Este documento define relaciones y funciones, y clasifica funciones de acuerdo a sus características. Explica que una relación es una conexión entre conjuntos de objetos, mientras que una función requiere que a cada elemento del dominio le corresponda exactamente un elemento del contradominio. Las funciones se pueden clasificar como inyectivas, suprayectivas o biyectivas dependiendo de la correspondencia entre sus conjuntos. También se clasifican como algebraicas o trascendentes según su regla de correspondencia, e impares o pares dependiendo de su simetría.

1. Definición 1 Clasificación 2 Características 3 Esta presentación, contiene el apoyo teórico básico sobre relaciones y funciones El objetivo es que, al final del tema, puedas identificar una función y sus elementos y clasificarla mediante algunas de sus características

2. Una relación es una conexión o correspondencia entre objetos o sujetos representada como un conjunto de pares ordenados La relación “es menor que”, existe entre los números 2 y 5 Relación Relación Cosas que se relacionan Es un múltiplo de … No es igual a … Da más leche que … Es congruente con … Número enteros Números Vacas Triángulos 1 2 3 4

3. Una relación se define sobre conjuntos de objetos o sujetos La relación “es un múltiplo de …”, está definida sobre un conjunto de números Relación 1 El orden de los elementos es muy importante y debe tenerse en cuenta 2 La relación “12 es un múltiplo de 3”, es cierta mientras que “3 es un múltiplo de 12” es falsa La relación “nació en el año … está definida desde un conjunto de gente hacia un conjunto de números

4. Sean los conjuntos L; formado por las vocales latinas, y G; formado por las vocales griegas Ejemplo Estableceremos la relación de correspondencia de las vocales latinas con las vocales griegas (transliteración), R: L  G. Representación con pares ordenados

5. Ejemplo Representación gráfica

6. Ejemplo Representación gráfica

7. Algunas relaciones tienen una característica que las hace especiales Considera la relación “es hijo de …” definida desde el conjunto H hacia el conjunto P Funciones El diagrama establece que Arturo y Aurora son hijos de Rogelio, que Pedro es hijo de Enrique, Norma es hija de Mario y Fátima es hija de Víctor.

8. ¿Qué sentido tendría la relación marcada en la figura? ¿Fátima es hija de Mario y Víctor? Biológicamente es imposible que una persona tenga dos padres Funciones Si una relación excluye este tipo de correspondencias entre los elementos de los conjuntos que la definen, hablamos de una FUNCIÓN

9. Una función se define formalmente de la siguiente manera: Sea f: A  B una relación, entonces decimos que f es una función de A hacia B si y solo si para cada x  A hay un solo y  B tal que x  f  y , que se denota como y=f(x) . Funciones i Al conjunto B se le llama CONTRADOMINIO ii A la relación f se le conoce como REGLA de CORRESPONDENCIA iv A f(x) se le conoce como la Imagen de x, al conjunto de imágenes se le conoce como Conjunto Imagen de la función o Recorrido de la función iii Al conjunto A se le llama DOMINIO, Dom(f)=A

10. Las funciones se clasifican: Funciones Por la relación entre el Dominio y el Contradominio 1 Inyectivas Suprayectivas Biyectivas Por su regla de correspondencia 2 Algebraicas Trascendentes Por su simetría 3 Pares Impares

11. Función Inyectiva  x 1 ,  x 2 si [ x 1 ≠ x 2 ]  [ f(x 1 ) ≠ f(x 2 ) ]  x 1 ,  x 2 si [ f(x 1 ) = f(x 2 ) ]  [ x 1 = x 2 ] B Si f: A  B es una función, es inyectiva si se cumple alguna de las siguientes condiciones A Establezcamos una relación entre el conjunto de carros de los 5 profesores de matemáticas de la universidad y el conjunto de lugares en el estacionamiento. A cada carro le corresponde un lugar de estacionamiento Ejemplo

12. Función Inyectiva En el estacionamiento de la universidad los profesores tienen un lugar específico para estacionar su carro. Ejemplo Lugar 1 Lugar 2 Lugar 3 Lugar 4 Lugar 5 Lugar 6 Carro 1 Carro 2 Carro 3 Carro 4 Carro 5 Es una función porque a cada carro le corresponde un solo lugar de estacionamiento; a cada elemento del dominio le corresponde un solo elemento del contradominio. Se evitan relaciones como las mostradas abajo Lugar 1 Lugar 2 Carro 1 ¿Esta relación es una función?

13. Función Inyectiva Ejemplo Es una función inyectiva porque si tomamos dos carros diferentes, el lugar de estacionamiento que les corresponde es diferente. ¿Esta función es inyectiva? Lugar 2 Carro 2 Carro 3 En una función inyectiva NO se permite este tipo de relaciones

14. Función Suprayectiva Im (f)= B , es decir, que el Conjunto Imagen de la función sea exactamente igual al conjunto B (contradominio)  y  B existe x  A tal que y=f(x) Si f: A  B es una función, es sobreyectiva si se cumple que: A Sea la función definida del conjunto de carros hacia el conjunto de lugares de estacionamiento. Ejemplo Lugar 1 Lugar 2 Lugar 3 Lugar 4 Lugar 5 Carro 1 Carro 2 Carro 3 Carro 4 Carro 5 Todos los elementos del contradominio SON imágenes de algún o algunos elementos del dominio. Carro 6 ¡Esta función NO es inyectiva!

15. Función Suprayectiva Esta función NO es suprayectiva porque hay un elemento del contradominio que NO es imagen de algún elemento del dominio. El lugar 6 no está asignado a ningún vehículo. ¿La función del ejemplo anterior es suprayectiva? Lugar 1 Lugar 2 Lugar 3 Lugar 4 Lugar 5 Lugar 6 Carro 1 Carro 2 Carro 3 Carro 4 Carro 5

16. Función Biyectiva Un elemento del contradominio NO puede ser imagen de dos diferentes elementos del dominio Si f: A  B es una función, es biyectiva si es, al mismo tiempo, inyectiva y suprayectiva, es decir, A Ejemplo Todos los elementos del contradominio deben ser imágenes de al menos un elemento del dominio B Sea la función definida del conjunto de carros hacia el conjunto de lugares de estacionamiento. Todos los elementos del contradominio SON imágenes de solo un elemento del dominio. La función es inyectiva y suprayectiva al mismo tiempo. Lugar 1 Lugar 3 Lugar 4 Lugar 5 Lugar 6 Carro 1 Carro 2 Carro 3 Carro 4 Carro 5 Carro 6 Lugar 2

17. Funciones Algebraicas Una función algebraica tiene como regla de correspondencia un número determinado de operaciones como suma, resta, multiplicación, división, radicación y potencia. A Ejemplos Función cuadrática B C Función Polinomial (entera) de grado “n” Función lineal D Funciones Racionales Función Racional No entera

18. Funciones Algebraicas Una función algebraica tiene como regla de correspondencia un número determinado de operaciones como suma, resta, multiplicación, división, radicación y potencia. A Ejemplos Las funciones irracionales incluyen radicales en la regla de correspondencia B C D Funciones Irracionales E

19. Funciones trascendentes Todas las funciones que NO son algebraicas se conocen con el nombre de funciones trascendentes o trascendentales A Ejemplos Función Exponencial B Función logaritmo C Funciones Trigonométricas (circulares) D Funciones Hiperbólicas D Funciones trigonométricas Inversas

20. Una función es par cuando se cumple que: Función Par f(x)=f(-x) Es decir, cuando las imágenes de valores opuestos coinciden. La gráfica de una función Par es simétrica respecto al eje Y Una función es impar cuando se cumple que: Función Impar f(x)=-f(x) Es decir, a valores opuestos corresponden imágenes opuestas. La gráfica de una función Impar es simétrica respecto al origen de coordenadas