O documento discute trigonometria no triângulo retângulo, definindo seno, cosseno e tangente em termos das razões entre os catetos e a hipotenusa. Ele também apresenta exemplos numéricos ilustrando o uso destas definições para calcular medidas desconhecidas em problemas envolvendo triângulos retângulos.

1. Matemática - TrigonometriaMatemática - Trigonometria
Trigonometria no Triângulo Retângulo.Trigonometria no Triângulo Retângulo.

2. Trigonometria no Triângulo RetânguloTrigonometria no Triângulo Retângulo
Um triângulo é chamado retângulo quando apresenta um de seus ângulos internos igual à 90º. O
lado que está oposto ao ângulo reto é o maior lado e é chamado de hipotenusa, enquanto os
outros dois são chamados de catetos.
Razões trigonométricas no triângulo retânguloRazões trigonométricas no triângulo retângulo
SenoSeno
O seno de um ângulo é a razão entre o cateto oposto aoO seno de um ângulo é a razão entre o cateto oposto ao
ângulo e a hipotenusa.ângulo e a hipotenusa.
a
b
sen ==
hipotenusa
ânguloaoopostocateto α
α
a
c
sen ==
hipotenusa
ânguloaoopostocateto β
β
a
b
sen ==
hipotenusa
ânguloaoopostocateto α
α
a
c
sen ==
hipotenusa
ânguloaoopostocateto β
β

3. Trigonometria no Triângulo RetânguloTrigonometria no Triângulo Retângulo
CossenoCosseno
O cosseno de um ângulo é a razão entre o catetoO cosseno de um ângulo é a razão entre o cateto
adjacente ao ângulo e a hipotenusa.adjacente ao ângulo e a hipotenusa.
a
c
==
hipotenusa
ânguloaoadjacentecateto
cos
α
α
a
b
==
hipotenusa
ânguloaoadjacentecateto
cos
β
β
a
c
==
hipotenusa
ânguloaoadjacentecateto
cos
α
α
a
b
==
hipotenusa
ânguloaoadjacentecateto
cos
β
β
Razões trigonométricas no triângulo retânguloRazões trigonométricas no triângulo retângulo

4. Trigonometria no Triângulo RetânguloTrigonometria no Triângulo Retângulo
Razões trigonométricas no triângulo retânguloRazões trigonométricas no triângulo retângulo
TangenteTangente
A tangente de um ângulo é a razão entre o cateto opostoA tangente de um ângulo é a razão entre o cateto oposto
ao ângulo e o cateto adjacente a este mesmo ângulo.ao ângulo e o cateto adjacente a este mesmo ângulo.
c
b
tg ==
α
α
α
ânguloaoadjacentecateto
ânguloaoopostocateto
b
c
djacente
tg ==
β
β
β
ânguloaoacateto
ânguloaoopostocateto
c
b
tg ==
α
α
α
ânguloaoadjacentecateto
ânguloaoopostocateto
b
c
djacente
tg ==
β
β
β
ânguloaoacateto
ânguloaoopostocateto

5. Trigonometria no Triângulo RetânguloTrigonometria no Triângulo Retângulo
Valores Notáveis
Tabela dos valores trigonométricos de ângulos notáveis.
x 30º 45º 60º
sen x
cos x
tg x
2
1
2
2
2
3
2
3
2
2
2
1
3
3
1 3

6. Trigonometria no Triângulo RetânguloTrigonometria no Triângulo Retângulo
Exemplo 01: Queremos encostar uma escada de 8 m de comprimento em uma parede, de
modo que ela forme um ângulo de 60º com o solo. A que distância da parede devemos apoiar a
escada no solo?
Resolução: Na figura abaixo esquematizamos a situação descrita no problema.
Podemos perceber um triângulo retângulo de hipotenusa igual a
8 cm, um ângulo de 60º e o lado x que queremos calcular. Como
o lado x representa o cateto adjacente ao ângulo de 60º, então:
4
82
82
1
8
º60cos
=
=
=
=
x
x
x
x
Logo, o ponto de apoio da escada no solo deve ficar a 4 metros da parede.

7. Trigonometria no Triângulo RetânguloTrigonometria no Triângulo Retângulo
Exemplo 12: Um agrimensor quer determinar a largura de um rio. Como não pode efetuar
diretamente essa medida, ele procede da seguinte forma:
• Do ponto A, situado numa das margens do rio, ele avista o topo D, de um morro na margem
oposta, sob um ângulo de 60º com a horizontal;
• Afastando-se 12 m, em linha reta, até o ponto B, ele observa novamente o topo do morro segundo
um ângulo de 53º com a horizontal.
Com esses dados, que medida, em metros, ele achou para a largura do rio?
Resolução: Na figura abaixo esquematizamos a situação descrita
no problema.
x = largura do rio;
y = altura do morro.
Para resolver este problema, utilizaremos
dois triângulos, o ∆ACD e o ∆BCD.

8. Trigonometria no Triângulo RetânguloTrigonometria no Triângulo Retângulo
( )173,1
73,1
73,1
3
º60
xy
yx
x
y
x
y
x
y
tg
=
=
=
=
=
( )
( )296,1533,1
96,1533,1
1233,1
12
33,1
º53
+=
=+
=+⋅
+
=
=
xy
yx
yx
x
y
x
y
tg
9,39
4,0
96,15
96,154,0
96,1533,173,1
=
=
=
+=
x
x
x
xx
No ∆ACD, podemos estabelecer a relação: No ∆BCD, podemos estabelecer a relação:
Substituindo o resultado de (1) em (2), temos:
Portanto, a largura do rio é de 39,9 m.

9. Trigonometria no Triângulo RetânguloTrigonometria no Triângulo Retângulo
Seja o triângulo retângulo ABC, sabemos pelo Teorema de Pitágoras que:
Relação Fundamental I
222
acb =+
1cos
1
1
22
22
2
2
2
2
2
2
2
22
=+
=





+





=+
=
+
xxsen
a
c
a
b
a
c
a
b
a
a
a
cb
b
A B
C
x
a
c

10. Trigonometria no Triângulo RetânguloTrigonometria no Triângulo Retângulo
Seja o triângulo retângulo ABC, temos:
Relação Fundamental II
c
b
xtg =
x
xsen
a
c
a
b
xtg
cos
==
b
A B
C
x
a
c

11. Trigonometria no Triângulo RetânguloTrigonometria no Triângulo Retângulo
Seja o triângulo retângulo ABC, temos:
Ângulos Complementares
βα
β
α
cos
cos
=⇒






=
=
sen
a
b
a
b
sen
αβ
βα
−=
=+
º90
º90
b
A B
C
α
a
c
β
Assim, ( ) ( )αααα −=−= º90cosº90cos senousen
Podemos perceber, também, que:
( )αβ
α
β
α
−
==⇒






=
=
º90
11
tgtg
tg
b
c
tg
c
b
tg
ou ( ) 1º90 =−⋅ αα tgtg