1. Longitud de Arco,
Área de una superficie de revolución
y Trabajo Mecánico.
Aplicación de Integral Definida
Prof. Emma Yendis
Clase de: Lunes 02-05-2011
2. Longitud de Arco
La longitud de un arco AB de
una curva es por definición
el límite de la suma de las
longitudes de un conjunto de
cuerdas consecutivas A=P0,
P1, P2....,P n-1, Pn=B, que unos
puntos del arco, cuando el
número de puntos crece
indefinidamente de forma tal
que la longitud de cada
cuerda tiende a cero.
Prof. Emma Yendis
4. Longitud de Arco
Si la gráfica de y=f(x) en el intervalo [a,b] es una
curva suave, longitud de arco de f entre a y b es:
Análogamente, para una curva suave dada por
x=g(y), la longitud de arco entre c y d es:
Prof. Emma Yendis
5. Longitud de Arco
• Encuentre la
longitud del arco
de a curva Se resuelve por método de
en el intervalo Sustitución
[1,4]
Prof. Emma Yendis
• Solución:
7. Área de una Superficie de
Revolución
Aplicación de Integral Definida
Prof. Emma Yendis
Clase de: Miércoles 04-05-2011
8. Área de una superficie de revolución
• La fórmula del área de una superficie se va a deducir de la
fórmula para el área lateral de un tronco de cono (o cono
truncado).
• Véase en la imagen
L es la Longitud del segmento, r1 es el
radio del extremo izquierdo, y r2 su
homólogo derecho. Al girar la región
se genera un troco de cono, con área
lateral :
Prof. Emma Yendis
Donde,
9. Área de una superficie de revolución
Entonces,
Prof. Emma Yendis
10. Área de una superficie de revolución
EJEMPLO: Encuentre el área de superficie generado al girar la
curva alrededor del eje x, en el intervalo [1,2]
Se recomienda simplificar la raíz primeramente:
Prof. Emma Yendis
11. Área de una superficie de revolución
• Luego sustituimos en la fórmula
Se resuelve por sustitución
Prof. Emma Yendis
13. Trabajo Mecánico
• El concepto de trabajo sirve a los científicos e
ingenieros para conocer cuánta energía es
necesaria en la ejecución de cierta tarea . Por
ejemplo, es útil saber el trabajo realizado cuando
una grúa eleva una viga de hierro, al comprimir
un muelle, al lanzar un cohete o cuando un
camión transporta una carga.
• Se realiza un trabajo cuando una fuerza desplaza
Prof. Emma Yendis
un objeto. Si la fuerza aplicada al objeto es
constante , tenemos la definición de trabajo.
14. Trabajo Mecánico
Definición de trabajo:
Si un objeto es desplazado por una fuerza F constante
una distancia D en al dirección de la fuerza, el trabajo
W realizado por la fuerza se define como W=FD.
Hay muchas clases de fuerzas: Centrífuga,
electromagnética, gravitatoria, entre otras. Se puede
pensaren la fuerza como algo que empuja o atrae.
¿Pero que pasa si la fuerza no es constante sino variable?
RECURRIMOS AL CÁLCULO INTEGRAL
15. Trabajo Mecánico
Supongamos que un objeto se mueve
en línea recta desde x=a hasta x=b
bajo la acción de una fuerza F(x) que
varía de manera continua. Sea ∆ una
partición de [a,b] en n sub intervalos
determinados por:
y sea
Para cada i escojamos un . Como F
es continua, podemos aproximar el
trabajo realizado en el desplazamiento
Prof. Emma Yendis
del objeto a lo largo del i-ésimo
subintervalo como:
16. Trabajo Mecánico
Definición de trabajo realizado por una fuerza variable:
Si un objeto es desplazado en línea recta desde x=a hasta x=b
por la acción de una fuerza F(x) que varía de forma continua , el
trabajo W realizado se define como
Prof. Emma Yendis
Fuerza Distancia
17. Trabajo Mecánico
• Ejemplo Aplicado a Resortes:
De acuerdo con la ley de Hooke en física, la
fuerza F(x) necesaria para mantener un resorte
estirado (o comprimido) x unidades alargado (o
acortado) de su longitud natural, esta dado por:
F=k.x
Aquí, la constante k, la constante del resorte, es
Prof. Emma Yendis
positiva y depende del resorte.
18. Trabajo Mecánico
• Encontrar el trabajo
requerido para
comprimir un resorte
desde su longitud
natural de 1 a una
longitud de 75 pies, si la
constante de fuerza es k
= 16 lb / ft
Prof. Emma Yendis
19. Trabajo Mecánico
Aplicación a Bombeo de Líquidos:
Un depósito en forma de cono
circular que tiene 10 pies de altura,
se llena hasta unos 2 pies de alto,
con aceite de oliva de densidad de
57lb/ft3. ¿Cuánto trabajo se
necesita para bombear el aceite
hasta el borde del tanque?
Prof. Emma Yendis
Hallamos primeramente
F(y)=(densidad) lb . (volumen) ft3
ft3
20. Trabajo Mecánico
Luego, la distancia a través
del cual F(y) debe actuar
para bombear el aceite a
nivel del borde del cono es
de unos(10 - y)ft, por lo que
el trabajo realizado para
bombera el líquido, es
aproximadamente:
Prof. Emma Yendis
21. Referencias Bibliográficas
• Purcell y otros, L. Cálculo. 8va. Edición
– Capítulo 6, pág 293-302
• Larson, R. y otros. Cálculo y Geometría Analítica.
Volumen 1, 6ta. Edición.
– Capítulo 6, pág 492-508
• Thomas, G. Calculus. Part One, Single Variable.
11th Edition.
– Capítulo 6, pág 436-451
