1. A ESTIMAÇÃO DO TETRÁDICO 4
X NA LEI =4
X: QUE
ESTABELECE PROPORCIONALIDADE ENTRE OS DIÁDICOS 
E , PELO MÉTODO DO GRADIENTE.
Elysio R. F. Ruggeri
Furnas Centrais Elétricas SA
Centro Tecnológico de Engenharia Civil
1 – Introdução.
Sejam (1,1), (2, 2), ..., (6, 6), seis avaliações (ou medidas) de dois diádicos simétricos em relação a
uma base diádica ortonormada fixa, arbitrária (eventualmente, convenientemente escolhida),
}ˆ,...ˆ,ˆ{}ˆ{ 621
 
. Por hipótese, esses diádicos se correlacionam através do tetrádico 4
G - uma
incógnita - pela lei  4 : , onde ,  e 4
X são valores verdadeiros, pretendendo-se que o 4
X seja
simétrico (embora, em geral, não o seja necessariamente). Vamos admitir que os seis diádicos  sejam
linearmente independentes, constituindo, assim, uma base para o espaço dos diádicos simétricos,
representada por },...,,{}{ 621
 
.
Nestas condições, um valor preliminar do tetrádico 4
X é dado por i
ipre
4   (i=1,2,...,6), em
que os i
são os diádicos da base recíproca de }{ 
 , isto é, }{  , diádicos esses que podem ser
calculados a partir dos diádicos dados. O tetrádico 4
Xpre é de fato uma avaliação preliminar do tetrádico
final uma vez que não existe nenhuma garantia de que esse tetrádico seja simétrico. Com efeito, para que
isso ocorresse, deveria ser ijji
 ::  para ij, igualdades essas (em número 15) que, em geral, não
se verificam.
Como, por hipótese, os ´s definem uma base, podemos expressar os diádicos  em relação à base
diádica }{ 
 , escrevendo: j
j
ii
)(  : (i,j=1,2,...,6).
*
Como as avaliações são acompanhadas de erros podemos escrever:
i
4
ii
 :X , (i=1,2,...,6) (01),
em que i é um diádico que expressa o erro cometido na i-ésima avaliação, erro esse suposto calculado
com o 4
X verdadeiro.
O produto posterior direto de cada uma das relações (01) pelo correspondente iˆ transforma (01)
na expressão
X4
pre
44   , (02),
sendo
i
i
4 ˆ  , (03).
Podemos estimar um 4
X que mais se aproxime do verdadeiro impondo a condição de que a norma
do tetrádico 4
 seja mínima. Tem-se:
||||2|||||||| 2444
gro
4
gro
44 
  .
, (04).

2. 2
A norma de 4
 é, assim, uma função do segundo grau do tetrádico (incógnita) 4
X. Para um dado valor
(arbitrário) de 4
, logo também de sua norma, vemos por (04), lembrando (02), que, no espaço dos
tetrádicos, existem infinitas setas de tetrádicos 4
X, de origem na extremidade de 4
Xpre e extremidade na
esfera1
de raio igual ao módulo de 4
, que satisfazem a equação (04).
*
2 – Aplicação do método dos gradientes.
Seja dado um 4
 qualquer, ao módulo do qual corresponde certa esfera concêntrica com a anterior. Esta
esfera, evidentemente, envolverá ou será envolvida por aquela conforme a norma de 4
 seja maior ou
menor que a norma daquele (4
 anterior).
O sentido do crescimento da norma será dado pelo sentido da seta do tetrádico gradiente da norma
de 4
. Esse tetrádico é a derivada de ||4
|| em relação a 4
X, sendo:


 44
pre
4
4
4
222
||||



, (05).
*
Imaginemos agora que tenhamos arbitrado um valor 4
X0 para 4
X, ao qual corresponde, segundo
(04), certa norma ||4
0||. Ao 4
X0 corresponde certo ponto na esfera de raio igual a |4
0|. Demos a 4
X0 um
acréscimo igual a (2 4
0)/2= 4
0, no sentido contrário ao do gradiente, com um número /2 <<1 (ou
<<2), e calculemos o valor do tetrádico correspondente, 4
X1. Encontramos:
0
4
0
4
1
4   , (06).
A esse tetrádico corresponde uma norma, calculada por (04), certamente menor que a norma
anterior. Com efeito, de (02) escrevemos: 0
4
gro
4
0
4 X  e 1
4
gro
4
1
4 X  ; logo, considerando
(06), deduzimos: 0
4
1
4 (1   . Vem, então: ||||λ)1(|||| 0
42
1
4   , o que comprova ser
|||||||| 0
4
1
4   porque (1-)2
é um número menor que um. A extremidade da seta de 4
X1 pertencerá
necessariamente a uma esfera interior à correspondente a 4
X0.
*
Demos agora um acréscimo arbitrário ao tetrádico 4
X1, no sentido contrário ao gradiente -24
1,
digamos, da mesma forma que o anterior, 4
1. O novo tetrádico será, então,
1
4
1
4
2
4   ,
cuja norma é certamente menor que a do tetrádico anterior e cuja seta tem extremidade numa terceira
esfera interior a toda as anteriores. Temos:
||||λ4)(λ4|||||||| 0
42
0
44
0
4
0
4
2
4   .
.
Assim devemos prosseguir até que na N-ésima iteração a norma ||4
N|| satisfaça certa condição de
tolerância. Como a norma ||4
N|| é menor que a anterior, ||4
N-1||, podemos expressar essa condição pela
expressão:
tol
||||
||||||||
N
4
1-N
4
N
4




, (07),
onde tol é um número negativo cujo módulo, arbitrado conforme as nossas conveniências, representa a
queda relativa no valor da norma (em cada iteração).
No caso em apreço, sendo ||4
N||=||4
N-1|| qualquer que seja N, a queda assume o valor
1
Trata-se, na verdade, de um hiper esfera uma vez que o espaço dos tetrádico simétricos tem 21 dimensões.

3. 3


1
1)Q( .
No espaço tetrádico, as extremidades das setas dos 4
X (todos com origem na extremidade da seta
de 4
Xpre) pertencem cada uma a uma esfera e a cada uma corresponde certa queda. Se os acréscimos dados
aos tetrádicos forem suficientemente pequenos (pequenos ) a poligonal poderá ser visualizada como uma
curva.
*
3 – Conclusão.
A aplicação do método do gradiente (seção 2) poderia ser dispensada uma vez que, sendo o tetrádico
gradiente, 4
, ortogonal à esfera, apontará sempre para a extremidade de 4
Xpre (centro das esferas). Como
os raios das esferas, |4
|, devem tender para um valor mínimo, tenderão para zero necessariamente.
Conseqüentemente, conforme (02), as estimativas do tetrádico incógnita estarão necessariamente
convergindo para 4
Xpre.
Esses resultados mostram que a estimativa do tetrádico pelo teorema fundamental das
transformações lineares é plenamente satisfatória; mas em nenhum instante foi imposta a condição de que
o tetrádico devesse ser simétrico.