3. 3. Supongamos que k y n son enteros tales que 1 k n. Demuestre que:
n 1 n n 1 n 1 n n 1
k 1 * k 1 * k k * k 1 * k 1
Por la regla de la combinatoria.
n 1 n n 1 (n 1)! n! (n 1)!
* *
k 1 k 1 k ((n 1) (k 1))!(k 1)! (n (k 1))!(k 1)! ((n 1) k )!k!
n 1 n n 1 (n 1)! n! (n 1)!
* *
k 1 k 1 k (n k )!(k 1)! (n k 1)!(k 1)! (n 1 k )!k!
n 1 n n 1 (n 1)! n! (n 1)!
* *
k 1 k 1 k (n k )!(k 1)! (n k 1)!(k 1)! (n 1 k )! k!
Reorganizando los denominadores obtenemos lo siguiente:
n 1 n n 1 (n 1)! n! (n 1)!
* *
k 1 k 1 k (n k 1)! k! (n k 1)!(k 1)! (n k )!(k 1)!
Se concluye entonces que:
n 1 n n 1 n 1 n n 1
k 1 * k 1 * k k * k 1 * k 1
4. 4. ¿De cuántas formas se puede elegir diez monedas de una canasta que contiene 100 monedas de un euro y 80 monedas de dos euros
si el orden no interesa y si la repetición está permitida?
Respuesta: Por la regla de la combinatoria con repetición.
El tipo de monedas es 2; n=2.
La cantidad de elementos a escoger es 10; r=10
2 10 1 11
10 = =11
10
Monedas Combinaciones con repetición
1 euro 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2 euros 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0
5. Problema 9e.