Fungsi komposisi adalah penggabungan operasi dua fungsi secara berurutan yang menghasilkan fungsi baru. Fungsi komposisi dapat digunakan untuk menentukan fungsi ketika fungsi komposisi dan salah satu fungsi yang digunakan dalam komposisi tersebut diketahui.

1. Fungsi Komposisi
1

2. Setelah menyaksikan
tayangan ini anda dapat
Menentukan:
•fungsi komposisi
•salah satu fungsi
jika fungsi komposisi
dan fungsi yang lain
diketahui
2

3. Fungsi
Suatu relasi dari A ke B
yang memasangkan
setiap anggota A ke
tepat satu anggota B
disebut fungsi atau pemetaan
dari A ke B
3

4. Notasi Fungsi
Suatu fungsi atau pemetaan
umumnya dinotasikan dengan
huruf kecil.
Misal, f adalah fungsi dari A ke B
ditulis f: A → B
A disebut domain
B disebut kodomain
4

5. Range atau Daerah Hasil
Jika f memetakan
x ∈ A ke y ∈ B
dikatakan y adalah peta dari x
ditulis f: x → y atau y = f(x).
Himpunan y ∈ B
yang merupakan peta dari x ∈ A
disebut range atau daerah hasil
5

6. contoh 1
Perhatikan gambar pemetaan
f f:A→B
a 1
2 domain adalah
b
c 3 A = {a, b, c, d}
d 4 kodomain adalah
A 5 B = {1, 2, 3, 4, 5}
B
6

7. Perhatikan gambar pemetaan
f:A→B
f
a 1
f(a) = 1, f(b) = 2
b 2
f(c) = 3, f(d) = 4
c 3
range adalah
d 4
A R = {1, 2, 3, 4}
5
B
7

8. contoh 2
Misal f: R → R
dengan f(x) = √1 - x2
Tentukan domain dari fungsi f.
8

9. Jawab
Supaya f: R→R dengan f(x)=√1-x2
maka haruslah 1 – x2 ≥ 0.
1 – x2 ≥ 0 → x2 – 1 ≤ 0 atau
(x - 1)(x + 1) ≤ 0 atau -1 ≤ x ≤ 1.
Jadi, domain fungsi tersebut
adalah -1 ≤ x ≤ 1.
9

10. contoh 3
Misal f: R → R
dengan f(x – 1) = x2 + 5x
Tentukan : a. f(x)
b. f(-3)
10

11. Jawab
a.Misal y = x – 1 maka x = y + 1
karena f(x – 1) = x2 + 5x
maka f(y) = (y + 1)2 + 5(y + 1)
f(y) = y2 + 2y + 1 + 5y + 5
f(y) = y2 + 7y + 6
11

12. f(y) = y2 + 7y + 6
a. f(x) = x2 + 7x + 6
b. f(-3) = (-3)2 + 7(-3) + 6
= 9 – 21 + 6
= -6
12

13. Komposisi Fungsi
Penggabungan operasi dua fungsi
secara berurutan akan
menghasilkan sebuah fungsi baru.
Penggabungan tersebut disebut
komposisi fungsi dan hasilnya
disebut fungsi komposisi.
13

14. A B C
f g
x y z
x ∈ A dipetakan oleh f ke y ∈ B
ditulis f : x → y atau y = f(x)
y ∈ B dipetakan oleh g ke z ∈ C
ditulis g : y → z atau z = g(y)
atau z = g(f(x))
14

15. A B C
f g
x y z
gof
maka fungsi yang memetakan
x ∈ A ke z ∈ C
adalah komposisi fungsi f dan g
ditulis (g o f)(x) = g(f(x))
15

16. contoh 1
f : A → B dan g: B → C
didefinisikan seperti pada gambar
A B C
f g
a 1 p
2
b 3 q
Tentukan (g o f)(a) dan (g o f)(b)
16

17. Jawab:
(g o f)(a) = ?
A B C
f g
a 1 p
2
b 3 q
f(a) = 1 dan g(1) = q
Jadi (g o f)(a) = g(f(a)) = g(1) q
17

18. (g o f)(b) = ?
A B C
f g
a 1 p
2
b 3 q
f(b) = 3 dan g(3) = p
Jadi (g o f) = g(f(b)) = g(3) = p
18

19. contoh 2
Ditentukan g(f(x)) = f(g(x)).
Jika f(x) = 2x + p dan
g(x) = 3x + 120
maka nilai p = … .
19

20. Jawab:
f(x) = 2x + p dan g(x) = 3x + 120
g(f(x)) = f(g(x))
g(2x+ p) = f(3x + 120)
3(2x + p) + 120 = 2(3x + 120) + p
6x + 3p + 120 = 6x + 360 + p
3p – p = 360 – 120
2p = 240 → p = 120
20

21. Sifat Komposisi Fungsi
1.Tidak komutatif:
fog≠gof
2. Bersifat assosiatif:
f o (g o h) = (f o g) o h = f o g o h
3. Memiliki fungsi identitas: I(x) = x
foI=Iof=f
21

22. contoh 1
f : R → R dan g : R → R
f(x) = 3x – 1 dan g(x) = 2x2 + 5
Tentukan: a. (g o f)(x)
b. (f o g)(x)
22

23. Jawab:
f(x) = 3x – 1 dan g(x) = 2x2 + 5
a. (g o f)(x) = g[f(x)] = g(3x – 1)
= 2(3x – 1)2 + 5
= 2(9x2 – 6x + 1) + 5
= 18x2 – 12x + 2 + 5
= 18x2 – 12x + 7
23

24. f(x) = 3x – 1 dan g(x) = 2x2 + 5
b. (f o g)(x) = f[g(x)] = f(2x2 + 5)
= 3(2x2 + 5) – 1
= 6x2 + 15 – 1
(f o g)(x) = 6x2 + 14
(g o f)(x) = 18x2 – 12x + 7
(g o f)(x) ≠ (f o g )(x)
tidak bersifat komutatif
24

25. contoh 2
f(x) = x – 1, g(x) = x2 – 1 dan
h(x) = 1/x
Tentukan: a. (f o g) o h
b. f o (g o h)
25

26. Jawab:
f(x) = x – 1, g(x) = x2 – 1
dan h(x) = 1/x
((f o g) o h)(x) = (f o g)(h(x))
(f o g)(x) = (x2 – 1) – 1
= x2 – 2
(f o g(h(x))) = (f o g)(1/x)
= (1/x)2 – 2
26

27. f(x) = x – 1, g(x) = x2 – 1
dan h(x) = 1/x
(f o (g o h))(x) = (f(g oh)(x))
(g o h)(x)= g(1/x)
= (1/x)2 – 1
= 1/x2 - 1
f(g o h)(x)= f(1/x2 – 1)
= (1/x2 – 1) – 1
=(1/x)2 – 2
27

28. contoh 3
I(x) = x, f(x) = x2 dan g(x) = x + 1
Tentukan:
a.(f o I)(x) dan (g o I)
b.(I o f) dan (I o g)
28

29. Jawab:
I(x) = x, f(x) = x2 dan g(x) = x + 1
(f o I)(x) = x2
(g o I)(x) = x + 1
(I o f)(x) = x2
(I o g)(x) = x + 1
(I o f)(x) = (f o I) = f
29

30. Menentukan
Suatu Fungsi
Jika Fungsi Komposisi
dan
Fungsi Yang Lain Diketahui
30

31. Contoh 1
Diketahui f(x) = 3x – 1
dan (f o g)(x) = x2 + 5
Tentukan g(x).
31

32. Jawab
f(x) = 3x – 1dan (f o g)(x) = x2 + 5
f[g(x)] = x2 + 5
3.g(x) – 1 = x2 + 5
3.g(x) = x2 + 5 + 1 = x2 + 6
Jadi g(x) = ⅓(x2 + 6)
32

33. contoh 2
Diketahui g(x) = x + 9 dan
(f o g)(x) = ⅓x2 – 6
maka f(x) = … .
33

34. Jawab:
g(x) = x + 9
(f o g)(x) = f(g(x)) = ⅓x2 – 6
f(x + 9) = ⅓x2 – 6
Misal: x + 9 = y → x = y – 9
f(y) = ⅓(y – 9)2 – 6
34

35. f(y) = ⅓(y – 9)2 – 6
= ⅓(y2 – 18y + 81) – 6
= ⅓y2 – 6y + 27 – 6
Jadi f(x) = ⅓x2 – 6x + 21
35

36. contoh 3
Diketahui f(x) = x – 3 dan
(g of)(x) = x2 + 6x + 9
maka g(x – 1) = … .
36

37. Jawab:
f(x) = x – 3;
(g o f)(x) = g (f(x)) = x2 + 6x + 9
g(x – 3) = x2 + 6x + 9
Misal: x – 3 = y → x = y + 3
g(y) = (y + 3)2 + 6(y + 3) + 9
= y2 + 6y + 9 + 6y + 18 + 9
37

38. g(y) = y2 + 6y + 9 + 6y + 18 + 9
= y2 + 12y + 36
g(x – 1) = (x – 1)2 + 12(x – 1) + 36
= x2 – 2x + 1 + 12x – 12 + 36
= x2 + 10x + 25
Jadi g(x – 1) = x2 + 10x + 25
38

39. Contoh 4
Diketahui f(x) = 2x + 1
dan (f o g)(x + 1)= -2x2 – 4x + 1
Nilai g(-2) =….
39

40. Jawaban:
f(g(x + 1))= -2x2 – 4x + 1
f(x) = 2x + 1 → f(g(x))= 2g(x) + 1
f(g(x + 1)) = 2g (x + 1) + 1
2g(x + 1) + 1 = -2x2 – 4x – 1
2g(x + 1) = -2x2 – 4x – 2
g(x + 1) = -x2 – 2x – 1
40

41. g(x + 1) = -x2 – 2x – 1
g(x) = -(x – 1)2 – 2(x – 1) – 1
g(2) = -(2 – 1)2 – 2(2 – 1) – 1
= -1 – 2 – 1 = -4
Jadi g(2) = - 4
41

42. 42