O documento descreve um estudo que analisa diferentes tipos de raciocínio matemático de alunos ao responder questões envolvendo lógica e expressões numéricas. Os autores propõem um modelo de análise baseado na taxonomia SOLO e na teoria da atividade de Engeström para categorizar as respostas dos alunos como pensamento processual ou proceptual. Os resultados iniciais mostram que as respostas que evidenciam pensamento proceptual demonstram um entendimento mais significativo dos conceitos em comparação com respostas apenas processuais.

1. *Este trabalho é financiado por fundos nacionais através da FCT – Fundação para a Ciência e Tecnologia no âmbito do Projeto
Promover o Sucesso em Matemática (contrato PTDC/CPE-CED/121774/2010).
Propomos um modelo de análise para as respostas dos
alunos, sustentado nas teorizações de Tall sobre o
pensamento matemático, na taxonomia SOLO e no
modelo da teoria da atividade de Engeström que
conduz à conjetura que o pensamento matemático
pode ser visto de duas formas diferentes: de forma
processual como um processo memorizado e/ou um
procedimento e de forma proceptual.
A análise que suporta a criação do modelo e sua
sustentação é realizada com base na complexidade
matemática das respostas dadas em situação de
aprendizagem. Neste poster observa-se uma fase
intermédia do processo, com a utilização do modelo
para analisar respostas a uma questão que envolve
raciocínio matemático usando relações entre lógica e
expressões numéricas.
Referências.
Biggs, J. & Collis, K. (1982). Evaluating the quality of
learning. London: Academic Press.
Engeström, Y, Miettinen, R. & Punamäki, R-L (Eds)
(1999). Perspectives on Activity Theory. Cambridge:
Cambridge University Press.
Gray, E. & Tall D. (1994). Duality, Ambiguity and
Flexibility: A Proceptual View of Simple Arithmetic.
The Journal for Research in Mathematics Education, 25
(2), 116–140.
A complexidade do pensamento matemático e a qualidade
das aprendizagens: um caso com quantificadores, números e lógica*
Fernando Luís Santos1
& António Domingos2
1
Instituto Piaget & UIED FCT-UNL, (fernando.santos@almada.ipiaget.pt)
2
Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade Nova de Lisboa & UIED FCT-UNL, (amdd@fct.unl.pt)
Níveis (Taxonomia SOLO)
Pensamento
matemático
Ação do aluno
Abstrato (Extended abstract)
O aluno conceptualiza a um nível superior ao
requerido na própria aprendizagem.
Pode generalizar para novas áreas. Pensamento
proceptual
Proceito, conhecimento
significativo e
conhecimento derivado.
Teoriza, generaliza, apresenta
hipótese, reflete.
Relacional
Indica uma orquestração entre factos e teorias,
ação e objetivos. Compreensão de vários
componentes que são integrados
conceptualmente.
Pode aplicar o conceito a problemas familiares ou
situações de trabalho.
Compara, explica as causas,
integra, analisa, relata, aplica.
Multi-estrutural
Indica compreensão de limites, mas não de
sistemas de rede.
Compreende os vários componentes, mas de uma
forma discreta.
Tem uma coleção de ideias ou conceitos sobre o
assunto, mas ainda desorganizadas. Não é capaz de
relacionar itens de uma lista. Pensamento
processual
Procedimento e
conhecimento memorizado.
Enumera, classifica, descreve,
lista, combina, trabalha com
algoritmos.
Uni-estrutural
Compreensão concreta e minimalista de uma área.
Focalizado num tópico conceptual em detrimento
do panorama geral.
Identifica, memoriza, realiza
procedimentos simples.
Pré-estrutural
Não demonstra compreensão.
Não consegue relacionar.
O modelo foi aplicado no contexto do raciocínio
matemático analisando a utilização de quantificadores e
operadores lógicos em expressões numéricas, que
apesar de ser um tópico pouco trabalhado fora do
ensino superior, permite evidências de vários tipos de
pensamento matemático e relações que os alunos
estabelecem em relação a estes objetos matemáticos.
Foram selecionados três alunos que pelas suas
respostas evidenciam tipos diferentes de raciocínio
como forma de salientar a utilidade do modelo de
análise. Neste episódio um dos investigadores foi
também o professor.
Sistema de atividade - aluno Sistema de atividade - professor
Modelo de análise
Nível SOLO esperado: relacional
Aluno A.
Artefacto Objeto↔
Simbólico com erros.
Memorização de procedimentos.
Regras Objeto↔
Resposta incompleta e diferente do
esperado.
Nível SOLO: uni-estrutural
Pensamento processual, com
evidências de conhecimento
memorizado.
Aluno B.
regras ↔ objeto
artefacto objeto↔
Texto sem representação simbólica.
regras ↔ objeto
artefacto objeto↔
Resposta diferente do esperado.
Nível SOLO: multi-estrutural
Pensamento proceptual, com
evidências de conhecimento
significativo.
Aluno C.
Sem contradições.
Texto, simbólico.
Sem contradições
Resposta esperada e mais completa.
Nível SOLO: relacional.
Pensamento proceptual, com
evidências de conhecimento
significativo.
Aluno Resposta
Conteúdos, processos
e procedimentos
Professor
Taxonomia SOLO, proceito,
bifurcação proceptual
Conhecimento
expresso
Conhecimento
avaliado
Conhecimento do conteúdo
Normas
sociomatemáticas
Curso de
Educação
Básica
Papel do
aluno
Normas
sociomatemáticas
Formação inicial de
professores; Educação
matemática
Lecionação,
avaliação e
investigação
Resposta
O enunciado da questão é o seguinte:
Indique o valor lógico e negue de seguida as seguintes
expressões, explicando de forma detalhada como chegou
aos resultados:
a¿
A escolha das duas alíneas permite a identificação e a
triagem dos dois tipo de pensamento a analisar,
nomeadamente o pensamento processual e o
pensamento proceptual, procurou-se neste caso, um
tipo de questão que fornecesse evidências de
bifurcação proceptual, o que ocorreu em alguns dos
casos analisados.
A questão foi identificada como relacional recorrendo à
taxonomia SOLO, onde seriam esperadas respostas
dentro do contexto utilizando os dados relevantes e
que os conceitos fossem identificados na descrição
escrita da resposta. Para o exercício em si, seria de
esperar mais do que a utilização de processos e
procedimentos.
Apesar do estudo relatado neste texto ainda estar em
desenvolvimento, já evidencia alguns resultados
interessantes. Mostrou que existem diferenças
significativas entre os vários tipos de resposta dada
pelos alunos, salientados pelas dimensões do modelo
de análise. Os alunos que ultrapassam a bifurcação
proceptual evidenciam, e relata-se nas transcrições das
suas respostas, um conhecimento significativo dos
objetos matemáticos e mesmo das regras, processos e
procedimentos necessários para resolver as questões
apresentadas, em linha com as teorizações de Gray e
Tall (1994) sobre o proceito.