SlideShare une entreprise Scribd logo
1  sur  40
Геометрія
8 клас
Чотирикутники:
Паралелограм
Прямокутник
Ромб
Квадрат
Трапеція
Вписані й описані чотирикутники
Чотирикутником називається фігура, яка
складається з чотирьох точок і чотирьох відрізків,
що послідовно їх сполучають. При цьому жодні
три з даних точок не повинні лежати на одній
прямій, а відрізки, які їх сполучають, не повинні
перетинатися. Дані точки називаються
вершинами чотирикутника, а відрізки, що їх
сполучають,— сторонами чотирикутника.
Вершини чотирикутника називаються
сусідніми , якщо вони є кінцями однієї з
його сторін. Несусідні вершини
називаються протилежними. Відрізки, що
сполучають протилежні вершини
чотирикутника, називаються діагоналями.
В

A

D

С
A
D

В

С

• Сторони чотирикутника, що виходять з
однієї вершини, називаються сусідніми
сторонами.
• Сторони, які не мають спільного кінця,
називаються протилежними сторонами.
• Периметр чотирикутника — сума довжин
усіх його сторін.
P=(a+b)2, де a і b – сторони чотирикутника
• Чотирикутник називається опуклим, ­якщо він лежить в
одній півплощині відносно будь­якої прямої, що містить
його сторону.
На рисунку нижче зліва ABCD — опуклий чотирикутник;
AC, BD — його діагоналі. На рисунку справа KMNP —
неопуклий чотирикутник; KN, MP — його діагоналі.

• Сума кутів чотирикутника дорівнює 360° .
Паралелограм

• Паралелограм — це чотирикутник, у якого
протилежні сторони паралельні.
На рисунку ABCD — паралелограм.
AB ΙΙ DC;
BC II AD.
Властивості паралелограма
• Теорема 1. У паралелограма
протилежні сторони рівні,
протилежні кути рівні.
АВ=СD, BC=AD
<A=<C, <B= <D
Теорема 2. У паралелограмі кути, прилеглі до однієї сторони, в сумі
дорівнюють :
< A+ <B=180 °, <A+ <D=180 °,
<B+ <C=180 °, <C+ <D=180 °
Теорема 3. Діагоналі паралелограма перетинаються й у точці перетину
діляться навпіл.
BO=OD, AO=OC
Властивості паралелограма

Теорема 4. Діагональ паралелограма поділяє
його на два рівні трикутники.
На рисунку нижче зліва∆ ABC =∆ CDA
На рисунку справа ∆ ABD = ∆ CDB
Властивості паралелограма
• Теорема 5. Діагоналі паралелограма
розбивають його на дві пари рівних
трикутників.

На рисунку
∆ AOB =∆COD,
∆ BOC =∆ DOA
Ознаки паралелограма

• Теорема 1. Якщо діагоналі чотирикутника перетинаються
й у точці перетину діляться навпіл, то цей чотирикутник —
паралелограм.
Теорема 2. Якщо в чотирикутнику дві сторони паралельні
й рівні, то цей чотирикутник — паралелограм.
Теорема 3. Якщо в чотирикутнику протилежні сторони
рівні, то цей чотирикутник — паралелограм.
Теорема 4. Якщо в чотирикутнику протилежні кути рівні, то
цей чотирикутник — паралелограм.
Теорема 5. Якщо в чотирикутнику кути, що є прилеглими
до кожної із сторін, у сумі дорівнюють , то цей
чотирикутник — паралелограм.
Теорема 6. Якщо кожна діагональ поділяє чотирикутник на
два рівні трикутники, то цей чотирикутник —
паралелограм.
Кут між висотами паралелограма
• Висота паралелограма — це відрізок,
перпендикулярний до протилежних сторін
паралелограма з кінцями на цих сторонах.
На рисунку h₁ I h₂— висоти паралелограмa.
• Найчастіше висоти опускають із вершин
паралелограма. Із кожної вершини
паралелограма можна провести дві висоти.
Кут між ними дорівнюватиме куту
паралелограма при сусідній вершині.
-----кут між висотами
паралелограма, опущеними з
тупого кута,
----------кут між висотами,опущеними
з гострого кута
Властивості бісектрис
кутів паралелограма

1. Бісектриси сусідніх кутів
паралелограма перпендикулярні.
2. Бісектриси протилежних кутів паралелограма
паралельні або збігаються (якщо паралелограм —
ромб).
3. Бісектриса кута паралелограма відокремлює від
нього рівнобедрений трикутник.
На рисунку BM II KD; DM II AP;

BM ⊥ AP, BM ⊥ CF , ∆ABM - рівнобедрений;
AB=BP; ∆ KCD

— рівнобедрений, CK=CD .
• Чотирикутник, що утворився при перетині
бісектрис кутів паралелограма,—
прямокутник. Якщо через точку перетину
діагоналей паралелограма проведено
пряму, то відрізок цієї прямої, який
розташований між паралельними
сторонами, ділиться в цій точці навпіл:
Прямокутник
Прямокутник — це паралелограм, у якого всі
кути прямі.
Оскільки прямокутник є паралелограмом, він
має всі властивості паралелограма і ще деякі
інші.
Теорема. Діагоналі прямокутника рівні.
На рисунку AO=OC=BO=OD. AC=BD .
∆AOB= ∆ COD ; ∆ BOC= ∆
DOA — рівнобедрені.
Ознаки прямокутника
• Теорема 1. Якщо в чотирикутнику всі кути
рівні, то він є прямокутником.
Теорема 2. Якщо в чотирикутнику є три
прямі кути, то він є прямокутником.
Теорема 3. Якщо в паралелограмі є прямий
кут, то паралелограм є прямокутником.
Теорема 4. Якщо в паралелограмі діагоналі
рівні, то він є прямокутником.
Ромб
• Ромб — це паралелограм, у якого всі
сторони рівні.
Властивості ромба
Оскільки ромб є паралелограмом, він має всі
властивості паралелограма і деякі інші.
Теорема 1. Діагоналі ромба перетинаються під
прямим кутом. Діагоналі ромба є бісектрисами
його кутів.
На рисунку ABCD — ромб;
AB=BC=CD=DA; AC ⊥BD;
<ABO=<CBO=<ADO<=CDO;
<BAO=<DAO=<BCO=<DCO;
KO=ON
Властивості ромба
Теорема 2. Діагоналі ромба розбивають
його на чотири рівні прямокутні
трикутники.
Теорема 3. Висоти ромба рівні:
Ознаки ромба
Теорема 1. Якщо в чотирикутнику всі
сторони рівні, то він є ромбом.
Теорема 2. Якщо в паралелограмі сусідні
сторони рівні, то він є ромбом.
Теорема 3. Якщо в паралелограмі діагоналі
перпендикулярні, то він є ромбом.
Теорема 4. Якщо в паралелограмі діагональ
є бісектрисою кута, то паралелограм є
ромбом.
Квадрат
Квадрат — це прямокутник, у якого всі
сторони рівні.
A
B

D

C
Властивості квадрата

Оскільки квадрат є паралелограмом,
прямокутником і ромбом водночас, маємо:
1) у квадрата всі сторони рівні;
2) у квадрата всі кути рівні;
3) діагоналі квадрата рівні, перетинаються
під прямим кутом, діляться в точці
перетину навпіл, є бісектрисами його кутів;
Властивості квадрата
4) діагоналі квадрата ділять його на чотири
рівні рівнобедрені прямокутні трикут­ники.
На рисунку ABCD — квадрат.
AB = BC =CD=AD;
<A=<B=<C=<D; AC=BD ;
∆ AOB= ∆ BOC= ∆COD=∆ AOD.
Ознаки квадрата
Теорема 1. Якщо в чотирикутника всі
сторони і всі кути рівні, то він є квадратом.
Теорема 2. Якщо діагоналі прямокутника
перетинаються під прямим кутом, то він є
квадратом.
Теорема 3. Якщо діагоналі ромба рівні, то
він є квадратом.
Трапеція
• Трапецією називається чотирикутник, у якого тільки
дві протилежні сторони паралельні. Ці сторони
називаються основами трапеції, а дві інші —
бічними сторонами.
• Трапеція, в якої бічні сторони рівні, називається
рівнобічною (див. рисунок нижче зліва). Якщо одна
з бічних сторін трапеції перпендикулярна до основ,
трапеція називається прямокутною (рисунок нижче
справа).
•
• Теорема 1. Кути трапеції, які прилеглі до
однієї бічної сторони, у сумі дорівнюють 180°
Відрізок, що сполучає середини бічних сторін
трапеції, називається середньою лінією
трапеції.
Теорема 2. Середня лінія трапеції
паралельна основам і дорівнює їх півсумі.
Зверніть увагу: середня лінія не проходить
через точку перетину діагоналей трапеції.
Рисунок 1
Висотою трапеції називається відрізок прямої, перпендикулярної до основ
трапеції з кінцями на основах трапеції. Найчастіше висоту проводять через
вершини верхньої основи або через точку перетину діагоналей (рисунок 1). Усі
висоти трапеції рівні між собою.
Бісектриса кута трапеції, якщо вона перетинає основу трапеції, відтинає від неї
рівнобедрений трикутник (рисунок 2).
Рисунок 2
Властивості рівнобічної трапеції
• 1. У рівнобічній трапеції кути при основах рівні
(рисунок нижче зліва).
2. У рівнобічній трапеції діагоналі рівні.
3. У рівнобічній трапеції діагоналі створюють з
основою рівні кути.
4. У рівнобічній трапеції діагоналі, перетинаючись,
утворюють два рівнобедрені трикутники,
основами яких є основи трапеції (рисунок справа).
Додаткові побудови,
що використовуються для
розв’язування задач на трапецію
1) На рисунку AN+MD=AD­BC; MN=BC;
BCMN — прямокутник.
Додаткові побудови, що
використовуються для
розв’язування задач на трапецію

Зверніть увагу:

якщо AB=CD, то

AD −BC
AN =KD =
2
Додаткові побудови, що
використовуються для
розв’язування задач на трапецію
2) На рисунку CF II AB; ABCF — паралелограм.
<CFD=<A; <DCF=<BCD - <A;
FD=AD-BC.
Додаткові побудови, що
використовуються для
розв’язування задач на трапецію

3) На рисунку CK II BD; BCKD — паралелограм. BC=DK .
Сторони ∆ ACK: AK=AD+BC; CK=BD .

Висота CF ∆ ACK збігається з висотою трапеції. Якщо
трапеція ABCD рівнобічна, то ∆ ACK — рівнобедрений.
Вписані й описані чотирикутники

Теорема 1. Навколо чотирикутника можна
описати коло тоді й тільки тоді, коли сума його
протилежних кутів дорівнює 180° .
На рисунку

.
• Із цього випливає, що коло можна описати
навколо прямокутника (рисунок нижче
зліва), зокрема квадрата (рисунок справа),
його центром буде точка перетину його
діагоналей. Радіус — половина діагоналі.
Коло можна описати навколо трапеції тоді й тільки
тоді, коли вона є рівнобічною (див. рисунок).
Центром кола є точка перетину середніх
перпендикулярів до сторін. Навколо паралелограма
та трапеції загального виду описати коло не можна.
(Зокрема, навколо ромба не можна описати коло.)
Теорема 2. Чотирикутник тоді й тільки тоді можна
описати навколо кола, якщо суми його
протилежних сторін дорівнюють одна ­ одній.
На рисунку
Отже, коло можна вписати в ромб (зокрема у квадрат), але
не можна в прямокутник або паралелограм загального
виду.
Центр кола, вписаного в ромб, є точкою перетину
діагоналей (рисунок нижче зліва). Радіус кола дорівнює
половині висоти ромба, а у квадраті — половині сторони
(рисунок справа).

Зверніть увагу: радіус вписаного в ромб кола (ON) — це
висота прямокутного трикутника BOC, яка проведена з
вершини прямого кута і має всі властивості висоти
прямокутного трикутника, що проведена з вершини
прямого кута.
• Теорема 3. Трапецію тоді й тільки тоді можна описати
навколо кола, коли сума її основ дорівнює сумі бічних
сторін (рисунок нижче зліва). Центр цього кола — точка
перетину бісектрис кутів трапеції. Радіус дорівнює
половині висоти трапеції. У випадку рівнобічної трапеції
центр вписаного кола лежить на середині висоти
трапеції, яка проходить через середини основ (рисунок
справа). Бічна сторона трапеції у цьому випадку
дорівнює її середній лінії.
До нових зустрічей!
Сподіваюся, ви запам'ятали
сьоднішній урок за темою:
“Чотирикутники”

Contenu connexe

Tendances

вектори
векторивектори
векториLesya74
 
розв'язування нерівностей методом інтервалів
розв'язування нерівностей методом інтерваліврозв'язування нерівностей методом інтервалів
розв'язування нерівностей методом інтервалівVira Ivaskiv
 
Рівняння і нерівності з модулями
Рівняння і нерівності з модулямиРівняння і нерівності з модулями
Рівняння і нерівності з модулямиtcherkassova2104
 
Тренувальні вправи (модуль)
Тренувальні вправи (модуль)Тренувальні вправи (модуль)
Тренувальні вправи (модуль)tcherkassova2104
 
планіметрія 8 клас
планіметрія 8 класпланіметрія 8 клас
планіметрія 8 класNatali Chaban
 
осьові перерізи циліндра і конуса. перерізи циліндра і конуса площиною, парал...
осьові перерізи циліндра і конуса. перерізи циліндра і конуса площиною, парал...осьові перерізи циліндра і конуса. перерізи циліндра і конуса площиною, парал...
осьові перерізи циліндра і конуса. перерізи циліндра і конуса площиною, парал...yahnoluida
 
розміщення прямих і площин в просторі 10 клас
розміщення прямих і площин в просторі 10 класрозміщення прямих і площин в просторі 10 клас
розміщення прямих і площин в просторі 10 класОлеся Браташ
 
презентація до уроку 5 клас
презентація до уроку 5 класпрезентація до уроку 5 клас
презентація до уроку 5 класsvekol
 
урок 17 правильні многокутники
урок 17 правильні  многокутникиурок 17 правильні  многокутники
урок 17 правильні многокутникиrtyn343
 
Розв"язування задач на знаходження площі трикутника
Розв"язування задач на знаходження площі трикутникаРозв"язування задач на знаходження площі трикутника
Розв"язування задач на знаходження площі трикутникаsveta7940
 
урок 33 взаємодія тіл. сила. графічне зображення сил. додавання сил. рівнодійна
урок 33 взаємодія тіл. сила. графічне зображення сил. додавання сил. рівнодійнаурок 33 взаємодія тіл. сила. графічне зображення сил. додавання сил. рівнодійна
урок 33 взаємодія тіл. сила. графічне зображення сил. додавання сил. рівнодійнаЮлия Красюк
 
ознака паралельності прямої і площини
ознака паралельності прямої і площиниознака паралельності прямої і площини
ознака паралельності прямої і площиниanyaanya1
 
квадратична функція 8 клас
квадратична функція 8 клас квадратична функція 8 клас
квадратична функція 8 клас bersenova
 
Презентація:Обернена пропорційність
Презентація:Обернена пропорційність Презентація:Обернена пропорційність
Презентація:Обернена пропорційність sveta7940
 
Презентація до уроку №4 "Співвідношення між сторонами і кутами в прямокутному...
Презентація до уроку №4 "Співвідношення між сторонами і кутами в прямокутному...Презентація до уроку №4 "Співвідношення між сторонами і кутами в прямокутному...
Презентація до уроку №4 "Співвідношення між сторонами і кутами в прямокутному...kurchenkogalina
 
системи лінійних рівнянь з двома змінними
системи лінійних рівнянь    з двома зміннимисистеми лінійних рівнянь    з двома змінними
системи лінійних рівнянь з двома зміннимиTetyana Andrikevych
 
ЗАСОБИ НАВЧАННЯ ТА ОБЛАДНАННЯ ДЛЯ НАВЧАЛЬНИХ КАБІНЕТІВ І STEM-ЛАБОРАТОРІЙ
ЗАСОБИ НАВЧАННЯ ТА ОБЛАДНАННЯ ДЛЯ НАВЧАЛЬНИХ КАБІНЕТІВ І STEM-ЛАБОРАТОРІЙЗАСОБИ НАВЧАННЯ ТА ОБЛАДНАННЯ ДЛЯ НАВЧАЛЬНИХ КАБІНЕТІВ І STEM-ЛАБОРАТОРІЙ
ЗАСОБИ НАВЧАННЯ ТА ОБЛАДНАННЯ ДЛЯ НАВЧАЛЬНИХ КАБІНЕТІВ І STEM-ЛАБОРАТОРІЙOleksii Voronkin
 

Tendances (20)

задачі на суміші
задачі на сумішізадачі на суміші
задачі на суміші
 
вектори
векторивектори
вектори
 
розв'язування нерівностей методом інтервалів
розв'язування нерівностей методом інтерваліврозв'язування нерівностей методом інтервалів
розв'язування нерівностей методом інтервалів
 
Рівняння і нерівності з модулями
Рівняння і нерівності з модулямиРівняння і нерівності з модулями
Рівняння і нерівності з модулями
 
Функція
ФункціяФункція
Функція
 
Тренувальні вправи (модуль)
Тренувальні вправи (модуль)Тренувальні вправи (модуль)
Тренувальні вправи (модуль)
 
площа трапеції
площа трапеціїплоща трапеції
площа трапеції
 
планіметрія 8 клас
планіметрія 8 класпланіметрія 8 клас
планіметрія 8 клас
 
осьові перерізи циліндра і конуса. перерізи циліндра і конуса площиною, парал...
осьові перерізи циліндра і конуса. перерізи циліндра і конуса площиною, парал...осьові перерізи циліндра і конуса. перерізи циліндра і конуса площиною, парал...
осьові перерізи циліндра і конуса. перерізи циліндра і конуса площиною, парал...
 
розміщення прямих і площин в просторі 10 клас
розміщення прямих і площин в просторі 10 класрозміщення прямих і площин в просторі 10 клас
розміщення прямих і площин в просторі 10 клас
 
презентація до уроку 5 клас
презентація до уроку 5 класпрезентація до уроку 5 клас
презентація до уроку 5 клас
 
урок 17 правильні многокутники
урок 17 правильні  многокутникиурок 17 правильні  многокутники
урок 17 правильні многокутники
 
Розв"язування задач на знаходження площі трикутника
Розв"язування задач на знаходження площі трикутникаРозв"язування задач на знаходження площі трикутника
Розв"язування задач на знаходження площі трикутника
 
урок 33 взаємодія тіл. сила. графічне зображення сил. додавання сил. рівнодійна
урок 33 взаємодія тіл. сила. графічне зображення сил. додавання сил. рівнодійнаурок 33 взаємодія тіл. сила. графічне зображення сил. додавання сил. рівнодійна
урок 33 взаємодія тіл. сила. графічне зображення сил. додавання сил. рівнодійна
 
ознака паралельності прямої і площини
ознака паралельності прямої і площиниознака паралельності прямої і площини
ознака паралельності прямої і площини
 
квадратична функція 8 клас
квадратична функція 8 клас квадратична функція 8 клас
квадратична функція 8 клас
 
Презентація:Обернена пропорційність
Презентація:Обернена пропорційність Презентація:Обернена пропорційність
Презентація:Обернена пропорційність
 
Презентація до уроку №4 "Співвідношення між сторонами і кутами в прямокутному...
Презентація до уроку №4 "Співвідношення між сторонами і кутами в прямокутному...Презентація до уроку №4 "Співвідношення між сторонами і кутами в прямокутному...
Презентація до уроку №4 "Співвідношення між сторонами і кутами в прямокутному...
 
системи лінійних рівнянь з двома змінними
системи лінійних рівнянь    з двома зміннимисистеми лінійних рівнянь    з двома змінними
системи лінійних рівнянь з двома змінними
 
ЗАСОБИ НАВЧАННЯ ТА ОБЛАДНАННЯ ДЛЯ НАВЧАЛЬНИХ КАБІНЕТІВ І STEM-ЛАБОРАТОРІЙ
ЗАСОБИ НАВЧАННЯ ТА ОБЛАДНАННЯ ДЛЯ НАВЧАЛЬНИХ КАБІНЕТІВ І STEM-ЛАБОРАТОРІЙЗАСОБИ НАВЧАННЯ ТА ОБЛАДНАННЯ ДЛЯ НАВЧАЛЬНИХ КАБІНЕТІВ І STEM-ЛАБОРАТОРІЙ
ЗАСОБИ НАВЧАННЯ ТА ОБЛАДНАННЯ ДЛЯ НАВЧАЛЬНИХ КАБІНЕТІВ І STEM-ЛАБОРАТОРІЙ
 

En vedette

степінь з від'ємним показником до уроку
степінь з від'ємним показником до урокустепінь з від'ємним показником до уроку
степінь з від'ємним показником до урокуНаталя Томин
 
Подільність чисел
Подільність чиселПодільність чисел
Подільність чиселFormula.co.ua
 
Коло і круг
Коло і кругКоло і круг
Коло і кругFormula.co.ua
 
Звичайні дроби. Холопкіна К. В. (5 клас)
Звичайні дроби. Холопкіна К. В. (5 клас)Звичайні дроби. Холопкіна К. В. (5 клас)
Звичайні дроби. Холопкіна К. В. (5 клас)Formula.co.ua
 
Геометрія (Дудник Н.М., 9 клас)
Геометрія (Дудник Н.М., 9 клас)Геометрія (Дудник Н.М., 9 клас)
Геометрія (Дудник Н.М., 9 клас)Formula.co.ua
 
Коло і круг. Довжина кола. Площа круга
Коло і круг. Довжина кола. Площа кругаКоло і круг. Довжина кола. Площа круга
Коло і круг. Довжина кола. Площа кругаFormula.co.ua
 
Математичні цікавинки
Математичні цікавинкиМатематичні цікавинки
Математичні цікавинкиFormula.co.ua
 

En vedette (9)

степінь з від'ємним показником до уроку
степінь з від'ємним показником до урокустепінь з від'ємним показником до уроку
степінь з від'ємним показником до уроку
 
функції
функціїфункції
функції
 
презентація
презентаціяпрезентація
презентація
 
Подільність чисел
Подільність чиселПодільність чисел
Подільність чисел
 
Коло і круг
Коло і кругКоло і круг
Коло і круг
 
Звичайні дроби. Холопкіна К. В. (5 клас)
Звичайні дроби. Холопкіна К. В. (5 клас)Звичайні дроби. Холопкіна К. В. (5 клас)
Звичайні дроби. Холопкіна К. В. (5 клас)
 
Геометрія (Дудник Н.М., 9 клас)
Геометрія (Дудник Н.М., 9 клас)Геометрія (Дудник Н.М., 9 клас)
Геометрія (Дудник Н.М., 9 клас)
 
Коло і круг. Довжина кола. Площа круга
Коло і круг. Довжина кола. Площа кругаКоло і круг. Довжина кола. Площа круга
Коло і круг. Довжина кола. Площа круга
 
Математичні цікавинки
Математичні цікавинкиМатематичні цікавинки
Математичні цікавинки
 

Similaire à чотирикутники

Чотирикутники та їх властивості
Чотирикутники та їх властивостіЧотирикутники та їх властивості
Чотирикутники та їх властивостіFormula.co.ua
 
Геометрія (8 клас)
Геометрія (8 клас)Геометрія (8 клас)
Геометрія (8 клас)Formula.co.ua
 
урок 1 аксіоми планіметрії. кути. паралельні прямі
урок 1 аксіоми планіметрії. кути. паралельні пряміурок 1 аксіоми планіметрії. кути. паралельні прямі
урок 1 аксіоми планіметрії. кути. паралельні пряміАндрій Киричук
 
урок 1 аксіоми планіметрії. кути. паралельні прямі 2
урок 1 аксіоми планіметрії. кути. паралельні прямі 2урок 1 аксіоми планіметрії. кути. паралельні прямі 2
урок 1 аксіоми планіметрії. кути. паралельні прямі 2Андрій Киричук
 
Чотирикутники. Мирошниченко Олена Миколаївна
Чотирикутники. Мирошниченко Олена МиколаївнаЧотирикутники. Мирошниченко Олена Миколаївна
Чотирикутники. Мирошниченко Олена МиколаївнаFormula.co.ua
 
Чотирикутники
ЧотирикутникиЧотирикутники
ЧотирикутникиFormula.co.ua
 
Паралелограм це чотирикутник, у якого протилежні сторони паралел.pptx
Паралелограм це чотирикутник, у якого протилежні сторони паралел.pptxПаралелограм це чотирикутник, у якого протилежні сторони паралел.pptx
Паралелограм це чотирикутник, у якого протилежні сторони паралел.pptxssuserc21c81
 
вписані та описані чотирикутники 24
вписані та описані чотирикутники 24вписані та описані чотирикутники 24
вписані та описані чотирикутники 24cz27
 
многогранники обєми та площі поверхонь многогранників
многогранники обєми та площі поверхонь многогранниківмногогранники обєми та площі поверхонь многогранників
многогранники обєми та площі поверхонь многогранниківЮра Марчук
 
опора по кутам, вписаним в коло. чотирикутники вписанів коло і описані навко...
опора  по кутам, вписаним в коло. чотирикутники вписанів коло і описані навко...опора  по кутам, вписаним в коло. чотирикутники вписанів коло і описані навко...
опора по кутам, вписаним в коло. чотирикутники вписанів коло і описані навко...Gymn2
 
чотирикутники
чотирикутникичотирикутники
чотирикутникиbalazki1975
 
8 g e_ua
8 g e_ua8 g e_ua
8 g e_uaUA7009
 

Similaire à чотирикутники (20)

Чотирикутники та їх властивості
Чотирикутники та їх властивостіЧотирикутники та їх властивості
Чотирикутники та їх властивості
 
1shotir
1shotir1shotir
1shotir
 
Геометрія (8 клас)
Геометрія (8 клас)Геометрія (8 клас)
Геометрія (8 клас)
 
урок 3 чотирикутники
урок 3 чотирикутникиурок 3 чотирикутники
урок 3 чотирикутники
 
геометрія 8 тема =чотирикутники=
геометрія 8 тема =чотирикутники=геометрія 8 тема =чотирикутники=
геометрія 8 тема =чотирикутники=
 
урок 1 аксіоми планіметрії. кути. паралельні прямі
урок 1 аксіоми планіметрії. кути. паралельні пряміурок 1 аксіоми планіметрії. кути. паралельні прямі
урок 1 аксіоми планіметрії. кути. паралельні прямі
 
урок 1 аксіоми планіметрії. кути. паралельні прямі 2
урок 1 аксіоми планіметрії. кути. паралельні прямі 2урок 1 аксіоми планіметрії. кути. паралельні прямі 2
урок 1 аксіоми планіметрії. кути. паралельні прямі 2
 
Чотирикутники. Мирошниченко Олена Миколаївна
Чотирикутники. Мирошниченко Олена МиколаївнаЧотирикутники. Мирошниченко Олена Миколаївна
Чотирикутники. Мирошниченко Олена Миколаївна
 
Чотирикутники
ЧотирикутникиЧотирикутники
Чотирикутники
 
246 1 333_chotyrykutnyky_naumova
246 1 333_chotyrykutnyky_naumova246 1 333_chotyrykutnyky_naumova
246 1 333_chotyrykutnyky_naumova
 
Трапеція
ТрапеціяТрапеція
Трапеція
 
Tema 8
Tema 8Tema 8
Tema 8
 
Паралелограм це чотирикутник, у якого протилежні сторони паралел.pptx
Паралелограм це чотирикутник, у якого протилежні сторони паралел.pptxПаралелограм це чотирикутник, у якого протилежні сторони паралел.pptx
Паралелограм це чотирикутник, у якого протилежні сторони паралел.pptx
 
вписані та описані чотирикутники 24
вписані та описані чотирикутники 24вписані та описані чотирикутники 24
вписані та описані чотирикутники 24
 
многогранники обєми та площі поверхонь многогранників
многогранники обєми та площі поверхонь многогранниківмногогранники обєми та площі поверхонь многогранників
многогранники обєми та площі поверхонь многогранників
 
опора по кутам, вписаним в коло. чотирикутники вписанів коло і описані навко...
опора  по кутам, вписаним в коло. чотирикутники вписанів коло і описані навко...опора  по кутам, вписаним в коло. чотирикутники вписанів коло і описані навко...
опора по кутам, вписаним в коло. чотирикутники вписанів коло і описані навко...
 
чотирикутники
чотирикутникичотирикутники
чотирикутники
 
урок 2 трикутники і коло
урок 2 трикутники і колоурок 2 трикутники і коло
урок 2 трикутники і коло
 
8geu 141017130441-conversion-gate01
8geu 141017130441-conversion-gate018geu 141017130441-conversion-gate01
8geu 141017130441-conversion-gate01
 
8 g e_ua
8 g e_ua8 g e_ua
8 g e_ua
 

Plus de elrosol

приглашаю всех со мной на мастер класс карта желаний
приглашаю всех со мной на мастер класс карта желанийприглашаю всех со мной на мастер класс карта желаний
приглашаю всех со мной на мастер класс карта желанийelrosol
 
Особливості суїцидальної поведінки в підлітковому віці
Особливості суїцидальної поведінки в підлітковому віціОсобливості суїцидальної поведінки в підлітковому віці
Особливості суїцидальної поведінки в підлітковому віціelrosol
 
Дніпропетровщина
ДніпропетровщинаДніпропетровщина
Дніпропетровщинаelrosol
 
елементи комбінаторики
елементи комбінаторикиелементи комбінаторики
елементи комбінаторикиelrosol
 
випадкова подія. ймовірність випадкової події
випадкова подія. ймовірність випадкової подіївипадкова подія. ймовірність випадкової події
випадкова подія. ймовірність випадкової подіїelrosol
 
алгоритм складання портфоліо вчителя, який атестується
алгоритм складання портфоліо вчителя, який атестуєтьсяалгоритм складання портфоліо вчителя, який атестується
алгоритм складання портфоліо вчителя, який атестуєтьсяelrosol
 
Алгоритм складання портфоліо вчителя, який атестується
Алгоритм складання портфоліо вчителя, який атестуєтьсяАлгоритм складання портфоліо вчителя, який атестується
Алгоритм складання портфоліо вчителя, який атестуєтьсяelrosol
 
портфоліо агєєнко л м
портфоліо агєєнко л мпортфоліо агєєнко л м
портфоліо агєєнко л мelrosol
 
краєзнавча робота «київ столиця україни» борщова о.в.
краєзнавча робота «київ  столиця україни» борщова о.в.краєзнавча робота «київ  столиця україни» борщова о.в.
краєзнавча робота «київ столиця україни» борщова о.в.elrosol
 
З досвіду роботи класного керівника Росол О.А.
З досвіду роботи класного керівника Росол О.А.З досвіду роботи класного керівника Росол О.А.
З досвіду роботи класного керівника Росол О.А.elrosol
 
Сайт відкритих електронних освітніх ресурсів “Відкритий світ”
Сайт відкритих електронних освітніх ресурсів “Відкритий світ”Сайт відкритих електронних освітніх ресурсів “Відкритий світ”
Сайт відкритих електронних освітніх ресурсів “Відкритий світ”elrosol
 

Plus de elrosol (11)

приглашаю всех со мной на мастер класс карта желаний
приглашаю всех со мной на мастер класс карта желанийприглашаю всех со мной на мастер класс карта желаний
приглашаю всех со мной на мастер класс карта желаний
 
Особливості суїцидальної поведінки в підлітковому віці
Особливості суїцидальної поведінки в підлітковому віціОсобливості суїцидальної поведінки в підлітковому віці
Особливості суїцидальної поведінки в підлітковому віці
 
Дніпропетровщина
ДніпропетровщинаДніпропетровщина
Дніпропетровщина
 
елементи комбінаторики
елементи комбінаторикиелементи комбінаторики
елементи комбінаторики
 
випадкова подія. ймовірність випадкової події
випадкова подія. ймовірність випадкової подіївипадкова подія. ймовірність випадкової події
випадкова подія. ймовірність випадкової події
 
алгоритм складання портфоліо вчителя, який атестується
алгоритм складання портфоліо вчителя, який атестуєтьсяалгоритм складання портфоліо вчителя, який атестується
алгоритм складання портфоліо вчителя, який атестується
 
Алгоритм складання портфоліо вчителя, який атестується
Алгоритм складання портфоліо вчителя, який атестуєтьсяАлгоритм складання портфоліо вчителя, який атестується
Алгоритм складання портфоліо вчителя, який атестується
 
портфоліо агєєнко л м
портфоліо агєєнко л мпортфоліо агєєнко л м
портфоліо агєєнко л м
 
краєзнавча робота «київ столиця україни» борщова о.в.
краєзнавча робота «київ  столиця україни» борщова о.в.краєзнавча робота «київ  столиця україни» борщова о.в.
краєзнавча робота «київ столиця україни» борщова о.в.
 
З досвіду роботи класного керівника Росол О.А.
З досвіду роботи класного керівника Росол О.А.З досвіду роботи класного керівника Росол О.А.
З досвіду роботи класного керівника Росол О.А.
 
Сайт відкритих електронних освітніх ресурсів “Відкритий світ”
Сайт відкритих електронних освітніх ресурсів “Відкритий світ”Сайт відкритих електронних освітніх ресурсів “Відкритий світ”
Сайт відкритих електронних освітніх ресурсів “Відкритий світ”
 

чотирикутники

  • 2. Чотирикутником називається фігура, яка складається з чотирьох точок і чотирьох відрізків, що послідовно їх сполучають. При цьому жодні три з даних точок не повинні лежати на одній прямій, а відрізки, які їх сполучають, не повинні перетинатися. Дані точки називаються вершинами чотирикутника, а відрізки, що їх сполучають,— сторонами чотирикутника.
  • 3. Вершини чотирикутника називаються сусідніми , якщо вони є кінцями однієї з його сторін. Несусідні вершини називаються протилежними. Відрізки, що сполучають протилежні вершини чотирикутника, називаються діагоналями. В A D С
  • 4. A D В С • Сторони чотирикутника, що виходять з однієї вершини, називаються сусідніми сторонами. • Сторони, які не мають спільного кінця, називаються протилежними сторонами. • Периметр чотирикутника — сума довжин усіх його сторін. P=(a+b)2, де a і b – сторони чотирикутника
  • 5. • Чотирикутник називається опуклим, ­якщо він лежить в одній півплощині відносно будь­якої прямої, що містить його сторону. На рисунку нижче зліва ABCD — опуклий чотирикутник; AC, BD — його діагоналі. На рисунку справа KMNP — неопуклий чотирикутник; KN, MP — його діагоналі. • Сума кутів чотирикутника дорівнює 360° .
  • 6. Паралелограм • Паралелограм — це чотирикутник, у якого протилежні сторони паралельні. На рисунку ABCD — паралелограм. AB ΙΙ DC; BC II AD.
  • 7. Властивості паралелограма • Теорема 1. У паралелограма протилежні сторони рівні, протилежні кути рівні. АВ=СD, BC=AD <A=<C, <B= <D Теорема 2. У паралелограмі кути, прилеглі до однієї сторони, в сумі дорівнюють : < A+ <B=180 °, <A+ <D=180 °, <B+ <C=180 °, <C+ <D=180 ° Теорема 3. Діагоналі паралелограма перетинаються й у точці перетину діляться навпіл. BO=OD, AO=OC
  • 8. Властивості паралелограма Теорема 4. Діагональ паралелограма поділяє його на два рівні трикутники. На рисунку нижче зліва∆ ABC =∆ CDA На рисунку справа ∆ ABD = ∆ CDB
  • 9. Властивості паралелограма • Теорема 5. Діагоналі паралелограма розбивають його на дві пари рівних трикутників. На рисунку ∆ AOB =∆COD, ∆ BOC =∆ DOA
  • 10. Ознаки паралелограма • Теорема 1. Якщо діагоналі чотирикутника перетинаються й у точці перетину діляться навпіл, то цей чотирикутник — паралелограм. Теорема 2. Якщо в чотирикутнику дві сторони паралельні й рівні, то цей чотирикутник — паралелограм. Теорема 3. Якщо в чотирикутнику протилежні сторони рівні, то цей чотирикутник — паралелограм. Теорема 4. Якщо в чотирикутнику протилежні кути рівні, то цей чотирикутник — паралелограм. Теорема 5. Якщо в чотирикутнику кути, що є прилеглими до кожної із сторін, у сумі дорівнюють , то цей чотирикутник — паралелограм. Теорема 6. Якщо кожна діагональ поділяє чотирикутник на два рівні трикутники, то цей чотирикутник — паралелограм.
  • 11. Кут між висотами паралелограма • Висота паралелограма — це відрізок, перпендикулярний до протилежних сторін паралелограма з кінцями на цих сторонах. На рисунку h₁ I h₂— висоти паралелограмa.
  • 12. • Найчастіше висоти опускають із вершин паралелограма. Із кожної вершини паралелограма можна провести дві висоти. Кут між ними дорівнюватиме куту паралелограма при сусідній вершині. -----кут між висотами паралелограма, опущеними з тупого кута, ----------кут між висотами,опущеними з гострого кута
  • 13. Властивості бісектрис кутів паралелограма 1. Бісектриси сусідніх кутів паралелограма перпендикулярні. 2. Бісектриси протилежних кутів паралелограма паралельні або збігаються (якщо паралелограм — ромб). 3. Бісектриса кута паралелограма відокремлює від нього рівнобедрений трикутник. На рисунку BM II KD; DM II AP; BM ⊥ AP, BM ⊥ CF , ∆ABM - рівнобедрений; AB=BP; ∆ KCD — рівнобедрений, CK=CD .
  • 14. • Чотирикутник, що утворився при перетині бісектрис кутів паралелограма,— прямокутник. Якщо через точку перетину діагоналей паралелограма проведено пряму, то відрізок цієї прямої, який розташований між паралельними сторонами, ділиться в цій точці навпіл:
  • 15. Прямокутник Прямокутник — це паралелограм, у якого всі кути прямі.
  • 16. Оскільки прямокутник є паралелограмом, він має всі властивості паралелограма і ще деякі інші. Теорема. Діагоналі прямокутника рівні. На рисунку AO=OC=BO=OD. AC=BD . ∆AOB= ∆ COD ; ∆ BOC= ∆ DOA — рівнобедрені.
  • 17. Ознаки прямокутника • Теорема 1. Якщо в чотирикутнику всі кути рівні, то він є прямокутником. Теорема 2. Якщо в чотирикутнику є три прямі кути, то він є прямокутником. Теорема 3. Якщо в паралелограмі є прямий кут, то паралелограм є прямокутником. Теорема 4. Якщо в паралелограмі діагоналі рівні, то він є прямокутником.
  • 18. Ромб • Ромб — це паралелограм, у якого всі сторони рівні.
  • 19. Властивості ромба Оскільки ромб є паралелограмом, він має всі властивості паралелограма і деякі інші. Теорема 1. Діагоналі ромба перетинаються під прямим кутом. Діагоналі ромба є бісектрисами його кутів. На рисунку ABCD — ромб; AB=BC=CD=DA; AC ⊥BD; <ABO=<CBO=<ADO<=CDO; <BAO=<DAO=<BCO=<DCO; KO=ON
  • 20. Властивості ромба Теорема 2. Діагоналі ромба розбивають його на чотири рівні прямокутні трикутники. Теорема 3. Висоти ромба рівні:
  • 21. Ознаки ромба Теорема 1. Якщо в чотирикутнику всі сторони рівні, то він є ромбом. Теорема 2. Якщо в паралелограмі сусідні сторони рівні, то він є ромбом. Теорема 3. Якщо в паралелограмі діагоналі перпендикулярні, то він є ромбом. Теорема 4. Якщо в паралелограмі діагональ є бісектрисою кута, то паралелограм є ромбом.
  • 22. Квадрат Квадрат — це прямокутник, у якого всі сторони рівні. A B D C
  • 23. Властивості квадрата Оскільки квадрат є паралелограмом, прямокутником і ромбом водночас, маємо: 1) у квадрата всі сторони рівні; 2) у квадрата всі кути рівні; 3) діагоналі квадрата рівні, перетинаються під прямим кутом, діляться в точці перетину навпіл, є бісектрисами його кутів;
  • 24. Властивості квадрата 4) діагоналі квадрата ділять його на чотири рівні рівнобедрені прямокутні трикут­ники. На рисунку ABCD — квадрат. AB = BC =CD=AD; <A=<B=<C=<D; AC=BD ; ∆ AOB= ∆ BOC= ∆COD=∆ AOD.
  • 25. Ознаки квадрата Теорема 1. Якщо в чотирикутника всі сторони і всі кути рівні, то він є квадратом. Теорема 2. Якщо діагоналі прямокутника перетинаються під прямим кутом, то він є квадратом. Теорема 3. Якщо діагоналі ромба рівні, то він є квадратом.
  • 26. Трапеція • Трапецією називається чотирикутник, у якого тільки дві протилежні сторони паралельні. Ці сторони називаються основами трапеції, а дві інші — бічними сторонами. • Трапеція, в якої бічні сторони рівні, називається рівнобічною (див. рисунок нижче зліва). Якщо одна з бічних сторін трапеції перпендикулярна до основ, трапеція називається прямокутною (рисунок нижче справа). •
  • 27. • Теорема 1. Кути трапеції, які прилеглі до однієї бічної сторони, у сумі дорівнюють 180° Відрізок, що сполучає середини бічних сторін трапеції, називається середньою лінією трапеції. Теорема 2. Середня лінія трапеції паралельна основам і дорівнює їх півсумі. Зверніть увагу: середня лінія не проходить через точку перетину діагоналей трапеції.
  • 28. Рисунок 1 Висотою трапеції називається відрізок прямої, перпендикулярної до основ трапеції з кінцями на основах трапеції. Найчастіше висоту проводять через вершини верхньої основи або через точку перетину діагоналей (рисунок 1). Усі висоти трапеції рівні між собою. Бісектриса кута трапеції, якщо вона перетинає основу трапеції, відтинає від неї рівнобедрений трикутник (рисунок 2). Рисунок 2
  • 29. Властивості рівнобічної трапеції • 1. У рівнобічній трапеції кути при основах рівні (рисунок нижче зліва). 2. У рівнобічній трапеції діагоналі рівні. 3. У рівнобічній трапеції діагоналі створюють з основою рівні кути. 4. У рівнобічній трапеції діагоналі, перетинаючись, утворюють два рівнобедрені трикутники, основами яких є основи трапеції (рисунок справа).
  • 30. Додаткові побудови, що використовуються для розв’язування задач на трапецію 1) На рисунку AN+MD=AD­BC; MN=BC; BCMN — прямокутник.
  • 31. Додаткові побудови, що використовуються для розв’язування задач на трапецію Зверніть увагу: якщо AB=CD, то AD −BC AN =KD = 2
  • 32. Додаткові побудови, що використовуються для розв’язування задач на трапецію 2) На рисунку CF II AB; ABCF — паралелограм. <CFD=<A; <DCF=<BCD - <A; FD=AD-BC.
  • 33. Додаткові побудови, що використовуються для розв’язування задач на трапецію 3) На рисунку CK II BD; BCKD — паралелограм. BC=DK . Сторони ∆ ACK: AK=AD+BC; CK=BD . Висота CF ∆ ACK збігається з висотою трапеції. Якщо трапеція ABCD рівнобічна, то ∆ ACK — рівнобедрений.
  • 34. Вписані й описані чотирикутники Теорема 1. Навколо чотирикутника можна описати коло тоді й тільки тоді, коли сума його протилежних кутів дорівнює 180° . На рисунку .
  • 35. • Із цього випливає, що коло можна описати навколо прямокутника (рисунок нижче зліва), зокрема квадрата (рисунок справа), його центром буде точка перетину його діагоналей. Радіус — половина діагоналі.
  • 36. Коло можна описати навколо трапеції тоді й тільки тоді, коли вона є рівнобічною (див. рисунок). Центром кола є точка перетину середніх перпендикулярів до сторін. Навколо паралелограма та трапеції загального виду описати коло не можна. (Зокрема, навколо ромба не можна описати коло.)
  • 37. Теорема 2. Чотирикутник тоді й тільки тоді можна описати навколо кола, якщо суми його протилежних сторін дорівнюють одна ­ одній. На рисунку
  • 38. Отже, коло можна вписати в ромб (зокрема у квадрат), але не можна в прямокутник або паралелограм загального виду. Центр кола, вписаного в ромб, є точкою перетину діагоналей (рисунок нижче зліва). Радіус кола дорівнює половині висоти ромба, а у квадраті — половині сторони (рисунок справа). Зверніть увагу: радіус вписаного в ромб кола (ON) — це висота прямокутного трикутника BOC, яка проведена з вершини прямого кута і має всі властивості висоти прямокутного трикутника, що проведена з вершини прямого кута.
  • 39. • Теорема 3. Трапецію тоді й тільки тоді можна описати навколо кола, коли сума її основ дорівнює сумі бічних сторін (рисунок нижче зліва). Центр цього кола — точка перетину бісектрис кутів трапеції. Радіус дорівнює половині висоти трапеції. У випадку рівнобічної трапеції центр вписаного кола лежить на середині висоти трапеції, яка проходить через середини основ (рисунок справа). Бічна сторона трапеції у цьому випадку дорівнює її середній лінії.
  • 40. До нових зустрічей! Сподіваюся, ви запам'ятали сьоднішній урок за темою: “Чотирикутники”