1. Departamento de Mecatrónica
Instituto Tecnológico de Culiacán
Estabilidad de sistemas
dinámicos
Dr. Raúl Santiesteban Cos
Culiacán, Sinaloa.

2. Estabilidad de sistemas dinámicos
Definición Formal (matemática) de Estabilidad
Se establecerá la estabilidad en el sentido de Lyapunov. Considérese un
sistema representado por la ecuación diferencial
x  f (x)

suponga que x(eq ) es un punto de equilibrio de (1). el punto de equilibrio
puede ser cero o ser llevado a un valor cero (como punto de referencia).
El punto de equilibrio f ( x(eq))  0 es
Estable si, para cada  existe un  , tal que
x(0)    x(t )   ,  t  0
Es Inestable si no es estable
Es Asintóticamente Estable si es estable y  puede ser elegida tal que
x(0)    lim x(t )  0
t 

3. Por ejemplo en las ecuaciones del péndulo simple:
d
0 
dt
d g k
0   sen  
dt l m
Dos puntos de equilibrio:
d
1   0,   0 Estable  
dt
2    ,   0 Inestable

4. » La estabilidad, desde el punto de vista de control es quizá la característica
más importante de los sistemas dinámicos.
» La estabilidad de un sistema generalmente es analizada en puntos de
equilibrio, aunque puede no ser así.
» El concepto de estabilidad que más se usa es el de estabilidad absoluta,
dice si el sistema es estable o no.
» También se usan los conceptos de estabilidad relativa y error en estado
estacionario.
» La Estabilidad relativa nos indica que tan estable es un sistema en relación
a otro o en relación a algún cambio dentro del mismo.
» El error en estado estacionario es la diferencia entre el valor deseado y el
valor obtenido una vez que el sistema tenga un estado estable. Cabe
destacar que un sistema estable puede tener error en estado estable.

5. Estabilidad Absoluta
Es la característica más importante de los sistemas de control, se refiere a
que si el sistema es estable o inestable.
Definición. Un sistema de control es estable si ante cualquier entrada
acotada, el sistema posee una salida acotada.
La condición de estabilidad se analiza sobre puntos de equilibrio, un
sistema de control se encuentra en un punto de equilibrio si la salida
permanece en el mismo estado en ausencia de cualquier perturbación o
entrada.
Los sistemas tienen puntos de equilibrio estables e inestables. Para
encontrar los puntos de equilibrio en un modelo de un sistema, se
igualan las dinámicas a cero y se despejan las variables de interés.
La estabilidad es una característica propia de cada sistema y no
depende de las entradas

6. Análisis de Estabilidad en Laplace
La estabilidad de un sistema se puede determinar por la ubicación de los
polos de lazo cerrado en el plano s. Si alguno de los polos de lazo cerrado
de un sistema se encuentra en el semiplano derecho el sistema es
inestable.
Plano s
Región Región
estable inestable
Región Región
estable inestable

7. Plano s

8. Comentarios:
1) Un sistema de lazo abierto también tiene características de
estabilidad.
2) Un sistema de lazo abierto no puede cambiar sus
características de estabilidad a menos que se cambien sus
parámetros, se agregue otro elemento dinámico o usando
realimentación
3) Un sistema inestable puede estabilizarse usando
realimentación.
4) Un sistema estable puede hacerse inestable con una cierta
realimentación.

9. Criterio de Estabilidad de Routh
Un sistema realimentado es estable si todos los polos de lazo cerrado se
ubican en el semiplano izquierdo del plano s. Esto es lo mismo a decir que
todas las raíces de la ecuación característica ( q (s ) ) tienen parte real negativa
C ( s) b0 s m  b1s m1    bm1s  bm p( s)
 n 1

R( s) a0 s  a1s    an1s  an q( s)
n
cuando no se tiene forma a encontrar las raíces de la ecuación
característica…
El criterio de estabilidad de Routh permite determinar si hay raíces con
parte real positiva (inestable) sin necesidad de resolver el polinomio.
El criterio de estabilidad de Routh se basa en el ordenamiento de los
coeficientes de la ecuación característica

10. q( s)  a0 s n  a1s n1  a2 s n2    an1s  an  0
en el siguiente arreglo
sn a0 a2 a4 a6   
s n1 a1 a3 a5 a7   
s n2 b1 b2 b3 b4   
s n 3 c1 c2 c3 c4   
   

 

0

s h1
…

11. donde
a1a2  a0 a3 a1a4  a0 a5 a1a6  a0 a7
b1  b2  b3  
a1 a1 a1
b1a3  a1b2 b1a5  a1b3 b1a7  a1b4
c1  c2  c3  
b1 b1 b1
c1b2  b1c2 c1b3  b1c3
d1  d2   
c1 c1
El criterio de Routh establece que el número de raíces de q (s ) con partes
reales positivas es igual al número de cambios de signo de la primera
columna del arreglo.

12. Ejemplo 1
Sea el siguiente polinomio
a0 s 3  a1s 2  a2 s  a3  0
el arreglo es
s3 a0 a2
s2 a1 a3
a1a2  a0 a3
s
a1
s0 a3
La condiciones para que todas las raíces tengan parte reales negativas son:
a0 , a1, a2 , a3  0 a1a2  a0 a3

13. Ejemplo 2
Sea el siguiente polinomio
s 4  2s 3  3s 2  4s  5  0
el arreglo es
s4 1 3 5
s3 2 4 0
s2 1 5 0
s 6 0
s0 5
Hay dos cambios de signo en la primera columna por lo tanto existen dos
raíces con partes reales positivas.

14. Casos especiales
Si un término es cualquier columna es cero y los demás términos no son
cero. El elemento cero puede reemplazarse por un número positivo  y
continuar con el arreglo.
Ejemplo 2
Sea el siguiente polinomio s 5  2s 4  2s 3  4s 2  11s  10  0
el arreglo es
s5 1 2 11 4  12  12
c1  
s4 2 4 10  
s3  6 0 6c1  10
d1  6
s 2 c1 10 0 
s d1 0
s0 10
Hay un dos cambios de signo en la primera columna por lo tanto existen dos
raíces con partes reales positivas.