Cálculo integral. aplicaciones de la integral definida. Cálculo de área bajo la curva y entre curvas.

1. 
AREAS DE CURVAS PLANAS
EN COORDENADAS
RECTANGULARES

2. 
Por: ING. EUNICE RAMOS GALVÁN
Área e Integral Definida

3. 
Por: ING. EUNICE RAMOS GALVÁN
Áreas y principio fundamental
del cálculo

4. AREAS DE CURVAS PLANAS EN
COORDENADAS RECTANGULARES
dxxfA
b
a
 )(

b
a
dyyfA )( 
b
a
xdyA
30/10/2015
Y=f (x)a b

b
a
ydxA
a
b X=f (y)

5.  2
xy 
Ejemplo 1
Encuentre el área limitada por la curva el eje x y las
rectas x= -1, x=3.

b
a
ydxA 

3
1
2
dxxA
3
1
3
3 

x
A
3
)1(
3
3 33

A



3
1
3
27
3
)1(
3
27
A
2
3
28
u

6. 
Ejemplo 2
x
ey 

b
a
ydxA
Encuentre el área limitada por la curva , el eje de
las x y las rectas x= 0, x= 2

2
0
dxeA x
2
0
x
e 02
ee 
138.7  2
38.6 u

7.  2
)1(  xy
Ejemplo 3
Encuentre el área limitada por la curva , el eje x y las
rectas x=1, x = -2
2
9uA 

8. 
Ejemplo 4
Encuentre el área limitada por la curva el eje de las
y y las rectas y=0 , y=7
13
 xy
13
 yx
13
 yx
3 1 yx

b
a
dyyfA )( dyyA  
7
0
3 1
 
7
0
3
1
)1( dyyA
4
)10(3
4
)17(3 3
4
3
4



A
7
0
3
4
3
4
4
)1(3
3
4
)1( 



yy
4
)1(3
4
)8(3 3
4
3
4
A
 2
4
45
4
3
4
48
4
3
4
)16(3
uA
2
25.11 u

9. 
Ejemplo 5
Encuentre el área comprendida entre la curva el eje x
y las rectas x= -2, x= 2
42
 xy


2
2
2
)4( dxxA
 

2
2
2
2
2
4dxdxxA
2
2
3
4
3
 x
x ))2(4
3
)2(
()2(4
3
2 33



8
3
8
8
3
8
)8
3
8
(8
3
8



2
3
64
u

10. 
Ejemplo 6
Encuentre el área comprendida entre la curva el eje y, y las rectas
y= 1, y= 3
2
yx 

b
a
xdyA

3
1
2
dyyA
3
1
3
3
y
A 
3
1
3
3 33

3
1
9  2
3
26
u 2
66.8 u

11. 
Ejemplo 7
Encuentre el área comprendida entre la curva y = ln x, el eje x
y las rectas x =1, x=4

4
1
ln xdxA
b
a
ydxA
xvdx
x
du
dxdvxu


1
ln
 dx
x
xxx
1
ln 4
1ln xxx 
)11ln1(44ln4 
144ln4  34ln4  2
54.2 u

12. 
Ejemplo 8
Calcular el área de una arcada de la función y= sen x y el eje x

b
a
ydxA 

0
senxdxA 
0cos xA 
)0cos(cos  
)1()1( 
11 2
2u

13. 
Ejemplo 9
Encuentre el área limitada por la curva y el eje de las x.

14. 
Por: ING. EUNICE RAMOS GALVÁN
Área entre gráficas

15. 
Área entre curvas
 
b
a
is dxyyA )(
 
b
a
id dyxxA )(
a
b
a
b
Con respecto a “x”
Con respecto a ”y”

16. Ejemplo 10
xy 62
yx 62

 
b
a
is dxyyA )(
 
6
0
2
)
6
6( dx
x
xA
16
Calcular el área comprendida entre las curvas
con respecto al eje x.
6
 
6
0
2
6
0
2
1
6
1
)6( dxxdxxA
36
1
6)6(
6
1 36
0
2
1 x
dxx   18
2
3
)6(
6
1 32
3
xx

6
0
32
3
189
)6( xx










18
0
9
)0*6(
18
6
9
)6*6( 32
3
32
3
18
216
9
36 2
3

18
216
9
216
 2
12u

17. Ejemplo 11
042
 xy 42  xyEncuentre el área entre la curva la recta
respecto a y.
2
4
4
2


y
x
y
x  
b
a
id dyxxA )(




4
2
2
)
42
4
( dy
yy
A 

4
2
2
)
4
2
2
( dy
yy
4
2
32
12
2
4 

y
y
y
12
)2(
)2(2
4
)2(
(
12
4
4*2
4
4 3232




)
12
8
41(
12
64
84 
2
9u