1. Universidade do Estado da Bahia
TRANSFORMAÇÕES DE
COORDENADAS
Prof. Margareth da Silva Magalhães

2. TRANSFORMAÇÕES DE COORDENADAS NO E²
1. TRANSLAÇÃO DE EIXOS

3. TRANSFORMAÇÕES DE COORDENADAS NO E²
1. TRANSLAÇÃO DE EIXOS
Um ponto P do plano tem
coordenadas:
 x e y em relação ao sistema
xOy.
 x’ e y’ em relação ao sistema
x’O’y‘.

4. TRANSFORMAÇÕES DE COORDENADAS NO E²
1. TRANSLAÇÃO DE EIXOS
Fórmulas de Translação:
x = x’ + xo.
y = y’ + yo.

5. EXEMPLO
Considere a circunferência de equação x² + y² - 6x - 8y + 21 = 0 em
relação ao sistema xOy. Faça uma translação de eixo tal que a nova
origem seja O’=(3,4). Obtenha a equação da circunferência em
relação ao novo sistema de coordenadas x’Oy’.

6. RESOLUÇÃO:
a) Fórmulas de translação
x = x’ + 3
y = y’ + 4
• Substituição
x² + y² - 6x - 8y + 21 = 0

7. RESOLUÇÃO:
a) Fórmulas de translação
x = x’ + 3
y = y’ + 4
b) Substituição
x² + y² - 6x - 8y + 21 = 0
x’² + y’² = 4

8. TRANSFORMAÇÕES DE COORDENADAS NO E²
1. ROTAÇÃO DE EIXOS
Mantendo-se fixa a origem O, faz-
se uma rotação nos eixos x e y de
um mesmo ângulo, no sentido
anti-horário. Obtemos assim um
novo sistema x’O’y’ por uma
rotação de xOy.

9. TRANSFORMAÇÕES DE COORDENADAS NO E²
1. ROTAÇÃO DE EIXOS
a) Fórmulas de rotação
x = x’cosθ – y’sen θ
y = x’sen θ + y’cos θ

10. EXEMPLO
A equação 5x² + 6xy + 5y² - 8 = 0 representa um elipse no sistema
xOy. Obter a equação da mesma elipse uma vez efetuada a rotação
de eixos de amplitude θ = 45°.

11. RESOLUÇÃO
a) Fórmulas de rotação
x = x’cosθ – y’sen θ
y = x’sen θ + y’cos θ
θ = 45°

12. RESOLUÇÃO
a) Fórmulas de rotação
b) Substituição
5x² + 6xy + 5y² - 8 = 0
4x’² + y’² - 4 = 0

13. COORDENADAS POLARES NO PLANO
Até agora, sempre usamos as coordenadas retangulares, onde um
ponto do plano é representado por um par de números reais que
representam as distâncias entre um ponto e os eixos coordenados
y
P(x, y)
x

14. COORDENADAS POLARES NO PLANO
P(r, θ)
r
θ
O (Polo) Eixo polar

15. COORDENADAS POLARES NO PLANO
Coordenadas Retangulares ou Cartesianas

16. COORDENADAS POLARES NO PLANO
Coordenadas Polares

17. COORDENADAS POLARES NO PLANO
P(r, θ)
r
θ
O Eixo polar
-r
P(-r, θ) = P(r, θ + π)

19. TRANSFORMAÇÃO DE COORDENADAS
CARTESIANAS - POLARES
y x = r.cosθ
y = r.senθ
r
x² + y² = r²
θ
O x

20. Exercícios

21. Exercícios

22. ESTUDO DAS CÔNICAS

23. PARÁBOLA
Definição
Considere-se, em um plano α, um ponto F e uma reta d que não contém F.
Denominamos parábola de foco F e diretriz d, ao lugar geométrico dos
pontos do plano α que eqüidistam de d e F.

24. PARÁBOLA
Aplicações Práticas

25. PARÁBOLA
Aplicações Práticas

26. PARÁBOLA
Aplicações Práticas
Cabo principal de uma ponte pênsil (CATENÁRIA)
Lançamento de um projétil.

27. PARÁBOLA
Elementos da Parábola
F: foco;
d: diretriz;
V: vértice;
p: parâmetro que representa a
distância do foco a diretriz ( p≠ 0);
Reta VF: eixo de simetria da
parábola.
AA’: corda focal mínima (LACUS
RECTUM)

28. PARÁBOLA
Equações da Parábola com vértice na origem V = (0, 0)
1. O eixo de simetria coincide com o eixo x
Considere uma parábola com concavidade voltada para a direita
representada no sistema cartesiano xOy. A diretriz tem equação x = -p/2:

29. PARÁBOLA
Equações da Parábola com vértice na origem V = (0, 0)
1. O eixo de simetria coincide com o eixo x
P = (x,y)
F = (p/2,0)
P’ = (-p/2, y)

30. PARÁBOLA
Equações da Parábola com vértice na origem V = (0, 0)
1. O eixo de simetria coincide com o eixo x

31. PARÁBOLA
Equações da Parábola com vértice na origem V = (0, 0)
1. O eixo de simetria coincide com o eixo x

32. PARÁBOLA
Equações da Parábola com vértice V = (xo, yo)
1. O eixo de simetria paralelo ao eixo x
y’² = 2px’
Fórmulas de Translação:
x = x’ + xo.
y = y’ + yo.
( y- yo )² = 2p(x - xo)

33. PARÁBOLA
Equações da Parábola com vértice V = (xo, yo)
1. O eixo de simetria paralelo ao eixo x
( y- yo )² = 2p(x - xo)
Desenvolvendo e isolando x:

34. PARÁBOLA
Equações da Parábola com vértice na origem V = (0, 0)
1. O eixo de simetria coincide com o eixo y
Considere uma parábola com concavidade voltada para cima. A diretriz
tem equação: y = -p/2
P = (x, y)
F = (0, p/2)
P’ = (x, -p/2)

35. PARÁBOLA
Equações da Parábola com vértice na origem V = (0, 0)
1. O eixo de simetria coincide com o eixo y

36. PARÁBOLA
Equações da Parábola com vértice na origem V = (0, 0)
1. O eixo de simetria coincide com o eixo y

37. PARÁBOLA
Equações da Parábola com vértice V = (xo, yo)
1. O eixo de simetria paralelo ao eixo y
x’² = 2py’
Fórmulas de Translação:
x = x’ + xo.
y = y’ + yo.
( x- xo )² = 2p(y - yo)

38. PARÁBOLA
Equações da Parábola com vértice V = (xo, yo)
1. O eixo de simetria paralelo ao eixo y
( x- xo )² = 2p(y - yo)
Desenvolvendo e isolando x:

39. PARÁBOLA
Equações da Parábola (geral):
Eixo de simetria paralelo ao eixo x:
x = ay² +by + c a > 0 (p > 0) a < 0 (p < 0)
p = 1/(2a)
Eixo de simetria paralelo ao eixo y:
a > 0 (p > 0) a < 0 (p < 0)
y = ax² +bx + c

40. ELIPSE
Definição
É o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja soma das distâncias a
dois pontos fixos F1 e F2 (focos) do mesmo plano, é uma constante (2ª),
onde 2a > d(F1F2).
d(P , F1) + d(P, F2) = 2a
d(Q , F1) + d(Q, F2) = 2a

41. ELIPSE
Aplicações Práticas
a) A trajetória dos planetas ao redor do sol não é circular e sim elíptica.
a) Arcos em formas de semi-elipse são muito usados na construção de
pontes de concreto e de pedras (desde os antigos romanos).
a) O monumento arquitetônico de Roma antiga foi o Coliseu> A planta
baixa possuía a forma elíptica, cujo eixo maior tinha 188 m e o eixo menor
156 m.

42. ELIPSE
Elementos da Elipse
F1 e F2 : focos;
2c: distância focal (distância
entre os focos = d(F1F2));
O: centro da elipse;
A1, A2, B1, B2 : vértices da elipse;
2a: eixo maior (distância entre os
vértices = d(A1A2));
2b: eixo menor (distância entre
os vértices = d(B1B2)).

43. ELIPSE
Elementos da Elipse
Excentricidade:
a² = b² + c²
0<ε<1

44. ELIPSE
Equações da Elipse de centro na origem O = (0, 0)
1. O eixo maior coincide com o eixo x
Sejam:
P = (x,y) um ponto qualquer da
elipse.
F1 = (-c,0);
F2 = (c,0)
Por definição:
d(P , F1) + d(P, F2) = 2a

45. ELIPSE
Equações da Elipse de centro na origem O = (0, 0)
1. O eixo maior coincide com o eixo x

46. ELIPSE
Equações da Elipse de centro na origem O = (0, 0)
1. O eixo maior coincide com o eixo y
Sejam:
P = (x,y) um ponto qualquer da
elipse;
F1 = (0, c) e F2 = (0, -c)
Por definição e de forma análoga:
d(P , F1) + d(P, F2) = 2a

47. ELIPSE
Equações da elipse com origem O’ = (xo, yo) e cujo eixos
são paralelos aos eixos coordenados
1. O eixo maior é paralelo ao eixo x
Fórmulas de Translação:
x = x’ + xo.
y = y’ + yo.

48. ELIPSE
Equações da elipse com origem O’ = (xo, yo) e cujo eixos
são paralelos aos eixos coordenados
1. O eixo maior é paralelo ao eixo y
Fórmulas de Translação:
x = x’ + xo.
y = y’ + yo.

49. ELIPSE
Equações da Elipse (reduzida):
Eixo maior é paralelo ao eixo x:
(x – xo)² + (y – yo)² = 1
a² b²
Eixo maior é paralelo ao eixo y:
(x – xo)² + (y – yo)² = 1
b² a²