1. INSTITUTO FEDERAL DE ALAGOAS – IFAL
CURSO DE LICENCIATURA EM MATEMÁTICA
ARQUIMEDES –
MÉTODO DA EXAUSTÃO
e outros temas
Fernando A C Mendonça
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2. ARQUIMEDES
Arquimedes de Siracusa (287 a.C. – 212
a.C.) foi um matemático, físico, engenheiro,
inventor, e astrônomo grego. Embora poucos
detalhes de sua vida sejam conhecidos, são
suficientes para que seja considerado um dos
principais cientistas da Antiguidade Clássica.
Ronald Calinger , em sua obra “Uma
História Contextual da Matemática”, afirma ser
Arquimedes o maior matemático da
Antiguidade e um dos maiores de todos os
tempos. 2

3. CONTRIBUIÇÕES
FÍSICA (ENGENHARIA)
• BASES DA ESTÁTICA E DA HIDROSTÁTICA;
• DESCOBRIU A LEI DO EMPUXO E DA
ALAVANCA.
INVENTO DE MÁQUINAS
• ARMAS DE CERCO;
• BOMBA DE PARAFUSO.
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4. CONTRIBUIÇÕES
MATEMÁTICA
• CÁLCULO DE ÁREAS E VOLUMES (ÁREA
SOB UM ARCO DE PARÁBOLA, VOLUMES
DE SUPERFÍCIES DE REVOLUÇÃO,
VOLUME E ÁREA DE ESFERA);
• APROXIMAÇÃO DO NÚMERO π;
• DESCOBERTA DE UMA ESPIRAL (A
ESPIRAL DE ARQUIMEDES);
• DESENVOLVIMENTO DE UM SISTEMA
PARA EXPRESSAR NÚMEROS MUITO
GRANDES.
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5. O parafuso de Arquimedes é capaz
de elevar água eficientemente.
Uma esfera inscrita em um cilindro de
mesma altura e diâmetro. Arquimedes
provou que o volume e a área da superfície
da esfera são dois terços da do cilindro.
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6. Em Sobre as Medidas do Círculo, Arquimedes
informa que:
265 1351
(aprox. 1,7320261) < 3 (aprox. 1,7320508)< (aprox. 1,7320512)
153 780
sem dar qualquer explicação sobre o método
utilizado para obtê-lo.
Este aspecto da obra de Arquimedes
fez John Wallis comentar que ele estava:
"...como se houvesse um firme propósito de
encobrir os passos de sua investigação, como
se ele negasse à posteridade o segredo de
seu método de investigação ao mesmo tempo
que desejava extrair dela o consentimento
com os seus resultados.
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7. Em O Contador de Areia, Arquimedes se
dispôs a calcular o número de grãos de areia
que o universo poderia conter. Propôs um
sistema para contar números altos, e chegou à
conclusão que 8.1063 grãos encheriam o
universo.
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Em coordenadas polares (r, θ), a espiral de Arquimedes,
apresentada em seu livro em seu livro Das Espirais,
pode ser descrita pela equação seguinte: ,
com a e b reais.
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8. Valor de π utilizando o Princípio da Exaustão
Arquimedes desenhou um
polígono regular inscrito e
outro circunscrito a um
mesmo círculo.
Aumentando-se o número
de lados do polígono
regular, ele se torna uma
aproximação mais precisa
de um círculo.
Quando os polígonos tinham 96 lados cada um, ele calculou os
comprimentos de seus lados e mostrou que o valor de π está
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entre 3 (aproximadamente 3,1429) e 3 10 (aproximadamente
7 71
3,1408), consistente com o seu valor real de cerca de 3,1416.
Ele também mostrou que a área de um círculo é igual a π
8
multiplicado pelo quadrado do raio do círculo.

9. Circunferência de comprimento C = 2m
n Sn / n l menor L maior P menor / C P maior / C
4 90 1,414213562 2 2 29/35 4
5 108 1,175570505 1,453085056 2 46/49 3 31/49
6 120 1 1,154700538 3 3 13/28
7 128,5714286 0,867767478 0,963149238 3 1/27 3 23/62
8 135 0,765366865 0,828427125 3 4/65 3 16/51
9 140 0,684040287 0,727940469 3 5/64 3 8/29
10 144 0,618033989 0,649839392 3 1/11 3 1/4
20 162 0,31286893 0,316768881 3 9/70 3 1/6
30 168 0,209056927 0,210208471 3 11/81 3 15/98
40 171 0,156918191 0,157403414 3 13/94 3 4/27
50 172,8 0,125581039 0,125829335 3 6/43 3 7/48
60 174 0,104671912 0,104815559 3 7/50 3 13/90
70 174,8571429 0,089729661 0,089820104 3 9/64 3 1/7
80 175,5 0,078519632 0,078580214 3 10/71 3 1/7
90 176 0,069798993 0,069841539 3 11/78 3 1/7
96 176,25 0,065438166 0,065473221 3 11/78 3 1/7
3,141031951 3,1427146
Valor real de π: 3,141592654
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10. Área de arco de parábola
utilizando o Princípio da Exaustão
Em A Quadratura da
Parábola, Arquimedes provou
que a área delimitada por uma
parábola e uma linha reta é 4⁄3
vezes a área do triângulo
inscrito correspondente, como
mostrado na figura à direita. Ele
expressou a solução do
problema como uma série
geométrica infinita com a razão
Como mostrado por Arquimedes, a
comum de 1⁄4: área do segmento parabólico na
figura de cima é igual a 4/3 da do
triângulo inscrito na figura de
baixo.
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11. FATO PERSONALIDADE PROBLEMA OU COMO FOI RESOLVIDO
MATEMÁTICO QUE SE CONFLITO O CONFLITO
DESTACOU RELACIONADO
Valor de π Arquimedes Há um certo número Utilização do princípio da
(π) que, em qualquer exaustão: aproximação de π
circunferência, pelos cálculos dos
corresponde ao perímetros de dois
quociente do polígonos regulares de lado
comprimento por seu n, sendo um inscrito e outro
diâmetro. Possíveis circunscrito a uma
problemas com circunferência.
confecção de produtos.
Arquimedes Provavelmente Publicou o resultado
Valor de 3 deparou-se com a
265 1351
equação x2=3 em < 3<
algum problema. 153 180
Exemplo de problema: sem explicar o método para
cálculo de área de um alcançá-lo.
terreno.
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12. FATO PERSONALIDADE PROBLEMA OU COMO FOI RESOLVIDO O
MATEMÁTICO QUE SE CONFLITO CONFLITO
DESTACOU RELACIONADO
Área delimitada Arquimedes Após investigar áreas de Dividiu a região em triângulos,
por uma circunferência, pode ter cuja soma de áreas resultou na
parábola e uma procurado áreas de série geométrica infinita
linha reta parábolas. Intuito ∞
matemático.
A∆ insccrito ∑ 4− n , ou
n= 0
seja, igual a área do triângulo
inscrito vezes 4/3.
Contagem de Arquimedes Contrariar a crença de Criou um sistema de contagem
números altos existirem infinitos grãos de em que as unidades
(grãos de areia) areia na Grécia (ou no correspondem a 1 miríade (ou
mundo conhecido na época) 10000 unidades), e estimou
que seriam necessários 8×1063
grãos de areia para encher o
universo.
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13. Quando a cidade de Siracusa foi cercada por
Roma, Arquimedes foi morto por um soldado
romano, mesmo após os soldados terem
recebido ordens para que não o ferissem,
devido à admiração que os líderes romanos
tinham por ele.
“Brincar é condição fundamental para ser sério.”
Αρχιμήδης
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14. FONTES CONSULTADAS:
Calinger, Ronald. A Contextual History
of Mathematics. [S.l.]: Prentice-Hall, 1999.
http://www.matematica.br/historia/arquimedes.html
http://www.portalsaofrancisco.com.br/alfa/
http://www.cursointerseccao.com.br/resumos/a_historia_da_matematica.pdf
Andréa Cardoso et al. Descobrindo o número π com geometria dinâmica
http://www.ucb.br/sites/100/103/TCC/12006/MauroLopesAlvarenga.pdf
https://sistemas.usp.br/siicusp/cdOnlineTrabalhoVisualizarResumo?numeroInscricaoTrabalho=4099&numeroEdicao=18
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