Fisica C, ESPOL.

2. FLUJO ELECTRICO
El número de líneas por unidad de área es
proporcional a la magnitud del campo eléctrico.
E  EA Sus unidades son N.m /C 2
El flujo eléctrico es proporcional al número de
líneas de campo eléctrico que penetran alguna
superficie
Debido a que el número de
líneas que atraviesan A’ es igual
al número de líneas que
atraviesan A, el flujo a través de
A’ es igual al flujo a través de A.
EA EAcos E    

4.  
E i i i i E A E A
   cos  
E E dA
   
erficie
sup
 
CASO DE UNA SUPERFICIE CERRADA
El flujo neto a través de la superficie
es proporcional al número de líneas
que abandonan la superficie, donde
neto significa el número de las que
abandonan la superficie menos el
número de las que entran a la
superficie.

5. EJEMPLO
Considere un campo eléctrico uniforme E orientado en la dirección x.
Encuentre el flujo eléctrico neto a través de la superficie de un cubo de
lados l orientado como se indica en la figura.
   
E dA E dA E
      
1 2
E dA E dA E cos180 cos0
0     
2
0
1
2 2 E E E    
  0 E

6. LEY DE GAUSS
q
2 r
E  k
 
E dA E dA E      cos0 0
  E dA EA E
 2 
q
E 
2
0
4
4
1
r
r

 
q
0 
E  
q
 
q es la carga
encerrada por la
   E  dA 
E superficie gaussiana. 
0

7. Dos casos sobre la ley de Gauss

8. PROBLEMA
Una superficie gaussiana esférica rodea a una carga puntual q.
Describa lo que sucede con el flujo a través de esta superficie si:
a) Se triplica la carga.
b) Se duplica el radio de la esfera.
c) La superficie es cambiada por la de un cubo.
d) Se mueve la carga hacia otra posición dentro de la superficie.

9. APLICACIONES DE LA LEY DE GAUSS
Calcule el campo eléctrico de un carga puntual aislada q.
q
0 
 
 E  dA 
q
0 
EA 
 
0
2 4


q
E r 
q
 2
r
2 1
0 4
r
E

q
E  k

10. EJEMPLO
Un cascaron esférico delgado de radio a tiene una carga total Q distribuida
uniformemente sobre su superficie. Calcule el campo eléctrico fuera de la
esfera y dentro de la misma.
q
0 
 
 E  dA 
Q
0 
EA 
 
0
2 4


Q
E r 
Superficie
gaussiana
cascarón
esférico
Q
r
Q
 2
r
2 1
0 4
r
E

Q
E  k
Campo eléctrico
fuera de la esfera
a
El campo eléctrico dentro de la esfera es cero porque la superficie
gaussina no encierra carga alguna.

12. EJEMPLO
Calcule el campo eléctrico a una distancia r de una línea infinita de carga por
unidad de longitud λ.
q
0 
 
 E  dA 
 
0 
EA 
 

0
2



E r 
r
E

0 2


13. EJEMPLO
Encuentre el campo eléctrico debido a un plano infinito no conductor de
carga positiva con densidad de carga superficial uniforme σ.
q
0 
 
 E  dA 
   
     
1 2
A
0 
E dA E dA
A
0 
EA  EA 

0 2
E 

14. CONDUCTORES EN EQUILIBRIO ELECTROSTATICO
Un conductor en equilibrio electrostático tiene las siguientes propiedades:
1. El campo eléctrico es cero en cualquier parte dentro del conductor.
2. Si un conductor aislado transporta una carga, esta última reside en su
superficie.
3. El campo eléctrico afuera de un conductor cargado es perpendicular a
la superficie del conductor y tiene una magnitud σ/ε0, donde σ es la
densidad de carga superficial en ese punto.
4. En un conductor de forma irregular, la densidad de carga superficial
es mayor en puntos donde el radio de curvatura de la superficie es
más pequeño.

15. Una placa conductora en un campo eléctrico
externo E.
Campo eléctrico justo afuera de un
conductor cargado

16. CAMPO ELECTRICO AFUERA DE UN CONDUCTOR CARGADO
 
  
A
0 
E dA
A
0 
EA 

 E
0 

17. VERIFICACION DE LAS LEYES DE GAUSS Y DE COULOMB

18. EJEMPLO
Una esfera sólida aislante de radio a tiene una carga volumétrica de densidad ρ y lleva
una carga total positiva Q.
a) Calcule la magnitud del campo eléctrico en un punto fuera de la esfera.
  q
enc E r  Q
0 
 E dA 
q
EA enc
0
2
  
0
4 

equivale al campo de una carga puntual. Como si toda la carga
estuviera concentrada en el centro de la esfera.
4
1
Q
2
0 r
E


b) Calcule el campo eléctrico en un punto dentro de la esfera.
enc q
0 
 
 E dA 
Q
r
a
q
Q
a
r
q
enc
enc
3
4
3 3
3
4
3




  
 
 
Q
1

EA   r
0
3
3
2
0
3
3
4



Q
r
a
E r
Q
r
a
E 3
a
0 4


19.  Para r > a
4
1
Q
2
0 r
E

r
Q
1

E 3
 Para r
a
0 4

20. CONDUCTORES EN EQUILIBRIO ELECTROSTATICO
Condiciones para que un conductor se encuentre en equilibrio electrostático.
1. El campo eléctrico es cero en cualquier lugar dentro del conductor.
2. Si un conductor aislado tiene una carga, la carga reside en su superficie.
3. El campo eléctrico justamente afuera de un conductor cargado es perpendicular
a la superficie del conductor y tiene una magnitud de σ/ε0 , donde σ es la
densidad de carga superficial en ese punto.
4. En un conductor de forma irregular, la densidad de carga superficial es muy
grande en los lugares donde el radio de curvatura de la superficie es el más
pequeño.
Se muestra una muestra metálica en un campo
eléctrico externo. Las cargas inducidas en las dos
superficies del metal producen un campo eléctrico
que se opone al campo externo, dando como
resultado un campo cero en el interior del metal.

21. CAMPO EN LA SUPERFICIE DE UN CONDUCTOR CON CARGA
퐸 ∙ 푑퐴 =
푞푒푛푐
휀0
=
휎퐴
휀0
A
0 
EA 

 E
0 
Campo en la
superficie de
un conductor
en equilibrio
electrostático

22. Una esfera conductora sólida de radio a lleva una carga neta positiva de 2Q. Un
cascarón esférico conductor de radio interior b y radio exterior c es concéntrico con
la esfera sólida y lleva una carga neta –Q. Usando la ley de Gauss, calcule el campo
eléctrico en las regiones marcadas con y y la distribución de carga en
el cascarón cuando el sistema entero está en equilibrio electrostático.
Para r < a el campo eléctrico es cero.
Para a < r < b:
q 2
Q
EA enc  
 
0 0
Q
2
0
2
4
1
r
E


Q
2
2
r
E  k
Para b < r < c: el campo eléctrico es
cero.
Para r > c:
q 2
Q 
Q Q
1
Q
  2
EA enc 
  
0 0 0
0 4
r
E


Q
2 r
E  k

23. Un cono que tiene en la base un radio R y una altura h, es colocado sobre una
superficie horizontal. Un campo eléctrico horizontal e uniforme penetra el cono
como se muestra en la figura. Determine el flujo eléctrico que entra por el lado
izquierdo del cono.

24. Una carga puntual Q se halla justo arriba del centro de la cara plana de un hemisferio
de radio R, como se muestra en la figura. ¿Cuál es el flujo eléctrico:
a) A través de la superficie curva?
b) A través de la cara plana?

25. Un alambre infinitamente largo tiene una carga por unidad de longitud λ y se halla a
una distancia d de un punto O, como se muestra en la figura. Calcule el flujo eléctrico
total a través de la superficie de una esfera de radio R centrada en O como resultado
de esta línea de carga. Considere ambos casos: cuando R< d, y cuando R > d.
.d
O

28. PROBLEMA
Un cilindro aislante largo e infinito de radio R tiene una densidad de carga volumétrica
que varía con el radio como:




 


r
b
a 0  
; y son constantes positivas y es la distancia desde el eje del cilindro. 0  a b r
Use la ley de Gauss para determinar la magnitud del campo eléctrico a distancias
radiales: (a) r < R (b) r > R.


l
0 2
      
dQ dV  a 2 0 
rldr
r
b



r r
r dr
b
Q al rdr
0
0
0
2
2
 
 

 


 
r r
 

ab
Q al
2 3
2
2 3


al r r
2 1

r
2

 
       0 



 


b
a
r
E
ab
E rl
3
2 3 2
2
0
0
0
2
0



fuera del cilindro

29. Una carga puntual Q se localiza sobre el eje de un disco de radio R a una distancia b
desde el plano de un plano. Demuestre que si un cuarto del flujo eléctrico desde la
carga pasa a través del disco, entonces 푅 = 3푏.
El flujo total a través de una superficie que encierra la carga
Q es
푄
휀0
. El flujo a través del disco es:∅푑푖푠푐표
= 퐸 ∙ 푑퐴
Debemos evaluar esta integral e igualarla a
1
4
푄
휀0
para
hallar cómo b y R están relacionados.
El flujo a través del disco es
1
4
푑Φ 퐸,푑푖푠푐표 =
푄
휀0
y así:
1
4휋휀0
푄푏
푠2 + 푏2
2휋푠푑푠
푠2 + 푏2 1
2
−

30. Dos planos infinitos de carga no conductores están en posición paralela uno con
respecto al otro. El plano de la izquierda tiene una densidad uniforme de carga por
unidad de superficie 휎, y el otro que está hacia la derecha tiene una densidad
uniforme superficial−휎. Calcule el campo eléctrico a la izquierda, en el centro y a la
derecha de los planos.
A la izquierda 퐸 = 0
En el centro 푬 =
훔
훆ퟎ
hacia la derecha.
A la derecha 퐸 = 0

31. Una superficie cerrada con dimensiones 푎 = 푏 = 0.400푚 y 푐 = 0.600푚 está
ubicado como se muestra en la figura. El campo eléctrico a través de la región es no
uniforme y está dado por: 퐸 = 3.0 + 2.0푥2 푖 푁
퐶 , donde 푥 está en metros.
Calcule el flujo eléctrico neto que sale de la superficie cerrada. ¿Qué carga neta está
encerrada por la superficie?

32. Una esfera no conductora de radio 푅 tiene una densidad volumétrica de carga positiva que
varía radialmente como se muestra en la figura.
a) Calcule el campo eléctrico a una distancia 푎 medida a partir del centro de la esfera.
휌0
휌
0 푟
푎 푅
푦 = 푚푥 + 푏 휌 = −
휌0
푅
푟 + 휌0
푞 =
푎
휌푑푉 =
0
푎
0
−
휌0
푅
푟 + 휌0 4휋푟2푑푟
푞 = −4휋
휌0
푅
푎
푟3푑푟 + 4휋휌0
0
푎
푟2푑푟
0
푞 = 4휋
휌0
푅
푎4
4
+ 4π휌0
푎3
3
= 휋휌0
4푎3
3
−
푎4
푅 퐸 4휋푎2 =
휋휌0
휀0
4푎3
3
−
푎4
푅
퐸 =
휌0
휀0
푎
3
−
푎2
4푅
b) ¿Cuál será el potencial eléctrico en un punto a una distancia 푟 > 푅? (considere cero
el potencial en el infinito).
푄 =
푅
휌푑푉 =
0
푅
0
휌0 −
휌0
푅
푟 4휋푟2 푑푟 푄 = 4휋휌0
푟3
3
푅
− 4휋
휌0
푅
푟4
4
푅
푉푟 =
1
4휋휀0
푄
푟
푉푟 =
휌0
12
푅3
휀0
1
푅3
3
− 휋휌0푅3 푄 =
휋휌0푅3
푄 = 4휋휌0 푟
3