Estadística y diseños experimentales aplicados a la educación superior

17/09/2013Por: Ing. M.Sc. Francisco Martínez Solaris
MAESTRÍA EN EDUCACIÓN SUPERIOR
Por: Ing. M.Sc. Francisco Martínez Solaris
Mgs. En Educación Superior
martinezsolaris@cotas.com.bo
fmartinezsolaris, cuenta de Skype
Estadística y Diseños Experimentales
Aplicados a la Educación Superior

Estadística Y Diseños Experimentales
Por: Ing. M.Sc. Francisco Martínez Solaris 17/09/2013
Para tomar en cuenta
“Las teorías basadas en ideologías carecen de
experimentación, y por ello, no son ciencia, lo
que no se demuestra con experimento es
política. Lo que se demuestra con
experimentación, es ciencia” (Robert
Laughlin, Premio Nobel de Física 1998).
"La verdadera ignorancia no es la ausencia de
conocimientos, sino el hecho de rehusarse a
adquirirlos" (Karl R. Popper)

Estadística Y Diseños Experimentales
Por: Ing. M.Sc. Francisco Martínez Solaris 17/09/2013
Programa a Desarrollar
Evaluación: Después de cada tema desarrollado

¿Por qué se tiene que estudiar
Estadística?

Según Mark Twain hay tres
clases de mentiras:
• La mentira
• La maldita mentira
• Las Estadísticas

Por: Ing. M.Sc. Francisco Martínez Solaris
Aporte
Observación Hipótesis
Toma de Información
Análisis de InformaciónConclusiones
Replanteo
de Hipótesis
Revisión
17/09/2013
Estadística

REGRESION LINEAL SIMPLE
Y
X1
X2
.
.
.
Xi
En el desarrollo de los eventos, puede ser
que una variable sea afectada por el
comportamiento de otra (s) variable (s)
Es de interés poder cuantificar este tipo de
relación de manera que se pueda predecir
una variable en función de otra
En Regresión Lineal Simple es de interés
cuando una variable afecta el
comportamiento de otra variable
Y: Variable Dependiente
X: Variable Independiente
Y = f(X)
Propósito de la R.L.S: Predicción

Por análisis de regresión se entiende al conjunto de métodos
estadísticos que tratan con la formulación de modelos matemáticos
que describen la relación entre variables y el uso de estas
relaciones modeladas con el propósito de predecir e inferir.
Por Regresión Lineal Simple se entiende …
Supuestos del Análisis
de Regresión Lineal
Simple
“Y” es una variable aleatoria cuya
distribución probabilística depende de
“X”
Modelo de la Línea Recta
Homogeneidad de Varianza
Normalidad
Independencia

Llamado también Ploteo de Datos, tiene como propósito mostrar la
posible tendencia (en caso de existir) entre las variables “X” y “Y”.
Consiste en llevar los pares de valores “x, y” a un sistema de
coordenadas (bidimensional)
Y
X
(x, y)
Diagrama de Dispersión

Horas de Estudio por semana Promedio de notas
5 2.1
6 2.7
7 2.6
8 2.5
9 3.5
10 3.0
11 3.5
12 3.7
13 3.9
14 4.0

0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
0 2 4 6 8 10 12 14 16
Promediodenotas
Horas de estudio por semana
Diagrama de Dispersión

El supuesto No 2 de RLS plantea que de existir una relación entre
“X” y “Y”, ésta es una línea recta, por lo tanto se puede pensar en
una ecuación de la siguiente forma:
De tal manera que se llegue a obtener una ecuación de la
siguiente naturaleza:
Parámetros
Estimación
Método de Mínimos Cuadrados
Métodos de Mínimos
Cuadrados
(Carl Friedrich Gauss)
𝒀 = 𝜷 𝟎 + 𝜷 𝟏 𝒙𝒊
𝒀 = 𝜷 𝟎 + 𝜷 𝟏 𝒙𝒊

A partir de muestras (x1, y1), (x2, y2), …(xi, yi) de las variables “X” y
“Y”, se trata de obtener los estimadores . Para ello la Técnica de
Mínimos Cuadrados minimiza la suma de cuadrado de las distancias
entre los valores observados y los estimados de tal manera que :
(𝒀𝒊 − 𝒀𝒊) = 𝟎

Y
X
(𝒀𝒊 − 𝒀𝒊) = 𝟎
(𝒀𝒊 − 𝒀𝒊)
𝜷 𝟏 =
𝒙𝒚 −
𝒙 𝒚
𝒏
𝒙𝒊 𝟐 −
( 𝒙𝒊)
𝟐
𝒏
𝜷 𝟎 = 𝒚 − 𝜷 𝟏 𝒙

Estimada una vez la recta de Predicción y teniendo en cuenta que el
propósito de la R.L.S es la predicción, se hace necesario estar
seguro que la ecuación estimada es capaz de predecir.
Por esta razón es necesario validar la ecuación estimada
𝒀 = 𝜷 𝟎 + 𝜷 𝟏 𝒙𝒊

Validación
Cálculo de Coeficiente
de Determinación R²
Análisis de Varianza
de la Regresión “ANARE”
Cuantifica la cantidad de la
variabilidad de “Y” que puede
ser explicada por “X”
R² ≥ 70%
Validación de la Recta de Estimación

Regresión Lineal Simple/Validación de la Recta de Estimación/ANARE
Por análisis de Varianza se entiende, de forma general, a la partición
de la variación total en fuente de variación conocida que en el caso
de R.L.S son de acuerdo al siguiente modelo aditivo lineal:
xi= Variación debida a Regresión
εi = Variación debida al Error
FV gl SC CM Fc Ft (Pr>F)
Regresión 1 SCRegresión CMRegresión
CMRegresión
/CMError
Error n-2 SCError CMError
Total n.1 SCTotales
Regla de Decisión
NRHo : Fc ≤ Ft
RHo : Fc > Ft
𝐇𝐨: 𝜷 𝟏 = 𝟎
𝐇𝐚: 𝜷 𝟏 ≠ 𝟎

La Recta de Estimación debe pasar por dos puntos obligados dentro
del área de exploración, las coordenadas de estos puntos son las
siguientes:
Dibujo de la Recta de Estimación
y = 0.203x + 1.2212
R² = 0.8754
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
0 5 10 15
PromediodeNotas
Horas de Estudio

¿Hasta dónde es capaz de predecir la recta de predicción estimada?
Bandas de Confianza
0
1
2
3
4
5
6
0 5 10 15
PromediodeNotas
Horas de Estudio
Diagrama de Dispersión, Recta de Estimación, Banda Inferior, Banda
Superior
Diagram de Dispersión
Recta de Estimación
Banda Inferior
Banda Superior

CORRELACION LINEAL SIMPLE
Así como existen técnicas que cuantifican los cambios de una
variable dependiente por un único cambio de la variable
independiente, existen técnicas que cuantifican la asociación lineal
entre dos variables, esta técnica es llamada Correlación Lineal
Simple que se exprese como el coeficiente de correlación (r)
Este coeficiente indica el sentido de la asociación como también la
magnitud de ésta, partiendo del hecho que el coeficiente de
correlación lineal simple toma valores en el rango de: r es -1 ≤ r ≤ 1.
Entre más se acerca a los extremos valor de “r”, mayor es la
asociación entre dichas variables.

-1 ≤ r < -0.8 Asociación
fuerte y
negativa
0 ≤ r < 0.4 No hay
asociación
-0.8 ≤ r < -0.4 Asociación
débil y
negativa
0.4 ≤ r < 0.8 Asociación
débil y
positiva
-0.4 ≤ r ≤ 0 No hay
asociación
0.8 ≤ r ≤ 1 Asociación
fuerte y
positiva

Regresión Lineal Simple Correlación Lineal Simple
Mide la cantidad de cambios en “Y”
por un único cambio en “X”.
Mide asociación lineal
entre dos variables
Existe una variable dependiente y
otra independiente
Es indistinto x, y ó y, x
β1 puede tomar cualquier valor en la
recta numérica
El coeficiente de
correlación toma valores en
el intervalo -1 ≤ r ≤ 1
Diferencias entre Regresión y Correlación Lineal Simple

Diseño de Investigación
No
Experimental
Experimental
Censo
Muestreo
No Probabilístico
Probabilístico
Cuasi experimental
Experimentos Puros

DISEÑOS EXPERIMENTALES PUROS
DISEÑOS CLASICOS DISEÑOS FACTORIALES
DCA
BCA
CL FACTORIALES/DCA
FACTORIALES/BCA
FACTORIALES/CL
SIMPES
COMPLEJOS
PARCELAS DIVIDIDAS
PARCELA SUBDIVIDIDAS
Diseños Experimentales
Diseños Experimentales PurosCuasiexperimentos

Se Provoca
una Causa Proceso
Se Mide
efecto
ANALISIS DE VARIANZA (ANDEVA)
¿QUE ES UN ANALISIS DE VARIANZA?
Homogeneidad (Homocedasticidad) de varianzas
Normalidad
Linealidad y Aditividad
Independencia

17/09/2013
Ing.M.Sc. Francisco Martínez Solaris; Mgs. En
Educación Superior
Experimento:
En sí viene a ser aquel proceso intencionado
provocado por el investigador con el fin de estudiar
su origen, esencia e interrelación con otros procesos
o fenómenos.
Tratamiento:
Viene a ser el conjunto de condiciones
experimentales que el investigador impone a las
unidades experimentales. Ejemplo: efecto de dosis
desparasitante, tipo de desparasitante, estrategia
pedagógica, organización del aula, etc.
DISEÑOS EXPERIMENTALES

17/09/2013
Educación Superior
Unidad Experimental
Es el material o lugar sobre el cual se aplican los
tratamientos
Tamaño de la Unidad Experimental
Depende depende mucho del tipo de material
experimental que se utilice y muchas veces de la
esperanza de vida en el caso de usar seres vivos.

17/09/2013
Educación Superior
Factor
Es un tratamiento que genera más tratamientos
(niveles del factor)
Error Experimental
Es la variación aleatoria (no explicada) ajena al
control razonable del investigador. Este término no
es sinónimo de error, si no que forma parte de las
características propias e innatas de la unidad
experimental

17/09/2013
Educación Superior
Testigo
Es el tratamiento de comparación adicional, que no
debe faltar en un experimento; la elección del
tratamiento testigo es de gran importancia en
cualquier investigación
Diseños Experimentales
Es un método científico de investigación que consiste
en hacer operaciones prácticas destinadas a
demostrar, comprobar o descubrir fenómenos o
principios básicos. Tiene como propósito proporcionar
la máxima cantidad de información a un costo mínimo.

17/09/2013
Educación Superior
Principios Básico de la Experimentación
Repetición
Azarización
Control Local

17/09/2013
Educación Superior
Exigencias la experimentación
Tipicidad
Uniformidad
DISEÑO EXPERIMENTALES

DISEÑO COMPLETAMENTE AL AZAR (DCA)
 𝜇 = Efecto común a todas las observaciones
 𝑇𝑖 = Efecto del i-ésimo tratamiento, i = 1, 2, … t tratamientos
 𝐸𝑖𝑗= ~ N (𝜇, σ²) y de forma independiente
• Unidades Experimentales homogéneas
• Se utiliza en experimentos en:
• Invernadero, Macetas, Galpones, Corrales,
Laboratorio, aulas.
¿Cuándo se utiliza este diseño?
Modelo Aditivo Lineal (MAL)
𝑌𝑖𝑗 = 𝜇 + 𝑇𝑖 + 𝐸𝑖𝑗

DISEÑO COMPLETAMENTE AL AZAR
(DCA) balanceado
F.V gl SC CM Fc Ft
Tratamiento t-1 SCTRAT. 𝑆𝐶𝑇𝑅𝐴𝑇.
𝑡 − 1
𝐶𝑀𝑇𝑅𝐴𝑇.
𝐶𝑀𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟
𝐹(∝, 𝑔𝑙𝑡𝑟𝑎𝑡. , 𝑔𝑙𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟)
Error t(r-1) SCError 𝑆𝐶𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟
𝑡(𝑟 − 1)
Total tr-1 SCTotales

(DCA) desbalanceado
Salida de Varianza según Modelo Aditivo Lineal (MAL)
F.V gl SC CM Fc Ft
Tratamiento t-1 SCTRAT. 𝑆𝐶𝑇𝑅𝐴𝑇.
𝑡 − 1
𝐶𝑀𝑇𝑅𝐴𝑇.
Error n-t SCError 𝑆𝐶𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟
n − t
Total n-1 SCTotales

(DCA)
Vaciamiento de Información
TRATAMIENTOS
REPETICIONES
ΣYi.
1 2 3 … j
1 Y11 Y12 Y13 Y1j Y1.
2 Y21 Y22 Y23 Y2j Y2.
3 Y31 Y32 Y33 Y3j Y3.
…i Yi1 Yi2 Yi3 Yij Yi.
ΣY.j Y.1 Y.2 Y.3 Y.j Y..

(DCA)
Ecuaciones de Trabajo
𝐹𝐶 =
ΣY..2
𝑡𝑟
; experimentos balanceados
𝐹𝐶 =
ΣY..2
𝑛
; experimentos desbalanceados
𝑆𝐶𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠 = 𝑌𝑖𝑗2 − 𝐹𝐶
𝑆𝐶𝑇𝑅𝐴𝑇 =
𝑌𝑖.2
𝑟
− 𝐹𝐶; experimentos balanceados
𝑌𝑖.2
𝑟𝑖
− 𝐹𝐶; experimentos desbalanceados
𝑆𝐶𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 = 𝑆𝐶𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠 − 𝑆𝐶𝑇𝑅𝐴𝑇

(DCA)
Hipótesis
Ho: µ1 = µ2 = µ3 =… µi (T1 = T2 = T3 = …Ti)
Ho: µ1 - µ2 - µ3 -… µi = 0 (T1 - T2 - T3 - …Ti = 0)
Ha: µ1 - µ2 - µ3 -… µi  0 (T1  T2 T3  …Ti)
NRHo si Fc  Ft
Regla de Decisión
RHo si Fc > Ft
Ho
Verdadera
Falsa

DISEÑO COMPLETAMENTE AL AZAR (DCA)
Ejemplo de DCA
Empleado
(repeticiones)
Incentivo (Tratamientos)
T1 T2 T3 T4 T5
1 30 19 15 43 40
2 26 21 18 47 38
3 28 16 23 43 42
4 31 23 18 42 41
5 25 23 20 43 35
6 30 23 18 41 41

(DCA)
Resultados del Análisis de Varianza a un α =0.01
FV gl SC CM Fc Pr < 0.01 Ft (0.01, 4, 25)
Tratamiento 4 2872.8667 718.2167 112.3384 1.3539E-15 4.1774
Error 25 159.8333 6.3933
Total 29 3032.7

PRUEBAS DE RANGOS MULTIPLES, SEPARACION
DE MEDIAS O PRUEBAS OBLIGADAS POR LOS DATOS
Ho
NRHo
RHo Entonces Ha
es verdadera
¿Cuál (es) es o son los tratamientos que provocaron el RHo?
Pregunta que no responde el ANDEVA
Pruebas de Rangos Múltiples
Contrastes Ortogonales
Polinomios Ortogonales
Decisión

Obtener los promedios de las fuentes de variación de interés
Procedimiento para realiza una Pruebas de Rangos Múltiples
Ordenar los promedios de forma descendente
Seleccionar la prueba de rangos múltiples a usar
Determinar el valor crítico de la prueba de seleccionada
Establecer las comparaciones a realizar según la prueba
seleccionada
Determinar las diferencias de medias de acuerdo a las
comparaciones establecidas
Contrastar las diferencias de medias con el valor crítico de la prueba
Establecer el rango de mérito
Emitir conclusiones según el rango de mérito

Pruebas de Rangos Múltiples
• Diferencia Mínima Significativa (DMS) (LSD)
• Método de Duncan
• Método de Student-Newman-Keuls (SNK)
• Método de Tukey (Diferencia Significativa Honesta)
• Método de Scheffé
𝐷𝑀𝑆 = 𝑡𝛼/2
2 𝐶𝑀𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟
𝑟
2
𝑅𝑀𝑆 = 𝑅∝
𝑟
2
𝑇𝑜 = 𝑞 ∝
𝑟
2
𝐹𝑜 = 𝑡 − 1 𝐹 ∝ 𝐶𝑀𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 (
1
𝑖
+
1
𝑗
)
2
𝑆𝑁𝐾 = 𝑞 ∝
𝑟
2

¿Cuál Prueba de Rangos Múltiples Utilizar?

DISEÑO EN BLOQUES COMPLETAMENTE AL AZAR
(BCA)
 𝜇 = Efecto común a todas las observaciones
 𝑇𝑖 = Efecto del i-ésimo tratamiento, i = 1, 2, … t tratamientos
 𝐵𝑗 = Efecto del j-ésimo bloque, j = 1, 2, … r bloques
 𝐸𝑖𝑗= ~ N (𝜇, σ²) y de forma independiente
• Cuando el material experimental presenta un factor de
estorbo que no es de interés estudiar pero que si puede
afectar los resultados del experimento.
• Tiene como principio maximizar la variabilidad entre
bloques y minimizar la variabilidad interbloque o
variabilidad interna.
𝑌𝑖𝑗 = 𝜇 + T𝑖 + 𝐵𝑗 + 𝐸𝑖𝑗

(BCA)
• Deben existir tantas unidades experimentales dentro de cada
bloque como tratamientos se tenga, de manera que cada
tratamiento tenga una repetición en cada bloque
• Desventaja (cuando se pierde una unidad experimental en un
bloque) por que se pierde la simetría del bloque (principio de
bloqueo.
• Cuando se pierde todo un tratamiento o bien todo un bloque, no
hay problema ni necesidad de estimar parcela o datos perdidos
Principio de bloqueo

Salida de Varianza según Modelo Aditivo Lineal (MAL)
𝑌𝑖𝑗 = 𝜇 + T𝑖 + 𝐵𝑗 + 𝐸𝑖𝑗
F.V gl SC CM Fc Ft
Bloque r-1 SCBloque CMBloque 𝐶𝑀𝐵𝑙𝑜𝑞𝑢𝑒𝑠
𝐹(∝, 𝑔𝑙𝑏𝑙𝑜𝑞. , 𝑔𝑙𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟)
Tratamiento t-1 SCTRAT. CMTRAT. 𝐶𝑀𝑇𝑅𝐴𝑇.
Error (t-1)(r-1) SCError CMError
Total tr-1 SCTotales
(BCA)

Concentración de información
TRATAMIENTOS
BLOQUES
ΣYi.
1 2 3 … j
1 Y11 Y12 Y13 Y1j Y1.
2 Y21 Y22 Y23 Y2j Y2.
3 Y31 Y32 Y33 Y3j Y3.
…i Yi1 Yi2 Yi3 Yij Yi.
ΣY.j Y.1 Y.2 Y.3 Y.j Y..
(BCA)

Ecuaciones de trabajo
𝑆𝐶𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠 = 𝑌𝑖𝑗2
− 𝐹𝐶
𝐹𝐶 =
ΣY. .2
𝑡𝑟
𝑆𝐶𝐵𝑙𝑜𝑞𝑢𝑒 =
𝑌. 𝑗2
𝑡
− 𝐹𝐶
𝑌𝑖.2
𝑟
− 𝐹𝐶
𝑆𝐶𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 = 𝑆𝐶𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠 − (𝑆𝐶𝐵𝑙𝑜𝑞𝑢𝑒 + 𝑆𝐶𝑇𝑅𝐴𝑇)
(BCA)

(BCA)
Bloque (CI)
Métodos de Enseñanza de las Matemáticas
A1 A2 A3
94 6 7 8
96 7 6 7
98 4 8 9
100 5 9 7
102 7 5 8
104 3 4 10
106 5 6 7
108 8 8 9
110 7 7 10
112 6 5 7
Ejemplo de BCA

Salida de varianza para el ejemplo a α = 0.01
(BCA)
FV gl SC CM Fc Probabilidad Ft (0.01)
Bloques 9 19.5000 2.1667 1.0209 0.4601 2.4563
Tratamiento 2 30.4667 15.2333 7.1780 0.0051 3.5546
Error 18 38.2000 2.1222
Total 29 88.1667

DISEÑO CUADRADO LATINO (CL)
• Es considerado una variante del BCA, ya que bloquea en dos
sentidos, por hileras (filas) y por columna
• Se utiliza cuando existen dos factores de estorbo que no
interesan estudiar pero que si pueden afectar los resultados
• Para que los efectos de hieleras y columnas no se confundan
con el de los tratamientos, éstos no se deben repetir tanto por
hilera y por columna (principio de bloque con doble bloqueo).
Yij(k) = µ + Hi + Cj + Tk(ij) + Eijk

DISEÑO CUADRADO LATINO (CL)
Salida de Varianza para un CL
FV gl SC CM Fc Ft
Hileras t-1 SCHileras CMHileras 𝐶𝑀𝐻𝑖𝑙𝑒𝑟𝑎𝑠
𝐹(∝, 𝑡 − 1, 𝑔𝑙𝑒𝑟𝑟𝑜𝑟)
Columnas t-1 SCColumn CMColumn 𝐶𝑀𝐶𝑜𝑙𝑢𝑚𝑛
Tratamiento t-1 SCTRAT. CMTRAT. 𝐶𝑀𝑇𝑅𝐴𝑇.
Error (t-1)(t-2) SCError CMError
Total t²-1 SCTotales

DISEÑOS FACTORIALES
• No se habla de diseños propiamente dichos, sino de arreglos de
tratamientos bajo cualquier diseño clásico, es decir, DCA, BCA o
CL.
• Los experimentos factoriales se pueden dividir en experimentos
factoriales simples o experimentos factoriales complejos
• Lo anterior indica que se pueden tener arreglos factoriales en
DCA, BCA y CL. Todo va a depender de las características de las
unidades experimentales.
• Un factor es un tratamiento que genera más tratamientos, a
éstos se les llama niveles del factor.
• Los experimentos factoriales se pueden dividir en bifactoriales,
trifactoriales, etc.

DISEÑOS FACTORIALES EN ARREGLO
COMPLETAMENTE AL AZAR
Se utilizan cuando se tienen dos o más factoriales y las unidades
experimentales a usar son homogéneas, es decir, no existe factor
de “estorbo”
𝒀𝒊𝒋𝒌 = Variable respuesta
Modelo Aditivo Lineal para un Bifactorial en DCA.
𝒀𝒊𝒋𝒌 = µ + 𝑨𝒊 + 𝑩𝒋 + 𝑨 ∗ 𝑩 𝒊𝒋 + 𝑬𝒊𝒋𝒌; 𝒅𝒐𝒏𝒅𝒆:
µ = Efecto común a todas las observaciones
𝑨𝒊 = Efecto del i-ésimo nivel del factor A; i = a1, a2,…ai niveles A
Bj = Efecto del j-ésimo nivel del factor B.; j = b1, b2,…bj niveles B
A*Bij = Efecto del i-ésimo nivel del factor A con j-ésimo nivel del
factor B; ij = a1b1, a1b2, ,,,aibj interacciones
Eijk = Error del modelo

Arreglo combinatorio para un Bifactorial en DCA.
Factor A
Factor B
b1 b2 b3 …bj
a1 a1b1 a1b2 a1b3 a1bj
a2 a2b1 a2b2 a2b3 a2bj
…ai aib1 aib2 aib3 aibj

Vaciamiento de datos para un Bifactorial en DCA.
Factor A Factor B
Repeticiones
ΣYij.
1 2 3 …k
a1
b1 Y111 Y112 Y113 Y11k Y11.
b2 Y121 Y122 Y123 Y12k Y12.
b3 Y131 Y132 Y133 Y13k Y13.
bj Y1j1 Y1j2 Y1j3 Y1jk Y1j.
a2
b1 Y211 Y212 Y213 Y21k Y21.
b2 Y221 Y222 Y223 Y22k Y22.
b3 Y231 Y232 Y233 Y23k Y23.
bj Y2j1 Y2j2 Y2j3 Y2jk Y2i.
ai
b1 Yi11 Yi12 Yi13 Yi1k Yi1.
…bj Yij1 Yij2 Yij3 Yijk Yij.

Vaciamiento de interacciones para un Bifactorial en
DCA.
Factor A
Factor B
ΣYi..
b1 b2 b3 b4 …bj
a1 Y11. Y12. Y13. Y14. Y1j. Y1..
a2 Y21. Y22. Y23. Y24. Y2j. Y2..
…ai Yi1. Yi2. Yi3. Yi4. Yij. Yi..
ΣY.j. Y.1. Y.2. Y.3. Y.4. Y.j. Y…

Ecuaciones de trabajo
𝐹𝐶 =
( 𝑌 … )
2
𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑟
𝑆𝐶𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠 = 𝑌𝑖𝑗𝑘2
− 𝐹𝐶
𝑆𝐶𝐴 =
(𝑌1². . +𝑌2². . +𝑌3². . +𝑌𝑖. ². )
𝑏𝑟
− 𝐹𝐶
𝑆𝐶𝐵 =
(𝑌. 12
. +𝑌. 22
. +𝑌. 32
. +𝑌. 𝑗. ². )
𝑎𝑟
− 𝐹𝐶
𝑆𝐶𝐴𝐵 =
(𝑌11². +𝑌12². +𝑌13². + ⋯ 𝑌𝑖𝑗². )
𝑟
− 𝐹𝐶 − (𝑆𝐶𝐴 + 𝑆𝐶𝐵)
𝑆𝐶𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 = 𝑆𝐶𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠 − (𝑆𝐶𝐴 + 𝑆𝐶𝐵 + 𝑆𝐶𝐴𝐵)

Salida de Varianza
F.V gl SC CM Fc Ft
Factor A a-1 SCA 𝑆𝐶𝐴
𝑎 − 1
𝐶𝑀𝐴
F(,glA, gl Error)
Factor B b-1 SCB 𝑆𝐶𝐵
𝑏 − 1
𝐶𝑀𝐵
F(,glB, gl Error)
A*B (a-1)(b-1) SCAB
𝑆𝐶𝐴𝐵
𝑎 − 1 (𝑏 − 1)
𝐶𝑀𝐴𝐵
F(,glAB, gl Error)
Error ab(r-1) SCError
𝑆𝐶𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟
𝑎𝑏(𝑟 − 1)
Total abr-1 SCTotales

Ajuste de efectos principales y secundarios
Efecto Total Promedio Ajuste
A ΣYi.. ΣYi. .
br
𝑏𝑟
2
B ΣY.j. ΣY. j.
ar
𝑎𝑟
2
AB ΣYij. ΣYij.
r
𝑟
2

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