1. LÍMITES
Que
el
límite
de
una
función
cuando
x
tiende
a
a
es
b,
significa
que
si
x
toma
valores
próximos
al
número
a,
los
correspondientes
valores
de
f(x)
se
aproximan
al
número
b.
∞
∞
Si
el
grado
del
numerador
es
igual
que
el
grado
del
denominador
→
Se
dividen
los
coeficientes
de
las
x
(monomios)
de
mayor
grado.
lim
!→!
𝑥 ! − 3𝑥 + 3 1
=
2𝑥 ! − 3
2
Si
el
grado
del
numerador
es
mayor
que
el
grado
del
denominador →
Se
dividen
los
coeficientes
de
las
x
(monomios)
de
mayor
grado
=
∞
𝑥! + 3
lim
= ∞
!→! 𝑥 ! + 2
Si
el
grado
del
numerador
es
menor
que
el
grado
del
denominador →
Se
dividen
los
coeficientes
de
las
x
(monomios)
de
mayor
grado
=
lim
!→!
0
𝑥! + 2
= 0
𝑥! + 3
∞ − ∞
Si
la
potencia
del
primero
es
mayor
que
la
del
segundo
=
∞
lim 𝑥 ! − 𝑥 ! = ∞ − ∞ = ∞
!→!
Si
la
potencia
del
primero
es
menor
que
la
del
segundo
=−∞
lim
!→!
!
𝑥 ! − 𝑥 ! = 𝑥 ! − 𝑥 ! = ∞ − ∞ = −∞
Si
la
potencia
del
primero
es
igual
que
la
del
segundo
→
Hay
que
multiplicar
por
el
conjugado.
lim
!→!
lim
!→!
𝑥+7−
𝑥+7−
𝑥 − 7 = ∞ − ∞
𝑥−7 ∗( 𝑥+7+
( 𝑥+7+
𝑥 − 7)
𝑥 − 7)
2.
Multiplicación
de
suma
por
diferencia
=
diferencia
de
cuadrados
lim
!→!
( !!!)! !( !!!)!
( !!!! !!!)
!!!!!!!
= lim
!→! ( !!!! !!!)
= lim!→! (
!"
!!!! !!!)
=
!"
!
= 0
lim 𝑥 −
!→!
lim
𝑥−
𝑥 ! + 7 ∗ (𝑥 +
(𝑥 +
!→!
𝑥 ! + 7 = ∞ − ∞
𝑥 ! + 7)
𝑥 ! + 7)
= lim
!→!
𝑥 ! − ( 𝑥 ! + 7)!
(𝑥 +
𝑥 ! + 7)
= lim
𝑥! − 𝑥! − 7
!→! (𝑥
+
𝑥 ! + 7)
=
−7
= 0
∞
𝟎
𝟎
Se
hacen
factorizando
el
numerador
y
el
denominador.
Si
son
de
segundo
grado:
lim
!→!
𝑥 ! − 𝑥 1! − 1 0
𝑥 ∗ (𝑥 − 1)
𝑥
1
= !
= = lim
= lim
=
!−1
𝑥
1 − 1 0 !→! 𝑥 + 1 ∗ (𝑥 − 1) !→! 𝑥 + 1
2
Si
es
de
más
de
segundo
grado
→Ruffini
También
se
puede
hacer
por
la
regla
de
L´hopital
Derivando
el
numerador
y
el
denominador
! ! !!
!
lim!→! ! !! ! ! !!!! = !=lim
!!! ∗(! ! !! ! !!!!)
!!!
!→!
∗(! ! !!)
=lim
!→!
(! ! !! ! !!!!)
(! ! !!)
Ahora
sustituimos
las
x
!
por
1.
Si
me
volviese
a
dar
!,
tendría
que
resolver
otra
vez
la
indeterminación.
(𝑥 ! + 𝑥 ! + 𝑥 + 1) 4
= = 2
!→!
(𝑥 ! + 1)
2
lim
Ruffini:
Se
ponen
en
el
cuadro
todos
los
valores
de
la
ecuación.
Si
no
existe,
se
pone
0.
Hay
que
hacerlo
siempre
con
la
x
del
límite
(a
la
izquierda
de
la
línea
vertical).
El
primer
término
se
baja
se
multiplica
por
el
valor
de
la
x
del
límite,
se
pone
debajo
3.
del
siguiente
término
y
se
suma
con
el
siguiente
término.
El
resultado
se
vuelve
a
multiplicar
por
el
valor
de
la
x
del
límite
y
se
vuelven
a
repetir
los
pasos
anteriores.
El
último
valor
de
la
cajita
siempre
tiene
que
dar
0.
𝟏!
!
Primera
forma:
(1 + !"#$)!"#$ = ℮
!!!
1
lim 1 +
!→!
𝑛+2
1
= 1+
∞
!
= 1!
Tenemos
que
conseguir
la
fórmula
del
número
℮.
Lo
hacemos
de
la
siguiente
manera:
!
lim!→! 1 + !!!
!!!∗
!!!
!!!
!!!
Segunda
forma:
lim!→! 𝑏𝑎𝑠𝑒
!!
lim!→!
!!!! !!! ! !
=(!)!
!!!!
!!!!
!!
!! ∗
!!!!
!!!
℮!→!
!"#
=
=℮
!
= ℮!"#!→! !!! = ℮! =℮! = ℮
=
!"#$%!%&!
! !
!
= ℮!"#!→!
!"#
= 1!
!!!! !!!! !!
!
∗
℮!→! !!!! !!!! !!!
!→!
!"#$!! ∗!"#$%!%&!
!"#
!!
!!
∗
!!!! !!!
=℮
!"#
=
!!!!!!!!! !!
∗
!!!!
!!!
℮!→!
!"#
!!!!
!→!!! ! !!!!!
!!
!!
=℮! =℮! =
1
℮!! =
℮!
Ejercicio
anterior
por
la
primera
forma:
2𝑛 + 1
lim
!→! 2𝑛 + 4
!!
!!!
2𝑛 + 1
= lim 1 +
−1
!→!
2𝑛 + 4
!!
!!!
2𝑛 + 1 2𝑛 + 4
= lim 1 +
−
!→!
2𝑛 + 4 2𝑛 + 4
−3
= lim 1 +
!→!
2𝑛 + 4
= lim
!→!
1+
1
2𝑛 + 4
−3
!!!!
!!
!!!
!!
!!!!
!!
!!!
(
= lim
!→!
!!
1+
!!
= ℮!!! !!!! = ℮ ! = ℮ ! =
𝟎 ∗ ∞ →
1
2𝑛 + 4
−3
!!!! !! !!
)(
)
!! !!!! !!!
℮!! =
!!
!!
= ℮!!!!∗!!!
1
℮!
