TdC - Instabilita elementi in calcestruzzo armato - colonna modello

TECNICADELLECOSTRUZIONI-FACOLTA'DIINGEGNERIA-UNIVERSITA'SAPIENZA-Prof.Ing.FrancoBontempi

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F. Bontempi e P.G Malerba
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c
b
SEZIONE SINGOLO SETTO
Fig.l5 - Risposta di una pila da ponte precompressa a forze
gpressi (a) Geometria, carichi agenti sulia pila, suddivisone in
Generica deformata e (d) parzializzzzione delle sezioni della pila.
o spostamenti orizzontali
elementi. (b) Sezione (c)
.t
Y+

ldetodi generaii per I'anaiisi di strutture intelaiate 277
LX
5
x 10 9) sola armatura ordinaria
1) armatura ordinaria e caviTiro su Sforzo Deformazion"
ciascuna iniziale i"i;i;t;--"lama
(kry) (kN/cmq)
? - zqg0
'46'.7 1' 2 -2078_03
gl 1?ggo 80. o I . so8;_ 03
t) lzggo 113 . o 5 :;io;_ 03
6) 26000 L73.3 e.3ie;-;3
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Ol
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b
spostamento orizzontale h (crn)
Fig l6 - Risposta di una pila da ponte
tmpressi (a) Curve (Forza orizzontale H _
precompressione (b) Influenza degli elferti
precompressa a forze o spostantenti orizzontali
Spostamento..h) per diversi valori Jelia fbrza di
geometrici sulla risposta strutturale

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12 Problemi di instabilitd
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awiene chg o-"* = fy, In altri termtni questa condi4ione, .che ha I'apparenza
ai
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verificiti resistenla, b assrrnta corne indicatrice {ellfautentico feno'
*"rro p.ticoloso, che d quello della instabilitb senza biforcazione,
pertanto la veiificu di si",roezza prende la forma (pag, !7,9 del volune
sulle Costruzioni di acciaio)
vN
-+.+A
VN" (ft
/ vN
wl N" /
in cu! vN d laforzanormalg di calcolo, pari a v volte q-uella di esercizio, e vN.
b it momento di ialcolo apl I ording'
fi coefficiente di arnplificazione 1(1 -.vN/NB) trasforma il momelto
fiett.e.qlg del t ordi"u, yil"iitg iispetto alla linea drasse re.ttllinea.non de{or-
*utu,
""t
*"*"nto dgl II ordine valutato rispetto alla configuragione defor-
matal
M-vN(e*y*)
I2.3 L?INSTAEIIITA DELLE ASTE SNELLE DI CEMENTO AR!4A-TO
I differenga deug costrqzioni di a.ccialo, il mepdo dpi coefficienti or b
rtat" +r"giessi"a;ente abbandonato dallg norna4tive tecniche pul cernento
a.rmato.
aa tgpdenza g guella di pscludere il c?so.{ella cor-nPfessiQne centrata,
ilttponu"ao ai uiru,petu uxa eccpntglgitb pinimq, non intenzioqale, di v.a{o,;
;l;;;g;ito- aulia
"otmiliva;
b quindi sempre presente un mornento del I
ordine.

12.3 L'instabilitd delle aste snelle di cemento ormato 323
Nu NeJ4n
In questo modo si b ricondotti sistematicamente al cago della sollecita-
zione composti di pressione eccentrica, pel la quale si richied.e di valutare
il momentb rispetto alla configurazione deformata (rnorqento del II ordine)'
A questo p.rnt" la crisi pud rnanifestarsi in uno dei due modi seguenti {v, fig.
122):
a) pef fottura della sezione (punto B)
b) ber inqtabilitb senza bifalcazione (punto C).
La crisi nef punto B b segnalata dalla cpndiziong 6c,mar :6c,ulrf -iR clti 8",,111
b compreso nplltintervallo 26/eo.=3,5Voo, cos! come ayieSe per qualsiasi pgn'
io deiia fronliera del dominio resistente cornpreso fra la comp-r'essione cen'
tiata e |i rottura bilanciata,La differenzacon il caso delle aste tozze-(punto
A1 consiite nel fatto che il momento Me b forlito dalla somrna Ne * Ny",_tl
cui yn E lo spostarnento massimo y- della deformata dell'asta,La gurva OB
oriene costrnitu per punti dal basso, facendo,crescere la N e deteg$nando
per ogni valore di N la configurazione equilibrata coqrispondente dellfinte.
ra asta:
Si ricava il valore dello spostamento a metb altezza y* ed il momento
massirno associato M - N(e * Y*)-
I valori della coppia, IVI,N folniscono le coordinate di un punto della
curva OB.
Il procedimento si conclude quandg. t.t] bordo piu compresgo della
sezi6ne piq sollecitatala deformaziome dgl calcestruzzo e. raggiunge il valo-
re di rottura e",u.
It caliolo b molto laborioso per il gran nurnero di
-tentativi
richiesti
nelli definiiione di ciascuno dei punti (M,N): occorre infatti conseryare lo
stesso valore di N in ciascuno dei conci, !n cui b div. isa I'asta, r-nentre si
*odifi.i progr"rrivamente la cutva,tgra al variare dei mogenti, Inoltre
occorre conseryare la eccentricith del primo ordine delle farze norr,nali
agenti alle estremitb dellfasta.
ASTA TO4A, ROTTURA DEI-LA SEZIONE
nsTlsturA s$,lzA

324 12 Problemi di instabilitd
u
N
N"z
Fig. 12.3
La crisi nel punto C b segnalata dalla esistenza di un valore di picco
della forza N a cui fb seguito un ramo cadente.
Per descrivere il fenomeno vengono utilizzati anche i diagrammi ,, forza
normale-spostamento massimo,r, << momenti flettenti interno ed esterno-
spostamento massimo'r, "
lunghezza critica dell'asta-spostamento massi-
moo (v. figg. 12.3, 12.4, 12.5):
Nella figura 12.3 sono date Ia Lunghezza dell'asta e la eccentricith della
f.orzanormale N; per diversi valori della N la deformata y(x) viene determi-
nata per iterazione accertando che siano soddisfatte le equazioni di equili-
brio:
N",t : Ni.,ti M".t(x) : N [e + y(x)] : M(x)
Il valore critico della forza normale d rappresentato dalla ordinata
massima del diagramma'
Nella figura 12.4 sono date Ia lunghezza I dell'asta,Iaforza normale N,
ma non il valore della eccentricite. Il momento esterno b rappresentato
INSTABILITA DELL'EOU ILIBRIO
,t=
M;b
Fig.l2.4

12.4 La relaz.ione M-N-I/r 325
Fig. 12.5
9-
dalla retta M""t: N(e * y,"); il momento interno dal diagramma curvilineo.
Se la retta del momento esterno interseca la curva del momento interno nei
punti I e 2, il punto 1 rappresenta una condizione di equilibrio stabile,
perchb aumentando y- risulta M.r, ( M1',1, rn€fltre il punto 2 rappresenta una
condizione di equilibrio instabile, perch6, aumentando y-, risulta
Mi,,t ) M".,. Se aumenta l'eccentricitb i punti I e 2 si awicinano, fino ad
incontrarsi nel punto 3, in corrispondenza del quale viene meno la possibi-
lith di avere una configurazione di equilibrio stabile, perch6, comunque si
faccia variare y-, risulta M""t ) Mir,r.
Nella figura 12.5 sono note la forzanormale N e la eccentricith e si vuole
determinare la lwnghezza critica I.. dell'asta.
Le tre rappresentazioni corrispondono a modi diversi di descrivere lo
stesso fenomeno e conducono agli stessi risultati.
I2.4 LA RELAZIONE M-N-l/r
Nella figura 12.6 sono riportati alcuni diagrammi .,momenti interni-
curvature>> in corrispondenza di assegnateforze normali esterne N"r,: Ni't.
4
E
Esr. N{
Fig. 12.6

12 Problemi di instabtlitd326
/
Si nota l'influenza,dellla intensitb della f.orianorrnale N sull'atrdamento
deir diagram'mi Mi,,t - Ilf. -
peivalori rnoderati di N solo visibili i tre gtldl.che.caratterzzana ll
comportamento della sezione infleSsa: il'punto A indica i:l pasrsaggio dal I
stadio (sezione di calces truzzo integralmente reagente) al II stadio (calce-
*ttrr'ot teso'fessufato); itr:punto B indiCa che I'acciaio teSo ha raggiunto la
tens,ione di snervamen,to. Al'l'aumentare di N iI IE stadio scompare; per
ua.loni ancora piii elevati di N' la rottura si verifica nel: I stadio:
- -ns"egnate
la sezione b X E, l" armature A, ed: AJ
:,la'for,za normalg
esterna 5i..r. si, vuole costruire itr corielati'vo _diagrarnrna
Mi,'r.-. 1/r. Sono nOti
ii.gu*i costitutivi del calcestruzzo (parabola-r€ttangolo) e dell'acciaio (dia
gruit*u bi-lineare elastico-perfettamente plastllo)'- . .:
"---i1-
fo"cedimento di calcblo si articolai in cicli' di tre fasi, con eventuale
iterazione:
= nella prima fase si assume un valore iniziale per la curvatura I[r e per la
deforrnazione,e* sull'asse rispetto al: quale si valutano i momenti. Si
divide la sezione in stris ce oitizzontali, si determinano per ciasctrna stri-
Scia le e e Ie O correlative netr:calcestrdzzs e:hell:'acciaio (v. fi:g' l2'7);
- ;;ti" seconda fase si valutano la risultante Ni,,1ed il momento risultante
Mi,,,
- Ni,rs : Eo"AA. f EorA.
Mi.,1:Eo.zAA.*Eo.zA,
- nella terzafase si confronta N1n1 cor N.., per controllare se d soddisfatta
I'equazione di equilibrio N".t_: i"r. In caso affermativo si d tiovato un
prnta del diagra-*u M,,,, - 1/r; in caso contrario odcorre'modificare ill
"ulor.
di e. aSiunto nella pfima fase, conservando'il'valore della curvatu-
ra, Si ottiene:un nuovo diagramma di deformazioni e nuove tensioni e si:
,if"aotto tutte Ie operazionl successive, fino a che risulta N",r: Ni.,t'
A questo punto si inizia un secondo ciclo assumendo nuovi valori di 1/r
e di s,",. in base ai quali si determina un altro punto del' diagramma'
4,1L, =G^ - 4lz
Fig.l2.7

P5 n mebd.o della colonna modello 327
Si ripete il procedimgnfo in modo da descrivere I'andamento completo
della curva fino'alla crisi della sezione. Si ottiene cosi,il diagramms Mi.,r - llr
per N : cost, che descrivE la funzione Milr l (1/r)- f(y").
-
Rico:rdiar,no che, in.ca,qi{po,elastico vale la relazione:molto'piri sempl:ice
Mir,,: -EJ'lr- -EJyu',",'-e,li9 pefmette di sc-rivereI'equaiiOne di equilibrio
fra il momento, esterno e ci,uello interno'nella'forrna:
da cui:
N:(e * y),= - Efy' ,
e:0
,i
Y,,"
NN+-v+-.EJ, EJ
N(e + Y):: Min,(Y " )
Lfintegrazione della equazione differenziale della' deforrnata diventa
quindi noievolmente pii cornplessa, come abbiamo'visto: in precedenza a
proposito, dell'analisi-non lineare svolta {a rpn'(a1man per Id aste sulle
preisoinfl€sse,diiacc,iaio, E dunque'naturaLe ihd anche nel easo'del cemento
ur*uto si sia cercato di adottaie formUlazioni sernplificate, sullo spirito
i"lte:proposte avanzate da Westergaard, Osgood: e JeZeki assegnando una
ragionevole'funzione atta a descfivere Ia deformata- dell'asta'
Nel: campo del: celnehto armato questo procedimento semplificato E
noto, cor,ne rnetodo' della, colonna modello,
I2..5 IL METODO DELI,A COLONNA MODELLO
Invece, in'carnpo non liheare,r si ha,' iflr corrispondenZa;
Con, rif erirr,rento alla' f i gur a' ll 2 .8 s i' adot-
ta l'ipotesi' semplificata di' descrivere la
configurazione deformata dell''asta con' la
funzlon€
y ='a'sinfn x/l)
Pef# =ll2'si ha Y = a sin
I
Per x: l, risulta'y: a sin n - 0
Valutiamo ora lA curvatura:
y' - a(nll)'cos (nxll)'
y": -a(nl)2 sin(nxll)
(1lr) - - t"
fi
-2'
7C
Fig, 12.8

/
328
12 Problemi di instabilitd
Per x :112, si ha (1/r) - a(nll)2 sin (n/2) : a(nll)2
da cui:
u - 112I n2)x (1/r) = 02/10) x (1/r)
Ponendo l:2s,risulta a:0,4 s2 x (1/r)'
Viene definita ., colonna modello,, la colonna AC, libera in A ed incastra-
ta in C, per la quale vale la relazione, che lega lo spostamento a dell'estremo
A alla curvatura della sezione C, di base,
a - 02/10) x (1/r) - 0,4(1/r)s2
I1 momento totale alla base risulta pari a:
M:Mr*Mz
in cui Mr b il momento del I ordine ed M2 b il momento aggiuntivo Y?: u'
Note Ie caratteristiche geometriche e meccaniche della sezione di base e
nota la relazlone M - 11 - 1/r correlativa, il massimo momento del r ordine
che la colonna Pud soPPortare vale:
Mr:M-0,4N(1/r)s2
in cui M ed (1/r) si riferiscono alla sezione di base (sezione c).
La relaziorr" p."."dente dh luogo alla seguente interpretazione grafica
(v. fig. t2.9).
' 6rulora non esista la tangente alla curva Mi,r1 par"llela alla retta di M2
la crisi b dovuta al superamento della resistenza della sezione al piede (v. fig.
12.10).
per quanto riguarda l'influerrza dello scorrimento viscoso, va osservato
che l,ECj, nella A'ppendice 3: .. Supplementary information on the ultimate
iir"il ,tut"r inducli by structural deformations o, al puntg (9) di A.3.4 con-
sente di trascurarne gli effetti nel caso in cui le colonne facciano parte di
lv1;r^f ROTTURA
DELLA SEZIONE
,,/ (Nat = Nnot)
t/
TANGENTE
ALLA CURVA
,/
'tA
^t"t./'
PARALLELA
ALLA RETTA
lna2 /
,1
Fig.l2.9
Mz
|tz= a.4 N (rlq*

12.6 Metodi apProssimati 329
Fig. 12.10
edifici senza spostamenti orizzontali dei piani e siano vincolati in maniera
monolitica alle travi o alle solette in corrispondenza di entrambe le estremi-
ta.
12.6 METODI APPROSSIMATI
Alcune norme tecniche consentono di valutare i momenti della teoria
del II ordine con procedimenti approssimati diretti, che non richiedono la
conoscenza della relazione M, N, (1/r).
a) Impiego del coefficiente di amplificazione 1,1(l - P/PE).
,l
tr
tn cul:
(g=
POTTUTEA DELLA
SEZroN E
Viene applicato al momento del I ordine per ottenere il momento totale
M: Mr(1/1 - P/PE),
PE- nzF,Jll2.
Una questione delicata b quella della valutazione del prodotto EJ: in
genere le stesse norme forniscono indicazioni orientative. Questo metodo d
€c -€s
-T-t 4,5%.
(+ =
ruru /o uhJ'*-
sto#
Fig. l2.ll
3.57/oo

330 12 Problemi di instabititd
plur:ll"- sulle lrorme nordamer,icane (ACI Code) ed in quelle sovietiche. Noti
M ed N la verifica si esegue con l'uso delle
".r*. ai i"tri.ri;";.
-"'v' rvLr
&,) Impiego del r-nomento additivo Mz: Nu con eurvatura assegnata.
E un metodo approssimato, derivato da quello della.olorrrru modello, in
cui si prefissa il valolg della curvaturu ruilu u"zione di base. g;"rionato
in-diverse edizioni delle ia."o*undazioni d"f CEitl-J"".rr""'".1i=,"ir;';
volte d suggerita la curvatura associata alla r""i,"iu ui;;;;;;'i#i6:,;volte la cunratura cggrispoadente al simultaneo ,""rua*""i" llff"
";;;":re tesa e compressa (2er4l0,9h). Nella figura rz.rr sono riportati i did.;;;delle e corrispondenti.
Noto Mz = Nl2/lq x (l/r),-si determina il mornento totale M: Mr * Mz.
A questo punto si procede alla verifiCa come
""r
.ur" pi.."a""ru,
";iii;,zando le curve di interazione.
T2,7 ECCENTRICITA. NON INTENZIONALI
Come si d detto in l2-3,1a tenden za dellanormativa d quella di conside,
rare in ogni caso una eccentrigita non intenzionale, dovuta
"e
il;i;;bliiir-nperfezioni geometriche, :'
secondo Ie Norme italiane
"d,it^
M-odel code l9z8 lfeccentr.icita non
intenzionale d assunta pari a e,,
= lo/300 (1. espresso in crn) e co*rrrq,re noninferiore a 2 crn. ----/ -
Fer esempio, nel-caso della colonna modello della figura 12,g, incastrata
in c e libera ir {,_
la eccentricitir d9l I ordine ,r.lla"s.rt;; C;;;';€r : €n * Hs/N; se N ayesse la eccentriciti eo, si u.r."bb"
:
€1 -€r*9"*Hs/N.

e quindi:
Itr:ttN
N"N
6^:
-'AiA;
o-n
')lz CAPITOLO 5
5.2.1.4.1 Metodo a
Quando il calcolo delle strutture b svolto con il umetodo delle tensioni am-
missibili, le N.I. suggeriscono I'uso del cosidetto metodo o, che nato ori$inaria-
mente per le strutture metalliche b stato esteso a quelle in cemento armato.
5.2.L4.LL Pressione centrata
Con il metodo rrl la verifica delle sezioni viene eseguita con la formula della
pressione semplice considerando uno sforzo normale incrementato:
--1-
I
lrt
F=1
I
---+
I
I
t5.e)
Fig. 5.7 - Lunshezza libera d'inflessione per pilastri diversamente vincolati.

ELEMENTI STRUTTURALI
o-o
o/o
Il coefficiente o di amplificazione dei carichi, b funzione del coefficiente di
snellezza:
^h^:
.
L
(5.10)
ln CUll
h:9t' Ianshezza libera d'inflessione del pilastro, pari alla distanza tra
due flessi consecutivi della deformata dovuta all'inflessione late-
rale; il suo valore dipende dai vincoli d'estremith del pilastro;
nella fig.5.7 sono riportati i valori di $ per diversi casi di vincolo.
Nell'e strutture in c.a. il fAggio d'inerzia non d necessariarnente quello mini-
mo della,sezione, perch6 spbsso I'instabilith, secondo tale piano b impedita da al-
tri elementi strutturali (fig. 5.8).
T-
I
I
'i'"
I
I
_L_
*
,
raggio d'inerzia della sezione trasversale nel piano d'instabili-
.it6,con J, e Al momento d'ineruia ed area della sezione omoge-
neizzata.
t=r/a,
Fig. 5.8 - Inlluotrza dci vittc<-rli sul pialo d'instabilita.
Le'noffie italiane danno per to i valori riportati neLla tabella (5.I):
1,00
1,08
r,32
L,62
2,28
3,00
50
70
B5
100
t20
r40
Ji
Ai'
Tannlm 5.1
dalla quale si vede come la verifica d'instabiliti interessa per valori di ir > 50.

374 CAPITOI,O 5
Con snellezzaX maggiore di 100 occorre particolare cautela e quindi proce-
dere alla verifica con i metodi pir) approssimati riportati nella bibliografia [221.
La verifica deve essere fatta nel piano di massima snellezza come indicato
in fig. 5.8.
Negli edifici in c.a. il problema b la scelta di p. Non b prudente scendere al
disotto di 0,8, valore che si pub adottare solo nel caso di vincoli d'estremitA mol-
to rigidi, come ad esempio quello di un blocco di fondazione.
Se si prevedono degli spostamenti orizzontali, $ b compreso tra 1 e 2, con
valori tanto piu vicini ad 1 quanto pir'r i vincoli d'estremita sono rigidi (fig. 5.9).
JIIIIffiTTT]TI-TI
loo 2I
F-2
Fig. 5.9 - Lunghezza libera d'inflessione per i pilastri di un [claio.
5.2.7.4.L.2 Pressione eccentrica
Se lo sforzo normale b eccentrico si verifica l'instaloilith progressiva. Per te-
nere conto della curvatura del pilastro e quindi dello spostamento laterale delle
sezioni, Ie nornre italiane impongorlo di fare la verifica con Ie formule della pres-
sione e flessione considerando uno sforzo normale ed un momento flettente in"
crementati:
N"
M,
= e'N
= C'M
[5,11 q,)
(5.11 b)
.ITJJ]I'JIIITJ]IN [I1]I]TTTJT]]NT
JIIIITJFTITNTTN

I
STRUTTURALI
b)
t.-
Mb
Fig. 5.19 - Diagrammi dei momenti in un pilastro sollecitato alle estremith.
in cui co b valutato come per la pressione centrata e:
p€f ctrr:
I,EMENT] 375
(5.r2)
(5.14)
N
A
N
A
B
1
N
llrt
dove: xf .
Eo
",
J
":T t5.13)
b il carico critico di Eulero per la snellezza relativa al piano di flessione, nel qua-
le si assume un modulo di elasticitd del con$lomerato ridotto:
E*
": 0'4 E,
N;: 3.94 !+L;
Per pilastri vincolati solo alla base (fig. 5.10 a), ad esempio una pila da pon-
te incastrata al blocco di fondazione e libera in cima, M b il momento massimo;
per i pilastri vincolati alle due estremitd, se iI momento varia linearmente tra i
valori estremi Moe M,, (fig.5.10 b), come awiene nei pilastri di un telaio (fig.
5.11), iI calcolo va fatto per il momento:
M_ (5.15)

376 cAPrrol,o t
.
Nella verifica a pressoflessione, in luogo di N. va considerato tr{, se piri sfavo-
revole.
Fig. 5.11 - Diagrammi dei momenti e defbrmata di un telaio.
5.2.L4.I.3 Ese,m,pio.
Si debba verificare la pila da ponte la cui sezione b riportata nella fig. 5.I2;lapila in-
castrata alla base e libera in cima, b alta L: 47,00 m; b sollecitata da uno sfbrzo normale N
: 1729 t e da due momenti, non contemporanei M,,,: 5871 t'm ed Mr: 5BB7 t'm.
lru
r 460 l. I
,r-pl+--r
lsol sz5 I zss r.sz5 t.3ol.
Fig.5.12 - Esempio cti pila daponte soggetLa al carico di punta.
l,,
'r8o
x

Caratteristiche dalla sola sezione di con$lomerato:
377
A : 8,53 m2
J*: 9,7816 ma
Ju :18,733 ma
Assumendo una htnghezza libera d'inflessione lo : 2 l, i coefficienti di snellezza se-
condo neyvalgono:
x': ]*: 87'78
1,0708
x,,: ff-:68,481,4819
essendo ambedue i i' > 50 va ese$uita la verifica al carico di punta.
0
VeriJica ttnl piano d;i flession'e y. lW *'1'""L nw e
Per la (5.11) la verifica andri eseguita considerando le sollecitazionit
p..: 1,0708 m
p,: L,4Bl9 m
a, -_N
1-
Nt
Assunto E": 300 000 kglcmz, risulta per la (5.14):
Dalla tab. 5.1, per L. si ricava:
Dalla (5.12):
e quindi:
VeriJica sul piano diflessione r.
In tale caso:
A,ASztq
5g?t 115 , Ll 65tw
N.: ot N
M": c Mu
a:1,3757
1
Nu(il: 13 098 t
c: L,l522B
N,:2378,7 t
M,.:6764,5t/m
a :1,05372
c :1,07403
N" : 1822,0 t
M,.: 6323,5 t.m
l'{. " 5.q
-, 3.qq
E4'
a*
Aj nolu
(t. l+0,)'
k
Le sollecitazioni critiche con cui va verificata la sezione valgono pertanto:
,5
!t,
tr
3,aq"i?'q
, 'loo'6rDc - l.P ? ll lore
q._'- --- |
tt'qloo'"
75051 k
ed
s88T olql , 611 1,,,-
(2,{,o?qt

colt:
D-OLrt() CAPITOLO 5
5.2cI.4.2 Stato Limi,te ul?imo di instabili,ta
Secondo il metodo agli stati limite la verifica di un elemento monodimensio-
nale (snello, consiste nel controllare che:
",
. o.(*)
F,7: sollecitanioni e/o deformazioni prodotte dalle azioni esterne di calcolo
tenuto conto degli effetti del secondo ordine.
/r*,,
I * /,resistenza
e deformazioni ultime delle sezioni.
Gli elementi monodimensionali a sezione costante vengono considerati
"snelliu quando la snellezza massima risulta maggiore della snellezza limite l,*:
Per le Norme Italiane:
r* - 60.1
+ 15 P,
l Nd/Aj
p : percentuale geometrica di armatura
A": area del con$lomerato
N4: forza normale di calcolo.
rispetto al metodo at compaiono come elementi carattefizzantila snellezza,Iare-
sistenza della sezione W,J e la percentuale di armatura.
SnelIezze l" > 3 l.o sono da considerare pericolose e la valutazione della sicu-
rezzavafatta cqn metodi di verifica pii sofisticati di quelli di seguito illustrati.
Ven$ono di se$uito illustrati dei metodi semplificati di facile uso.
5.2.I.4.2.1 Metodo della colonna modello
Si consideri la colonna rappresentata in fig. 5.13 a, sollecitata in cima dalle
forze r{ ed N, per I'azione delle quali si avrd la deformata di fig. 5.13 a.
L
r:+>?rt!"n''ri*
EM2
H
-hr
-J
Fig. 5.13 a - Schema di oolonna.modello.

Nella sezione A di massima sollecitazione:
Mo: M, + tr'6 (5.15 a)
II primo termine:
Mt": M * H'Lt rappresenta il momento del 1o ordine;
il secondo termine:
Mz: N' E: rappresenta iI momento del 2'ordine'
Se fosse noto il valore massimo (limite) di 6, al di la del quale non b garanti-
to I'equilibrio, con la (5.15 a) sarebbe immediatamente calcolabile il momento
massimo delle azioni esterne'
Si definisce "Colonna Modello" I'elemento compresso in cui il le$ame tra
freccia massima e curvatura massima b definito dall'assumere come configura-
zione deformata una sinussoide. Ne se$ue che:
(5.r5 b)
in cui ! c tu curvatura massima in A.
R
Si pone n2: 9,86 = 10 ed essendo
Lo:2 L
si ha:
':(+)'+
379
(5.15 c)
"16:0,4.r8
La deformata effettiva della colonna pub esprimersi mediante una serie di
Fourier: la (5.15 b) allora rappresenta il primo termine dello sviluppo in serie.
Cib pub fare intendere, nei vari casi, il grado di approssimazione della (5.15 b) e
del metodo della "Colonna Modello".
per una data sezione, percentuale di armatura, caratteristiche del conglome-
rato e dell'acciaio, mediante i procedimenti di cui al cap. 4, b possibile ricavare,
per un valore noto di N, Ia funzione M - } ,tt* 5.13 b); nella stessa figura b dise-
gnato (retta tratteggiata) la funzione:
1
M,--.R
La (5.15 a), tenuto conto della (5.15 b), pub scriversi nella forma
Mr:Mn-0,4**"
se Mo 0 uguale aI momento ultimo M, della sezione, Mr rappresenta il massimo
momento-esterno del 1o ordine corrispondente alla data curvatura ultima.
Ricavato dallo (5.15 c) il massimo valore di Mr (Mr
''u,)
la verifica dello stato
timite di instabilite b soddisfatta se il momento esterno di calcolo Mrdgli risulta
inferiore:
Mro ( M,
^u*

M I tn"*
./
CAPITOLO 5
Fig. 5.13 b - Dia$ramma momento-curvatura.
Se M, -u" si ha per una curvatura minore di quella ultima (corrispondente
ad M,,),la rottura si raggiunge per instabiliti, altrimenti vorrd dire che la rottura
si ha per raggiun$imento della resistenza della sezione.
5.2.1.4.2.2 Metodo diretto dello stato di equilibrio
Dalla (5.15 tr,) si deduce che Io stato di equilibrio b verificato se esiste una
curvatura tale che:
ed inoltre:
_M_
{,
lr,
5.2.L.4.2.3 Verifica degli elementi strutturali
Il metodo della "Colonna Modello" pud applicarsi anche ad aste vincolate e
sollecitate diversamente da quella di fig. 5.13 4,. Anche in questo caso il proble-
ma b quello di definire una forma di deformata limite che permetta di calcolare
le sollecitazioni del 1o ed 2o ordine nella sezione di massima sollecitaziote.
Nel caso di fig. 5.13 dla sezione di massima sollecitazione b quella dimezze-
ria dove si ha:
M: Mt * Mz: N'a +N'6
Ipotizzando una deformata sinusoidale dalla (5.15 b) si ricava 0, in fun-
zione della curvatura I O.,tu sezione di mezzeri.a e della langhezzalibera di in-
R
flessiotte lo: I: " i f
E:0.1 t't-l,
R/
Definito cosi Mr, il procedimento b uguale al caso della colonna incastrata.
M
--bN.'
0,412+ t
#
> Nto

Fig. 5.13 c - Esempio di Colonna Modello per asta incernierata a$li estremi.
cf
+
Fig. 5.13 cl - Esempio di pilastro sogge[to al carico tli punta.
5.2.1.4.2.3 Es;e'mPio
Si verifichi la colonna singola, riportata in fi$ura 5.13 d, dalle se$uenti caratteristi-
che:
I :5,50m
b :60 cm
h :40 cm
c :3 cm
A,,: A',,: 6 A20 : ]B,B4 cmz
sottoposta alle seguenti sollecitazioni:
N:75t
M:10tm
+
I

oooJOZ
e realizzata con i seguenti materiali:
cls: R.,, > 350
acciaio: Fe B 38 K
Le sollecitazioni di calcolo, considerando una eccentricith non intensionale
L,
Pr) : ---=. va[{ono:
3oo " lr,, : 1.5 trr : rl2,s t
M,t: I,5 M + eo N,t: L2,I2 tm -- lqlftl
^*La lunghezzalibera di inflessione dell'asta, per il vincolo presente b data cla:
h,: 2 L: 11,00 m
Pertanto il giratore di inerzia vale:
t : l+:r1,b2cmVA
e la snellezza clell'asta si ottiene quincli dal rapporto:
r: -L- : sb,b
1,
Poiche risulta:
84 : l"+ < l. < B l"* : 102
necessita verifica ad instabilith della colonna.
A tal fine vengono ipotizzati i se$uenti legami costitutivi di calcolo dei materiali (li-
gura 5.13 e).
Cott'glomerct'fo: dia$ramma parabola rettangolo con tangente orizzontale nel punto:
E,.o : 2,0o/oo
o.,, : 0,85 -f,.a
: 0,85x0,83x.R./1,6
e deformazione ultima
Er',, :3r5o/oo
Acciaio: Diagramma elasto perf'ettamente plastico con ordinata massima
an : Jaa: f.,,n/1,I5
8,, :2,lxl0-6 kg/cm2
€,,,, : 10o/oo
Tramite un programma di calcolo automatico vengono valutate, per assegnate curva-
ture, le grandezze adimensionali pl e v cosi definite
CAPITOLO 5
modulo elastico
e deformazione ultima
con:
N
N,
M
,MO
t
N:lo".dA+lA,,i.c,ri
J^' ;
I
M : I o". y. dA *LA,,i. Uui. otti
t,
Nu:A.'f"d:370t
M,,: N,, . h: l4B t,m

6*.0.85fcd
Fig.5.13 e -Legami costitu-
tivi di calcolo per il conglo-
merato e per I'acciaio.
nalizzat"o. Essendo:
Risulta dal grafico
curvatura:
e vale
gco
1 1 4,,
F: :v.1,
[;,l
.x
che il massimo momento del
1 : 0,0035ti
p, - 0,154
383
tu E
fvd
t.y
fvd
In lig. 5.13 f b rapprcscntato il cliagramma p-X per il definito valore di:
N,,
": ff: 0,303
Nella stessa ligura b tracciata la retta F:z-X, in cui p, momento clel II ordine adimensio-
M,:N(+)'+
*z.Mo_vN,, (*)' + +
c la curvatura atlimcn sionalizzaLa,
* :(+)/,
I ordine disponibile si ha per una

384 CAPITOLO 5
Rimane quindi soddisfatta la verifica:
o 0.2
-Ftd
N
.!-rO
I o.rs
'a
c
0)
E
T o.t
o
-Pcqt
$ o.os
E
M,(disp) : 0,154 x l4B : 22,8 tm ) M,,: 1.9,12 tm
o o.oo1 o.oo2 o.@3 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.oo9 0.ol x
cunvatuna adimensionalizzata
Fig. 5.f3I - Diagramma adimensionale momento-curvatura.
Pro e" (x103) e ,, (x 103) (+),,,,(x 103) p Ftlisp
1
2
3
4
5
6
7
O
o
9
10
11
t2
13
1,4
0,000
O,B2B
0,911
1,006
1,115
1.242
1,389
1,563
1,769
L,942
2,163
2,422
2,725
3,082
3.500
-0,000
-0,256,
-0,361
-0,486
-0,635
-0,811
-1,018
-1,26r
-L,542
-1,942
-2,393
-r) 0t9
-3,543
-4,27I
-5.t25
0,000
1,170
1,380
1,610
1,890
2,220
2,600
3,050
3,580
4,200
4,930,
5,780
6,780
7,950
9,330
0,000
0,109
0,22
0,135
0,151
0,168
O,18B
0,210
0,236
0,242
0,243
0,245
0,246
0,246
0,247
0,000
0,082
0,090
0,098
0,107
0,117
0,128
0,140
0,154
0,145
0,130 "
0,112
0,090
0,046
0,03315 ,500

Capitolo 6 Stato limite ultimo di instabflitd
6,0 Notazioni
Nel presente capitolo sono state usate le notazioni seguenti:
ei e1i €2 : eccentricite
E,i E, : moduli di elasticitd
E.I :rigidezza a flessione
: modulo di taglio
: raggio giratorio
: altezza totale della sezione
: rrlorl€oto quadratico di superficie
: luce
: luce libera d'inflessione
: momento flettente
: rrlofil€oto flettente del 1o ordine
M"s, Miry: Irlofilellto flettente esterno e interno
: momento di nodo
: sforzo assiale
: carico di svergolamento
: carico critico
: curvatura di una trave, di un traverso
l/r"6 : curvatura di un pilastro, di un piedritto
: rigidezza di una trave
: rigidezza di un pilastro
: angolo
: momento torcente
: deformazione angolare di torsione
: rnolll€flto flettente ridotto di calcolo, riferito ad ft
: sforzo assiale ridotto di calcolo, riferito ad ft
: modulo effettivo di fluage
: deformazione di torsione di Saint Venant.
a
Oest
b
C
co
d
G
i
h
I
L
L"
M
Mo
Mj
N
N"
: inflessione laterale
: inflessione laterale assunta
:larghezza di una sezione
: fattore di sezione per la rigidezza a torsione
: valore di C basato sulla teoria dell'elasticiti e sezione omogenea
: altezza utile della sezione
N",,
l/16
sb
'a s"or
n
T
6
L+o
Vg
9e
,1.,
6,I Forme diverse del fenomeno dell'instabilitlr
Come noto per un pilastro compresso centricamente, inizialmente rettilineo,
linearmente elastico, si pud parlare diun carico di svergolamento N". $ejt c4ric,o
4{.4-Sl.*il+pt1o,:,riman9 ,al,:di:sot1o,, {i dgtto,valore.rl;ptl4slrg. risulta" stibiildr.ffi
un'inflessione laterale del pilastro, causata da un qualche carico trasversale di
disturbo, scompare completamente dopo .h" q*rt';hirno d stato rimosso. Se il

V. ANALISI DELLE STRUTTURE
r/
d;gnaggie;a,.di,N" il carico di disturbo dir luogo-a una grande inflessionechg
quad;,,,non provochi la rottura, scompare .Solo parzialmente.guan$g +ttffi
J"rA"i.ti" iiiiosso-"tllpilastro,rimanein una posizione inflessa di equilibrio- Il''
iiiffiil.jiitgo Me;i ;idit o in c qrrisp ondenza del quale e siste
:un
a tale p o si zi one
infldssa di equilibrio b il carico di Svergolamento l/" ' '
Xet quaAro del metodo di calcolo-secondo la teoria dell'elasticitir, che preve-
de piCcole.inflesSioni-iateiali, quando N d pit grande di N" dette inflessior$
,ir"fi""", a"iponto di vista del ialcolo, infinitamente grandi e si usa dire che il,;r
;|ffi;;; ir"ioOitr.Il carico di svergolamento d con cid quel carico-critico in
ioitirpo"aenza del quale lo stato di equilibrio del pilastro passa dall'essere
stabile a risultare instabile. La forma della curva d'inflessione in corrispondenza
dello svergolamento e I'entitir del carico critico dipendono dalla geometria del
pilastro e laile condizioni di vincolo. La figura 6.1 illustra i ben noti quattro casi
di carico critico di Eulero.
tMl-
Il fenomeno di instabilitir appena descritto d solo un esempio fra tanti. Si pud
infatti con tutta generalitir ali..*are che la brusca variazione nel carattere della
loro deformazione, che caratterizzalarisposta di molte strutture quando vengo-
no assoggettate a un processo di carico gradualmente crescente, non d dovuta n6
al collaiJo dei materiali n6 ad altre alterazioni delle loro proprietir meccaniche.
La ragione va ricercata nel fatto che al crescere del carico, per un valore di
qu.rtJ, detto carico di svergolamento (o carico critico) della struttura, il modo
ji d.fo.*ursi di quest'ultima diventa instabile ed essa cerca allora un altro tipo
di deformata stabile. Il carico critico non d necessariamente il massimo carico che
la struttura pud sopportare, quantunque in molti casi i due carichi risultino
Figura 6.1 Carichi criti-
ci e forme d'inflessione
laterale nei quattro casi
di Eulero.
RigidezzaE'Idelle
oste : costunte.
Figura 6.2
Svergolamento di un Por-
tule.
pressoch6 identici.
,Se,,it,brusco passaggio nel regime di deformazioni della
qu4ndA itslptglialq'i,: !'or4.'{ir1.-e.g.r
egg elastico siij'arla di
struttura si verifica"iiiiioiiti
,in'ti*d.

-
6. Stato limite ultimo di instabilitd
)
c
e
ti
Figura 6.3
Svergolamento spaziale di
un fabbricato a piit piani.
f-- s
Figura 6.4
Sv ergo Ia men t o fl esso- t o r -
sionole di una trave.
:^:i:T:'11:,:.ltrj:.rificare anche.nei telai piani (tis. 6.2)e in tutte le strutrureportanti j?li.tllr: da pilastri e torri stabilizz^anii A". o.liPer quest'ultimo tipo di strutture l,irnstabilitd spaziale si verifica con defor-mazio,nidi'u..eo-t-u-.'t;i;?;;;'#;iil"r#",iJ:[".i'.:ilira di rotazione.
,
"u_,i
:ln11 5 jilr? T,rqa
di in:tab itir a c ti,* ii iii,iu t
"
fless o _
t o rs i o n a red elte trai'i, che comport a sia trasrazione,iu .oturi o#fffu #; i;iffi ??[: "{.7;
6.2 Imperfezioni e fessurazione
In'realtd,gogp.$i$t,o.{l-o..Pt
e1!{i a,{Iayi n-erfe,1tarne,4!9 re1,ti{igei e caricati centrie-
T.nt. Nella piatica ii verifibano sem-pi" i_plii.ij
---*eometriche
in forma dicssv4lur€i;'e'scentrigirade!'93rie$'i ils,*+..g.rri"+*uup igp gsistealcun mareria.
ffi:'H:fi
"'i!lli;#,ine.
in tina,,t,uttuiJln- A;:*;;" ";;;; ;il;;;;#;
La presa in considerazip-4E..4elle iarpel,-f,.e..gi.94r,e della fessurazione conducea'un.Yalore della capacite por{ente st,g+ptlA,t $; fiaizuffi oiiaiV_il o"r,carico basato sulra ieoria ii"."i.-oJi'erasticitJ ..ruirii.rione omogenea.
La figura 6.5 mostra la relazione calcolata fru ii;;;;" assiale e l,inflessionelaterale di mezzeria di un pilastro che ha una .uruuiuru'iniziale parabolica e unvalore di vertice e variabile.
8' ' si vede come il.gpr!co.di,p.!4,ta ideal.._9 ,pulgro j)oss-a,gq$qre raggiunto solonelcaio,puramenre't'di.o,tdimm;initiare' ii; pilastro: Larelazioneillustrata risurta ben documentata arrch. rp.rir*ntur^iJrrr..
va notato che re curve di figura 6.5 moitra"" .i.;;; un punto di massimo.In corrispondenza di detto il;;t.;;ipilastro p"r;il;il" r,uuin,a ail,instabiliti.Normalmente n6 la resistenza aerlcarieslrffi ff#iiu o.tt,u..iaio risultanosfruttate in corrispona."tu oJ a.tio oJu*i*", si prolrinli purtu.. di rottura perinstabilitd anche nel.caso.di un pilastro caricatb eccent.icamente, ma in corri-spondenza di un carico diverso dal carico oi r".rg"i"-.nto basato sulla teoriaelementare dell, elasticith.
,Nell'esempio citato si,d tenuto conto ,glo,.gi un tipo di imperfezione, eprecisamente la curvatura.'Nelle,strutture reali:sihannri;. tipi alirio"ri"ri."ida considerare e ciod le imp.trerioni ;il;;rt*;fi #fi; a dersistema portantecome comptesso, de'/' ere men to a i stiiiii;iJiiti; rriil e tasversa re. L, ar go_mento'verrd ripreso
".t
purugiufo 6.ib.

-
Figura 6.5 Relozione fra
carico del pilastro e in-
flessione laterqle in un pi-
lastro inizialmente curvo.
Vengono qui di seguito esposti quattro <livelli I + 4>>
divisi secondo il grado di precisione, tutti basati sulle
guardo alle imperfezioni e alle proprietir dei materiali
come esempi illustrativi.
di calcolo semplificati,
medesime assunzioni ri-
e con strutture a telaio
6.3 Calcolo a <<livello 1>
Questo livello d il massimo che si pud raggiungere nell'ambito delle assunzioni
previste dalle norme dal punto di vista delle imperfezioni e delle ptopii.tu O"i
materiali. Il procedimento di calcolo per una struttura a telaio p,to .ir.i. descrit-
to nel modo seguente.
u)
k.:t{"ttuge vieq-e-$_yjsa
in Ja.l.
gpqo:t}no,,nqmero di elemenri. Sulla base dei
diagrammi u -'e di calcestruzzo e armatura si stabilisce, per ciascuna;ri;
:p..:..11.djs11osiziong
di a-rlnatura a,ttuale, la relazione esi-stente fra momento
lleffehte M'E curvatira 7lr, avendo lo sforzo normale A/ come parametro.
Detta relazione acquista I'andamento di principio visibile nella figura 6.6.
La relazione che si calcola sulla base dei diagrammi stilizzati tensi,one-defor-
mazione proposti dalle norme risulta pero un po' approssimativa. o"Joru qi
d.e."fl,id9r{pra:*T.4,qgio.t
Pleiigg.1: bisgenl fut {iqtqg-u aiugr4ry1t-ri tediione-a;l
formazione reali, ricavati mediante prcive sui materiali impiegati:'
Figura 6.6 Relazione
di principio esistente fra
momento flettente M
e curvatura I/r in una
sezione compressa per
diversi valori dello sfor-
zo assiale N.
I
l

6. Stato limite ultimo di instqbilitd
b) Si sceglie un andamento dei momenti e un andamento degli sforzi nella strut-tura che soddisfino le condizioni di equilibri; ;;; l; ,]tuurion. di carico e perle imperfezioni geometriche in questi,on. i,,.JJriJrrd.rrru di un valore sti-mato or,, della deformazione della struttura.
c) usando la figura 6'6 si calcola l'andamento della curvatura lungo la strutturae da qui, mediante integrazione numerica, unu nulua deforma zione a"o1. serisulra ocat = eesr gri andimenti scelti p.;i ;;;;il;';.. gli sforzi scelti sonocorretti, diversamente si ripetono le fasi di calcoio-i" rfino a che a,,,e o,o1mostrano una sufficiente conve r genza.
La condizione affinch6 la struttura possa sopportare il carico esterno attuale dche I' infl essione assunta e quella ."rc"i"i:,""iJi""i;;'; ;;r.idere.In alternativa si invertono le fasi di
"ut.oio
a .
",li"i^ri
assume un andamen-to della cirrvatura che fornisce la configu.arion.-o.rrr-u,u mediante doppiaintegrazione' Dalla figura 6.6 si ottengono a fronte dell,andamento della curva-tura gli andamenti del momento fletGnte e dello sforzo assiale, dopo di che sicontrolla se le condizioni di equilibrio sono soddisfatte.
E facilmente intuibile.o.n.;;;i. metodo risurti raborioso, specie nel casodelle strutture staticamente indeterminate, in quanto la ,..rtu degli andamenti disforzo e momento neila fase ai calcoil a oeue .omp;;;;r. le quantitd statica_mente indeterminate X.
Inoltre bisogna controllare le condizioni di continuitd fra i diversi elementidi struttura' In tal modo si determinuno 0". p"r.oirill.iati"i; uno che fa conver-gere ecat e sesl per le quantitd staticamente indeterminate x scelte, e uno cheFigura 6.7 Schema di
calcolo al <<livello I>> per
una struttura a telaio sta_
ticamente indeter minato -
Scelta delle quantitd X staticamente indeterminate
Scelta di a est per la parte di struttura
Calcolo degli sforzi di sezione N, M e T
Determinazione della curvatura j/r dallafig. 6.6
Calcolo di a s51 ed a,r51
ocal= Sest?
STOP

V. ANALIY DELLE STRUTTURE
/
t
controlla le quantit?r X affinchd risultino soddisfatte le condizioni di continuitd.
Schematicamente le due procedure iterative possono essere descritte con un loop
interno riguardante la configurazione inflessionale a e un loop esterno concer-
nente le quantitdr staticamente indeterminate X (fig. 6.7).
Anche strutture decisamente semplici possono talvolta arrivare a richiedere
un numero di iterazioni molto alto specialmente se vengono a frapporsi difficoltd
nell'ottenimento della convergenza nel procedimento iterativo. Inoltre la relazio-
ne di figura 6.6 viene a modificarsi nei casi, non infrequenti, in cui una parte
della struttura viene scaricata lasciando caricata la parte restante.
I metodi sistematici necessitano dei calcolatori e sfruttano metodologie ma-
triciali e caricamenti a gradini, in corrispondenza dei quali le matrici dirigid,ezza
vengono modificate per ogni gradino di carico per tener conto delle relazioni non
lineari. Un metodo molto completo d stato proposto da Ersvik [1].
.1 Il lcalcolo alivello l>>, tenendo conto dell'impegno che prevede, viene in,
genete,..fi rvaloslle:etr.,utture destinate a.una prqduzione in serie (ad esempiou
pilastriof6bi prefabbricati); Essolpud.es.tpadoperato anchr.o-.-Uut. p.i fu
stesura di tabelle di dimensionamento.
La possibiliti di trattare nel modo sopra descritto la capacitir portante delle
strutture tridimensionali risulta a tutt'oggi alquanto limitata, specialmente a
causa del fatto che la relazione fra momento torcente e deformazione di torsione
non d completamente nota per quanto riguarda gli elementi di struttura fessurati.
6.4 Calcolo a <livello 2>
A questo livello esistono metodi che contengono determinate semplificazioni
rispetto al <livello 1>, specialmente riguardo al calcolo delle deformazioni. Fra
detti metodi c'd quello di von Karnnan!.'hepqf,te,,$++q,
+ry9 ppm: Oueffe $i"figyr16.6 perla lslazisns framomento M e curyaturi !/t:g,iunqs€zrofle,.€or&tr
teristica dell'elemento di struttura considerato. La deformazione si calcola mJ-
diante l'assunzione di un andamento semplice della curvatura (ad esempio co- {
tit#iit€i#tHd#bmilie tinuioidale),'e si f u0, allora scrivere :
r2TJ
Q:ak- ;
r (l)
dove:
l,,
=..Flgh
e _zza dell' elemento di strgltg1p,
k i toefficiente che dipende:dall'andamento della curvatura.
Il metodo risulta di uso agevole per pilastri semplici a sezione costante.
pilastro incernierato ad entrambi gli estremi, con inflessione laterale
come sinusoidale (il che d accettabile nel caso di armatura costante)
k : l/12 e la deformazione laterale in mezzeria:
:.,,r , L2 L2
4an
= i! =,Jn;,
F m !il momento di 1n9zz-eria,che si verifica, senza tener conto delf inflessione,
il momento esterno totale di mezzeria si puo scrivere:
M"rt:M+N. a:Mo* !#,
L'equq,zione (3) rappresenta una relazione lineare fra il momento esterno e la
curval-ura: La relazione in parola si lascia facilmente combinare graficamente
ccjnlti:relaZione'fra'diomeno i?tiiriio"Min,e curvatura illustrata nella figura6.6.
l. Detto anche metodo deilq.slq|a.di.,9quilib1io, deriva da quello della colonna modello [2] di cui
mantiene le ipotesi di base: deformata sinusoidale, asta a mensola, sezione costante lungo I'aitizza..,
Per un
assunta
risulta
(2)
(3)

6. Stato limite ultimo di instobilitd
Figura 6.8 Controllo
della capacitd portante di
un pila*ro con il metodo
di ion Karman.
1/r
se la linea retta che rappresenta I'equazione (3) taglia la curva convessa cherappresenta la capacite portante di momento della
-sezione
in corrispondenzadello sforzo normare in questione, risurra M;,-2 i;: n.l ,.g-.nto di curvatagliato (fig' 6'8)' cio comporta I'esistenza di una poririon. di equilibrio stabilein corrispondenza della curvatura che corrisponde al punto di intersezione disinistra nella figura.
Il caso in cui ra linea retta risulta
lanqente:r-app{esenta il caso limite in cuiil'ffiastro passa'dalr"rr.t lsladirel#ris.qJ!
e.,irist ile, in ibrriibondenzi,deipunti di massimo discussi u proporiio aerte curue il"riiura o.s.Il metodo di von Karman si puo adottare;;.-h;;;?utture piir complicatecome i telai' ma allora I'andarnento della .utuut*Ileu. ,iguaraare ciascunodegli elementi facenti parte della struttura e deve essere stabilito in modo che lecondizioni di continuitd risultino soddisfatte. Il ."i;;j;.i-un. iterativo, ma perstrutture particolarmente semplici eseguibile anche ;;;;..
Mext:=, Mo f. N',,L211 0 r
r.,,:,r;:*r,r:::r:.li.:i:i:;;0e ;;;;lliii :qf b1i"3ir;i&3iE$$l?ffiquindi 1l.r*1 = 2ro, Lo gtorz-o normale nel ot
l" r?l=j9!l cteile esrremftd degti"etementTi
;r1r.,,,ir,..;..1$,1':.:..:tt:J.?..p!J.NgJrr11E.!,iSgnsldqrgcomg,,,tifi:$eiie6'tt
fvat!.rya.,p.()€itilaj

:J
/
(
: Fii*i6 6;;g,'
.'
(ti,EiAm: .
pio di portale. (b) In-
flessione e carvatura.
,''
1c)'!Lw d tugn 14 in .
so;7 1i;
spondenza del piede del
piedritto si ottiene con-
siderando imperfezione
lniol=.N{.€t.!,]a1)
,.i1.'{5)
6.5 Calcolo a <<livello 3>
A questo livello sono fino ad oggi disponibili metodi di calcolo per telai e simi-
li, in cui, dipendentemente dal metodo di soluzione, si tiene conto delle inflessio-
ni mediante espressioni delle rotazioni e delle rigidezze basate sulla teoria del-
I'elasticitir. Si pud tener conto dell'influenza della fessurazione sulla rigidezza
E.I a flessione mediante le seguenti formule approssimate dove e": e(t, to)
: coefficiente effettivo di fluage.
E ' I: o'48"' I"
l*p, (6)

359
oppure:
E . I: Er, rr+ o,zEr' I,
l*e,
Queste formule valgono per un contenuto di armatur a Ar/4")-0,01. va usata laformula che fornisce il valore piir grande.
.iod,Quund
o A, :0 la rigidezza si pone uguale a quella deila zona compressa e
(7)
(8)
EI : 1,35 E" . I"
(,
- 2:-'
hl
(t+%)
Nel caso di valori di -4" compresi fra 0 e 0,01 _4" si interpora linearmente fra laformula (8) e la (6). Lle_quazione (8) d valida net aominio t/6<(e/h)<t/2.
Quando risulta e/h<l/6 vale I'equaiione (6).
^ Anche per le parti irrigidentf la rigidizza si calcola tenendo conto dellafessurazione, il che pud essere fatto secbndo re equazioni (6) e (7), scegliendoquella che fornisce il valore piir grande, oppure secondo l,equazione (s).Per le travi facenti parte di un telaio nut"tui-""iJ d anche consentito dicalcolare rarigid,ezzaner modo solito, avendo come punto di partenza la sezionefessurata costituita da calcestruzzo eacciaio, il che;"i;;. della sezione rettan-golare ad armatura semplice fornisce:
E.I:E,.A,(d-x)
ll calcolo di 1d facilitato dar diagramma 3.2, parte vIII.
T:1.:::jt:::Tlll: d,armarura variabili si pud aJottare per A,,
f:l':.=::::*tL:lLl;;il;-.;pJffiT:'L"::'il?:?T'ffi'#''l'#.:i:fra armatura di campata e armaturi-d'appoggioj.
?l:f:l_* l'_eo,Ya3ton3.(8)
vale. p., uiroii di (e/h) compresi fra t/6 et"1,1
"!!::*
minimo di E . r d zero e l valore *ur ri* o ;,,o;;il"t""r,lTo'J,,:.1quazione (6).
Q-+) (e)
Dopo che si sono calcolate le distribuzioni di momenti e sforzi secondo lateoria dell'elasticitd sulla base delle rigidezzeu n.sion. upp"nu citate, si dimen-sionano le sezioni per la sollecitazione composta di pressoflessione sfruttando ilmetodo allo stato limite di rottura. Qui esiste u".it* di principio, poich6 ladistribuzione di tensioni e deformazioni r.iruirioti.,-adottate per il calcolo'"delle deformazioni, non coincidono con quelle urrunl.'p.r il calcolo della resi-stenza. Il calcolo conduce ad ogni modo.apioamenl. 'ut
trug.rardo limitandoI'iterazione alla previsione del contenuto d'irmatura,-it .tr. in genere richiedesolo un dimensionamento introduttivo di massim a. '
Le equazioni (6) + (8) proposte forniscono valori delle rigide zze tali che leinflessioni e i conseguenti momenti risultano ,oururti-uti.
Invece di un completo calcolo di un telaio ,i porroro in molti casi calcolarele sollecitazioni facendo inizialmente astrazio". oirlelrrnessioni e aumentare poii momenti mediante moltipricazione per un fattore di amplificazione.
va anche osservato che per la miggior purt. a.i.*l oi t.i"i
"".mari
si puotrascurare I'influenza delle inflessioni addizionali. per i"ierai traslazionali a unoo piir piani si pud assumere che le inflessioni uoJirio"url abbiano un,influenzatrascurabile sulla precisione del calcolo qualora i carichi ciiti.i iir,rrtin" ,rplri"ria l0 volte i carichi di calcolo. cid d spesso dimostrabile mediante un semplicecalcolo di massima.

6,6 Calcolo a <<livello 4>>
/ A questo livello si collocano quei metodi di calcolo destinati al dimensionamento
del singolo pilastro, principalmente nelle strutture non irustariorrali. La lunghez-za liber a d' infl essione :
L":7r^fErV N- (lo)
si calcola con la teoriadell'elasticitir, ad esempio con l,ausilio di un diagrammacontenuto in un manuale specifico, dopo ai cne I pitastio viene dimensionato conil metodo esposto nel paragrafo j.3, parte vI, ; con un qualche altro metodosemplificato dal lato della sicurezza.
^ uno di questi metodi semplificati si basa sul metodo di von Karman e sulfatto che I'accorciamento limiti del calcestr uiro-ri;;li;;;".ento limite dell,ac-ciaio risultano completamente sfruttati nette sezioni plJ.i:*.", ate. Lacurvaturasi calcola in questo caso con I'espressione:
I _ 3,5 x l0-3 (l + ,p") + era
r d (11)
!9ve era d I'allungamento corrispondente al limite di snervamento dell,acciaiod'armatura, con la limitazione ,ro<2,5V00.
Il momento esteJno, amplificato per tener conto den,inflessione, si pone paria (vedi equazione (3)):
M"r,:Mn* N'L?
" 10r (12)
La sezione del pilastro si dimensiona quindi a pressoflessione (N e M,",; cap. 3,parte VI).
Questo modo di trattazione presenta il vantaggio di non richiedere alcunaiterazione ma anche lo svantaggio di sottostimare, liiuortu
"otevolmente,
la capa-citlr portante. Il metodo d perd ut tlizzablle per un amenrionamento di massima,come introduzione a un calcolo pii sofisticato a <livello-i, oppure a <livello 2>.
6.7 Raccomandazioni per Ia scerta der metodo di carcoro
I complicati metodi di calcolo ai <livelli I e 2> richiedono normalmente l,uso deluvr
:::r:,_.:.:,1t1*T: lonostante
cio, satvo .ari ....ri,onuii, n,oito i"U"ri"ri *_
::.-i,o,::.1 yl1l. riservati.ai casi.speciari, uJ.r-.*piJ;;Gr""d#;#?;l;per il dimensionamento di elementi prodotti in serie.
**:ly::_'^T::,1, "i::riv:lli:.e
+>risuliuno'pir, adatti au,uso pratico, in
.t":11,?3g,jf *:i]::1*of f retabeueediagra;miill#;;;b;.:#.;;#
li,Tlggl_"1
complessitd dei metodi ai <livelti I ; i> orri. ,p.rro lnSOIO Un'aDDafente maooinrn"enioi^-o -^ ^i +i^- r ,, ',.
,c..?:lrq,,t{,gpart'lfasglo,uniappqrente mag$ior precisione, se si tien
"o"t"
A"if"i*it"i;9O[psee$za.delle proprieti di deformazi.ir.,e rteoti ^i;^-;; rr ^+---*---- --,rr
ga[p]sep$za.clelle proprietd di deformazione degli elementi di struttura ;.il";;"_dio fessurato.
Infine va perd detto che determinate strutture si lasciano trattare ai livelli piiralti di precisione con relativa facilith, il che pro .*arlt. a non trascurabili otti-mizzazioni. Per illustrare questi concetti
"i;; q;i;irilrir" studiato ai vari <li-velli> di precisione un semplice pilastro a mensola caricato in sommitir.
6.9
Un serbatoio industriale grava tramite un'orditura in acciaio su quattro pilastriin calcestruzzo lunghi 7 m econ sezione b x h: I x I m2. I pidil";;;Jlil..idi spostarsi in sommitd e incastrati alla base su roccia.
Esempio di calcolo ai <livelli l+4>>
Assunzioni

6. Stqto limite ultimo di instabilitd
Figura 6.10
Imperkzione iniziale ed
inflessione a.
Il carico centrico di calcolo previsto per ciascun pilastro arriva a 6 MN e si pud
ritenere abbia nella sua totalitd caratteristictre oitunga aurata; il che comporta
9": 3 nell'ambiente in questione. Si vuole indagare irediante calcolo ai <livellidi precisione I + 4>> se i pilastri si possono realiziare non armati. prove prelimi-
nari hanno evidenziato che per- il calcestru zzo d,a util-izzare si pud assumere
f,u: 13,9 MPa e E":21,5 x 103 Mpa.
Imperfezione strutturale, inclinazione iniziale (equazione (22):
max7,oo = (0,, *-*) o,ol5 x 7,oo : 0,063 m
curvatura (parabolica) con il valore di vertice in mezzeria del pilastro
7
eo:100 :0,023 m
Lo sforzo assiale ridotto di calcolo risulta:
6
- 0,432
1xlxl3,9
Indagine mediante calcolo a <<livello 1>>
Si assume che l'inflessione laterale del pilastro varii rettilineamente da zero alla
base fino al valore di sommitd
omux:0r10 m
Nella sezione d'incastro si ha:
M^*:Mo+N.omax:
:6,0 x 0,063 + 6,0 x 0,10:0,3g + 0,60:0,9g MNm
Il momento flettente ridotto di calcolo risulta:
Y0:
b.h..f"u
Fo: b.hr..f"u
_ 0,gg _=
T;1, x 13,9
: o'071
Entrando con questo valore nel diagramma di figura 6.17 si ricava:
L:0,57 x l0r l+3 :2,28 x l0-3m-r

/
A metd altezza del pilastro si ottiene:
M:Mo+l/.
:u(gF+0,023) *u+:
:0,33 + 0,30:0,63 MNm
0,63
1x12x13,9
: 0,045
A: 0,33 x l0-3 x 4,0: 1,33 x I0-3 m-lr
Calcolo a)
che fornisce
sfuttando la relazione l/r: - s" si pud calcolare una nuova inflessione q con
un'integrazione numerica dalla prima assunta, e una nuova da quella cosi calco-
lata e cosi via, fino a raggiungere una soddisfacente conver genza.
Il calcolo viene riportato in forma tabellare. Leintegrazioni numeriche sono
eseguite secondo la regola del trapezio. La lunghezza dil pilastro d stata divisa
in quattro elementi uguali.
Nella tabella d riportata nella prima colonna la coordinata longitudinale x
calcolata dalla sommitd del pilastro. poi, in ordine, sono riportati:
- M0: rnoflleflto senza I'influenza dell'inflessione,
- o"*t: inflessione assunta (variabile in modo rettilineo),
- M : momento tenuto conto dell'inflessione assunta.
Dal valore di M siottiene la curvatura l/r: - a" per mezzodel diagramma di
figura 6.17.
L'integrazione numerica di a" si effettua dal basso verso I'alto in quanto
s' :0 per x:7,0. L'integrazione di a' si effettua dall'alto verso il baiso, in
quantoda:0perx:0.
-d ?1Qta'
0
1,75
3,5
5,25
7,0
0
0,025
0,050
0,075
0,100
0
0,0025
0,045
0,060
0,071
0
0,74
1,33
1,77
2,28
0
4,98
9,22
12,13
13,27
0
15
28
37
41
4,98
4,24
2,91
1,14
0
0
0,35
0,63
0,84
0,98
0
0,20
0,33
0,39
0,38
10 -3
1,752
1000
10 -3 1'75
1 000
Moltiplicatori
Calcolo b) -d Qzd
0
0,29
0,50
0,61
0,63
0
11
20
26
29
0
3,65
6,68
8,65
9,32
3,65
3,03
1,97
0,67
0
0
0,62
1,06
1,30
1,33
Moltiplicatori 10-3
1;75
1 000
1,752
1000
10 -3
-a a'
0
0,27
0,45
0,55
0,55
0
0,57
0,95
1,17
1,17
0
3,28
5,99
7,75
8,34
0
10
18
24
26
3,28
2,71
1,76
0,59
0
:!2 14 10-1000 '1000
Calcolo c)
Moltiplicatori 10-3

6. Stato limite ultimo di instqbititd
come risulta dai calcoli successivi la prima assunzione dell'inflessione era sfavo-
revole' I calcoli convergono rapidamente verso una massima inflessione di circa25 mm.
In effetti sarebbe bastato per il caso in esame effettuare il primo calcolo, inquanto da questo si vede chiaramente che la a calcolatu .orru.rgi ;;;;";;ripitb.assi di quello assunto, il che indica che il pilastro t-siuuil. per r/:6MN. Lasicurezza alla rottura d pertanto soddisfacenta.
Indagine mediante calcolo a <livello 2>
Se si assume che la curvatura varii in forma sinusoidale da 0 ad I/ r apartire dalla
sommitd del pilastro, ciod
- at'
risulta
11Tx
-:--SIIIrxr2L
1^_ 4Lz
r I 4x72umax-- 2
r'r12
In corrispondenza della base del pilastro si ottiene:
Msn : Mo * N . o^*: 6 x 0,063 * 6
+qq : 0,3g . +
19,96
r
Fext: M: --:- /0,r, * l 19
I * 3,0 loooft
1xt2xt3,9 1000 4l+d):b.h'.f"u
:0,027 + 0,034 :L900h
r(l + ,p")
se si inserisce questa linea retta nel diagramma di figura 6.17 che rappresenta p;,,
si vede che essa taglia la curva. La sicurezza alla ,oituru d quindi soddisfacente,
per quanto esposto nel paragrafo 6.4.
Indagine mediante calcolo a <<livello 3>>
Se I'eccentricitir risultante dello sforzo normale fosse 0,15 m<(h/6): 0,17 m,si avrebbe, secondo I'equazione (6), la rigid,ezza u n.rriorr.,
*trr'E . I:0,4 x 21,5 x 103 ,/ : 1-,
I + 3^o
: 179 MNm2
N.,: o' -!2-: 9,0 MN (1o caso di Eulero)
Con il metodo dell,amplificazione si ottiene:
M:Mo_f__=__:6xc ^,- I
, 1y )'063 - ao : l,l3 MNm
'- N- t-l,o-
M 1,13 ht: N
: -z-: o'19 t t ;: o'17 m
Con questo valore vale I'equazione (g) che fornisce:
(,
-r
o'le
3
l-:t44MNm2E. Iz: 1,35 x2t,5x lo3 xf r x r,
)
)
,i

-
Larigtdezza a flessione nei pilastri varia, in funzione dell'eccentricith, fra 109 e
205 MNm2. Inserendo di massima il valore medio (109 + 205)/2:157 MNm2
risulta N". : 7,91 MN che dd M:2,39 MNm ed e:0,40 m. Un rinnovato cal-
colo fornisce
E . Ir: 1,35 x21,5 x 103
(I -2 x 0,40)3
:5,5 MNmz da cui
12 x 3,5
(6 + 205) 12Ar - 'lcr:
2 4x72 -'
Senza armatura la sicurezza a rottura non risulta quindi, secondo questo calcolo,
soddisfacente.
Indagine mediante calcolo a <livello 4>
Lunghezza libera d'inflessionet L,:2 x 7,0: 14 m. Con il metodo di von Kar-
man, utilizzando le equazioni (11) e (12) nell'assunzione che sia d : 0,9 h si ha:
I
- r" .r' r r r 1 (r lo'
7: [3,5(1 + 3) + 2,51
q* ,p
: 18,3 x 10-3m-r
Mgyy:6,0 x0,096+6,0 xl42x 18,3 x l0-3/10:2,1MNm
Effettuando la verifica a pressoflessione si ricava che la capacitir portante di
momento della sezione del pilastro per A/:6,0 MN d Mna- l,llMNm. La
sezione quindi non regge il momento agente calcolato con questo metodo, che
pertanto penalizza le capacith portanti.
Questo esempio d stato volutamente semplificato con l'esclusione dell'arma-
tura. E perd logico che nella pratica i quattro pilastri sarebbero dotati di un
minimo di armatura per tener conto degli sforzi che potrebbero verificarsi duran-
te il montaggio del serbatoio che sono destinati a sopportare.
6.9 Assunzioni di calcolo
Proprieti di deformazione del calcesttazzo
Nel calcolo ai <livelli di precisione 3 e 4> secondo quanto esposto in precedenza,
ciod nell'usare la teoria dell'elasticitA, le proprietir di deformazione del calce-
struzzo sono descritte dal modulo di elasticitd E", dal modulo di taglio G" e dal
coefficiente di contrazione trasversale (Poisson) z.
Il modulo di Young.E" si ricava dalla tabella 1.1, parte VI di questo manuale.
G. si pone uguale a0,4E" il che si pud ritenere sufficientemente preciso a meno
che in speciali casi non si giudichi piir giusto qualche altro valore. Si tien conto
del carico di lunga durata mediante divisione per (l -t p,. Vedi inoltre paragrafo
3.6, parte II.
Nel calcolo ai <livelli I e 2>> le proprietir di deformazione del calcestruzzo
sono definite dall'intera curva tensione-deformazion€ (o" - e"), perd prendendo
in conto solo il lato della compressione, in quanto non d ammesso utilizzare
alcuna trazione nel caso dell'instabilitd. Si propongono2 2 curve oc-t, tra le
quali scegliere, una che d bilineare (fig. 6.1 1); unu .hr consiste in due linee rette
con una curva tangente interposta (fig. 6.12).
La curva bilineare ha il vantaggio di essere semplice da trattare numerica-
mente, anche nel caso di sezioni irregolari, ma non pud essere usata nel caso di
grandi sforzi normali con piccole eccentricitd, quando la tensione media di com-
2. Per una valutazione precisa delle deformazioni si potrdr impiegare qualsiasi diagramma tensione-defor-
mazione del calcestruzzo che corrisponda sufficientemente con le condizioni particolari del caso in studio,
purch6 se ne giustifichi I'uso.

Figura 6.11 Diagramma
tensione-defo rmazione b i-
lineare per il calcestruzzo.
pressione supera il varore 0,6.f,,. Il motivo risiede nel fatto che in tal caso ilcalcolo della curvatura viene a cidere dal lato oeil;inri.urirza. unaltro svantag-gio del diagramma bilineare sta nel fatto che .rro poriu a una sottostima dellacapacith portante dei pilastri snelli, in quanto it moauto ai .r*ii.iii"Jr^r'Jriii".d ridotto al valore 0,8E"
Il diagramma bilineare con curva di raccordo riportato nella figur a 6.12 sipud usare indiscriminatam€nte. La penden za dellirii* ..ttu che parte dall,ori-gine d determinata dal modulo di elasticitit E,.-u";o;;;;na curva di raccordo,
;:l.uot.
fra i valori della deformazione €g1 : 0,6fgyii"
"
,"0 : 2Voo, ha l,equazio_
t: I -0,4 (-so-.)- (13)
con
k:1,5/:*_r e.r 'l 04)
dove o" : tensione corrispondente all,accorciamento e".
Si osservi che i diagrammi di figura 6,1 l e 6. rt;G;ro per il carico di brevedurata' Si tien conto'dell'influenza-della lunga au*i":a"i carico sostituendo -8"con E"/(l * p") e sostituendo inoltre €cr, €c0 JO,OO:S .on u", (I + p"), e"s(l + 9")e 0,0035 (l + p").
Figura 6.12 Curvo ten-
sione-deformazione
del colcestruzzo bilineqre
con curva di raccordo.
1.25t"u /E"

Proprietir di deformazione dell,armatura
Nel calcolo ai <livelli 3 e 4>> le proprietd di deformazione dell'armatura vengono
determinate univocamente dal suo modulo di elasticita E" :200 Gpa.
Nel calcolo ai <livelli di precisione I e 2> si prende in considerazione tutta
la forma della curva tensione-deformazione. oetta forma pud essere assunta
qgme bilineare per gli acciai laminati a caldo e lineare dall'oiigine fino al limite
di proporzionalitir e da qui in poi curva per gli acciai deformiti a ireaJo lueOi
figg. 3.3 e 3.4, parte IV).
Proprieth di deformazione della lamella di sezione
Avendo come punto di partenza le proprietd di deformazione dei materiali si
possono calcolare le espressioni della deformazione come I'allungamento e la
curvatura da una lamella elementare compresa fra due sezioni piine, situaie a
una distanza infinitesimale. Nel calcolo ai <livelli di precisioni : e.4> cid si
effettua ricavando la deformazione come
N
;: E.r
utilizzandoivaloriidealizzatidiE.AeE.lespostinelparagrafo6.5parlando
del calcolo a <livello 3>.
Analogamente si calcola la deformazione di torsione ry' basata sulla torsione
di Saint-venant, secondo la teoria dell'elasticitd dall'equazione
,!,: T
G.C
dove G . C d la rigidezzaa torsione idealizzata.
Se con Cs si indica il fattore di sezione per la rigid,ezzaa torsione basato sulla
teoria dell'elasticith e sulla sezione omogenea, valgono per G . c i valori seguen_
ti:
e la curvatura come
E.A
M
- calcestruzzo non fessurato: G . ^ Gr'Cn(-.:+
dove: €k: accorciamento di bordo del calcestrrrzzo,
x : altezza della zona compressa.
- cls. fessurato senza fessure di taglio o di torsione: G . C -
0,3 G. ' C0
(l + 0,3 9")
- cls. fessuraJo con fessure di taglio o di torsione: G . C - ?'l
G" ' Co
(l + 0,3 9,)
Confronta con il paragrafo 3.7, parte VIII.
I dati della sezione concernenti lo svergolamento flessotorsionale si scelgono
convenientemente secondo i medesimi principi descritti per l,effetto di sfirzo
normale e momento.
Nel calcolo ai livelli di precisione I e 2 d necessario che le proprietd di
deformazione siano descritte con curve del tipo esemplificato in figura 6.6. per
ottenere dette curve si parte dal postulato che le sezioni piane pe.mingono piane
dopo la flessione. Nella figura 6.13 d riportata urru.oitu lamella Ailitastro ai
lunghezza 1 e dalla similitudine geometrica si vede direttamente che la curvatura
risulta
1-: jo
rx
(l + p")
(15)

367
Figura 6.13 Lqmello
cttrva di un elemento
di struttura compresso.
Per calcolare i valori del momento Me della curvatura r,/r corrispondenti a undato sforzo normale N, si sceglie un certo numero di varori e6 ( 0,0035 (r + p").
:;Jrrtfrt:tn
valore tn si passa al corrispondente uuror. oi x dallacondizione di
N":
J*oo"
. u . dz -ZoA, . o, (16)
:1rTi*tt'o
intorno al baricentro della sezione si ottiene dall,equazione (fig.
Mc:frt" b . y . az-Zoe" .os../s (17)
Neile equazioni (16) e (17) sono:
oc : tensione del carcestruzzo (positiva se di compressione) alla distan za z dar_I'asse neutro,
b = larghezza della zona compressa nello stesso punto,
o": tensione dell'acciaio (positiva se di.trarion"i;;ii;r.u d,armatura A, ayadistanza y" dall'asse baricentrico della r.rio.r..---^
*"
iigura 6.14 Base per il
tlcolo della relazione fra
Ie I/r=ek/xperun
Vo sforzo noimate N.
deformazioni
o
J
o
c
o
u,
o
o
tens ioni
4

V. ANALIST DELLE STRUTTURE
/
Le tensioni ac e os si determinano immediatamente dalla distribuzione piana delle
deformazioni determinate da ep E x e dai diagrammi o - e valevoli per il calce-
struzzo e per I'armatura (fig.6.la).
Nel caso della zona compressa rettangolare (ciod quando b risulta costante)
il lavoro di passaggio si semplifica notevolmente qualora si utilizzi la tabella 6.1
che fornisce il valore della risultante N" delle tensioni di compressione nel calce-
struzzo e la sua distanza 0 - x dal bordo compresso secondo le equazioni.
*: J;
o". b. dz: a..f"u. b. x (18)
(1e)F,(l -B;x: J'
o" b.z.dz
'de"
La tabella 6. I d basata sulla curva o, - (" di figura 6.12 e sulla curva di raccordo
espressa dall'equazione (13) con:
I
a:-
omu' Ek
I
l€k
I o,' de,
.l o
(20
(2r)l-0: )
o^u*' t-k .1, "" "
'103.*
11p"
A"k 16 R"k20 R"k25 R"k30 Bck35 R.k4O Rck45 Rck50
Q
a B u B a 0 a B a B a I " t 1.%
0,2 0,277
0,4 0,519
0,6 0,662
0,8 0,744
1,0 0,795
1,2 0,829
1,4 0,854
1,6 0,872
'1
,8 0,886
2,0 0,898
2,2 0,907
2,4 0,915
2,6 0,922
2,8 0,927
3,0 0,932
3,2 0,936
3,5 0,942
0,333
0,348
0,374
0,395
0,412
0,424
0,434
0,441
0,447
0,452
0,456
0,460
0,463
0,465
0,467
0,469
0,472
0,233
0,453
0,604
0,697
0,757
0,797
0,826
0,848
0,865
0,878
0,889
0,898
0,906
0,913
0,919
0,924
0,930
0,333
0,340
0,361
0,382
0,399
0,412
0,423
0,431
0,438
0,444
0,449
0,453
0,456
0,459
0,461
o,464
0,467
0,198
0,393
0,546
0,648
0,716
0,763
0,797
0,822
0,842
0,858
0,871
0,882
0,891
0,899
0,905
0,911
0,919
0,333
0,335
0,351
0,370
0,387
0,400
0,412
0,421
o,429
0,435
0,440
0,445
0,449
0,452
0,455
0,458
0,461
0,174
0,348
0,498
0,605
0,680
0,732
0,770
0,799
0,821
0,839
0,854
0,866
0,876
0,885
0,893
0,899
0,908
0,333
0,334
0,345
0,361
0,377
0,391
o,402
0,412
o,421
0,427
0,433
0,438
0,442
0,446
0,449
0,452
0,456
0,155
0,3'10
0,453
0,563
0,643
0,700
0,743
0,775
0,800
0,820
0,836
0,850
0,862
0,871
0,880
0,888
0,897
0,333
0,333
0,340
0,353
0,368
0,381
0,393
0,404
0,412
0,420
0,426
0,432
0,436
0,441
0,444
0,447
0,452
0,140
0,280
0,416
0,526
0,609
0,671
0,717
0,753
0,780
0,802
0,820
0,859
0,848
0,859
0,868
0,876
0,887
0,333
0,333
0,337
0,348
0,361
0,374
0,386
0,396
0,405
0,4'13
0,420
o,425
0,431
0,435
0,439
0,442
0,447
0,129
0,258
0,385
0,494
0,579
0,644
0,694
0,732
0,762
0,785
0,805
0,821
0,835
0,847
0,857
0,866
0,877
0,333
0,333
0,335
0,343
0,355
0,367
0,379
0,389
0,399
0,407
0,414
0,420
0,425
0,430
0,434
0,438
0,443
0,120
0,239
0,358
0,465
0,552
0,619
o,672
o,712
o,744
0,770
0,791
0,808
0,823
0,836
0,847
0,856
0,869
0,333
0,333
0,334
0,340
0,351
0,362
0,373
0,383
0,393
0,401
0,408
0,415
o,420
o,425
0,430
0,434
0,439
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
1,4
1,6
1,8
2,0
2,2
2,4
2,6
2,8
3,0
3,2
3,5
Tabella 6.1 Valori del
coefficiente di riempi-
mento a. essendo
(F,: a'f*' b ' x) e
della posizione p . x della
risultante delle tensioni di
compressione per le di-
verse classi di calcestruz-
zo e per I'ollungamento
massimo er/l + pr.
La tabella si pud adoperare anche per sezioni diverse dalla rettangolare, che
risultino composte da rettangoli (ad esempio le sezioni a T, L, 1) mediante
sovrapposizione. Pud essere utrlizzata anche quando I'asse neutro cade fuori
dalla sezione, come nel caso in cui lo sforzo normale ha piccola eccentricitd,
anche in questo caso mediante sovrapposizione.
Per carichi di durata estremamente corta si pud aumentare eventualmentef",
del 1090. La tabella 6.1 si adopera, entrandovi con il valore attuale di R.k
moltiplicato per 1,1.
eiEMitO,,O*;.','..,Sezione i6ttangotarg {b,X,'.trl.6ll.accorciamenti::in cOf.ftFpondq.nladei,bordi sono ez = O,8%oo
c=,2' r"l' olt - at' fcu' b+ = fu ' b+(4qz- ..l) =
h

6. Stato limite ultimo di instqbilitd
369
Figura 6.15 Esempio
di calcolo di F" e Ms
quando tutta la sezione
i compresso. €2=4e1
ii,
i.i[f ,"lii*G
1,"u,1.8,,;"ffifl:l,nu,
u, = 0,370,;p1:= g,sss ricaviti danalabeua.e .r. it momenio
t.
.. .,
'
llmomentointorno.ait'assebaricentrico.risulta:....'
T* Z/ =f*'b 'h2(0,2i1-0f7g8 x o;ass) =0;046t",,b.h2..
4.;;
ESEMPTO'6.3
.'Soluziahe:
ffirettansofaie:non'armatadjil;i;he;;-i'if*=z{n,.si;,iir"*?ir
rssoro;," i:,, .: e---w11
.
siccorne'manca'rrarmatura nqqr d neceSsaria q,rcuna. iteraziof e, poiche,si h4. ,: .,. . ,.,::,,
'. ' u:..f"o:''b;.'x'=F;=0,432bi .,h.f", .,,.'..-.' , ,. .. ,. -,..,,,..,
"' 'X'-.0,432
":''
r . ', ' ''
,:,..-,'....i'.....,,. : yr.=;-.:.| ..' r.. .,...
:.,,:.,
'con,'ndto si oltiene't momento'intorno alfasse,baricentiiio deila sezione corne:
t.'
*-'" h )ll calcolo si effettua ooi in folma tabellare, ricavando i necessari'vatori di q g B daila iabelra6.1. La curvatura si dttiene d;ii; ;;ir;i;'lv'
rrudvitnoo t necessari valori di c e 0 daila tabet
Nella tabella d uo = T.++j: = 0,432(o,u - f:)
Quando tutra ta ."rio,i"'ii'.urij'"orp,"..!
"
,.,.u,?"
/
ffi<+*'=ffi,=.o,ssz"o5i ha:
- ,wF,l i,;)
,.. '.'129h ,:'
M90(1 +'a. i:.b',. 6z'' ,, 1 + a"t12
ciod la,relazione M -'tIr:c;eic;aIa,O unalretazione non lineare,

/
Figura 6.16, Relazione
fra momento torcente T
e deformazione di tor-
sione 0 in una trave di
calcestruzzo
b.h:175x200mm
priva di armalura di
torsione e caricola ec-
centricamente [3].
,',:,,.,,.,,,.O
' :'. '
.
t,.. ,' ,
Figura::6;::17:., Relniiahie
:''::':' :"':' ::'
fra momento ^
M:w.-f*.b.h'
e curystura I/r per una 'Q12
sezione di larghezzo b
e altezza h.
Fr=0,432fru'b'h
Calcestruzzo R"*35.
o;25 o15o Or75
OiOS
qo4
2x 12OO
T, .,
kNm
v12,
:/
i':
//vrii,
i )'.:"'
vi/z
0. io2rao/m
n'rosf r'fti@

6. Stato limite ultimo di instsbititd
,:' 1ff,ei .'
.(1,'+.ae,
,t' 10'
f {1 + e;",
'h
.3,5
,3,0
2;6
212
,1.;g
'1,a'
1r0
rq;8
0,6.'
0,897
'0;880
.4,862
i0,836
.0;800
0,743
0,643
0;563
0;453.
.0,482
0,491
',0,501
0,517
or540
0,581
0,672
0,767,
O;954
7,26
6,11
5,19
4,26
3,33
2,41
1;49
1;a4
0;63
0,4!52
o,444
0,436
'0,426
0,412
0;393
0,368
0;353
0;340
0,122
a;122
0;122
'0;121
o,120
0;117
'o;1og
0,099
0,076
'talelazig n9 ;!r a'la,: d.d' h! rc, i1po rtiia:in iio u ri :o" r z.
Per studiare il fenomeno dello svergolamento flessotorsionale ai <livelli I e 2> sidovrebbe stabilire la relazione fra riom.nr"i*..ni.;l;io.-uzione di torsioneper diversi valori del momento flettente e dello sro.ro aiiaglio agenti contempo-raneamente' Con le cognizioni attuali non d possibiG J.ttu determinazione Jo"nuna qualche'garanziadi precisione. La figur uZJreeriutu ri.uvata da un rapportodi esperimento e mostra come la rigidezzaa torsione diminuisce sotto l,effettodella sollecitazione composta di fleJsione, torsione e ;;i;". euesta dipendenzavaria con le diverse combinazioni delle sotlecltazioni r?nr.gu.nti a variazioninello sviluppo della fessurazione con carico ...r..nr., ,ii".tirion. del carico, ecc.
6.10 Imperfezioni geometriche
si
#u
Per quanto concerne lo scarto dalla misura indicata nel disegno vale in genere ilconcetto che le dimensioni della sezione devono sottostare alle tolleranze stabilitedalle norme o dalle specifiche. Gli scostamenti dalle dimensioni di base controdette tollerenze sono itati presi in conto nel determi";-i valori di calcolo dellaresi.pfg4ga' ne.ll'asqunzigne chg,!g, a!ry.sn ,wrygptiniiiiticrltu,..rionerisu-lli rnas.gior-ruuguiile i'zso mm quando la rottuid;ai:iriiauir-ita e:determinanre. perdimensione principale si intend e altezza e larghezzadi pilastri e travi a sezionerettangolare, diametro di una sezione .it.otarJ,1a-rgh J{i aayunima e altezza djtravi e pilastri con sezion" u T, r oppure I spesso-re di sorette e pareti.
Qualora la dimensione principaie sia inieii";;;O Lm te tolleranze stabi-lite vanno tenute in conto diminuendo detta aimensione della detrazione limiteattuale.
Si osservi che gri scarti dimensionari possono avere importanza anche perquel che riguarda i carichi. Infatti in strutturg gome gli archi, re vorte e i gusci,in quelle strutture ciod dove la distribuzio"; j*i;;;;;;;;ri" risulta particolar_mente importante in sede di dimensionamento in combinazione con i fenomenidi instabiliti, d opportuno calcorare il;"'fi;;;i",i. o.t peso proprio comecarico libero.
Per quanto riguarda lo scostamento daila forma indicata nel disegno vadetto che
-nel
disegno sono indicate le conformazioni ideali delle strutture informa di linee rette (orizzontali o verticali) , i' ioi-u-ii .uru. (come cerchi,coordinate di volte, ecc.). Inoltre sono inai.",.^r'. p"rltni dei punti di nodo(punti di intersezione fra le linee della struttura). La realtd si scosta perd sempre
!:)l-:o::]::-!_gngortuno aistingu; rla imperfezione dettq struttura e imncrrp-
pud.. assumere che fe imperfezioni geometriche siano di tre tipi:
l:i1!9"tlu Tir.yru-di sezione indicata nel disegno.
scostamento'dalra foima indicata ner disegno (Juruuturu, pendenza iniziare).Etientricitd dei caiicu.-,lr
---
zione del segmenlo. e-

4
!$mysrfeligne de.l!g,f!!uit,,,': cggsiste lnel,'qlqd.g ig cui,,il,sistema oppure la
srfuttura gi,sco.stang dalla previsione, a causa degli spostamenti dei punti di nodo *
dalle,posizioni stabilite, determinati da errori di montaggio, cedimenti nelle *.
cassgfglmg, ecc. Quindi per gli elementi di struttura come pilastri e torri, prwisti
verticali, r iaregcglS"^
n: (0,2.
#) o,or5 (22)
sforzo normale orizzonta
e qelormavlonl ntrro e allavariazione di temperatu-
ra possono dar luogo a effetti analoghi,'hnche se collaborano raramente con le
imperfezioni strutturali quando si tratta di generare sforzi nella struttura come
insieme.
Come imperfezione della struttura si pud calcolare anche I'eccentricitir, che
si verifica a causa di un errore di montaggio dell'appoggio.
L?irlwrf%ione (e_l s9gment9, ciod I'imperfezi-one del singolo elemento di
t-l*lft"".afft:?ntu:i,fra,ipunri"dinododiquesto, sipuo riteneie consista in utd.S-
carvatura iniTiale", che si pud assumere conformata a parabola con valore massl-
ino almeno:
',.L.
eo +,,1;U-. ,, (23)
Per L)24 m si pone eo : 80 mm; Z d la lunghezza del segmento.-l
L'eccentricitd di un carico o di uno sforzo d stata presentata in precedenza
come una consegtenza dell'imperfezione della struttura, ma puo nair.ulmente
anche rappresentare il risultato di un'applicazione del caiico in un punto oppure
secondo una linea diversi dal previsto.
L'eccentricitit di carico e di sforzo possono quindi essere considerate come
casi speciali dell'imperfezione della strutturu.--
vv'u'svrslv wv'
6.1I Semplificazioni
Pud apparire complicato il fatto di essere obbligati a calcolare ciascun pilastro
e ciascuna trave tenendo conto delle imperfeziorii. In molti casi d p.to piiritl.usare delle semplificazioni.
eqqgndp; Z, ; luce.libeladiilfle.{lione$,e1,1plf4stro;{vpdi par. 5.2, parre
f *.raggro giratorio.rletia,seZfbfi€i$eaitiff,1 . 1, parte V).
P-er una sezione rettangolare I'equazione (24) equivale a:
L^
;<'6,4
Per una sezione circolare la condizione diventa:
(24)
VI),
Qaa)
(24b)

6. Stqto limite ultimo di instsbilitd
373
:,ff#ifffjin#a
cossone quadrat^ con spessori delle pareti piccori e interasse
L^-- ( 9ro
In casi come questi rimane solo da addizionare al momento esterno quello dovu-to alle imperfezioni' Nel quadro della normale precisiorr. oi.ut.olo si pud trascu-
ffi;il?ftT;'ltil;#"mento,
quarora i .;;i." ;i,.,.no aia ruoeo- a un
Per"tener''conto nel p-al-colo dgua_ curvatura,pua nsultare comodo,,special.mente ne'e strutture sraticamente ina.i.r1t{;d.;t; quando ra curvaturir{ev6:essere c_6rrrbinata,on il *l* rl'r,r,rro t$;;;ffi;;n il:carico del venro),
ffixrlu{iitr;:iXi#,:X',::"';o*Jp;;;Loiica e'i,,i.oa"'"1. ri.".il; ,"ii.mffi:#'
Qac)
(26)
(28)
(2e)
(2s)
dove:
,I =
$ngqezza. .deJsegmento fra i punti di nodo.
./6 : rnisstma ordinata della curvatura.
lgrry"O.,,.4eSo,,Xsidglare,lacurvaturacomeaff iine alla curva
rii ;:fiet quCr:taso it mo*ento i;rd ;ffi;ffi ;ft".l
Mr
T- oM*'.fo
f,p'N .,
- i/'I _ _-__
ly'",
Travi
Nelle travi non controventate lateralmente per tutta la loro lungh ezza siverifica-no a causa delle imp'erfezioni il momento flettente taterate M, e irmomentotorcente z' Detti momenti si possono esprimere in iunrio.re della curvaturausando la massima ordinatafsdi questa. I.ier caso aer s#price appoggio su unaluce L si pud, dal lato a.na si..,rerra, scrivere:
M1 .fo__-
--
M,: G'C
r-|tur"' (27)
M-)
,&
dove: M,:
Mr, =
,b-w)1
In
di
momento massimo dovuto al carico verticale di calcolo,momento critico dovuto ar carico verticale, .t., ,r.f.url'di rro.-ur.estensione del carico.e di appricarione di questo ar massimo a unadistanza 0,lZ sopra it centio di;;;li; de'a sezione si pud porre:
M",: * '[E 7;* i
L
con: E' . ft = rigidezza a flessione (par. 6.9),
G . C: rigidezza a torsione tnui. O.l;.
analogia a quanto vale per i.pilastri, il momento aggiuntivo dovuto al rischiosvergolamento flessiolorsibnare'puo essere tiiscurato qualora risulti

V. ANALIil DELLE STRUTTURE
(M",/M)2 > 10, il che per una sezione rettangorare con momento M": M6o1,
corrispondente all'armatura bilanciata, fornis& la regola:
Il momento addizionale relativo al rischio di svergolamento flessotorsionale si
pud trascurare in una trave in calcestruzzo armsto qualoro risulti:
!:! <0.t2 E' I
b' .f,* l+0,6,p, (30)
Se la sezione viene utilizzata fino a un momento M,minore di Mbotl'equazione
(30) pud essere rimpiazzata con la seguente:
h
_'_, <0-12 E" Mut 1
b" .f,* M, I + 0,69"
(3 1)
Nei casi usuali in cui una trave non risulta sollecitata da carico laterale il momen-
to torcente espresso dall'equazione (28) diventa determinante per la capacitd
portante. Se la trave d dotata di armatura al taglio in forma di staffe chiuse e
staticamente collaboranti, si pud tollerare una-tensione di torsione <-o,ir",o.
Nell'assunzione che I'equazione (30) oppure (31) sia soddisfatta, insereniola
nell'equazione si pud far astrazione dallteffetto dell'imperfezione in una trave
qualora risulti:
h-17 Mm,
b- "tn M (32)
E€EMPlO.,6:4 Trave ,in,calcesiruro.,iimato,.lealZ4at!,,eon.Catceit iizi:Al;aA;,:.i,;,*,p ,,yr.=,O,5Mo;i.
:,t :, f;ir,.=,0,,83,iXt,+O ;, gg,2,M,pa
6.12 Parti di struttura irrigidenti
Pilastri e sistemi di pilastri
L'introduzione delle imperfezioni nelle assunzioni di calcolo rende possibile un
conseguente dimensionamento degli elementi di struttura irrigidenti.
,,^_, J_I.::.mqig usuale d costituifg dai fabbricati multipiani c-he hanno partico-
rarl strutture ch controventamento in forma di torri oppure pareti. Nel dimensio-
'narnpnto di detre:sJrutrure,si,a$sume che il;iJ;;a-;#il*rir;;;;1il#d1,";-,
golo4,1'fornilQ dall'equa{o19 (22). Nel,dimerrsionamento delle piastre di solaio
si assume che it sistema di piraitri abbia unu ioi-u ;;;;;;;id;]i.iri. ""'
Una volta che nel dimensionamento dei pilastri sisono previsti incastri,
bisogna dimensionare l'elemento di struttura in cui i pilastri sono i.rcastraii p..i momenti d'incastro provocati dalle imperfezioni.
- E
'importante notirq come la strutlura irrigidente debba possedere sia rigi-
dezza sia resistenza. Nel calcolo clella rigidezza"dieli ilementi di struttura irriEi-

6. Stato limite ultimo di instqbititd
375
Figura 6.18
Imperfezioni assunte in
sede di dimensionamento
(o) di un corpo scolo di
un fabbricato.
(b) di una soletta di sola-
io.
7l
l
a)
b)
'{enti''questi vanno considerati come fessurati. Se la loro elasticitd influenza la
::::::1fftj:J;:""amento
tut.'ur. per meno del l0eo, derta innuenza pud
a)

V, ANALISI DELLE STRUTTURE
Travi
Se una trave d libera fra.due punti di appoggio distanti L,le partidi struttura chela irrigidiscono alla torsione deuono
"*... dimensionate per il momento torcentedettato dall'equazione (28).
Se una trave d irrigidita con continuite dalle piastre adiacenti, queste ultimedevono potere insieme sopportare il momento che deriva dalla curvatura (eccen-tricitd del carico.l.
Irrigidimenti continui
Gli irrigidimenti continui si utilizzano in determinati casi. per calcolare la rigi-dezzae la resistenza necessarie per ilmezzoirrigidente tcrre ner caso di una piastracompressa d la piastra stessa in direzione tiasversar.l ri o.uono assumere le

377
ffi?::t:3?lli,i:""ii*:-::r,.^
forniscano il risultato piir sfavorevole. Normal_
f T,l::i:::iy:?^i':*'^1Tli:l'*"t";;/;;;;;Y.iiiliil"':::::,ilTff:;
H:f #';#1:f :"'1"**f l.-".::::""iiri,iliilil;ffi ;?jffi lJiil:?,ff l
J;il'""': # l':'i :l*: ::':: llr:o 9it " r"J . ffi 1. l; ;i#ff if ;:#i Xffisolaio
:T^::: lltl'-"r: per i pati.r;l;;;."" ;;ffi;";.
ffj;:;:f
nitf
::::,:X{,,11r91911i.-;;;';,"**o.,,',u,unerasuasituazione
3r[*1riji;;;ff .i#'iiii'i"ft l;il?[:::'ffix1T:X":J#: j*?::::ii:t:
:ff T
jlr,r,:*?::T::"y1:1.1:_,l1,direzionea.'",i-,J;il;i.;T';.TJ;:
:!|3r1"""
risulti compressa trasversarmente su tutta ra r.ri;".';TT;.xJr,il*i:liiesterne.
6.13 Bibliografia
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?iri:"::r{rPe'fezniamenio'per
Ie Cosiiruztinr ii'i.i-.,"il.ni pesenti, poritecnico
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Il l] Iori' r" stato timite di instabititd. strutture monodimensionali,Atti del corso di Aggior_namento su: Progetto delle strutture in c.A.
"", it i'"ioii'iegti stoti timite (acura diA. Migliacci e F. Mola), pag.2g9_3,09, Ctup, Milano 19g3.
f,l21 Mola, F., stoto limite di instabilitd. Effetti deila viscositd, i.c.s.pag. 3r1_357.

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