Cap5 mecánica de un cuerpo rígido

Cuaderno de Actividades: Física I
5) Mecánica del Cuerpo
Rígido
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo 133

5) Mecánica del Cuerpo Rígido
5,1) Definición de CR
Es un sistema de partículas especial que no se deforma bajo el rango de
fuerzas que actúa sobre el. Se adopta para poder describir la componente
ROTACIONAL del movimiento de los cuerpos.
SP
n ↔ ∞
dij ≡ cte
CR → cuerpos indeformables
5,2) Movimiento del Cuerpo Rígido
El Movimiento del CR, en el caso planar, se puede describir de la siguiente
manera,
Traslación rotación
Mov. CR ≡ de un punto + en torno de
del CR dicho punto
→ CM → CM
Lic. Percy Víctor Cañote Fajardo
i dij
j
cm
w
cm
v

134

Esta descomposición de movimientos ya ha sido vista en otros casos,
“Mov. Parabólico” MP ≡ MRUx “+” MRUVy
i) Traslación
0’ = CM
0'/0 'r r r≡ +
  
0'/0 'v v v≡ +
  
0'/ 0 'a a a≡ +
  
,R R ext CMF F Ma≡ ≡
  
ii) Rotación
,R ext
d
L
dt
τ ≡

↑ ↑
F

p

F
r x Fτ ≡
 
pxrL

≡

O: → pto fijo
→ CM
→ mov // al CM
Cuando las rotaciones se efectúan bajo un eje especial, llamado eje principal
de inercia, EPI, al L

se puede escribir así:
EPIwIL ←=

I: momento de inercia respecto al EPI
{ },R ext
d
L Iw
dt
τ ≡ ≡
 
→ ↑ xyz
α

IwI =≡
,R ext Iτ α≡

El I tendría su equivalente en m, representando por lo tanto inercia
rotacional,
→ I ≡ M
Momento de Inercia, I
La expresión general de I se extrae de la forma general del L

, esto es,
CR
L r v dm≡ ×∫
  
y, escribiendo v rω≡ ×
 
, con lo cual,
( )
CR CR
L r v dm r r dmω≡ × ≡ × ×∫ ∫
    
, reemplazando el triple producto vectorial,
2
( ) ( . )r r r r rω ω ω× × ≡ −
     
, entonces,
{ }2
( ) ( . )
CR CR CR
L r v dm r r dm r r r dmω ω ω≡ × ≡ × × ≡ −∫ ∫ ∫
        
, desarrollando la integral y
ordenando términos obtendríamos la expresión tensorial,
L Iω≡
 t 
donde I
t
es el tensor de inercia descrito por,

xx xy xz
yx yy yz
zx zy zz
I I I
I I I I
I I I
 
 ÷
≡  ÷
 ÷
 
t
en la cual las formas ijI son los productos de inercia y iiI los momentos
principales.
Los momentos principales siempre pueden escribirse de esta forma,
2
CR
CR
I r dmξ
≡ ∫
iii) Energía
21 1
2 2
kRE Iw L w≡ ≡ ×
r r
EPI: wIL
rr
⋅≡
EM ≡ Ek + Ep
Si
→ ∃ ncF
r
∨ ≡→≡ M
F
Ew nc
0
r
cte
M KT kR pE E E E→ ≡ + +
ξ
r
r
dm
137

S5P13) Halle los Is respecto a lo ejes x e y del cono circular recto de masa m y
dimensiones representadas en la figura.
,
???CR
x y
I ≡
Y
e
0
h x
z
Y
disco
rx
Z
x h X
138

a) xξ ≡
Discos:
Asumiendo anillos de masa dm
{discoI dI
anillos
ξ
≡ ∫
Anillos:
Asumiendo pequeños arcos de masa dm,
2
≡ ∫anilloI R dmξ
anillo
2I R Mξ
≡
ξ
M
R
dm
Ma
R
139

a
2M R≡
Regresando al disco:
2
disco
disco
I r dmξ
≡ ∫
anillo: dm ↔ M(masa del disco)
dm ≡ σda 2
M
R
 
≡  ÷
π 
{2πrdr}
2
2M
rdr
R
≡
{ }
4 2
2 2
3
0
2 2
4 2
R M M R MR
x
R R
I r drξ ≡ =→ = ∫
( )x 2
cono disco
dm
I dI r x
2
ξ≡ ξ
≡ ≡∫ ∫
}
( ){ } ( )2 2m
r x dx r x
V
2
ρ
 
π 
 ≡ ∫
; ( ) x
h
e
xr = ,
dm
dV
ρ =
?...≡
b) y≡ξ
y
conoI ?ξ≡
≡
da
dm
0 r dr r
z
x y
140

Teorema cuerpos planos: Iz = Ix + Iy
Teorema de Steiner: I ≡ Icm + Md2
Y’
disco
Z’ X
M
cm
d
Y Y’
disco
rx
Z Z'
x h X
141

2x y z y
disco discoI I I I′ ′ ′
→ ≡ + ≡
yy //′ 2 ' 2y cm y
dI dI dm x dI dm x≡ + ≡ +
∫≡ yy
dII
..?.y
I ≡
S5P3) Una polea de doble peso tiene una masa de 100 kg y un radio de giro de
0,25 m. De los cables que se enrollan en la periferia de la polea cuelgan 2
pesas iguales de w = 200 N. Suponiendo que la fricción en el eje de apoyo y la
masa de los cables se desprecian, determine la aceleración del cuerpo que
baja. Use r2 = 2r1 ≡ 0,4 m.
SOLUCION:
Radio de giro: Es el radio que tendría una partícula de masa M de tal manera
que su
2ξ ξ
≡ ≡ CRI MR I . El radio de giro asociado a un cuerpo debe interpretarse
como el radio de una partícula de igual masa con idéntico I respecto del
mismo eje.
α
r1 r2 P
Q 0
T1
T2
a1
w 1
2 w ↓ a2 ≡ atp ≡ r2 α
142

ξ
≡ R M
2
cr part MRI Iξ ξ
≡ ≡
En el caso de nuestro problema, es el radio que tendría una partícula con la
misma masa del cuerpo de tal manera que su I sea igual al de la polea
respecto de su eje axial.
Por lo tanto, usando la información del radio de giro de la polea, determinamos
su momento de inercia respecto a su eje axial,
Radio de giro: I ≡ MR2
← R=0,25 y M=100
Iξ
≡ 100 (0,25)2
≡ 6,25; ξ : eje axial
Analizando el disco:
2
,
2 2
tP
R ext
a a
I I I
r r
ξ ξ
τ α≡ ≡ ≡
2
2 2 1 1
2
(1)...
a
T r T r I
r
ξ
− =
Analizando cuerpo 2:
2 2 ). 2.(.
w
w T a
g
− ≡
Analizando cuerpo 1:
ξ
M
143

2 1
1 1 1 1
2
; α− = ≡ ≡ ≡tQ
a rw
T w a a a r
g r
2 1 1
1 2
2 2
. .(3).
a r rw w
T w a
g r g r
− ≡ ≡
Tenemos un sistema consistente donde podemos calcular a2, T1 y T2, …
calcule!?
S5P4) Una cuerda pasa por una polea sin rozamiento, según indica la figura,
llevando una masa M1 en un extremo y estando enrollada por el otro a un
cilindro de masa M2 que rueda sobre un plano horizontal, ¿Cuál es la
aceleración de la masa M1?
SOLUCION:
DCL (m1): DCL (m2):
m2
µ
p
m1 ↓ a1
Q T
W2
f
N
T
W1
144

↓ a1
2da
Ley traslasional para m1:
1 1 1w 1.( )..T m a− ≡
2da Ley rotacional para m2:
ατ ξp
discoextR I=, : P se mueve paralelo al CM
( ) 2 2 2 1
2
1
2 ,
2 2 2
Qtp
disco
a a
T r I M r r M
r r
ξ
α α α
 
= ≡ + ≡ ≡ 
 
2 1
3
.. ( ).
8
2T m a≡
Una vez mas, tenemos un sistema consistente de ecuaciones, donde podemos
calcular a1 y T,…calcule!?
¿? Es posible calcular la fuerza de fricción.
¿? Que tipo de fricción es.
¿? Y como se mueve el CM.
S5P5) La rueda O pesa 650 N y rueda a lo largo de un plano horizontal (figura.
El radio de giro de la masa de la rueda con respecto a su eje geométrico es (
2
3
) m. El coeficiente de fricción entre la rueda y el plano es 0,25. Determine la
aceleración del centro de la rueda y la aceleración angular de la rueda.
SOLUCION:
30N
50N
µ
p f
145

El efecto de giro de F1 = 30N respecto de P, es mayor que el de F2 ≡ 50 N.
Ahora, fíjense, el efecto traslasional de F2 es mayor que F1. Ambos enfoques
son consistentes con la fuerza de fricción f. Por lo tanto, el cuerpo se moverá
hacia la izquierda.
a) De lo anterior, aplicando la 2da
Ley,
R CMF am≡ → 30 50 cm
w
f a
g
 
+ − = → 
 
30 (0,25 650) 50
6
2
5
2,
+ × −
≡ ≡cma
b) α ≡ ?
Por la condición de rodadura, desde el punto P se observa la acm,
acm ≡ αr, donde r: radio de la rueda.
αcm ≡
r
acm
Para calcular dicho radio, hacemos uso del radio de giro de la rueda,
2
2
2
, :cr part MR
Mr
ejeaxial del discoI Iξ ξ
ξ≡ ≡ ≡
2 21
,
2
giroMr MR R R≡ ≡
Rr 2=
3
2
3
2
2 ==r
αcm ≡
2,2
(2/3)
3,3cma
r
≡ ≡

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