Sistemas lineales discretos

Sistemas discretos
Sistemas y Señales
En tiempo Discreto.2
Transformada Z…….63
Inversa De
Transformada Z ….116

0
SEP DGIT
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CD. GUZMÁN
DPTO. DE INGENIERÍA ELÉCTRICA Y ELECTRÓNICA
UNIDAD I
SISTEMAS Y SEÑALES DE TIEMPO DISCRETO
ASESOR: ING. GUSTAVO OCHOA MATA
NOMBRE DE LOS ALUMNOS:
97290078 FRANCISCO TORRES RAMOS
97290046 JUAN RAMON HERNÁNDEZ LLAMAS
97290038 MARTÍN ALEJANDRO FLORES MORENO
97290058 ALEJANDRO MARTÍNEZ CHÁVEZ
97290025 JOSÉ BERNARDO CAMPOS SALAZAR
97290030 CUAUHTÉMOC COVARRUBIAS PRECIADO
CD. GUZMÁN, JAL. A 4 DE DICIEMBRE DE 2000

1
INDICE GENERAL
Pág.
1.1 Introducción................................................................................................................2
Sistemas y señales de Tiempo Discreto........................................................................... 2
Tiempo discreto y continuo..............................................................................................3
Sistemas de Tiempo Continuo......................................................................................... 5
Sistemas de Tiempo Discreto...........................................................................................6
Sistemas de Tiempo Híbrido............................................................................................6
1.2 Señales Discretas...................................................................................................... .7
Secuencia de Delta Kronecker......................................................................................... 8
Secuencia Escalón Unitario........................................................................................... 10
Secuencia Unitaria Alterada.......................................................................................... 11
Secuencia Rampa Unitaria............................................................................................. 12
Álgebra de señales Discretas......................................................................................... 12
1.3 Proceso de Muestreo de una Función de tiempo Continuo......................................15
Muestreo Uniforme....................................................................................................... 17
Aplicación típica del procesamiento de datos.............................................................. 17
1.4 Sistemas de Tiempo Discreto...................................................................................21
Algoritmo para obtener la raíz cuadrada de un numero................................................ 22
Sistemas de cuenta de Ahorro....................................................................................... 25
1.5 Sistema Lineal Discreto de primer Orden................................................................28
Respuesta de un sistema discreto lineal de primer orden.............................................. 29
1.6 Respuesta al escalón unitario de un sistema de primer orden................................. 32
Sistema Normalizado.................................................................................................... 35
1.7 Identidades Útiles para expresiones de forma Cerrada............................................37
1.8 Sistema general discreto lineal................................................................................ 39
1.9 Sistema Discretos no lineales.................................................................................. 41
1.10 Sistemas Variantes en el tiempo.............................................................................41
1.11 Unidades Básicas de los sistemas discretos lineales..............................................43
Unidad de Retardo......................................................................................................... 44
Unidad multiplicadora................................................................................................... 45
Unidad de Suma............................................................................................................ 46
Representación de Sistemas Discretos Lineales con Unidades Básicas........................47
Generalización a Sistemas de mas alto orden................................................................49
Representación alternativa.............................................................................................50
Problemas...................................................................................................................... 51

2
UNIDAD I SISTEMAS LINEALES III
SISTEMAS Y SEÑALES DE TIEMPO DISCRETO
OBJETIVO: Proporcionar las bases teóricas para el análisis de los sistemas discretos
lineales
1.1 INTRODUCCIÓN.
Uno de los prerrequisitos primordiales para el estudio de un fenómeno dado (sistema),
es postular primero un modelo matemático el cual describa adecuadamente el
comportamiento del fenómeno. Como ejemplos, las leyes económicas que relacionan la
oferta y la demanda y la ley física que relaciona el voltaje y la corriente en una malla
eléctrica son descripciones las cuales ayudan a los investigadores en sus estudios de
sistemas económicos y eléctricos. Si el sistema es para ser usado en lo científico,
económico, biológico, bancos, ingeniería, medicina, negocios o cualquier otro tipo de
aplicaciones, es absolutamente esencial que sea generado un modelo matemático adecuado
y lógicamente su entendimiento. Para hacer posible el estudio de tal sistema es deseable
hacer el modelo tan simple como sea posible, pero no tanto a expensas de representarlo
pobremente.
Típicamente, el modelo es construido de una manera tal que existen dos tipos de
variables llamadas: variables de entrada y variables de salida. Conforme a la semántica de
la teoría de sistemas, debemos utilizar en lo sucesivo él termino señales en lugar de
variables. La señal de entrada influencia de alguna manera el comportamiento de la señal
de salida. Esta relación de causa y efecto que constituye el comportamiento dinámico del
sistema, es representada en el diagrama a bloques de la Fig. 1.1-1. las señales de entrada y
salida estarán denotadas en lo sucesivo por los símbolos u, y respectivamente.
Señal de eñal de
Entrada Salida
Modelo de sistema
Fig. 1.1-1 representación del sistema en diagrama de bloques

3
Una variedad muy amplia de disciplinas han usado tales modelos. Considere por el
momento las listas dada en la tabla 1.1. es evidente que en cada caso la señal de entrada
influye de alguna manera en el comportamiento de la señal de salida. Esta forma de
influencia es frecuentemente difícil de caracterizar en términos matemáticos precisos y
sirve como la principal barrera de estados efectivos de tales sistemas.
Tabla 1.1
DISCIPLINA SEÑAL DE ENTRADA SEÑAL DE SALIDA
Económico Inversión Ganancia
Física Envió de cohete Trayectoria del satélite
Medicina Electrocardiograma Diagnostico de enfermedad
del corazón
Comunicaciones Radar Localización de una maquina
voladora
Educación Estudio del esfuerzo graduación
de los estudiantes
TIEMPO DISCRETO Y CONTINUO
En muchos de los casos de interés, las señales de entrada y de salida son funciones
de la variable independiente tiempo (t), la cual será llamada tiempo por razones que pronto
serán evidentes. Introduciendo la variable t se logra la habilidad para cambiar las
amplitudes de las señales de entrada y salida a funciones del tiempo. Esto debería
rápidamente evidenciar que cada par señales entrada-salida llamado salida en la tabla 1.1
puede ser considerado como una función del tiempo.
Si la variable independiente t, toma un número continuo de valores, la señal se dice
ser una señal de tiempo continuo. Para demostrar una señal de tiempo continuo, el
argumento es incorporado dondequiera que la señal esté formalmente escrita, (ejemplo
u(t)). Por lo tanto, la señal se dice ser una señal de tiempo discreto. Como tal, una señal de
tiempo discreto solo necesita ser identificada en un numero infinito o finito de instantes en
el tiempo ( por ejemplo u(tk)) escrita como tk, donde k tomará los valores enteros
exclusivamente. Ejemplos de señales de tiempo continuo y discretos de bajadas contra el
tiempo son mostrados en la Fig. 1.1-2 se notara que una función de tempo discreto está
definida únicamente en los instantes ...,t-2,t-1,t0,t1,t2,... otra interpretación de una
tiempo discreto debe ser entonces una secuencia de números ...u(t-1), u(t0), u(t1)...
ordenados por el parámetro t de tiempo discreto. Por conveniencia
normalmente denote una señal de tiempo discreto por u(k) en lugar de u(tk).

4
U(t)
u(tk) (a) t
t t t t t t t t
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 k
(b)
Fig. 1.1-2 ejemplo de a) señal de tiempo continuo b) señal de tiempo discreto
EJEMPLO 1.1-1 Para ilustrar el concepto de señales de tiempo continuo y discreto
consideremos el típico sistema de calefacción de una habitación. En tal sistema, existe un
termostato que censa la temperatura del cuarto y activa la calefacción cuando la
temperatura cae por debajo de un nivel dado y luego se desactiva cuando la temperatura
rebase un valor dado, por ejemplo si el termostato es ajustado a 70 F, el horno deberá
activarse cuando la temperatura cayera por debajo de los 68 F y desactivarse cuando la
temperatura rebasará los 72 F. Esta acción tendrá el efecto de mantener un temperatura
promedio de 70 F en la habitación.
La señal que emana del termostato para activar y desactivar el sistema de
calefacción puede ser considerada como una señal de tiempo discreto. Específicamente si
t0,t2,t4,... denotan los instantes de tiempo en los cuales el sistema se desactiva. Un dibujo de
una señal representando este proceso deberá aparecer como el de la Fig. 1.1-3ª. Aquí
arbitrariamente consideramos que u(tk)=1 cuando el sistema se desactiva.
Por otro lado, la temperatura de la habitación que está siendo controlada, es
obviamente una señal de tiempo continuo. Un debajo de la temperatura de la habitación
contra el tiempo para un caso típico se muestra en la Fig. 1.1-3b. Note que, la señal de
tiempo discreto toma el valor de 1 cuando la temperatura
desactivas y toma el valor de –1 cuando la temperatura alcanza los 72 F y es cero para
todos los demás valores de tiempo.

5
Aquí tenemos un ejemplo de este fenómeno en el cual la señal de tiempo continuo y
tiempo discreto aparecen simultáneamente de una manera natural,
del todo desconocidos en nuestra sociedad altamente mecanizada.
En el modelo típico del sistema de un fenómeno especifico existen dos tipos de
señales, las cuales son de un interés inmediato, las señales de entrada y salida.
Fig. 1.1-3 sistema de calefacción de una casa habitación; a)señales de control del
termostato; b)temperatura de la habitación.
En suma, ahí pueden estar las así llamadas señales internas, las cuales son de
importancia en la descripción de los fenómenos. Ahora debemos usar la vaga idea de
señales esenciales para denotar unas señales, las cuales son de importancia critica en la
descripción del comportamiento dinámico de los fenómenos bajo estudio. Por ejemplo, la
fuente de alimentación de 60Hz. La cual proporciona la alimentación a un arreglo de
televisión, no debería considerarse como una señal esencial ya que el comportamiento
dinámico sé este sistema es mayormente gobernado por las más esenciales señales de video
y las variantes señales internas (por ejemplo, sincronismo horizontal y vertical) las cuales
son generadas de esta, ya que una señal esencial puede también ser de naturaleza, de tiempo
continuo o tempo discreto, es aconsejable clasificar los sistemas en conformidad.
SISTEMAS DE TIEMPO CONTINUO
Un sistema de tiempo continuo será definido como un sistema cuyas señales
esenciales son todas de naturaleza de tiempo continuo. El mando esta lleno de tales
sistemas, como ejemplos, muchos circuitos eléctricos, configuraciones mecánicas,
fenómenos económicos, etc., caen dentro de esta categoría invariablemente una ecuación
diferencial relacionara las señales de entrada y salida de sistemas de tiempo continuo. Es

6
por esta razón que cursos en ecuaciones diferenciales juegan un papel prominente en le
currículo de disciplinas relacionadas con el estudio de tales sistemas.
SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO
Un sistema de tiempo discreto está definido para ser un sistema cuyas señales
esenciales son todas de naturaleza discreta. Una proliferación de tales sistemas ha ocurrido
en años recientes a causa del incremento en el uso de la computadora digital en los sistemas
de tiempo discreto. En el sistema típico de tiempo discreto, las ecuaciones diferenciales
juegan un papel de relacionar las señales de entrada y salida del sistema. Indudablemente,
muco lectores pueden no estar familiarizados con él termino ecuación diferencial. Este
vació debemos intentar llenar.
SISTEMAS DE TIEMPO HÍBRIDO
Es sistema de tiempo híbrido es uno en el cual ambas señales de tiempo continuo y
discreto aparecen. La practica en nuestra sociedad de usar computadora digital en muchas
áreas de la vida diaria ha hecho inevitable la aparición de sistemas de tiempo híbrido. El
control digital por computadora de un complejo de manufactura fácilmente sirve como un
ejemplo de un sistema híbrido.
Nosotros debemos estudiara exclusivamente sistemas de tiempo discreto en este
texto. Hay muchas razones para esta selección, pero dos son las más importantes. Primero
los conceptos básicos de sistemas de tiempo discreto son rápidamente entendidos y la
intuición ganada de este conocimiento ayudara al estudiante inmensurablemente en su
estudio de los sistemas difíciles de tiempo continuo. Segundo la prominencia de la
computadora digital (un sistema de tiempo discreto) sea esencial en muchas disciplinas.
Algunos ejemplos de sistemas los cuales pueden ser clasificados como discretos son
aquellos los cuales:
1.- Llevan a cabo un procedimiento de análisis numérico.
2.- Caracterizan una inversión de valores comerciales
3.- Implementan control digital
4.- Conservan cuentas de ahorro para los bancos
5.- Calculan los parámetros orbitales de un satélite
6.- Caracterizan las tendencias de la población
7.- Ayudan al medico a hacer diagnostico (por ejemplo de una señal de electrocardiograma)
8.- Señalan procesos estocástico

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En cada uno de esos sistemas, la computadora digital juega un papel prominente. La
utilización de la computadora previendo la penetración y entendimiento en diversas áreas,
como la investigación científica, manejo de negocios, contaduría, diagnósticos médicos,
gobierno e ingeniería, es bien conocida.
De hecho esta utilización esta creciendo a una razón acelerada. Es por tanto, imperativo
que los estudiantes tengan una buena base de conocimientos de sistemas, en los cuales la
computadora es una parte integral. Nuestro objetivo será el de desarrollar un entendimiento
y una facilitación para los sistemas de tiempo discreto. En este capitulo, debemos introducir
conceptos básicos de señales discretas (por ejemplo, señales de tiempo discreto) y sistemas
de tiempo discreto.
1.2 SEÑALES DISCRETAS
Un sistema de tiempo discreto es un dispositivo, el cual opera sobre una señal discreta
(entrada) para generar otra señal discreta (salida) conforme a alguna regla bien definida.
Como se indica en la sección 1.1, una señal discreta puede ser interpretada como una
secuencia de números. Por lo tanto es esencial con relación a caracterizar apropiadamente y
estudiar sistemas de tiempo discreto, un entendimiento fundamental de la secuencia de
números.
Una secuencia de números, denotada por {U(k)}, es un arreglo de números por una
variable K la cual toma valores enteros, K es llamada tiempo discreto. Los valores de la
secuencia {U(k)}. Con esto en mente se sigue que el número U(5) antecede
inmediatamente el número U(6), mientras que U(7) se sigue inmediatamente de U(6) en la
secuencia. Las secuencias serán formalmente escritas como
U(k)=....u(-2), u(-1), u(0), u(1), u(2), u(3)......
Donde los tres puntos a la izquierda de U(-2) indican que la secuencia continua
inmediatamente hacia la izquierda (por ejemplo: U(-3),U(-4), etc.) y los tres puntos a la
derecha de U(3) indican que la secuencia continua inmediatamente a la derecha (por
ejemplo: U(3),U(4), etc.)
Será benéfico dar una interpretación gráfica de una secuencia de números. Como un
ejemplo especifico, considérese la secuencia con términos

8
U(-2) = 1
U(-1) = -1.5
U(0) = 3
U(1) = -2.1
U(2) = - 0.7
U(3) = 2.3
Esta secuencia será ilustrada como se muestra en la Fig. 1.2-1 con la amplitud de la
línea vertical en el tiempo discreto K correspondiente a la amplitud del numero U(k). Los
elementos de la secuencia {U(k)} están desplazados en forma equidistante uno del otro en
esta grafica de U(k) vs. K.
Cuatro secuencias de números extremadamente importantes las cuales aparecerán
frecuentemente en nuestros estudios de sistemas de tiempo discreto son la delta de
Kronecker, el escalón unitario, el escalón alterado y la rampa unitaria.
3
1 2.3
-2 -1 0 1 2 3 k
-1.5 -2.1
Fig. 1.2-1 ilustración de una secuencia de números especifica
SECUENCIA DELTA DE KRONECKER
La secuencia delta de Kronecker, la cual será denotada por el símbolo especial (k)
es cero cuando este toma el valor uno. La Fig. 1.2-2a describe la secuencia (k) graficada
contra k.
(k) 1
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 k
(k-1)
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 k

9
(k+2) 1
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 k
Fig. 1.2-2 secuencia delta de Kronecker
Es posible representar cualquier señal discreta por una combinación apropiada de
secuencias como la delta de kronecker. Antes de mostrar esto, investiguemos la señal
U(k)= (k-1)
Por la expresión (1.2-1), la secuencia (k-1) es igual a cero para todos tiempos
discretos excepto en K=1, donde su argumento k-1 es cero. De aquí que
1 para k=1
U(k)= (k-1)=
0 para los otros valores de k
aplicando los últimos argumentos, concluimos que
1 para k=p
(k-p)=
0 para los otros valores de k
Donde p es un entero arbitrario, las secuencia (k-p) es entonces igual a la secuencia
(k) desplazada p unidades de tiempo discreto a la derecha, como quedo claro en los
dibujos de (k-1) y (k-2) vs. K mostrados en la Fig. 1.2-2b y 1.2-2c respectivamente.
Con esta representación de (k-p), podemos representar cualquier secuencia como
una suma de secuencias delta de kronecker. Por ejemplo, consideremos secuencia mostrada
en Fig. 1.2-1. esta secuencia puede ser equivalentemente expresada como:
U(k) = ... (k+2) - 1.5 (k+1) + 3 (k) -2.1 (k-1)
- .07 (k-p) + 2.3 (k-3) + …

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Para demostrar lo apropiado de esta representación, investiguemos U(k) en el
tiempo k=1, esto es
U(1) = .... + (3) – 1.5 (2) + 3 (1) – 2.1 (0)
- .7 (-1) + 2.3 (-2) + ....
La cual por la definición básica de la secuencia delta de Kronecker (1.2-1), se
simplifica a
U(1)=-2.1
Como se requiere. Debería ser evidente que la evolución de U(k) en cualquier otro
valor de tiempo discreto llevará el resultado correcto.
Después de introducir algunos conceptos básicos de sistemas de tiempo discreto.
Demostraremos la importancia de representar una señal discreta por una suma ponderada de
secuencias delta de Kronecker. Tal representación nos permitirá estudiar el concepto
dinámico de sistemas de tiempo discreto de una manera más eficiente.
SECUENCIA ESCALON UNITARIO
La secuencia escalón unitario esta definida por
0 para k=-1-2,-3...
U(k)=
1 para k=0,1,2,3...
y es vista para ser una secuencia de números, los cuales son cero donde quiera para tiempo
discreto negativo y uno dondequiera para tiempo discreto no negativo. La Fig. 1.2-3
muestra un dibujo de la secuencia escalón unitario,con la posible excepción de la secuencia
delta de Kronecker, la secuencia escalón unitario será la señal mas frecuentemente usada en
nuestro estudio de sistemas de tiempo discreto. A diferencia de la secuencia escalón
unitario. por

11
1 1 1 1 1 1
-2 -1 0 1 2 3 4 5 k
Fig. 1.2-3 secuencia escalón unitario
SECUENCIA UNITARIA ALTERADA
Otra secuencia la cual surge frecuentemente en las aplicaciones de sistemas de tiempo
discreto es la secuencia unitaria alternada definida por
.......3,2,1,0....)1(
..........3,2,1....0
)(
kparak
Kpara
kU
esta secuencia es igual a cero para tiempos negativos y oscila entre los signos mas y menos
uno para tiempos positivos. Un dibujo de la secuencia unitaria alternada se muestra en la
Fig. 1.2-4
1 1 1
-1 0 1 2 3 4
Fig. 1.2-4 secuencia unitaria alternada

12
SECUENCIA RAMPA UNITARIA.
La secuencia rampa unitaria esta definida por
.......3,2,1,0....
..........3,2,1....0
)(
kparak
Kpara
kU
esta secuencia es igual a cero para tiempos negativos y aumenta linealmente para tiempos
positivos. Un dibujo de la secuencia rampa unitaria se muestra en la Fig. 1.2-5
5
4
3 . . . .
1 2
-2 -1 0 1 2 3 4 5
Fig. 1.2-5 secuencia rampa unitaria
ÁLGEBRA DE SEÑALES DISCRETAS
Es solo después de la introducción de las operaciones de suma, resta y
multiplicación que la teoría de números ordinarios reales logran su gran utilidad. De una
manera paralela, la teoría de señales discretas será postulada ahora, la cual será de
importancia critica en nuestro estudio de sistemas de tiempo discreto, esta álgebra va a ser
estructurada por las siguientes tres operaciones, las cuales son extensiones directas de
operaciones ordinarias de números reales:
1.- suma de dos secuencias de números: dadas dos secuencias de números {U1(k)} y
{U2(k)}, la suma de estas dos secuencias esta definida por la secuencia {U(k)} cuyo k-
esimo termino general, es la suma de los k-esimos términos delas secuencias {U1(k)} y
{U2(k)}, esto es
U(k) = U1(K) – U2(K) para k = 0, +- 1 + - 2, .....

13
2.- diferencia de dos secuencias de números dadas dos secuencias de números, la resta de la
secuencia {U2(k)} de la secuencia
{U1(k)} esta definida a ser una secuencia
{U(k)} cuyo k-esimo termino general es la respuesta del k-esimo termino de la secuencia
{U2(k)} del k-esimo termino de la secuencia {U1(k)}, que es:
U(k) = U1(K) – U2(K) para k = 0, +- 1 + - 2, .....
3.- multiplicación de una secuencia de números por una constante. Dada una secuencia de
números {U1(k)}, la multiplicación de esta secuencia por la constante , esto es:
U(k) = U1(K) para k = 0, + - 1 + - 2, .....
ejemplo 1.2-1 para las secuencias escalón unitario y secuencia alternada especifica por:
Determina la suma de estas dos secuencias y multiplique esta secuencia suma por la
constante ½. A saber, evalué la señal U3(k)=1/2[U1(k)+U2(k)].
De la expresión (1.2-5) la suma de las dos secuencias dadas está definida por una
secuencias cuyo k-esimo término general esta dado por:
U(k) = U1(K) + U2(K)
Para valores negativos del parámetro de tiempo discreto k. Es evidente que
U(k) = 0 + 0 = 0 para k = -1,-2,-3, .....
Mientras para valores positivos de k

14
El cual se simplifica a
Por lo tanto, la suma de las dos secuencias es la secuencia cuyo k-esimo termino
general esta dado por:
Si esta secuencia suma es ahora multiplicada por una constante 1/2 , por la
expresión (1.2-7), la secuencia resultante tiene el término general k-esimo dado por:
Estas secuencias se muestran en la Fig. 1.2-6. aunque la derivación de este resultado
fue obtenido aplicando exclusivamente manipulaciones algebraicas alternativamente.
Específicamente, un dibujo de las secuencias U1(k) y U2(k) están hechos unos sobre el
otro.
1 1 1 1 1 1
U1(k)
-2 -1 0 1 2 3 4 5 k

15
U2(k)
1 1 1 1 1
-2 -1 0 1 2 3 4 5 k
u1(k)+u(2)k 2 2 2
-2 -1 0 1 2 3 4 5 k
½{u1(k)+u2(k) 1 1 1
-2 -1 0 1 2 3 4 5 k
Fig. 1.2-6. ilustración de la secuencia generada en el ejemplo
Como se muestra en la Fig. 1.2-6. luego se realizan las sumas y multiplicaciones
necesarias. Por este procedimiento, los errores algebraicos son eliminados y se obtiene una
penetración visual. En conclusión, la solución grafica sirve como una comprobación
conveniente para la solución algebraica.
1.3 PROCESO DE MUSTREO DE UNA FUNCIÓN DE TIEMPO CONTINUO
Una señal discreta 8 secuencia de números) es generada frecuentemente a través del
proceso de muestreo de una función de tiempo continuo. Por ejemplo, un meteorologista
puede estar interesado en hacer un estudio de la velocidad del viento en una cierta
localización. En lugar de monitorear continuamente y registrar la velocidad del viento., v(t),
el meteorologista va a medir normalmente la velocidad en instantes específicos de tiempo
esto es:
V(tk) para k = 0,1,2, ...

16
Donde v(tk) denota la velocidad del viento en tiempo t=tk seleccionando apropiadamente
los instantes tk, el meteorologista ha consolidado toda la información pertinente
concerniente.
A la velocidad del viento en el conjunto de números (1.3-1). Es por lo tanto necesario
registrar y guardar la historia de tiempo continuo, de la velocidad del viento, v(t), una tarea
costosa y compleja. En conclusión, la información esta por ahora en una forma en la cual puede
ser usada directamente en una computadora digital ( por ejemplo: i, e, en forma de números). Un
modelo para el proceso de muestreo de una función de tiempo continuo, U(t), se muestra en la
figura 1.3-1. El interruptor muestrea al cerrarse un momento en el instante de tiempo.
T = tk y permanece abierto en cualquier otra forma.
U(t) U(k)
Tk
Figura 1.3-1 Proceso de muestreo.
En la terminal de salida del muestreador de los números U(to), U(t1), ... aparecerán los
instantes de tiempo to, t1, ... . En esta manera, la función de tiempo continuo ha sido
convertida en una secuencia de números. La figura 1.3-2 ilustra una función típica U(t) y la
secuencia de números generada cuando u(t) es muestreada.
t t t t t t t
Figura 1.3-2 ejemplo de muestreo.
Como seleccionar los instantes de muestro tk de tal manera que no se pierda
información en el proceso de muestreo es tomada del capitulo 9. basta decir que los
instantes tk son escogidos muy cerca uno del otro de modo que contengan una secuencia
numérica U(tk) que represente adecuadamente U(t) a ser muestreada. Esto implica que se
debe de muestrear mas frecuentemente una función que cambia mas rápidamente con el
tiempo que a una que cambia mas lentamente.

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MUESTREO UNIFORME.
El proceso mas frecuente usado en aplicaciones es aquel en el cual el interruptor se
cierra cada T segundos. Este proceso es llamado muestreo uniforme y va a ser ilustrado
como se muestra en la figura 1.3-3.
U( t ) U( kt )
T
Figura 1.3-3 Modelo del proceso del muestreo uniforme
La secuencia de los números resultantes generada por el muestreo uniforme va a
aparecer cada T segundos a la terminal de salida del interruptor. Cuando sea conveniente,
dejaremos caer la apariencia explicita de T en el argumento de U(kt) y escribimos U(k) en
su lugar.
APLICACIÓN TÍPICA DEL PROCESAMIENTO DE DATOS.
En una aplicación típica de procesamiento de datos, uno es confrontado con la tarea
de extraer información de una señal de tiempo continuo con la ayuda de una computadora
digital. El diagnostico automático del estado de salud del corazón de una señal de tiempo
continuo del electrocardiograma, es un ejemplo. Ya que en una computadora digital es un
dispositivo en el cual puede esencial y únicamente sumar, restar, multiplicar, o dividir
números; los cuales son secuencialmente alimentados. A esta hay una inconsecuencia
básica entre computación digital y señales de tiempo continuo, es por lo tanto necesario
convertir tales señales en un formato consistente con la computación digital.
El muestreo uniforme sirve como un vehículo obvio para esta conversión. Un
sistema de procesamiento de datos típico esta dibujado en la figura 1.3-4, por medio del
cual el calor uniforme convierte las señales de tiempo continuo para ser procesadas en una
señal de tiempo discreto (secuencia de números). Esta señal muestreada que es entonces
aplicada secuencialmente a la entrada del sistema de tiempo discreto. El sistema de tiempo
discreto opera sobre esta secuencia de muestreo, de tal manera para efectuar el
procesamiento de datos requerido. Este ejemplo demuestra muy bien el punto que la
operación de muestreo juega un papel esencial en muchas aplicaciones de procesamiento
de datos.

18
*razón de muestreo requerida independientemente del contenido de la frecuencia de la función que esta
siendo muestreada, como queda claro en el teorema de muestreo de la teoría de comunicaciones.
U( t ) U( kT ) Y( k )
Señal de Señal de Señal de
Tiempo continuo Tiempo discreto Tiempo discreto
Figura 1.3-4 Procesador típico de datos
EJEMPLO 1.3-1 Determine la secuencia de números generada cuando la señal de tiempo
continuo:
Es uniformemente muestreada con periodo de muestreo:
(1) T = ¼ seg.
(2) T = ½ seg.
(3) T = 1 seg.
Es benéfico hacer un dibujo de U(t) contra t, como se muestra en la figura 1.3-5a en
relación a visualizar la operación de muestreo. En lo sucesivo, nosotros debemos suprimir
la apariencia explicita del periodo de muestras T y escribir U(KT) para la señal muestreada.
Por lo tanto el lector debe de interpretar la señal de muestreo como una secuencia de
números espaciados (separados) por intervalos de T segundos, donde T es el periodo de
muestreo fundamental.
La figura 1.3-5 da un dibujo de la secuencia de muestras resultantes generada por los
tres periodos de muestreo específicos. Aunque la misma función U(t) esta siendo
muestreada, esta claro que la secuencia de muestreo obtenida depende críticamente del
periodo de muestreo T. Por ejemplo, cualquier información esencial puede ser perdida por
seleccionar T muy grande como es evidente en este caso para T = 1 seg.
sistema -tiempo
discreto

19
EJEMPLO 1.3-2 determine la secuencia de números generada cuando la tensión de tiempo
continuo
Es uniformemente muestreada con el periodo de muestreo T. En contraste con la
aproximación tomada en el ejemplo 1.3-1, nosotros determinaremos la señal muestreda
resultante utilizando métodos analíticos. Específicamente, el numero muestreado U(kt) es
simplemente obtenido evaluando la función U(t) en el instante de tiempo Y = KT. Para la
función de arriba, tendremos entonces:
Y como será nuestra practica en lo que queda de este texto, ahora suprimiremos la
apariencia explicita de T en el argumento de U(k) para obtener:
De esta expresión es obvio que la secuencia generada depende fuertemente del
periodo de muestreo T.
U( t )
1
-1 0 1 t

20
1
T= ¼ seg. U( k )
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 k
1
T= ½ seg. U( k )
-2 -1 0 1 2 k
T= 1 seg. 1
-1 0 1 k
Figura 1.3-5 Proceso de muestreo uniforme con diferentes periodos de muestreo:

21
a) Onda formada sin muestreo ( efectivamente T= 0 seg. ).
b) T= ¼ seg.
c) T= ½ seg.
d) T= 1 seg.
Un punto en el cual nace repetidamente es el que nosotros suprimimos el argumento
T cuando denotamos U(kT) por U(k) a causa de una conveniencia notacional. De este
modo el lector interpretara la secuencia U(k), como un grupo de números separados T
segundos uno de otro, donde T es el periodo de muestreo fundamental. Mas adelante, esta
secuencia será dibujada como U(k) contra k, y no como U(kT) contra Kt.
1.4 SISTEMAS DE TIEMPO DISCRETO.
Como fue indicado en la sección 1.2, un sistema de tiempo discreto es un
dispositivo, el cual opera sobre una señal discreta (secuencia de números) para generar otra
señal discreta de acuerdo a alguna regla bien definida. Designaremos la señal discreta sobre
la cual opera el sistema como la señal de entrada, U(k), mientras que la señal discreta la
cual es generada por el sistema es llamada señal de salida (o respuesta), Y(k). Un diagrama
a bloques, el cual refleja esta interrelación es mostrado en la figura 1.4-1.
U(k) Y(k)
Figura 1.4-1 representación de un diagrama de cuadro de un sistema de tiempo discreto.
Sistema tiempo
discreto

22
ALGORITMO PARA OBTENER LA RAIZ CUADRADA DE UN
NUMERO.
Como un ejemplo de un sistema de tiempo discreto, consideremos un dispositivo en
el cual las señales de entrada y salida esta relacionadas una con la otra por regla.
Y( k ) = ½ [ y(k-1) +
)1(
)(
ky
kU
] 1.4-1
A saber, la salida presente, y(k), es calculada sumando la salida mas reciente, y(k-
1), a la entrada presente U(k), dividida por y(k-1), entonces multiplicar esta suma por la
constante ½. Para demostrar el siguiente procedimiento operacional, determinaremos la
respuesta de este sistema a una secuencia escalón de amplitud X, que es:
Donde la constante X, es restringida a ser positiva. Por esta fraseología, queremos
decir que una cosa es encontrar la señal de salida del sistema dado, cuando la señal de
entrada es una secuencia escalón con amplitud X.
Ya que la señal de entrada es igual a cero para tiempo discreto negativo, se sigue de la
relación (1.4-1) que la señal de entrada no afecta la señal de salida hasta que k es no
negativa. Por lo tanto, evaluaremos la expresión (1.4-1) comenzando con un tiempo
discreto k = 0 donde:
Y( 0 ) = ½ [ y(-1) +
)1(
)0(
y
U
]

23
Y( 0 ) = ½ [ Y(-1) +
)1(y
x
]
Debe notarse que el conocimiento del termino y(-1) es esencial si vamos a calcular
y(0). Procediendo como arriba, tenemos en k = 1.
Y( 1 ) = ½ [ y(0) +
)0(y
x
]
Donde el valor de y(0) ha sido encontrado de la iteración en k = 0. continuando de
esta manera obtenemos:
Para k = 0, 1, 2,...
Y( k ) = ½ [ Y( k-1 ) +
)1(ky
x
] (1.4-2)
Sin entrar en mas detalles de prueba, puede ser mostrado que la expresión iterativa (
1.4-2 ) producirá la señal de respuesta y( k ) la cual se aproxima a la raíz cuadrada del
numero positivo x, esto es:
Y( k ) cuando k crece
De este modo, la expresión (1.4-2) producirá un procedimiento efectivo para
calcular la raíz cuadrada de cualquier numero positivo. Se recordara que el valor de y(-1)
fue requerido en orden a evaluar y(0), el cual en su momento fue necesario para evaluar
y(1), etc.. Para nuestros propósitos, interpretaremos y(-1) como una condición inicial de la
raíz de x.
En la representación del diagrama de bloques del sistema usado para generar la raíz
cuadrada, la señal de entrada corresponde a una entrada escalón de amplitud X, mientras
que la salida es la k-esima aproximación de raíz de x.

24
EJEMPLO 1.4-1 calculemos √2 usando el algoritmo (1.4-2) y como una condición inicial
tomemos y(-1) = 1. por lo tanto, con X = 2 y Y(-1), evaluamos la expresión (1.4-2) en k = 0
para obtener.
Y( 0 ) = ½ [ 1 +
1
2
]= 3/2
Similarmente, en k = 1 y 2, encontramos que:
Y( 1 ) = ½ [2
3
+
3
4
] = 1.41666
Y( 2 ) = ½ [ 12
17
+
17
24
]= 1.41421
Así sucesivamente. Es evidente que la señal de repuesta y(k) converge a √2 muy
rápidamente. De hecho durante cada iteración el valor de y(k) se acerca a la raíz cuadrada
deseada. La figura (1.4-2), muestra la señal de respuesta dibujada como una función de k
para este ejemplo.
Figura 1.4-2 señal de respuesta del algoritmo de la raíz cuadrada con x = 2 y y(1) = 1.
-1 0 1 2 3 4 5
0.5
1
2

25
SISTEMA DE CUENTAS DE AHORRO.
La segunda aplicación de sistemas de tiempo discreto será tomada del campo de la
banca. Supóngase que un banco tiene un plan de ahorros el cual paga interés a una razón R,
compuesta n veces por año ( por ejemplo, n = 4 corresponde a un compuesto trimestral,
mientras que n = 365 corresponde a un compuesto diario ). * En lenguaje de hombre
profano, esto significa que un año esta dividido en n periodos de conversión iguales y que
el interés prevaleciente pagadero en cualquier periodo de conversión es R / n. Se asumirá
que cualquier deposito hecho en un periodo de conversión dado, no gana intereses hasta el
próximo periodo de conversión. A fin de formular un modelo matemático para este plan de
ahorros, ahora introduciremos las siguientes variables:
Y( k ) = La totalidad de fondos en la cuenta al final del k – esimo periodo de
Conversión.
U( k ) = La totalidad de depósitos hechos durante el k – esimo periodo de
Conversión.
Donde U(k) es un numero positivo para un deposito y un numero negativo para un
retiro.
Al concluir de cualquier periodo de conversión dado, la totalidad de fondos en la
cuenta es igual a la suma en deposito al principio de ese periodo, el interés formulado en
esta cuenta, y los depósitos hechos durante ese periodo. Esta observación puede ser
expresada matemáticamente como:
Y( k ) = y( k-1 ) + [(
n
R
) . y( k-1 )] + U ( k )
Y( k ) = [ 1 +
n
R
] y( k-1 ) + U( k )
Una computadora programada para implementar esta ecuación diferencia lineal de
primer orden, puede calcular la historia de ahorros de cuentas individuales. Ahora de hecho los
bancos mas modernos usan tales procedimientos. Cuando uno hace un deposito o retiro en una
cuenta dada, esta información es almacenada en un dispositivo de memoria y es al ultimo
utilizada por una computadora digital para calcular el estado de las cuentas de ahorro.

26
Para este modelo de un sistema de cuenta de ahorros, la señal de entrada
corresponde a los depósitos hechos; mientras que la señal de salida (respuesta)
Es igualada a la totalidad de los fondos de las cuentas.
EJEMPLO 1.4-2 Examinemos ahora la historia de una cuenta de ahorros especifica, bajo
un plan de ahorros, el cual paga interés a una razón de 5 % compuesto semanalmente. En
este caso: R = .05 y n = 2.
Será asumido que cuando la cuenta fue establecida había un deposito inicial de $
1,000. esto corresponde a y(0) = 1,000 ( esto equivale a U(0) = 1,000 ). Posteriormente, la
totalidad de los depósitos hechos durante periodos de conversión sucesiva es: $ 476, $ 355,
$ - 217, ( un retiro de la cuenta ), $ 727, etc. Este historial de depósitos corresponde a la
secuencia de entrada.
U ( 1 ) = 476
U ( 2 ) = 355
U ( 3 ) = -217
U ( 4 ) = 727
* una razón R es equivalente a una razón de porcentaje anual de 100 %
Usando la expresión ( 1.4-3 ), podemos calcular el estado de la cuenta al cierre de los
periodos de conversión sucesivos. Específicamente, al final de la primera mitad del año ( k-
1 ), tenemos:
Y( 1 ) = ( 1 + .025 ) y( 0 ) + U ( 1 )
= ( 1.0250 X 1000 ) + 476 = 1501
De manera similar.
Y( 2 ) = 1.025 y( 1 ) + U( 2 )
= ( 1.025 x 1501 ) + 355 = 1893.53
y ( 3 ) = 1.025 y( 2 ) + U( 3 )
= ( 1.025 x 1893.53 ) – 217 = 1723.87
Y ( 4 ) = 1.025 y( 3 ) + U( 4 )
= ( 1.025 x 1723.87 ) + 727 = 2493.96

27
y así sucesivamente. El estudiante principiante es precavido en no caer en el error común
de mal interpretar el tiempo discreto k. En este ejemplo, k representa el numero de medios
años en el tiempo y no el numero de años.
OBSERVACIÓN.
Una comparación casual de las ecuaciones diferencia gobernantes, del algoritmo de la
raíz cuadrada ( 1.4-1 ) y el modelo de las cuentas de ahorro ( 1.4-3 ) debería revelar que
aquellas son de la misma forma básica, ya que cada una envuelve una manipulación
algebraica de las variables U(k) y y(k-1) para generar y(k). Sin embargo, esto esta lejos de
ser cierto. El algoritmo de la raíz cuadrada es un ejemplo de un sistema no lineal, mientras
que el modelo de la cuentas de ahorro es un sistema lineal. Como subsecuentemente
mostraremos, los sistemas lineales cuentan con ciertas propiedades, las cuales harán de sus
estudios de orden de magnitud mas simple que sus contrapartes no lineales. Entre las
principales esta el principio de superposición ( se ha desarrollado en el capitulo 4 ) el cual
establece:
Si la respuesta de un sistema lineal y las entradas U1(k) y U2(k) aplicadas
separadamente son y1(k) y y2(k), respectivamente, entonces la repuesta de este sistema a
la entrada U(k) = a1U1(k) + a2U(K) es y(k) + a2y2(k).
Donde: a1 y a2 son constantes arbitrarias.
Como estamos interpretando y sacando usos ventajosos de este principio
Será retornado en el capitulo 4. suficiente es decir; que por que los sistemas no lineales no
poseen esta propiedad, un análisis de tales sistemas es difícil en el mejor de los casos. Por
que de esto, y de hecho de que los sistemas lineales de tiempo discreto son importantes en
su derecho, nuestros esfuerzos serán restringidos a un estudio de sistemas lineales. Es por
lo tanto necesario que el lector sea capaz de determinar si un sistema dado es lineal o no
lineal.
Para sistemas discretos lineales * la regla que relaciona la señal de entrada, U(k), y la
señal de salida, y(k), toma la forma de una ecuación diferencial lineal. El mas simple de los
sistemas discretos lineales es el sistema discreto lineal de primer orden.
*Usaremos en lo sucesivo la designación corta de sistema discreto lineal en lugar de sistema de
tiempo discreto lineal.

28
1.5 SISTEMA LINEAL DISCRETO DE PRIMER ORDEN.
Consideremos ahora un sistema discreto lineal de primer orden. Caracterizado por la
ecuación diferencia lineal de primer orden.
Y( k ) = b0 U( k ) + b1 U( K – 1 ) – a1 y( k –1 ) (1.5-1)
Donde: b0, b1, a1, son constantes cuyos valores determinan el comportamiento dinámico de
este sistema.
Esta relación es una regla bien definida por la cual las señales de entrada y salida
están relacionadas. A saber la salida presente y(k), es calculada tomando una combinación
lineal de la entrada presente U(k) y los valores mas recientes de la entrada U(k-1), y las
señales que se especificaron por la relación (1.5-1).*
El lector no debe estar confundido por la incorporación de los parámetros b0 = 1, b1 =
0, y a1, en este formato general. Para sistemas específicos, estos parámetros toman valores
fijos tal como el sistema de cuentas de ahorro (1.4-3), donde b0 = 1, b1 = 0 y a1 = - (1+
n
R
).
Usando representación general somos capaces de estudiar toda una clase de sistemas de
tiempo discreto lineal.
Se muestra después que una multitud de distintos sistemas diferentes son regulados
por una ecuación diferencia de primer orden de forma (1.5-1). Desarrollándola con
facilidad para seleccionar valores para los parámetros a1, b0 y b1 en relación a lograr los
objetivos especificados va a ser una de nuestras metas.
Un dispositivo en el cual se implementa la relación (1.5-1) debe ser capaz de:
1.- Guardar los valores de los parámetros a1, b0, y b1.
2.- Guardando los valores mas recientes de las señales de entrada y salida,
U(k-1) y y(k-1), respectivamente.
3.- Calcular el valor de la combinación lineal dada por la expresión (1.5-1).
Debe ser obvio para la mayoría de los lectores que una computadora digital puede
implementar un sistema discreto lineal, como el generado por la expresión (1.5-1). Los
requerimientos 1 y 2 implican que la computadora debe de tener la habilidad de guardar
cinco variables [ a1, b0, b1, U(k-1), y(k-1) ] en su memoria.

29
* Combinación lineal: se dice que Y es una combinación lineal de elementos x1, x2,...xn. si y
solo si Y es expresada como:
Y = a1 x1 + ... + an xn
Donde a1, a2,... an, son números independientes de los xi elementos, y al menos uno de los ai diferente de
cero.
RESPUESTA DE UN SISTEMA DISCRETO LINEAL DE PRIMER
ORDEN.
En estudios que evalúen los sistemas discretos, es común determinar la respuesta de
tales sistemas a las señales de entrada las cuales son aplicadas al comenzar el tiempo
discreto k = 0. por esto, es implícito que la señal de entrada sea idénticamente cero, para un
tiempo discreto negativo. Por ejemplo: U(k) = 0 para k negativo.
En general, una señal de entrada puede ser aplicada comenzando en cualquier valor
de tiempo discreto.
Nos permite determinar ahora como la señal de salida del sistema (1.5-1) envuelve
una respuesta a una señal de entrada aplicada en k = 0. La forma general de tal entrada Será
entonces una secuencia caracterizada por:..., 0, 0, 0, U(0), U(1), U(2),...Ya que la señal de
entrada es cero para un tiempo discreto negativo. Lo vemos de la expresión (1.5-1) que esta
no tiene influencia sobre y(k) para k negativo. Su primer influencia en y(k) se siente en k =
0 donde:
Y( 0 ) = b0U( 0 ) + b1U( -1 ) – a1y( -1 )
Y ya que U(-1) = 0, esto se convierte en:
Y( 0 ) = b0U( 0 ) – a1y( -1 )
Vemos como es necesario conocer el valor de la señal de salida justo antes de la
aplicación de la señal de entrada, por ejemplo: y(-1) para calcular y(0). El siguiente
elemento de la señal de salida, y(1), es obtenido evaluando la expresión (1.5-1) para k = 1,
la cual lleva:
Y ( 1 ) = b0U( 1 ) + b1U( 0 ) – a1y( 0 )
Donde y(0) ha sido determinada por una iteración anterior, y fue almacenada en la
memoria de la computadora como fue U(0).

30
En la segunda iteración tenemos que:
Y( 2 ) = b0U( 2 ) + b1U( 1 ) – a1y( 1 )
Donde U(1) y y(1) han sido almacenadas en la memoria de la computadora al final
de la iteración previa. Procediendo de esta manera, podemos determinar los elementos
restantes de la señal de respuesta y(k).
Para calcular la respuesta del sistema (1.5-1) a una señal de entrada aplicada en k =
0, se encontró que es importante el conocimiento de los valores de los elementos y(-1),
U(0), U(1), U(2). El termino y(-1) es llamado comúnmente como: “condición inicial del
sistema”, como especifica el estado del sistema justo antes de la aplicación de la señal de
entrada.
CONDICIÓN INICIAL.
Las condiciones iniciales del sistema contienen toda la información esencial necesaria
concerniente a un sistema de primer orden para calcular su respuesta a cualquier entrada.
Como ya hemos demostrado, si la entrada es aplicada en k = 0, el termino y(-1) juega el
papel de la condición inicial. De cualquier forma uno no debe de llevarse la impresión
equivocada de todas las señales de entrada que son aplicadas en k = 0. esto no es
ciertamente verdadero, aunque será el caso para la mayoría de ejemplos tratados en este
libro. Para tratar la situación mas general, déjenos calcular la respuesta del sistema (1.5-1) a
una señal de entrada aplicada en k = p, donde p es un entero arbitrario pero constante.
Específicamente, la señal de entrada U(k) es considerada cero para el tiempo discreto k,
menor que p y por consiguiente la primer influencia de la señal de salida para k = p, donde:
Y( P ) = b0U1( p ) + b1U( p – 1) – a1y( p – 1 )
= b0U( p ) – a1y( p – 1 )
es obvio que para calcular y(p), debemos conocer el valor de y(p-1), que juega el papel de
la condición inicial. Por este simple sistema de primer orden, la condición inicial es igual al
valor de la señal de salida un tiempo discreto antes de aplicar la señal de entrada. El
siguiente ejemplo además demuestra este concepto.
EJEMPLO 1.5-1 determine la respuesta de un sistema de cuentas de ahorro para el cual las
señales de entrada y salida están relacionadas por:
Y( k ) = U( k ) + 1.025 y( k – 1 )

31
Y donde la señal de entrada esta dada por:
U( k ) = 0 para k = -2, -3, -4,...
U ( -1 ) = 4
U ( 0 ) = -3
U ( 1 ) = 6
Etc...
La señal de entrada comienza a influenciar sobre la señal de salida en el tiempo
discreto k = 1, ya que es cero para todos los tiempos discretos que preceden a k = -1. De
aquí que, y(-2) juega el papel de la condición inicial y será tomada para igualarla a 2 en este
ejemplo. Para encontrar la señal de respuesta, evaluaremos la ecuación diferencia
gobernante comenzando en K = -1, donde:
Y( -1 ) = U( -1 ) + 1.025 y( -2 )
Desde que la condición inicial, y( -2 ) fue tomada para ser mientras que
U( -1 ) = 4, esto se transforma en:
Y( -1 ) = 4 + ( 1.025 ) x ( 2 ) = 6.050
Para k = 0, tenemos:
Y( 0 ) = U( 0 ) + 1.025 y( -1 )
= -3 + ( 1.025 ) x ( 6.050 ) = 3.20125
continuando de esta manera podemos generar los términos faltantes de la respuesta. Este
ejemplo puntualiza el hecho de que la condición inicial para un sistema de primer orden, no
siempre necesita ser y(-1). Sin embargo en la mayor parte de nuestras aplicaciones, la señal
de entrada es normalmente aplicada en k = 0, así que y(-1) usualmente sirve como la
condición inicial para un sistema discreto de primer orden.

32
1.6 RESPUESTA AL ESCALON UNITARIO DE UN SISTEMA DE PRIMER
ORDEN.
Será mostrado subsecuentemente que el sistema de primer orden gobernado por:
Y( k ) = U( k ) + y( k – 1 ) (1.6-1)
Juega un papel central en el campo de procesamiento de datos. Aquí y son
consideradas para ser constantes. Para ilustrar mas adelante el comportamiento lineal de la
respuesta de un sistema discreto, debemos por lo pronto determinar la respuesta al escalón
unitario de este sistema bajo la superposición de que la condición inicial y(-1) es cero. En
este caso la señal de entrada esta dado por:
U( k ) = 0 para k = -1, -2, -3,...
Donde e(k) denota el error aleatorio presente en la k-enésima medición. Los
científicos ahora tiene que procesar esas mediciones contaminadas de error, en orden para
obtener una estimación exacta de g.
Este procedimiento de datos puede ser realizado usando la secuencia de mediciones {U(k)}
como la señal de entrada al sistema discreto lineal.
Y(k)=(1- )U(K)+ y(k-1)
La razón por las que esta forma de procesamiento de datos es efectiva no puede ser
mostrada en este momento. Sin embargo podemos dar un argumento heurística como a esta
conclusión, a saber, la señal de entrada es en efecto la suma de una señal escalón de
amplitud g y la señal de error e(k). Después de desarrollar las herramientas necesarias en
capítulos pasados, se puede mostrar fácilmente que la respuesta del sistema de
procesamiento de datos a la secuencia dada de mediciones U(k) es:
)(1)( 1
kygky e
k
para k=0,1,2,...
Donde ye(k) designa la respuesta del sistema dado a la suma de error aplicada
separadamente. Si el parámetro es seleccionado tan cerca pero menor que uno (ejem.
=0.99), podemos hacer arbitrariamente ye(k) tan pequeña como queramos. De aquí que
seleccionado de esa manera la señal de respuesta resultante es
y(K) g para k grande

33
En palabras, esto implica que la respuesta del procesador de datos dado para la señal
de entrada U(k) alcance el valor del parámetro g, el cual estamos intentando estimar. Así el
procesador de datos efectivamente ha filtrado la porción e ruido de la señal de entrada y ha
transitito realmente la porción de referencia de información.
Es notable que y(k) alcanza el valor deseado de g solo después de que el término
1k
por si mismo va a cero.
En el orden a que la señal de respuesta se acerque a g rápidamente, es evidente que
deberá elegirse mas cerca de cero. Desafortunadamente será mostrado en pocas palabras
que tal selección de causará que y e(k) se haga grande relativamente(por ejem. El sistema
no filtra ruido). Estamos entonces ante un aparente callejón sin salida. A saber, deseamos
seleccionar para hacer el sistema de respuesta rápida ( cerca de cero) y al mismo tiempo
poder remover la señal de ruido e(k) de la respuesta ( cerca de UNO). En este caso,
debemos seleccionar el parámetro suficientemente grande para remover efectivamente el
ruido y estar satisfechos con las características de velocidad de respuesta resultante estar
satisfechos con las características de velocidad de respuesta resultante. Afortunadamente,
este ejemplo servirá como otro estimulante para el estudio de sistemas
U(k)=1 para k=0,1,2...
Ya que la señal de entrada primero es cero para k=0, primero influye al sistema en
k=0 donde
Y(0)= U(0)+ y(-1)
Ahora usaremos el hecho de que U(0)=1 y y(-¡)=0 para obtener
Y(0)=
En el tiempo discreto K=1, la señal de respuesta está dada por
Y(1)= U(1)+ y(0)
Y ya que U(1)=1 y y(0)= tenemos
Y(1)= +
(1+ )
Evaluando la señal de respuesta en una manera similar para k=2,3 y 4 produce:

34
)1()2( 2
y
)1()3( 32
y
)1()4( 432
y
Si uno fuera a evaluar y(k) para k=5,6,7..., este patrón debería continuar
manteniéndose, esto es, la señal de respuesta en el tiempo discreto está dada por
)1()( 32 K
Ky para K=1,2,... (1.6-2)
Aunque esto es de hacho la respuesta al escalón unitario del sistema, la expresión
para esta respuesta está en la forma más indeseable. Específicamente, en relación a calcular
y(k) por medio de la relación (1.6-2) uno debe transformar una razón muy grande de
números de multiplicaciones y adiciones.
Para valores grandes de k esto puede ser el proceso más tedioso y de consumo de
tiempo. Afortunadamente, la señal de respuesta como fue dada por la expresión (1.6-2)
tiene una representación mucho más simple. Para demostrar esto, primero multipliquemos
cada lado de la ecuación (1.6-2) por para obtener
)1()( 132 k
ky
Ahora sustraemos esta cantidad de y(k) como fue dado por la relación (1.6-2) para
obtener
Y(k)- y(k)=(1- k+1)
Después de expresar el lado izquierdo como (1- )y(k) y luego dividir ambos lados
por el número (1- ), llegamos a la expresión de la forma cerrada de expresión para la
respuesta escalón unitario dada por
1
1
1
)( k
a
a
ky para k=0,1,2,... (1.6-3)
Aunque las expresiones (1.6-2) y (1.6-3) son idénticas, la ultima forma compacta es
deseable a la analítica y la del punto de vista de cálculos. En el estudio de cualquier sistema
tal como para la forma de la señal de respuesta, siempre será nuestra meta.
De la señal de respuesta (1.6-3) es evidente que, si el parámetro tiene una
magnitud mayor que 1, entonces él termino 1
1 k
se convierte arbitrariamente grande en
la magnitud, como k se incremente. Esto es sistemático de un comportamiento inestable y
el parámetro semejante va a ser prohibido normalmente. Entonces estaremos

35
usualmente interesados, en aquellas situaciones donde es menor que uno en magnitud.
para tales casos vemos que él termino 1
1 k
, se acerca a 1 el tiempo discreto k crece y la
respuesta al escalón unitario alcanza el valor
a
ky
1
)( para k grande
Para tanto, la respuesta al escalón unitario del sistema dado se mira como una señal
escalón de amplitud /(1- ) para k grande. El hecho de que las señales de entrada y
respuesta tengan la misma forma en este caso no es coincidencia.
SISTEMA NORMALIZADO.
El sistema original (1.6-1) se dice ser normalizado si el parámetro es seleccionado
igual a (1- ) esto es
Y(k)=(1- )U(k)+ y(k-1) (1.6-4)
Entonces se sigue directamente de la expresión (1.6-3) que la respuesta escalón
unitario para este sistema normalizado está dado por
1
1)( k
ky para k=0,1,2,...
Para cuando tiene una magnitud menor que uno, vemos que la señal de salidas
para este sistema normalizado se parecerá a la señal escalón unitario para k grande. Es por
esta razón que el sistema se dice ser normalizado. La razón a la cual y(k)

36
Figura 1.6-1 Unidad de paso respuesta de un sistema normalizado.
Alcanza la unidad depende exclusivamente de . Conforme esté mas cerca de
cero más rápidamente y(k) alcanza el valor uno (estado estable). Esto se hace claro en la
Fig. (1.6-1) donde la respuesta al escalón unitario es dibujada para diferentes valores de .
Ahora está claro que el valor de determina la velocidad de respuesta del sistema (1.6-4) a
un escalón unitario.
EJEMPLO 1.6-1 para demostrar una aplicación típica de un sistema discreto lineal,
debemos considerar la siguiente aplicación práctica de procesamiento de datos. Suponga
que un satélite en la órbita de la luna tiene equipo de medición de gravedad para determinar
el valor del parámetro de gravedad, g, gobernante de la luna. Esto es realizado tomando una
secuencia de mediciones sobre g, y esos valores de medición son luego transmitidos de
regreso as la tierra por medio del equipo de comunicación del satélite. Luego en la estación
terrestre, los científicos tienen disponible una secuencia de mediciones sobre g, denotadas
por U(0), U(1), U(2)... para los cuales el parámetro de la gravedad de la luna. A causa de
los errores de instrumentación, transmisión, etc., cada una de las mediciones sobre g
tendrán algo de error, esto es
U(k)=g + e(k) para k=0,1,2,..
Discretos lineales. Subsecuentemente estudiamos en detalle los conceptos aludidos
en esta explicación de procesamiento de datos.

37
1.7 IDENTIDADES UTILES PARA EXPRESIONES DE FORMA CERRADA
En la sección pasada se definió una expresión de forma cerrada para la respuesta
escalón unitario de un sistema dado. Para análisis de sistemas tal formulación será
invaluable en e el estudio de las características de sistemas lineales. Ahora daremos tres
importantes identidades para sumatorias las cuales serán repetidamente usadas en la
formulación de expresión de forma cerrado. Para la respuesta de sistemas lineales a varias
entradas. Estas identidades y el procesamiento para derivarlas debe ser confiado a la
memoria.
El uso más frecuente de la identidad en forma cerrada es para la sumatoria
Geométrica truncado definida por
kk
k
i
i
S 12
0
...1
En orden para obtener una expresión conveniente de forma cerrada para esta
sumatoria primero multiplicamos cada lado.
kk
S 12
...
Por la constante , obteniendo después la identidad S es sustituida por S para
producir
1
1 k
SS
Expresando el lado izquierdo como y luego dividiendo ambos lados por la constante
llegamos a la expresión deseada para S dada por
1
1 1
0
kk
i
i
para 1
Aplicando procedimientos similares (ver problemas 1.7-1 y 1.7-2) uno puede
rápidamente derivar las siguientes identidades útiles para sumatorias
1
2
0
1
1
kk
k
i
i
k para k

38
kkk
k
i
i
kk 22
3
0
11211
1
EJEMPLO 1.7-1 uno puede usar las identidades de arriba para evaluar sumatorias, las
cuales son de forma similar. Como subsecuentemente veremos esto será una facilidad
importante para considerar en nuestro estudio de sistemas discretos lineales, como ejemplo,
debemos determinar una expresión de forma cerrada para la sumatoria.
k
i
i
2
Una comparación de esta sumatoria con la expresión (1.7-1) revela que son
idénticas con la excepción de los dos primeros términos. Esto inmediatamente sugiere la
siguiente manipulación
k
i
i
k
i
i
2
11
2
11
k
i
i
0
1
Ahora incorporaremos la identidad (1-7-1)
1
1
1
2
1k
i
k
i
1
12 k
para 1

39
El cual es el resultado deseado. El punto más importante de este ejercicio fue el
procedimiento tomado arriba del resultado (y luego restando) los términos apropiados.
Pusimos la sumatoria dada en una forma en la cual la expresión de forma cerrada ya es
conocida. Este enfoque, será usado frecuentemente en otros estudios.
1.8 SISTEMA GENERAL DISCRETO LINEAL
El sistema lineal de primer orden es el ejemplo más simple de un sistema discreto
lineal. Para fenómenos más complejos, es necesario usar modelos lineales más sofisticados.
Para el propósito de este texto un sistema discreto se dice ser lineal si la salida presente y(k)
es expresada como una combinación lineal de las salidas pasadas y las entradas presentes y
pasadas. Por lo tanto, un sistema es lineal si la señal de salida presente y(k) es generada por
una relación dela forma
)(...)2()(...)1()()( 210 nkyakyamkUbkUbkUbky nm (1.8-1)
Donde b0,b1,...,bm,a1,a2,...,an, son constantes y m y n son enteros no negativos
fijos. Esta expresión es un ejemplo de una ecuación diferencial lineal de n-enésimo orden.
Esta se dice ser de orden n porque la salida presente y(k) depende de sus valores previos
y(k-1), y(k-2),...,y(k-n) las cuales se desplazan hacia otras n unidades de tiempo discreto.
(nota: este no es un sistema de m-ésimo orden)
Para calcular la señal de respuesta y(k) para este sistema de n-esimo orden, es
evidente de la relación (1.8-1) que los valores previos de las señales de entrada y salidas
U(k-1),U(k-2),...,U(k-m), y y(k-1),y(k-2),...,y(k-n), respectivamente deben ser almacenados
en la memoria del dispositivo de implementación junto con los coeficientes ai y bi. Una vez
que la señal de entrada presente U(k) este disponible, entonces uno evalúa la combinación
lineal (1.8-1) para obtener y(k). Uno procede en este modo iterativo para calcular la señal
de respuesta para los valores resultantes de tiempo discreto.
Ya que hay m+n+1 coeficientes y m+n valores previos de los elementos s de la
señal de entrada y salida para evaluar la expresión (1.8-1), se sigue que el dispositivo de
implementación debe tener la capacidad para almacenar 2m+2n+1 números. Esto es
mencionado ya que el costo del dispositivo de implementación es proporcional a los
requerimientos de la memoria, y de esto por consiguiente conviene al diseñador hacer m y n
tan pequeños como sea posible mientras se mantengan los objetivos de diseño. En muchas
aplicaciones, el tiempo de computación requerido para llevar a cabo las sumas y
multiplicaciones especificadas por la expresión (1.8-1) también juegan un papel critico
como ha m+n+1 multiplicaciones y m+n sumas, vemos que el tiempo de comparación es
proporcional a m+n, y la deseabilidad de hacer m+n pequeños es obvio de nuevo.

40
Par un sistema lineal de primer orden, se mostró que la condición inicial juega un
papel de llave en la respuesta del sistema. Esta condición inicial se mostró sé igual al valora
de la señal de respuesta un tiempo discreto previo a la aplicación de la señal de entrada.
Ahora mostraremos que un sistema lineal de n-esimo orden tiene un juego n de
combinaciones iniciales asociadas.
Una definición mas general de un sistema discreto lineal es una en la cual la calidad
presente del sistema de una combinación lineal de salida pasadas y entradas presentes,
pasadas y futuras. Esta definición extendida será de poco valor práctica en las mas de las
aplicaciones.
Apliquemos al sistema (1.8-1) una entrada la cual no es cero primero en el tiempo
discreto k=p, donde p es algún entero especifico. Como puede ser visto de la ecuación
diferencial gobernante, la entrada primero influye la salida en el tiempo k=p, donde
)(...)2()1()()( 210 nPyaPyaPyaPUbPy n
Nosotros hemos usado el hecho de que U(p-1)=U(p-2)=...=U(p-m)=0 para llegar a
este resultado. Es evidente de esta expresión que los valores de las variables y(p-1), y(p-
2),...,y(p-n) deben ser conocidas si nosotros tenemos que calcular y(p) y, en turno, y(p+1),
y(p+2),etc. Los elementos y(p-1), y(p-2),...,y(p-n) son llamadas las condiciones iniciales
asociadas con el sistema de n-ésimo orden (1.8-1). De aquí un sistema lineal de n-esimo
orden tiene un juego de n condiciones iniciales asociadas. Esas condiciones iniciales
asociadas se mostró que es igual a los valores de la señal de respuesta para los n tiempos
discretos inmediatos previos as la aplicación de la señal de entrada.
EJEMPLO 1.8-1 En él capitulo 2, unos modelos de ingreso nacional será desarrollado. Si
dejamos que y(k) y U(k) denoten los valores d ingreso nacional y gasto gubernamental,
respectivamente, cada uno tomado en el k-esimo periodo del estado de cuenta, se mostrará
que
)2()1()1()()( kykykUky
Sirve como modelo para el fenómeno de ingreso nacional. Los parámetros y son
constantes, los cuales caracterizan las propiedades dinámicas de este modelo. Aquí tenemos
un ejemplo de un sistema discreto lineal de segundo orden ***** este modelo de ingreso
nacional puede ser usado en la siguiente manera: suponga que el gobierno federal desea que
el ingreso nacional crezca a una razón anual de 5%. Si el modelo de arriba está basado
sobre una razón anual (ejem., el parámetro k denota el k-esimo año) es entonces necesario
consumir una cantidad en el k-esimo año tal que y(k)=1.05 y(k-1). El consumo necesario es
entonces

41
)2()1()1()()( kykykykU
)2()1(1(05.1 kyky
El cual es una combinación lineal del ingreso nacional conocido para los dos años
mas recientes.
1.9 SISTEMAS DISCRETOS NO LINEALES
Un sistema discreto se dice ser lineal si su salida presente no es una combinación
lineal de los elementos de la señal de entrada y salida pasadas como fue dado en la relación
(1.8-1). Por ejemplo, el sistema usado para calcular sistemáticamente la raíz cuadrada de un
número positivo
)1(
)(
)1(
2
1
)(
ky
kU
kyky
Es un sistema discreto no lineal. Esto sigue porque el término
1kY
KU
no es una
combinación lineal de U(k) ó y(k-1). Aunque los sistemas no lineales son ciertamente útiles
su estado es altamente especificado, y a la fecha no se ha desarrollado un tratamiento
satisfactorio. Por otro lado una silenciosa y hermosa teoría sobre sistemas discretos existen
la cual nos permitirá estudiar sus características en gran detalle. De aquí en adelante,
restringiremos nuestra atención a sistemas lineales
1.10 SISTEMAS VARIANTES EN EL TIEMPO
El sistema discreto lineal como el gobernado por la expresión (1.8-1) se dice ser
variante en el tiempo si los coeficientes b0,b1,...,bm,a1,a2,...,an que gobiernan su
comportamiento dinámico son constantes fijos. Por otro lado, sistemas para los cuales esos
coeficientes son funciones de tiempo discreto k son llamados de tiempo variable. Con la
excepción del siguiente ejemplo y la sección 3.10, estudiaremos exclusivamente sistemas
lineales invariantes en el tiempo.
Ejemplo 1.10-1 En teoría de probabilidad y estadística uno frecuentemente necesita evaluar
el número de combinaciones de n elementos tomando k a la vez. Este número está dado por

42
)!(!
!
knk
nn
k
para k = 0,1,2,...,n
Donde k y n son enteros positivos, y la formula para n factorial es
)1).(2)...(2).(1).((! nnnn
De aquí que para evaluar n!, debemos ejecutar n-2 multiplicaciones para n
moderadamente
n
k
grande, la evaluación de nk no es algo trivial. Un procedimiento sistemático para su
evaluación será dado ahora en el cual definimos
)!(!
!
)()(
knk
n
ky n
k para k = 0,1,2,..., n
De esta expresión sigue
)!1(!1
!
)1(
Knk
n
ky para k = 1,2,...,n+1
La relación entre y(k) y y(k-1) es mostrada rápidamente que es
1
1
)( ky
k
kn
ky para k=1,2,...,n (1.10-1)
Esta es una ecuación difencial lineal de primer orden con parámetros
010 bb y
k
kn
a
1
1

43
Y la condición inicial y(0)= n
0 =1
El coeficiente al que multiplica el término y(k-1) es una función del tiempo discreto
k, y por lo tanto este sistema es de tiempo variable.
Para generar la secuencia y(k), evaluamos la ecuación diferencial característica
(1.10-1) en k=1,2,3,...,n. De aquí resulta que
en k=1, y(1) = ny(0) = n
en k=2, y(2) = n-1 / 2y(1)
en k =n. Y(n)= 1 / n y(n-1)
En medio de este procedimiento iterativo, hemos generado un juego completo de
combinaciones n
k para k=1,2,...,n en términos de tiempo de computación es necesario
ejecutar únicamente n-a divisiones, para calcular a1(k) y(k-1) multiplicaciones para
calcular los productos a1(k) y(k-1) para generar la secuencia y(k). Los ahorros en
computación logrados formulando el problema en esta forma iterativa pueden ser
apreciados si notamos que un total de 2n-5 multiplicaciones y una división son necesarias
para calcular n
k un elemento del arreglo si es usadas la formula estándar
!1
!
knk
n
Por
lo tanto son requeridas un total de 2n2**-9n+10 multiplicaciones y n-2 divisiones par
calcular la secuencia y(k) cuando es incorporada la formula directa.
1.11 UNIDADES BASICAS DE LOS SISTEMAS DISCRETOS LINEALES
Una representación en diagrama de bloques de un sistema discreto lineal nos
posibilita par obtener una interpretación visual de las características dinámicas del sistema.
En resumen, esto revela un método posible para implementar las ecuaciones diferenciales
lineales gobernantes del sistema. Para tales representaciones, existen tres unidades básicas
necesarias: (1) unidad de retardo, (2) unidad multiplicadora, y (3) unidad sumadora. Esas
unidades serán ilustradas como se muestra en la fig. 1.11-1. interconectando
adecuadamente tales unidades, mostraremos que es posible implementar cualquier sistema
discreto lineal. Se presentará ahora una descripción de las característica de esas tres
unidades básicas.

44
UNIDAD DE RETARDO
Una unidad de retardo es un dispositivo el cual opera sobre una señal discreta (señal
de entrada) para generar otra señal discreta (señal de salida) la cual es idéntica a la señal de
entrada excepto que esta retardada una unidad de tiempo discreto. La relación que
caracteriza a esta unidad es entonces
y(k) = U(k-1)
Fig 1.11-1 unidades básicas: a)unidad de retardo, b) unidad multiplicadora c)unidad de
suma
La fig. 1.11-1a ilustra la representación de una unidad básica de retardo para se
usadas en este texto. por razones que se harán evidentes en el capítulo 5, esta unidad está
representada como un rectángulo con la letra Z-1 encerrada.
La operación de retardo es por tanto mejor ilustrado mostrando su efecto sobre una
señal discreta típica. Consideremos que la señal escalón unitario mostrada en la fig. 1.11-
2A esta aplicada a la unidad de retardo. La salida de esta unidad será entonces la secuencia
mostrada en la fig. 1.11-2b de aquí que la unidad de retardo desplaza (retarda) la señal de
entrada una unidad de tiempo discreto a la derecha.

45
Conectando dos unidades de retardo en cascada (esto es, la señal de salidas de la
primera unidad de retardo sirve como señal de entrada a la segunda unidades de retardo) es
posible obtener un retardo de dos unidades de tiempo discreto. La fig. 1.11-3 ilustra la
conexión en cascada y las señales que resultan en la terminal de salida de cada unidad de
retardo en el tiempo discreto k.
Más generalmente, uno puede obtener un sistema el cual retarda la segunda de
entrada U(k)p unidades de tiempo discreto conectando p unidades de retardo de cascada.
Nosotros podemos designar tal conexión por una simple caja con k***** en el lugar mas
conveniente.
UNIDAD MULTIPLICADORA
Una unidad multiplicadora es un dispositivo el cual opera sobre una secuencia de
números (señal de entrada) para generar otra secuencia (señal de salida) la cual es idéntica a

46
La secuencia de entrada multiplicada por algunas constante fija a. por lo tanto, si
U(k) es la entrada a la unidad multiplicadora, la salida resultante es
Y(k)=aU(k)
La fig. 1.11-1b describe la representación de una unidad multiplicadora básica para
ser usada en este texto.
UNIDAD DE SUMA
Una unidad de suma es un dispositivo el cual toma dos o mas señales discretas y las
suma para generar otra señal discreta. Por ejemplo si la señal U1(k) y U2(k) son aplicadas a
la entrada de la unidad de suma, la señal de salida resultante esta dada por
Y(K)=U1(K)+U2(K) (1.11-3)
Una unidad de suma será dibujada como se muestra en la figura 1.11-1c.
Frecuentemente será necesario formar una señal discreta la cual es la diferencia de dos
señales discretas dadas, esto es
Y(k)= U1(K)-U2(K)
Esta operación será dibujada por una unidad de suma con un signo negativo en la
terminal de entrada U2(k), como se muestra en la fig. 1.11-4

47
Una computadora digital puede implementar cada una de las operaciones ejecutadas
por las unidades básicas. La unidad de retardo es en efecto un dispositivo de memoria por
medio del cual un numero (por ejemplo; U(k-1)) es almacenado en el tiempo discreto k-1 y
recavado en el tiempo discreto k. Uno puede, en parte medir los requerimientos de memoria
de un sistema discreto contando el numero de unidades de retardo usadas en su
implementación. Las unidades multiplicadoras son dispositivos los cuales llevan a cabo la
operación de multiplicar un numero fijo por otro numero alimentado a su terminal de
entrada (por ejemplo; a U(k)). Estos dispositivos deben por tanto poseer la capacidad de
almacenar el numero multiplicador fijo ( esto es, a). Por lo tanto cada unidad multiplicadora
usada en una implementación dada especifica los requerimientos de memoria de una
unidad. Una unidad de suma es un dispositivo el cual suma dos o mas números alimentados
a sus terminales de entrada y no tiene requerimientos de memoria generados por su uso.
Ya que el costo de un sistema discreto lineal dado es proporcional a sus
requerimientos de memoria, podemos aproximar esto contando simplemente el numero de
unidades de retardo y multiplicación usadas en su implementación. Si uno entonces
implementa una ecuación diferencia lineal dada usando unidades básicas, un criterio de
diseño obvio seria el de minimizar la totalidad usada de unidades de retardo y
multiplicación
REPRESENTACION DE SISTEMAS DISCRETOS LINEALES CON
UNIDADES BASICAS.
Para mostrar un método para representar un sistema discreto lineal usando unidades
básicas, consideremos el sistema de primer orden caracterizado por
Y(k)=b0U(k)+b1U(K-1)-a1y(k-1) (1.11-4)
Primero descomponemos el lado derecho de esta expresión en dos términos
b0U(K)+B1U(K-1)Y –a1y(k-1). De la expresión(1.11-4), se nota que y(k) es simplemente
la suma de esos dos términos y puede ser generada por una unidad de suma, con esos dos
términos sirviendo como las señales de entrada como se muestra en la figura 1.11-5ª. La
señal –a1y(k-1) puede ser generada aplicando a la señal y(k) una combinación de unidades
de retardo y multiplicación como se indica en la fig. 1.11-5b. La implementación del
sistema(1.11-4) se completa generando la señal b0U(K)+B1U(K-1) como se mostró en la
fig. 1.11-5c. La varían señales presentes en el tiempo k son mostradas en este diagrama.

48
e(k-1)=U(K-1)+
c
ab
U(K-1)-
c
a
y(k-1)
finalmente, sustituimos esta identidad en la relación (1.11-6) para obtener la ecuación
diferencia que relaciona a y(k) y U(k), esto es

49
y(U)= bU(k)+(c+ab)U(K-1) (1.11-8)
Si esta ecuación diferencia de primer orden se va a hacer idéntica a la expresión
(1.11-4), debemos tener a=a, b=b0 y c=b1-a1b0, con esta relación de parámetros, hemos
llegado a otra implementación del sistema del primer orden dado. Note que cada una de
estas representaciones usa dos unidades de retardo y tres unidades multiplicadoras y por
tanto un requerimiento de memoria de cinco unidades en cada implementación.
GENERALIZACION A SISTEMAS DE MAS ALTO ORDEN
La metodología para implementar un sistema discreto lineal con unidades básicas
como el que se muestra en la fig. 1.11-5 tiene una extensión natural para sistemas de mas
alto orden. Por ejemplo, el sistema de segundo orden caracterizado por
Y(k)=b0U(K)+b1U(k-1)+b2U(k-2)-a1y(k-1)-a2y(k-2)
Debería implementarse como muestra la figura 1.11-7. Las varias señales presentes en el
tiempo discreto k se muestran también en este diagrama

50
REPRESENTACION ALTERNATIVA
Se debe cuestionar que la representación del sistema (1.11-4) dado en la fig. 1.11-5
no es única. Esto se puede demostrar si consideramos la configuración mostrada en la fig.
1.11-6. para determinar la ecuación diferencia que relaciona y(k) y U(k) para esta
configuración, será conveniente denotar la señal generada por la unidad de suma de mas a
la izquierda como e(k). Después que es hecha esta notación, es posible identificar señales
las cuales aparecen en otra parte en la configuración cuando las propiedades asociadas de
las unidades básicas. El resultado de esta aproximación es mostrada en la fig. 1.11-6
En seguida las relaciones gobernantes de las dos unidades de suma se formulan como
e(k)=U(K)-ae(k-1) (1.11-5)
Y(k)=Bu(k)+ce(k-1) (1.11-6)
Deseamos ahora eliminar los elementos e(k) y e(k-1) de esas dos identidades con el
propósito de llegar a la ecuación diferencia que relaciona a y(k) y U(k). Esto se lleva a cabo
rápidamente resolviendo la relación ( 1.11-6) para e(k-1) para obtener
e(k-1) =-
c
b
U(k)+
c
1
y(k)
Esta expresión se sustituye ahora en la ecuación (1.11-5) de donde resulta
e(k)=U(k)+
c
ab
U(k)-
c
a
Y(K) (1.11-7)

51
De aquí, dados los valores de U(k) y Y(K), la relación (1.11-7) puede ser usada para
generar e(k) para todo tiempo discreto. Esto entonces permite que el valor del elemento
e(k-1) pueda satisfacer la relación
PROBLEMAS PROPUESTOS
1.1-2 Determine si las siguientes señales son de tiempo continuo o tiempo discreto. De una
breve explicación.
a) Temperatura de un cuarto.
b) Cerrazón de precios de un surtido en el intercambio del almacén principal.
c) Posición de la dirección automática de un carro en movimiento
d) Peso de un individuo tomado cada día a las 5 p.m.
1.2-1 Dibuje las secuencias dadas por:
1.2-2 Exprese las siguientes secuencias como una suma de señales de Delta de
Kronecker
1.2-3 Exprese la señal escalón como una suma infinita de señales de Delta de Kronecker.
1.2-4 Si s(k) denota la secuencia escalón unitario muestre que:
a) s(k)-s(k)= (k)
b) Para k=1,2,3,…
c) Dibuje la secuencia s(k+1) y s(k+2)vsk.

52
1.2-5 Para señales discretas 1(k) y 2(k) dadas en el problema 1.2-1 determine y dibuje:
a) 1(k)+ 2(k)
b) 1(k)-3 2(k)
c) –0.5 2(k)
1.2-6 Para señales discretas 1(k) y 2(k) dadas en el problema 1.2-1 exprese la señal
(k)= 2(k)- 1(k) como una suma de señales delta de Kronecker
1.2-7 Determine y dibuje las señales discretas (k)= 1(k)+ 2(k) donde.
1.2-8 Que señal discreta 2(k) debe ser sumada a la señal discreta:
de tal manera que la suma resultante sea un escalón discreto de amplitud 2, esto es:

53
1.2-9 Dadas las señales discretas caracterizadas por:
a) 1(k)+ 2(k)
b) 1(k)- 2(k)
c)2 1(k)- 2(k)
1.3-1 Para la señal de tiempo discreto
haga un dibujo de la señal discreta que resulta si esta señal es uniformemente muestreada y
el periodo de muestreo T es:

54
1.3-2 Determine y dibuje las secuencias de números generada cuando la señal de tiempo
continuo es
1-t2
para –1 t 1
U(T)= 3-t para 1 t 3
0 para los demás valores de t.
uniformemente muestreada con periodo de muestreo T dado por.
a) T=1/2 seg.
b) T=1 seg.
c) T= 4 seg.
Usando las aproximaciones gráficas y analíticas en los ejemplos 1.3-1 y 1.3-2
respectivamente. Comente como y porque la secuencia resultante difiere y cual debe ser
una elección apropiada del período de muestreo para esta señal de tiempo continuo de la
a),b), o c).
1.3-3 Para la señal de tiempo continuo
2
1
Haga un dibujo de la señal discreta que resulta si esta señal de tiempo continuo es
uniformemente muestreado con un período de muestreo de T= 0.25 seg.
1.3-4 Dada la señal de tiempo continuo especificada por
t3
para 0 t
U(t)=
2
3
-
2
t
para 1 t 3
0 para los demás valores de t.
Determine la secuencia resultante de números obtenida por muestreo uniforme de U(t) con
periodo de muestreo de:
a) T= ½ seg.
b) T= 1/3 seg.

55
1.3-5 para la señal de tiempo continuo
U(t)=sent t para toda t
Haga un dibujo de la señal discreta que resulta si esta forma de onda es uniformemente
muestreada con un período de muestreo
a)T= /4 seg.
b) T= /2 seg.
c) T= / seg.
1.4-1 Usando el algoritmo de la raíz cuadrada determine los tres primeros términos de la
secuencia generada cuando el número para el cual queremos la raíz cuadrada en X= 3 y
como guía tomamos Y(-1)=1.5
1.4-2 Demostrar que el proceso iterativo especificado en el ejercicio anterior, actualmente
converge a x, asuma que la señal de respuesta Y(k) se aproxima a un valor constante
usando la ecuación anterior, muestre que este igual a la x. (consejo: deje que Y(k) = Y(k-
1) = para valores de k grandes).
1.4-3 Si un individuo abre una cuenta de ahorros y deposita las siguientes cantidades el 1 de
enero de cada año sucesivo
U(0)= $1,000
U(1)= $2,500
U(2)= $3,000
U(3)= $ 500
Y el banco paga un interés compuesto de 5% por año, determine la cantidad en el deposito
al final del año.
1.4-5 Determine el número de años requerido para que un depósito inicial de dinero dado se
doble.
a) Con un interés compuesto del 2% por año
b) Con un interés compuesto del 5% por año

56
1.5-1 Para un sistema generado por la ecuación diferencial lineal
y(k)= U(k) + 0.5 y(k-1)
determine los primeros cinco términos de su respuesta para la entrada
U(k)= 0 para k= -1, -2, -3,...
U(k)= 1
U(k)= -3
U(k)= 4
Cuando la condición inicial y(-1) es
a) y(-1)=0 b) y(-1)=2
1.5-2 Para un sistema gobernado por la ecuación diferencia lineal
y(k)= -U(k-1) + 0.8y(k-1)
determine los primeros cinco términos de su respuesta a la entrada
cuando la condición inicial se toma como
a) 0
b) –1
¿Para que valor de tiempo k es y(k) la condición inicial?
1.5-3 El sistema gobernado por la ecuación diferencia
y(k) = b0U(k)-a1y(k-1)
tiene la siguiente historia de la señal de entrada salida

57
Con la condición inicial y(-1)=3. De esta información, determine el valor de los parámetros
a1 y b0
1.5-4 La respuesta del sistema
y(k) = b0U(k) + b1U(k-1)-a1y(k-1)
para la señal de entrada es:
cuando la condición inicial y(-1)=-2. De esta información, determine el valor de los
parámetros a1, b0 y b1.
1.5-5 Determine la secuencia de números que resulta cuando la señal de tiempo continuo

58
Es uniformemente muestreada con un período de muestreo T= ½ seg. Usando esta
secuencia de números como señal de entrada para el sistema caracterizado por
Y(k)= ½ U(k) + y(k-1)
Determine los primeros 8 términos de la señal de salida resultante cuando la condición
inicial es y(-1)= - ½
1.6-1 Escriba una expresión general para la respuesta del sistema
y(k) = b0U(k) – a1y(k-1)
para la señal
0 para k = -1,-2,-3,...
la condición inicial se toma como 0
1.6-2 Muestre que la respuesta del sistema
y(k) = (1 - )U(k) + y(k-1)
para una señal escalón de amplitud g está dada por:
y(k) = g(1 - k-1
) para k = 0,1,2,3
donde la condición inicial y(-1) se toma como cero
1.6-3 Dada la ecuación diferencia de primer orden
y(k) = U(k) + y(k-1) para k = 0,1,2,3,...

59
y(k)2y(k-1) – y(k-2) +1 para k = 1,2,3,...
con condiciones iniciales y(0) = 0 y y(-1) = 0
1.6-4 Muestre que la respuesta del sistema generado por
y(k) = U(k) + y(k-1)
para la entrada alternativa unitaria U(k) = (-1)k
para k = 0,1,2,3,... está dada por
y(k) = 7(1+ ) (-1)k
+( k+1
) Para k = 0,1,2,3,...
condición inicial y(-1) = 0
1.7-3 Dada la serie geométrica general y(k) donde
y(k) = 1 - + 2
+ ... + k
a) Muestre que la secuencia {y(k)} satisface la ecuación diferencia lineal de primer
orden
y(k) = y(k-1) + k
para k = 1,2,3,...
con la condición inicial y(0) = 1
b) Usando profundidad la cual se obtiene sólo después de considerable, experiencia,
como asume que la forma de la solución para esta ecuación diferencia es:
y(k) = y(k-1) + k
para k = 1,2,3,...
para demostrar que esta solución supuesta es adecuada sustituimos esta ecuación en la
ecuación diferencia gobernante y seleccionamos los valores de 1 y 2 para que esta
igualdad sea válida. Encuentre los valores requeridos de los parámetros 1 y 2
1.8-1 Dada la ecuación diferencia de segundo orden
y(k) = ( 2 cos )y(k-1) – y(k-2) para k = 0,1,2,...
con condiciones iniciales y(-2) = 0 y y(-1) = 1 donde 0,

60
a) Determine los términos de y(0), y(1), y(2) y y(3)
b) Verifique que la relación y(k) =
sen
ksen 2
. satisface la ecuación diferencial con
las condiciones iniciales prescritas.
1.11-1 Determine la ecuación diferencial que relaciona U(k) y y(k) para el sistema
mostrado abajo
1.11-2 Para la configuración mostrada en la siguiente figura, determine la ecuación
diferencia la cual relaciona Y(k) y U(k).
1.11-3 Para el diagrama mostrado en la siguiente Fig. determine los valores de las
constantes a, b y c tales que
y(k) = b0U(k) + b1U(k-1) –a1y(k-1)
1.11-4 Implemente el sistema gobernado por la ecuación diferencial
y(k) = U(k) – a1y(k-1) – a2y(k-2)
usando unidades básicas.

1
f k( )
por ejemplo f k para k., ( ) , , ,0 1 2 3
Z f k F z f
f
z
f
z
f
z
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
....0
1 2 3
2 3
1
La variable compleja jyxz donde [x] y [y] son números reales, mientras que j 1.

2
F z f k z k
k
( ) ( )
0
z 1
1 z z k
1 z
k
F z( )
f k( )
F z( )
f k( ) f k( ) F z( ) z F k[ ( )]
f k( )


3
s
e
G
Ts
h
1
0
)()()(*
k
kTtkTxtx
0
)()(*)(*
k
kTs
ekTxtxLsX
0
)(ln
1
*)(*)(
k
k
zkTxz
T
XsXzX
0
)()()(*)(
k
k
zkTxzXtxZtxZ
DISPOSITIVO DE
RETENCIÓN
MUESTREA
DOR
X(t)
X*(t)
Xh(t)
0 T 2T 3T 4T 5T
t
0 T 2T 3T 4T
t
TtparakTXtkTXh 0)()(

4

F z( )
F z( ) F z( )
F z( )

f k
k
a kk( )
, , ,...
, , ,...
0 1 2 3
0 1 2
para
para
(2.1-1)
a
f k ak
( )
F z a zk k
k
( )
0

5
a zk k
az
k1
F z az k
k
( ) ( )1
0
(2.1-2)
F z( ) n
F z az az a z a zn
k n n
k
n
( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 1
0
1
1
n F zn ( )
F z( )
F z( )
F zn ( )
F zn ( )
az 1
k n 1
F z
az
azn
n
( )
( )1
1
1
1 (2.1-3)
F zn ( ) n az
n1
n
F z( ) F zn ( )
az 1
az az ej1 1
az 1
az 1
( )az az en n jn1 1
az 1
1

6
az
n1
F z F z
az
para az
n
n( ) lim ( )
1
1
11
1
F z
z
z a
para az( ) 1
1
az 1
1
az
n1
n
F z F z es inito para az
n
n( ) lim ( ) inf 1
1
z z a( )
az 1
1
az 1
1
az
a
z
a
z
1
az 1
1 z a az 1
1 z a
Z a a z
z
z a
para a
inito para a
k k k
k
inf0
(2.1-4)
z a a
Im Z

7
z a
Figura 2.1-2 Región de convergencia de la secuencia geométrica de la transformada-z
z a F a nn ( )
n
z a
z z a

8
z a z
z a
a
a-a z
a z
z a z
a z
az a z a z
a2
2 1
2 1
1 3 2
3 2
1 2 2 3 3
1
a zn n 1
az 1
1
z
z a
az a z a z1 1 2 2 3 3
a 1 por ejemplo ik
., 1 a 1
F z
z
z( ) 1
1
1
para z
infinito para z

9
f k k( )
1
2
para k = 0,1, ,15
para k = 16,17,18,
a 2 f k( )
F z( )
F z f k z f k z
z z
z z
k k
kk
k
k
k k
k
k k
kk
( ) ( ) ( )
( ) ( )
160
15
0
15
16
1 1
160
15
2
2
z 1
k 15
F z
z
z
z k
k
( )
( )
( )
1
1
2
1 16
1
1
16
z16
F z
z
z z
z k
k
( )
( )
( )
16
15
1
16
1
1
2
a 2
F z( )
F z
z
z z
z zk
k
k
k
( )
( )
( ) ( )
16
15
1
0
1
0
15
1
1
2 2

10
a 2
2 1
z k 15
F z( )
F z
z
z z
z
z
z
z
z
z z
z
z
z
z z
( )
( )
( )
( )
( )
( )
16
15
1 16
1
16
15
16 16
15
1
1 2
1 2
1 2
1
1 2
2
2
2para z
F z( )
F z z z zk
k
k
k
k
k
( ) ( ) ( )
0
15
1
0
1
0
15
2 2
F z( )
z 0
z 2 F z( ) z 2 .

11
F z f k z k
k
( ) ( )
0
(2.2-1)

f k af k bf k( ) ( ) ( ) , , , ,1 2 0 1 2 3para k (2.2-2)
f k af k bf k( ) ( ) ( ) , , , ,1 2 0 1 2 3para k
f k( )
F z af k bf k z
a f k z b f k z
k
k
k
k
k
k
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 2
0
1
0
2
0
f k1
f k2
F z aF z bF z R R( ) ( ) ( ) ( , )1 2 1 2para z max 2
(2.2-3)
2
La función máx ( R R1 2, ) selecciona el mayor de los números R y R1 2 .

12
Z af k bf k aZ f k bZ f k1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )
F z
F z1 F z2 R1 R2
F z1 F z2
u k d kvT p( ) , , ,ara k 0 1 2
k 0
u k
d
vT
U z Z u k dZ vTZ k( ) ( ) 1

13
U z d
z
z
vT
z
z
dz vT d z
z
( )
( )
( )
( )
1 1
1
1
2
2
2 para z

f k
y k f k m( ) ( ) , , ,para k 0 1 2 (2.2-4)
f k y k y k
Y z y k z k
k
( ) ( )
0

14
Y z f k m z
f m f m z f z
f z f z
k
k
m
m m
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
0
1 1
1
1 1
0 1
f k
Y z f z f z f z
z f f z f z
m m m
m
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0 1 2
0 1 2
1 2
1 2
f k
Y z z F zm
( ) ( ) para z R
f k
Z f k m z F zm
( ) ( ) para z R (2.2-5)
f k
figura 2.2-1 propiedad de desplazamiento a la derecha.
f k m
f k m
z F zm
( )
z m
f k
F z( ) z F zm
( )

15
y k k k( ) ( ) ( ) , , ,u y para k1 0 1 2 (2.2-6)
y k
u k y k 1
Z y k u k y k( ) ( ) ( )Z Z 1
Y z U z y k
u k
Z y k 1
Y z z Y z( ) ( ) ( )U z 1
Y z
Y z U z
z
U z( ) ( ) ( )
1 1
z
z
z z
Z y k 1
y 1 0
y 1 0
U z
z
z
( )
1
Y z
z
z
z z z
( )
z z
1 1
2

16
f k 1
f 1
f k 1
Z f k f k z
f z f z f z f z
f z f f z f z
k
k
1 1
1 0 1 2
1 0 1 2
0
0 1 2 3
1 1 2
( ) ( ) ( ) ( )
F z
Z f k f z F z( ) ( ) ( )1 1 1
m 1
f 1 0
Z f k m z F zm
( ) ( )
f f f m1 2, , ,
f k m
Z f k m z F z f i m zm i
i
m
( ) ( ) ( )
0
1


17
y k h u k h u k h u k( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 1 2 2 (2.2-8)
h i
u k y k
y k
Y z y k z k
k
( ) ( )
0
(2.2-9)
Y z h u k h u k h u k z
h u k z h u k z h u k z
h u k z h u k z h u k z
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
k
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 1 1 2 2
0 1 1 2 2
0 1 1 2 2
0
0 0 0
0 0
k
k 0
(2.2-10)
Z u k m z U zm
( ) ( ) para no negativos de m
U z
u k
Y z h U z h z U z h z U z( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 21 2
U z

18
Y z h h z h z U z( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 21 2
Z h k H z h h z h z( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 21 2
Y z H z U z( ) ( ) ( ) (2.2-11)
h k( )
u k( )
U z( )
y k( )
Y z H z U z( ) ( ) ( )
Figura 2.2-2 Propiedad sumatoria de convolución
u k k U z 1 U z 1
Y z H z( ) ( )
y k h k

19
U z
z
z
( )
1
1para z
Y z H z
z
z
H z
z
( ) ( ) ( )
1
1
1 1
1 1
z
Y z z Y z H z( ) ( ) ( )1
y k y k h k( ) ( ) ( )1
y k k k( ) ( ) ( )u y 1
h k k( )
, , ,
, , ,
0 1 2 3
0 1 2
para k
para k
H z( )
z
z
para z

20
U z
z
z
( )
1
1para z
Y z H z U z
z
z
z
z
( ) ( ) ( )
( , )para z max
1
1
Y z h i u h i z
k
k
k
( ) ( ) ( )
00
Y z h i u h i z
k
k
k
( ) ( ) ( )
00
h i u k i z para k-k
0 1 2, , ,
h i
Y z h i u k i z k
ki
( ) ( ) ( )
00
(2.2-13)

21
n k i (2.2-14)
k i u k i
k 0 1 2 3 4 5 ...
n -i 1-i 2-i 3-i 4-i 5-i ...
k n i
Y z h i u n z n i
n ii
( ) ( ) ( ) ( )
0
z n i
z zn i
z i
Y z h i z u n zi
i
n
n i
( ) ( ) ( )
0
u n para n0 1 2 3, , ,
Y z h i z u n z H z U zi
i
n
n
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 0


22
f k
g k
f k
( )
, , ,
( ) , , ,
0 1 2 3
1 0 1 2
para k
para k
(2.2-16)
g k
G z g k z f k z
f z f z f z
k
k
k
K
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0 0
0 1 2
1
1 2 3
f k
z 1
z G z f z f z f z z1 1 2 3
1 2( ) ( ) ( ) ( )
f 0
f k
z G z f F z R1
0( ) ( ) ( ) para z
f k
G z G z Z f k 1
Z f k zF z zf( ) ( ) ( )1 0 para z R (2.2-17)
f k
g k
f k m
( )
, , ,
( ) , , ,
0 1 2 3
0 1 2
para k
para k

23
Z f k m z F z f k zm m k
k
m
( ) ( ) ( )
0
1
para z R (2.2-18)

f k
g k
g k f i
i
k
( ) ( ) , , ,
0
0 1 2para k
g k k 1
f k g k
g k 1 g k
g k g k f k( ) ( ) ( ) , , ,1 0 1 2para k
g 1 g f0 0
g k
f k
F z f k z para z Rk
k
( ) ( )
0
pero f k g k g k para tenemos( ) ( ) , , ,1 0 1 2
F z G z z G z( ) ( ) ( )1
para z R
G z
G z
z
z
F z z R( ) ( )
1
para max 1, (2.2-19)
g k k para k 0 1 2, , ,

24
f k
f k( )
, , ,
0 0
1 1 2 3
para k
para k
g k f i k
i
k
( ) ( )
0
G z
z
z
F z( ) ( )
1
F z f k
m 1
F z z
z
z
z
z
( ) 1
1
1
1
para 1
G z
z
z
z( )
( )1 2 para 1
 ak

25
g k a f kk
( ) ( ) , , ,para k 0 1 2
f k F z
z R g k
Z g k Z a f k a f k z
f k a z
k k k
k
k
k
( ) ( ) ( )
( )
0
1
0
f k
a z1
Z a f k F a zk
( ) ( )1
para a z R-1
ak
Z a f k F a z a Rk
( ) ( )1
para z (2.2-20)
F a z1
a z1
F z .
g k a k Tk
( ) sin , , ,para k 0 1 2
ak
f k sink T( )
Z k T F z
z T
z z T
sin ( )
sin
cos
para z 12
2 1
Z a k T F a z
a k T
a z a z T
az T
z az T a
k
sin ( )
sin
cos
sin
cos
para z a
1
1
2 2 1
2 2
2 1
2

26

f 0
F z f f z f z( ) ( ) ( ) ( )0 1 21 2
z 1
f 0 z 1
z
f F z
z
( ) lim ( )0 (2.2-21)
F z
z
z a
( ) para z a
f
z
z a azz z
( ) lim lim0
1
1 1
az a z1
f ( )0
1
1 0
1


27
f k k
F z F z
f k k
z F z1
z 1
f k f k1
Z f k f k f k f k z
N
k
k
N
( ) ( ) lim ( ) ( )1 1
0
zF z zf F z f k f k z
N
k
k
N
( ) ( ) ( ) lim ( ) ( )0 1
0
z 1
lim( ) ( ) ( ) lim ( ) ( )
lim ( ) ( )
( ) ( )
z N
k
N
N
z F z f f k f k
f N f
f f
1
0
1 0 1
1 0
0
f k
f z F z
z
( ) lim( ) ( )
1
1 (2.2-21)
F z
z
z a
para z a
f k ak
3
Una función F z , la cual es una razón de polinomios en z, se dice por ser analítico en una región si no
tiene polos en esa región.

28
z F z1
a 1
a 1
f z
z
z
z
z
z
( ) lim( )
lim
1
1
1
1
1
a 1.
f z
z
z az
( ) lim( )
1
1 0

f k f k N( ) ( ) (2.2-23)
N 6
F z f k z k
k
N
1
0
1
( ) ( )

29
figura 2.2-3 secuencia periódica típica
z 0
F z F z z F z z F z z F z
F z z z z
N N N
N N N
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
1 1
2
1
3
1
1
2 3
1
z F zmN
1
z z
z
z
mN
m
N m
m
N
N
0 0
1
1
( )
para z-N
F z
z
z
F z
N
N( ) ( )
1
11 para z (2.2-24)
z N
1 z 1
N 6

30
F z z z
z z z z z
z z z
z z z
z
k
k
k
k
1
0
2
3
5
1 2 3 4 5
3 1 2
3 2
5
1 1
1
1 1
1 1
( ) ( )
( )( )
( )( )
F z
z
z
z z z
z
z z z z
z z
z z z
z
( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )
6
6
3 2
5
3 2
3 3
2
3
1
1 1
1 1
1 1
1
1
1para z
Tabla 2.2-1 propiedades de la transformada-z
Propiedad Secuencia Discreta Secuencia Discreta
1.Linealidad af k bg k( ) ( ) aF z bG z( ) ( )
2.Desplazamiento a la Derecha f k m( ) z F zm
( )
3.Convolución
f k i f i
i
k
1 2
0
( ) ( )
F z F z1 2( ) ( )
4.Desplazamiento a la izquierda f k m( )
z F z f i zm m i
i
m
( ) ( )
0
1
5.Sumatoria
f i
i
k
( )
0
z
z
F z
1
( )
6.Multiplicación por ak
a f kk
( ) F a z( )1
7.Teorema del valor inicial f F z
z
( ) lim ( )0
8.Teorema del valor final f lim z F z
si z F z
z
( ) ( ) ( )
( ) ( )
1
1
1 1es analizado para z

31
9.Secuencia Periódica f k f k N( ) ( )
F z
z
z
F z
N
N( ) ( )
1 1
10.Diferenciación kf k( )
z
dF z
dz
( )

F z( )
F z
b z b z b
z a z a
m m
m
n n
n
( ) 0 1
1
1
1
+
(2.3-1)
F z
b z z z z z z
z p z p z p
m
n
( )
( )( ) ( )
( )( ) ( )
0 1 2
1 2
(2.3-2)
F z( )
z z zm1 2 1, , zm F z( )
z z zm1 2, ,
F z( ) p p pn1 2 1, , pn
F z( )
p p pn1 2, , F z( ) .

32
F z
z
z a
para a( ) z (2.3-3)
z a
F z( )
Imz
F z( ) F z( )
z j
j
j a
z j
a
0 0
0 0
0 0
0
1 0
1
1
tenemos
z
z - a
tenemos
z
z - a
z j1 0 F z( )
1 1 a
F z( )
z a
F z( )
z a
z 0
F z( )
z p p pn1 2, ,
z z zm1 2, ,

33
Figura 2.3-1 Modelo de pabellón para una gráfica de F(z)
F z( )
F z( )
b0
z z zm1 2, , p p pn1 2, ,
F z
z z
z z z
z z
z z j z j
( )
( )( )
( )( )
2
3 2
2 3
2 5
1 3
1 2 1 2
z
p j j
1 2
1 2 3
1 3
0 1 2 1 2
,
, ,
z
p p

34
z 0 z a
a
figura 2.3-2 localización de polos y ceros de una transformada-z
Figura 2.3-3 modelo de polos y ceros para la secuencia geométrica de la
transformada-z
F z( ) z a
F z( )


35
F k k To( ) sin , , ,para k 0 1 2
Figura 2.3-4 ejemplo de una generación de una secuencia sinusoidal
0
F z k T zo
k
k
( ) (sin )
0
(2.3-4)
k T0
sink T
e e
jo
jk T jk To o
2
F z
e e
j
z
jk T jk T
k
k
o o
( )
20

36
F z
j
e z e zj T k
k
j T k k
k
o o
( ) ( ) ( )
1
2 0 0
a e j T0
a e j T0
F z( )
F z
j
z
z e
z
z ej T j To o
( )
1
2
1para z
F z( ) z 1
F z
j
z e e
z e e z
j T j T
j T j T
o o
o o
( )
( )
( )
1
2 1
12 para z
Z k T
z T
z z To
o
o
sin
sin
cos2
2 1
1para z (2.3-5)
Z k T
z T
z e z eo
o
j T j To
sin
sin
( )( )0
1para z
z 0
z e j T0
e j T0

37
Figura 2.3-5 modelo de polos y ceros de la transformada-z de una secuencia sinusoidal
f k
k T po
( )
cos ,
0
0
para k -1, - 2, - 3,
ara k 1, 2,
Z k T
z z T
z z To
o
o
cos
( cos )
cos2
2 1
1para z (2.3-6)

F z f k z k
k
( ) ( )
0
F z( ) F z( )

38
z R>
f k( )
F z( ) F z( )
esto es z R, .
Figura 2.3-6 Región de convergencia de la transformada-z
R 0
R
R

39

f k( )
F z f k z k
k
( ) ( )
0
(2.3-7)
f k( ) F z( )
Z k T
z T
z z To
o
o
sin
sin
cos2
2 1
1para z
a z
z
z a
k k
k 0
para z a (2.3-8)
d
dz
a z
d
dz
z
z a
k k
k 0
para z a
ejemplo d z dz mzm m
., ( ) 1

40
ka z
a
z a
k k
k
1
0
2
( )
para z a
z
ka z
az
z a
k k
k 0
2
( )
para z a
f k Ka para kk
( ) , , ,0 1 2
Z ka
az
z a
k
( )2 para z a (2.3-9)
F z( )
F z( )
dF z
dz
kf k z k
k
( )
( ) 1
0
para z R
z
kf k z z
dF z
dz
k
k
( )
( )
0
Z kf k z
dF z
dz
( )
( )
para z R (2.3-10)

41
g x
k ak( )
, , ,
, , ,
0 1 2 3
0 1 22
para k
para k
f k Kak
( )
Tabla 2.3-1 Pares de Transformación z Comunes
f k( ) para k 0
f k f k z k
k
( ) ( )
0
Radio de
convergencia
Rz
1 1 z
z 1
1
2 ak
z
z a
a
3 k z
z( )1 2
1
4 k 2
z z
z
( )
( )
1
1 3
1
5 k 3
z z z
z
( )
( )
2
4
4 1
1
1
6 a
k
k
!
e
a
z 0
7 sin k T z T
z z T
sin
cos2
2 1
1
8 cosk T z z T
z z T
( cos )
cos2
2 1
1
9 a k Tk
sin az T
z az T a
sin
cos2 2
2
a
10 a k Tk
cos z z a T
z az T a
( cos )
cos2 2
2
a

42
11 kak
az
z a( )2
a
12 k ak2
az z a
z a
( )
( )3
a
13 k ak3
az z az a
z a
( )
( )
2 2
4
4 a
14 ( )k 1 0
15 ( )k m z m
0
Tabla 2.3-2. Pares de Transformada-z Comunes Comprobadas.
f t
t
( )
0
f kT
k
( )
0
F z
F z f kT z k
k
( )
( ) ( )
0
Radio de
Convergencia
z R
1 1 1 z
z 1
1
2 t kT T z
z( )1 2
1
3 t2
( )kT 2
T z z
z
2
3
1
1
( )
( )
1
4 t3
( )kT 3
T z z a
z
3 2
4
4 1
1
( )
( )
1
5 e at
e akT
z
z e aT
e aT

43
6 te at
kTe akT
zTe
z e
aT
aT
( )2
e aT
7 t e at2
( )kT e akT2
T e z z e
z e
aT aT
aT
2
3
( )
( )
e aT
8 sin t sin k T z T
z z T
sin
cos2
2 1
1
9 cos t cosk T z z T
z z T
( cos )
cos2
2 1
1
f k k
( )
, , ,
, , ,
0 1 2 3
1
2
0 1 2
para k
para k
f k( )
, , ,
, , ,
0 1 2 3
0 1 2
para k
b(a) para kk
f k
ej k( )
, , ,
, , ,
0 1 2 3
0 1 2
para k
para k

44
z a
lim ( ) ( )
n
nF z F z 0
F z F zn
f k
k
( )
, , ,
, , , ,
, , ,
0 1 2 3
1
2
0 1 2 10
1
4
1112 13
para k
para k
para k
k
f k
a k( )
, , ,
( ) , , ,
0 1 2 3
0 1 2
para k
para k
a z a b z y c z a2 3 3,
F z z z a

45
(a)
para k
para k = 1
a para k
para k
para k
k
f k
b f k
eak
( )
, , ,
, , ,
( ) ( )
, , ,
, , ,
0 0 1 2
1
2 3 4
0 1 2 3
0 1 2
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
a f k
b f k
e
c f k
t
para t < 0
1 para t 0
para t < 0
para t 0
para t < 0
1 para 0 t 5T
0 para t > 5T
0
0
3
0
2

46
( )
( )
( )
a
z
z z
b
z z
c
z
z z
1
1+
3
4
1 2
3
1
8
5 2
1 6 3
1
1 2
2 4
2
1 2
F z
z
z
( )
1
2
f k
k To
( )
, , ,
sin( ) , , ,
0 1 2 3
0 1 2
para k
para k
0
f k
k To
( )
, , ,
cos( ) , , ,
0 1 2 3
0 1 2
para k
para k
y k Tu k Ty k y k( ) sin ( ) cos ( ( )0 01 2 1 2

47
f k k Tsin 0
( ) ( )
, , ,
, , ,
( ) ( )
, , ,
, , ,
( ) ( )
, , ,
, , ,
a f k
a
b f k
ka
c f k
k a
k
k
k
para k
para k
para k
para k
para k
para k
0 0 1 2
1 2 3
0 0 1 2
1 2 3
0 0 1 2
1 2 3
1
1
2 1
k 0
( ) , , ( ) , ( ) , ( ) , ( ) ,
( ) , , , , ,
a
b
0 2 2 2 3 2 4 2 5 2
0 1 3 2 4 3 5 4 6
2 3 4 5
f k
k k To
( )
, , ,
sin , , ,
0 1 2 3
0 1 2
para k
para k
(ayuda: Use la identidad de Euler.)

48
( ) ( )
( ) ( )
a f k
te
b f k
t
at
para t < 0
para t 0
para t < 0
para t 0
0
0
2
u k( )
, , , ,2 0 2 4 6
0
para k
para los demas valores de k
u k u k u k1 2 u k1
u k
f k
para k m m m
para todos los demas valores de k
f k
k
1 1 2
0
1 1 3 5
0
, ,
, ,
f k
para k
k a para k
f k
para k
k k a
para k
k
k
0 0 1 2
1 1 2 3
0 0 1 2
1 2
2
1 2 3
2
3
, , ,
, ,
, , ,
, , ,
F z
z a
para z a
1
2

49
F z
z a
para z a
1
3
f k a f k a f k a f k para kn n1 1 2 2 0 1 2, , ,
F z a F z a F z a F z
para z R R R
1 1 2 2 3 3
1 2 3max , ,
F z Z f k para z R y i ni i i , , , ,1 2
f k
para k
f k
k
1 7 8 9
0
1 0 2 4
0
, , ,
, , ,
y k u k u k u k u k2 1 4 2 3

50
(a)
(b)
f k
para k m m m
a para k m m m
f k
para k
para k m
para k m m m
k m
0 1 2 3
1 2
0 1 2 3
1 0 1 2
0 1 2 3
, , ,
, , ,
, , ,
, , , ,
, , ,
y k y k y k u k
3
4
1
1
8
2
y k u k y k 1
y k
y k b u k b u k a y k0 1 11 1
f k
para k
a para kk N
0 1 2 3
0 1 2
, , ,
, , ,

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