Prueba libre de Geografía para obtención título Bachillerato - 2024
Muros de Contencion y Muros de Sotano - calavera 1989
1. J. Calavera
Dr. Ingeniero de Caminos
MUROS DE CONTENCION
Y
MUROS DE SOTANO
2.a edición
2. A Eduardo Torroja (t), Juan Batanero (t),
Carlos Fernández Casado (t), Alfredo Páez
y Florencio del Pozo, a los que debo mi vo-
cación y mi primera formación en los temas
estructurales.
3. PROLOGO A LA l? EDICION
Los muros, como algunas otras estructuras tales como las cimentaciones y los
depósitos para líquidos, presentan la particularidad de que son elementos que impli-
can dos especialidades diferentes de la Ciencia de la Construcción. Quizá por eso la
normalización sobre ellos es escasa y la dispersión de los criterios aplicados en la
práctica profesional resulta mayor de la habitual. Por otro lado los muros, como los
depósitos para líquidos, presentan aspectos muy particulares desde el punto de vista
de la consideración de la seguridad en los cálculos.
El presente libro intenta desarrollar en forma completa el proyecto tanto de los
diversos tipos de muros de contención como de los muros de sótano. En el caso parti-
cular de los muros pantalla, por la extensión del tema resulta imposible hacerlo en
el espacio disponible. De todas formas el Capítulo ll proporciona una visión general
de su campo de aplicación, métodos de cálculo y proceso constructivo.
Estando la geotecnia fuera del campo de mi práctica profesional, me he concen-
trado fundamentalmente en los problemas del cálculo estructural, aunque he dedica-
do el Capítulo 3 a realizar un resumen de los métodos habituales de cálculo de empu-
jes, con una atención específica a la exposición de los casos de sobrecargas y cargas
sobre el relleno que con más frecuencia se presentan en la práctica, así como a las
acciones del oleaje y a las derivadas del sismo.
El Capítulo 13 se ha dedicado al tema de los detalles constructivos, siempre im-
portante, pero que en los muros resulta verdaderamente fundamental.
Se han incluido como Anejos siete colecciones de muros ménsula hasta 10 m.
de altura y de muros para uno y dos sótanos, que proporcionan soluciones comple-
tas, incluso medición de hormigón y armaduras, para los casos más frecuentes.
Debo expresar mi agradecimiento a los Ingenieros de Caminos, D. Enrique
González Valle, Subdirector General de INTEMAC, y D. José Tapia Menéndez, Jefe
del Departamento de Geotecnia y Cimentaciones de dicho Instituto, por sus críticas
y sugerencias sobre el manuscrito y al Ingeniero Técnico de 0. P. D. Fernando Blan-
co García, Director de la División de Asistencia Ténica de INTEMAC por su colabo-
ración en la redacción de las Tablas de Muros. También al Ingeniero de Caminos
D. Javier Rodríguez Besné, Jefe del Servicio de Proyectos y Obras de la Dirección
General de Puertos del M.O.P.U., por su información y revisión de la parte de empu-
jes producidos por el oleaje, y a los Ingenieros de Caminos D. Jorge Ley Urzaiz y
7
4. i
D. Fernando Rodríguez López, colaboradores en mi Cátedra de Edificación y Prefa-
bricación de la Escuela de Ingenieros de Caminos de Madrid, por su revisión general
/ del texto.
Gracias también a las Srtas. María José Giménez y Carmen Bardon, que meca-
l nografiaron el original, a D. Antonio Machado y D. Fernando Marcos, que delinea-
ron las figuras, gráficos y tablas, así como a INTEMAC por su ayuda en la edición
de este libro.
~ Madrid, enero de 1987
J. CALAVERA
5. PROLOGO A LA 2.a EDICION
Agotada en un plazo muy breve la primera edición de este libro, al preparar esta
segunda, he mantenido su plantearnieto general, si bien introduciendo algunas modifi-
caciones y ampliaciones.
En particular, toda la documentación, incluso los gráficos y tablas de cálculo y
las siete colecciones de muros ya calculados, ha sido revisada de acuerdo con la Ins-
trucción EH-88.
En el apartado 6.3.2, correspondiente al dimensionamiento de la puntera, he tra-
tado el tema de la diferencia entre mayorar los esfuerzos o los empujes, tema impor-
tante que he tratado con más amplitud en otro trabajo que allí cito.
El el Capítulo ll se han añadido dos ejemplos, que clarifican el cálculo de esfuer-
zos en pantallas en voladizo y con apoyos, respectivamente.
También el Capítulo 12 ha experimentado algunas adiciones correspondientes a
nuevas soluciones de muros prefabricados.
Madrid, diciembre de 1989
J. C A L A V E R A
9
6. NOTACIONES DE REFERENCIAS
1. Las referencias a otros apartados del libro se realizan por su número.
P. ej.: «Véase 10.7...»
2. La notación entre corchetes indica fórmulas.
[los]
3. La notación entre paréntesis indica referencias bibliográficas.
(10.2)
es la segunda referencia bibliográfica del Capítulo 10.
Las referencias bibliográficas de cada Capítulo figuran al lina1 del mismo.
4. La notación GT- indica gráficos o tablas situados al final del libro.
10
7. CAPITULO 1
TIPOLOGIA GENERAL DE MUROS
1.1 INTRODUCCION
El carácter fundamental de los muros es el de servir de elemento de contención
de un terreno, que en unas ocasiones es un terreno natural y en otras un relleno artifi-
cial. (Fig. l-la).
En la situación anterior, el cuerpo del muro trabaja esencialmente a flexión y
la comprensión vertical debida a su peso propio es generalmente despreciable.
b)
Figura IrI
ll
8. Sin embargo, en ocasiones el muro desempeña una segunda misión que es la de
transmitir cargas verticales al terreno, en una función de cimiento. La carga vertical
puede venir de una cubierta situada sensiblemente a nivel del terreno (Fig. 1-lb), o
puede ser producida también por uno o varios forjados apoyados sobre el muro y
por pilares que apoyen en su coronación transmitiéndole las cargas de las plantas
superiores. (Fig. 1 - 1 c).
Las formas de funcionamiento del muro de contención (Fig. 1 - 1 a), y del de sóta-
no (Fig. 1-lb y c), son considerablemente diferentes. En el primer caso el muro se
comporta como en voladizo empotrado en el cimiento, mientras que en el segundo
el muro se apoya o ancla en él o los forjados, mientras que a nivel de cimentación
el rozamiento entre cimiento y suelo hace innecesaria casi siempre la disposición de
ningún otro apoyo. El cuerpo del muro funciona en este segundo caso como una losa
de uno o varios vanos.
1.2 DESIGNACIONES
Tomando el caso más común de muro, emplearemos las designaciones que se
indican en la Fig. l-2 (*).
TALON
PUNTERA
Figura l-2
1.3 TIPOS GENERALES DE MUROS DE CONTENCION
A continuación se describen en líneas generales los más frecuentes. En capítulos
sucesivos se analiza en detalle cada uno de ellos (**).
(*) En lo que sigue utilizo información de mi libro «Proyecto y Cálculo de Estructuras de Hormigón
Armado para Edificios» (1.1).
(**) No se incluyen en lo que sigue los muros anclados con tirantes, que constituyen una técnica específi-
ca que se sale del alcance de este libro.
12
9. 1.3.1 MUROS DE GRAVEDAD
Son muros de hormigón en masa (Fig. l-3) en los que la resistencia se consigue
por su propio peso. Normalmente carecen de cimiento diferenciado (Fig. l-3a),
aunque pueden tenerlo. (Fig. l-3b).
aI b)
Figura 1-3
Su ventaja fundamental es que no van armados, con lo cual no aparece en la
obra el tajo de ferralla. Pueden ser interesantes para alturas moderadas y aun eso,
sólo si su longitud no es muy grande, pues en caso contrario, y en definitiva siempre
que el volumen de muro sea importante, la economía que representan los muros de
hormigón armado justifica la aparición del tajo de ferralla.
1.3.2 MUROS MENSULA
Son los de empleo más corriente (Fig. l-4) y aunque su campo de aplicación de-
pende, lógicamente, de los costes relativos de excavación, hormigón, acero, encofra-
dos y relleno,
Figura 1-4
13
10. puede en primera aproximación pensarse que constituyen la solución económica has-
ta alturas de 10 ó 12 m.
1.3.3 MUROS DE CONTRAFUERTES
Constituyen una solución evolucionada de la anterior, en la que al crecer la altu-
ra y por lo tanto los espesores de hormigón, compensa el aligerar las piezas. Esto
conduce a ferralla y encofrados más complicados y a un hormigonado más dificil y
por lo tanto más costoso, al manejarse espesores más reducidos. Sin embargo, a par-
tir de los 10 ó 12 m. de altura es una solución que debe tantearse para juzgar su inte-
rés. Pueden tener los contrafuertes en trasdós (Fig. l-5a) o en intradós (Fig. l-Sb),
aunque la primera solución es técnica y económicamente mejor, por disponer el alza-
do en la zona comprimida de la sección en T que se forma. La segunda solución,
al dejar los contrafuertes vistos produce además, generalmente, una mala sensación
estética.
al b)
Figuru I-5
1.3.4 MUROS DE BANDEJAS
Su concepto es muy diferente del que origina el muro de contrafuertes. Aquí no
se trata de resistir el mismo momento flector, aumentando el canto y aligerando la
sección, sino de reducir los momentos flectores debidos al relleno mediante los produ-
cidos por la carga del propio relleno sobre las bandejas. (Fig. l-6).
Su inconveniente fundamental radica en la complejidad de su construcción. Pue-
de resultar una alternativa al muro de contrafuertes para grandes alturas.
1.3.5 MUROS CRIBAS Y OTROS MUROS PREFABRICADOS
El concepto de muro criba de piezas prefabricadas tiene su origen en muros análo-
gos realizados antiguamente con troncos de árboles (Fig. l-7a). El sistema (Fig. l-7b)
emplea piezas prefabricadas de hormigón de muy diversos tipos que forman una red
espacial que se rellena con el propio suelo.
14
11. a) b)
Figura l-b
Figura l-7
Existen además varios sistemas de muros prefabricados que ne general correspon-
den a los sistemas de muros ménsula o muros de contrafuertes, y que se analizan en
el Capítulo 12.
1.4 TIPOS GENERALES DE MUROS DE SOTANO Y CONTENCION
El tipo más elemental se indica en la Fig. 1-8 y recibe como única carga vertical,
aparte su peso propio, la reacción de apoyo del forjado de techo.
15
12. Figura l-8
Dentro de la tipología general, el caso más frecuente es que sobre el muro apo-
yen pilares que transmiten cargas de las plantas superiores y que existan además va-
rios sótanos, tal como se indica en la Fig. l-9.
Figura l-9
Dependiendo de que el terreno contenido sea o no de propiedad ajena y de la
relación entre empujes y cargas verticales, el cimiento va o no centrado respecto al
muro.
La ejecución de este tipo de muros puede ser con encofrados (Capítulo 10) o rne-
diante el pr.ocedimiento de muros pantalla (Capítulo ll).
BIBLIOGRAFIA
(1.1) CALAVERA. J.; «Proyecto y Cálculo de Estructuras de Hormigón Armado para Edifi-
cios)). Tomo II. INTEMAC. Madrid, 1985.
16
13. CAPITULO 2
INTRODUCCION DE LA SEGURIDAD
2.1 FORMAS DE AGOTAMIENTO
En general el muro puede alcanzar los siguientes estados límites, de servicio o
últimos.
a) Giro excesivo del muro considerado como un cuerpo rígido (Fig. 2-l).
b) Deslizamiento del muro. (Fig. 2-2).
Figura 2-l Figura 2-2
17
14. c) Deslizamiento profundo de muro (Fig. 2-3). Es debido a la formación de una
superficie de deslizamiento profunda, de forma aproximadamente circular.
Este tipo de fallo puede presentarse si existe una capa de suelo blando en una
profundidad igual a aproximadamente a vez y media la altura del muro, conta-
da desde el plano de cimentación de la zapata (2.1). En ese caso debe inves-
tigarse la seguridad frente a este estado límite, por los procedimientos clásicos.
Véase por ejemplo la referencia (2.2).
Figura 2-3
d) Deformación excesiva del alzado. (Fig. 2-4). Es una situación rara salvo en
muros muy esbeltos, lo cual es un caso poco frecuente.
Figura 2-4
e) Fisuración excesiva. (Fig. 2-5). Puede presentarse en todas las zonas de trac-
ción, y se trata de una fisuración especialmente grave si su ancho es excesivo,
ya que en general el terreno está en estado húmedo y la fisuración no es ob-
servable.
18
15. Figura 2-5
f) Rotura porflexión. (Figs. 2-6 a, b y c). Puede producirse en el alzado, la pun-
tera o el talón. Como las cuantías en muros suelen ser bajas, los síntomas
de prerrotura sólo son observables en la cara de tracción, que en todos los
casos esta oculta, con 10 cual no existe ningún síntoma de aviso.
3
a) b)
Figura 2-6
g) Rotura por esfuerzo cortante. Puede presentarse en alzado. puntera, talón 0
tacón (Fig. 2-7).
Figura 2-7
19
16. h) Rotura por esfuerzo rasante. La sección peligrosa suele ser la de arranque del
alzado, AB (Fig. 2-X), que es una junta de hormigonado obligada, en zona
de máximo momento flector y máximo esfuerzo cortante.
Figura 2-8
i ) Rotura por &allo de solape. La sección peligrosa suele ser la de arranque de
la armadura de tracción del alzado, donde la longitud f, de solape (Fig. 2-9)
debe ser cuidadosamente estudiada, ya que por razones constructivas el sola-
pe se hace para la totalidad de la armadura en la zona de máximos esfuerzos
de flexión y corte.
Figura 2-9
2.2 INTRODUCCION DE LA SEGURIDAD
En algunos aspectos, en general los correspondientes al muro como estructura
de hormigón, los coeficientes de seguridad están claramente establecidos, de acuerdo
con la Instrucción EH-88 (2.3).
En otros aspectos, tales como la seguridad al vuelco y a deslizamiento, no hay
normativa española concreta.
20
17. 2.2.1. SEGURIDAD DEL MURO COMO ESTRUCTURA DE HORMIGON
EN MASA
De acuerdo con la Instrucción EH-88 rigen los valores siguientes para los coeli-
tientes de seguridad.
Control reducido ~~1 = 2,04
Resistencia del hormigón a compresión Restantes casos y; = 1,8
Control reducido ri = 2,04
Resistencia del hormigón a tracción Restantes casos y(: = 1,8
El valor Y’~ correspondiente a hormigón armado es igual a 1,2 yc, de acuerdo con
EH-88 siendo yc el valor general de la citada Instrucción para estructuras de hormi-
gón armado.
Mayoración de acciones. Rigen los valores de la tabla T-2.1 para el coeficiente y,.
TABLA T-2.1
VALORES DEL COEFICIENTE y,
I I I
Acción favorable
Nivel de Daños Acción de carácter
Control de previsibles desfa-
Ejecución (1) vorable Permanente Variable
A 1,70
Reducido B 180
C
A 1,50
Acciones yr
Normal B 1,60 079 0
C 1,80
A 1,40
Intenso B 1,50
C 1,70
(1) Daños previsibles:
A) Muros cuyo fallo sólo puede ocasionar daños minimos y exclusivamente materiales.
B) Muros cuyo fallo puede ocasionar daños de tipo medio.
C) Muros cuyo fallo puede ocasionar daños muy importantes.
21
18. TABLA T-2.2
COEFICIENTES DE SEGURIDAD ‘//
Valor del coeficiente de seguridad
&iones (3) ‘yr
Normal
Intenso
(1) No se adoptará en el cálculo una resistencia de proyecto mayor de 150 kp/cm2.
(2) Hormigón para elementos prefabricados en instalación industrial permanente con control in-
tenso.
(3) Se podrá reducir el valor y,en un 5 por 100 cuando la hipótesis y el cálculo sean muy rigurosos,
se consideren todas las combinaciones de acciones posibles y se estudien con el mayor detalle
los anclajes, nudos, apoyos, enlaces, etc.
(4) Daños previsibles:
A) Muros cuyo fallo sólo puede ocasionar daños mínimos y exclusivamente materiales.
B) Muros cuyo fallo puede ocasionar daños de tipo medio.
C) Muros cuyo fallo puede ocasionar daños muy importantes.
22
19. Conviene hacer algunas matizaciones en relación con la aplicación de la tabla
T-2.1, establecida en EH-88 con carácter general, al caso de los muros de hormigón
en masa.
En primer lugar, como ya se ha dicho, esta solución, por razones fundamental-
mente económicas, sólo suele aplicarse a muros de pequeña altura, por lo que en ge-
neral y desde el punto de vista de los daños previsibles, se estará en caso A o B y
muy raramente en el caso C, aunque ello queda a criterio del proyectista.
En segundo lugar, al comprobar las tensiones de tracción, el peso propio será
en general una acción permanente de carácter favorable, por lo que le corresponderá
el valor ‘I’/ = 0,9. (*)
Para comprobación a sismo, de acuerdo con P.D.S.-1 (1974) (2.4) se toma-
rá y/ = 1.
2.2.2 SEGURIDAD DEL MURO COMO ESTRUCTURA DE HORMIGON
ARMADO
Rigen los valores indicados en la tabla T-2.2.
Rige, respecto al carácter favorable de la carga permanente, lo dicho en el apar-
tado anterior y tampoco en este caso emplearemos el coeficiente 0,9.
Para comprobación a sismo, de acuerdo con P.D.S.-1 (1974) (2.4) se tomará
?r)r= 1.
2.2.3 SEGURIDAD A VUELCO
No existe una normativa española concreta. Es práctica usual aceptar una segu-
ridad de 1,8 para las acciones frecuentes y reducir este valor a 15 para combinaciones
que incluyan acciones infrecuentes 0 excepcionales.
En el caso particular de comprobación a sismo, el valor suele reducirse a 1,2.
2.2.4 SEGURIDAD A DESLIZAMIENTO
Tampoco existe normativa española concreta, aunque suele adoptarse un valor
mínimo de 15, excepto para las comprobaciones a sismo, en que dicho valor suele
reducirse a 1.2.
2.2.5 SENSIBILIDAD AL INCREMENTO DE EMPUJE
En el Capítulo 3 se resume el cálculo de empuje producido por el terreno, sus
variaciones de humedad y los distintos tipos de sobrecargas de posible actuación y
quedará claro su carácter fuertemente aleatorio.
(*) En sentido estricto, esto debería hacerse asi. Como los errores en densidad y dimensionales son pe-
queños en el caso de los muros, no lo haremos pues complicaría innecesariamente el cálculo.
23
20. Consideremos el muro de la figura 2-10 sometido a un empuje E, siendo N la re-
ultante de todas las cargas verticales.
Figura 2-10
Su seguridad a vuelco será
a-N
G’ = h,E P.11
Si por causas cualesquiera el empuje se incrementa hasta un valor E * = yt,. E,
el nuevo valor del coeficiente de seguridad a vuelco será
es decir
WI
Análogamente la seguridad a deslizamiento será
v.31
siendo p el coeficiente de rozamiento entre muro y terreno de cimentación y al incre-
mentarse Ea Er = y,E, resultará
c*,.d =LN ~2.41
YJ
es decir
12.51
24
21. En ambos casos por tanto los coeficientes de seguridad se han reducido en la
misma proporción que han aumentado los empujes.
Si consideramos en cambio la presión máxima bajo la puntera, al mayorarse E
hasta E* = yp E la presión resultante c* no es, ni mucho menos, y~. sino que puede
exceder grandemente este valor.
Resulta de ello que, dependiendo de la configuración del conjunto muro-suelo,
a incrementos dados, incluso moderados del empuje, pueden corresponderles muy
desiguales incrementos de la presión bajo la puntera y por tanto muy diferentes segu-
ridades del muro.
Esta sensibilidad al incremento de empuje es, a nuestro juicio, esencial en el pro-
yecto de muros, y será estudiada en detalle en los Capítulos siguientes. Véase (2.5).
BIBLIOGRAFIA
(2.1) TENG, W. C.; «Foundation Design». Prentice-Hall. New Jersey. 1962.
(2.2) JIMENEZ SALAS, J. A. et al. «Geotecnia y Cimiento». Editorial Rueda. Madrid.
1980.
(2.3) xlnstrucción para el proyecto y la ejecución de obras de hormigón en masa o armado))
(EH-88). MOPU. Madrid. 1988.
(2.4) P.D.S.-1 (1974). Parte A. Normativa. Separatas del Boletín Oficial del Estado. Madrid.
1974.
(2.5) CALAVERA, J.; CABRERA, A.; <<Un método para el proyecto de muros de contención)).
Informes de la Construcción. NP 210. Mayo, 1969.
25
22. CAPITULO 3
EMPUJES DEL TERRENO SOBRE LOS MUROS,
CARGAS Y SOBRECARGAS ACTUANTES
SOBRE EL TERRENO
3.1 CONCEPTOS GENERALES
La presión del terreno sobre un muro está fuertemente condicionada por la de-
formabilidad del muro, entendiendo por tal no sólo la deformación que el muro expe-
rimenta como pieza de hormigón, sino también la que en el muro produce la defor-
mación del terreno de cimentación.
Si el muro y el terreno sobre el que se cimenta son tales que las deformaciones
son prácticamente nulas, se está en el caso de empuje al reposo. Algunos muros de
gravedad y de sótano pueden encontrarse en ese caso.
Si el muro se desplaza, permitiendo la expansión lateral del suelo se produce un
fallo por corte del suelo y la cuña de rotura avanza hacia el muro y desciende (tig. 3-
la). El empuje se reduce desde el valor del empuje al reposo hasta el denominado
valor de empuje activo, que es el mínimo valor posible del empuje.
Por el contrario, si se aplican fuerzas al muro de forma que éste empuje al relle-
no, el fallo se produce mediante una cuña mucho más amplia, que experimenta un
ascenso. Este valor recibe el nombre de empuje pasivo y es el mayor valor que puede
alcanzar el empuje. El empuje al reposo es por tanto de valor intermedio entre el em-
puje activo y el empuje pasivo.
La figura 3-2 muestra la variación de presión p a una profundidad z, para un
relleno de densidad y, en función del giro y/H del muro, para una arena suelta, según
TERZAGHI (3.1). Como puede verse, bastan deformaciones muy pequeñas para
movilizar el empuje activo.
27
23. al b)
Figura 3-1
-0 002 0 0.002 0.004 0.c 06
R E L A C I O N VH
Figura 3-2
Como se ha indicado anteriormente, al producirse el fallo del terreno se produce
un corrimiento vertical relativo entre terreno y muro,‘que moviliza la fuerza de roza-
miento entre ambos.
Si no hay información procedente de ensayos directos, para terrenos granulares
puede aceptarse que el ángulo 6 de rozamiento con muros de hormigón es 6 = 20”.
Este valor no se ve afectado por el grado de humedad del suelo. (3.2).
Para terrenos cohesivos puede suponerse que la resistencia a corte a lo largo del
trasdós del muro (3.3), viene dada por la expresión
z=a+atgd f3.11
28
24. donde a es el valor de la adhesión, 0 la presión normal del terreno sobre el muro
en el punto considerado y 6 el ángulo de rozamiento entre terreno y muro, que de
nuevo a falta de ensayos directos se tomará como 20” para el caso de muros de hormi-
gón. Para la adhesión no deben considerarse valores superiores a 5 t/m*.
3.2 CALCULO DEL EMPUJE ACTIVO
En el estado actual de conocimiento podemos calcular los empujes del terreno
con razonable precisión en el caso de suelos granulares. Para otros tipos de suelo des-
graciadamente la precisión es poco satisfactoria.
3.2.1 TEORIA DE COULOMB PARA SUELOS GRANULARES
Este caso, el más frecuente en muros, especialmente si se quiere drenar el suelo
del trasdós por razones económicas y/o estéticas, fue resuelto por COULOMB en
1773. (3.4).
-,...ax.
I l l
! 1
!
El I !H IF
Figura 3-3
Para un terreno de forma cualquiera (fig. 3-3) la mejor solución es el procedi-
miento gráfico. Suponiendo una línea de rotura recta, habrán de estar en equilibrio
el peso p, de la cuña de suelo comprendida entre el muro y la línea de rotura, la reac-
ción E, del muro contra el suelo, igual y contraria al empuje activo sobre el muro,
y la reacción F del terreno sobre la cuña, que formará con la normal a la línea de
rotura un ángulo igual al de rozamiento interno del terreno, cp. Los valores de cp,
a falta de ensayos directos, pueden tomarse de la tabla T-3.1 que contiene también
valores orientativos de las densidades secas de los distintos terrenos.
29
25. TABLA T-3.1
DENSIDAD ANGULO DE ROZAMIENTO
CLASE DE TERRENO SECA y INTERNO
(t/m’l cp
Grava arenosa 24 39-45”
Arena compacta 270 3945”
Arena suelta 197 30”-35”
Pedraplen 13 350-45”
El método consiste en proceder por tanteos sucesivos. Elegido un punto 1 como
posible origen de una cuña de deslizamiento, se calcula el peso P, de la cuña, y en
el polígono vectorial de la figura se trazan los vectores Ea y F correspondientes, am-
bos de direcciones conocidas. El valor de E,, se lleva a partir de un origen EF conven-
cional. El cálculo se repite para varios puntos 1, 2, 3 . . . . Tres tanteos suelen ser smi-
tientes para determinar el punto G correspondiente a la cuña de empuje máximo, que
es el empuje activo. Con ello se tiene el punto C y la posición NC de la superficie
de rotura de la cuña correspondiente.
La posición de la resultante de las presiones sobre el muro, es decir el empuje
activo, puede obtenerse con suficiente aproximación trazando por el c.d.g. de la cuña
MNC la parela a NC hasta cortar al trasdós del muro.
Este empuje, conocido en posición y magnitud, permite, como veremos, compro-
bar la estabilidad a vuelco y deslizamiento del muro y calcularlo como estructura de
hormigón.
Para el caso de relleno limitado por una línea recta (fig. 3-4) son fáciles el plan-
teamiento analítico y la tabulación de los resultados.
Los valores de las componentes ph y pv de la presión en un punto A del trasdós
situado a profundidad z bajo la coronación vienen dados por las expresiones:
Ph = y& 13.21
PI, = YZA 13.31
donde
A, = Ah ’ cotg (a - 6) L3.51
siendo y la densidad seca del suelo (*).
La presión total p, viene dada por
p=Jpí:+d
(*) La presencia de agua en el relleno será considerada más adelante, así como las correspondientes varia-
ciones en el valor dey.
30
26. y sustituyendo [3.2] y [3.3]
ci‘ ll Figura 3-4
p = yzJ$ + 1: = ylz 13.61
que forma un ángulo 6 con la normal al trasdós.
La distribución de presiones varía linealmente con la profundidad, con valor
nulo en coronación. Las tablas T-3.2 y T-3.3 tomadas de (3.5), proporcionan los coe-
ficientes A-,, y A, para diferentes valores de rp, 6, /I y a.
TABLA T-3.2
COEFICIENTES DE EMPUJE ACTIVO
-
“tz OgUlO
.“gUlC Coeliciente Ah de empuje activo horizontal Coefieien~e 1 y de empuje activo vertical
IC ua- d e roza-
del siendo la inclinación del muro: siendo la inclinación del muro:
ie oto I niento
talud cota = cota =
te1 1710 de
del
d e! I t
:mxc
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B 0.8 0,6 0.4 0.2 0 0.2 0.8 0.6 0,4 0,2 0 02
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0,7l 0,67 0,62 0,56 0,49 0,42 0,57 W 0,25 0,ll O,oO - 0,OI
0,78 0,73 0,67 O,@J 0,52 W 0,62 09 0,27 O,l2 O,M -O,o!
IPIO 0,88 0,8l 0,74 0,65 0,57 0,48 0,70 0,49 0,29 O,l3 400 -O,l(
l,Ol 0,92 0,83 0,74 O,@ 0954 0,8l 0,55 0,33 0,IS ON -0,ll
(47 1,31 l,l6 l,O2 0,88 0,76 l,l8 0,79 446 0,20 O,@J -O,l!
0,63 WI 0,56 0,5l 0,45 0,39 0364 0.46 0,28 0.16 0,05 - 0,o:
ip= 0,62 0,56 0,48 0,42 0.71 0,5l 0.31 O,l8 - 0,o:
0,70 0266 f-406
3
0,80 0,75 0,68 0,6l 03 04 0,8l 0,58 0,34 0,20 O& -0,01
0,95 0,87 0,79 0,70 0,6l 0,52 0,96 0,67 0,39 0,23 0,07 - O,@
6”40 l,47 1.21 l,l6 l,O2 0,88 0,76 (49 l,Ol 0,58 0,33 OJO - 0,ot
2 1P -
r 0,56 0354 0,52 0948 0,42 0,37 0,72 0,53 0,36 0,22 OJO 40
‘yv=
0.63 0,6l 0,57 0,52 0,46 W 0,8l WJ 0,40 0,24 0,ll 40
3
0,73 0,69 0364 0,58 0,5l 0944 0,93 0,67 0,45 0,27 O,l2 0,o:
0,88 0,82 0,75 0,67 0,59 W l,l3 0,8l 0,53 0,3l O,l4 0,o:
l3”20’
1,47 l,3l l,l6 l,O2 0,88 0,76 l,88 l,28 0,82 0,47 0,2l 0,o.
0,49 0,49 0,47 04 W 0,35 0,80 460 0,42 0,27 0,IS 40
0,56 0,55 0,53 0948 04 0,38 0,92 0,69 0,47 0,29 O,l6 401
rp= 0966 0364 0360 0,55 0,49 0,42 I,O8 0,78 03 0,33 O,l8 W
20”
0,82 0,77 0,7l 0764 0,57 09 l,35 l,Ol 0,69, 0,39 0,2l 40
1,47 l,3l l,l6 l,O2 0,88 0,76 2,42 l,62 L@l O,@ 0,32 41
31
29. TABLA T-3.3
COEFICIENTES DE EMPUJE ACTIVO (continuación)
4ngulo Coclixnte iv de empuje activo vertical
Coeficiente Ah decmpuyeactivo horizontal
le roza- siendo la inclinación del muro:
siendo la ~nclmaaón del muro:
tiento cot dl = cota =
Itemo de T- T
del
1
,
'nen 0.6 0 0.2
0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.8 0.4 0.2
'p
0" 0.45 0,38 0,32 0,24 O,l7 0,II 0,36 0,23 O,l3 0,05 0.00 - O,O?
15" 0,56 0,47 0,37 0,28 O,l9 0,12 0,45 0,28 O,l5 0,06 0.00 - 0.02
0” 30” 0,73 WJ 0,47 0,34 0,23 O,l4 0,58 0,36 0,19 0,07 OJO - 0.03
40” 0,99 0,79 0,61 0,45 0,30 O,l8 0,79 0,47 0,24 0,09 0.00 - 0,04
45” l,62 l,28 0,98 0.72 0,50 0,32 l,30 0,77 0,39 O,l4 0.00 - 0.06
0” 0,35 0,32 0,27 0,2l O,l4 OJO 0,48 0,33 0,20 OJO 404 0,Ol
9: 15 0,45 0,39 0,32 0,25 OJ8 0,ll 0,6l 04 0,24 0.12 0,05 0.01
3 30” 0,55 0,52 0,42 0,3l 0,22 O,l3 0,75 0.54 0,3l O,l5 0,06 0.01
40” 0,88 0,72 0,57 0,42 0,29 O,l7 l,20 0.74 0,43 0,2l 0,08 0.01
15” 45” l,62 1.28 0.98 0,72 0.50 0,32 2.20 1,32 0.73 0,36 O,l3 0.02
0” 0,25 0,25 0,22 0,19 O,l4 O,@ 464 O,M 0,28 O,l6 0,08 0,oi
*= 15” 0,33 0,3l 0,27 0.22 O,l6 0,lO 0,84 0,56 0,34 O,l9 0.09 0,oi
3 30” 0,48 0,43 0,36 0,28 0,20 O,l3 l,23 0,77 0,46 0,25 0,II W
40” 0,74 W 0,52 0,39 0,27 O,l7 l,89 1.15 0,66 0.34 0.16 o.ot
30” 45” 1.62 1.28 0.98 0.72 0.50 0.32 4.15 2,3l 1.25 0,63 0.29 0.11
0” 0,ll O,l6 0.17 0.16 0.13 0.09 0.97 0.63 0.40 0.24 O,l3 o.ot
15” O,l6 0,2l 0,22 0.19 0,IS 0.10 l,M 0.84 0,51 0.28 O,l5 0.0
cp= 30” 0,25 0,3l 0,30 0,25 0.18 O,l2 2325 1.24 0,70 0.37 O,l8 0.01
45”
40” 0.45 0,50 0.45 0,35 0,25 OJ6 4,05 2.00 l,O5 0.52 0,25 0.1
45” 1.62 1.28 0,98 0.72 0,50 0.32 l4,60 5.12 2,29 1.08 0.50 0.2
Los componentes Eh, E,, horizontal y vertical respectivamente, del empuje total
E, por unidad de longitud de muro, vienen dadas por las expresiones
13.71
El punto de aplicación del empuje total E = JE,f + E:, está situado a una pro-
fundidad y desde la coronación del muro, dada por la expresión
i3.91
Para el caso particular, pero muy frecuente, de superficie de terreno horizontal
(/3 = 0), ángulo 6 = 0 y trasdós del muro vertical (c( = 90“) las expresiones [3.4] y
[3.5] se transforman en
-- 1 - sen cp [3. lo]
hh - 1 + sen <p
siendo naturalmente A,, = 0
34
30. y el empuje es horizontal, está situado a profundidad 7 y tiene como valor
H21 -sencp
E=E,,=y- [3.1 l]
2 l+sen<p
3.2.2 METODO GRAFICO DE PONCELET
Consiste en una construcción gráfica, cuya demostración omitimos (ver p.ej. la
referencia (3.7)) y que permite el cálculo gráfico del empuje activo, aspecto realmente
hoy de escaso interés disponiendo de tablas, y del ángulo 0 correspondiente a la cuña
de deslizamiento, cuyo valor necesitaremos más adelante. (Fig. 3-5).
Figura 3-5
La construcción consiste en trazar AM, formando el ángulo <p con la horizontal.
Por la coronación N se traza NO formando el ángulo cp + 6 con el trasdós y se deter-
mina el punto 0. Sobre AM se traza una semicircunferencia y por 0 la perpendicular
a AM hasta obtener B. Con centro en A y radio AB se determina C en AM y se
traza CD paralela a NO. AD es el plano de deslizamiento y 0 el ángulo correspon-
diente. El empuje vale
CD.DE
-5 = Y 2
y actúa a profundidad r formando ángulo 6 con la normal al trasdós.
3.2.3 TEORIA DE RANKINE PARA SUELOS GRANULARES
La teoría de RANKINE para el cálculo de empujes (3.6) se basa en las hipótesis
de que el terreno presenta superficie libre plana y está en el llamado estado Rankine,
35
31. en el cual presenta dos series de superficies planas de rotura, formando ángulos de
45 f 2 con la horizontal (*).
Para el caso particular de trasdós vertical (fig. 3-5) las componentes ph, pv de
la presión a profundidad z vienen dadas por las expresiones
Ph = yzA’,
Pv = YZA’,
-
2T
1 H
~-1
Figura 3.6
siendo
cos b - Jcosz fi - cos’ cp
xh = coti~ [3.12]
cos/.l+ cos /3 - cos cp
cosp - cos p - cos cp
1’” = sen fl cos j?
cos #I + Jcos2 /Y? - cos2 q
El empuje varía linealmente con la profundidad y sus valores vienen dados por
Eh = ,$t?‘h [3.14]
estando su resultante a profundidad i H.
(*) Para una exposición del tema puede verse JIMENEZ SALAS (3.7).
36
32. Obsérvese que si además de a = 90” se supone /? = 6, las expresiones [3.4] y [3.5]
se transforman en las [3.12] y [3.13]. Si /3 = 6 = 0, se tiene
II, =l-sencp
h
1 + senfq [3.16]
siendo ñ’, = 0.
Es decir, que la teoria de COULOMB para trasdós vertical y superficie de terre-
no de ángulo /? igual al 6 de rozamiento del terreno con el muro conduce al mismo
valor del empuje que la de RANKINE. En particular ambas teorías coinciden para
trasdós vertical y superficie de relleno horizontal si 6 = 0.
3.2.4 CASO DE MUROS CON TALON
Sin embargo, si el muro en lugar de carecer de talón, como ocurre en los casos
indicados en las figuras 3-3, 3-4 y 3-5, lo tiene como se indica en la figura 3-7, que
es caso frecuente en muros ménsula y muros de contrafuertes, la situción es distinta
ya que la masa de tierra ABCD descansa sobre el talón y de hecho si el muro gira
o desliza, lo hace con él.
al b)
Figura 3- 7
El cálculo del empuje en este caso no está resuelto satisfactoriamente (*) y lo nor-
mal es calcularlo de acuerdo con lo expuesto en 3.2.1 ó 3.2.2. Sin embargo el CODE
OF PRACTICE «EARTH RETAINING STRUCTURES» de la Institution of
Structural Engineers británica (3.2) recomienda un método interesante que resumi-
mos a continuación.
(*) JIMENEZ SALAS, SERRANO y ALPAÑES, en la referencia (3.7), tomo II, recogen esta dispersión
de criterios y señalan como frecuente el cãlculo por la teoría de RANKINE, aunque con algunas
reservas.
37
33. Para el cálculo del muro como cuerpo rígido, a vuelco y deslizamiento, el empuje
se calcula también según 3.2.1 pero actuando sobre un trasdós virtual AB, pasando
por el extremo del talón, pero en este caso la presión se calcula para un valor 6 = <p.
(Fig. 3-7b).
El método puede suponer un ahorro importante en aquellos casos en que las
condiciones de vuelco o deslizamiento sean críticas en el proyecto, pero como vere-
mos más adelante, esto precisamente no es frecuente en los muros con talón.
Un método más riguroso de cálculo de empujes en muros con talón es el que
exponemos en 9.2.
3.2.5 SUELOS COHESIVOS
No existe un método satisfactorio de cálculo de los empujes en este caso. Una dis-
cusión detallada puede verse en la referencia (3.7). La Norma NBE-AE- (3.5) reco-
mienda que si no se realizan determinaciones directas de las características del terreno
se suponga, conservadoramente, que la cohesión es nula, y se utilicen por tanto las
tablas T-3.2 y T-3.3. La publicación (3.2) contiene recomendaciones prácticas, que
no se recogen aquí por su extensión, pero que distinguen los casos de arcillas no fisu-
radas, limos y arcillas parcialmente saturadas y arcillas rígidas fisuradas.
3.3 CASO DE EXISTENCIA DE CARGAS SOBRE EL TERRENO
Tanto en Edificación como en Obras Públicas son frecuentes los casos de sobre-
cargas de tipos muy variados, que a continuación se estudian.
3.3.1 CARGA UNIFORMEMENTE REPARTIDA
Se supone indefinida en el sentido del muro y de valor q por unidad de longitud
de talud tal como se indica en la figura 3-8. Considerando la cuña MNC de la figura,
aplicamos el método de COULOMB.
Figura 3-8
38
1
34. El peso de la cuña MNC, a profundidad H, incluida la sobrecarga correspon-
diente, es
P, = t yl& sen (u + fl) + ql [3.17]
El peso P, se iguala al de una cuña NMC de un terreno virtual de densidad ticti-
cia yI, de donde
H
I yl & sen @ + B) + ql = f 14
2 ~ sen
sen a fa + B)
y por tanto
sen a
y,=y+%
H sen (a + fi)
y como en ambos casos el empuje ha de ser el mismo
E = f iy,H’
donde
sustituyendo yI, se tiene
H2
o bien
sen a
E=flyH2+IqH [3.18]
sen (a + /?)
La fórmula [3.18] indica que el empuje producido por una sobrecarga q por uni-
dad de longitud de talud es el mismo que el producido por una altura adicional de
tierras tal que
sen a
yhe=q sen (u + /?)
de donde
h, = !! [3.19]
y sen”;a”T j?) (*)
Si fi = 0, h, = 4 [3.20]
Y
(*) Debe prestarse atención a que la Norma NBE-AE- (3.5) da h, = 5 (q’es la sobrecarga por uni-
dad de proyección horizontal), lo cual como hemos visto sólo es cierto para superficie de terreno
horizontal, o para muro con trasdós vertical, como puede verse haciendo fl = 0 h, = ; o
, c 1
a=90 (he=*=5 siendo q’ la carga por unidad de proyección horizontal), en [3.19]. (La nor-
ma NBE-AE- es una reedición literal de la MV-101 publicada en 1962).
39
35. De acuerdo con [3.18], la presión adicional debida a la sobrecarga es
sen a
Ph = ihq
sen (a + /?)
sen a
PY = A”4 [3.21]
sen (a + b)
sen a
P =Aq sen (a + fl)
siendo E. = JAí:+x
y su diagrama es rectangular tal como se indica en la figura 3-8. El diagrama total
de presiones es por tanto trapecial.
La profundidad del punto de aplicación del empuje total es de deducción inme-
diata, resultando
sen a
2yH+3q
sen (a + /?)
Y, = H [3.22]
sen a
3yH+6q
sen (a + p)
Si /? = 0,
y =H2YH+3q * [3.23]
R 3yH+6q( )
3.3.2 CARGA EN BANDA PARALELA A LA CORONACION (**)
De acuerdo con TENG (3.3), y según la figura 3-9, para el caso de trasdós verti-
cal y superficie de terreno horizontal, llamemos:
pq presión horizontal en el punto A
q carga en la banda, por unidad de superficie
La presión real contra un muro rígido es doble de la obtenida por la aplicación
de la teoría de la elasticidad.
pq = $[j? - sen/3 coslw] !***) [3.24]
donde p es el valor del ángulo en radianes.
(*) De nuevo NBE-AE- adopta [3.23] como expresión general, cuando sólo es válida para 0 = 0 o
bien para <y = 90” si q es la sobrecarga por unidad de proyección horizontal.
(**) Este caso puede ser resuelto también dividiendo la carga en banda en varias cargas lineales parale-
las y aplicando el método simplificado que se expone en 3.3.3b.
(***) Para muros no rígidos, como es lo frecuente, el valor 2q puede sustituirse por 1,5q.
40
36. :”/r
.-’ 9q
La distribución de presiones varía de acuerdo con lo que se indica esquemática-
mente en la figura 3-9t 1.
2
al b)
3.3.3 CARGA EN LINEA PARALELA A LA CORONACION
a) Método basado en la teoría de la elasticidad
A partir de 3.3.2, puede resolverse este caso haciendo tender a cero el ángulo
fi (Fig. 3-10). Llamando z a la profundidad del punto considerado A, y N a la carga
lineal por unidad de longitud, para p z sen p z 0, se tiene
Ap = = B¿
MN=-- P-
MP=p
cos w (‘os 0 co.+ <o
b)
Figura 3-10
37. Deberá cumplirse
Bz
N=qMP=q&
de donde
N cos o
48 = [3.25]
z
Para p Ñ sen /? Ñ 0, [3.24] toma la forma
PN = cos2w) = *sen2w [3.26]
7c
y sustituyendo [3.25] y [3.26]
[3.27]
b) Método simplificado de TERZAGHI
El CIVIL ENGINEERING CODE OF PRACTICE (3.2) a la vista de las incer-
tidumbres en la aplicación de la teoría de elasticidad a los suelos, adopta un método
simplificado, debido a TERZAGHI, que resumimos a continuación.
Figura 3-11
El empuje producido por la carga en línea, N, puede considerarse equivalente
a otro 3Lh N, donde el valor Áh es el obtenido por la teoría de COULOMB y viene
dado por tanto por la fórmula [3.4] o más sencillamente por las tablas T-3.2 y T-3.3.
El empuje & N se aplica sobre el plano virtual BD, en un punto A’ situado a
la misma profundidad que el A, que a su vez se obtiene trazando por el punto C
de aplicación a la carga en línea, una recta formando 40” con la horizontal hasta que
42
38. corte al trasdós del muro. Si el corte se produce en el trasdós por debajo de la base
del muro, el efecto de la carga N, puede ser despreciado.
El método tiene la ventaja de su sencillez pero presenta el inconveniente de que
al sustituir la distribución continua de presiones a lo largo de la altura, por una carga
lineal única, Ah N, no permite calcular los esfuerzos a que está sometido el muro más
que en su arranque.
3.3.4 CARGAS PUNTUALES 0 CONCENTRADAS EN AREAS REDUCI-
DAS (ZAPATAS)
a) Método basado en la teoría de la elasticidad
En este caso la distribución de presiones no sólo es variable con la altura sino
también a lo largo del muro.
, x=mH IN
al b)
Figuru 3-12
En el plano vertical perpendicular al trasdós del muro pasando por el eje de la
carga, las presiones son máximas para cada profundidad z considerada (figs. 3-12 a
y b), y la variación en dicho plano, de acuerdo con las notaciones de la figura 3-12 b,
viene dada por las fórmulas siguientes:
nz
Si m < 0,4 p,q, = 0,2¿z [3.28]
H7 (0,16 + n2)3
l
N mz n2
Si m > 0,4 p “0 = 1.777i;, l (m2 + n2)3 [3.29]
La distribución a lo largo del muro en cualquier plano horizontal puede ser cal-
culada mediante la fórmula
PN = PNo cos $ [3.30]
El significado de + se indica en la figura 3-l 2b.
43
39. b) Método simplificado del CIVIL ENGINEERING CODE OF PRACTICE
(3.2)
El método anterior aparte de las incertidumbres de la aplicación de la teoría de
la elasticidad a los suelos, presenta el inconveniente de corresponder únicamente al
caso de carga puntual. En el caso de cargas repartidas sobre áreas de una cierta exten-
sión, como es el caso de zapatas cuando existen edificios próximos a la coronación
del muro, el método no es aplicable, salvo que se proceda a la división del área carga-
da en pequeñas áreas, cuyas cargas puedan asimilarse a otras puntuales, operando
entonces por superposición, lo cual es muy trabajoso.
El Código de Práctica citada, adopta un método simplificado, derivado del ex-
puesto en 3.3.3b). De acuerdo con ello se determina el punto A trazando por el centro
0 de la aplicación de la carga la recta OA formando 40” con la horizontal.
tINu-- 4 - ~---__
17
,&
4o” fLoJ
/
/ b
‘ A
. * - lr’:
Aa N
;’ I-
I -r
’ x2
I
al
-k -4
b)
Figura 3-13
El empuje equivalente es, como vimos, A,,N, siendo N la resultante de la carga
sobre el terreno y dicho empuje equivalente se reparte en un ancho b + x, según se
indica en la figura 3- 13 b).
El método tiene los inconvenientes ya señalados en 3.3.3b) respecto a la ignoran-
cia del reparto de esfuerzos sobre el muro por encima de su arranque.
3.4 MUROS PARALELOS
Este caso, relativamente frecuente en algunas obras públicas, presenta aspectos
especiales. En efecto, dependiendo de las características del suelo y de la separación
y altura de los muros, pueden resultar modificaciones en los empujes.
En primer lugar y de acuerdo con la teoría de COULOMB se determina la direc-
ción de la cuña de rotura, en la hipótesis de existencia de un solo muro. Si este ángulo
40. B
-1 B’ - cl
al b)
Figuru 3-14
es $, trazamos por D una paralela que cortará a AB en el punto F. Hasta la profundi-
dad F, en el caso de un solo muro el diagrama de empujes puede ser calculado y será
como el indicado A’F’ en la figura 3-14b).
Tanteamos ahora para distintos planos BG el valor del empuje, considerando
la existencia de ambos muros, lo cual se realiza mediante el polígono vectorial indica-
do en la figura 3-14~) en el que son conocidos el peso p, del relleno BGDA más la
sobrecarga correspondiente, la reacción en dirección y magnitud del muro DC contra
el relleno, igual y contraria al empuje deducido de la ley A’F’ hasta la profundidad
G, la dirección de F que ha de formar con BG el ángulo de rozamiento interno <p
y la del empuje buscado E, que ha de formar con AB el ángulo 6 de rozamiento entre
suelo y muro.
Tanteando varias profundidades del punto G, se determina el valor máximo de
E,. Restando a dicho valor máximo el empuje correspondiente hasta el nivel F’, la
diferencia se distribuye linealmente entre F’ y B’.
En lo anterior se ha supuesto que el punto G correspondiente al valor máximo
resulta por encima de la profundidad F. Si no es así, debido a la distancia entre los
muros se produce un efecto silo.
De acuerdo con NBE-AE- (3.5) las presiones sobre un plano vertical y otro hori-
zontal, respectivamente, vienen dadas por las fórmulas.
p’= yzo(l -e-i(,)& [3.31]
p” = yq (1 - e j,, ) [3.32]
donde
A
zo = ~ [3.33]
U 2,
45
41. siendo:
A: Sección horizontal, igual a la separación entre muros multiplicada por la lon-
gitud de la pareja de muros. I
U: Doble de la suma de la separación entre muros más la longitud de la pareja
de muros.
Ah, 2,: Tienen los significados vistos anteriormente.
Si la longitud de la pareja de muros es muy grande respecto a su separación d, ’
d
zo = ñ-
Y
Si el trasdós del muro forma con la horizontal un ángulo ~1, se está en el mismo
caso que en las tolvas de los silos y la presión normal vale
pn = p’ sen2 a + p” co.9 a [3.34]
La tabla T-3.4, tomada de (3.5) proporciona los valores de 1 - e-$ .
TABLA T-3.4
FUNCION DE PRESION EN SILOS
1 - e-2 :<> z:z, z:z,
0,oo 0,000 1,oo 0,632 2,00 0,865
0,05 0,049 1,05 0,650 2,05 0,871
0,lO 0,095 1,lO 0,667 2,lO 0,877
0,15 0,139 1,15 0,683 2,15 0,883
0,20 0,181 1,20 0,699 2,20 0,889
0,25 0,221 1,25 0,713 2,25 0,895
0,30 0,259 1,30 0,727 2,30 0,900
0,35 0,295 1,35 0,741 2,35 0,905
0,40 0,330 1,40 0,754 2,40 0,909
0,45 0,362 1,45 0,766 2,45 0,914
0,50 0,393 1,50 0,777 2,50 0,918
0,55 0,423 1,55 0,788 2,55 0,922
0,60 0,451 1,60 0,798 2,60 0,926
0,65 0,478 1,65 0,808 2,65 0,929
0,70 0,503 1,70 0,817 2,70 0,933
0,75 0,528 1,75 0,826 2,?5 0,936
0,80 0,551 1,80 0,835 2,80 0,939
0,85 0,573 1,85 0,843 2,85 0,942
0,90 0,593 1,90 0,850 2,90 0,945
0,95 0,613 1,95 0,858 3,00 0,950
46
42. 3.5 EMPUJE AL REPOSO
Como ya hemos dicho este valor del empuje puede producirse cuando la defor-
mabilidad del muro es extremadamente pequeña.
El valor de 3, en la fórmula [3.6] es diticil de evaluar, pero en arenas suele variar
entre 0,4 y 0,6. Frecuentemente en terrenos granulares se estima por la fórmula
A = Z - sen <p. En terrenos cohesivos alcanza valores de 0,5 a 0,75.
Un método aproximado de uso frecuente es el indicado en la figura 3- 15. Para
el caso en que no hay carga sobre el relleno el diagrama triangular de presiones (tig. 3-
15a) se sustituye por uno rectangular de valor dos tercios de la presión máxima de
empuje activo pero calculado con A = 2 - sen cp. Para el caso en que existe carga so-
bre el relleno (fig. 3- 15b), se opera análogamente.
X= l - s e n !Y
a) b)
Figura 3-1.5
En la práctica, incluso en muchos casos de muros de gran rigidez, no se produce
la situación de empuje al reposo, sino simplemente la de empuje activo, o una muy
próxima a ella. Ello es debido a que en la mayoría de los casos el relleno del trasdós
se compacta sólo moderadamente.
3.6 INFILTRACION DE AGUA EN EL RELLENO
En todo lo anterior hemos supuesto el terreno seco y manejado en las fórmulas
su densidad seca y. Esta es una situación poco frecuente en la práctica.
La presencia de agua en el relleno, bien por la acción de la lluvia, bien por infíl-
traciones subterráneas, afecta de manera importante a todo lo anterior.
47
43. a) Si el material del relleno es muy permeable como es el caso de las gravas y
de las arenas gruesas e incluso medias, la aportación de agua será evacuada por el
sistema de drenaje(*) mediante el establecimiento de una red de filtración de direc-
ción predominantemente vertical. Mientras el sistema de drenaje sea capaz de eva-
cuar el agua filtrante, el nivel de agua no rebasará la cota inferior del sistema de
drenaje y las fórmulas vistas hasta ahora para calcular las presiones y empujes siguen
siendo válidas sin más que reemplazar en ellas la densidad seca y por la densidad
aparente yh. Esta última densidad varía naturalmente con el grado de humedad del
suelo y la falta de ensayos directos puede ser estimada a partir de los datos de la tabla
T-3.5.
TABLA T-3.5
DENSIDADES APROXIMADAS DE DISTINTOS SUELOS GRANULARES (3.2)
7-- DENSIDAD
APARENTE
DENSIDAD
SUMERGIDA
MATERIAL ?h
/ (tim’) (&)
Gravas 1,60-2,00 0,96-l ,28
Arenas gruesas y medias 1,68-2,OS 0,96- 1,28
Arenas finas y arenas limosas 1,76-2,16 0,96- 1,28
Granitos y pizarras 1,60-2,08 0,96-l ,28
Basaltos 1,76-2,24 1,12-1,60
Calizas y areniscas 1,28-1,92 0,64-l ,28
Ladrillo partido 1,12-1,76 0,64-0,96
Cenizas volantes 0,64-0,96 0,32-0,48
b) Si el material del relleno es de baja permeabilidad, como ocurre en arenas finas
y arenas limosas, y la aportación de agua es importante, aunque se establezca la red
filtrante hacia el drenaje y éste sea capaz de desaguar el caudal correspondiente, se
produce un aumento de las presiones y empujes respecto al caso anterior.
Las presiones en este caso pueden ser estimadas sustituyendo en las fórmulas
la densidad seca y por la densidad sumergida y’ y añadiendo una presión que a pro-
fundidad z viene estimada por
p’ = OJzy,(**) [3.35]
donde yu es la densidad del agua y p’ actúa perpendicularmente al trasdós. El empuje
correspondiente es de cálculo inmediato.
c) Si la aportación de agua excede a la capacidad de desagüe de la red de drenaje,
el nivel del agua puede alcanzar la cota de la coronación del muro, en el caso limite
y en ese caso la presión p’ se duplica alcanzando el valor de la presión hidrostática.
p’ = zy”(**) [3.36]
(*) Para los sistemas y detalles de drenaje. véase el Capítulo 13.
(**) Se supone que la infiltración afecta a toda la altura del trasdós. En otro caso la teoría es inmediata-
mente generalizable.
48
44. d) En cualquier caso, la presión hidrostática debe ser considerada siempre para
niveles inferiores al más bajo del sistema de drenaje. Este es un caso particular del
más general indicado en el apartado siguiente.
3.7 RELLENO INUNDADO HASTA UNA CIERTA COTA
En el caso general indicado en la figura 3- 16, con relleno de ángulo b y una so-
brecarga q por unidad de longitud de talud, las presiones a profundidad z resultan:
Ph =
1 $(z - ZO) + YZO + q
sen a
sen (a + /?) 1
Ah + ya (z - za) sen a [3.37]
py =
1
y’ (z - zo) + yzo + q
sen a
sen (a + /?) 1 i, + ya (z - z(,) cos a [3.38]
En [3.37] y [3.38] y debe ser sustituida por yh si el terreno puede estar húmedo.
Si z d za, en [3.37] y [3.38] debe hacerse za = z.
- -/ jjjj;
i:.::::.
fi::i;.;li
, :: .,.;
i! j$;;$:;;, P
/.,... .:.,.:
, :::::.
i i;;;;jj;;j;j;l
NIVEL FREATICO !.~.‘.~.~.~.~.~.~
. .
+::jf::F:,:,.
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:. ::::.:., :.:.::::;:.
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:::
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~~~
;:::.
Figura 3- 16
3.8 RETRASO DE MAREA
En rellenos muy permeables y bien drenados, el retraso de marea produce efectos
despreciables. En arenas, dependiendo de la proporción de finos y por tanto de la
permeabilidad, el efecto puede ser importante siendo esperable una presión hidrostá-
tica y,,h apreciable, incluso en rellenos bien drenados. En terrenos arcillosos o limo-
sos puede ser necesario considerar como valor de h el de la carrera de marea entero.
49
45. Figura 3-17
3.9 EMPUJE PRODUCIDO POR LA COMPACTACION DEL RELLENO
En algunos casos los probables asientos futuros del relleno debidos a su propio
peso carecen de importancia pero frecuentemente no ocurre así, y para controlar tales
asientos se recurre a la compactación del relleno.
Esta compactación, en toda la zona correspondiente a la cuña de deslizamiento,
debe realizarse con especial cuidado, empleando medios ligeros. El empleo de com-
pactadores pesados puede conducir a una sobrecompactación que produzca presio-
nes superiores a las correspondientes al empuje activo.
3.10 EMPUJE PRODUCIDO POR EL HIELO
En zonas de fuertes heladas, si el terreno contiene agua por encima de la profun-
didad de helada, la expansión de volumen correspondiente puede producir empujes
muy considerables, tales que es antieconómico proyectar los muros para que sean
capaces de resistirlos.
El problema no existe con gravas y arenas gruesas o medias, pero puede presen-
tarse cuando el terreno está formado por arenas finas, limos o arcillas.
La solución más simple es sustituir el terreno hasta la profundidad de helada
por material fácilmente permeable y drenarlo adecuadamente.
3.11 EMPUJES PRODUCIDOS POR LA VARIACION DE TEMPERATURA
Un caso particular de empuje puede producirse en situaciones como la indicada
en la figura 3-18a), en la que la dilatación de otra parte de la construcción (en este
caso y a título de ejemplo, un pavimento de hormigón, p) está coartada por el muro.
Es económicamente muy costoso y técnicamente perjudicial para el muro y para el
pavimento intentar resistir la fuerza F y lo adecuado es evitar que se produzca dispo-
niendo una junta de dilatación. (Fig. 3-18b).
50
46. F t'
a) b)
Figura 3- 18
3.12 E M P U J E P R O D U C I D O P O RL E L O L E A J E
La evaluación del empuje producido por las olas contra un muro no puede hoy
hacerse con buena precisión y la experiencia práctica sigue aún siendo la guía princi-
pal. La presión ejercida es la suma de la presión hidrostática y de la presión dinámica
debida al movimiento de las partículas de agua.
CRESTA DEL
CLAPOTIS
_---- - -
-~L-L;H~L~oELAG”A
EPOSO
S E N O PC’
CLAPO
PRESION
HIDROSTATICA
L = Longitud de ola
yw = Densidad del agua
P2 =
LH
rosll z"L"
H + h.
p1 = ( &qd + ‘2’ H + h + d
0
Figura 3-1 Y
51
47. Es esencial distinguir el caso de olas que se reflejan contra el muro, de aquel en
que las olas rompen contra el propio muro, en cuyo caso la estructura ha de absorber
un empuje mucho mayor. La presencia de uno u otro caso, depende, como es sabido
de la relación de la profundidad junto al muro a la altura de ola.
a) Ola rejlejada en el muro. La teoría clásica para ondas estacionarias es debida
a SAINFLOU (3.8) y se resume en la figura 3-19, que corresponde al diagrama de
presiones debido al paso de la cresta. (Valor máximo). Téngase en cuenta la carrera
de marea para el nivel del agua en reposo. En la figura no se indica la subpresión.
El método de SAINFLOU, se ha revelado como aceptable para valores de g
entre 0,08 y 0,20. Para valores inferiores a 0,08, infravalora el empuje y lo contrario
ocurre para valores superiores a 0,20.
Un tratamiento más completo del tema puede seguirse en el SHORE PROTEC-
TION MANUAL (3.9) que contiene un amplio conjunto de gráficos para el cálculo
de empujes en casos muy diversos.
b) Ola rompiendo contra el muro. Se dispone para el caso de ondas en rotura
solamente de algunas relaciones empíricas. MINIKIN (3.10) propone un diagrama
como el indicado en la figura 3-20. (No se indica en la figura la subpresión.)
-
I
PRESION OINAMICA
Figura 3-20
Para la estimación de la presión máxima propone la fórmula
pmti = 100 yw 2 ; (d, + d,) [3.39]
dl 1 .
donde:
Hb = Altura de la ola rompiente
Ld, = Longitud de ola
d, = Profundidad a la distancia Ldl del muro
d, = Profundidad junto al muro
= Densidad del agua
[longitudes en pies y fuerzas en libras)
52
48. Como área dentro del diagrama de presiones dinámicas toma
Fd = ~már Hh
[3.40]
2
que da por tanto la fuerza dinámica total actuando a cota d,.
c) Método de GODA válido simultáneamente para ondas estacionarias y en rotu-
ra. El método, más moderno que los anteriores y basado en investigaciones experi-
mentales evita la discontinuidad que presentan los mismos según la ola rompa o no.
El método puede seguirse en detalle en la obra de SUAREZ BORES (3.1 l), en la
de DEL MORAL y BERENGUER (3.12) y en la referencia (3.13).
I.I.c.L IL. ““Y”
I 1 1 EN REPOSO
Figura 3-21
El diagrama de presiones dinámicas es el indicado en la figura 3-2 1, donde:
PI = ILHD (aI + ad [3.41]
Pr = PI [3.42]
cosh @!’
L
donde
Yn = Densidad del agua
L = Longitud de ola de cálculo
HD = Altura de ola de cálculo
ai = 0,6 + ; [3.43]
a2 = El menor de los valores
[3.44]
2d
I HLJ
[3.45]
53
49. d = Profundidad de coronación de la berma
h = Profundidad en el pie de la escollera
hh = Profundidad a una distancia del pie igual a cinco veces la altura de ola
significante junto al muro, HI,+
Como valor de HD se toma el menor de los valores:
HD = 1,8 Hli3 si el muro está situado en zona donde no rompen las olas
HD = Hh, siendo Hb la altura de ola correspondiente a la profundidad hb, si el
muro está situado en zona donde rompen las olas.
A la ley de presiones dinámicas indicada hay que sumar la hidrostática (hg. 3-21).
El método de GODA considera además una subpresión variando de pz a 0, (ver
figura 3-21), donde
P3 = ala3ywHD [3.46]
donde
[3.47]
siendo h’ la profundidad de la cimentación del muro.
3.13 EMPUJE PRODUCIDO POR LA ACCION SISMICA
Expondremos a continuación tres diferentes métodos de cálculo de la acción sís-
mica en muros.
3.13.1 METODO DE LA NORMA SISMORRESISTENTE P.D.S.-1
Esta Norma, vigente en España, (3.14), a falta de estudios más refinados se limi-
ta a multiplicar las componentes E, y Eh del empuje por un coeficiente K, (tig. 3-22)
de valor
K,=l+c [3.48]
donde el valor de c viene indicado en la tabla T-3.6.
TABLA T-3.6
COEFICIENTE SISMICO BASICO, c
GRADO DE INTENSIDAD COEFICIENTE SISMICO BASIC0
G c
V 0,02
VI 0,04
VII 0,08
VIII 0,15
IX 0,30
54
50. Figuru 3-22
Para el grado de intensidad, véase el mapa de la figura 3-23.
Figura 3-23
El método adolece del defecto, entre otros, de considerar que la acción sísmica
mantiene el ‘punto de aplicación del empuje, aparte de infravalorar considerablemen-
te el propio valor de la acción.
55
