathematics as an Educational Task. D. Reidel 1976. ____. Didactical Phenomenology...p.ix. Pag. 125 - 127. in www.fi.ru.nl Ponte, J.P. da et alli.(org). Atividades de Investigação na Aprendizagem da Matemática e na Formação de Professores. Soc. Port. De Ciências da Educação (SPCE). Lisboa. 2002.

53. TRAMM, Elda. O prazer da Geometria. 1º lugar nas comemorações do Ano Mundial da Matemática (AMM 2000). Disponível em http://www.faced.ufba.br/~dept02/ professores/elda/e_tra mm.htm . Acesso em 18/05/2008. TRAMM, Elda. A bola de futebol como um importante aliado na aquisição de novos conhecimentos . In Atividades de Investigação na Aprendizagem da Matemática e na Formação de Professores. Soc. Port. de Ciências da Educação (SPCE). Lisboa. 2002. pag 159 a 167. PONTE, J. P. et al. Investigar a nossa própria prática . In GTI (Org), Reflectir e Investigar sobre a prática profissional. (pp. 5 – 28). Lisboa: Associação de Professores de Matemática (APM).2002.

54. Matemática realista? Consiste em matematizar a realidade do aluno e cabe a nós especialistas/pesquisadores promover isto.

55. “ As descobertas sendo feitas com os próprios olhos e mãos são mais convincentes e surpreendentes” (Freudenthal,1983) Instituto Freudenthal (FI) trabalha para abrir a Matemática para todos mas nunca para diminuir a exigência de um intelectual, de um pensador científico (htpp://www.fi.ru.nl) COMO?

56. Se queremos que o aluno atinja níveis cada vez superiores, teremos que lhe dar a oportunidade de chegar lá. (...) Isto implica atividades que o preparam para o salto.(...) É este o significado de "Reinventar".

57. Em vez de proceder de maneira antididática, devia-se reconhecer que o jovem que aprende tem o direito de recapitular, de certa forma, o processo de aprendizagem da humanidade (...) (Freudenthal, 1983)