Este documento presenta un resumen de conceptos básicos sobre raíces y logaritmos. Explica las propiedades de las potencias, incluyendo exponentes negativos y fraccionarios. Luego define las raíces como la inversa de una potencia, y describe las propiedades de las operaciones con raíces. Finalmente introduce los logaritmos como la solución a una ecuación exponencial, y explica algunas de sus propiedades fundamentales.

1. 4oESO Matem´ticas B
a
Jes´s Garc´ de Jal´n de la Fuente
u
ıa
o
IES Ramiro de Maeztu
Madrid
2013-2014

3. 1
RA´
ICES Y LOGARITMOS
1.1.
Potencias.
Una potencia an , en donde n es un entero positivo es un producto de factores iguales:
an = a · a · a · . . . · a
n factores
El factor que se repite a se llama base de la potencia y el n´mero de veces que se repite, n, es el exponente.
u
As´ definidas, las potencias tienen las cinco propiedades siguientes:
ı
Producto de potencias de la misma base:
am · an = am+n
Para sumar potencias de la misma base, se suman los exponentes.
Cociente de potencias de la misma base:
am
= am−n
an
Para dividir potencias de la misma base, se restan los exponentes.
Potencia de una potencia:
n
(am ) = amn
Para elevar una potencia a otro exponente, se multiplican ambos exponentes.
Potencia de un producto:
n
(M N ) = M n N n
La potencia de un producto es igual al producto de las potencias.
Potencia de un cociente:
M
N
n
=
Mn
Nn
La potencia de un cociente es igual al cociente de las potencias.
3

4. 1. RA´
ICES Y LOGARITMOS
4
Estas propiedades son sencillas de justificar a partir de la definici´n de potencia como un producto de
o
factores iguales. Por ejemplo, la primera propiedad se demuestra de la siguiente manera:
am · an = a · a · a · . . . · a · a · a · a · . . . · a
m factores
n factores
= a · a · a · ... · a
m + n factores
= am+n
El concepto de potencia puede extenderse a exponentes enteros no positivos de forma que se sigan
cumpliendo las propiedades anteriores:
Si dividimos dos n´meros iguales sabemos que el resultado es 1. Dividamos dos potencias iguales:
u
1=
an
= an−n = a0
an
=⇒
a0 = 1
As´ pues, sea cual sea la base, si el exponente es cero, la potencia vale 1.
ı
Sea ahora una potencia de exponente negativo. Para que se cumpla la primera propiedad debe
ocurrir que:
a−n · an = a−n+n = a0 = 1
=⇒
a−n =
1
an
El n´ mero a−n es el inverso de an .
u
As´ definidas, las potencias de exponente negativo o cero, cumplen las propiedades enumeradas anteriorı
mente. Pero ya no se pueden definir como productos de factores iguales (un n´mero no puede multiplicarse
u
por s´ mismo un n´mero negativo de veces).
ı
u
1.2.
Ra´
ıces.
La ra´ cuadrada de un n´mero N es otro n´ mero que elevado al cuadrado es igual a N . Este n´mero se
ız
u
u
u
√
representa por N . Es decir, este n´mero cumple que:
u
√
2
N
=N
Los n´meros positivos tienen dos ra´
u
ıces cuadradas. Por ejemplo hay dos ra´
ıces cuadradas de 9 que son
+3 y −3 pues cualquiera de estos n´meros elevados al cuadrado dan 9. Cuando queramos distinguir entre
u
la ra´ cuadrada positiva y negativa de un n´mero√
ız
u
pondremos el signo delante. As´ la ra´ positiva de 3
ı,
ız
√
se indica mediante + 3 y la negativa mediante − 3.
No existe ra´ cuadrada de los n´meros negativos puesto que cualquier n´mero al cuadrado es positivo.
ız
u
u
Por ejemplo, la ra´ cuadrada de −4 no puede ser ni +2 ni −2 puesto que 22 = (−2)2 = 4.
ız
De forma similar se definen las ra´ c´bicas, cuartas, etc. La ra´ c´bica de N es un n´mero que elevado
ıces u
ız u
u
al cubo es igual a N . La ra´ cuarta de N es un n´mero que elevado a la cuarta es igual a N . Por ejemplo:
ız
u
√
3
8=2
porque 23 = 8
√
3
−8 = −2
porque (−2)3 = −8
√
4
81 = 3
porque 34 = 81
√
4
81 = −3
porque (−3)4 = 81
Todos los n´meros, positivos y negativos, tienen una unica ra´ c´bica. Sin embargo, como en el caso
u
´
ız u
de la ra´ cuadrada, los n´ meros positivos tienen dos ra´
ız
u
ıces cuartas y los n´meros negativos no tienen
u
ninguna.

5. 1.3. LAS RA´
ICES COMO POTENCIAS DE EXPONENTE FRACCIONARIO.
En general, la ra´ en´sima de un n´mero N es un n´mero
ız e
u
u
√
n
√
n
5
N que elevado al exponente n es igual a N :
n
N
=N
Esta definici´n, la podemos expresar tambi´n de la siguiente forma:
o
e
√
n
xn = N ⇐⇒ x = N
en donde se aprecia que la ra´ permite despejar una inc´gnita que est´ elevada a un exponente. En la
ız
o
a
√
expresi´n n N , N es el radicando y n es el ´
o
ındice de la ra´
ız.
En general, existe una unica ra´ de ´
´
ız
ındice impar para todos los n´meros. Los n´meros positivos tienen
u
u
dos ra´
ıces de ´
ındice par y los n´meros negativos no tienen ninguna.
u
Las ra´
ıces tienen las propiedades siguientes:
Ra´ de un producto:
ız
√
√
√
n
n
n
M ·N = M · N
La ra´ de un producto es igual al producto de las ra´
ız
ıces.
Ra´ de un cociente:
ız
√
n
M
n M
= √
n
N
N
La ra´ de un cociente es igual al cociente de las ra´
ız
ıces.
Ra´ de una potencia. Siempre que existan las ra´
ız
ıces se verifica que:
√
n
Nm =
√
n
m
N
La ra´ de una potencia es igual a la potencia de la ra´
ız
ız.
Ra´ de una ra´
ız
ız:
m
√
n
N=
√
mn
N
La ra´ de una ra´ es una ra´ cuyo ´
ız
ız
ız
ındice es el producto de los ´
ındices.
Propiedad de simplificaci´n:
o
√
√
np
n
N mp = N m
El ´
ındice de la ra´ y el exponente del radicando pueden multiplicarse o dividirse por el mismo
ız
n´ mero.
u
1.3.
Las ra´
ıces como potencias de exponente fraccionario.
Podemos pensar ahora qu´ sentido podemos darle a una potencia de exponente fraccionario como, por
e
1
ejemplo 5 2 . Como en el caso de los exponentes negativos no puede considerarse como un producto de
factores iguales pues no tiene sentido multiplicar 5 por s´ mismo media vez.
ı
Se trata entonces, de definir este n´mero de tal forma que se cumplan las propiedades de las potencias que
u
hemos visto. Elevando este n´mero al cuadrado y aplicando la propiedad de la potencia de otra potencia
u
resulta:
1
52
2
= 5 2 ·2 = 51 = 5
1

6. 1. RA´
ICES Y LOGARITMOS
6
1
Vemos que 5 2 es un n´mero que, elevado al cuadrado, es igual 5. Pero el n´mero que elevado al cuadrado
u
u
√
es 5 es 5. Por consiguiente:
√
1
52 = 5
En general:
1
an =
√
n
a
puesto que
y si el numerador es distinto de 1:
√
m
a n = n am
puesto que
1
an
n
= a n ·n = a1 = a
m
1
1
m
a n = an
=
√
n
a
m
=
√
n
am
Es decir, el denominador del exponente es el ´
ındice de la ra´ y el numerador es el exponente del radicando.
ız
1.4.
Operaciones con radicales.
Vamos a ver algunos ejemplos de las operaciones m´s usuales con radicales.
a
Extraer factores de la ra´
ız:
√
√
√
128 = 64 · 2 = 8 2
√
√
√
3
3
3
24 = 8 · 3 = 2 3
√
√
√
27x5 = 9x4 · 3x = 3x2 3x
Introducir factores en la ra´
ız:
√
√
√
5 6 = 25 · 6 = 150
√
√
√
3
3
3
3 10 = 27 · 10 = 270
√
√
√
2x3 5x = 4x6 · 5x = 20x7
Multiplicar o dividir radicales. Si las ra´
ıces tienen el mismo ´
ındice, se multiplican o dividen los
radicandos. Si tienen distinto ´
ındice, aprovechando la propiedad de simplificaci´n, se reducen a
o
´
ındice com´n y despu´s se multiplican o dividen los radicandos:
u
e
√ √
√
√
18 6 = 18 · 6 = 108
√ √
√
√ √
√
6
6
6
3
6
5 10 = 53 102 = 53 · 102 = 12500
√
√
√
√
√
√
√
3
4
12
12
12
12
2x 5x2 ; 3x3 =
26 x6
54 x8
33 x9 =
1080000x23
Suma de radicales. Solamente puede encontrarse una expresi´n m´s sencilla en el caso de que los
o
a
radicales sean semejantes, esto es, radicales en los que despu´s de extraer factores queden ra´
e
ıces
iguales. Si no sucede as´ la suma se deja indicada.
ı,
√
√
√
√
5 6 + 3 6 = (5 + 3) 6 = 8 6
√
√
√
√
√
√
√
√
√
2 50 + 3 32 = 2 25 · 2 + 3 16 · 2 = 2 · 5 2 + 3 · 4 2 = 10 2 + 12 2 = 22 2
√
√
2− 3
esta suma debe dejarse indicada
Racionalizar denominadores. Se trata de obtener fracciones equivalentes sin ra´
ıces en el denominador. La t´cnica es diferente seg´n aparezca o no en el denominador una suma o diferencia de
e
u
ra´
ıces:
√
√
√
5 3
5 3
5 3
5
√ = √ √ =
=
2·3
6
2 3
2 3 3
√
√
√
3
3
2
3
3 5
3 25
3 3 25
√ = √ √ = √
=
3
3
3
3
5
5
5 52
53
√
√
√
2
2( 3 + 1)
2( 3 + 1)
2( 3 + 1)
√
√
= √
=
=
3−1
2
3−1
( 3 − 1)( 3 + 1)

7. 1.5. LOGARITMOS.
1.5.
7
Logaritmos.
Sea a un n´mero positivo. Se llama logaritmo en base a del n´mero N y se representa mediante loga N
u
u
a la soluci´n de la ecuaci´n ax = N :
o
o
ax = N =⇒ x = loga N
Ejemplos:
3x = 81
=⇒ x = log3 81 = 4
2x = 8
=⇒ x = log2 8 = 3
x
1
5
5 =
√
3x = 3
=⇒ x = log5
=⇒ x = log3
1
5
√
= −1
3=
1
2
Tambi´n puede definirse de la siguiente forma. Sea a un n´mero positivo, se llama logaritmo en base a
e
u
del n´mero N y se representa mediante loga N al exponente que hay que poner a a para obtener N .
u
Ejemplos:
log7 49 = 2
ya que
72 = 49
log5 125 = 3
ya que
53 = 125
1
2
ya que
42 = 2
log4 2 =
1
Primeras propiedades:
Puesto que para a > 0 las potencias de a son positivas, la ecuaci´n ax = N no tiene soluci´n en
o
o
el caso de que N sea negativo o cero. En consecuencia, solamente existen los logaritmos de los
n´ meros positivos.
u
Puesto que a0 = 1, el logaritmo de 1 es igual a 0 en cualquier base:
a0 = 1 ⇐⇒ loga 1 = 0
Puesto que a1 = a, el logaritmo de la base es igual a 1:
a1 = a ⇐⇒ loga a = 1
1.6.
Propiedades de las logaritmos.
Logaritmo de un producto. El logaritmo del producto de dos n´meros es igual a la suma de
u
los logaritmos de los factores:
loga (M N ) = loga M + loga N
Demostraci´n:
o
loga M = x =⇒ ax = M
loga N = y =⇒ ay = N
=⇒ loga (M N ) = loga (ax ay ) = loga ax+y = x + y = loga M + loga N
Logaritmo de un cociente. El logaritmo del cociente de dos n´meros es igual a la diferencia de
u
los logaritmos de los factores:
loga
M
= loga M − loga N
N
Demostraci´n:
o
loga M = x =⇒ ax = M
loga N = y =⇒ ay = N
=⇒ loga
ax
M
= loga y = loga ax−y = x − y = loga M − loga N
N
a

8. 1. RA´
ICES Y LOGARITMOS
8
Logaritmo de una potencia. El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo
de la base:
loga M n = n loga M
Demostraci´n:
o
n factores
loga M = loga (M · M · . . . · M )
n
n sumandos
= loga M + loga M + . . . + loga M
= n loga M
Logaritmo de una ra´ El logaritmo de una ra´ es igual al logaritmo del radicando dividido
ız.
ız
por el ´
ındice de la ra´
ız:
√
1
n
loga M = loga M
n
Demostraci´n:
o
√
1
1
n
loga M = loga M n = loga M
n
1.7.
Cambio de base.
Si conocemos los logaritmos en la base a, pueden calcularse los logaritmos en otra base b mediante:
logb N =
loga N
loga b
Demostraci´n:
o
Supongamos que queremos calcular logb N . Si llamamos x a este n´mero:
u
logb N = x =⇒ bx = N
Aplicando el logaritmo base a en esta ultima igualdad:
´
loga bx = loga N =⇒ x loga b = loga N
loga N
=⇒ x = logb N =
loga b
Veamos ahora algunas aplicaciones de la f´rmula del cambio de base:
o
Calcular con una aproximaci´n a las mil´simas log5 60.
o
e
Puesto que la calculadora nos da los logaritmos neperianos:
log5 60 =
ln 60
ln 5
2,544
Obtener sin calculadora log32 16.
Puesto que los dos n´meros son potencias de 2, pasando a esta base:
u
log32 16 =
log2 16
4
=
log2 32
5
1
Demostrar que log a N = − loga N .
Cambiando a la base a:
loga N
loga N
1
= − loga N
log a N =
1 =
−1
loga a

9. 2
POLINOMIOS
2.1.
Polinomios. Valor num´rico.
e
Un polinomio es una expresi´n en la que aparecen operaciones indicadas de sumas y productos entre
o
n´meros y una variable x (indeterminada):
u
P (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0
Los n´meros a0 , a1 , ..., se llaman coeficientes del polinomio y cada uno de los sumandos es un monomio.
u
El exponente de x en cada sumando es el grado del monomio y el mayor de todos ellos es el grado del
polinomio. El coeficiente del monomio de mayor grado es el coeficiente principal del polinomio.
El coeficiente del t´rmino de grado cero, esto es, el n´mero que no multiplica a x se llama t´rmino
e
u
e
independiente del polinomio. Es decir:
n:
an :
a0 :
grado del polinomio
coeficiente principal
t´rmino independiente
e
Por ejemplo 2x3 − 4x2 + 7x − 1 es un polinomio de grado 3, su coeficiente principal es 2 y el t´rmino
e
independiente es −1. El polinomio x2 − x es de grado 2, su coeficiente principal es 1 y el t´rmino
e
independiente es 0.
El valor num´rico (o simplemente valor) de un polinomio para x = a es el n´mero que se obtiene
e
u
sustituyendo en el polinomio la indeterminada x por a. El valor del polinomio P (x) para x = a se
representa por P (a).
Sea, por ejemplo, el polinomio:
P (x) = 2x4 − 5x2 + 4x − 2
Calculemos su valor num´rico para x = −3:
e
P (−3) = 2 · (−3)4 − 5 · (−3)2 + 4 · (−3) − 2
= 2 · 81 − 5 · 9 + 4 · (−3) − 2
= 162 − 45 − 12 − 2
= 103
El valor num´rico de un polinomio se calcula f´cilmente mediante la Regla de Ruffini. Supongamos que
e
a
queremos calcular el valor num´rico para x = a. Escribimos los coeficientes del polinomio en orden
e
9

10. 10
2. POLINOMIOS
descendente (completando con ceros cuando falte alg´ n t´rmino). Multiplicamos el primer coeficiente por
u e
a y sumamos este producto al segundo coeficiente. El n´mero as´ obtenido lo volvemos a multiplicar por
u
ı
a y se lo sumamos al tercer coeficiente. Repitiendo el proceso, el ultimo n´mero que obtenemos es el valor
´
u
num´rico del polinomio.
e
Veamos un ejemplo. Sea de nuevo el polinomio:
P (x) = 2x4 − 5x2 + 4x − 2
Calculemos su valor num´rico para x = −3:
e
0
2
4
−2
18
−39
105
−6
−3
−5
−6
2
13
−35
103
M´s adelante veremos otra forma de interpretar los n´meros que se obtienen mediante la regla de Ruffini.
a
u
2.2.
Ra´
ıces de un polinomio.
Un n´mero r es ra´ de un polinomio si el valor num´rico del polinomio para x = r es cero.
u
ız
e
r ra´ de P (x) ⇐⇒ P (r) = 0
ız
o
Para calcular las ra´
ıces del polinomio P (x) se resuelve la ecuaci´n P (x) = 0. De esta manera, resulta
sencillo calcular las ra´
ıces de los polinomios de primer y segundo grado.
Recordemos que para polinomios de segundo grado, la existencia y el n´mero de las ra´
u
ıces depende del
valor del discriminante.
Sea el polinomio de segundo grado P (x) = ax2 + bx + c. Las ra´
ıces de este polinomios son:
r1 =
−b +
√
b2 − 4ac
2a
y
r2 =
−b −
√
b2 − 4ac
2a
El n´mero ∆ = b2 −4ac se llama discriminante del polinomio. Seg´n los valores del discriminante tenemos:
u
u
∆ > 0: el polinomio tiene dos ra´
ıces diferentes r1 y r2 .
∆ = 0: las dos ra´
ıces coinciden. El polinomio tiene por consiguiente una sola ra´ que podemos
ız
llamar r12 .
∆ < 0: el polinomio no tiene ra´
ıces.
Para calcular las ra´
ıces de polinomios de grado superior, resulta util la siguiente propiedad: las ra´
´
ıces
enteras de un polinomio con coeficientes enteros son divisores del t´rmino independiente:
e
r ra´ de a0 + a1 x + a2 x2 + a3 x3 + · · ·
ız
=⇒
a0 + a1 r + a2 r2 + a3 r3 + · · · = 0
=⇒
a0 = −a1 r − a2 r2 − a3 r3 − · · ·
=⇒
a0 = −r(a1 + a2 r + a3 r2 + · · · )
=⇒
r es divisor de a0
Por ejemplo, las ra´
ıces enteras del polinomio x3 − 6x2 + x − 4 han de ser divisores de 4. Por tanto s´lo
o
pueden ser −1, 1, −2, 2, −4 y 4.

11. 2.3. TEOREMAS DEL FACTOR Y DEL RESTO.
2.3.
11
Teoremas del factor y del resto.
Teorema del factor. Si r es ra´ de un polinomio, ´ste es divisible por x − r
ız
e
r ra´ de P (x) ⇐⇒ P (x) = (x − r)Q(x)
ız
Demostraci´n:
o
Sea r ra´ del polinomio P (x), es decir, P (r) = 0.
ız
Si se divide P (x) por x − r se obtiene un cociente Q(x) y un resto R que cumplen:
P (x) = (x − r)Q(x) + R
Para x = r:
P (r) = (r − r)Q(r) + R
=⇒
R = P (r) = 0
y por consiguiente P (x) = (x − r)Q(x).
De acuerdo con el teorema del factor, si r es una ra´ de un polinomio, en su descomposici´n factorial
ız
o
aparece un factor x − r. Si este factor aparece repetido dos veces, esto es, si en la descomposici´n factorial
o
aparece el factor (x − r)2 , entonces la ra´ r se llama doble. Si apareciese el factor (x − r)3 la ra´ ser´
ız
ız
ıa
triple, si apareciese (x − r)4 ser´ cu´druple, etc.
ıa a
Teorema del resto. El valor num´rico del polinomio para x = a es igual al resto de dividir ese polinomio
e
por x − a.
Demostraci´n:
o
Supongamos que al dividir P (x) por x − a da un cociente C(x) y un resto R. Estos polinomios cumplen
que:
P (x) = (x − a)Q(x) + R
y para x = a:
P (a) = (a − a)Q(a) + R = R
2.4.
Descomposici´n factorial de un polinomio de segundo grado.
o
Seg´n el valor del discriminante ∆ = b2 − 4ac, el polinomio de ax2 + bx + c puede tener cero, una o dos
u
ra´
ıces. Si aplicamos el teorema del factor, en cada uno de estos casos, el polinomio se descompone de la
siguiente forma:
∆ > 0. En este caso, el polinomio tiene dos ra´ r1 y r2 . De acuerdo con el teorema del factor, en
ıces
su descomposici´n factorial deben aparecer los factores x − r1 y x − r2 . Puesto que el coeficiente
o
de x2 es a la descomposici´n en factores debe ser:
o
ax2 + bx + c = a(x − r1 )(x − r2 )
∆ = 0. El polinomio tiene una sola ra´ r12 . Este caso es igual que el anterior suponiendo que las
ız
dos ra´
ıces son iguales. La descomposici´n es:
o
ax2 + bx + c = a(x − r12 )2
∆ < 0. El polinomio no tiene ra´
ıces. No puede descomponerse en factores.

12. 12
2. POLINOMIOS
Ejercicio 1. Descomponer en factores los polinomios (a) 18x2 − 9x − 2 (b) 4x2 − 4x + 1 (c) x2 + x + 1
(a) Calculamos las ra´
ıces del polinomio 18x2 − 9x − 2:
x=
9±
√
81 + 144
9 ± 15
=
36
36
r1 = 2
3
1
r2 = − 6
=⇒
La descomposici´n factorial es:
o
18x2 − 9x − 2 = 18 · x −
2
3
x+
1
6
= (3x − 2) (6x + 1)
(b) Como en el caso anterior:
√
4 ± 16 − 16
1
x=
=
8
2
Puesto que el discriminante es cero, el polinomio tiene una ra´ doble. Su descomposici´n factorial
ız
o
es:
4x2 − 4x + 1 = 4 · x −
1
2
2
2
= (2x − 1)
(c) El discriminante de este polinomio es menor que cero. El polinomio no puede descomponerse en
factores.
Se llaman polinomios primos o irreducibles aqu´llos que no pueden descomponerse en factores de
e
grado inferior. Los polinomios de primer grado son primos puesto que multiplicando polinomios de grado
inferior (polinomios de grado cero,es decir, n´meros) no puede obtenerse un polinomio de primer grado.
u
Acabamos de ver que los polinomios de segundo grado con discriminante menor que cero tambi´n son
e
primos. Puede demostrarse que no existen polinomios primos distintos de estos. En consecuencia, todo
polinomio puede descomponerse como producto de polinomios de primer grado y de polinomios primos
de segundo grado.
2.5.
Regla de Ruffini.
La regla de Ruffini:
2
0
−5
4
−2
2
−6
−6
18
13
−39
−35
105
103
−3
puede interpretarse como una divisi´n en la que:
o
Dividendo:
2x4 − 5x2 + 4x − 2
Divisor:
x+3
Cociente:
2x3 − 6x2 + 13x − 35
Resto:
103
La regla de Ruffini facilita la b´squeda de las ra´ enteras de un polinomio y su descomposici´n factorial.
u
ıces
o
Veamos un ejemplo.

13. 2.5. REGLA DE RUFFINI.
13
Ejercicio 2. Descomponer en factores el polinomio 6x4 − 17x3 − 7x2 + 40x − 12.
´
Buscamos ra´
ıces enteras. Estas deben ser divisores del t´rmino independiente 12. Las posibles ra´
e
ıces
enteras son ±1, ±2, ±3, ±4, ±6 y ±12. Probemos con −1 y +1:
6
−17
−7
40
−12
6
−6
−23
23
16
−16
24
−24
−36
−1
6
−17
−7
40
−12
6
6
−11
−11
−18
−18
22
22
10
1
Vemos que ni −1 ni +1 son ra´
ıces del polinomio. Probemos con −2 y +2:
6
−17
−7
40
−12
6
−12
−29
58
51
−102
−62
124
112
−2
6
−17
−7
40
−12
6
12
−5
−10
−17
−34
6
12
0
2
El n´mero 2 es una ra´ del polinomio, por consiguiente x − 2 es un factor y podemos escribir:
u
ız
6x4 − 17x3 − 7x2 + 40x − 12 = (x − 2)(6x3 − 5x2 − 17x + 6)
Busquemos ahora factorizar 6x3 − 5x2 − 17x + 6. Ya hemos visto que −1, 1 y −2 no son ra´
ıces. Probemos
de nuevo con 2:
6
−5
−17
6
6
12
7
14
−3
−6
0
2
Tenemos de nuevo la ra´ 2. Podemos escribir que:
ız
6x4 − 17x3 − 7x2 + 40x − 12 = (x − 2)(6x3 − 5x2 − 17x + 6)
= (x − 2)(x − 2)(6x2 + 7x − 3)
= (x − 2)2 (6x2 + 7x − 3)
o
Las ra´
ıces del polinomio 6x2 + 7x − 3 las obtenemos resolviendo la ecuaci´n de segundo grado:
6x2 + 7x − 3 = 0
=⇒
x=
−7 ±
√
49 + 72
−7 ± 11
=
12
12
=⇒
con lo que el polinomio factorizado queda finalmente:
6x4 − 17x3 − 7x2 + 40x − 12 = (x − 2)2 (6x2 + 7x − 3)
= (x − 2)2 · 6 x −
1
3
x+
= (x − 2)2 · (3x − 1) (2x + 3)
3
2
r1 = 1
3
r2 = − 3
2

14. 14
2. POLINOMIOS

15. 3
ECUACIONES E INECUACIONES
3.1.
Ecuaciones de primer grado.
El procedimiento general para resolver una ecuaci´n de primer grado es el siguiente:
o
Quitar denominadores multiplicando todos los t´rminos de la ecuaci´n por el m´
e
o
ınimo com´n
u
m´ ltiplo de todos ellos.
u
Quitar par´ntesis.
e
Agrupar t´rminos.
e
Despejar la inc´gnita.
o
Ve´moslo con un ejemplo:
a
Ejercicio 3. Resolver la ecuaci´n:
o
x−4
−4x + 2
5x + 6
− 4(−2x + 1) −
= 2(x − 3) +
5
10
2
Multiplicamos ambos miembros por 10 y simplificamos:
10(x − 4)
10(−4x + 2)
10(5x + 6)
− 10 · 4(−2x + 1) −
= 10 · 2(x − 3) +
5
10
2
2(x − 4) − 40(−2x + 1) − (−4x + 2) = 20(x − 3) + 5(5x + 6)
Quitamos par´ntesis:
e
2x − 8 + 80x − 40 + 4x − 2 = 20x − 60 + 25x + 30
Reducimos y agrupamos t´rminos:
e
86x − 50 = 45x − 30
86x − 45x = 50 − 30
41x = 20
15

16. 16
3. ECUACIONES E INECUACIONES
Finalmente despejamos y obtenemos la soluci´n:
o
x=
20
41
Si despu´s de agrupar t´rminos se encontrase una ecuaci´n del tipo 0 · x = b con b = 0 querr´ decir que
e
e
o
ıa
la ecuaci´n no tiene soluci´n, pues ning´n n´mero multiplicado por 0 da un producto distinto de cero.
o
o
u u
Si se encontrase una ecuaci´n 0 · x = 0 querr´ decir que todo n´mero es soluci´n, pues cualquier n´mero
o
ıa
u
o
u
multiplicado por cero da cero.
3.2.
Ecuaciones de segundo grado.
En la ecuaci´n de segundo grado ax2 + bx + c = 0 se despeja la inc´gnita x mediante la f´rmula conocida:
o
o
o
√
−b ± b2 − 4ac
x=
2a
El n´mero de soluciones depende del signo del discriminante ∆ = b2 − 4ac. Si ´ste es positivo, la suma
u
e
de las dos soluciones vale:
√
√
−b + b2 − 4ac −b − b2 − 4ac
−2b
b
x1 + x2 =
+
=
=−
2a
2a
2a
a
y su producto:
x1 x2 =
−b +
√
√
b2 − 4ac −b − b2 − 4ac
b2 − (b2 − 4ac)
4ac
c
·
=
= 2 =
2a
2a
4a2
4a
a
Si el coeficiente principal vale 1 la suma y el producto de las soluciones son:
x1 + x2 = −b ;
x1 x2 = c
(a = 1)
Ejercicio 4. Obtener una ecuaci´n de segundo grado cuyas soluciones sean x1 = −3, y x2 = 7.
o
Si a = 1 tenemos queda:
x1 + x2 = −3 + 7 = 4 = −b ;
x1 x2 = −3 · 7 = −21 = c
y la ecuaci´n es:
o
x2 − 4x − 21 = 0
A la misma ecuaci´n se llega escribi´ndola en forma factorizada:
o
e
(x + 3) · (x − 7) = 0
Ejercicio 5. Resolver la ecuaci´n:
o
6x2 − 1 +
5x2 − 2
59
2x(3 − x)
=
− 4x2 +
3
6
6
Empezamos quitando denominadores multiplicando todos los t´rminos por 6:
e
6 · 6x2 − 6 · 1 +
6 · 2x(3 − x)
6 · (5x2 − 2)
6 · 59
=
− 6 · 4x2 +
3
6
6
36x2 − 6 + 12x − 4x2 = 5x2 − 2 − 24x2 + 59

17. 3.3. ECUACIONES IRRACIONALES.
17
Quitamos par´ntesis y agrupamos t´rminos en el primer miembro:
e
e
32x2 + 12x − 6 = −19x2 + 57
51x2 + 12x − 63 = 0
17x2 + 4x − 21 = 0
√
−4 ± 44 + 4 · 17 · 21
x=
2 · 17
=⇒
x1 = 1 ;
x2 = −
21
17
La f´rmula de la ecuaci´n de segundo grado permite calcular x en ecuaciones del tipo ax4 + bx2 + c = 0
o
o
(ecuaciones bicuadradas). Llamando t = x2 estas ecuaciones se escriben:
2
at + bt + c = 0
=⇒
2
t=x =
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
=⇒
x=±
−b ±
√
b2 − 4ac
2a
y de forma parecida se resuelven ecuaciones del tipo ax6 + bx3 + c = 0 y similares.
Ejercicio 6. Resolver la ecuaci´n x4 − 13x2 + 36 = 0.
o
Despejando:
2
x =
13 ±
√
132 − 4 · 36
13 ± 5
=
2
2
que nos da las soluciones:
x2 = 9
3.3.
=⇒
x = −3
x=3
x2 = 4
=⇒
x = −2
x=2
Ecuaciones irracionales.
Se llaman as´ las ecuaciones en que la inc´gnita aparece bajo el signo de ra´ Para resolver estas ecuaciones
ı
o
ız.
seguiremos los siguientes pasos:
Despejar la ra´
ız.
Elevar ambos miembros de la igualdad al cuadrado.
Resolver la ecuaci´n resultante.
o
Comprobar las soluciones.
El ultimo paso es necesario porque, al elevar al cuadrado, la ecuaci´n que resulta es de grado superior y
´
o
puede tener m´s soluciones que la ecuaci´n original, aparte de que puede tener soluciones para las que la
a
o
ra´ cuadrada no tenga sentido. Por ejemplo, la ecuaci´n
ız
o
x−1=3
tiene una sola soluci´n x = 4, pero la ecuaci´n
o
o
(x − 1)2 = 32
tiene dos soluciones x = 4 y x = −2.
√
Ejercicio 7. Resolver la ecuaci´n 40 − x2 + 4 = x
o

18. 18
3. ECUACIONES E INECUACIONES
Despejamos la ra´
ız:
40 − x2 = x − 4
Elevamos al cuadrado:
40 − x2
2
= (x − 4)2
=⇒
40 − x2 = x2 − 8x + 16
Resolvemos
0 = 2x2 − 8x − 24
=⇒
x2 − 4x − 12 = 0
=⇒
x=6
x = −2
Si comprobamos las soluciones vemos que x = 6 es v´lida pero x = −2 no lo es, porque para este
a
valor el primer miembro es igual a 10 y el segundo a −2.
3.4.
Ecuaciones de grado superior al segundo.
Estas ecuaciones deben resolverse factorizando el polinomio con los m´todos aprendidos en el tema antee
rior.
Ejercicio 8. Resolver la ecuaci´n x3 − 6x2 + 3x + 10 = 0.
o
Buscamos una ra´ entera entre los divisores de 10:
ız
1
−6
3
10
1
1
−5
−5
−2
−2
8
1
1
−6
3
10
1
−1
−7
7
10
−10
0
−1
Vemos que −1 es una ra´ del polinomio y que, por consiguiente, x + 1 es un factor. Descomponemos el
ız
polinomio en factores y la ecuaci´n queda:
o
(x + 1)(x2 − 7x + 10) = 0
No es preciso seguir descomponiendo el polinomio pues una vez que lo tenemos factorizado en polinomios
de primer y segundo grado ya podemos resolver la ecuaci´n. Igualando a cero cada uno de los factores
o
resulta:
x+1=0
=⇒
x1 = −1
x − 7x + 10 = 0
=⇒
x2 = 2 ;
2
3.5.
x3 = 5
Ecuaciones exponenciales y logar´
ıtmicas.
Hay que tener en cuenta que de la definici´n de logaritmo
o
loga N = x
⇐⇒
ax = N
se desprende que en igualdades de este tipo, un exponente se despeja como logaritmo de la misma base,
y que el argumento de la funci´n logaritmo se despeja como una exponencial de la misma base.
o
Para transformar las ecuaciones hasta obtener igualdades de este tipo deben aplicarse las propiedades de
las potencias y logaritmos.

19. 3.6. INECUACIONES.
19
Ejercicio 9. Resolver la ecuaci´n ln x3 − ln x = ln(2x + 15)
o
Aplicando la propiedad del logaritmo del cociente:
x3
= ln(2x + 15)
x
ln x2 = ln(2x + 15)
ln
x2 = 2x + 15
x2 − 2x − 15 = 0
´
Las soluciones de esta ultima ecuaci´n son x = 5 y x = −3. Esta ultima no puede ser soluci´n de la
´
o
´
o
ecuaci´n original porque no existen logaritmos de n´meros negativos.
o
u
Ejercicio 10. Resolver la ecuaci´n 5x+3 − 5x−1 − 3120 = 0
o
Aplicando las propiedades de las potencias de la misma base:
53 5x −
5x
− 3120 = 0
5
Quitando denominadores y despejando:
625 · 5x − 5x − 15600 = 0
(625 − 1)5x = 15600
15600
5x =
= 25
624
y, por consiguiente, x = 2.
3.6.
Inecuaciones.
Una inecuaci´n es una desigualdad que se satisface solamente para algunos valores de las inc´gnitas que
o
o
son las soluciones de la inecuaci´n. Ejemplos de inecuaciones son:
o
3x + 5 ≥ x ;
3x2 − 5x + 6 < 0 ;
x−4
≤5
x+2
Una inecuaci´n puede transformarse en otra equivalente casi con las mismas reglas que una ecuaci´n. Es
o
o
decir, pueden cambiarse sumandos de uno a otro miembro cambi´ndoles el signo y pueden multiplicarse
a
ambos miembros de la desigualdad por el mismo n´mero positivo.
u
´
Unicamente hay que tener en cuenta que si se multiplican o dividen los dos miembros por el mismo
n´mero negativo, hay que cambiar el sentido de la desigualdad. Por ejemplo:
u
5x < 10
=⇒
x<
10
5
=⇒
x<2
−5x < 10
=⇒
x>
10
−5
=⇒
x > −2
sin embargo
As´ una inecuaci´n de primer grado puede resolverse de forma pr´cticamente igual que una ecuaci´n.
ı,
o
a
o
Veamos un ejemplo.
Ejercicio 11. Resolver la inecuaci´n:
o
2(x − 3)
x 3(x − 2)
−x≤ +
5
2
10

20. 20
3. ECUACIONES E INECUACIONES
Aplicamos el mismo procedimiento que para resolver una ecuaci´n de primer grado. Si debemos multiplicar
o
o dividir por un n´mero negativo, cambiaremos el sentido de la desigualdad:
u
10 · 2(x − 3)
10 · x 10 · 3(x − 2)
− 10 · x ≤
+
5
2
10
4(x − 3) − 10x ≤ 5x + 3(x − 2)
4x − 12 − 10x ≤ 5x + 3x − 6
− 6x − 12 ≤ 8x − 6
− 6x − 8x ≤ −6 + 12
− 14x ≤ 6
x≥
6
−14
x≥−
o bien
3
7
La soluci´n puede expresarse tambi´n como el intervalo − 3 , ∞ .
o
e
7
De forma general, para resolver una inecuaci´n de cualquiera de las formas
o
P (x) < 0 ;
P (x) ≤ 0 ;
P (x) > 0 ;
P (x) ≥ 0
se procede de la forma siguiente:
Se calculan las ra´
ıces del polinomio P (x).
Las ra´
ıces obtenidas en el apartado anterior dividen la recta real en varios intervalos. Se calcula
el signo del polinomio en cada uno de los intervalos.
La soluci´n est´ formada por los intervalos que cumplen la inecuaci´n.
o
a
o
Para ver si el polinomio toma valores positivos o negativos en un intervalo basta probar con un n´ mero
u
del intervalo. Adem´s debe tenerse en cuenta que en las ra´
a
ıces simples (o de multiplicidad impar) el
polinomio cambia de signo y en las ra´
ıces dobles (o de multiplicidad par) el polinomio no cambia de
signo. Veamos un ejemplo.
Ejercicio 12. Resolver la inecuaci´n x2 − 2x − 3 > 0
o
Las ra´
ıces del polinomio son x1 = 3 y x2 = −1. Son ra´
ıces simples.
Estudiamos el signo del polinomio. Tenemos el siguiente esquema de signos:
+
0
−1
−
0
+
3
Como buscamos los intervalos en los que la funci´n es positiva, la soluci´n es:
o
o
(−∞, −1) ∪ (3, ∞)

21. 3.6. INECUACIONES.
21
Ejercicio 13. Resolver la inecuaci´n x3 − x2 − 8x + 12 ≤ 0
o
Para calcular las ra´
ıces, descomponemos en factores el polinomio buscando sus ra´
ıces enteras:
1
2
1
−1 −8
12
2
2 −12
1 −6
0
y tenemos una primera factorizaci´n x3 − x2 − 8x + 12 = (x − 2)(x2 + x − 6).
o
Las ra´
ıces de x2 + x − 6 son 2 y −3. Por consiguiente, tenemos que:
x3 − x2 − 8x + 12 = (x − 2)2 (x + 3)
Las ra´
ıces del polinomio son x1 = 2 (doble) y x2 = −3.
El signo del polinomio responde al siguiente esquema:
0
−
0
+
−3
+
2
Obs´rvese que en x = 2 que es una ra´ doble, el polinomio no cambia de signo.
e
ız
La soluci´n de la inecuaci´n propuesta es el intervalo (−∞, −3]
o
o
Otro tipo de inecuaciones importantes son las de la forma:
P (x)
<0;
Q(x)
P (x)
≤0;
Q(x)
P (x)
>0;
Q(x)
P (x)
≥0
Q(x)
donde P (x) y Q(x) son polinomios. Este problema se reduce al caso anterior si tenemos en cuenta que
P (x)
´
el signo de Q(x) es igual que el de P (x)Q(x). Unicamente hay que tener en cuenta que en las ra´
ıces del
denominador no existe la fracci´n y, por consiguiente, no pueden ser soluciones. Ve´moslo con un ejemplo.
o
a
Ejercicio 14. Resolver la inecuaci´n:
o
4 − x2
≥0
x+1
Consideremos la inecuaci´n
o
(4 − x2 )(x + 1) ≥ 0
Las ra´
ıces de este polinomio son 2, −2 y −1. Calculemos el signo del polinomio y tengamos en cuenta
o
que la ra´ del denominador (x = −1), no puede ser soluci´n:
ız
+
0
−2
−
+
−1
0
−
2
Hemos indicado con el s´
ımbolo (no existe) la ra´ del denominador x = −1. Del diagrama de signos se
ız
desprende que la soluci´n de la inecuaci´n es (−∞, −2] ∪ (−1, 2].
o
o

22. 22
3. ECUACIONES E INECUACIONES
Ejercicio 15. Resolver la inecuaci´n:
o
x2 − x + 2
≤2
x
La inecuaci´n es equivalente a:
o
x2 − x + 2
−2≤0
x
=⇒
x2 − 3x + 2
≤0
x
Resolvamos
(x2 − 3x + 2)x ≤ 0
eliminando la ra´ del denominador (x = 0) como posible soluci´n. Las ra´ del polinomio producto son
ız
o
ıces
x = 1, x = 2 y x = 0:
−
+
0
0
1
La soluci´n es (−∞, 0) ∪ [1, 2].
o
−
0
2
+

23. 4
GEOMETR´
IA
4.1.
´
Angulos en la circunferencia.
´
Angulo central. Es el que tiene el v´rtice en el centro de la circunferencia (figura 4.1). Se identifica
e
con el arco, de modo que escribiremos
α =AB
´
Figura 4.1: Angulo central, inscrito y semiinscrito
´
Angulo inscrito. Es el que tiene su v´rtice en la circunferencia y sus lados son secantes a ella. El
e
´ngulo inscrito es la mitad del ´ngulo central que abarca el mismo arco o, brevemente, es igual a
a
a
la mitad del arco:
α=
AB
2
En efecto, recordando que el ´ngulo exterior de un tri´ngulo es igual a la suma de los interiores
a
a
no adyacentes, de la figura 4.2 se deduce que:
β1 + β2 = 2α1 + 2α2 = 2(α1 + α2 )
23

24. 4. GEOMETR´
IA
24
Figura 4.2: Medida del ´ngulo inscrito
a
De aqu´ se sigue que:
ı
- Todos los ´ngulos inscritos en el mismo arco son iguales.
a
- El ´ngulo inscrito en una semicircunferencia es recto.
a
´
Angulo semiinscrito. Tiene el v´rtice en la circunferencia, un lado secante y otro tangente a la
e
circunferencia (ver figura 4.3). El ´ngulo semiinscrito, como el inscrito, es igual a la mitad del arco
a
que abarca. De la figura resulta:
α=
AB
AB
=
2
2
pues los arcos AB y AB son iguales por estar comprendidos entre paralelas.
Figura 4.3: El ´ngulo semiinscrito mide la mitad del arco
a
´
Angulo interior. Tiene el v´rtice en el interior de la circunferencia (figura 4.4). El ´ngulo interior
e
a
es igual a la semisuma de los arcos que abarca. Dibujamos un ´ngulo inscrito de lados paralelos y
a
tenemos que:
α=
BC
AC+AB
AB + A B
=
=
2
2
2
Como en el caso anterior, los arcos A C y AB son iguales por estar comprendidos entre paralelas.
´
Angulo exterior. Es el que tiene el v´rtice en el exterior de la circunferencia. El ´ngulo exterior es
e
a
igual a la semidiferencia de los arcos que abarca. Dibujamos un ´ngulo inscrito de lados paralelos
a
y tenemos que:
α=
CB − A B
AB − A B
AC
=
=
2
2
2

25. 4.2. POTENCIA DE UN PUNTO RESPECTO DE UNA CIRCUNFERENCIA
25
´
Figura 4.4: Angulo interior, exterior y circunscrito
´
Angulo circunscrito. Como en el caso anterior es igual a la semidiferencia de los dos arcos que
comprende.
4.2.
Potencia de un punto respecto de una circunferencia
Consideremos dos cuerdas de una circunferencia que se cortan en un punto P (ver figura 4.5). Las cuerdas
Figura 4.5: Teorema de las cuerdas y potencia de un punto
quedan divididas en segmentos P A, P B, P A y P B que cumplen:
PA · PB = PA · PB
En efecto, los tri´ngulos P AB y P A B son semejantes porque tienen sus ´ngulos iguales. Entonces, por
a
a
la proporcionalidad de sus lados se verifica que:
PA
PB
=
=⇒ P A · P B = P A · P B
PA
PB
Si las cuerdas no se cortan pero s´ sus prolongaciones, es decir, si el punto P es exterior a la circunferencia,
ı
de la semejanza de los tri´ngulos P AB y P A B, se deduce que tambi´n se cumple:
a
e
PA · PB = PA · PB
Adem´s, en el caso de que la recta sea tangente a la circunferencia, los dos puntos de corte coinciden de
a
frma que:
PA · PB = PA · PB = PT2
Este n´mero que depende de las posiciones relativas del punto y la circunferencia se llama potencia del
u
punto respecto de la circunferencia. La potencia se considera positiva si el punto es exterior y negativa si
es interior a la circunferencia.

26. 4. GEOMETR´
IA
26
4.3.
Teorema de Tales.
Si dos rectas son cortadas por paralelas, los segmentos que resultan son proporcionales (figura 4.6):
OA
AB
=
OA
AB
Figura 4.6: Teorema de Tales
Demostraci´n:
o
En el tri´ngulo OAA se verifica que:
a
1
1
´
Area OAA = OA · h = OA · h
2
2
OA · h = OA · h
OA
h
=
OA
h
Los tri´ngulos AA B y AA B tienen el mismo ´rea puesto que tienen la misma base (AA ) y la
a
a
misma altura (la distancia entre las dos paralelas). Entonces:
´
´
Area AA B = Area AA B
1
1
AB · h = A B · h
2
2
h
AB
=
AB
h
Combinando ambos resultados resulta:
OA
AB
=
OA
AB
4.4.
Pol´
ıgonos semejantes.
´
Dos pol´
ıgonos son semejantes si sus ´ngulos son iguales y sus lados proporcionales. Esta es la manera
a
de expresar matem´ticamente el hecho de que las figuras tienen la misma forma y diferente tama˜o. Un
a
n
procedimiento para dibujar pol´
ıgonos semejantes se muestra en la siguiente figura (figura 4.7).

27. 4.4. POL´
IGONOS SEMEJANTES.
27
Figura 4.7: Pol´
ıgonos semejantes
Figura 4.8: Tri´ngulos semejantes (1)
a
Dos tri´ngulos que tienen los mismos ´ngulos son semejantes. Es decir, si los ´ngulos son iguales, necea
a
a
sariamente los lados son proporcionales. Vamos a demostrar esta propiedad a partir del teorema de Tales.
Sean los tri´ngulos ABC y A B C cuyos ´ngulos son iguales.
a
a
Puesto que estos dos tri´ngulos tienen sus ´ngulos iguales, podemos dibujarlos uno sobre otro como se
a
a
muestra en la figura 4.9 para poder aplicar el teorema de Tales.
Figura 4.9: Tri´ngulos semejantes (2)
a
Aplicando el teorema tenemos que:
AB
BB
=
AC
CC

28. 4. GEOMETR´
IA
28
y aplicando la conocida propiedad de las proporciones
a
c
=
b
d
=⇒
a
c
a+c
= =
b
d
b+d
resulta:
AB
BB
AB + BB
AB
=
=
=
AC
CC
AC + CC
AC
o bien:
AB
AB
AB
AC
=
=⇒
=
AC
AC
AB
AC
Tenemos por consiguiente que los lados AB y AC del tri´ngulo peque˜o son proporcionales a los lados
a
n
A B y A C del tri´ngulo grande.
a
Queda por demostrar que tambi´n los lados BC y B C tambi´n son proporcionales. Para ello, basta
e
e
dibujar los tri´ngulos con el v´rtice B com´n y proceder de la misma manera:
a
e
u
Figura 4.10: Tri´ngulos semejantes (3)
a
Tenemos pues, que si los ´ngulos del tri´ngulo son iguales, los lados son proporcionales. Esta propiedad
a
a
solamente se cumple para los tri´ngulos. Por ejemplo, un cuadrado y un rect´ngulo tienen los cuatro
a
a
a
´ngulos iguales pero no son figuras semejantes.
Del teorema de Tales pueden deducirse tambi´n los siguientes criterios de semejanza de tri´ngulos:
e
a
Dos tri´ngulos son semejantes si sus tres lados son proporcionales.
a
Dos tri´ngulos son semejantes si tienen dos lados proporcionales e iguales los ´ngulos comprendidos.
a
a
Figura 4.11: Teorema de la paralela media

29. 4.5. MEDIATRICES. CIRCUNCENTRO.
29
Una consecuencia de la semejanza de los tri´ngulos que tienen los ´ngulos iguales es lo que se conoce como
a
a
teorema de la paralela media: si por el punto medio de un lado de un tri´ngulo trazamos una paralela a
a
otro lado se cumple que:
La paralela divide al otro lado en partes iguales.
El segmento de paralela entre los lados es la mitad que el tercer lado.
El ´rea del tri´ngulo determinado por la paralela es un cuarto de la del primer tri´ngulo.
a
a
a
Por la semejanza de los tri´ngulos AM M y ABC se cumple que (ver figura 4.11):
a
AM
AM
MM
1
=
=
=
AB
AC
BC
2
=⇒
AC = 2 AM ,
BC = 2 M M
Finalmente, el ´rea del tri´ngulo ABC es cuatro veces mayor que la del tri´ngulo AM M porque su base
a
a
a
y su altura son el doble.
4.5.
Mediatrices. Circuncentro.
Figura 4.12: Propiedad de la mediatriz. Circuncentro
Mediatriz de un segmento es la perpendicular por el punto medio. Los puntos de la mediatriz tienen la
propiedad de que equidistan de los extremos del segmento. Por ello, la mediatriz puede definirse tambi´n
e
como el lugar geom´trico de los puntos que equidistan de otros dos (ver figura 4.12).
e
Las tres mediatrices de los lados de un tri´ngulo se cortan en un punto. En efecto, todos los puntos de la
a
mediatriz del lado a equidistan de B y C. Todos los puntos de la mediatriz del lado b equidistan de A y
C. Entonces, el punto de intersecci´n de las dos mediatrices equidista de los tres v´rtices y pertenece a
o
e
la mediatriz de C.
El punto de corte de las mediatrices se llama circuncentro y, por estar a la misma distancia de los tres
v´rtices es el centro de la circunferencia circunscrita al tri´ngulo (ver figura 4.12).
e
a
4.6.
Bisectrices. Incentro.
Se llama bisectriz de un ´ngulo a la recta que divide el ´ngulo en dos ´ngulos iguales. La bisectriz tiene la
a
a
a
propiedad de que todos sus puntos equidistan de los lados del ´ngulo. Por esta raz´n, la bisectriz puede
a
o
definirse tambi´n como el lugar geom´trico de los puntos que equidistan de dos rectas.
e
e

30. 4. GEOMETR´
IA
30
Figura 4.13: Propiedad de la bisectriz. Incentro
Las tres bisectrices de los ´ngulos de un tri´ngulo se cortan en un punto que se llama incentro del
a
a
tri´ngulo. Este punto, por la propiedad de la bisectriz, es equidistante de los tres lados del tri´ngulo y
a
a
es, por tanto, el centro de la circunferencia inscrita.
´
Figura 4.14: Area del tri´ngulo y propiedad de la bisectriz de un tri´ngulo
a
a
El ´rea del tri´ngulo puede calcularse a partir del radio del c´
a
a
ırculo inscrito. De la figura ?? se deduce que
el ´rea del tri´ngulo ABC es igual a la suma de las ´reas de los tri´ngulos BIC, CIA y AIB. Entonces:
a
a
a
a
S=
1
1
1
1
ar + br + cr = (a + b + c)r = pr
2
2
2
2
donde p es el semiper´
ımetro.
Teorema de la bisectriz: la bisectriz de un ´ngulo de un tri´ngulo divide al lado opuesto en segmentos
a
a
proporcionales a los lados contiguos. En la figura 4.14:
m
n
=
a
b
En la figura 4.14 los ´ngulos marcados como α son iguales por estar inscritos en arcos iguales. Los
a
a
ı
tri´ngulos P BC y P AD son semejantes porque tienen los ´ngulos iguales. De aqu´ se deduce que:
a
a
m
=
x
y
=⇒
m
y
=
a
x

31. 4.7. ALTURAS. ORTOCENTRO.
31
Tambi´n son semejantes los tri´ngulos P BD y P AC:
e
a
b
n
=
x
y
=⇒
n
y
=
b
x
y de las dos igualdades se deduce que:
m
n
=
a
b
Vamos a obtener una f´rmula que nos permita obtener las longitudes m y n conocidos los lados del
o
tri´ngulo. Si llamamos c = m + n a la longitud del lado opuesto al v´rtice C, aplicando una conocida
a
e
propiedad de las proporciones:
n
m+n
c
m
= =
=
a
b
a+b
a+b
4.7.
=⇒

ac
m =

a+b

n = bc
a+b
Alturas. Ortocentro.
Figura 4.15: Alturas. Ortocentro de un tri´ngulo
a
Las alturas de un tri´ngulo son las perpendiculares por un v´rtice al lado opuesto. Las tres alturas se
a
e
cortan en un punto que se llama ortocentro.
Como puede verse en la figura 4.15 las alturas del tri´ngulo ABC son las mediatrices del tri´ngulo A B C
a
a
construido trazando por los v´rtices paralelas a los lados opuestos.
e
Una altura divide el tri´ngulo en dos tri´ngulos rect´ngulos (4.15).
a
a
a
4.8.
Medianas. Baricentro.
Las medianas de un tri´ngulo son los segmentos desde un v´rtice al punto medio del lado opuesto. Las
a
e
medianas dividen el tri´ngulo en otros dos de igual ´rea.
a
a
La figura 4.16 se ha construido de la manera siguiente: por el punto medio del lado BC se a trazado la
paralela al lado AB. De acuerdo con el teorema de la paralela media, esta recta corta al lado AC en su
e
punto medio N . Despu´s se han dibujado las dos medianas AM y BN que se cortan en el punto G.

32. 4. GEOMETR´
IA
32
Figura 4.16: Propiedad de las medianas
Las tri´ngulos ABG y M N G son semejantes pues tienen los ´ngulos iguales. Por consiguiente, sus lados
a
a
son proporcionales:
AB
AG
BG
=
=
MN
MG
NG
Por el teorema de la paralela media M N es la mitad de AB. Por consiguiente, en la igualdad anterior la
constante de proporcionalidad es 2:
AB
AG
BG
=
=
=2
MN
MG
NG
y entonces:
AG = 2 · M G;
BG = 2 · N G
Hemos demostrado la siguiente propiedad: las medianas de un tri´ngulo se cortan en un punto tal que su
a
distancia al v´rtice es doble que al punto medio.
e
De la propiedad anterior se deduce que las tres medianas deben cortarse en un punto pues la tercera
mediana deber´ dividir a las otras dos en segmentos en la proporci´n dos a uno y, por tanto, deber´ pasar
a
o
a
por el punto G. Este punto se llama baricentro del tri´ngulo.
a
4.9.
Tri´ngulos rect´ngulos.
a
a
Si en un tri´ngulo ABC rect´ngulo en A se traza la altura correspondiente a la hipotenusa (AH) el
a
a
tri´ngulo queda dividido en dos tri´ngulos rect´ngulos CHA y BHA. Estos dos tri´ngulos son semejantes
a
a
a
a
entre s´ y semejantes al tri´ngulo ABC. En la figura 4.17 se han marcado con colores los ´ngulos iguales.
ı
a
a
Estos ´ngulos son iguales por tener los lados perpendiculares.
a
De la semejanza de los tri´ngulos se deducen los teoremas que se exponen a continuaci´n:
a
o
Teorema del cateto. De la semejanza de los tri´ngulos CHA y ABC se deduce que:
a
m
b
=
a
b
=⇒
b2 = am
y de la semejanza de los tri´ngulos BHA y ABC:
a
n
c
=
=⇒ c2 = an
a
c
que puede expresarse as´ un cateto al cuadrado es igual a la hipotenusa por su proyecci´n sobre
ı:
o
ella (teorema del cateto).

33. ´
´
4.9. TRIANGULOS RECTANGULOS.
33
Figura 4.17: Tri´ngulos rect´ngulos
a
a
Teorema de Pit´goras. Como es sabido, el teorema de Pit´goras establece que la suma de los
a
a
cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa. El teorema del cateto permite
demostrar el teorema de Pit´goras:
a
b2 = am
c2 = an
=⇒
b2 + c2 = am + an = a(m + n) = a2
Teorema de la altura. De la semejanza de los tri´ngulos CHA y BHA deducimos que:
a
m
h
=
h
n
=⇒
h2 = mn
El cuadrado de la altura es igual al producto de las longitudes de los segmentos en que divide a la
hipotenusa (teorema de la altura).

34. 34
4. GEOMETR´
IA

35. 5
TRIGONOMETR´
IA
5.1.
Medida de ´ngulos.
a
Como es sabido, los ´ngulos pueden medirse en grados sexagesimales. Un ´ngulo de un grado resulta de
a
a
dividir una vuelta en 360 partes. Los grados sexagesimales se dividen en 60 minutos y ´stos a su vez, se
e
subdividen en 60 segundos.
Otra unidad com´n de medida de ´ngulos es el radi´n. El radi´n se define como el ´ngulo al que corresu
a
a
a
a
ponde un arco de longitud igual al radio (ver figura 5.1).
Figura 5.1: Angulo de un radi´n y medida de un ´ngulo en radianes
a
a
En general, la medida de un ´ngulo en radianes se define como la raz´n entre la longitud del arco y el
a
o
radio (figura ??):
ϕ(radianes) =
l
r
Puesto que una vuelta se corresponde con un arco de longitud 2πr, la medida de una vuelta en radianes
es:
1 vuelta =
2πr
= 2π
r
Una vuelta son 2π radianes y media vuelta, esto es 180o son π radianes. Esta equivalencia permite pasar
35

36. 5. TRIGONOMETR´
IA
36
de grados a radianes (multiplicando por π y dividiendo por 180o ) o de radianes a grados (multiplicando
por 180o y dividiendo por π).
Ejercicio 16. Calcular la medida del ´ngulo de un radi´n en grados, minutos y segundos.
a
a
1 radian =
180
π
57,2958o
57o 17 45
Las f´rmulas de ´lgunas ´reas se escriben de una forma m´s simple cuando el ´ngulo se expresa en
o
a
a
a
a
radianes. Por ejemplo, para la longitud del arco y la superficie del sector circular tenemos:
l(arco) = rϕ
5.2.
S(sector) =
1 2
r ϕ
2
(ϕ en radianes)
Razones trigonom´tricas de ´ngulos agudos.
e
a
Consideremos un tri´ngulo rect´ngulo como el de la figura 5.2. En este tri´ngulo es conocida una relaci´n
a
a
a
o
Figura 5.2: Tri´ngulo Rect´ngulo
a
a
entre los ´ngulos:
a
A + B + C = 180o
B + C = 90o
o
y una relaci´n entre los lados:
o
a2 = b2 + c2
Vamos a definir unas funciones que relacionan ´ngulos y lados. Estas funciones se llaman trigonom´tricas
a
e
o circulares (pues como se ver´ se definen tambi´n sobre la circunferencia) y son las siguientes:
a
e
sen B =
cateto opuesto
b
=
hipotenusa
a
funci´n seno
o
cos B =
cateto contiguo
c
=
hipotenusa
a
funci´n coseno
o
tg B =
b
cateto opuesto
=
cateto contiguo
c
funci´n tangente
o
Como vemos, el seno y el coseno relacionan los catetos con la hipotenusa y la tangente relaciona los
catetos entre s´
ı.
Tambi´n se definen las funciones cosecante, secante y cotangente como las fracciones inversa de las
e
anteriores:
cosec A =
1
;
sen A
sec A =
1
;
cos A
cotg A =
1
tg A
Con ayuda de estas funciones pueden calcularse los ´ngulos de un tri´ngulo rect´ngulo cuando se conocen
a
a
a
los lados. Vamos a verlo con un ejemplo.

37. ´
´
5.2. RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS AGUDOS.
37
Ejercicio 17. Calcular los ´ngulos de un tri´ngulo rect´ngulo en el que b = 56 cm y a = 74 cm.
a
a
a
Calcularemos en primer lugar el seno del ´ngulo B:
a
sen B =
b
56
=
a
74
Conocido el seno del ´ngulo, puede calcularse el ´ngulo mediante la funci´n inversa del seno. Esta funci´n
a
a
o
o
se llama arcoseno. En las calculadora aparece como sin−1 . Entonces:
sen B =
b
56
=
a
74
=⇒
B = arsen
56
= 49o 10 45
74
De forma similar calcular´
ıamos el ´ngulo C mediante la funci´n coseno y su funci´n inversa arcocoseno:
a
o
o
cos C =
b
56
=
a
74
=⇒
C = arcos
56
= 40o 49 15
74
Desde luego que el ´ngulo C podr´ haberse calculado como el complementario de B.
a
ıa
Si se quieren calcular lados conviene recordar las f´rmulas de la siguiente manera:
o
un cateto = hipotenusa ×
hipotenusa = un cateto ÷
seno del ´ngulo opuesto
a
coseno del ´ngulo comprendido
a
seno del ´ngulo opuesto
a
coseno del ´ngulo comprendido
a
un cateto = otro cateto × tangente del ´ngulo opuesto al primero
a
Ejercicio 18. Calcular a y b sabiendo que c = 45 cm y B = 36o .
La hipotenusa la calculamos por el coseno:
a=
c
45
=
= 55,62 cm
cos B
cos 36
Como conocemos un cateto, el otro lo calculamos mediante la tangente:
b = c · tg B = 45 · tg 36o = 32,69 cm
Figura 5.3: La escuadra y el cartab´n
o
Los valores de las razones trigonom´tricas de los ´ngulos de 30o , 45o y 60o pueden calcularse f´cilmente
e
a
a
a partir de las proporciones de los elementos del cuadrado y el tri´ngulo equil´tero.
a
a

38. 5. TRIGONOMETR´
IA
38
√
En el cuadrado, si el lado mide 1, del teorema de Pit´goras se desprende que la hipotenusa mide 2. En
a
el tri´ngulo equil´tero, si el lado mide 2, la mitad del lado mide 1 y, de nuevo por el teorema de Pit´goras,
a
a
√a
la altura mide 3. De aqu´ se obtienen para el seno, coseno y tangente de 30o , 45o y 60o los valores que
ı,
aparecen en la siguiente tabla:
30o
seno
coseno
tangente
45o
1
2
√
3
2
1
√
2
1
√
3
1
√
2
1
60o
√
3
2
1
2
√
3
El ´rea de un tri´ngulo es igual a la mitad del producto de dos de sus lados por el seno del ´ngulo
a
a
a
comprendido:
S=
1
bc sen A
2
´
Figura 5.4: Area del tri´ngulo
a
En efecto, de la figura 5.4 se deduce que h = c sen A. Por consiguiente:
S=
5.3.
1
1
bh = bc sen A
2
2
Razones trigonom´tricas de ´ngulos cualesquiera.
e
a
Representaremos los ´ngulos sobre una circunferencia centrada en el origen de coordenadas y tomaremos
a
el eje de abscisas como origen de ´ngulos. A cada ´ngulo α le corresponde un punto de la circunferencia
a
a
E(x, y). En funci´n de las coordenadas de este punto se definen las razones trigonom´tricas del ´ngulo α:
o
e
a
sen α =
y
Ordenada de E
=
Radio
r
cos α =
Abscisa de E
x
=
Radio
r
tg α =
y
Ordenada de E
=
Abscisa de E
x

39. 5.4. TEOREMAS DEL SENO Y EL COSENO.
39
Figura 5.5: Razones trigonom´tricas de ´ngulos cualesquiera
e
a
De esta definici´n se desprende:
o
Para ´ngulos agudos, esta definici´n coincide con la anterior basada en los tri´ngulos rect´ngulos.
a
o
a
a
Las funciones seno, coseno y tangente pueden tomar valores positivos y negativos puesto que
dependen de las coordenadas de un punto.
Para ´ngulos obtusos, el seno es positivo pero el coseno y la tangente son negativos. Esto es
a
consecuencia de que la abscisa de los puntos correspondientes a estos ´ngulos es negativa y la
a
ordenada positiva.
Los ´ngulos suplementarios tienen el mismo seno. El coseno y tangente son iguales pero de signo
a
contrario (ver figura 5.5).
Para los ´ngulos de 0o , 90o y 180o , las funciones toman los siguientes valores:
a
0o
180o
seno
0
1
0
coseno
1
0
−1
tangente
5.4.
90o
0
no existe
0
Teoremas del seno y el coseno.
Figura 5.6: Teorema del Seno

40. 5. TRIGONOMETR´
IA
40
Teorema (Teorema del seno). Las longitudes de los lados de un tri´ngulo cualquiera son proporcionales
a
a los senos de los ´ngulos opuestos:
a
b
c
a
=
=
sen A
sen B
sen C
Demostraci´n: En el tri´ngulo ABH de la figura 5.6 se verifica que:
o
a
h = c · sen A
y en el tri´ngulo CBH:
a
h = a · sen C
Por consiguiente:
c · sen A = a · sen C
=⇒
c
a
=
sen A
sen C
´
Figura 5.7: Angulos inscritos y teorema del seno
Tambi´n puede demostrarse el teorema del seno a partir de la siguiente propiedad de los ´ngulos inscritos:
e
a
el seno de un ´ngulo inscrito en una circunferencia es igual a la longitud de la cuerda dividida por el
a
di´metro.
a
En efecto, al ´ngulo inscrito en el punto A (ver figura 5.7) le corresponde una cuerda BC de longitud l.
a
Por un extremo de esa cuerda trazamos el di´metro BA y el segmento A C. El ´ngulo A es igual que A
a
a
por estar inscritos en el mismo arco. Adem´s el tri´ngulo A BC es rect´ngulo. De aqu´
a
a
a
ı:
sen ϕ =
l
2R
Consideremos ahora un tri´ngulo cualquiera ABC (ver la misma figura 5.7). Dibujemos la circunferencia
a
circunscrita al tri´ngulo y supongamos que R es el radio de esa circunferencia. Por la propiedad anterior:
a
a
sen A =
2R
a
b
c
b
=⇒ 2R =
=
=
sen B =
sen A
sen B
sen C
2R
c
sen C =
2R
Hemos demostrado as´ no solo la proporcionalidad entre los lados y los ´ngulos opuestos sino tambi´n
ı,
a
e
que la constante de proporcionalidad es el di´metro de la circunferencia circunscrita al tri´ngulo.
a
a
Para poder aplicar el teorema del seno se necesita conocer al menos un ´ngulo y el lado opuesto. Si se
a
conocen dos lados y el ´ngulo comprendido o tres lados se puede aplicar el siguiente teorema:
a

41. 5.4. TEOREMAS DEL SENO Y EL COSENO.
41
Teorema (Teorema del coseno). En un tri´ngulo cualquiera el cuadrado de un lado es igual a la suma
a
de los cuadrados de los otros dos menos el doble del producto de estos dos lados por el coseno del ´ngulo
a
comprendido.
Demostraci´n:
o
Figura 5.8: Teorema del coseno
De la figura 5.8 resulta:
puesto que n = b − m:
c2 = h2 + n2
= h + (b − m)
2
2
= h2 + b2 + m2 − 2bm
y como h2 + m2 = a2 :
= a2 + b2 − 2bm
puesto que m = a cos C:
= a + b − 2ab cos C
2
2
Para los lados a y b obtendr´
ıamos f´rmulas similares:
o
a2 = b2 + c2 − 2bc cos A;
b2 = a2 + c2 − 2ac cos B
Mediante estas f´rmulas podemos calcular un lado cuando se conocen los otros dos y el ´ngulo compreno
a
dido entre ellos. Tambi´n se pueden calcular los ´ngulos cuando se conocen los tres lados. En este cso es
e
a
conveniente expresar el teorema de coseno de la siguiente forma:
cos A =
b2 + c2 − a2
;
2bc
cos B =
a2 + c2 − b2
;
2ac
cos C =
a2 + b2 − c2
2ab

42. 42
5. TRIGONOMETR´
IA

43. 6
GEOMETR´ ANAL´
IA
ITICA
6.1.
Distancia. Punto medio de un segmento.
Sean dos puntos A(x1 , y1 ) y B(x2 , y2 ) (ver figura 6.1). De acuerdo con el teorema de Pit´goras, la distancia
a
d entre los dos puntos est´ dada por:
a
d=
(x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2
Si queremos calcular las coordenadas del punto medio medio del segmento AB, por la semejanza de los
tri´ngulos tenemos que
a
x2 − x1 = 2(x − x1 )
=⇒
x=
x1 + x2
2
y2 − y1 = 2(y − y1 )
=⇒
y=
y1 + y2
2
Es decir, las coordenadas del punto medio de un segmento son la media de las coordenadas de los extremos.
Figura 6.1: Distancia entre dos puntos y punto medio de un segmento
En general, si queremos calcular un punto P del segmento AB tal que su distancia a A sea la k-´sima
e
43

44. 6. GEOMETR´ ANAL´
IA
ITICA
44
parte de la longitud del segmento, de nuevo, por semejanza de tri´ngulos tenemos que (ver figura 6.2):
a
x2 − x1 = k(x − x1 )
=⇒
y2 − y1 = k(y − y1 )
=⇒
1
(x2 − x1 )
k
1
y − y1 = (y2 − y1 )
k
x − x1 =
=⇒
=⇒
1
(x2 − x1 )
k
1
y = y1 + (y2 − y1 )
k
x = x1 +
Figura 6.2: Punto que divide un segmento en una raz´n dada
o
Ejercicio 19. Dados los puntos A(−4, 5) y B(5, −1) calcular: ( ) Distancia entre los dos puntos, ( ) Punto
medio del segmento AB, ( ) Puntos que dividen el segmento AB en tres partes iguales.
La distancia entre los puntos es:
d=
(5 − (−4))2 + (−1 − 6)2 =
√
81 + 49 =
√
130
Las coordenadas del punto medio son:
x=
−4 + 5
1
=
2
2
y=
5 + (−1)
=2
2
1
Por consiguiente, el punto medio del segmento AB es el punto M ( 2 , 2).
Los puntos que dividen al segmento AB en tres partes iguales son tales que sus longitudes est´n
a
en la proporci´n 1 y 2 con respecto a la longitud de AB. Entonces, el primer punto es:
o 3 3
x = −4 +
y =5+
1
(5 − (−4)) = −4 + 3 = −1
3
1
(−1 − 5) = 5 − 2 = 3
3
y el segundo punto:
x = −4 +
y =5+
2
(5 − (−4)) = −4 + 6 = 2
3
2
(−1 − 5) = 5 − 4 = 1
3
Los puntos que dividen AB en tres partes iguales son P (−1, 3) y Q(2, 1). Puede comprobarse que
las coordenadas de los cuatro puntos A, P, Q, B, est´n en progresi´n aritm´tica.
a
o
e

45. ´
6.2. ECUACION PUNTO-PENDIENTE Y EXPL´
ICITA DE LA RECTA.
6.2.
45
Ecuaci´n punto-pendiente y expl´
o
ıcita de la recta.
En Geometr´ Anal´
ıa
ıtica las rectas se representan mediante ecuaciones de primer grado con dos inc´gnitas.
o
Los puntos de la recta son las soluciones de la ecuaci´n. Por ejemplo, la ecuaci´n
o
o
3x + 4y = 5
representa a una recta. Si queremos obtener puntos de esta recta, basta calcular soluciones de la ecuaci´n.
o
Dando un valor a una de las inc´gnitas y calculando el valor correspondiente de la otra obtenemos un
o
punto. Por ejemplo, en la ecuaci´n anterior, dando a x el valor −1 se obtiene para y:
o
x = −1
=⇒
3(−1) + 4y = 5 ;
4y = 8 ;
y=2
de modo que el punto (−1, 2) es un punto de la recta dada.
Una ecuaci´n de primer grado puede escribirse de muchas formas diferentes, con par´ntesis, sin par´ntesis,
o
e
e
con denominadores, sin denominadores, etc. Dependiendo c´mo se escriba la ecuaci´n, sus coeficientes
o
o
tienen un significado u otro como caracter´
ısticas de la recta. Seguidamente, veremos las formas m´s
a
convenientes de escribir la ecuaci´n de una recta.
o
Supongamos que una recta est´ definida por un punto P (x0 , y0 ) y el ´ngulo que forma con la direcci´n
a
a
o
positiva del eje de abscisas, es decir, por el ´ngulo α en la figura 6.3. La tangente de este ´ngulo se
a
a
representa por la letra m y se llama pendiente de la recta.
Figura 6.3: Ecuaciones de la recta punto-pendiente y expl´
ıcita
Para que el punto X(x, y) se encuentre sobre la recta debe cumplir que:
tg α = m =
y − y0
x − x0
=⇒
y − y0 = m(x − x0 )
Esta forma de escribir la ecuaci´n
o
y − y0 = m(x − x0 )
se llama forma punto-pendiente de la ecuaci´n de la recta. El significado de los coeficientes en este
o
caso est´ claro: representan las coordenadas (x0 , y0 ) de un punto de la recta y la pendiente m.
a
Si se toma como punto para definir la recta, el punto de corte con el eje de ordenada B(0, b), la ecuaci´n
o
queda:
y − b = m(x − 0)
o bien
y = mx + b
que se llama ecuaci´n expl´
o
ıcita de la recta. En esta ecuaci´n, el coeficiente de x es la pendiente, y el
o
t´rmino independiente b representa la ordenada del punto de corte de la recta con el eje de ordenadas
e
que recibe el nombre de ordenada en el origen.

46. 6. GEOMETR´ ANAL´
IA
ITICA
46
Ejercicio 20. Calcular en las formas punto-pendiente y expl´
ıcita la ecuaci´n de la recta que pasa por
o
los puntos A(−2, 5) y B(3, 1).
Podemos calcular la pendiente de la recta como el cociente de las variaciones de y y de x entre los dos
puntos conocidos de la recta (figura 6.4):
m=
y2 − y1
1−5
−4
∆y
=
=
=
∆x
x2 − x1
3 − (−2)
5
Como punto para definir la recta podemos tomar cualquiera de los dos, por ejemplo el punto A. La
Figura 6.4: Ecuaci´n de la recta que pasa por dos puntos
o
ecuaci´n punto-pendiente es:
o
4
y − 5 = − (x + 2)
5
La ecuaci´n expl´
o
ıcita la obtenemos despejando y:
y =5−
6.3.
4
8
x−
5
5
=⇒
4
17
y =− x+
5
5
Ecuaci´n can´nica o segmentaria.
o
o
Vamos a suponer ahora que la recta est´ dada por los puntos A(a, 0) y B(0, b) en que la recta corta a los
a
ejes de coordenadas (figura 6.5).
La pendiente de la recta es:
m=
b
b−0
=−
0−a
a
Puesto que la ordenada en el origen de la recta es b, su ecuaci´n expl´
o
ıcita es:
b
y =− x+b
a
=⇒
(quitando denominadores)
bx + ay = ab
y dividiendo por ab los dos miembros resulta:
x y
+ =1
a
b
Esta es la ecuaci´n segmentaria o can´nica de la recta. Los coeficientes a y b de la ecuaci´n son,
o
o
o
respectivamente, la abscisa y la ordenada en el origen, es decir, la abscisa y la ordenada de los
puntos de corte con los ejes (ver figura 6.5).

47. ´
6.4. ECUACION GENERAL O IMPL´
ICITA.
47
Figura 6.5: Ecuaci´n segmentaria de la recta
o
Ejercicio 21. Calcular la ecuaci´n segmentaria de la recta 3x + 4y = 24.
o
Resolveremos el problema por dos procedimientos:
Calculamos las intersecciones e la recta con los ejes de coordenadas. Para calcular la intersecci´n
o
con el eje de abscisas hacemos y = 0 y para calcular la intersecci´n con el eje de ordenadas hacemos
o
x = 0:
3x + 4y = 24
y=0
=⇒
A(8, 0)
3x + 4y = 24
x=0
=⇒
B(0, 6)
Hemos hallado la abscisa en el origen (a = 8) y la ordenada en el origen (b = 6). La ecuaci´n de
o
la recta en forma segmentaria es:
x y
+ =1
8
6
Dividiendo los dos miembros de la ecuaci´n por 24:
o
3x 4y
24
+
=
24
24
24
Pasando dividiendo al denominador los coeficientes que aparecen en el numerador multiplicando:
x
24
3
6.4.
+
y
24
6
=1
=⇒
x y
+ =1
8
6
Ecuaci´n general o impl´
o
ıcita.
No todas las rectas tienen una ecuaci´n que se pueda escribir en una de las formas vistas hasta ahora.
o
Por ejemplo, la pendiente es la tangente del ´ngulo que forma la recta con el eje de abscisas. Las rectas
a
paralelas al eje de ordenadas forman un ´ngulo de 90o con el eje de abscisas y, por consiguiente, no
a
tienen pendiente, puesto que la tangente de 90o no existe. A veces se dice que estas rectas tienen tangente
infinita.
Para que la ecuaci´n de una recta pueda escribirse en forma segmentaria, es preciso que la recta corte a
o
los dos ejes en puntos distintos del origen. Por tanto, no podr´n escribirse en forma segmentaria ni las
a
rectas paralelas a cualquiera de los dos ejes ni las rectas que pasan por el origen.
Todas las rectas pueden expresarse mediante ecuaciones del tipo:
Ax + By + C = 0

48. 6. GEOMETR´ ANAL´
IA
ITICA
48
Esta forma de escribir la ecuaci´n de primer grado se llama general o impl´
o
ıcita y todas las rectas
tienen una ecuaci´n que se puede escribir de esta manera. El problema es que es m´s dif´ encontrar un
o
a
ıcil
significado par sus coeficientes A, B y C.
Figura 6.6: Casos particulares de la ecuaci´n de la recta
o
Cuando alguno de los coeficientes de la ecuaci´n es cero, nos encontramos con los siguientes casos paro
ticulares:
Si A = 0 en la ecuaci´n falta la inc´gnita x. La ecuaci´n se suele escribir en la forma y = y0 y se
o
o
o
trata de rectas paralelas al eje de abscisas. En particular, la ecuaci´n del eje X es y = 0.
o
Si B = 0 en la ecuaci´n falta la inc´gnita y. En este caso se trata de rectas paralelas al eje de
o
o
ordenadas que se suelen escribir en la forma x = x0 . La ecuaci´n del eje de ordenadas es x = 0.
o
Si C = 0 la recta correspondiente pasa por el origen puesto que (0, 0) es una soluci´n de la ecuaci´n.
o
o
En particular, la recta y = x se llama bisectriz del primer cuadrante y y = −x bisectriz del segundo
cuadrante.
Ejercicio 22. Calcular las ecuaciones de las paralelas a los ejes por el punto P (1, 3)
La paralela al eje OX tiene de ecuaci´n y = 3. La paralela al eje OY tiene de ecuaci´n x = 1.
o
o
Ejercicio 23. Calcular el punto de intersecci´n de la recta 2x + 5y − 7 = 0 con la bisectriz del primer
o
cuadrante.
Para calcular la intersecci´n de dos rectas hay que hallar la soluci´n del sistema formado por sus ecuao
o
ciones. En este caso, el sistema es:
2x + 5y − 7 = 0
y=x
sistema que tiene por soluci´n el punto P (1, 1).
o
6.5.
Posici´n relativa de dos rectas.
o
Dos rectas o bien se cortan o son paralelas. Cuando dos rectas son paralelas forman el mismo ´ngulo
a
con el eje de abscisas y, por consiguiente, tienen la misma pendiente (ver figura 6.7).
Si las ecuaciones de las dos rectas est´n escritas en forma expl´
a
ıcita o punto-pendiente podemos saber si
son paralelas, simplemente comprobando si tienen o no la misma pendiente.

49. ´
6.5. POSICION RELATIVA DE DOS RECTAS.
49
Figura 6.7: Rectas paralelas
En el caso de que una recta est´ escrita en forma impl´
e
ıcita Ax + By + C = 0, podemos obtener su
pendiente despejando la inc´gnita y:
o
Ax + By + C = 0
=⇒
y=−
A
C
x−
B
B
=⇒
m=−
A
B
Por tanto, si las rectas A1 x + B1 y + C1 = 0 y A2 x + B2 y + C2 = 0 son paralelas, deben tener la misma
pendiente y, por consiguiente:
−
A2
A1
=−
B1
B2
=⇒
A1
B1
=
A2
B2
Esta es la condici´n de paralelismo de dos rectas cuando sus ecuaciones est´n escritas en forma impl´
o
a
ıcita.
Si adem´s sucede queda
a
A1
B1
C1
=
=
A2
B2
C2
las dos ecuaciones tienen las mismas soluciones (una de ellas es igual a la otra multiplicada por un
n´mero). Las dos rectas tienen los mismos puntos y son, por tanto, coincidentes.
u
Ejercicio 24. Calcular la ecuaci´n de la paralela a la recta y = 2x − 5 que pasa por el punto P (3, −7).
o
Si es paralela, debe tener la misma pendiente m = 2. Como adem´s pasa por el punto P (3, −7), su
a
ecuaci´n es:
o
y + 7 = 2 (x − 3)
Ejercicio 25. Calcular la ecuaci´n de la paralela a la recta 3x − 5y + 8 = 0 por el punto A(1, 7).
o
Si la ecuaci´n est´ dada en forma impl´
o
a
ıcita podemos utilizar otro procedimiento (aunque podr´
ıamos
calcular la pendiente de la recta dada y proceder como en el problema anterior). Puesto que los coeficientes
A y B de la recta y su paralela son proporcionales, podemos suponer que son los mismos y las dos
ecuaciones difieren simplemente en el coeficiente C. La recta que buscamos es:
3x − 5y + C = 0
Como la recta pasa por A(1, 7) estos n´meros son soluci´n de la ecuaci´n. Por tanto:
u
o
o
3·1−5·7+C =0
=⇒
C = 35 − 3 = 32
La ecuaci´n de la paralela es 3x − 5y + 32 = 0.
o

50. 6. GEOMETR´ ANAL´
IA
ITICA
50
6.6.
Vectores
Un vector es un segmento orientado. En un vector podemos distinguir su m´dulo o longitud, su
o
direcci´n (la de la recta que lo contiene) y su sentido (hay dos sentidos posibles para cada direcci´n).
o
o
Cuando al unir los or´
ıgenes y los extremos de dos segmentos orientados, la figura que resulte sea un
paralelogramo, consideraremos que los dos vectores son iguales, es decir, los dos segmentos son representaciones del mismo vector. Esto quiere decir que cualquier vector lo podemos representar con el origen
en el punto que queramos.
Figura 6.8: Vectores iguales. Vectores opuestos
El opuesto de un vector es el vector que tiene el mismo m´dulo, la misma direcci´n y sentido contrario.
o
o
Figura 6.9: Operaciones con vectores
Definimos dos operaciones con vectores (figura 6.9):
La suma de dos vectores se obtiene representando uno a continuaci´n del otro. El vector suma
o
tiene como origen el origen del primer vector y como extremo, el extremo del segundo vector. La
diferencia de dos vectores se obtiene sumando al primero el opuesto del segundo.
Si se multiplica un vector por un n´mero, el vector resultante tiene la misma direcci´n, el m´dulo
u
o
o
queda multiplicado por el n´mero (positivo) y el sentido es igual u opuesto seg´n que se multiplique
u
u
por un n´ mero positivo o negativo.
u
Debemos destacar que cuando se multiplica un vector por un n´mero no cambia la direcci´n del vector.
u
o
Tambi´n es cierto que si dos vectores tienen la misma direcci´n, uno de ellos es igual al otro multiplicado
e
o
por un n´mero:
u
u
v
⇐⇒
u = tv
Se llaman coordenadas o componentes de un vector a sus proyecciones sobre los ejes de coordenadas
(ver figura 6.10). Representaremos en lo sucesivo por sus dos coordenadas entre par´ntesis:
e
u = (ux , uy )

51. 6.6. VECTORES
51
Cuando los vectores est´n dados por sus coordenadas, las operaciones resultan muy sencillas:
a
u + v = (ux , uy ) + (vx , vy ) = (ux + vx , uy + vy )
t u = t (ux , uy ) = (tux , tuy )
Figura 6.10: Coordenadas de un vector. Vector dado por su origen y extremo.
En lo que sigue utilizaremos vectores para indicar la posici´n de los puntos y las direcciones de las rectas.
o
−
−
→
Dado un punto P (x, y) se llama vector de posici´n del punto al vector OP que va del origen de
o
coordenadas al punto. Las coordenadas de un punto coinciden con las de su vector de posici´n.
o
Vector director de una recta es cualquier vector que tenga la direcci´n de la recta. Como al multiplicar
o
un vector por un n´mero no cambia la direcci´n, si u es un vector director de la recta r, tambi´n lo es
u
o
e
αu, siendo α un n´mero cualquiera.
u
Si conocemos el origen y el extremo de un vector, podemos calcular sus coordenadas de la forma siguiente
(figura 6.10):
−
→ −
−
→ −→
−
−
−
→ −→ −
−
→
OA + AB = OB =⇒ AB = OB − OA
−
→ −→
−
Como las coordenadas de OA y OB coinciden con las coordenadas de A y B, resulta que las coordenadas
de un vector pueden obtenerse restando las coordenadas de su extremo menos las coordenadas de su
origen.
−
−
→
Ejercicio 26. Calcular las coordenadas del vector AB siendo A(−3, 4) y B(2, 7).
Seg´n hemos visto.
u
−
−
→ −→ −
−
→
AB = OB − OA = (2, 7) − (−3, 4) = (5, 3)
Utilizar vectores tiene numerosas ventajas a la hora de resolver muchos problemas. Por ejemplo el punto
P que divide al segmento AB en una raz´n dada k se expresa mediante vectores de una manera muy
o
sencilla:
−
−
→ −
→ 1−
−
→
OP = OA + AB
k
Ejercicio 27. Dados los puntos A(−4, 5) y B(5, −1) calcular los puntos que dividen el segmento AB en
tres partes iguales.
−
−
→
Calculamos en primer lugar el vector AB:
−
−
→
AB = (5, −1) − (−4, 5) = (9, −6)
Entonces:
−
−
→ −
→ 1−
−
→
1
OP = OA + AB = (−4, 5) + (9, −6) = (−4, 5) + (3, −2) = (−1, 3)
3
3
−→ −
−
→ 2−
−
→
2
OQ = OA + AB = (−4, 5) + (9, −6) = (−4, 5) + (6, −4) = (2, −1)
3
3

52. 6. GEOMETR´ ANAL´
IA
ITICA
52
6.7.
Otras formas de la ecuaci´n de la recta
o
Figura 6.11: Ecuaci´n vectorial de la recta
o
−
−
→
Supongamos que la recta est´ definida por un punto P dado por su vector de posici´n OP y un
a
o
−→
−
vector director v. Sea X un punto cualquiera de la recta con vector de posici´n OX. Evidentemente
o
se cumple que:
−→ −
−
−
→ −→
−
OX = OP + P X
−→
−
Pero si X est´ sobre la recta, los vectores v y P X tienen la misma direcci´n y, por consiguiente,
a
o
−→
−
P X es igual a un n´mero t por v:
u
−→ −
−
−
→
OX = OP + tv
Esta es la ecuaci´n vectorial de la recta dada por el punto P y el vector v. Se le puede dar una
o
interpretaci´n f´
o ısica como la trayectoria de un m´vil que se mueve con velocidad uniforme v y que
o
en el momento inicial se encuentra en el punto P . En esta interpretaci´n el par´metro t ser´ el
o
a
ıa
tiempo y en cada instante t la ecuaci´n nos dar´ la posici´n del m´vil.
o
ıa
o
o
Si en la ecuaci´n vectorial representamos los vectores por sus coordenadas resulta:
o
(x, y) = (x0 , y0 ) + t (vx , vy )
=⇒
x = x0 + tvx
y = y0 + tvy
Estas son las ecuaciones param´tricas de la recta. Los coeficientes del par´metro t son las coore
a
denadas del vector director y los t´rminos independientes son las coordenadas de un punto de la
e
recta (el que se obtiene haciendo t = 0).
En el caso de que vx y vy sean distintos de cero, puede despejarse t en las ecuaciones param´tricas.
e
Igualando obtenemos la siguiente ecuaci´n:
o
x − x0
y − y0
=
vx
vy
que se llama ecuaci´n continua de la recta. A veces se escribe tambi´n la forma continua de la
o
e
ecuaci´n aunque alguna de las coordenadas del vector director sea cero. Por ejemplo:
o
x−3
y−1
=
2
0
Evidentemente no hay que entender que haya que dividir por cero sino que la segunda coordenada
del vector director es cero. En este caso, el numerador debe ser tambi´n igual a cero, es decir, se
e
trata de la recta y = 1, una recta paralela al eje de abscisas.

53. ´
6.7. OTRAS FORMAS DE LA ECUACION DE LA RECTA
53
Si quitamos denominadores y pasamos todos los t´rminos al primer miembro obtendr´
e
ıamos la
ecuaci´n impl´
o
ıcita:
vy x − vx y + vx y0 − vy x0 = 0
Comparando con la expresi´n genera de la ecuaci´n impl´
o
o
ıcita Ax + By + C = 0, igualando coeficientes tenemos que
A = vy
B = −vx
=⇒
v = (vx , vy ) = (−B, A)
y podemos dar la siguiente interpretaci´n a los coeficientes A y B de la ecuaci´n impl´
o
o
ıcita: (−B, A)
es un vector director de la recta.

54. 54
6. GEOMETR´ ANAL´
IA
ITICA

55. 7
SUCESIONES
7.1.
Sucesi´n.
o
Una sucesi´n es un conjunto infinito de n´meros ordenados de tal forma que se puede decir cu´l es el
o
u
a
primero, cu´l el segundo, el tercero, etc.
a
Los t´rminos de una sucesi´n se designan mediante a1 , a2 , a3 , · · · , en donde el sub´
e
o
ındice indica el puesto
que ocupa cada t´rmino. Un elemento gen´rico de la sucesi´n o t´rmino general se representa por an .
e
e
o
e
En una sucesi´n, al n´mero natural 1 le corresponde el t´rmino a1 de la sucesi´n, al n´mero natural
o
u
e
o
u
o
o
e
2, le corresponde el t´rmino a2 , etc. Por esta raz´n, una sucesi´n puede definirse tambi´n como una
e
correspondencia entre los n´meros naturales y los n´meros reales.
u
u
Cuando queremos determinar una sucesi´n particular, podemos hacerlo de dos maneras:
o
Mediante una f´rmula para el t´rmino general. Por ejemplo
o
e
an =
n+1
n
Sustituyendo n por 1, 2, 3, · · · , obtenemos la sucesi´n 2,
o
3 4 5
, , , ···.
2 3 4
Mediante una regla de recurrencia, es decir, indicando c´mo puede obtenerse cada t´rmino a partir
o
e
de los anteriores. Por ejemplo:
a1 = 5,
an = an−1 + 3
Esto indica que el primer t´rmino de la sucesi´n es 5 y que cada t´rmino se obtiene sumando 3 al
e
o
e
anterior. esto nos permite construir la sucesi´n 5, 8, 11, 14, · · · .
o
Una sucesi´n es creciente si cada t´rmino es mayor o igual que el anterior. Si cada t´rmino es menor
o
e
e
o igual que el anterior, la sucesi´n es decreciente. Si una sucesi´n es creciente o decreciente se llama
o
o
mon´tona.
o
an creciente
⇐⇒
an+1 ≥ an
an decreciente
⇐⇒
an+1 ≤ an
55

56. 56
7. SUCESIONES
7.2.
L´
ımite de una sucesi´n.
o
Un entorno sim´trico de centro a y radio r es el intervalo abierto (a − r , a + r). El n´mero a es el
e
u
centro y el n´mero r es el radio del entorno ( figura 7.1).
u
Figura 7.1: Entorno sim´trico de un punto
e
Un n´mero x perteneciente al entorno cumple que a − r < x < a + r. Estas dos desigualdades pueden
u
expresarse como:
|x − a| < r
El valor absoluto de la diferencia x − a es la distancia entre los puntos a y x. As´ pues, la desigualdad
ı
anterior expresa la condici´n de que la distancia de los puntos del entorno al centro es menor que el radio.
o
Algunas sucesiones tienen la propiedad de que sus t´rminos se van aproximando a un n´mero que se
e
u
llama el l´
ımite de la sucesi´n, de tal forma que la diferencia entre el l´
o
ımite y los t´rminos del sucesi´n
e
o
se hace muy peque˜a. Por ejemplo, es f´cil ver que los t´rminos de la sucesi´n:
n
a
e
o
1 2 3 4
, , , ,···
2 3 4 5
son cada vez m´s pr´ximos a 1. Se dice que el l´
a
o
ımite es 1 o que la sucesi´n tiende a 1.
o
La idea de que los t´rminos de la sucesi´n se aproximan a un l´
e
o
ımite se expresa matem´ticamente de la
a
siguiente forma: diremos que la sucesi´n an tiene por l´
o
ımite l y escribiremos:
l´ an = l
ım
n→∞
Cuando cualquier entorno de centro l y radio ε (por peque˜o que sea) contiene un n´mero infinito de
n
u
t´rminos de la sucesi´n y fuera queden un n´mero finito de ellos (figura 7.2).
e
o
u
Figura 7.2: L´
ımite de una sucesi´n
o
Tambi´n puede decirse que, dado cualquier n´ mero ε, se cumple que. a partir de un t´rmino aN todos
e
u
e
los siguientes cumplen que |an − l| < ε.
Cuando los t´rminos de la sucesi´n se hacen muy grandes, es decir, cuando dado cualquier n´mero M ,
e
o
u
los t´rminos de la sucesi´n acaban siendo mayores que M , se dice que la sucesi´n tiende a infinito o que
e
o
o
el l´
ımite de la sucesi´n es infinito:
o
l´ an = ∞
ım
n→∞
De forma m´s precisa, diremos que el l´
a
ımite de la sucesi´n an es infinito, si dado cualquier n´mero M
o
u
(tan grande como queramos) hay infinitos t´rminos de la sucesi´n mayores que M y un n´mero finito de
e
o
u
ellos que son menores que M (figura 7.3).
Tambi´n puede decirse que el l´
e
ımite de la sucesi´n an es infinito, si dado cualquier n´mero M , a partir
o
u
e
o
de un cierto t´rmino aN , todos los t´rminos de la sucesi´n son mayores que M .
e

57. ´
7.3. CALCULO DE L´
IMITES.
57
Figura 7.3: L´
ımite infinito
De forma similar puede definirse el l´
ımite −∞. Las sucesiones que tienen l´
ımite finito se llaman convergentes y las que tienen l´
ımite infinito o menos infinito se llaman divergentes.
7.3.
C´lculo de l´
a
ımites.
Un modo de calcular el l´
ımite de una sucesi´n ser´ sustituir en la expresi´n del t´rmino general n por un
o
ıa
o
e
n´mero muy grande. El resultado deber´ ser un n´ mero pr´ximo al l´
u
ıa
u
o
ımite. Por ejemplo, si en la sucesi´n
o
de t´rmino general:
e
an =
3n + 1
n2
sustituimos n por 1000 obtenemos
a1000 =
3001
= 0,003001
1000000
lo que nos hace pensar que el l´
ımite debe ser cero. A partir de la definici´n de l´
o
ımite podr´
ıamos demostrar
que efectivamente el l´
ımite es cero.
En general, para calcular el l´
ımite sustituiremos n por ∞ en la expresi´n del t´rmino general y aplicaremos
o
e
las siguientes reglas:
Suma y diferencia. Para todo n´mero a se verifica que:
u
∞±a=∞;
∞+∞=∞
Producto. Si k es un n´mero distinto de cero:
u
k·∞=∞;
∞·∞=∞
El signo del infinito resultante depende de los signos de los factores.
Cocientes. Para todo n´ mero k:
u
∞
=∞;
k
k
=0;
∞
k
=∞
0
En esta ultima regla, debe entenderse que el denominador no es exactamente cero sino una sucesi´n
´
o
que tiende a cero y que el numerador k es distinto de cero.
Potencias. Si el exponente tiende a infinito tenemos que:
r∞ =
∞
0
si r > 1
si 0 ≤ r < 1
y si la base tiene a infinito:
∞k =
∞
0
si k > 0
si k < 0

58. 58
7. SUCESIONES
Con ayuda de estas reglas, podemos calcular muchos l´
ımites como podemos ver en el siguiente ejemplo.
Ejercicio 28. Calcular los siguientes l´
ımites:
l´ 3n − 5 = 3 · ∞ − 5 = ∞ − 5 = ∞
ım
n→∞
l´
ım
5n + 1
5·∞+1
∞+1
∞
=
=
=
=∞
3
3
3
3
l´
ım
3
3
3
3
= 2
=
=
=0
n2 + 1
∞ +1
∞+1
∞
n→∞
n→∞
l´
ım
n→∞
2−
n
3
n
2−
=
3
∞
l´ 51−n = 51−∞ = 5−∞ =
ım
n→∞
∞
= (2 − 0)∞ = 2∞ = ∞
1
1
=
=0
∞
5
∞
Cuando no pueden aplicarse las reglas generales se habla de casos de indeterminaci´n. Hay 7 casos
o
de indeterminaci´n:
o
Diferencia de infinitos:
∞−∞
Producto de cero por infinito:
0·∞
Cociente de infinitos y de ceros:
∞
;
∞
0
0
Indeterminaciones con potencias:
1∞ ;
∞0 ;
00
No hay una regla general para el c´lculo de estos l´
a
ımites. La t´cnica a aplicar depende de las funciones
e
que aparezcan en la expresi´n del t´rmino general.
o
e
En el caso de que el t´rmino general est´ definido por una expresi´n polin´mica, la indeterminaci´n
e
e
o
o
o
que se presenta es del tipo ∞ − ∞ y se resuelve teniendo en cuenta que el t´rmino de mayor grado es
e
infinitamente mayor que los t´rminos de grado inferior que, por consiguiente se pueden ignorar, como
e
vemos en los siguientes ejemplos.
Ejercicio 29. Calcular los siguientes l´
ımites:
l´ (n2 − 3n + 1) = l´ n2 = ∞2 = ∞
ım
ım
n→∞
n→∞
l´ (5n − n ) = l´ (−n3 ) = −∞
ım
ım
2
n→∞
3
n→∞
Podemos ver que el l´
ımite de una expresi´n polin´mica es +∞ o −∞ seg´n que el t´rmino de mayor
o
o
u
e
grado tenga coeficiente positivo o negativo.
Si el t´rmino general est´ dado por una funci´n racional, es decir, por un cociente de polinomios en n, se
e
a
o
e
presenta una indeterminaci´n del tipo ∞ . En este caso, se puede aplicar la t´cnica anterior al numerador
o
∞
y al denominador.

59. ´
7.4. EL NUMERO E.
59
Ejercicio 30. Calcular los siguientes l´
ımites:
3n2 − 5n + 6
3n2
3
3
= l´
ım
= l´
ım
=
=0
n→∞
n→∞ 2n3
n→∞ 2n
2n3 − 1
∞
l´
ım
5n4 − 2n + 1
5n4
5n2
∞
= l´
ım
= l´
ım
=
=∞
2 + 4n + 3
2
n→∞ 2n
n→∞ 2n
n→∞ 2
2
l´
ım
3n2 − n + 6
3n2
= l´
ım 2 = 3
2 + 5n − 3
n→∞ n
n→∞ n
l´
ım
En consecuencia, si el t´rmino general de la sucesi´n viene dado por una funci´n racional:
e
o
o
El l´
ımite es 0 si el denominador es de mayor grado que el numerador.
Es ∞ si el numerador es de mayor grado que el denominador.
Es igual al cociente de los coeficientes de los t´rminos de mayor grado si el numerador y el denome
inador son del mismo grado.
7.4.
El n´mero e.
u
Se llama as´ al l´
ı
ımite de la siguiente sucesi´n:
o
e = l´
ım
n→∞
1+
n
1
n
Como se ve se trata de un l´
ımite indeterminado del tipo 1∞ . El l´
ımite de esta sucesi´n no es infinito, pues
o
puede demostrarse f´cilmente (sabiendo un poco de combinatoria) que todos sus t´rminos son menores
a
e
que 3. Se ha demostrado que e es un n´mero irracional cuyas primeras cifras son:
u
e = 2, 718 281 828 459 045 235 36 . . .
ımites indeterminados del tipo 1∞ . En particular, es
Con ayuda del n´mero e pueden calcularse muchos l´
u
f´cil ver que si a, b, k son n´meros cualesquiera:
a
u
l´
ım
n→∞
1+
l´
ım
n→∞
n+b
1
n+a
1+
l´
ım
n→∞
=e
1
n
1+
k
n
kn
= ek
n
= ek
Ejercicio 31. Demostrar l´
ım
n→∞
l´
ım
n→∞
k
1+
n
1+
n
= l´
ım
n→∞
1+
1
n
k
n
k
n
= ek
n
= l´
ım
n→∞
1+
1
n
k
n
k ·k
= l´
ım
n→∞
1+
1
n
k
n
k
k
= ek

60. 60
7. SUCESIONES

61. 8
FUNCIONES
8.1.
Definiciones.
Una funci´n f es una correspondencia que asocia a cada n´mero real x (variable independiente) un
o
u
unico n´mero real f (x) (variable dependiente). La representaci´n gr´fica de la funci´n f es la curva
´
u
o
a
o
de ecuaci´n y = f (x) formada por los puntos de coordenadas (x, f (x)).
o
El dominio o dominio de definici´n de una funci´n es el conjunto de valores que puede tomar la variable
o
o
independiente x. El recorrido es el conjunto de valores que puede tomar la variable dependiente f (x).
Una funci´n como cos2 x puede considerarse como la aplicaci´n sucesiva a la variable independiente x de
o
o
la funci´n f (x) = cos x y de la funci´n g(x) = x2 . Esta operaci´n consistente en aplicar sucesivamente
o
o
o
dos funciones se llama composici´n de funciones y se representa por g ◦ f :
o
g ◦ f (x) = g[f (x)]
En general, la composici´n de funciones no es conmutativa. Por ejemplo, es diferente cos2 x que cos(x2 ).
o
Dos funciones f y f −1 son inversas una de la otra si
f (x) = y
=⇒
x = f −1 (y)
o bien
f ◦ f −1 (x) = x
Son funciones inversas el cuadrado y la ra´ cuadrada, el logaritmo y la exponencial o el arcoseno y el
ız
seno puesto queda
√
√
x2 = ( x)2 = x ;
ln ex = eln x = x ;
sen(arsen x) = arsen (sen x) = x
La funci´n inversa sirve para despejar el argumento de una funci´n. Por ejemplo:
o
o
x2 = y
ln x = y
=⇒
=⇒
√
x= y
x = ey
ex = y
cos x = y
=⇒
=⇒
x = ln y
x = arcos y
La funci´n f (x) es creciente en un intervalo si para puntos x1 , x2 en ese intervalo:
o
x1 > x2
=⇒
f (x1 ) > f (x2 )
61

62. 62
8. FUNCIONES
De forma similar, f (x) es decreciente en un intervalo si para puntos x1 , x2 en ese intervalo:
x1 > x2
=⇒
f (x1 ) < f (x2 )
La funci´n f (x) tiene un m´ximo relativo en el punto x0 si en ese punto toma un valor mayor que en
o
a
los puntos pr´ximos situados tanto a su izquierda como a su derecha.
o
Una funci´n f (x) tiene un m´
o
ınimo relativo en el punto x0 si en ese punto toma un valor menor que en
los puntos pr´ximos situados tanto a su izquierda como a su derecha.
o
Figura 8.1: Intervalos de crecimiento y decrecimiento
Tambi´n podemos clasificar los puntos de la gr´fica de una funci´n seg´n que la tangente quede por
e
a
o
u
encima o por debajo de la curva. Si la tangente en un punto queda por encima de la curva, diremos que
la funci´n es convexa en ese punto y si queda por debajo diremos que la funci´n es c´ncava. Los puntos
o
o
o
en que la funci´n cambia de c´ncava a convexa o de convexa a c´ncava se llaman puntos de inflexi´n
o
o
o
o
de la curva. En estos puntos, la tangente atraviesa la curva.
Figura 8.2: Intervalos de concavidad y convexidad
Si la tangente en un punto queda por encima de la curva, diremos que la funci´n es convexa en ese
o
punto y si queda por debajo diremos que la funci´n es c´ncava. Los puntos en que la funci´n cambia de
o
o
o
c´ncava a convexa o de convexa a c´ncava se llaman puntos de inflexi´n de la curva. En estos puntos, la
o
o
o
tangente atraviesa la curva.
Una funci´n es par o sim´trica respecto al eje de ordenadas si cumple que f (−x) = f (x). Las
o
e
funciones polin´micas que tienen solamente potencias pares son sim´tricas respecto al eje de ordenadas.
o
e
Una funci´n es impar o sim´trica respecto al origen si cumple que f (−x) = −f (x). Las funciones
o
e
polin´micas que tienen solamente potencias impares son sim´tricas respecto al origen.
o
e

63. 8.2. FUNCIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO.
63
Una funci´n peri´dica de per´
o
o
ıodo T es aquella cuyos valores se repiten a intervalos de longitud T , es
decir que:
f (x + T ) = f (x)
Figura 8.3: Funci´n peri´dica
o
o
8.2.
Funciones de primer y segundo grado.
Como vimos anteriormente, la representaci´n gr´fica de las funciones polin´micas de primer grado
o
a
o
f (x) = mx + b
es una l´
ınea recta de pendiente m y cuya ordenada en el origen es b.
La representaci´n gr´fica de la funci´n polin´mica de segundo grado o funci´n cuadr´tica
o
a
o
o
o
a
f (x) = ax2 + bx + c
es una par´bola. La par´bola presenta un m´
a
a
ınimo o un m´ximo seg´n que el coeficiente de x2 sea positivo
a
u
o negativo. El m´ximo o m´
a
ınimo de la funci´n es el v´rtice de la par´bola.
o
e
a
Figura 8.4: Funci´n cuadr´tica
o
a
Las intersecciones de la par´bola con los ejes se obtienen resolviendo el sistema formado por la ecuaci´n
a
o
de la par´bola y la ecuaci´n de los ejes.
a
o
OX :
y = ax2 + bx + c = 0
y=0
OY :
y = ax2 + bx + c = 0
x=0
Las coordenadas del v´rtice se calculan de la siguiente forma: la abscisa del v´rtice es el punto medio
e
e
de las intersecciones (si existen) con el eje OX. Una vez calculada la abscisa, se obtiene la ordenada
sustituyendo en la ecuaci´n de la par´bola:
o
a
x0 = −
b
;
2a
y0 = ax2 + bx0 + c
0

64. 64
8. FUNCIONES
Ejercicio 32. Representar gr´ficamente la funci´n y = x2 − 5x − 14.
a
o
El punto de intersecci´n con el eje de ordenadas es la soluci´n del sistema:
o
o
y = x2 − 5x − 14
x=0
=⇒
A(0, −14)
Los (posibles) puntos de intersecci´n con el eje de abscisas se obtienen del sistema:
o
√
y = x2 − 5x − 14
5±9
5 ± 25 + 56
=
=⇒ x =
2
2
y=0
Hay dos puntos de intersecci´n de abscisas −2 y 7. Los puntos son entonces B1 (−2, 0) y B2 (7, 0)
o
El v´rtice tiene como coordenadas
e
25
5
81
5
y0 =
− 5 · − 14 = −
x0 = ;
2
4
2
4
Con estos datos, la representaci´n gr´fica ser´
o
a
ıa
Ejercicio 33. Representar gr´ficamente la funci´n y = 4x − x2 .
a
o
Procediendo de forma similar al problema anterior resulta que la intersecci´n con el eje OY es el punto
o
(0, 0), las intersecciones con el eje OX est´n en (0, 0) y (4, 0) y el v´rtice en (2, 4).
a
e
La representaci´n gr´fica es:
o
a

65. ´
8.3. FUNCION DE PROPORCIONALIDAD INVERSA.
65
Obs´rvese que, puesto que el coeficiente de x2 es negativo, la funci´n presenta un m´ximo al contrario
e
o
a
de lo que ocurr´ en el ejemplo anterior.
ıa
8.3.
Funci´n de proporcionalidad inversa.
o
Dos magnitudes son inversamente proporcionales si su producto es constante. Las funciones definidas
mediante ecuaciones del tipo:
y=
k
cx + d
o
´
y=
ax + b
cx + d
se llaman funciones de proporcionalidad inversa y la curva correspondiente es una hip´rbola. Esta
e
curva puede dibujarse calculando sus intersecciones con los ejes:


 y = ax + b
 y = ax + b


cx + d
cx + d


 y=0
 x=0
y sus as´
ıntotas. M´s adelante se ver´ c´mo se pueden obtener las as´
a
a o
ıntotas de cualquier curva. Para la
funci´n de proporcionalidad inversa la as´
o
ıntota vertical se obtiene igualando a cero el denominador y la
as´
ıntota horizontal dividiendo los coeficientes de x:
as´
ıntota horizontal: y =
a
c
as´
ıntota vertical: x =
−d
c
Conocidas las as´
ıntotas x = x0 e y = y0 , la ecuaci´n de la hip´rbola puede escribirse en la forma:
o
e
(x − x0 )(y − y0 ) = k
donde se pone de manifiesto que las magnitudes inversamente proporcionales son x − x0 e y − y0 .
Figura 8.5: Funci´n de proporcionalidad inversa
o
Ejercicio 34. Representar gr´ficamente la funci´n:
a
o
y=
2x − 5
x−3
La as´
ıntota vertical es x − 3 = 0, es decir, x = 3.
La as´
ıntota horizontal es y = 2 (y igual al cociente de los coeficientes de x).

66. 66
8. FUNCIONES
Calculamos las intersecciones con los ejes. El punto de intersecci´n con el eje de abscisas es:
o

y = 2x − 5
5
x−3
=⇒ A
,0

2
y=0
y el punto de intersecci´n con el eje de ordenadas:
o

y = 2x − 5
5
x−3
=⇒ B 0,

3
x=0
Con estos datos, la gr´fica de la funci´n es la siguiente:
a
o
8.4.
Funciones exponenciales y logar´
ıtmicas.
Las funciones definidas por y = ax donde a es un n´mero positivo cualquiera se llaman funciones
u
exponenciales. Sea cual sea el valor de a, la funci´n puede escribirse en la base e, es decir como
o
y = ekx con k = ln a positivo o negativo seg´n que a sea mayor o menor que 1. Como caracter´
u
ısticas m´s
a
importantes de estas funciones destaquemos las siguientes:
Sea cual sea el valor de x, ekx es positivo.
El eje de abscisas, esto es la recta y = 0 es una as´
ıntota horizontal de y = ekx en −∞ o +∞ seg´n
u
sea k positivo o negativo.
La curva y = ekx no corta al eje de abscisas. Corta al eje de ordenadas en el punto (0, 1).
Se llaman funciones logar´
ıtmicas las definidas por f (x) = loga x. Con ayuda de la f´rmula del cambio de
o
base de los logaritmos, cualquier funci´n logar´
o
ıtmica puede expresarse como y = k · ln x, donde ln x es el
logaritmo neperiano o sea el logaritmo en la base e. Como propiedades fundamentales de estas funciones
citaremos:
Las funciones logar´
ıtmicas solo existen para x positivo.
La recta x = 0 (el eje de ordenadas) es as´
ıntota vertical de y = k · ln x.
La curva y = k · ln x no corta al eje de ordenadas. Corta al eje de abscisas en (1, 0).

67. 8.5. FUNCIONES CIRCULARES.
67
Figura 8.6: Funciones exponenciales y logar´
ıtmicas
8.5.
Funciones circulares.
Las funciones y = sen x, y = cos x e y = tg x as´ como sus rec´
ı
ıprocas cosecante, secante y cotangente,
tienen la particularidad de que son peri´dicas, es decir toman valores iguales cada 2π radianes.
o
Como se ve (figura 8.7), las gr´ficas de las funciones seno y coseno son iguales pero desfasadas en
a
funci´n tangente tiene as´
o
ıntotas x = ±(2k + 1) π para k = 0, 1, 2, . . ..
2
π
2.
La
Figura 8.7: Funciones circulares
Las inversas de estas funciones se llaman arcoseno, arcocoseno y arcotangente. Estas funciones se definen
de la siguiente manera:
arsen x es el ´ngulo (en radianes) comprendido entre − π y
a
2
π
2
cuyo seno vale x.
arcos x es el ´ngulo comprendido entre 0 y π cuyo coseno vale x.
a
artg x es el ´ngulo comprendido entre − π y
a
2
π
2
cuya tangente vale x.

68. 68
8. FUNCIONES

69. 9
L´
IMITES DE FUNCIONES.
CONTINUIDAD
9.1.
L´
ımite cuando la variable tiende a infinito.
Cuando escribimos
l´ f (x) = l
ım
x→∞
queremos decir que cuando la variable x se hace muy grande los valores de la funci´n son muy pr´ximos
o
o
al n´mero l. Gr´ficamente ser´ as´
u
a
ıa ı:
Figura 9.1: L´
ımite cuando la variable tiende a infinito
Vemos que en este caso la gr´fica de la funci´n cuando x se hace muy grande se aproxima a la recta
a
o
horizontal x = l. Veremos m´s adelante que esta recta se llama as´
a
ıntota horizontal de la funci´n (ver
o
figura 9.1 izquierda).
Si el l´
ımite es infinito (y de modo muy parecido si es menos infinito) escribimos:
l´ f (x) = ∞
ım
x→∞
69

70. 9. L´
IMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD
70
y significa que eligiendo x suficientemente grande la funci´n toma valores tan grandes como se quiera, es
o
decir, la gr´fica de la funci´n corta a cualquier recta horizontal (ver figura 9.1 derecha).
a
o
Los l´
ımites cuando la variable tiende a menos infinito se definen de modo similar.
Todas las reglas de c´lculo de l´
a
ımites que hemos visto en el tema de sucesiones pueden aplicarse al c´lculo
a
de l´
ımites de funciones cuando la variable tiende a infinito.
Ejercicio 35. Calcular los siguientes l´
ımites:
l´
ım x2 − 3x3 = −∞
x→∞
x2 − 5x + 2
=0
x→∞
x3 + 4x
l´
ım
x3 − 3x2 + 1
=∞
x→∞
x+ x − 2
l´
ım
l´
ım
x→∞ 2x3
1
1 − x3
=−
− 3x2 + 6
2
1
x
2x
= e2
l´
ım
1+
l´
ım
3
1− 2
x
1+
1
2x + 3
x+1
l´
ım
1+
2
3x + 3
5x+1
l´
ım
1−
2
x2 + 3
x
l´
ım
l´
ım
2
1+
x+1
l´
ım
3
1−
2x + 5
2x − 3
3x + 1
x
l´
ım
3x + 2
2x + 3
x
l´
ım
x→∞
x→∞
x→∞
x→∞
x→∞
x→∞
x→∞
x→∞
x→∞
9.2.
x2 −3x
= e−3
1
= e2
10
=e3
= e0 = 1
x2
=∞
x2 −1
=
2
3
=
3
2
= e−∞ = 0
∞
=0
∞
=∞
L´
ımite cuando la variable tiende a un n´mero finito.
u
Cuando escribimos
l´ f (x) = l
ım
x→x0
queremos decir que cuando la variable x toma valores pr´ximos a x0 , pero distintos de x0 , la funci´n
o
o
f (x) toma valores pr´ximos a l (ver figura 9.2 izquierda). Es importante destacar que el l´
o
ımite de una
funci´n en un punto no depende del valor de la funci´n en ese punto sino de los valores que toma en los
o
o

71. 9.3. FUNCIONES CONTINUAS. CASOS DE DISCONTINUIDAD.
71
puntos pr´ximos. Para que haya l´
o
ımite, ni siquiera es necesario que exista la funci´n en ese punto pero
o
debe existir en los puntos pr´ximos.
o
Si en los puntos pr´ximos a x0 la funci´n toma valores muy grandes, mayores que cualquier n´mero fijado
o
o
u
previamente, diremos que la funci´n tiende a infinito (ver figura 9.2 derecha).
o
l´ f (x) = ∞
ım
x→x0
El l´
ımite igual a menos infinito se define de modo similar. Si el l´
ımite x tiende a x0 es infinito (o menos
infinito), la recta x = x0 es una as´
ıntota vertical de la funci´n.
o
Figura 9.2: Limite cuando la variable tiende a un valor finito
9.3.
Funciones continuas. Casos de discontinuidad.
Con las funciones que utilizamos habitualmente, si tienen l´
ımite finito, suele ocurrir que el l´
ımite de la
funci´n en un punto x0 coincide con el valor de la funci´n:
o
o
l´ f (x) = f (x0 )
ım
x→x0
En este caso se dice que la funci´n es continua en x0 .
o
Destaquemos que para que una funci´n sea continua en x0 debe cumplirse que:
o
- Existe el l´
ımite de la funci´n en el punto x0 .
o
- Existe la funci´n en el punto x0 , es decir, el punto x0 pertenece al dominio de la funci´n.
o
o
- Ambos n´meros l´ f (x) y f (x0 ) son iguales.
u
ım
x→x0
Cuando una funci´n no es continua en un punto se dice que es discontinua en ese punto. Pueden preseno
tarse los siguientes casos:
Discontinuidad evitable. Hemos dicho que el l´
ımite depende del valor que toma la funci´n en
o
los puntos pr´ximos al punto pero es independiente del valor de la funci´n en el punto. As´ es
o
o
ı,
o
posible que una funci´n tenga l´
o
ımite en el punto x0 pero no exista la funci´n en ese punto (o no
coincida con el l´
ımite). En este caso se dice que la funci´n presenta una discontinuidad evitable.
o
f tiene una discontinuidad evitable en x0
Por ejemplo, la funci´n:
o
f (x) =
sen x
x
⇐⇒
∃ l´ f (x) = f (x0 )
ım
x→x0

72. 9. L´
IMITES DE FUNCIONES. CONTINUIDAD
72
no est´ definida en el punto x = 0 (ver figura 9.3). Sin embargo puede demostrarse queda
a
l´
ım
x→0
sen x
=1
x
Se llama discontinuidad evitable porque es posible darle un nuevo valor a la funci´n en el punto de
o
Figura 9.3: Discontinuidad evitable
discontinuidad de modo que la nueva funci´n as´ definida sea continua. Por ejemplo en la funci´n
o
ı
o
anterior, definiendo:
f (x) =
sen x
x
1
x=0
x=0
obtenemos una funci´n continua igual a la anterior en todos los puntos salvo en x = 0.
o
Salto finito. Algunas funciones tienen l´
ımites diferentes seg´n que la variable se aproxime al
u
punto por la derecha o por la izquierda (ver figura 9.4). Los l´
ımites laterales se indican mediante:
l´ f (x) ;
ım
x→x−
0
l´ f (x)
ım
x→x+
0
donde los super´
ındices − y + indican que x tiende a x0 por la izquierda y por la derecha respectivamente. Que x tiende a x0 por la izquierda significa que x es pr´ximo a x0 pero menor que x0 y
o
que x tiende a x0 por la derecha significa que x es pr´ximo a x0 pero mayor que x0 . Por ejemplo,
o
Figura 9.4: Discontinuidad de salto finito
la funci´n:
o
f (x) =
x2
x+1
x≤1
x>1

73. 9.4. AS´
INTOTAS.
73
tiene un salto finito en x = 1, puesto que:
l´ f (x) = 2
ım
l´ f (x) = 1 ;
ım
x→x−
0
x→x+
0
Infinitos. El tercer tipo de discontinuidad son los infinitos de la funci´n, es decir, los puntos x0
o
tales que:
l´ f (x) = ∞
ım
x→x0
Figura 9.5: Discontinuidad por l´
ımite infinito
Por ejemplo, la funci´n:
o
f (x) =
x+1
x−1
tiene un punto de discontinuidad en x = 1 ya que (ver figura 9.5):
x+1
=∞
x→1 x − 1
l´
ım
9.4.
As´
ıntotas.
Las as´
ıntotas son rectas tangentes a la curva en el infinito.
En el caso de as´
ıntotas verticales, esto significa que cuando x tiende a x0 la distancia entre la curva y la
as´
ıntota tiende a cero y la pendiente de la curva tiende a infinito.
En as´
ıntotas horizontales y oblicuas la distancia entre la curva y la as´
ıntota tiende a cero y, adem´s, la
a
pendiente de la curva se hace igual a la pendiente de la recta (cero en el caso de la as´
ıntota horizontal)
cuando x tiende a infinito.
Podemos considerar los siguientes tipos de as´
ıntota:
As´
ıntotas verticales (ver figura 9.5):
x = x0 as´
ıntota vertical de f (x)
Por ejemplo la funci´n:
o
y=
x+1
x−1
⇐⇒
l´ f (x) = ∞
ım
x→x0