1. Lezione n. 4
L'irrazionale

2. Pitagora (570-496 a.C.)
➲ Acusmatici = uditori
➲ Matematici = apprendisti
Mathé = apprendimento

3. Armonia naturale
➲ Pitagora scopre che c'è un'armonia
nell'universo, cioè una ordinata proporzione
(= kòsmos) tra i diversi aspetti dell'universo.
➲ Tutto è numero

4. Armonia naturale
Ad es. Da una bottega di un fabbro scopre che
a suoni uguali corrispondono pesi uguali dei
martelli che li producono
→ Quindi, suoni uguali, martelli uguali (e
frequenze uguali, aggiungiamo noi)
--> il rapporto tra il peso dei martelli deve
essere perciò di 1:1

5. Armonia naturale
→ Cosa succede se lo stesso suono è di
un'ottava superiore?
L'ottava è la scala delle 8 note, per
esempio tra do e il do superiore, do(1)
→ il rapporto diventa di 2:1, ovvero il peso
del martello si dimezza

6. Rapporto di quinta
➲ Pitagora scoprì che tale rapporto
matematico c'è fra tutte le note, non solo fra
ottave
➲ Per esempio, prendiamo invece dell'ottava la
quinta, cioè la distanza di cinque note nella scala:
do, re, mi fa, sol, la, si; do1, re1, mi1, fa1, sol1, la1, sil1;
do2, re2., . . . . . . eccetera
La quinta è → La distanza tra il do e il sol (5 note)
➲ Qui il rapporto tra il peso dei martelli (rapporto di
quinta) è di 3:2

7. Rapporti armonici
Rapporti armonici (1) tra le note (2) e i pesi dei
martelli (3) →
tra la matematica (1), la musica (2) e la fisica (3)
Nota Do1 Re1 Mi1 Fa1 Sol1 La1 Si1 Do2
Rapporto 1 9/8 81/64 4/3 3/2 27/16 243/128 2
Pesi
martelli

8. Una santissima trinità
Pensiamo al valore di questa scoperta:
Che tutta la fisica, cioè la scienza del mondo
fisico, sia studiabile con la matematica,
perchè c'è questa corrispondenza
straordinaria tra le leggi dei numeri e il
mondo fisico
→ Non solo la fisica, ma pure la musica,
l'arte!
Matematica-fisica-musica

9. Il credo di Pitagora
Tutto è numero razionale
Razionale = ratio(rapporto) = logos

10. Qualcosa non quadra...
Tuttavia, se il peso di do1 è 2 volte quello di do
(un'ottava), il peso di do5 (5 ottave più alto)
sarà di 2 elevato 5
Ma noi sappiamo che 5 ottave corrispondono
a 12 quinte, ed il rapporto di quinta è di 3/2

11. Il ciclo delle quinte

12. Il ciclo delle quinte non si chiude
Ma 2 el.5 non è uguale a 3/2 el. 12!
Non esiste un esponente a cui elevare 3/2 tale
da uguagliare 2 el. 5
→ bisogna Temperare (approssimare)
l'accordatura degli strumenti e far sì che 12
quinte corrispondano “forzatamente” a 5
ottave, senza guardare troppo i rapporti
matematici.

13. Temperamento
Questa soluzione non fu raggiunta da
Pitagora, ma nella storia della musica molto
dopo.
Pitagora aveva scoperto però una verità molto
inquietante: che quella corrispondenza
assoluta tra rapporti matematici, fisici e
musicali non era del tutto vera!

14. Un primo campanello di allarme
Questo problema del ciclo delle quinte che
non si chiudeva era in realtà un segnale
d'allarme di una scoperta tremenda che
portò Pitagora di fronte al problema dei
numeri irrazionali, i quali non possono
essere espressi da un rapporto (= ratio) tra
due numeri interi, m/n.

15. L'irrazionale
Cosa c'era di tremendo?
→ l'idea che l'universo non fosse così
strutturato, ordinato, matematico
Tutta la filosofia di Pitagora sarebbe crollata

16. L'irrazionale
La scoperta definitiva, che confermò i sospetti
di Pitagora, venne dalla riflessione sulla
irrazionalità della radice di due .

17. Infatti, a margine delle riflessioni sul teorema
di Pitagora, già Platone, nel Menone, aveva
portato lo schiavo a capire che l'area del
quadrato di lato 1 è rad. Di 2.

18. L'altare di Apollo
Oppure vedasi la storia del raddoppio
dell'altare di Apollo (cubico) per far cessare
la peste di Atene
L'oracolo di Delo ne chiese il raddoppio, ma i
greci raddoppiarono il lato ed Apollo si
infuriò...

19. Radice di 2
Aristotele fu il primo a dimostrare la
irrazionalità della diagonale del quadrato
(Analitici, I,23)
Poi Euclide, negli Elementi di geometria, (I,
47) dimostra compiutamente il teorema di
Pitagora

20. Una verità terribile
Ma fu Pitagora il primo ad intuire che la radice di
due era un numero non riducibile ad una ratio,
ad un rapporto di numeri interi
tutto è numero razionale”? NO → la diagonale di un
quadrato non è razionale.
I Pitagorici giurarono quindi il segreto, ma Ipaso di
Metaponto tradì: Giove affondò la sua nave e pagò
con la morte il tradimento, però il mondo conobbe
che effettivamente esistevano dei numeri irrazionali.

21. Importanza del pitagorismo
Possiamo dire che Pitagora ha il merito di
avere diffuso una fiducia, una profonda
convinzione tra gli uomini, che tutto è
razionale, tutto è numero.
Quindi il pitagorismo ha ispirato
l'atteggiamento scientifico degli uomini che
hanno cercato, dietro i fenomeni naturali,
una regolarità di leggi universali e
necessarie, come la matematica

22. Timeo di Platone e Galileo
Già Platone (IV sec. a.C.), nel Timeo, dice che
il mondo è fatto di forme elementari quali
angoli, figure geometriche etc.
Lo stesso Galileo (1613) che definì il metodo
sperimentale della scienza, disse che la
natura è “un libro scritto in un alfabeto le cui
lettere sono numeri e figure geometriche”

23. Keplero
Era chiaramente un pitagorico, un
neoplatonico, convinto che il mondo avesse
una armonia matematica, che spiegò nella
sua opera Armonia del mondo (1619).

24. I Legge di Keplero
« L'orbita descritta da un pianeta è un'ellisse,
di cui il Sole occupa uno dei due fuochi. »

25. II Legge di Keplero
« Il raggio vettore che unisce il centro del Sole
con il centro del pianeta descrive aree uguali
in tempi uguali. »

26. III Legge di Keplero
I quadrati dei periodi di rivoluzione dei pianeti
sono direttamente proporzionali ai cubi dei
semiassi maggiori delle loro orbite.
Qui si nota la proporzione di quinta, 3/2.
L'armonia del mondo.

27. Newton pitagorico
Anche Newton si ispirò a Pitagora.
Per la sua legge di gravitazione universale si
ispirò alla proporzionalità inversa tra
frequenza e lunghezza delle corde di una
lira.
Newton immaginò il sole e i pianeti tenuti
insieme da una corda invisibile di una lira
che Apollo suonava, la attrazione
gravitazionale →

28. Teoria delle stringhe
Witten nel 1990 ha proposto una teoria del
tutto,una grande teoria fisica che vuole
unificare le leggi del microcosmo (la
meccanica quantistica) e del macrocosmo
(Gravitazione).
Le stringhe sono in realtà il sostituto degli
atomi, che vibrano nello spazio così come
vibrano le corde musicali per Pitagora.
La differenza è solo nel tipo di vibrazione, tutte
le stringhe sono uguali → unificazione

29. Conclusione
Il merito di Pitagora sta in questo: aver
persuaso che tutto è numero, che la struttura
del cosmo è ordinata e razionale, per cui
vale la pena ricercare ovunque rapporti
matematici, funzioni tra variabili, perchè
queste ci sono, esistono, ne è costituito il
mondo.
Per mettersi a cercare è essenziale la fiducia
di trovare
Pitagora fu il primo ad averla.