TEORIA

1. SISTEMA DE NUMERACIÓN
1. Se define a un sistema de numeración como “el
conjunto de reglas y principios para leer y escribir
correctamente a los números”.
En la presente sección describiremos cada uno de estos
principios, y para eso usted debe estar predispuesto, con
la finalidad de no caer en algo incomprensible; por el
contrario, sentir la importancia que aquellos principios
tienen en la correcta lectura y escritura de los números.
1.1. BASE DE UN SISTEMA DE NUMERACIÓN
Aquí es necesario introducir algunos conceptos que en
nuestra formación académica quedaron ambiguos. Esto
es:
Orden. Se llama orden a la posición que ocupa cada una
de las cifras dentro del número en estudio. Estas
órdenes se
 deben considerar de derecha a izquierda.
Por ejemplo. En el número o numeral 3478, se tendrá.
3478 Unidades (primer orden)
Decenas (Segundo orden)
Centenas (Tercer orden)
Millares (Cuarto orden)
.
.
.
 Base. Es un numeral que nos indica la cantidad de
símbolos o cifras diferentes que se emplean para
escribir un número en un sistema dado.
1.2. PRINCIPIOS IMPORTANTES
1. Cualquier numeral que usted escriba debe poseer una
base y aquella aparece escrita como un sub índice, en
la parte inferior derecha del numeral. Por ejemplo
El numeral (9)872567 es un número escrito en base 9
o también llamada base nonal.
2. Existe un convenio universal de matemáticas, en el que
se manifiesta que cuando se trate de un número en
base decimal (o base 10) ya no se le escriba la base 10,
puesto que es el sistema utilizado por la gente de todo
el mundo, Por ejemplo; si se tratara de escribir nuestro
número 578, lo correcto sería escribirlo de la siguiente
forma:
(10)
578
Pero por el comentario antes indicado solo se escribe
578.
4. Los números con los que se escribe un numeral más
considerable numéricamente hablando, se les llama
cifras o dígitos. Por ejemplo en el numeral
(8)5676521046 los dígitos o cifras serian: 5, 6, 7, 5, 2,
1 ,0 y 4.
5. En forma general se acostumbra a denotar a cada uno
de los dígitos de cualquier numeral con letras
minúsculas del alfabeto y a su base con la letra “n”,
Además cuando el numeral tiene mas de una cifra se le
coloca una “rayita” sobre el Por ejemplo:
1. Un numeral de una cifra será ( )na ,donde: a n
2. Un numeral de dos cifras se denota por ( )nab ,
donde: ,a b n
3. Un numeral de tres cifras se representará por
( )nabc , donde: , ,a b c n
4. Asimismo un numeral de cuatro cifras será
( )nabcd ,donde: , , ,a b c d n
Y así sucesivamente.
6. Las condiciones anteriores se pueden resumir
literalmente de la forma siguiente “Para que un numeral
este bien representado (o este bien escrito) es
necesario que todos los dígitos sean estrictamente
menores que la base”.
7. El comentario anterior nos obliga a establecer los
principales sistemas de numeración en el siguiente
cuadro.
SISTEMA CIFRAS A UTILIZAR
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
BINARIO
TERCIARIO
CUATERNARIO
QUINARIO
SENARIO
EPTAL
OCTAL
NONARIO
DECIMAL
UNDECIMAL
DUODECIMAL
0,1
0,1,2
0,1,2,3
0,1,2,3,4
0,1,2,3,4,5
0,1,2,3,4,5,6
0,1,2,3,4,5,6,7
0,1,2,3,4,5,6,7,8
0,1,2,3,4,5,6,…,9
0,1,2,3,4,5,6,…,
0,1,2,3,4,5,6,…, 

,
BASE
Las letras griegas  y  en numeración equivalen
numéricamente a 10 y 11 respectivamente.
Si analizamos en el cuadro, el sistema Eptal, significa que
para escribir un número en “base 7” usted científico solo
puede utilizar los dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5 y 6, es decir el
máximo valor que puede tomar un digito será siempre
una unidad menos que la base.
2.- CAMBIOS DE BASE
Cualquier número dado en cualquier base se puede
rescribirle en una base diferente; para esto explicaremos
con más detalle en los próximos algoritmos.
2.1. CONVERSIÓN DE BASE DECIMAL (BASE 10) A
BASE DIFERENTE DE 10 (base n)
Este algoritmo es muy simple y se emplea para
convertir un número escrito en nuestro sistema (base
10) a cualquier base diferente de 10. Veámoslo con un
ejemplo concreto.
Ejemplo. Convertir 8975 al sistema de base 6.
El algoritmo consiste en dividir el numeral dado por la
base a la que me piden llevar hasta donde sea posible
la división y los dígitos serán todos los residuos más el
último cociente, empezando por el último cociente. Así
8975 6
149529
57
35
6
24929
55
5 1
6
4109
3
6
65 6
10
Así pues el número en base 6 será (6)105315
Propiedad. A menor base le corresponde mayor
número y viceversa a mayor base menor número.
Por ejemplo:
(11) (10) (9) (6)681 8975 13272 105315   
2.2. CONVERSIÓN DE BASE “n  10” A BASE DECIMAL
(BASE 10)
El algoritmo es muy simple de comprender, se le llama
“Descomposición Polinómica”, y lo veremos con un
ejemplo concreto.
Ejemplo. Convertir (6)105315 a base decimal

2. 5 4 3 2
(6)105315 1(6) 0(6) 5(6) 3(6) 1(6) 5
7776+ 0 +1080 +108 +6 +5
=8975
     

Otra forma de convertir de “base diferente de 10” a
“base 10” es el llamado método de Rufini. Este método
consiste en los siguientes pasos.
1. Se trazan dos líneas perpendiculares y se anota la
base del sistema en la que esta escrito el numero.
Así
BASE
2. Se anotan los dígitos del número en forma
horizontal en la parte superior. Del ejemplo anterior
se tendría:
1 0 5 3 1 5
6
3. El paso 3 consiste en multiplicar el primer digito por
la base, anotar en la siguiente columna, sumarle con
el siguiente digito y repetir el proceso hasta el último.
Esto es:
1 0 5 3 1 5
6
1
6
6
36
41
246
249
1494
1495
8970
+ + + + +

8975
Así pues el numero en base decimal será el que
aparece en el recuadro
2.3. CONVERSIÓN DE BASE “n” A BASE “m”, DONDE
“n  m  10”
Se lleva de “base n” a base decimal mediante el
algoritmo de descomposición Polinómica y
posteriormente se le lleva a “base m” utilizando
divisiones sucesivas. Para mayor visualización se
presenta un cuadro sinóptico.
BASEn BASE
DECIMAL BASEm
OBSERVACIONES INTERESANTES
1) Un numero de dos cifras se descompone como
sigue:
( ) .nab a n b 
2) Un numeral de tres cifras se descompone como
sigue:
2
( ) . .nabc a n b n c  
3) Un numeral de tres cifras se descompone como
sigue:
3 2
( ) . . .nabcd a n b n c n d    .
De lo comentado anteriormente se deduce fácilmente
que .10 10ab a b a b   
Así pues 10ab a b  , ojo es muy utilizado.
…Aquel amante de la práctica sin la teoría, es
como el marinero que se embarca sin timón, sin
brújula y nunca sabe dónde ir…