Il campo elettrico

1. Il campo elettrico
a cura di Enrica Maragliano
Liceo Classico C.Colombo

2. Il concetto di campo elettrico
• È definito per spiegare come mai due corpi che non
sono in contatto diretto sono attratti da una forza
• Il campo elettrico è un vettore
• È definito come la modifica che lo spazio subisce
attorno ad una carica elettrica: lo spazio circostante
alla carica è modificato dalla sua presenza
E F
q
=

 q è una piccola carica elettrica positiva
tale non alterare con la sua presenza il
sistema fisico che si vuole studiare

3. Il campo elettrico come
modifica dello spazio attorno
alle cariche

4. Il campo elettrico generato da
una carica puntiforme
• È il campo elettrico più semplice
• Per la legge di Coulomb abbiamo che
F Qq
E F Q
1
4
= =
= 2
2
p e r
0
1
4
q p e r
0

E
• Il vettore è diretto radialmente rispetto
alla carica Q che genera il campo, diretto
verso l’esterno se Q è positiva, verso
l’interno se è negativa

5. Il campo elettrico generato da
una carica puntiforme

6. Il campo elettrico generato da
più cariche
• Vale il principio di sovrapposizione (regola del
parallelogramma)
• L’effetto della presenza di più cariche è la somma vettoriale
dei campi generati da ogni singola carica
Qui a lato vediamo
schematizzati i campi
elettrici generati da due
cariche con lo stesso
segno e con segno
opposto (dipolo)

7. Un esempio
• Ipotizziamo di avere 2 cariche uguali e di segno opposto poste
come in figura
• Vogliamo trovare il valore di in P(x;y) 
E
equidistante da Qe Q1 2 α

E1

E2
Q1 Q2

E
Il campo elettrico in P è
diretto come in figura ed ha
solo componente orizzontale,
poiché le componenti verticali
si annullano reciprocamente.
Il modulo di E è 2E1cosα.

8. Come schematizzare un
campo elettrico?
• Per poter meglio visualizzare l’andamento
del campo elettrico generato da una o più
cariche si usano le linee di forza (o linee
di campo)
• Esse non esistono in realtà, ma sono solo
una nostra costruzione per descrivere
graficamente l’andamento del campo

9. Le linee di campo
• Non sono vettori, ma linee continue che nascono (o muoiono)
nelle cariche sorgenti del campo
• Sono orientate  direzione e verso del vettore campo elettrico
in un punto sono dati dalla tangente alla linea di forza che
passa in quel punto

• Non si incrociano mai ( E
è unico in ciascun punto. Se sono
presenti più cariche è dato dalla somma di vettori)
• Sono sempre dirette da una carica positiva ad una negativa
• Sono più fitte intorno alla carica e si diradano all'aumentare
della distanza: la densità delle linee in una zona è
proporzionale all'intensità del campo in quella zona
• Coincidono con la traiettoria di una carica positiva puntiforme,
che non alteri il campo preesistente, libera di muoversi (carica
sonda)

10. Un esempio di linee di campo

11. Il campo elettrico in un
dielettrico
Se invece di essere nel vuoto il campo
elettrico è in un dielettrico, il campo e
elettrico diventa:
E Q
2
1
4 r
p e e r
0
=

12. Il flusso del campo elettrico

Data una superficie 
piana S e un vettore E

si
definisce flusso di E
il prodotto scalare tra E
e il
vettore perpendicolare alla superficie considerata:
  
F ( E) = E ´S = ES cosa

13. Il flusso del campo elettrico
per una superficie qualunque
Se la superficie attraverso cui si vuole
calcolare il campo elettrico è non piana, è
necessario suddividerla in superfici piane (o
tanto piccole da essere localmente
considerate piane) e determinare il flusso
complessivo come la somma di tutti i
contributi ΔΦi, ossia:
 å n  å n
 
F = D F = ´D ( ) ( )
E E E S
i i i
i i
= =
1 1

14. Il teorema di Gauss per il
campo elettrico
Il flusso del campo elettrico attraverso una
superficie chiusa è direttamente proporzionale
alla carica totale contenuta all’interno della
superficie.

E Qtot
( )
0
e
F =

15. Dimostrazione del teorema di
Gauss (ipotesi)
Ipotizziamo che:
• Il campo elettrico sia
generato da una
singola carica
puntiforme positiva Q
• La superficie su cui si
calcola il flusso sia
una sfera di raggio r
• Q sia al centro della
sfera

16. Dimostrazione del teorema di
Gauss (I)
• Suddividiamo la sfera in n parti
così piccole da poter essere
considerate piane
• Tutti i vettori della superfici ΔSi
sono perpendicolari alle singole
superfici, con la stessa direzione
del raggio e verso uscente dalla
sfera
• Il vettore campo elettrico in ogni
punto di ciascuna superficie
infinitesima ha anch’esso
direzione radiale e verso uscente

17. Dimostrazione del teorema di
Gauss (II)
  
i ( ) i i i i F E = E ´D S = E D S
Tutti i punti della sfera hanno la stessa
distanza r dalla carica, quindi in ciascun punto
della sfera vale:
E Q
2
0
1
4
p e r
=
Per ogni superficie:

( ) i i F E = ED S
Quindi:
Sommando i flussi attraverso tutte le superfici
in cui abbiamo diviso la sfera:
( ) 2 2
å F = å D = = = 
E E S E 4 p r 1 Q 4
p
r Q
2
= = 4
p e e
n n
i i
i i
r
1 1 0 0

18. Validità del teorema di Gauss
Se deformiamo la sfera ed
otteniamo una qualsiasi superficie
chiusa γ, il numero di linee di
campo che attraversano ciascuna
piccola superficie in cui dividiamo
la sfera e la corrispondente
superficie deformata di γ, è lo
stesso. Quindi il teorema di Gauss
vale per ogni superficie chiusa,
non solo per una sfera.

19. Generalizzazione del teorema
di Gauss
Il teorema di Gauss può anche essere
scritto come sommatoria algebrica di tutte
le cariche presenti all’interno della
superficie:
E Q
F = S
( ) i
S
0
e

e, in un dielettrico:
E Q
F = S
( ) i
S
0
r
e e


20. Ad esempio…

21. Disposizione delle cariche su
un conduttore carico
In un conduttore carico in equilibrio elettrostatico
le cariche si trovano solo sulla superficie esterna.
Infatti all’interno di un
conduttore carico in equilibrio
elettrostatico ( cariche
ferme) il campo elettrico è
zero in ogni punto. Infatti se
così non fosse le cariche non
potrebbero essere ferme,
perché soggette all’azione di E


22. Disposizione delle cariche su
un conduttore carico (II)
In formule: se 0 ( ) 0 0
0
=
S

= Þ F = Þ
e
i
s
Q
E E
quindi: S = 0 i Q
Se la somma delle cariche interne è nulla,
allora, se ci sono cariche, queste si trovano
solo sulla superficie esterna.
Intuitivamente si può capire che le cariche si
pongono fra loro alla massima distanza
possibile, ossia sulla superficie esterna.

23. Il campo elettrico presente
all’esterno di una superficie
sferica uniformemente carica
La simmetria è sferica.
La superficie gaussiana è una sfera.
Se il raggio della superficie gaussiana è r<R:
q = 0 Þ F (E) = 4 r2E = 0 Þ E = 0 S p
Se il raggio della superficie gaussiana è r>R:
E r E Q E Q S e p e
2
( ) 4 1
0 0
2
4
r
F = p = Þ =
r
E
r
R
r
Questo vale se la superficie sferica è isolante
o se la sfera (piena o vuota) è fatta da un
materiale conduttore.

24. La gabbia di Faraday
Una gabbia di Faraday è un conduttore cavo, non
necessariamente continuo, che viene usato per
preservare dai campi elettrici esterni ciò che è al suo
interno.
Se all'interno di una gabbia di Faraday si mette un
corpo carico, all'esterno non si risentirà alcun effetto.
Un tale conduttore cavo è quindi un quasi perfetto
schermo elettrostatico. Inoltre, se una carica elettrica
viene a contatto con la parete interna della gabbia,
essa si propaga istantaneamente alla parete esterna,
lasciando la parete interna completamente scarica.

25. La densità di carica
Si definisce densità superficiale di carica
il rapporto fra la carica complessiva e la
superficie su cui essa è distribuita.
Q
S
s =
Per analogia possiamo definire ρ e λ,
rispettivamente densità volumica e
densità lineare di carica:
Q
L
l =
Q
V
r =

26. Il teorema di Coulomb
Il modulo del campo elettrico in prossimità
della superficie di un conduttore è
direttamente proporzionale alla densità
superficiale di carica

27. Dimostrazione del teorema di
Coulomb
Se la carica si trova in equilibrio elettrostatico nei punti
vicini alla superficie il campo elettrico è
necessariamente diretto perpendicolarmente alla
superficie perché se così non fosse il campo elettrico
ammetterebbe una componente parallela alla
superficie tendente ad accelerare la carica in quella
direzione contro la ipotesi fatta di " conduttore in
equilibrio elettrostatico".
Dalla definizione di flusso di campo elettrico:
  
F ( E) = E ´S = ES cosa
Se il campo è diretto radialmente  α=0 

E ES Q
( )
0
e
F = =

E Q
= =
0 0
S
s
e e

28. Il potere dispersivo delle punte
Possiamo pensare alla zona "appuntita" di un
conduttore come ad una sfera approssimante
il cui raggio sia piccolissimo. Sulla superficie
di un conduttore le cariche non sono disposte
in modo uniforme  il campo elettrico è più
elevato se il raggio diminuisce (σ aumenta).
Il campo elettrico è elevatissimo in prossimità
di zone con piccolo raggio di curvatura  in
tali zone vi è un forte accumulo di cariche
elettriche che, evidentemente, dato
l'"affollamento", appena possono cercano di
sfuggire via, trovando un percorso favorevole
attraverso un contatto esterno o attraverso
l'aria (ionizzata nelle vicinanze per induzione).

29. Campo elettrico generato da una
sfera piena uniformemente carica
La simmetria è sferica e la superficie gaussiana è una superficie sferica
concentrica di raggio r di materiale isolante.
Consideriamo 3 casi:
r
R
4 3
3
r<R: la carica contenuta dentro la sfera vale q = p r r
dove ρ è la densità della carica sulla sfera  3
4 R
3
Q
p
r =
 La carica contenuta nella sfera di raggio r è:
3
3
q r Q
R
=
 per il teorema di Gauss si ha:
3
E E r r Q
( ) 4 2
1 S
3
0
R
p
e
F = ´ =

3
E r
´ = Q
r2 R
3 0
1
4
p e

30. Campo elettrico generato da una
sfera piena uniformemente carica
r>R: la carica è la carica totale Q presente nella sfera,
quindi il modello è lo stesso della carica puntiforme,
concentrata interamente nel centro della sfera:
E E r 2
Q E Q
2
F = ´ = Þ =
( ) 4
S 4
0 0
r
p
e p e
r
R
R r
L’andamento del campo E
elettrico è, quindi, quello
riportato nella figura a
lato:

31. Il campo elettrico generato da
cariche disposte su un piano
(infinito)
La simmetria dello spazio è piana.
Scegliamo come superficie
gaussiana una superficie cilindrica
con asse perpendicolare al piano.
Il vettore E è perpendicolare al piano
di cariche di densità superficiale σ e
quindi il flusso di E attraverso ogni
piano di base del cilindro è E∙S
mentre è nullo attraverso la
superficie laterale perché E e S
sono perpendicolari.
S
S
E
E
E
S
s
F E = ES = Q = s
S Þ E = S
0 0 0 2
( ) 2
e
e
e

32. Il campo elettrico all’interno di
un condensatore piano
Un condensatore è costituito da due armature
metalliche piane e parallele.
La simmetria è piana
Prendiamo come superficie gaussiana un cilindro
con una base parallela esterna all’armatura e una
base interna.
Il flusso del campo è nullo attraverso la base
nell’armatura (E=0 in un conduttore) e attraverso la
superficie laterale (il campo elettrico è ┴ alla
superficie).
Il flusso totale è dato da quello del campo elettrico
attraverso la base posta tra le armature.
S E
E E S Q s S E s
F = ´ = = Þ =
0 0 0
( ) S
e e e

33. Alcune considerazioni…
• In un condensatore se
un’armatura è caricata
supponiamo positivamente,
per induzione l’altra armatura
si carica con cariche di segno
opposto
• Questo vale in ogni punto
interno al condensatore in cui il
vettore E sia perpendicolare
alle armature (parallele fra loro
per definizione), quindi lontano
dai bordi
• Il campo elettrico all’interno di
un condensatore è costante
• Il simbolo del condensatore è il
seguente:

34. …e una figura
Dato che vale il principio di sovrapposizione, è facile notare
come nell’area compresa tra le due lastre i vettori campo si
sommino, mentre all’esterno si annullino. (Ricordiamo che i
vettori rappresentanti un campo si disegnano entranti se le
cariche sono negative, uscenti se sono positive).

35. Il campo elettrico all’interno
di un condensatore
Se le lastre non sono
infinite, vicino ai
bordi il campo
elettrico non sarà
costante come per
lastre indefinite.
Neppure le linee di
forza saranno delle
rette parallele
perpendicolari alla
lastre.

36. Il campo elettrico generato da
cariche disposte in linea retta
La simmetria è cilindrica
S
La superficie gaussiana è un
cilindro avente come asse la linea
E
di carica.
Il campo E ha direzione
perpendicolare alla linea di
cariche
Il flusso attraverso le basi è nullo.
Il flusso totale è quello attraverso
la superficie laterale.
E
S
E E r l Q l E
F = ´ ´ = = ´ Þ =
( ) 2
S 2
0 0 0
r
p l l
e e p e

37. Un campo conservativo
• Un campo è conservativo se la forza ad essa
associata è conservativa
• Una forza si dice conservativa se il lavoro che essa
compie in un percorso chiuso è nullo  il lavoro
fatto per spostare un corpo da un punto A a un
punto B è opposto a quello fatto per tornare
indietro, indipendentemente dalla traiettoria seguita
• In un campo conservativo si può stabilire, fra due
punti qualsiasi del percorso, una variazione ΔU di
energia potenziale legata al lavoro fatto dalle forze
del campo su una carica

38. Il campo elettrico è
conservativo
• Il campo elettrico (come quello gravitazionale) è un campo
conservativo, ossia il lavoro che la forza associata al campo
esegue dipende solo dalle configurazioni iniziale e finale ma
non dal cammino percorso
• Nei tratti in cui la forza elettrica ha una componente nel
verso dello spostamento il lavoro è motore (positivo), dove la
forza ha una componente opposta allo spostamento il lavoro
è resistente (negativo): alla fine di un percorso chiuso il
bilancio deve essere nullo
• Naturalmente, oltre alla forza elettrica, possono esserci altre
forze esterne agenti sulla carica: il moto di una carica
all'interno di un campo elettrico si dice spontaneo se l'unica
forza in gioco è quella del campo.

39. L’energia potenziale elettrica
• In analogia con quanto visto per il campo gravitazionale,
anche per il campo elettrico è possibile definire l’energia
potenziale
• L’energia potenziale elettrica è definita a meno di una
costante additiva, ma si pone convenzionalmente a zero
l’energia potenziale elettrica di una carica di prova a
distanza infinita dalla carica che genera il campo
• Essa esprime il lavoro che la forza del campo compie
spostando dal punto iniziale all’infinito la carica di prova
• Nel caso dell’energia potenziale nel campo di una carica
puntiforme, il campo E ha direzione radiale  qualunque
spostamento della carica di prova lungo una superficie
sferica di centro Q comporta lavoro nullo

40. Energia potenziale e lavoro
Definiamo il lavoro fatto per portare q da A a B:
Q
rA
æ ö
1 1 1
= ç - ¸
0
Se poniamo B ad ∞ si ha:
rB ( )
U r qQ
0
1
4
p e r
=
AB 4
A B
W qQ
p e r r
è ø
In analogia con quanto fatto per l’energia potenziale
gravitazionale, possiamo definire: WAB=UA−UB=−ΔU

41. Generalizzazione della
definizione
• Se sono presenti più di 2 cariche puntiformi,
l’energia potenziale del sistema è data dalla somma
delle energie potenziali che si ottengono scegliendo
le cariche a due a due in tutti i modi possibili.
• In formule: Utot=U12+U13+U14+U23+U24+U34
U12
U24
Q2
U13
U14
U34
Q1 U23
Q3
Q4
• L’energia potenziale
elettrica è uguale al lavoro
fatto per portare le cariche
dall’infinito alla posizione
finale

42. L’energia potenziale in un
campo elettrico uniforme
• In un condensatore piano il campo elettrico è uniforme
• Se x è la distanza di una carica di prova positiva q
dall’armatura negativa e ponendo come punto in cui l’energia
potenziale è 0 proprio l’armatura caricata negativamente,
abbiamo: U(x)=qEx
+ + + + + + + + + + + + + + + + + + +
x
q
− − − − − − − − − − − − − − − − − − −
U=0
• Quando q si sposta verso
l’armatura negativa,
l’energia potenziale
elettrica di q diminuisce ed
il campo compie lavoro
positivo sulla carica
• Viceversa, per spostare q verso l’armatura negativa si deve
compiere un lavoro per contrastare la forza del campo e
l’energia potenziale elettrica di q aumenta

43. Il potenziale elettrico
• Il potenziale elettrico V valutato in un punto del campo
rappresenta il lavoro che le forze del campo idealmente
spenderebbero per portare una carica unitaria da una
regione infinitamente lontana fino a quel punto
• Per il campo elettrostatico generato da una carica
puntiforme, il potenziale è
A U Q q V r
= = 1
0
( ) 1
q 4
p e
1
4
=
r q 0
Q
p e r
• La sua dipendenza dalla distanza dalla sorgente del
campo Q dice che il potenziale è massimo (al limite,
infinito) vicino alla carica sorgente, e si riduce via via al
crescere della distanza da essa.

44. La differenza di potenziale
Definiamo differenza di potenziale fra A e B in un
campo elettrico il rapporto fra il lavoro compiuto
dalla forza del campo su una carica di prova q
quando essa si sposta da A a B e la carica stessa:
V - V = U - U =
W
A B
A B
q q
La d.d.p. si misura in volt [V]=[J]/[C]=[l2][m][t−2][q−1]

45. Ancora una conseguenza del
teorema di Gauss…
Tutti i punti del conduttore si trovano allo stesso potenziale:
la sua superficie è quindi equipotenziale.
Poiché all’interno E=0, anche il lavoro tra
A e B varrà 0.

Ricordiamo che sulla superficie
E
è sempre perpendicolare alla stessa.
WAB = 0 Þ q ´(VA - VB ) = 0 Þ VA = VB
Quindi tutti i punti della superficie sono allo stesso potenziale,
ossia la superficie della sfera è una superficie equipotenziale.

46. Superfici equipotenziali
• Si chiama superficie equipotenziale il luogo dei
punti dello spazio in cui il potenziale elettrico
assume uno stesso valore
• La superficie equipotenziale è perpendicolare in
ogni punto alla linea di forza del campo che
passa per quel punto
Superfici
equipotenziali

47. Le linee di forza sono ┴ alle
superfici equipotenziali
• Sia E un campo elettrico uniforme AB un segmento ┴ alle
linee di campo
• Sia Δs il vettore spostamento da A a B
• ΔV=V(B)−V(A)=−LAB/q=−F∙Δs∙cosα
• Poiché la forza è // alle linee di campo, è ┴ al vettore
spostamento  LAB=0  ΔV=0  A e B hanno lo stesso
potenziale come tutti i 
F
punti del piano ┴ alle
A
linee di campo a cui essi
appartengono  il piano
B
così individuato è una
superficie equipotenziale

48. Differenza di potenziale in un
condensatore piano
Il lavoro W fatto dalla forza del campo sulla carica di
prova q per trasportarla dall’armatura positiva a quella
negativa è W=qEd dove d è la distanza fra le
armature.
Ricordando che ΔV=W/q  W=qΔV  VA−VB=Ed
 in un condensatore E = VA -
VB
d

49. La circuitazione
Si definisce circuitazione del campo elettrico il
lavoro che le forze del campo elettrico devono
compiere per trasportare la carica unitaria q lungo
un cammino chiuso γ.
(  n
 
In formule: G E )
= å E ´D s
1
i i
i
=
Poiché il campo elettrico è conservativo sappiamo
che il lavoro lungo un cammino chiuso è nullo.
Abbiamo allora: ( )
å n   å n
  

W F s qE s qC E
= ´D = ´D = =
i i i i
i = 1 i
=
1
Þ G =
( )
0
0
E

50. Circuitazione e campi
conservativi
Vale la seguente affermazione:
Un campo vettoriale è conservativo
se e solo se la sua circuitazione
lungo una qualunque linea chiusa è
nulla.