minimo comun multiplo y maximo comun divisor del colegio rey de reyes primero de secundaria

1. MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM) Y
MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD)
Prof. FIDEL GILBERTO MAIMA LAZO
cel.: 973697116
email: fmaima@gmail.com
pág. web: www.fmaima.orgfree.com

2. Divisores Comunes
Se llama divisores comunes de dos o mas números naturales a
todos aquellos que los dividen exactamente
DIV(A;B)=DIV(A) ∩ DIV(B)
Ejemplo Determinar los Divisores
Comunes de 12 y 15
Div(12)=
Div(15)=
Div(12;15)=

3. El Máximo Común Divisor (m.c.d.) de dos o más números es el
mayor de los divisores comunes de tales números.
Máximo Común Divisor (MCD)
Ejemplo Determinar el MCD de
M.C.D. (12, 15) =
Div(12)=
Div(15)=
M.C.D. (18, 24) =
Div(18)=
Div(24)=

4. Algoritmos para calcular el MCD
1. Método de descomposición
canónica
Se determina la descomposición
canónica de cada número. Luego, el MCD
es el producto de los divisores comunes
tomados con su menor exponente.
Ejemplo:
Calcula el MCD de 18; 27 y 45.
Solución:
Descomponemos canónicamente:
18 = 27 = 45 =
Luego:
MCD(18; 27; 45) =
2. Método práctico o abreviado
Descomponemos sus factores primos
comunes en forma simultánea, luego el
MCD es el producto de los valores
encontrados.
Ejemplo:
Calcula el MCD de 48; 64 y 112.
Solución:
Descomponemos en forma simultánea:
Luego:
MCD(24; 36; 48) =

5. Algoritmos para calcular el MCD
3. Método indirecto
Dados tres o mas números, este método
consiste en determinar el mcd de pares
de números de manera sucesiva hasta
evaluarlos todos.
Ejemplo:
Calcula el MCD de 375; 250; 285 y 225
Solución:
Luego:
MCD(375; 250; 285; 225 ) =
4. Método del algoritmo de Euclides
También se le conoce con el nombre de
divisiones sucesivas.
Luego: MCD(A, B) = r3
Ejemplo:
Calcula el MCD de 580 y 320.
Solución:
Luego:
MCD(580; 320) =
Cocientes q1 q2 q3 q4
A B r1 r2 r3
Residuos r1 r2 r3 0
Cocientes
580 320
Residuos

6. PROPIEDADES DEL MCD
1ra Propiedad
El MCD de dos números naturales
(no nulos) es un número que
siempre existe, es único y como
mínimo es uno
Ejemplo:
5 y 13
Solución:
Luego:
MCD(5; 13 ) =
2 da Propiedad
El MCD de dos números naturales es
el elemento más grande de cualquiera
de los conjuntos que conforman los
divisores de cada número
Ejemplo:
15 y 6
Solución:
Luego:
MCD(15; 6 ) =

7. PROPIEDADES DEL MCD
3ra Propiedad
Los divisores comunes de A y B,
menores que el MCD(A;B) son
también divisores de éste
Ejemplo:
45 y 75
Solución:
Luego:
MCD(45; 75 ) =
4ta Propiedad
El MCD(A;B)= MCD(B;A)
Ejemplo:
Calcula el MCD de 15 y 6
Solución:
Luego:
MCD(15; 6 ) =

8. PROPIEDADES DEL MCD
5ta Propiedad
∀ 𝑨 ∈ 𝑵, 𝑨 ≠ 𝟎 se tiene que el
MCD(A;0)=A
Ejemplo:
Dados los números 45 y 75
Solución:
Luego:
MCD(45; 75) =
6ta Propiedad
Si A=kB entonces el
MCD(A;B)=MCD(KB;B)=B
Ejemplo:
Dados los números 12 y 24
Solución:
Luego:
MCD(12; 24) =

9. PROPIEDADES DEL MCD
7ma Propiedad
Sean A;B ∈ N no nulos a la vez y sea
d ≠ 0 entonces
I) Si A= 𝒅 y B= 𝒅 entonces el
MCD(A;B)= 𝒅
II) Si A= 𝒅 y B= 𝒅 entonces
d≤MCD(A;B)
Ejemplo:
Dados los números 24= 𝟒 y 36= 𝟒

10. Múltiplos Comunes
Se llama múltiplos comunes de dos o mas números naturales a
todos aquellos números no nulos que los contiene exactamente
Mc(A;B)=M(A) ∩ M(B)
Ejemplo Determinar los Múltiplos
Comunes de 8 y 12
M(8)=
M(12)=
M(8;12)=

11. El Mínimo Común Múltiplo (mcm) de dos o más números, es el
menor múltiplo común de dichos números.
Mínimo Común Múltiplo (MCM)
Ejemplo Determinar el mcm de
m.c.m. (12, 18) =
M(12)=
M(18)=
m.c.m. (24, 15) =
M(15)=
M(24)=

12. Algoritmos para calcular el MCM
1. Método de descomposición
canónica
Se determina la descomposición
canónica de cada número. Luego, el MCM
es el producto de los factores primos
comunes y no comunes afectados con su
mayor exponente.
Ejemplo:
Calcula el MCM de 18; 27 y 45.
Solución:
Descomponemos canónicamente:
18 = 27 = 45 =
Luego:
MCM(18; 27; 45) = 𝟐. 𝟑 𝟑
. 𝟓 = 270
2. Método práctico o abreviado
Descomponemos sus factores primos
comunes en forma simultánea, hasta
llegar al cociente 1; luego el MCM es el
producto de los valores encontrados.
Ejemplo:
Calcula el MCM de 12; 16 y 18.
Solución:
Descomponemos en forma simultánea:
Luego:
MCM(18; 27; 45) =

13. Algoritmos para calcular el MCM
3. Método indirecto
Dados tres o mas números, este método
consiste en determinar el mcm de pares
de números de manera sucesiva hasta
evaluarlos todos.
Ejemplo:
Calcula el MCM de 375; 250; 285 y 225
Solución:
Luego:
MCD(375; 250; 285; 225 ) = 641250

14. PROPIEDADES DEL MCM
1ra Propiedad
El mcm de dos números naturales
(no nulos) es múltiplo de cualquiera
de ellos y estos son divisores de
aquel
Ejemplo:
8 y 12
Solución:
Luego:
MCM(8; 12 ) =
2da Propiedad
Los múltiplos comunes de A y B son
también múltiplos del mcm(A;B)
Ejemplo:
8 y 12
Solución:
Luego:
MCM(8; 12 ) =

15. PROPIEDADES DEL MCM
3ra Propiedad
si 𝑵 = 𝑨 𝒚 𝑵 = 𝑩 entonces se cumple
que N es múltiplo del mcm(A;B)
𝑵 = 𝑨 𝒚 𝑵 = 𝑩 → 𝑵 = 𝒎𝒄𝒎(𝑨; 𝑩)
Ejemplo:
120
Solución:
4ta Propiedad
Si al dividir un mismo número N entre
A, B, C se obtiene el mismo resto, se
cumple que al dividir N entre el
múltiplo del mcm(A,B,C) el resto es el
mismo
𝑵 = 𝑨 ± 𝒓 𝒚 𝑵 = 𝑩 ± 𝒓
→ 𝑵 = 𝒎𝒄𝒎(𝑨; 𝑩) ± 𝒓
Ejemplo:
Si dividimos 123 entre 15 o entre 20 el
resto es 3
Solución:

16. PROPIEDADES DEL MCM
5ta Propiedad
El producto de dos números A y B
es igual al producto de su MCD y su
mcm
Ejemplo:
120
Solución:

17. Ahora a resolver los ejercicios pág. 120
Nunca consideres el estudio como una
obligación, sino como una
oportunidad para penetrar en el
bello y maravilloso mundo del saber