1. INTRODUCCIÓN
El presente trabajo está dirigido a los alumnos del CBTA 20 que cursan el Bachillerato
Tecnológico, con la intención de que sirva de guía y material de trabajo mínimo para cubrir los
contenidos programáticos que especifica el programa de estudios de Cálculo, del Bachillerato
Tecnológico; asignatura del componente básico de dicho bachillerato
El descubrimiento del Cálculo en un principio apoyó algunos problemas de la Física,
actualmente constituye una herramienta muy útil en los diferentes campos de la ciencia, permitiendo el
estudio de las razones de cambio de muchas cantidades, la estimación de la distancia y la velocidad de
un cuerpo en movimiento, la predicción de resultados de las reacciones químicas, la explicación del
crecimiento del número de bacterias en cultivos, la descripción del cambio de corriente eléctrica en un
circuito, el estudio de las pérdidas y ganancias de una empresa o el encuentro de las rectas tangentes a
las cónicas; con esto se da a entender que el uso del Cálculo tiene como límite la creatividad del ser
humano para su aplicación.
Con el desarrollo de los contenidos programáticos en el aula, mediante el proceso enseñanza-
aprendizaje, los participantes en dicho proceso deben ir construyendo los conceptos que permitan
comprender las bondades de esta herramienta, la comprensión de los conceptos analizados y una
adecuada aplicación a diversos problemas de la vida cotidiana. Ello contribuirá a que todos los
estudiantes puedan lograr el objetivo general del curso que es:
Objetivo General: Los estudiantes integrarán los contenidos de la
matemática antecedente, para resolver problemas que los conduzcan hacia los
conceptos centrales de función, límite, derivada e integral. Que les permitan construir
una imagen de su entorno con mayor coherencia y formalidad, para desarrollarse con
solvencia en un entorno social, científico y tecnológico
1
2. CONTENIDO
1. Conceptos Previos Revisión algebraica (apoyo a los estudiantes)
1.1 Introducción
1.1.1 Antecedentes Históricos
1.1.2 Conceptos De Variable Relación Función
1.1.3 Conceptos Relacionados Con Funciones, Intervalos, Dominio Y Rango De Funciones
1.1.4 Clasificación De Las Funciones
1.1.5 Representación Gráfica De Las Funciones
1.1.6 Operaciones Con Funciones
1.2 Límites Y Continuidad De Funciones
1.2.1 Noción Intuitiva De Límites
1.2.2 Continuidad De Una Función
1.3. Derivación De Funciones
1.3.1 Rapidez De Variación Y Rapidez De Variación Instantánea
1.3.2 Reglas De Derivación De Funciones Algebraicas
1.3.3 Derivación De Funciones Trascendentes
1.3.4 Derivadas Sucesivas De Una Función
1.4. Análisis De Funciones
1.4.1 Funciones Crecientes Y Decrecientes
1.4.2 Máximos Y Mínimos Relativos
1.4.3 Aplicaciones
2
3. 2.1 Conceptos De Cálculo Integral
Para una adecuada comprensión de los temas a desarrollar durante el curso, es necesario hacer un
recordatorio de algunos temas básicos de Aritmética y álgebra que permitan avanzar con menores
dificultades en el desarrollo del curso, para ello se proponen la realización de los siguientes ejercicios,
mismos que deberás desarrollar trabajando en equipo o individualmente, investigando las reglas o
principios a aplicar en la solución de estos ejercicios, socializando éstas en el grupo hasta lograr una
mejor comprensión de los procesos aplicados en la solución de los mismos.
Aritmética.
Actividades:
1. Representa en el eje numérico los siguientes racionales:
½, 2/3 , 4/5, 3/9, 1/3, -1/2, -1/3, 5/3, -7/4, 17/5. -12/7
*
2. Compra las siguientes parejas de racionales escribiendo entre ellos los signos =. <, >, utiliza el
procedimiento que creas conveniente:
2/4 7/11, 7/18 9/19, 19/21 10/11, -19/29 -17/27. 7/9 17/20
3. Ordena de mayor a menor: {2/3, 8/11, 12,17, ½} {-5/9, -4/7, -12/23}
4. Encuentra 3 fracciones equivalentes a las fracciones propuestas:
¾ = 16/45 = 69/79=
5. Efectúa las siguiente operaciones:
a) =++
8
5
3
1
2
4
3
b) =+−
5
1
6
4
3
1
2 c) =×+ )
5
1
3
2
(
3
1
2
d) =
−+
+−
6
1
9
4
2
1
2
5
4
3
2
4
3
e) =÷
9
4
5
3
2 f) =−− )
6
5
2(
8
5
3
g) =−− )
7
1
6
1
(
5
2
h) =
−
−
5
3
1
3
2
5
2
3
4
6. Expresa con exponente positivo las siguientes cantidades:
3
10. e) 6x2
+ 7x + 2 = f) 10 x8
+ 29 x4
+ 10 =
Factoriza:
a) 1 + a3
= b) x6
– 8y12
=
c) m3
– a3
= d) 1 + (x+y)3
0
e) 8x3
– 1 = f) 1 – (2 a – b)3
=
g) 8x3
+ y3
= h) 8 a3
- (a – 1)3
=
i) 27 a3
- b3
= j) (x – 1)3
– (x + 2)2
=
Factoriza:
a) x3
– 3x2
– 4x + 12 = b) 2x3
– x 2
– 18x + 9
c) x4
– 11x2
– 18x – 8 = d) x3
– 6x2
+ 32 =
e) x3
+ x2
– x - 1 = f) x4
– 4x3
+ 3x2
+ 4x -4
g) a3
– 3 a2
– 4 a + 12 = h) n4
– 27 n2
+14n + 120 =
ACTIVIDADES: Simplificar Las siguientes expresiones
a) =
+++−
−+−
)34)(12(
)32)(1(
22
22
aaaa
aaa
b) =
+
++
yx
yxyx 22
2
c) =
+−
+−
)35
93025 22
ba
baba
d) =
−
+−
ba
baba 22
2
e) =
+
++
ba
baba 22
2
f) =
+−
+−
z
zz
23
4129 2
g) =
+
−
yx
yx 22
h) =
+
++
x
xx
41
1681 2
i) =
−
+−
22
22
2
xy
yxyx
j)
=
+
++
x
xx
1
21 2
k) =
+
++
25
2025 22
b
babb
l) =
+−
−
xyyx
xyx
24
36
2
2
ll) =
+
++
22
484 2
a
aa
m) =
+
++
x
xx
26
42436 2
n)
a
a
23
49 2
−
−
ñ) =
+
++
y
yy
61
36121 2
o) =
−
−
x
x
1
1 2
p) =
+
++
z
zz
38
94864 2
q) =
+
−
13
19 2
x
x
r) =
+
++
yx
yxyx
22
484 22
Actividad: Suma las siguientes expresiones:
a) =
−
+
+ 1
1
1
1
aa
b) =
−
+
+ 3
1
2
2
xx
c) =
+
+
− 52
6
1
3
xx
10
11. Restar: Procede en igual forma solo considera el signo para restar.
a) =
−
−
+
ba
ab
a
ba
2
2
6
34
3
2
b) =
−
−
−
−
−
+ 322
3112
xx
x
xxxx
c) =
−
−
− 3
1
4
1
xx
d) =
−
+
−
++
−
−
−
−
2
3
44
)1(
82
14
2
2
2
2
x
x
xx
x
x
x
e) =
+−
−
−+
+
144
1
276
3
22
xxxx
x
e) =
−
+
−
+
−
88
2
44
1
x
x
x
x
Multiplica y divide las siguientes expresiones
a) =
+
÷
++ 22
3
22
2
3
5
96
3
abba
a
baba
a
b)
=
+
++
×
+
−
aa
aa
aa
a
93
341
3
24
23
4
c)
62
55
62
2
2
3
+
−
÷
+
−
x
xx
xx
xx
d) =
−+
+−
×
−
+
56
255
64
125
2
23
2
3
xx
xxx
x
x
e) =
−+
÷
−− 42
2
30
1
22
aaaa
f)
7
11
49
126 2
2
3
+
−
÷
−
−
x
xx
x
xx
=
Actividades: Resuelve las siguientes ecuaciones.
1) x +5 = 3(x+5)
2) x+3 = 10
3) 8 = y + 14
4) 8x+ 9 = 5 + 3 ( 2x -1 ) + x
5) x+12 = 20
6) 3x = 15 +2x
7) 16 = x + ½
8) 2y + 3 = y +2
9)
x
x
x
x
35
43
25
32
−
+
=
−
+
10) 11
32
9
12 =
+
−
x
11) 63
1
12
=−
−x
12) 15- 5
10
−=
x
13) )1(
1
1
32
−
=
−
−
xxxx
1 x + 6y = 27 2 3x + 5y = 7 3 9x + 16 y = 7 4 -12 x – 5y = -27
7x – 3y = 9 2x – y = - 4 4y – 3x = 0 15 x -11y = -87
11
12. a) Resuelve por factorización las siguientes ecuaciones:
a)2x2
+ 8 = 0 b)5x2
– 6x = 0 c) x2
– 2x – 3 = 0
d)x2
+ 1 = 5
9
7 2
+
x
e) x2
– 5x = 0 f) x2
– 8x + 12 = 0
g) x2
+ 5 = 7 h) 4x2
= - 3x i) 15 x2
– 8x + 1 = 0
j) 5x2
+ 12 = 3x2
– 20 k) x2
– 3x = 3x2
-4x l) x2
- 5ax + 6 a2
= 0
m) (x+5)(x-5) = 17 n) 5x2
+ 4 = 2(x+2) o) 4x2
– 7x – 2 = 0
Actividades: Resolver las siguientes inecuaciones:
1) x2
-5x < - 4 2) x2
– 6x + 8 > 0 3) x2
– 6x + 8 < 0
4) x2
– 6x + 5 < 0 5) x2
+ 6x + 5 > 0 6) x2
+ x < 2
Actividades: Resolver los siguientes sistemas de ecuaciones:
1) x2
– xy + y2
-7 = 0 2) x2
– y2
= 16 3) x2
– y2
= 16 4) 4x2
+3y2
= 24
x – 2y + 1 = 0 5x – 2y = 19 2x2
– 5y2
= 5 3x2
– 2y2
= 35
Actividad: Graficar los siguientes sistemas de inecuaciones e identificar la región común
1) 4x – 5y > 2 2) y > x2
-3x + 4 3) 3x + 2y > 37
5x + 3y < 21 5x + 2y – 3 > 0 2x + 3y < 33
.ANTECEDENTES HISTÓRICOS: Con la intención de que Interpretes el Cálculo como una
herramienta ideada por el hombre para dar solución a problemas del movimiento y el poder
comprender como el hombre fue dando respuestas a sus interrogantes, determinando con ello la
relación entre variables, se incluyen en este trabajo las siguientes notas.
“ El Cálculo es el producto de un dramático conflicto intelectual que ha durado 25 siglos” en ello
han participado en orden cronológico los siguientes personajes.
Personaje Periodo de
Vida,
Nacionalidad y Aportaciones al Cálculo
Arquímedes de
Siracusa
( 287 – 212
a.C.)
Fue el más grande matemático de la antigüedad inventor y científico practico,
invento un tornillo para elevar el agua, estableció las propiedades de las
poleas y palancas, construyo un modelo mecánico que reproducía el
12
13. movimiento de la luna y los planetas; sus mejores escritos fueron dedicados al
calculo integral; uso el método de exhaustion para sumar enormes cantidades
de números muy pequeños; aportó las formulas del área del circulo, el
segmento de la parábola y de la elipse, el volumen y área de la esfera, del
cono y de otros sólidos de revolución.
Nicolás Oresme 1323-
1382
Determina que en la proximidad de una curva en la cual la ordenada es
máxima o mínima, dicha ordenada varía más lentamente
Johannes. Kepler 1571-
1630
Alemania: estudio matemáticas y astronomía en la universidad de
Tubingen. nombrado como asistente de tycho brahe. en el observatorio de
Praga , adquirió datos exactos sobre las órbitas de los planetas.
las máximas aportaciones de Kepler fueron sus tres leyes del movimiento
planetario:
1) los planetas se mueven en el elipse ,con el sol en uno de sus focos.
2) la recta que une al sol con un planeta barre áreas iguales en tiempos
iguales.
3) el cuadrado del periodo es proporcional al cubo de sus cuadrados.
Hace la misma observación que Oresme.
René Descartes 1569 - 1650 Mejor conocido como un gran filosofo moderno. También fue un fundador de
la biología moderna, físico y matemático. Su trabajo matemático de mayor
trascendencia fue la géometrie, publicado en 1637. En el, intento la
unificación de la antigua y venerable geometría con el álgebra. En (1637 –
1665) tiene crédito por la unión que llamamos hoy geometría analítica o
geometría coordenada, sin ella no hubiéramos podido surgir el pleno
desarrollo del calculo.
Buenaventura
Cavalieri
1598-1674 Su geometría de los Indivisibles contiene cálculos de longitudes de líneas,
áreas y volúmenes, recurriendo a sumas
Isaac Barrow 1630-1677 Mediante el triángulo formado por un arco infinitesimal cuyos extremos
determinan la hipotenusa, siendo los catetos los incrementos infinitesimales
en que difiere la abscisa y la ordenada alista notablemente el camino a las
grandes ideas de Leibniz
Blaise Pascal 1625 –1662 Hizo aportaciones al calculo, a la edad de 19 años invento la primera maquina
de sumar. Tiene el crédito de la iniciación de estudios serios sobre la teoría
de la probabilidad.
Se da el nombre del triángulo de Pascal al arreglo de números que contienen
los coeficientes del teorema del binomio.
Personaje Periodo de
Vida,
Nacionalidad y Aportaciones al Cálculo
Pedro de Fermat 1629 Propuso un método para investigar máximos y mínimos de una función , su
contribución al Cálculo Integral es muy importante, determinó el área bajo
algunas parábolas
Isaac Newton 1642-1727 Inglaterra: Comparte con Gotfried Leibniz el crédito del descubrimiento del
Cálculo, siendo el primero en concebir las principales ideas del Método de
Fluxiones. Descubrió el teorema del Binomio que lleva su nombre, los
elementos del cálculo integral y diferencial , la teoría del color y la ley
universal de la gravitación
13
14. Gottfriel Wilhelm.
Leibniz
1646-1716 Alemania: Comparte con Newton el crédito del descubrimiento del Cálculo,
descubrió independientemente de Newton las ideas de éste, sobre el Cálculo,
no recibe el mismo reconocimiento que Newton; pero fue uno de los más
grandes inventores de los símbolos matemáticos a él se debe el nombre de
Cálculo integral y Cálculo Diferencial y el uso de dy/dx para la derivada y
∫ para la integral el término de función y el uso de =, desarrollando con
mayor rapidez el cálculo con el uso de estos símbolos
Guillaume F. A.
de L ‘Hôpital
1661-1704 Francia: discípulo de Johann. Bernoulli de ahí que en sus trabajos hay
disputas entre ambos, publicó el primer libro de Cálculo diferencial 1696, hay
una regla que lleva su nombre sobre las integrales indeterminadas “la regla
de ‘Hôpital (obra de su maestro)
Johann. Bernoulli 1667-1748 Suiza: Más famoso de una familia de matemáticos, de los más importantes
fundadores del Cálculo, en competencia con su hermano Jacques abordaron
problemas de puntos de inflexión, longitud de curvas, series infinitas, técnicas
de integración, escribió el primer libro de Cálculo entre 1691 y 1692 pero la
parte del Cálculo Integral no se publicó hasta 1742 y la parte del Diferencial
hasta 1924
Leonard Euler 1707-1783 Suiza: Escribió 75 libros de matemáticas, contribuye con sus estudios a la
interpretación de las funciones trascendentes, introdujo al número “e” base de
los logaritmos naturales, demostró que e y e2
son irracionales, descubrió la
relación eir
= -1
María Gaetana
Agnesi
1718-1799) Italia. comenzó su mas importante trabajo, en un libro de texto de calculo.
su estudio de una curva conocida entonces como la versiera.
Milán reconoció a Agnesi dándole en su honor su nombre a una calle.
Joseph-Louis.
Lagrange
1736 – 1813 Turín Italia: Por la lectura de un ensayo sobre el calculo, dominó esta ciencia.
Se cree que a los 19 años, comenzó su obra máxima “Mécanique Analytique”.
La carrera de Langrage fue ilustre. En París, ayudo a perfeccionar el sistema
métrico de pesas y medidas. Sus contribuciones, incluyen el método de
multiplicadores de Langrage.
Personaje Periodo de
Vida,
Nacionalidad y Aportaciones al Cálculo
Carl Friedrich
Gauss
1777 – 1855 Alemania: La matemática es la reina de las ciencias y la teoría de los números
es la reina de la aritmética, expresión de este personaje, el más grande
matemático después de Newto, Conocido como el príncipe de las
matemáticas, propone estratagemas para el conteo, concibe la idea de
geometría no euclidiana, inventa el método de mínimos cuadrados, resuelve el
problema de construir con regla y compás el polígono de 17 lados. Hace la
primera demostración del teorema fundamental del Álgebra. Su obra
“Disquistiones Arithmeticae” ha influido notablemente sobre la teoría de los
números. En Cálculo sus trabajos sobre superficies curvas incluye el teorema
14
15. de la divergencia. Una unidad de los campos magnéticos lleva su nombre.
Augustín-
Louis Cauchy
1789-1857 Francia: Se educó en la Ecole Polytechnique. Aunque el cálculo fue
descubierto a fines del siglo XVII, sus fundamentos permanecieron en estado
de confusión y desorden hasta que Cauchy y sus contemporáneos
(Gauss,Abel y Bolzano) impusieron normas de rigor.
Debemos a Cauchy la idea de basar el cálculo en una clara definición del
concepto del límite. Todos los libros de texto moderno sigue al menos en
esencia, la exposición de Cauchy para el cálculo.
Karl.
Weierstrass
1815-1897 Germania: Desarrolló una teoría completa de series de funciones y estableció
la legitimidad de operaciones tales como integración y la derivación por
términos .
Georg friedrich
Bernhard.
Riemann
1826-1866 Alemania: Discípulo de Gauss, de vida corta, Sus ideas abren nuevas
direcciones en la teoría de las funciones complejas, inicia el estudio de la
topología e inicia el desarrollo de la geometría que culmina con la ideas de
Eintein sobre la teoría de la relatividad. Proporciona la definición moderna de
la integral definida que lleva su nombre “integral de Riemann.
Josiah Willard.
Gibas
1839-1903 e.u.a. contribuyó al desarrollo del Cálculo. Gibbs es mejor conocido por sus
trabajos en la aplicación de la termodinámica a la química . se apoyó en el uso
que dio a los métodos vectoriales alrededor de 1800,y uno de sus
discípulos presento un libro llamado "vector analysis".
Sonia
Kovalevky
1850-1891 Rusia: representa la tradición matemática rusa, contribuyó a la teoría de las
ecuaciones diferenciales, ganó el premio Bordin de la academia francesa de
ciencias, es reconocida finalmente en su país siendo la primera mujer en ser
miembro corresponsal de la Academia Rusa de las ciencias Es de reconocer
su obra por la situación de la mujer en su época.
Henri Léon.
Lebesgue
1875 –
1941
Francia. Demostró que una función acotada tiene integral de Riemann si y
solo si el conjunto de sus discontinuidades tiene medida cero, hizo progresar
la teoría de las integrales múltiples.
1.1.2. Concepto de constante, variable, relación y función.
Observa los engranes A y B.
A B Si A y B representan dos engranes donde el radio de A es un tercio
Del radio de B, al hacer girar el engrane A las vueltas que queramos
¿Que sucederá con el engrane B?
Si A gira 6 vueltas, ¿Cuántas vueltas gira el engrane B?
Si A Gira 120 vueltas ¿Cuántas vueltas gira B?
¿Qué engrane hemos estado girando?
¿De qué depende la vueltas que gira B?
15
16. En este ejemplo habrás observado que el engrane A ha dado las vueltas que hemos deseado, por
lo que se puede considerar como variable independiente (x), como las vueltas que da el engrane B
dependen de las vueltas que gire el engrane A, entonces B representa la variable dependiente (y),
entre ellos se establece una relación. Y =
3
x
¿A 18 vueltas de “A” le corresponden dos o más número diferentes de vueltas de B? o solo un número
único de vueltas?
Analiza la fórmula que nos da el volumen de la esfera:
3
4
=V π r3
¿De qué depende el volumen de la esfera?
¿Qué variable se requiere hacer que cambie para que varíe el volumen de la esfera?
¿Cuál es la variable independiente en esta relación?
¿Cuál es la variable dependiente?
Si r = 8 , ¿habrá dos volúmenes o más diferentes?_______o a 8 cm de radio, ¿ solo le corresponde un
volumen de la esfera?
En estos dos ejemplos se observa que hay cierta relación entre variables, además esta relación es
especial porque a cada valor de la variable independiente solo le corresponde un valor a la variable
dependiente. Si se grafica la primera relación se tiene:
Y =
3
x
y = 4(3.14)x3
/3
16
17. Con una regla traza líneas verticales que corten las gráficas ¿Cuántos puntos de la gráfica
cortan las líneas verticales?
A esta clase de relaciones se les llama funciones, de esta forma se puede concluir que una
función es una relación entre dos variables tal que no hay dos o mas parejas ordenadas que
tengan igual el primer componente.
Estas parejas ordenadas (x,y) los elementos que forman estas parejas integran. dos conjuntos de
valores que pueden tomar las variables (x) independiente, (y) dependiente.
Los valores que integran el conjunto de valores que toma la variable (x) se le llama dominio de
la función
Al conjunto de valores que toma la variable (y) se le llama contra dominio o rango de la
función
En la vida diaria es de gran utilidad la idea de pareja ordenada por la relación que se establece entre los
elementos; ya sean personas, objetos, números, etc.
¿Cómo se establece esta relación?
Generalmente mediante una asociación de elementos de dos conjuntos, formando parejas
ordenadas, estableciéndose dicha ordenación o relación mediante una regla de asignación.
Ejemplo 1: si se tienen dos conjuntos integrados por:
A={Zacatecas, Aguascalientes, Monterrey, Cd. Victoria}
B= {Zacatecas, Aguascalientes, Nuevo León, Tamaulipas} Una regla de ordenación de estas parejas es:
C= {(x,y) / x es capital de y; x pertenece a A , y pertenece a B }
Ejemplo 2: Si en un cine se relacionan los asientos por el número de fila y el número de asiento
La expresión: B = {(2,1), (3,2), (2,7), (5,4) } donde (2,1) indica fila 2 asiento 1
(3,2) indica:
(2,7) indica:
(5,4) indica:
¿Qué asientos son de la misma fila?
Ejemplo 3: En un tu grupo asisten a clases un total de ___alumnos, si estableces una relación entre
edad y talla del pie. A = {(15, ) , (15, ), (15, ), (16, ) ……}
17
18. Si la relación la establecemos 2 “número de alumnos que calzan del”
Las parejas en tu grupo se integran de la siguiente forma: B = {( , ), ( , ), ( , ), ( , ), ( , )……}
Analizando los ejemplos se puede concluir que:
Una relación es un conjunto de parejas ordenadas, donde al conjunto de todos los primeros
elementos de las parejas se llama dominio de la relación, al conjunto formado por todos los
segundos elementos de las parejas ordenadas se le llama rango, codominio o contra dominio de la
relación.
También se llama relación en el producto cartesiano de 2 conjuntos A x B , al conjunto de
parejas ordenadas, formadas por elementos de A y con elementos de B, en este orden, mediante
una fórmula o regla que determina su asociación; así la relación es una selección de parejas del
producto cartesiano A x B.
Si U = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} el producto de: U x U ¿Cuántas parejas integran este producto?___
Completa la gráfica de este producto:
9
8
7 * Como se observa en este producto el dominio y el rango
6 son iguales (U)
5
4 *
3
2
1 * * * * * * * * *
1 2 3 4 5 6 7 8 9
dominio
La siguientes relaciones son subconjuntos del producto cartesiano UxU, en ellas enumera las
parejas, identifica: el dominio , el rango y elabora la gráfica o identifica las parejas en la gráfica ya
elaborada.
R1 = {(x,y) / x = y}= {(1,1)…………………………………………….(9,9)}
R2 = {(x,y) / x < y} = {
R3 = {(x,y) / x > y} = {
R4 = {(x,y) / y = x + 3} = {
R5 = {(x,y) / y = x } = {
R6 = {(x,y) / y = x2
} = {
R7 = {(x,y) / y = x2
+ 1} = {
R8 = {(x,y) / x = 5} = {
Como ya se ha enunciado algunas de estas relaciones cumplen ciertas condiciones; por lo que
reciben el nombre de funciones, en estos ejemplos podrás identificar estas funciones si se considera que
una función es una relación tal que no hay dos parejas ordenadas que tengan igual el primer
componente. En el conjunto de parejas ordenadas (x,y) ; x , y, reciben el nombre de variables, la
primera independiente (x) y la segunda dependiente (y), a los valores que toman se le llama dominio
de la variable. Al dominio de x se le llama dominio, al dominio de y se le llama rango de la
relación.
Actividad: De las relaciones anteriores observa el dominio y el rango de cada una de ellas y determina
cuáles de ellas son funciones.
R1 es ____________________________ R2 es_______________________R3 es________________
R4 es ____________________________R5 es _______________________R6 es ________________
18
19. R7 es ____________________________R8 es ________________________
La regla que nos dice como aparear los elementos de un conjunto con los de otro conjunto para
determinada relación se puede establecer de diferentes formas:
1°. La asociación se establece mediante una tabla de valore
2°. Mediante una gráfica
3°. Mediante una ecuación
4°. Mediante un enunciado verbal
1.1.3 Conceptos relacionados con funciones, intervalos, dominio y rango de funciones.
Notación de Función:
Si f es la función que tiene como variable de dominio a “x” y como variable de contradominio
“y”, el símbolo f(x) se lee “f de x” , éste representa un valor particular de “y” que corresponde a un
valor particular de “x” de este modo se tiene que: y = f(x), donde x es variable independiente y “y”
variable dependiente, si x = 2, y =
f(x)= 3x2
+ 5x -2 = 3(2)2
+5(2) -2 = 3(4) + 10 -2 = 12 +10 – 2 = 22 - 2 = 20
f(2) = 20 entonces decimos que la función de 2 es 20.
En ocasiones para distinguir una función de función suele usarse g(x) , h(x), etc.
Ejem: f = {(x,y)/ y = x−5 } por lo tanto f(x) = x−5
f(1) = f(2) = f(5) =
f(-6) = f(3) = f(6) =
f(0) =
Identifica el dominio de f D =
Identifica el rango de f R =
Esta relación es función?______________________Elabora su gráfica
Traza una línea vertical que corte esta gráfica ¿que observas?_________________________
Conclusión: Si una gráfica es cortada por una línea vertical en más de un punto, dicha gráfica
corresponde a una relación que no es función.
Al definir una función, su dominio debe de darse:
a) En forma implícita
b) En forma explícita
Ejemplo: f(x) = 3x2
– 5x +2 x = todo número real
F(x) = 3x2
– 5x + 2 1 10≤≤ x
Aquí se observa que para identificar el campo de variación de una variable es necesario saberlo
expresar; esta expresión la podemos realizar mediante varias formas, como se refiere a valores
19
20. específicos que puede tomar una variable en determinada relación, a este conjunto de de valores que
puede tomar una variable le llamaremos intervalo. “Conjunto de valores que toma una variable
dentro del dominio , comprendido entre dos de ellos llamados extremos”. Existen intervalos:
a) Finitos: los que contienen a los extremos
b) Infinitos: los que no contienen a un extremo o ambos.
c) Cerrados: Son aquellos cuya variable puede tomar el valor de los extremos
d) Abiertos: Son aquellos en que la variable no puede tomar el valor de los extremos.
Existen diversas formas en que se pueden expresar estos intervalos:
Forma gráfica: En la recta numérica se determinan los puntos correspondientes a los extremos del
intervalo con un círculo , si es cerrado, el círculo se rellena, si es abierto se deja sin
rellenar. O x 0 x
a b a b
Con paréntesis: [a,b] cerrado, (a, b) abierto
Forma constructor : a < x < b, a bx ≤≤
0 x 0 = (a , b) = a < x < b
a b
0 x = (a , )∞ = a < x < ∞
Actividad: Enuncia y dibuja los intervalos según se indica.
Forma gráfica signos de agrupación forma constructor
a) -3 < x < 5
b) 2 6≤≤ x
c) 0 x
4 10
d) x > 5
e) x 0
f) 0 x 0
-2 2
h) [-2 , 2 )
i) [ -3, 4]
Variación continua: Una variable varía de una manera continua cuando aumenta desde a hasta
b tomando todos los valores del intervalo o disminuye de b hasta a tomando todos los valores del
intervalo.
Actividades:
1) dado f(x) = x3
– 5x2
– 4x + 20 hallar: f(1) = f(5) =
2) Demostrar que f(0) = -2 [f(3)]
3) Si f(x) = 4 – 2x2
+ 4x4
f(-2) =
4) Si f(x)= x3
– 5x2
– 4x + 20 f(t+1) =
20
21. 5) Si f(y) = y2
+ 2y +6 f(y+h) =
6) Si f(x) = 2x2
+ 5x – 3 f(h+1) =
7) Si g(x) =3x2
– 4 g(x-h) =
8) Si f(x) =
x
x
−2
f(x+h) – f(x) =
9) Si f(x ) = x3
+ 3x f(x+h) + f(x) =
10) Si f(x) = 1/x f(x+h) – f(x) =
11) Si f(x) = 2x2
– 5x – 3 f(x+h) – f(x) =
12) Dado f(x) = 4x
demostrar que f(x+1) –f(x) = 3f(x)
13) Si f(y) =y2
– 2y + 6 Demostrar que f(y+h) = y2
– 2y + 6 +2(y-1)h + h2
14) Si tenemos A={1,2,3} y B = {1,2} hallar AxB
15) De A x B tomar R1 = {(x,y)/x<y}
16) de A x B tomar R2 = {(x,y) / x = y}
17) Si A = {2,3,5} y B = {6,9,12,15} hallar: a) C= {(x,y) / x < y} b) D ={(x,y)/x=
3
y
}
c) Representa A X B gráficamente.
d) de las relaciones anteriores ¿cuáles son funciones?
18) Si h = {(x,y) / y = | x |, x ∈{-2, -1, 0,1,2} representa en forma gráfica (diagrama)
x | x | Dominio : {
Rango : {
Es función:
19) Si g = {(x,y) / y = x3
, x ∈{0,1,2} Realiza los mismos aspectos que en la actividad 18
20) i = {(x,y) / x = | y |, x ∈ {0,1,2} Realiza los mismos aspectos que en la actividad 18
1.1.4 Clasificación de funciones:
Las funciones de acuerdo a sus características se pueden clasificar de diferentes formas, entre
éstas se tiene:
1) Funciones Algebraicas: Su valor se obtiene con procedimientos algebraicos, éstas funciones se
clasifican en
a) Enteras: y = x2
- 3
b) Racionales: y = 4
2
1 x
x
+
Expresa una característica para esta clasificación
21
22. c) Irracionales: y = 12
++ xx
2) Funciones Trascendentes: Su valor se obtiene con procedimiento y con otros que no lo son.
a) Trigonométricas: y = Sen x
b) Trigonométricas inversas: y = arc tan x
c) Logarítmicas y = log x y = ln x
d) Exponenciales: y = ax
Funciones Implícitas. En estas funciones no hay variable despejada, ni se sabe quien es la variable
dependiente ni la variable independiente: y2
– 3x +x2
- 8
Funciones Explícitas: En estas funciones existe una variable despejada y están indicadas las
operaciones que se requieren realizar para obtener su valor: y = x2
- 3
Funciones de una variable: su valor depende de una variable y = 2x A =3.1415(r2
)
Dos o más variables: su valor depende de dos o más variables: A= bh/2 I=crt, A = h
bB
2
)( +
Uniformes: Si a cada valor de x le corresponde uno de y: y = 2x + 3
Multiformes: Si a cada valor de x le corresponde más de un valor de “y” y = arc Sen x
X= .5 ángulo correspondiente puede ser 30°, 150°
Inversas: Si en una función se tiene que el dominio y el rango de la primera función son el rango
y el dominio de la segunda función respectivamente, estas funciones son inversas.
R1 (a,b) inversa (b,a). Si (a,b) ∈R Rba ∈↔ ),(
Constante: Si el rango consiste en un solo número. f(x) = c como y = c la gráfica corresponde a
una recta paralela a x’x, situada a “c” unidades del origen.
Polinomial: Cuando está definida por f(x) = a0 xn
+ a1xn-1
+a2xn-2
…+an-1x + an , donde n es un
número natural y a1, a2, a3 son números reales.
Ejemplo: y = 2x5
– 3x3
–x2
+7x – 1, el mayor exponente de la variable indica el
grado de la función en este caso es de quinto grado
Idéntica: Es una función lineal definida por f(x) = x y = x
En las funciones algebraicas la función constante y la función identidad se relaciona
mediante una serie de operaciones (suma, resta, multiplicación, división, potencias y
radicación) obteniéndose una nueva función algebraica.
Pares: Si f(x) = -f(x) la gráfica es simétrica respecto al eje y’y la función se dice que es par.
Impar : Si f(-x) = -f(x) la gráfica es simétrica respecto al origen y se dice que es impar.
Existen otras clases de funciones especiales que se definen según su tipo:
Función mayor entero: [( x )] = n , n Ζ∈+≤ nnx ,1
Función compuesta: Se representa por: f o g , se define (f o g) = f(g(x))
El dominio de de f o g es el conjunto de todos los números x en el dominio de g, tales que g(x) se
encuentra en el dominio de f(x), si f es una función de x en y y g es una función de y en z, entonces la
función compuesta g o f es la función de x a z dada por (g o f)(x) = g(f(x)) para cada x en x . la función
composición tiene dominio x y contradominio z.
Un ejemplo puede aclarar estos conceptos Si f(x) = {(0,5), (8,1),(2,9)};
g(x) = {(2,0), (3,8),(4,1),(6,2),(5,6)}
f(g(x)) = { x/x ∈Dg y g(x) ∈ Df }, g(f(x)) ={ x/x ∈Df y f(x) ∈ Dg }
22
23. D= {(2,5 ), (3,1 ), (4, ), (5, ), (6,9 ) , f(g(x) = {(2,5), (3,1), (6,9)}
Ejemplo 2. f(x) = {(1,7), (5,4), (3,5),(4,6)}
g(x) ={(0,-3),(3,5),(4,1)}
f(g(x)) = {(0, ), (3, 4 ), (4,7 )}= {(3,4),(4,7)}
Ejemplo 3: Si f(x) = x
G(x) = 2x -3
F(g(x)) = 32 −x
Actividades: 1. Clasifica las siguientes funciones según sus características:
Y = x3
-2x +1 algebraica, entera, polinomial, cúbica, explícita, uniforme, de una variable
Y = 5x-4
Y = 4 senx
Y = 43
952
−
−
x
x
Y = (x3
-4x2
+ 2)6
Y = xx
Y= a2x-1
Y= Tan3
6x
X2
+ y2
= 4
Y = 8x-1/2
Y2
= 8x
Y = x3 x2
2. Transformar las siguientes funciones en explícitas, dejando a x como variable independiente.
X2
= 9y
2xy + 1 = 4x2
+ y
3xy-6x + y-2=0
y2
+ 12x = 4x2
+ 2y+8
x2
-4x +y2
– 6y = 3
3. Graficar las siguientes funciones : Identificando su dominio y su rango
y = 2x + 6 Y = -2x2
+ 8x -6
4. Si y = 2x +2 y y = 1
2
−
x
x -1 0 1 2 3 4 x 0 2 4 6 8 10
y y
¿Cuál es el dominio de la primera función?, estos valores ¿dónde se encuentran en la segunda función?
¿Qué se puede decir del rango de la primera función respecto al dominio de la segunda funció?
¿Cómo son las funciones?
5. Grafica y = x2
– 1 x = y2
– 1
¿Cómo son las funciones en la gráfica?
6. gráfica -3 si x 1≤
y = 1 si 1 < x 2≤ ¿Cuál es el dominio?
4 si 2 < x ¿Cuál es le rango?
23
24. 7. y =
3
92
−
−
x
x
Dominio Rango
¿Es continua la función? ¿En donde es discontinua?
8. x – 1 si x<3 dominio: Rango :
y =
2x + 1 si 3 ≤ x
9. y = [[x]] , n Ζ∈+≤ nnx ,1
x = -5, -4, - 3, -2, -1, 0, 1 mayor entero
Graficar e indicar: Dominio: Rango:
45 −≤− x
10. Diga si la función: y = x2
– 2 es par o impar
11. Diga si la función g(x) = x3
– 2x es par impar
12. f(x) =
1
2
−x
es par o impar.
Operaciones con funciones:
Con las funciones se pueden realizar operaciones obteniendo con ello nuevas funciones como
resultado de la operación realizada; éstas se pueden obtener mediante suma, diferencia, producto o
cociente. Dadas dos funciones: f(x) y g(x).
Su suma = f+g = (f+g)x = f(x) + g(x)
Su diferencia = f-g = (f – g)x = f(x) – g(x)
Su producto = = f.g = (f . g)x = f(x). g(x)
Su cociente = f/g = (f / g)x = f(x) / g(x)
En todos los casos el dominio de la función resultante son aquellos valores de x comunes a los
dominios de f(x) y g(x) a excepción del cociente donde se excluyen los valores para los cuales g(x) = 0
Si f(x) = {(4,3),(5,6),(0,5),(3,2),(8,11)} g(x) = {(5,-4),(0,6),((3,3),(8,9),(7,1)}
(f+g)x = {(5,2), (0, ), }
(f-g)x = {
(f.g)x = {
(f/g)x = {
Ejemplo 2: Si f(x) = x2
g(x) = 4x3
Dominio de f(x) = dominio de g(x) =
F+g = (f + g)x = f(x) + g(x) =
f-g = (f – g)x = f(x) . g(x)=
f.g = (f .g)x = f(x) – g(x) =
24
25. f/g = (f / g)x = f(x) / g(x)=
Ejemplo 3: f(x) = 2
4 x− D = [-2, 2] g(x) =
x
2
D = (- ),0()0, ∞∪∞
f+g = (f + g)x = f(x) + g(x)=
f-g = (f – g)x = f(x) – g(x) =
f.g = (f . g)x = f(x) . g(x) =
f/g = (f / g)x = f(x) / g(x) =
Propiedades de las funciones:
: Para conocer el comportamiento de la curva algebraica es necesario recurrir a ciertas propiedades que
faciliten su análisis, entre ellas están:
a) Simetría: Si p es el punto de simetría entre p1 y p2, entonces p es el punto medio de p1p2.
Si dos puntos son simétricos respecto a una recta entonces esta recta es perpendicular
al segmento que los une y es su bisectriz (mediatriz)
b) Simetría con respecto al eje x: Una función es simétrica respecto a x’x si el exponente de y es
de multiplicidad par: y2
– x +2 = 0, es de multiplicidad par; y2
–xy + 2 = 0 no es de
multiplicidad par.
c) Simetría respecto al eje y’y: Una función presenta simetría con respecto al eje y’y si el
exponente de x es de multiplicidad par. Ejemplo: x2
y –
2y -3 = 0 (si), Y = (x2
+ 2)/ (x+3)(x-1)
(no), (x-2)2
+4(y-1)2
= 4 (no)
25
26. d) Simetría con respecto al origen: Una función es simétrica respecto al origen si al sustituir la x
por (-x) y la y por (-y) en la expresión original y esta no se altera. X2
+y2
= 4 si es (-x) 2
+ (-y)2
= 4
e) Intersección con el eje x’x: x2
+ y2
= 25 Si al despejar y y resolver la ecuación resultante para
x se obtienen raíces reales. (hacer y = 0) y = 2
25 x−± (despejando y en la ecuación
anterior)
2
25 x−± = 0 si se eleva al cuadrado se tiene: 25 - x 2
= 0, x = 5± , los puntos de
intersección con x’x son (5,0) y (-5,0)
26
27. f) Intersección con y’y: El procedimiento es semejante al anterior haciendo x = 0 y resolviendo
para y
X2
= 25 – y2
si x = 0 25 –y2
= 0 de donde y = 5 y -5 los puntos de intersección con (05),
(0,-5). (Gráfica anterior)
Asíntotas de una curva: Si una curva tiende a la dirección de una recta fija, acercándose a ella de tal
forma que la distancia entre un punto variable y la recta llega a ser menor que cualquier número
preasignado entonces dicha recta es una asíntota.
g) Asíntotas verticales: La recta x-a = 0 es una asíntota vertical de una curva si x-a es un factor
del denominador después que en la ecuación se ha despejado la variable dependiente y se han
eliminado los factores comunes. x2
y – 4y – x = 0 y ( x2
– 4) = x, y =x/ (x2
-4) de donde x = 2
y – 2, asíntotas verticales de la curva de la curva
h) Asíntotas Horizontales: y – b = 0 es una asíntota horizontal si y – b = 0 es un factor del
denominador después de despejar x y haber simplificado: xy2
– x – y = 0, x( y2
- 1) = y de
donde X = y/(y2
-1) , si (y2
– 1) = 0 , y = 1, y = - 1 de donde y-1 = 0 , y + 1 = 0 son dos
asíntotas horizontales de la curva.
27
28. i) Extensión de la curva: Dominio como en los ejemplos la curva presenta una asíntota vertical
en x = 2, la curva no pasa por X = 2, su dominio será x 0≠ . e n este apartado es conveniente
manejar el concepto de:
j) Función creciente: Cuando a un aumente de x corresponde un aumento de y o al disminuir x
disminuye y en un determinado intervalo
k) Función decreciente: cuando a un aumento de x corresponde una disminución de y o al
disminuir x, y aumenta .
l) Observa la gráfica de la primera función:
28
29. Estas gráficas nos auxilian en la determinación de los intervalos para expresar la extensión de la curva
y en donde es creciente o decreciente.
Actividades:
1. De la curva xy+2y-2x+5 construye su gráfica y determina a) simetrías, b) intersección con los
ejes, c) asíntotas, d) extensión de la curva.
2. En igual forma que en el problema anterior: xy – x + 3 = 0, x2
+ y2
– 4 = 0, xy + 2y - 2x +3 =
0, x2
y – 2xy + 2y – x2
+ 2x = 0.
29
30. 1.2. Límites y continuidad de una función.
Con el desarrollo del presente apartado y el desarrollo de las actividades propuestas se pretende
que logres en primer lugar: comprender el concepto intuitivo de límite de una función, en segundo
término, calcular el límite de diversas funciones, aplicando para ello los procedimientos analizados
y comprendidos estos aspectos, el poder determinar la continuidad de una función o su
discontinuidad en un intervalo.
1.2.1. Noción intuitiva de límite.
Los temas hasta aquí analizados son parte de lo que se puede llamar precálculo, proporcionan
los elementos fundamentales del Cálculo pero no lo es. Para ello es necesario contar con una idea
clara del concepto de “límite” idea que distingue al Cálculo de otras ramas de las matemáticas, se
puede decir que el Cálculo es el estudio de los límites. La idea que se pretende desarrollar es
completamente intuitiva y no una definición del concepto matemático de “Límite”
Al analizar la función:
1
1
)(
3
−
−
=
x
x
xf se pude observar que si x = 1 la función es discontinua;
ya que esta expresión para x = 1 presenta una indeterminación: ahora investigar que sucede con la
función cuando damos a x valores muy próximos a ( 1) tanto por la izquierda como por la derecha
Valores próximos a 1 por la izquierda
X 0 .1 .5 .9 .99 .999 .9999
y 1 1.11 1.75 2.71 2.97 2.997 2.9997
Valores próximos a 1 por la derecha. Obtén los valores de “y”
X 2 1.5 1.1 1.01 1.001 1.0001 1.00001
y 7
¿A que valor se aproxima x por la izquierda? ¿a qué valor se aproxima y?
¿A qué valor se aproxima x por la derecha? ¿a que valor se aproxima y?
Observa la gráfica de esta función y comprueba tus conclusiones:
Lim
1
13
−
−
x
x
= 3
x 1→
Actividad: Realiza el mismo proceso con la función:
1
2
)(
2
−
−+
=
x
xx
xf
Ejemplo 2: Qué le sucede a f(x) = x2
+3 cuando x se acerca a 3
Construyamos la tabla:
30
31. Hacia 3 por la izquierda 3 Hacia 3 por la derecha
x 2.5 2.9 2.99 2.999 3.001 3.01 3.1 3.5
F(x)
Se aproxima a 12 por la izquierda Se aproxima a 12 por la derecha
Analiza La gráfica:
Ejemplo 3: Con una tabla de valores y en forma gráfica analizar el comportamiento de la función:
f(x) =
2
42
−
−
x
x
a que valor se aproxima f(x) si x se aproxima a 2?
Construyamos la tabla:
Hacia 2 por la izquierda 2 Hacia 2 por la derecha
x 1.5 1.9 1.99 1.999 2.001 2.01 2.1 2.5
F(x)
Se aproxima a ____ por la izquierda Se aproxima a____ por la derecha
Analiza la gráfica:
Ejemplo 4: g(x) =
x
x
Construyamos la tabla:
31
32. Hacia 0 por la izquierda 0 Hacia 0 por la derecha
x -.5 -.1 -.01 -.001 0..001 0.01 0.1 0.5
F(x)
Se aproxima a -1 por la izquierda -1 | 1 Se aproxima a 1 por la derecha
¿Notas alguna diferencia respecto a los anteriores ejemplos?
Habrás notado que y se aproxima a dos valores, si por la izquierda x se aproxima a________y se
aproxima a______ si x se aproxima por la derecha a______ y se aproxima a______
Ejemplo 5: f(x) =
x
1
Construyamos la tabla:
Hacia 0 por la izquierda 0 Hacia 0 por la derecha
x -.5 -.1 -.01 -.001 0..001 0.01 0.1 0.5
F(x)
Se aproxima a por la izquierda ¿ ? Se aproxima a por la derecha
Analiza la gráfica y obtén tus conclusiones
Observando la gráfica fácilmente se puede concluir que:
1° Si x se aproxima a 0 por la izquierda y decrece ilimitadamente.
2°. Si x se aproxima a 0 por la derecha y crece ilimitadamente x = 0 es una asíntota de la curva.
Estos ejemplos tienen cosas en común y aspectos en los que difieren:
• Existe un valor de x previamente fijado x = c y se aproximó x a este valor por la izquierda y por
la derecha.
• En los primeros tres casos a medida que nos acercamos a l, valor dado de x tanto por la
izquierda como por la derecha existió un valor fijo para y = L, entonces se dice
32
33. f(x)→ L que se expresa: “el límite de f(x) cuando x tiende a c es igual a L”
simbólicamente: Lim f(x) = L
x → c
• En el penúltimo ejemplo aproximándose a x por la izquierda, “y” toma el valor de -1 y
acercándose por la derecha “y” se aproxima a 1 por lo que dicho límite no existe.
Lim |x|/x no existe
x → 0
• En el último ejemplo no existe el límite porque la gráfica crece y decrece acercándose a X = 0
pero no logra tomar el valor de 0.
Límite de una variable: Una variable se aproxima a un límite cuando toma todos los valores
sucesivos de tal forma que la diferencia entre la constante y la variable llega a ser tan pequeña
como se quiera.
Definición de sucesión: la sucesión que tiende a una valor a. dado un número cualquiera a, podemos
formar una sucesión creciente o decreciente que se aproxime a a diremos que la sucesión tiende a
“a” .
Ejemplo: 1, 3/2, 5/3, 7/4, 9/5, 11/6, 13/ 7, 15/8, …. Nn
n
n
∈
−
,
12
, límite de la sucesión es 2
Se dice el límite de la sucesión: Nn
n
n
∈
−
,
12
es dos
Definición: Sn= {a1, a2, a3…..an…} n N∈ donde an es el término general de la sucesión.
Ejemplo: Sn = {22
, 23
, 24
,….an } el término general de la sucesión es;_________.
Actividad : hallar el término general de la sucesión.
a) S(n) = {3,4, 6, 8, 10, 12, …..an } an =
b) S(n) = {1,1/2, 1/3, ¼, 1/5, 1/6, … an..} an = _________
c) 0.001, 0.0001, 0.00001, 0.000001 = 0 lim 1/10n
= 0
n ∞→
2. Hallar los primeros 5 términos de la sucesión cuyo término general es:
a) {5- n
10
1
} a1 = a2 = a3 = a4 = a5 = Lim
b) =
+
n
n 1
Lim
c) =
2
1
n
Lim
d) =
−
n
n 2
Lim
Conclusión: Una variable x tiende a una constante “a” como límite cuando los valores
sucesivos de “x” sean tales que el valor numérico de la diferencia x- a llega a ser menor que
cualquier número positivo predeterminado tan pequeño se quiera la relación se abrevia x
a
Lim (1/2)n
= 0
n ∞
33
34. Límite de una función: Frecuentemente es necesario conocer hacia que valor se acerca una
función cuando la variable independiente se aproxima a un valor específico, este valor cuando
existe, se llama límite de la función.
Lim f(x) = L
x a
Las siguientes proposiciones son consideradas como teoremas sobre límites, éstas se aceptan sin
una demostración rigurosa.
1. Lim ∞=
v
c
3. Lim ∞=
c
v
v 0 v ∞
2. Lim cv = ∞ 4. Lim 0=
v
c
v ∞ v ∞
Existen diversas formas para determinar el límite de una función , una de estas formas consiste
en: Sustituir a la variable independiente por diferentes valores próximos a la constante “a”, ya sea
por la izquierda o por la derecha y analizar el comportamiento de f(x) cuando x a. ejemplo:
Valores crecientes valores decrecientes
Lim x + 1 xi yi x y
x 3 2 3 4
2.5 3.5 3.5
2.9 3.9 3.1
2.99 3.99 3.01
2.999 3.999 3.001
↓ ↓ ↓ ↓
3 4 3
y = x2
+ 4x
Lim x2
+4x x y x y
x 2 1 5 3
1.5 2.5
1.9 2.1
1.99 2.01
1.999 2.001
↓ ↓ ↓ ↓
2 2
Otro procedimiento utilizado y más simple que el anterior consiste en hallar f(a) cuando x a,
este procedimiento es válido para ciertas funciones, para otras es necesario realizar algunas
operaciones algebraicas, a continuación se describen y desarrollan algunos ejemplos. Estos
ejemplos te ayudarán a comprender los siguientes teoremas relacionados con los límites de las
funciones.
1. Lim x = a 2. lim c = c
x a x a
3. Si dos funciones son iguales para todo valor de x, diferente de “a” y una tiene límite cuando x
a, la otra tiene el mismo límite cuando x a
4. El límite de la suma de un número finito de funciones cuando x , es igual a la suma de de los
límites de estas funciones cuando x a
34
35. Lim u + v –w = lim u + lim v + lim w
x a x a x a x a
5. El límite del producto de un número finito de funciones cuando x a es igual al producto de los
límites de estas funciones cuando x a
Lim U V W =( Lim U ) ( Lim V) (Lim W )
X a x a x a x a
6. El límite del cociente de dos o más funciones cuando x a es igual al cociente de los límites de
las funciones cuando x a siempre que el límite del denominador no sea cero.
Lim u
Lim u/v = x a
x a Lim v
x a
Conclusión: Para obtener el valor del límite de un polinomio cuando x a se calcula el valor
de f(a)
Actividades. Obtén los siguientes límites
1) Lim x2
-1 = 2) Lim 3x2
+ 1 = 3) Lim x =
x 1 x -1 x 1/3
4) Lim 8 5) Lim x-4 6) Lim pi
x 4 x 3 x 1
7) Lim x-4 8) Lim x + 9 9) Lim 5x
x -3 x -4 x 2
10) lim (2x+7)/ (x+1) 11) Lim (x2
+ 3) / 4 12) Lim (4x3
-2) / (2x+1) =
x 4 x 3 x 2
13)Lim (5x4
-6) / (x2
+2) 14) Lim (5x2
-4x+6) 15) Lim 4x2
-8x+5
x 0 x 1 x 1/2
16) Lim x2
-ax 17) Lim 7x2
-7ax +4 18) Lim(x4
-x3
-2x2
+1) /(3x2
-5x+7)
x a x a x 3
Otros límites:
En páginas anteriores ya se dijo que existen ciertas funciones que requieren de algún
procedimiento algebraico para poder determinar su límite; ya que al obtener f(a) presenta alguna
indeterminación 0/0
Lim (x2
– 4) / (x2
-5x+6) hallando f(2) =
0
0
6)2(52
42
2
2
=
+−
−
como observas se ha obtenido una
x 2 indeterminación ,
Si se considera el principio 3 y con un procedimiento algebraico se transforma la función en otra
más simple, analícese si dicho límite existe.
35
36. Lim 4
1
4
12
22
3
2
)3)(2(
)2)(2(
==
−
+
=
−
+
=
−−
−+
x
x
xx
xx
Observa que el numerador y el denominador se
x 2 factorizaron y fueron eliminados los factores
comunes
Obteniéndose del resultado f(2) y con ello el límite de
la función (x+2) / (x-3) cuando x 2 . el límite así obtenido es 4, valor que corresponde al límite
de la función inicial ya que estas funciones tienen los mismos límites para otros valores de x
diferentes de 2 y según el principio para dos la segunda tiene como límite 4 que será el límite de la
función inicial.
Actividad: Aplicando este criterio obtener los siguientes límites:
1) Lim (x2
-16) / (x-4) 2) Lim (x3
+27) / (2x+6) 3) Lim (3x2
-x-10) / (x2
-4)
x 4 x -3 x 2
4) Lim (3h3
+2h2
+3h) / (3h2
+2h) 5) Lim (x4
-a4
) / (x2
-a2
) 6) Lim (6x2
-24x+24) / (3x-6)
h 0 x a x 2
7) Lim (x3
+8) / (x+2) 8) Lim (x4
-x3
-2x+1) / (x2
-5x+7) 9) Lim [(x+hx)2
-x2
] / (hx)
x -2 x 3 h x 0
10) Lim (x3
-27) / (2x-6) 11) Lim (x3
-8) / (x-2) 12 Lim ( 4x2
+5x) / (3x2
+5x)
x 3 x 2 x 0
13) Lim (x2
+7x+6) / (x2
-4x-5) 14) Lim (4t3
+3t2
+2) / (t3
+2t-8) 15) Lim [(2z+3k2
)3
-4k2
z] / 2z(2z-k)2
x -1 t 0 k 0
16) Lim (x2
+x+-6) / (x2
-4) 17) Lim (s4
-a4
) / (s2
-a2
) 18) Lim (x-2) / (x2
-4)
x 2 s a x 2
20) Lim (x2
+3x+2) / (x2
+4x+3) 21) Lim (x2
-4) / x2
-5x+6) 22) Lim (3x-2)2
/ (x+1)3
x -1 x 2 x 1
23) Lim (3x
-3x
) / (3-3x
) 24 Lim (27-x3
) / (3-x)
x 0 x 3
En el siguiente ejemplo se analiza otro procedimiento algebraico para determinar el límite
de una función cuando ésta presenta una indeterminación.
Lim
ax
ax
−
−
al calcular f(a) se tiene una indeterminación 0 / 0, para eliminar esta
x a indeterminación es necesario racionalizar el numerador. Para ello
multiplicar el numerador y denominador de la fracción por una cantidad tal que
haga racional el numerador (raíz exacta). En este caso se ha multiplicado por la conjugada del
numerador para obtener como producto una diferencia de cuadrados, ello hace racional al
numerador y se elimina la inedetrminación
(
ax
ax
−
−
)
aaxax
ax
ax
ax
2
1
))((
)(
=
+−
−
=
+
+
36
37. Lim
ax
ax
−
−
=
a2
2
x a
Actividades: Determinar los siguientes límites, analiza en primer término que expresión racionaliza
el denominador o el denominador, según el caso.
1) Lim )1/()1( −− xx 3) Lim )49/()32( 2
−−− xx
x 1 x 7
2) Lim
h
xhx −+
= 4) Lim
4
2
−
−
x
x
5) Lim
3
9 2
−
−
x
x
h 0 x 4 x 3
6) Lim
3
9
−
−
x
x
7) Lim
9
3
2
−
−
x
x
8) Lim
x
x 22 −+
x 9 x 3 x 0
9) Lim
2
22
−
−+
x
x
10 Lim
x
x
5
22 −+
11) Lim
741
42
−−
−
x
x
x 2 x 0 x 2
12) Lim
x
xx
3
44 +−−
13) Lim
x
x
−
+−
7
345
x 0 x 7
Limite de funciones cuando x tiende a infinito: En este caso se divide la expresión entre la
variable de mayor grado ( exponente ) y se aplica el teorema Lim c/v = 0
v ∞
Lim
5
2
50
20
5
3
2
5
53
25
53
25 2
2
2
2
2
2
2
2
−
=
+
−
=
+
−
=
+
−
=
+
−
x
x
x
x
x
x
x
x
x
xx
x
x ∞
Actividad: Obtener los siguientes límites aplicando los criterios analizados.
1) Lim
32
254
+
+
x
x
2) Lim 32
23
75
432
xxx
xx
−−
+−
3) Lim
17
52
3
2
++
+−
xx
xx
x ∞ x ∞ x ∞
37
38. 4) Lim
742
356
3
2
−+
+−
xx
xx
5) Lim
gfxexdx
cbxax
−++
++
35
24
6) Lim
1
)1(
2
2
+
+
y
y
x ∞ x ∞ y ∞
7) Lim
1
1000
2
+x
x
8) Lim
73
452
+
+−
x
xx
9) Lim
58
32
3
2
+−
+−
xx
xx
x ∞ x ∞ x ∞
10) Lim
5
)22()32(
5
53
+
−+
x
xx
11) Lim
1
1
2
3
+
+
x
x
12) Lim 4x2
-3x+1
x ∞ x ∞ x ∞
Otros ejemplos de cálculo de límites:
xx
xxxx
−
+−−++
2
22
11
lim
x 0
En este ejemplo se observa que para x = 0 se presenta una indeterminación, como el límite del
numerado y del denominador existe para x = 0 , como funciones independientes, para eliminar la
indeterminación multiplicamos la fracción por la conjugada del numerador
xx
xxxx
−
+−−++
2
22
11
lim =
xx
xxxx
−
+−−++
2
22
11
lim . =
+−+++
+−+++
22
22
11
11
xxxx
xxxx
x 0 x 0
Efectuando la resta, factorizando el denominador, simplificando y obteniendo f(0) se obtiene:
1
)2(
2
)11)(1(
2
)11)((
)1()1(
22222
22
−=
−
=
+−+++−
=
+−+++−
+−−++
xxxxxx
x
xxxxxx
xxxx
Por lo que el límite de la función es: -1
Ejemplo: Lim
113
−+ x
x
Como se observa en esta función al obtener F(0) presenta una
x 0 indeterminación, para eliminar la indeterminación es necesario
pensar el cómo esta expresión tenga raíz cúbica exacta, si se relaciona con una diferencia de
cubos será necesario multiplicar el numerador y el denominador por )11)1( 323
++++ xx ello
origina una diferencia de cubos
Lim
113
−+ x
x
=
x 0
[
113
−+ x
x
)( 11)x1
11
11)x1(
)11)x1(
)11)x1( 323
323
323
323
++++=
−+
++++
=
++++
++++
x
x
xx
x
x
=3 al hallar
f(0)
38
39. Este ejemplo también se puede realizar haciendo (1+x) = y3
--------(1)
Si x 0, y3
1 por lo tanto y 1, despejando a x de la expresión (1) se obtiene x = y3
-1
Realizando el cambio de variable en la función inicial
Lim
113
−+ x
x
= Lim
1
1
3 3
3
−
−
y
y
= 3111)1(
)1(
)1)(1(
1
1 2
23
=++=++=
−
++−
=
−
−
yy
y
yyy
y
y
x 0 y 1
Aplicar el procedimiento al siguiente ejemplo: Lim
x
x 1)1(5 3
−+
x 0
Si se hace y5
= 1+x--------------(1)
Si x 0 , y3
1 y despejando a x en (1) x = y3
-1 y se hace la sustitución de la variable se tiene
Lim
x
x 1)1(5 3
−+
=Lim
5
3
11111
111
)1)(1(
)1)(1(
1
1
1
1)(
234
2
5
3
5
5 35
=
++++
++
=
++++−
++−
=
−
−
=
−
−
yyyyy
yyy
y
y
y
y
x 0 y 1
la factorización se ha realizado aplicando el criterio de división sintética y se ha determinado f(1) a
la función resultante. Por lo que el límite de la función inicial es: 3/5
Otro ejemplo: Lim
32
32
−
+
x
x
esta función da una indeterminación de la forma ∞
∞
, si se divide por
x ∞ la variable de mayor exponente se tiene
1
01
01
2
3
1
2
3
1
2
32
2
32
=
+
+
=
−
+
=
−
+
x
x
x
x
x
x
aplicando la propiedad Lim C/V = 0 si v tiende a infinito.
Ejemplo: Lim dcxxbaxx ++−++ 22
esta función presenta una indeterminación de la forma
x ∞ ∞ - ∞
Si se expresa como una fracción donde el denominador sea 1 y se multiplica el numerador y el
denominador por la conjugada del numerador, se racionaliza el numerador y dividiendo por la
variable de mayor exponente se obtiene:
dcxxbaxx
dcxbax
+++++
−−+
22 dividiendo por la variable de mayor exponente (x) el numerador y el
denominador; ya que la función tiende a infinito se obtiene como
límite
2
ca −
comprueba estos resultados.
Ejemplo:
39
40. Lim
x
x
+
1
1 =
x ∞→
Si se le asignan valores a x cada vez más grandes el valor de la función se acerca a un número
cuyo valor está entre 2.7 y 2.8 .Compruébalo
n 10 100 1000 100000 1000000 x ∞→
Lim
x
x
+
1
1
e
Este valor es el número e = 2.718281828459045……….número creado por Euler y sirve de base al
sistema de logaritmos naturales o científicos, número que corresponde al conjunto de números
irracionales y que tiene aplicaciones en los intereses que se paga una cuenta bancaria. Supóngase
que un banco paga el 100% anual en una cuenta de inversión, de este modo un peso al año gana un
peso, si el interés se revisa cada semestre el banco paga (1+1/2)+(1+1/2)(1/2) =(1+1/2)2
, si la
revisión se hace cada mes se el banco paga por cada peso (1+1/12)12
, si la revisión se hace a diario,
un peso ganaría (1+1/365)365
ello conduce al resultado ya enunciado en la tabla si esta revisión se
hace cada minuto segundo etc.
Relacionados con este límite se pueden obtener límites de expresiones semejantes a
Lim
x
x
+
1
1 = e
x ∞→
Ejemplo: Lim
x
x
2
5
2
1
+ =
x ∞→
Para resolver este caso es necesario tratar de convertir la expresión a una expresión semejante a la
que arroja como límite el número “e” , utilizando para ello artificios matemáticos que permiten
convertir la expresión un una expresión equivalente.
Comparando la expresión con la expresión que tiene como límite e, se observa que estas
expresiones tienen el primer término igual, por lo que nos concentraremos en cambiar el segundo
término del binomio y el exponente. De este modo la fracción se puede simplificar sacando mitad.
Lim
x
x
2
5
2
1
+ = Lim
x
x
2
2
5
2
2
1
+ = Lim
x
x
2
2
5
1
1
+ ahora es necesario que el exponente y el x
∞→
denominador de la fracción sean iguales, si el exponente se multiplica por el denominador y su
recíproco (1) se tiene:
40
41. Lim
x
x
x
x
2.
5
2
2
5
2
5
1
1
+ = Lim
.
5
4
2
5
2
5
1
1
x
x
+ = Lim
.
2
5
2
5
1
1
x
x
+
4/5
= 5
4
e
x ∞→
Ejemplo: Lim
2
3
1
+
+
−
x
x
x
= efectuando la división se tiene Lim
2
3
4
1
+
+
−
x
x
cambiando dos
x ∞→ signos de la fracción se tiene
2
3
4
1
+
+
−
+
x
x
y la fracción es
equivalente, dividiendo por (-4) se tiene
2
4
3
1
1
+
−
+
+
x
x
repitiendo el procedimiento como en el
caso anterior para el exponente y el denominador
)2)(
3
4
)(
4
3
(
3
4
1
+
+
−
−
+
+
−
x
x
x
x
La expresión semejante a e es
)
3
84
)(
4
3
(
3
4
1
+
−−
−
+
+
−
x
x
x
en donde se tiene ( ) 3
84
+
−−
x
x
e aplicando límites
a al exponente Lim 4
1
4
3
84
3
84
−=
−
=
+
−
−
=
+
−−
xx
x
xx
x
x
x
regresando a la expresión se tiene que el
límite de
x ∞→
( ) 3
84
+
−−
x
x
e = e-4
= 4
1
e
por lo tanto el Lim
2
3
1
+
+
−
x
x
x
= 4
1
e
x ∞→
Obtener: Lim
1
2
2
2
1
+
+
x
x
x
= efectúa la división y continúa el proceso., hasta llegar a lim = e
x ∞→
Comprobar los siguientes límites, anexando al presente los procedimientos utilizados, hacer el trabajo
en orden de acuerdo a la numeración que se especifica en la propuesta que se hace.
1. Lim
23
4
2
2
+−
−
xx
x
= (4) 2. Lim 0.............
1
1
2
3
=
+
+
x
x
3. Lim =
−
+−
25
105
2
2
x
xx
no
tiene límite
x 2 → x 1−→ x 5 →
4. Lim 2.....
23
1
2
2
−=
+−
−
xx
x
5. Lim =
+−
−
34
2
2
2
xx
xx
6. Lim ........
44
23
4
3
=
+−
+−
xx
xx
x 1→ x 2 → x 1→
41
42. 7. Lim 233
2
3
1
.....
)1(
a
a
ax
aaxx −
=
−
++−
8. Lim 2
33
3........
)(
x
h
xhx
=
−+
x a → h 0 →
9. Lim 1.)
1
3
1
1
( 3
−=
−
−
− xx
x 1→
10. Lim
2
3
....
11
11
3
=
−+
−+
x
x
11. Lim
1
1
−
−
x
x
=
2
1
12) Lim 3....
4
8
3
=
−
−
x
x
x 0 → x 1→ x 64→
13. Lim 1.......
1
)1(
2
2
=
+
+
x
x
14. Lim 0....
1
1000
2
=
−x
x
15. Lim
3
4
...
1
1
4
3
=
−
−
x
x
x ∞→ x ∞→ x 1→
16. Lim
9
1
...
)1(
12
2
33 2
=
−
+−
x
xx
17. Lim
aax
ax
2
1
...=
−
−
18.
56
1
...
49
32
2
−=
−
−−
x
x
Lim
x 1→ x a → x 7 →
19. Lim 12.....
2
8
3
=
−
−
x
x
20. Lim
2
3
...
1
1
3
=
−
−
x
x
21. Lim
3
1
...
51
53
−=
−−
+−
x
x
x 8 → x 1→ x 4 →
22. Lim 1.....
11
=
−−+
x
xx
23. Lim 3 2
33
3
1
...
xh
xhx
=
−+
24. Lim 0).......( xax −+
x 0 → h 0 → x ∞→
25. Lim (
2
)........)(
a
xaxx −+ 26. Lim notiene
x
xx
.......
73
152
+
+−
27. Lim
1
432
4
2
+
−−
x
xx
...2
x ∞→ x ∞→ x ∞→
28. Lim notiene
xx
x
.....
10
2
=
+
29. Lim 1...
xxx
x
++
30. Lim
x
x
x
+
−
1
1
=.......e-2
x ∞→ x ∞→ ∞→
31. Lim k
x
e
x
k
.....1
+ 32. Lim 1.....
3
2
x
x
x
−
+
33. Lim
4
1
.....
1
1
1
2
+
−
−
x
x
x
x ∞→ x 0 → x 1→
34. Lim
n
n
−
1
1 e-1
35. Lim 2
.....
2
1 e
x
x
+ 36. Lim 4
2
1
....
3
1
ex
x
x+
+
−
n ∞→ x ∞→ x ∞→
42
43. 37. Lim
2
1
...
422
103
2
2
−−
−+
xx
xx
38. Lim
422
103
2
2
−−
−+
xx
xx
7/3 39. Lim
4
1
......
3
21
−
−+
x
x
x ∞→ x 2 → x 3 →
40. Lim 5x2
-3x +8 = 41. Lim 1....
1
)1(
2
2
+
−
v
y
42. Lim
1
1000
2
+x
x
……0
x 3 → y ∞→ x ∞→
43. Lim
73
152
+
+−
x
xx
..... ∞ 44. Lim
5
3
.......
5
322
−
−+
x
xx
45. Lim 7......
1
652
−
−+
x
xx
x ∞→ x 0 → x 1→
46. Lim
a
a
ax
ax
2
.....
−
−
47. Lim
2
92
+
−
x
x
....-
4
5
48. Lim
7
2
....
75
432
32
23
−
−−
+−
xxx
xx
x a → x 2 → x ∞→
49. Lim 0........
32
34
23
2
yy
y
+
−
50. Lim ....
23
10
2
23
++
+−−
xx
xxx
y ∞→ x 2−→
Continuidad de una función
Se dice que una función es continua para el valor x = a, si existe f(a) y el límite de f(x)
cuando x a → y estos valores son iguales.
Ejemplo: f(x) = x2
f(3) = 32
= 9 como f(3) = Limx2
la función es continua en x = 3
Lim x2
= 9 x
3 →
x
3 →
f(x) =
1
3
−x
¿será continua para x = 6?
f(6) =
5
3
16
3
=
−
Lim
5
3
1
3
=
−x
como f(6) = Lim f(x) la función es continua para x = 6
x
6 → x
6 →
¿Para que valor esta función es discontinua?_________ comprueba tu respuesta
43
44. ¿Es continua la función y
16
4
2
−
−
x
x
= para x = 4?_________ comprueba tu respuesta
¿Es continua la función y =
4
122
−x
para todo número real?_______grafica la función para comprobar
tu respuesta, ¿Existe alguna discontinuidad para algún valor de x?__________
2.1.1. RAZÓN DE CAMBIO PROMEDIO E INSTANTÁNEA
OBJETIVOS:
1. EXPLICARA LA DIFERENCIA ENTRE RAZÓN DE CAMBIO PROMEDIO E INSTANTÁNEA.
2. RESOLVERÁ EJERCICIOS DE RAZÓN DE CAMBIO. (PO, EA)
RAZÓN DE CAMBIO PROMEDIO
SEA f UNA FUNCIÓN TAL QUE y = f(x); SEAN x1 Y x2 UN PAR DE ARGUMENTOS DE f.
DEFINIMOS LA RAZÓN DE CAMBIO DE y CON RESPECTO A x (CAMBIO PROMEDIO) COMO:
( ) ( )
12
22
12
12
xx
xfxf
xx
yy
x
y
−
−
=
−
−
=
∆
∆
RAZÓN DE CAMBIO INSTANTÁNEA
SEA y = f(x) UNA FUNCIÓN DEFINIDA EN TODOS LOS PUNTOS DEL INTERVALO [x, x + ∆x], SI ∆x > 0;
EN EL INTERVALO [x + ∆x, x, ] SI ∆x < 0. DEFINIMOS LA “RAZÓN DE CAMBIO INSTANTÁNEO” DE LA
FUNCIÓN x EN EL ARGUMENTO x, CON EL SIGUIENTE LIMITE:
x
y
Lim
0x ∆
∆
→∆
O BIEN CON OTRA NOTACIÓN:
( ) ( )
12
22
0x xx
xfxf
Lim
−
−
→∆
DE ACUERDO A SUS DEFINICIONES LA DIFERENCIA ENTRE AMBAS ES QUE LA RAZÓN DE CAMBIO
PROMEDIO ES UNA RAZÓN DE INCREMENTOS, MIENTRAS QUE LA RAZÓN DE CAMBIO INSTANTÁNEA
ES EL LIMITE DE UNA RAZÓN DE INCREMENTOS
EJERCICIOS:
1. DETERMINA LA RAZÓN DE CAMBIO PROMEDIO DE LA FUNCIÓN f(x) = 3x+1 EN EL INTERVALO DE
VALORES DE x ∈ [3, 7]
LA RAZÓN DE CAMBIO PROMEDIO SE DEFINE COMO
12
12
xx
yy
x
y
−
−
=
∆
∆
, ASÍ QUE LO QUE TENEMOS QUE
HALLAR SON LOS VALORES DE x∆ (INCREMENTO EN x) Y y∆ (INCREMENTO EN y), SABIENDO QUE
12 xxx −=∆ Y 12 yyy −=∆ .
LOS VALORES DE x QUE NOS SERVIRÁN PARA HALLAR x∆ , NOS LOS DAN EN EL INTERVALO DE
VALORES DE x, ASÍ QUE 3x1 = Y 7x2 = , ASÍ QUE x∆ SERÁ IGUAL A:
44
45. 4Δx =⇒−=∆⇒−=∆ 37xxxx 12
AHORA PARA HALLAR LOS VALORES QUE NOS SERVIRÁN PARA HALLAR y∆ , HACEMOS USO DE LA
IGUALDAD y = f(x), ASÍ QUE LA FUNCIÓN QUE NOS DAN LA PODEMOS ESCRIBIR DE LA FORMA y = 3x
+1, ASÍ QUE PARA HALLAR LOS VALORES DE 1y Y 2y SOLO TENEMOS QUE SUSTITUIR LOS VALORES
DE x QUE NOS DIERON EN EL INTERVALO EN LA FUNCIÓN:
( ) 10y19y133y 111 =⇒+=⇒+=
PARA HALLAR 2y HACEMOS LO MISMO PERO TOMAMOS EL VALOR DE 2x :
( ) 22y121y173y 112 =⇒+=⇒+=
AHORA CON LOS VALORES DE 1y Y 2y HALLAMOS EL VALOR DE y∆ :
12Δy =⇒−=∆⇒−=∆ 1022yyyy 12
FINALMENTE COMO LA RAZÓN DE CAMBIO PROMEDIO ES
x
y
∆
∆
, SOLO TENEMOS QUE DIVIDIR LO
QUE NOS DIO y∆ ENTRE LO QUE NOS DIO x∆ :
3
Δx
Δy
=⇒=
∆
∆
4
12
x
y
LA RAZÓN DE CAMBIO PROMEDIO DE LA FUNCIÓN EN EL INTERVALO DADO ES 3.
2. DETERMINA LA RAZÓN DE CAMBIO PROMEDIO DE LA FUNCIÓN ( ) 6x2x5xf 2
−+= EN EL INTERVALO
DE VALORES DE x ∈ [–1, 4]
DE LOS VALORES DEL INTERVALO: 1x1 −= Y 4x2 = , POR LO TANTO:
( ) 5Δx =⇒+=∆⇒−−=∆⇒−=∆ 14x14xxxx 12
USANDO LOS VALORES DE 1x Y 2x , LOS SUSTITUIMOS EN LA FUNCIÓN ( ) 6x2x5xf 2
−+= PARA
HALLAR 1y Y 2y (PARA HALLAR 1y USAMOS A 1x Y PARA HALLAR 2y USAMOS A 2x ):
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
82y
280y
68165y
64245y
yCALCULANDO
3y
85y
6215y
61215y
yCALCULANDO
2
2
2
2
2
2
1
1
1
2
1
1
=
+=
−+=
−+=
−=
−=
−−=
−−+−=
HALLAMOS AHORA y∆ :
( ) 85Δy =⇒+=⇒−−=∆⇒−=∆ 382Δy382yyyy 12
FINALMENTE HALLAMOS
x
y
∆
∆
:
17
Δx
Δy
=⇒=
∆ 5
85
x
Δy
45
46. 3. DETERMINA LA RAZÓN DE CAMBIO PROMEDIO DE LA FUNCIÓN ( ) 5x2xf += EN EL INTERVALO DE
VALORES DE x ∈ [2, 8]
DE LOS VALORES DEL INTERVALO: 2x1 = Y 8x2 = , POR LO TANTO:
6Δx =⇒−=∆⇒−=∆ 28xxxx 12
USANDO LOS VALORES DE 1x Y 2x , LOS SUSTITUIMOS EN LA FUNCIÓN ( ) 5x2xf += PARA HALLAR
1y Y 2y :
( ) ( )
9y
54y
516y
582y
yCALCULANDO
7y
52y
54y
522y
yCALCULANDO
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
=
+=
+=
+=
=
+=
+=
+=
HALLAMOS AHORA y∆ :
2Δy =⇒−=∆⇒−=∆ 79yyyy 12
FINALMENTE HALLAMOS
x
y
∆
∆
:
3
1
Δx
Δy
=⇒=
∆ 6
2
x
Δy
4. DETERMINA LA RAZÓN DE CAMBIO PROMEDIO DE LA FUNCIÓN ( )
3x
5x
xf
2
−
+
= EN EL INTERVALO DE
VALORES DE x ∈ [5, 10]
DE LOS VALORES DEL INTERVALO: 5x1 = Y 10x2 = , POR LO TANTO:
5Δx =⇒−=∆⇒−=∆ 510xxxx 12
USANDO LOS VALORES DE 1x Y 2x , LOS SUSTITUIMOS EN LA FUNCIÓN ( )
3x
5x
xf
2
−
+
= PARA HALLAR
1y Y 2y :
( )
( )
( )
( )
35y
7
105
y
310
5100
y
310
510
y
yCALCULANDO
15y
2
30
y
35
525
y
35
55
y
yCALCULANDO
2
2
2
2
2
2
1
1
1
2
1
1
=
=
−
+
=
−
+
=
=
=
−
+
=
−
+
=
HALLAMOS AHORA y∆ :
20Δy =⇒−=∆⇒−=∆ 1535yyyy 12
FINALMENTE HALLAMOS
x
y
∆
∆
:
46
47. 4
Δx
Δy
=⇒=
∆ 5
20
x
Δy
2.1.2 LA DERIVADA COMO RAZÓN DE CAMBIO INSTANTÁNEA
OBJETIVOS:
1. DEFINIRÁ A LA DERIVADA COMO UNA RAZÓN DE CAMBIO INSTANTÁNEA. (DF, EA)
DERIVADA COMO RAZÓN DE CAMBIO INSTANTÁNEA
SEA f UNA FUNCIÓN CONTINUA Y SUAVE EN UN INTERVALO [a, b]. SI x ES UN PUNTO DEL
INTERVALO, ENTONCES LA DERIVADA DE LA FUNCIÓN EN TAL PUNTO SE REPRESENTA POR f ’(x) Y
LA DEFINIMOS COMO
( ) ( ) ( )
x
xfxxf
Limxf
0x ∆
−∆+
=′
→∆
RECORDAREMOS QUE ( ) ( )xfxxfy −∆+=∆ ; ENTONCES, PODEMOS COMPROBAR QUE LA DERIVADA
PUEDE REPRESENTARSE TAMBIÉN COMO:
( )
x
y
Limxf
0x ∆
∆
=′
→∆
ASÍ, LA DERIVADA ES EN SI UNA RAZÓN DE CAMBIO INSTANTÁNEO DE DOS VARIABLES
RELACIONADAS.
RAPIDEZ DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA
“El verdadero viaje hacia el descubrimiento no consiste en buscar nuevos horizontes sino en
tener nuevos ojos” (Marcel Proust”
Muchos de los fenómenos de la vida diaria como los de la ciencia y la técnica están
relacionados con el cambio de una cosa con respecto a otra.
Ejemplos: la velocidad de un automóvil representa una cambio de posición del automóvil respecto al
tiempo (también cambia)
La razón de cambio de la población respecto al tiempo.
La demanda de un producto por la población
La inflación con relación al tiempo.
Son ejemplos que nos indican razones de cambio.
¿Cómo se podrá medir esta variación?. Existen algunas formas de medir la variación o el cambio.
Variación absoluta o incremento: Esta variaciones una diferencia entre un valor final y un valor
inicial. Supongamos que Raúl abre una cuenta de ahorros en BANAMEX con $ 1000.00, al pasar tres
meses va al banco y le informan que cuenta con $1025.00 ¿Cuál es la variación absoluta o incremento?
47
48. Respuesta: cf = $1025.00, ci= $1000.00 , el incremento del capital es if ccc −=∆ = 1025.00 -1000.00
= 25.00.
Cambio relativo: El cambio relativo es un cociente entre el cambio absoluto y el valor inicial
025.0
1000
25
==
∆
ic
c
Variación promedio o razón promedio: Si se considera que la variación absoluta fue de c∆ =25.00
en un tiempo de tres meses la variación promedio está determinada por: 33.8
3
25
==
∆
∆
t
c
por mes, el
capital de Raúl creció 8.33 pesos por mes.
Variación de una función en un punto: f(x) =
1
12
−
−
x
x
, ¿Qué sucede con los valores de f(x) si x se
acerca cada vez más a 1?
Construyamos la tabla:
Hacia 1 por la izquierda 1 Hacia 1 por la derecha
x .5 .9 .99 .999 1.001 1.01 1.1 1.5
F(x)
Se aproxima a ____ por la izquierda Se aproxima a____ por la derecha
Es fácil observar que cuando x se acerca a 1 los valores de la función se acercan a 2, si se gráfica esta
función se nota que hay un hueco en P(1,2) al acocarse x a 1 e irá naturalmente a 2
Razón de cambio: La velocidad es una razón de cambio: v =
t
d
∆
∆
ya que =
if
if
tt
dd
−
−
= velocidad
promedio, ¿Se podrá obtener con este criterio la velocidad instantánea?, ¿que se requiere para
este concepto?
Sin duda alguna este problema lo podrás comprender fácilmente al analizar la caída libre de los
cuerpos, recuerda que Galileo descubrió que dos cuerpos de diferente peso difieren menos en su caída
en el aire que en el agua, ello lo condujo a determinar que los cuerpos de diferente peso caen a la
misma velocidad en el vacío. Y también descubrió el movimiento en caída libre matemáticamente.
y
-1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.51
1.5
2
2.5
48
49. d = 4.9 t2
si el cuerpo se deja caer.
t 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
d(t)
¿Cómo calcular la velocidad a los 5 segundos?
Retomando el concepto de Variación absoluta o incremento:
Un incremento lo obtenemos dando a la variable independiente (x) un valor inicial (a) y después un
valor final (b) se llama incremento de la variable independiente a la diferencia =∆x b - a
Notación: incremento de x = x∆ = b – a por lo tanto b = x∆ +a
El incremento puede ser positivo, nulo o negativo. Obtener el valor faltante
Variable valor inicial valor final x∆
X 2 3 1
X 4 1 __
X ___ 6 0
X ½ ___ -1/6
Incremento de una función: Sea la función y = f(x) , si x varía de “a” a “b”
f(a) = valor inicial de la función
f(b)= valor final de la función
Incremento de la función = )()()( afbfxf −=∆ = f(a + x∆ ) – f(a).
El incremento de la función como el de la variable independiente puede ser positivo, nulo o negativo.
Calcular el incremento de la función y = 5x -3
xi xf x∆ y1 yf y∆
2 2.5
1 -3
-4 2
Obtener los incrementos de las siguientes funciones:
xi x2
f(x) = 5x-1 4 7
f(x) = 2x2
-1 - 4
f(x) = x 25 16
f(x) = log x 10 1000
Incremento de una función al tender a cero el incremento de la variable independiente
y = 2x +1
xi xf x∆ y1 yf y∆
6 6.1
6 6.01
49
50. 6 6.001
6 6.0001
x∆ 0→
“El incremento de una función tiende a ____al tender cero el incremento de la variable
independiente”
Nueva definición de función continua: “Una función es continua para cierto valor de x si el
incremento de la función tiende acero, al tender a cero el incremento de la variable
independiente”
Actividad: Determina el incremento de las siguientes funciones:
y = x2
-4x + 3 x1 = 5 xf = 5.8
y =
x
x
52
13
+
−
xi = 0.5 x = 0 . 3
y = 1 – x3
xi = -2 xf = -6
y = x−1 xi = 0.8 xf = 0.4
y =
x−1
4
xi = -3 xf = 3
Concepto de derivada para x = a
Hallar el limite de la razón del incremento de la función al incremento de la variable independiente
para x = 3 y = x2
Lim
x
y
∆
∆
x∆ 0→
xi xf x∆ y1 yf y∆
x
y
∆
∆
3 3.1
3 3.01
3 3.001
3 3.0001
3 3.00001
“La función derivada de una función para un valor de x = a es el límite de la razón del
incremento de la función al incremento de la variable independiente, cuando el incremento de la
variable independiente tiende a cero, tomando “x” como valor inicial (a)
Hallar el valor de la función derivada de la función: y = 2x + 3 para x = 3
xi xf x∆ y1 yf y∆
x
y
∆
∆
3 3.1
3 3.01
3 3.001
50
51. 3 3.0001
3 3.00001
Método directo para obtener la función derivada partiendo del concepto o definición de función
derivada.
Definición: “Función derivada de una función f(x) es el límite de la razón del incremento de la
función al incremento de la variable independiente, cuando el incremento de la variable
independiente tiende a cero”
Notación: f’(x) = Lim
0
)(
→∆
∆
∆
x
x
xf
= Lim
0→∆
∆
∆
x
x
y
= Df(x) = Dx y = f’(x) = y’ =
dx
xdf
dx
dy )(
=
Todas esta son formas de notación de función derivada
FORMA GENERAL DE DERIVACIÓN
Si se observa la expresión Lim
'
0
)()(
y
x
x
xfxxf
=
→∆
∆
−∆+
, fácilmente se puede comprender que es
Necesario realizar cuatro pasos para obtener la función derivada de una función.
1°. Incrementar la función dada, esto consiste en hallar: f(x+ x∆ )
2°. Restar la función inicial, al tener un valor final menos un valor inicial se está obteniendo un
incremento de la función: de la fórmula se tiene : f(x+ x∆ ) – f(x)
3°. Realizar la división. Incremento de la función entre el incremento de la variable independiente:
x
y
x
xfxxf
∆
∆
=
∆
−∆+ )()(
4°. Calcular el límite de el cociente resultante cuando el incremento de “x” tiende a cero.
Lim =
∆
∆
x
y
0→∆x
Aplicación: Observa la aplicación de esta formula en el siguiente ejemplo:
Y = x2
- 2x -3
1° y + ∆y = (x + ∆)2
– 2(x + ∆x) – 3
y+ ∆y = x2
+ 2x ∆x + ∆x2
– 2x - 2 ∆x -3
2° y+ ∆y = x2
+ 2x ∆x + ∆x2
– 2x - 2 ∆x -3 restar la función inicial
-y - x2
+2x +3
51
52. = ∆y = 2x ∆x + ∆x2
- 2 ∆x Dividir este resultado por: ∆x
3° 22
x
x2-x+x2x 2
−∆+=
∆
∆∆∆
=
∆
∆
xx
x
y
aplicar el límite al cociente obtenido
4° Lim
0
22
→∆
−∆+
x
xx
= 2x -2. a este límite así obtenido se le llama función derivada de la función
inicial.
Por lo tanto: y’ = 2x - 2 expresión que nos dará las tangentes a cualquier punto de la curva y = x2
-2x-3
Actividades: Aplicando el procedimiento desarrollado obtén la función derivada de cada una de las
siguientes funciones:
1) y = m x + b 2) s = 2 t – t2
3) y = x4
4) y = 3 x2
+ 5 5) u = 4 v2
– 2 v3
6) y = 2 x3
- 6 x + 4
7)
1
2
+
=
x
y 8)
x
y
−
=
1
1
9)
)( 2
2
bxa
x
y
+
=
10)
x
y
21
1
−
= 11) y = x 12)
35
34
−
−
=
x
x
y
13) y =
2
3
2
+x
14) y = 2x3
+ 3x2
+ 2x 15) y = 22
1
ax +
16) y = x2 17) y = xx 22
− 18) y = 32 3
+x
19) y =
1
1
2
2
−
+
x
x
20) y = xx 22 + 21) y =
x
1
INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA FUNCIÓN DERIVADA
Conceptos:
Secante: recta que corta a una curva
52
53. Tangente: recta que toca en un punto a una curva
• Si se hace que el punto Q se mueva sobre la curva AB acercándose indefinidamente a P, la
secante girará sobre P y su posición límite es por definición la tangente a la curva en P.
B S
Q(x+ x∆ ,y+ )y∆
A
∆y
T
P(x,y) R
M ∆x N
Si se considera la función f(x) , representada por la curva AB, primero derivar la función según la
regla general e interpretar cada paso geométricamente.
Sea el punto P(x,y) de la curva AB, Q(x+ x∆ ,y+ )y∆ un segundo punto de la curva cercano a P.
Y = f(x) …………………. La curva AB
1°. Y + ∆y = f(x+ ∆x) ……………NQ
2°. –y -f(x) ……………………MP =NR
∆y = f(x+ ∆x) – f(x) = NQ – NR = RQ
3° =
∆
∆
x
y
====
∆
−∆+
βtan
)()(
PR
RQ
MN
RQ
x
xfxxf
pendiente de la secante
Con este paso se observa que la razón de los incrementos ∆y / ∆x es igual a la pendiente de la
secante determinada por los punto P y Q
4° Considerando el valor de (x) como fijo, luego “P” es un punto fijo de la curva, así mismo ∆x varía
tendiendo a cero, evidentemente el punto Q se mueve a lo largo de la curva aproximándose a “P” como
posición límite. Por lo tanto la secante girará alrededor de P y tendrá como límite la tangente PT.
β = la pendiente de la secante PQ
α = la pendiente de la tangente PT
Lim β = α =
0
)('
→∆
===
x
TanLimTanxf
dx
dy
αβ
= pendiente de la tangente en P
53
54. De este modo se establece el siguiente teorema:
Ejemplo: Obtener la pendiente y el ángulo de inclinación de la curva y = x2
-2 en el punto cuya abscisa
es 1 y en el punto cuya abscisa es -2. y la ecuación de la tangente
Primero: derivar la función por fórmula general. (Derívala)
El resultado obtenido es y’ = 2x por lo tanto: tan α = 2x
En x = 1 tan α = 2(1) = 2 α = arc tan 2 = 63° 26’ inclinación
En x = - 1 Tan α = 2(-2) = -4 por lo tanto la inclinación de la curva es : α =arc tan -4 =
α =180° - 75°57’ = 104° 3’
observa que en este caso la tangente es negativa por lo que la inclinación del ángulo es mayor de 90°
Como la pendiente de las tangentes son Tan1 = 2 y el P1(1, -1 ) f(1) = (1)2
-2= -1
tan2 = -4 y el P2 (-2, 2 ) f (-2) = (-2)2
-2 = 2
Con estos puntos y aplicando la forma punto pendiente de la recta obtener las ecuaciones
y – y1=m(x – x1) observa la gráfica
54
Teorema: El valor de la derivada de una función en
cualquier punto de una curva es igual a la
pendiente de la tangente a la curva en ese punto
55. Actividades:
1) Obtener la pendiente y el ángulo de inclinación de la curva 2
)1(
4
−
=
x
y en x = 1
2) Obtener la pendiente y el ángulo de inclinación de la curva y = 3+ 3 x - x3
en x = -1
3) Obtener la pendiente y el ángulo de inclinación de la curva y = x3
– 3 x2
en x = 1
4) Obtener la pendiente y el ángulo de inclinación de la curva y = 2x -1/2 x 2
en x= 3
5) Hallar el punto de la curva y = 5x –x2
en que la inclinación de la tangente es de 45°
6) En la curva y = x3
+ x , hallar los puntos en que la tangente es paralela a la recta y = 4x
7) En la curva y = x3
+x es paralela a la recta y= 2x -6
“La perpetua carrera de Aquiles y la Tortuga”
“Aquiles, símbolo de rapidez, tiene que alcanzar la tortuga, símbolo de morosidad. Aquiles corre diez
veces más ligero que la tortuga y le da diez metros de ventaja. Aquiles corre esos diez metros, la
tortuga corre 1; Aquiles corre ese metro, la tortuga corre un decímetro, Aquiles corre ese decímetro, la
tortuga corre un centímetro, Aquiles corre ese centímetro, la tortuga corre un milímetro; Aquiles corre
ese milímetro, la tortuga la décima parte de ese milímetro y así indefinidamente, de modo que Aquiles
puede correr para siempre sin alcanzarla. Así la paradoja inmortal” (Zenón) propuesta Jorge Luis
Borges
REGLAS DE DERIVACIÓN
55
56. Los procedimientos analizados y desarrollados anteriormente para obtener la función derivada
de una función algebraica ( 4 pasos o por incrementos) son muy laboriosos; pero si observamos
detenidamente los resultados obtenidos podremos generalizar y obtener reglas que permitan hacer el
trabajo más simple y más rápido (efectividad). El objetivo de estas fórmulas es el de simplificar los
cálculos correspondientes:
REGLAS
1) DERIVADA DE UNA CONSTANTE:
Y = C
1° y + y∆ = C
2° -y -C
y∆ = 0
3° 0=
∆
∆
x
y
4°
0→∆x
Lim
0= 0 La derivada de una constante con respecto a x es 0
Regla 1: 0
)(
)(
=
xd
cd
Y = X
1° Y+ y∆ = x + x∆
2° -Y -x
y∆ = x∆
3° 1=
∆
∆
=
∆
∆
x
x
x
y
4°
0
1
→∆
=
∆
∆
x
x
y
Lim
Derivada de la función identidad
La derivada de una variable respecto a ella misma (x)
es igual a 1
Regla 2: 1
)(
)(
=
xd
xd
La derivada del producto de una constante por una variable:
56
57. Y = CX
1° y + y∆ = c(x + x∆ )
y + y∆ = cx + c x∆
2° -y - cx =
y∆ = c x∆
3° c
x
xc
x
y
=
∆
∆
=
∆
∆
4°
0→∆x
LimC
= C La derivada del producto de una constante por una variable es igual a la constante
Regla 3 c
xd
cxd
=
)(
)(
si x = v
)(
)(
)(
)(
xd
vd
c
xd
cvd
=
La derivada de la suma algebraica de un número finito de funciones
Y = u + v +w
1° Y + y∆ = u + u∆ + v + v∆ - w - w∆
2° - y -u -v -w
y∆ = u∆ + v∆ - w∆
3°
x
w
x
v
x
u
x
y
∆
∆
−
∆
∆
+
∆
∆
=
∆
∆
4° Lim
x
w
x
v
x
u
x
y
∆
∆
−
∆
∆
+
∆
∆
=
∆
∆
La derivada de la suma de un número finito de funciones
0→∆x es igual a la suma algebraica de las derivadas de cada una
de las funciones.
Regla 4.
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
xd
wd
xd
vd
xd
ud
xd
wvud
−+=
−+
De igual manera que en las deducciones anteriores se puede obtener las siguientes reglas
Regla 5: la derivada del producto de 2 funciones es igual al producto de la primera función por la
derivada de la segunda función más el producto de la segunda función por la derivada de la
primera función.
57
58. Regla 5:
)(
)(
)(
)(
)(
)(
xd
ud
v
xd
vd
u
xd
uvd
+=
Regla 6. La derivada del producto de un número finito de funciones es igual a la suma de los
productos obtenidos al multiplicar la derivada de cada una de las funciones por las restantes
funciones
Regla 6:
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
xd
ud
vw
xd
vd
uw
xd
wd
uv
xd
uvwd
++=
Regla 7: La derivada de una variable elevada a un exponente constante: es igual al producto del
exponente por la variable elevada al exponente constante disminuido en 1 y este producto
multiplicado por la derivada de la variable.
Regla 7:
)(
)(
)(
)( 1
xd
vd
nv
xd
vd n
n
−
=
Regla 8: La derivada del cociente de dos funciones es igual al cociente del producto del divisor
por la derivada del dividendo, menos el producto del dividendo por la derivada del divisor, todo
esta diferencia de productos dividida por el cuadrado del divisor.
Regla 8:
2
)(
)(
)(
)(
)(
)(
v
xd
vd
u
xd
ud
v
xd
v
u
d −
=
Regla 9: La Derivada de una raíz cuadrada es igual al cociente de la derivada del subradical
sobre el doble de la raíz (se puede manejar como una cantidad elevada a la un medio, regla 7)
Regla 9:
v
xd
vd
xd
vd
2
)(
)(
)(
)(
=
Regla 10: La derivada de una raíz cualquiera es igual al cociente de la derivada del subradical
sobre el producto del índice del radical por la raíz del subradical elevado al índice de la raíz
menos 1.
Regla 10:
n n
n
vn
xd
vd
xd
vd
1
)(
)(
)(
)(
−
=
Regla 11: Derivada del cociente de una constante sobre una variable es igual a menos el producto
de la constante por la derivada de la variable sobre la variable al cuadrado
Regla 11:
2
)(
)(
)(
)(
v
xd
vd
c
xd
v
c
d −
= (Simplifica la regla 8)
Regla 12: La derivada del cociente de una variable sobre una constante es igual a la derivada de
la variable sobre la constante.
58
59. Regla 12:
c
xd
vd
xd
c
v
d
)(
)(
)(
)(
=
Regla de cadena:
)(
)(
.
)(
)(
)(
)(
xd
ud
ud
yd
xd
yd
= siendo y función de u
El resumen de estas reglas lo puedes tener y escribirlo en un formulario para su utilización en la
derivación de funciones algebraicas (tenerlo a la mano)
Regla 1: 0
)(
)(
=
xd
cd
Regla 2: 1
)(
)(
=
xd
xd
Regla 3 c
xd
cxd
=
)(
)(
si x = v
)(
)(
)(
)(
xd
vd
c
xd
cvd
= Regla 4.
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
xd
wd
xd
vd
xd
ud
xd
wvud
−+=
−+
Regla 5:
)(
)(
)(
)(
)(
)(
xd
ud
v
xd
vd
u
xd
uvd
+= Regla 6:
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(
xd
ud
vw
xd
vd
uw
xd
wd
uv
xd
uvwd
++=
Regla 7:
)(
)(
)(
)( 1
xd
vd
nv
xd
vd n
n
−
= Regla 8:
2
)(
)(
)(
)(
)(
)(
v
xd
vd
u
xd
ud
v
xd
v
u
d −
=
Regla 9:
v
xd
vd
xd
vd
2
)(
)(
)(
)(
= Regla 10:
n n
n
vn
xd
vd
xd
vd
1
)(
)(
)(
)(
−
=
Regla 11:
2
)(
)(
)(
)(
v
xd
vd
c
xd
v
c
d −
= Regla 12:
c
xd
vd
xd
c
v
d
)(
)(
)(
)(
=
Regla de cadena:
)(
)(
.
)(
)(
)(
)(
xd
ud
ud
yd
xd
yd
= siendo y función de u
Con los siguientes ejemplos analiza como se aplican estas fórmulas y con ello poder
determinar las derivadas de las funciones que se proponen.
Ejemplo 1) Y = 5
1
0
)(
)5(
=
xd
d
Ejemplo 2) y = x
2
59
60. 1
)(
)(
=
xd
xd
Ejemplo 3 y = 3x -3
4 3 1
)(
)3(
)(
)3(
)(
)33(
xd
d
xd
xd
xd
xd
−=
−
= 3 – 0 = 3
Ejemplo 4) y = 5x3
3 7 2
213
33
15
)(
)(
3.5
)(
)(
5
)(
)5(
x
xd
xd
x
xd
xd
xd
xd
=== −
(1) = 15x2
Ejemplo 5): y = 3x2
– 5x +2 esta expresión se puede identificar como una suma algebraica por lo
que aplicando la regla 4 se tiene:
dx
d
dx
x
d
dx
x
d
xd
xx
d
)2(
)
)5()3(
)
)(
253
(
22
+−=
+−
identifica qué indica cada expresión y selecciona la
regla correspondiente: (reglas 3, 1, 7,2)
3 3 2 1
=3 0
)(
)(
5
)(
)( 2
+−
xd
xd
xd
xd
7
2
= 3(2x)2-1
( )1(5
)(
)(
−
xd
xd
= 6x -5 y’ = 6x – 5 función derivada
Ejemplo 6) : y = 5
1
4
1
3
1
1043
−−
−+ xxx
4 3 3 3
)(
)1043( 5
1
4
1
3
1
xd
xxxd
−−
−+ =
)(
)(
10
)(
)(
4
)(
)(
3
)(
)10(
)(
)4(
)(
)3( 5
1
4
1
3
1
5
1
4
1
3
1
xd
xd
xd
xd
xd
xd
xd
xd
xd
xd
xd
xd
−−−−
−+=−+
7 2 7 2 7 2
=3(- 5
6
4
3
3
4
5
6
4
3
3
4
2
)(
)(
)
5
1
(10
)(
)(
)
4
1
(4
)(
)(
3
1 −−−−−−
++−=−−+− xxx
xd
xd
x
xd
xd
x
xd
xd
x
y’ = 5
6
4
3
3
4
2
−−−
++− xxx
Ejemplo 7) y = ax5
+ 5bx3
60
61. 2424
353535
155
)(
)(
)3(5
)(
)(
()5(
)(
)(
(5
)(
)(
(
)(
)5(
)(
)(
)(
)5(
bxax
xd
xd
xb
xd
xd
xa
xd
xd
b
xd
xd
a
xd
bxd
xd
axd
xd
bxaxd
+=+=+=+=
+
y’ = 5ax4
+ 15bx2
Ejemplo 8) y = 2
32
xx
−
32424
2
2
2 6262)(
)(
3
)(
)(
)(
2
)(
)
32
(
xxx
x
xx
xd
xd
x
xd
xd
xd
xx
d
+−=+−=+−=
−
, analiza y determina qué fórmulas se han
aplicado
y’ = 32
62
xx
+−
Resuelve en forma conjunta con el grupo
ejemplo 9)
t
ctbta
y
2
++
=
2
3
2
2
3
'
t
abtct
y
−+
=
Ejemplo 10)
3
4
3
xxy = y’ = 3
x
Ejemplo 11)
Y =
5
2
2
1
1
+
−
x
x
y’ = 62
42
)1(
)1(20
+
−
x
xx
Ejemplo 11)
Y = (2x+1)-1
(x+3)-2
y’ = 32
)3()12(
)43(2
++
+
xx
x
Ejemplo 12)
Y = (x3
+2)2
(x2
+ 1)-2
y’ = 42
3
)1(
)2)(2(6
+
−+
x
xxx
Ejemplo 13)
61
62. Y = 7
5
)7(
)1(
−
−
+
x
x
8
144
)1(
)1()1)(16(2
−
−++
=
x
xxx
dx
dy
Indicando la derivación con regla 8 por ser un cociente de dos funciones:
14
7
5
5
7
7
5
)1(
)1(
)1(
)1(
)1(
)1(
)1(
(
−
−
−
−
−
−
+−
+
−
=
−
+
x
dx
xd
x
dx
xd
x
dx
x
x
d
Como las derivaciones que se piden son potencias se aplicará la regla 7
14
8547
)1(
)1()1(7)1()1(5
−
−−
−
−+++−
x
xxxx
simplificando
7
154
)1(
)1()1(7)1(5
−
−
−
−+++
x
xxx
expresando las cantidades con exponente positivo
)1(
])1(7)1()1(5[)1(
)1(
1
)1(
)1(7)1()1(5
)1(
1
)1(
)1(7
1
)1(5
547
7
54
7
54
−
++−+−
=
−
−
++−+
=
−
−
+
+
+
x
xxxx
x
x
xxx
x
x
xx
factorizando en el numerador
)1(
)16(2)1()1(
)1(
]7755[)1()1( 4747
−
++−
=
−
++−+−
x
xxx
x
xxxx
esta expresión aún se puede simplificar y quedar como: 2(6x+1)(x+1)4
(x-1)6
, mismo resultado que se
obtiene al simplificar el resultado propuesto (analiza por qué se llegó a este resultado y no al propuesto)
Ejemplo 14) y = x−+ 44
xx
y
−+−
−=
4444
1
'
Observa que la derivada pedida comprende una raíz cuadrada se aplica la regla 9
xxx
x
x
dx
xd
dx
xd
−+−
−=
−+
−
−
=
−+
−+
=
−+
4444
1
442
42
1
442
)44(
)44(
Ejemplo 15) Y =
x
x
1
4 + y’ =
xxx
x
+
−
2
2
3
44
18
Como observas la derivada pedida implica una raíz cuadrada utilizar regla 9.
62
63. x
x
dx
x
xd
dx
x
xd
1
42
)
1
4(1
4(
+
+
=
+
=
=
+
−
=
+
−
=
+
−
=
+
−
=
+
−
=
+
−
144
18
144
)18(
142
2
18
14
2
2
18
1
42
2
1
4
1
42
2
1
4
2
3
4
5
2
3
4
1
xx
xx
xxx
xxx
x
xx
xx
xx
x
xx
xx
xx
x
x
xx
x
x
x
x
xxx
x
xxx
x
+
−
=
+
−
2
2
3
2
3
2
1
2
3
44
18
)14(4
18
Ejemplo 16:
Y = 3 32
xx +
3
2
2
3
2
)(6
34
xx
xx
dx
dy
+
+
=
3
2
2
3
22
3
2
3
3 2323
23
3 232
3
23
3 232
3
2
3 232
32
3 32
)(6
)34(
)(6
34
)(3
2
34
)(3
2
3
2
)(3
)(
(
xxx
xxx
xxx
xxx
xx
x
xxx
xx
x
x
x
xx
dx
xxd
dx
xxd
+
+
=
+
+
=
+
+
=
+
+
=
+
+
=
+
y’ =
3
2
2
3
2
)(6
)34(
xx
xx
+
+
Ejemplo 17: y= (3+4x-x2
)1/2
y
x
dx
dy −
=
2
2
1
2
2
1
2
22
1
2
2
1
2
)43(2
)2(2
)24()43(
2
1
)43()43(
2
1
)43(
xx
x
xxx
dx
xxdxx
dx
xxd
−+
−
=−−+=
−+−+
=
−+ −
−
y’ = y
x−2
Regla de cadena: Si y es una función de u y a su vez u es una función de x la derivada de y con
respecto a x se puede calcular por medio de la siguiente regla: (llamada regla de cadena)
dx
du
du
dy
dx
dy
.=
Ejemplo 1: derivar la función:
1
1
−
+
=
u
u
y si u = x esta expresión se puede derivar sustituyendo la u por x , sin embargo se
puede derivar aplicando la regla de cadena, analiza como obtener
du
dy
:
63
64. 22
)1(
2
)1(
1)1(1)1()1(
)1(
+
=
+
−−+
=
+
−
uu
uu
du
u
u
d
obteniendo la derivada de u con respecto a x se tiene
xdx
xd
2
1
= aplicando la regla de cadena:
dx
du
du
dy
dx
dy
.= =
dx
dy
.
)1(
2
2
+u x2
1
Sustituyendo a U por su valor se tiene: =
dx
dy
.
)1(
2
2
+x x2
1
=
xx 2
)1(
1
+
Ejemplo 2: y = u+1 u = x
udu
ud
+
=
+
12
1)1(
derivando a u u’ =
x2
1
aplicando regla
y’ =
xu 2
1
.
12
1
+
sustituyendo a u y’ =
xxxx +
=
+ 14
1
2
1
.
12
1
1. Actividad. Deriva las siguientes funciones aplicando las reglas de derivación de funciones
algebraicas.
1) y = x5
- 4x3
+ 2x – 3
2) Y =
42
2
1
3
1
4
1
xxx −+−
3) y = ax2
+ bx + c
4) y =
a
x3
5
−
5) y = π
π
+
x
6) Y = 32
5
3
2
23 −
+− xxx
7) y = x2
3 2
x
8) y = 33 2
xx
b
x
a
−
9) y =
dxc
bxa
+
+
10) y =
55
32
2
+−
+
xx
x
11) y =
xx
1
12
2
−
−
12) y =
z
z
−
+
1
1
13) y = (
3
)
c
bax +
64
65. 14) y =
2
3
3
2
3
2
−xa
15)Y =
1
4
)2(2
11
2
−
−
−
−
xx
16) y = 232
)3(2
1
)3(3
10
)2(4
15
−
−
−
−
−
−
xxx
17) y = 42
8
)1(8 x
x
−
18) y =
x
xx 122 2
+−
19) y = 222
xaa
x
+
20) y = 3
3
)1(3 x
x
+
21) y = 623 263 2
13
6
5
9
7
18
2
3
xxxxxxx +++
22) y = 3 523 23
)1(
15
1
)1(
8
1
xx +−+
23) y = 4
2
1
3
4
+
−
x
x
24) y = x4
(a-2x3
)2
25)
m
n
n
bxa
bxa
−
+
26) y = (a+x) xa −
27) y = (2x+1)(3x+2)3
23 +x
28) y =
3
5
9
9
−
+
x
x
58) g(x) = 1 -2x – x2
29) y = 2
2
1 x
x
−
59) y = 3 x4
– 5 x2
+ 1
30) y = ))()(( cxbxax +++ 60) f(t) =
24
2
1
4
1
tt −
31) y = u6
u = 1+2 x
32) y =
2
2
+
−
u
u
u =
22
22
+
−
x
x
33) y =
ua
ua
+
−
u =
xb
xb
+
−
34) y = u u = xx 22
+
65
66. 35) 15x = 15y+ 5y2
+3y3
36) x = 3 yy +
37) y2
= 2px
38) x2
+ y2
= r2
39) b2
x2
+ a2
y2
= a2
b2
40) x3
– 3axy + y2
= 0
41) x3
+ 3 x2
y + y2
= r2
42) x + 2 ayxy =+
43) y = 7x-5
44) y = 4x2
+4x+1
45) Y =
3
3
1
x - x +2
46) y = x4
– 5 + x-3
+4x-4
47) t = 23
(3 ss − )
48) y = (4x2
+ 3)6
50) y = 8- 3x
51) y = x3
– 3x2
+ 5x – 2
52) y = x7
– 2x5
+ 5x3
– 7x
53) u(r) =
3
3
4
rρ
54) f(x) = 3
3
3
3 x
x
+
55) g(x) = (2 x2
+5) (4x-1)
56) g(y) = (7 – 3 y3
)2
57) g(x) = 42
53
xx
+
2) hallar la derivada pedida (pendiente) de las siguientes curvas en cada uno de los puntos pedidos
1) x2
+ xy+2 y2
= 28 (2,3) y’ =
2) x3
-3xy2
+y3
= 1 (2,-1) y’ =
3) 532 =+ yx (2,3) y’ =
4) x2
– 2 522
=− yxy (8,2) y’ =
DERIVADAS DE FUNCIONES IMPLICITAS
Dentro de la clasificación que se hace de las funciones, éstas se clasifican en implícitas y
explícitas; las explícitas son las funciones en las que se indican las operaciones a realizar con la
variable independiente para obtener el valor de la variable dependiente ejemplo: y = 3x – 5, y = x2
– 9.
Implícitas, son las funciones que no indican cual es la variable independiente ni la dependiente,
ni las operaciones a realizar para obtener el valor de la variable dependiente, no hay variable despejada.
Ejemplo: x2
– 2xy – 4 = 0, y - 2
16 x− = 0, todas estas son ecuaciones no resueltas para “y”; en este
caso cualquier incógnita puede ser la variable dependiente, generalmente se considera a “y”
66
67. Método de derivación:
1° Si se puede despejar “y”, se realiza el despeje y la derivación se realiza como en el caso anterior.
2° Cuando es difícil despejar a “y” se deriva la ecuación término a término, considerando a “y” como
función de x (variable dependiente), su derivada será y’ y no 1, como la derivada de x.
3° Los términos que contienen a y’ se llevan al miembro de la izquierda de la igualdad y los que no la
contienen al miembro de la derecha.
4° Se factoriza el miembro de la izquierda tomando a y’ como factor común
5° Los términos que contenían y’ pasan como denominador a la derecha y los que no la contenía
quedan como numerador.
Ejemplo: derivar x2
+ xy + y2
= 12
dx
yxyxd )12( 22
=++
dx
d
dx
yd
dx
xyd
dx
xd )12()()()( 22
=++
2x +x 0
)(
2
)()(
=++
dx
yd
y
dx
xd
y
dx
yd
2x + xy’ + y + 2yy’ = 0
xy’ + 2yy’ = -2x – y
y’(x +2y) = - 2x – y
yx
yx
y
2
2
'
+
−−
=
Ejemplo 2) x2
- 3xy + 2y2
= 16
dx
yxyxd )1623( 22
=+−
2x – 3xy’ + 3y +4yy’ = 0
-3xy’ +4yy’ = -2x – 3y yx
yx
y
43
32
'
+−
−−
=
y’(-3x +4y) = -2x – 3y
y’ = yx
yx
33
32
−−
−−
Actividad: Derivar las siguientes funciones implícitas:
1) x2
– 3xy + 2y2
= 16
2) xy + 5 = 0
3) x2
+xy + 2y2
= 28
4) x3
+ xy +y3
= c3
5) x3
+ xy – y2
= 5
6) x3
+ 3x2
y + y3
= c3
7) x2
+ 02 =+ yxy
8) x2
+ 2 22
byxy =+
67
68. 9) x3
– 3x2
y + y3
= 7
10) 0=+
y
x
x
y
11) x+ 22
byxy =+
12) x2
– 2 2
yxy − = 52
DERIVADAS DE FUNCIONES TRASCENDENTES.
Ya se ha dicho que las funciones trascendentes son aquellas cuyo valor no se puede obtener con
simples operaciones algebraicas, por lo que es necesario utilizar otros procedimientos para determinar
su valor.
Las funciones trascendentes se clasifican en:
1) Trigonométricas a) Directas
b) Inversas
2) Exponenciales:
3) Logarítmicas.
Actividad: Investiga sus características y ejemplos de cada una de ellas.
Análisis de algunas de estas funciones:
Logaritmos: Existen dos tipos de logaritmos de uso común; aunque pueden existir diversos sistemas, se
habla principalmente de los logaritmos decimales o de Brigs cuya base es el número 10; los logaritmos
naturales cuya base es el número “e”
68
69. Este número es uno de los más importantes que existen y es conocido como el límite de la
sucesión cuando
x
x
+
1
1 x crece indefinidamente o bien como el límite de la sucesión e=
...........71828.2
!
1
......
!4
1
!3
1
!2
1
!1
1
!0
1
=+++++
n
con esta serie se puede calcular el número e con
tantos decimales como se quiera; de cualquier forma este número es irracional (no repite periodos
decimales)
Definición de Logaritmo: El logaritmo de un número N es el exponente x al que hay que
elevar una base (b) para obtener dicho número N. Se expresa logb N = x de donde resulta que bx
= N
Notación: log = logaritmo de base 10
Loge = ln = logaritmo natural
Loga = logaritmo de base cualquiera.
Considerando la definición anterior expresa las siguientes cantidades en forma logarítmica:
10x
= 1000 log 1000 = x x = _______
10 y
= 25 log ____ = __ y = _______
10 x
= 245 log _____ = x x = _______
Las propiedades de los logaritmos son iguales a las propiedades de los exponentes:
Log xy = log x + log y
Log x/y = log x –log y
Log xn
= n log x
n
x
xn log
=
Relación entre logaritmos decimales y naturales:
Se sabe que: ex
= N y que loge N = x
Si en ex
= N se toman logaritmos decimales se tiene que:
X log e = log N entonces e
N
x
log
log
= como x = logaritmo de base e entonces:
Loge N = e
N
log
log
69
70. ln N = e
N
log
log
Observa algunas de las gráficas de funciones logarítmicas para identificar algunos límites según la
tendencia de la variable
Y = log x
x
y
-4 -2 0 2 4 6 8 10
-2
0
2
4
y = loge X
x
y
-4 -2 0 2 4 6 8 10
-2
0
2
4
las funciones exponenciales son aquellas cuya variable va como exponente ejemplo y =ax
y = 3x
x
y
-8 -6 -4 -2 0 2 4 6
0
2
4
6
De la gráfica de estas funciones se puede deducir que son continuas en todo su dominio, de
manera que si c pertenece al dominio de la función correspondiente, entonces se tiene:
70
