Apuntes de una asignatura, para hacer una prueba de slideshare

1. Teor´ de la Computabilidad
ıa
Ejercicios de los Temas 5 y 6
(Curso 2010–11)
Temas 5 y 6
Ejercicio 81.– Sea f : N− → N una funci´n GOTO–computable. Probar que:
o
(a) Si A ⊆ N es un conjunto recursivamente enumerable, entonces los conjuntos f [A] = {x ∈ N :
∃y (y ∈ A ∧ f (y) = x)} y f −1 [A] = {x ∈ N : f (x) ∈ A} son r.e.
(b) Si f es total y A ⊆ N es un conjunto GOTO–computable, entonces el conjunto f −1 [A] es GOTO–
computable.
Ejercicio 82.– Sean A, B ⊆ N conjuntos r.e. y f, g funciones totales GOTO–computables de aridad
k ≥ 1. Probar que el conjunto C = {x ∈ Nk : f (x) ∈ A ∨ g(x) ∈ B} es r.e.
Ejercicio 83.– Probar que son r.e. los siguientes conjuntos:
(a) { x, y ∈ N : el programa de c´digo x para sobre y en, exactamente, un n´ mero impar de pasos}
o u
(b) { x, y ∈ N : el programa de c´digo x para sobre y y el resultado es un n´ mero par}
o u
Ejercicio 84.– Probar que:
(a) El conjunto A = {x ∈ N : el programa de c´digo x para sobre 2x} es r.e.
o
(b) El conjunto B = {x ∈ N : el programa de c´digo 3x para sobre 4x en exactamente 5x pasos}
o
es GOTO–computable.
(c) El conjunto de los c´digos de los programas que poseen, a lo sumo, 10 instrucciones, es GOTO–
o
computable.
Ejercicio 85.– Para cada n ∈ N, se considera el conjunto
An = {x ∈ N : ∀z ≤ n (ϕ(1) (z) ↓)}
x
(a) Probar que el conjunto An es r.e. para cada n ∈ N.
(b) Probar que el conjunto B = An coincide con el conjunto
n∈N
TOT = {x ∈ N : ϕ(1) es una funci´n total}
x o
(c) Probar que el conjunto TOT no es r.e. concluyendo que la intersecci´n numerable de conjuntos
o
r.e no tiene porqu´ ser un conjunto r.e.
e

2. Indicaci´n: (a) Pru´bese que la relaci´n de pertenencia al conjunto A es parcialmente decidible.
o e o
(c) Por reducci´n al absurdo. Sup´ngase que el conjunto TOT fuese GOTO–computable. En tal situaci´n,
o o o
por el teorema de enumeraci´n existir´ una funci´n GOTO–computable y total, f : N → N tal que
o ıa o
(1)
TOT = rang(f ). Entonces, la funci´n g(x) = ϕf (x) (x) + 1 ser´ GOTO–computable y total. Por tanto,
o ıa
(1)
existir´ e0 ∈ TOT tal que g = ϕe0 . A partir de aqu´ llegar una contradicci´n.
ıa ı o
(1)
Ejercicio 86.– Sea p ∈ N. Se considera el conjunto: Ap = {x ∈ N : rang(ϕx ) = {p}}. Se pide:
(a) Usando el teorema de Rice, probar que el conjunto Ap no es GOTO–computable.
(b) Probar que el conjunto Ap es r.e.
(c) Aplicando el teorema del complemento, concluir que el conjunto Ap no es r.e.
Ejercicio 87.– Justificar razonadamente la veracidad o falsedad de los siguientes asertos:
(a) Si A ⊆ N es un conjunto r.e. entonces A = N − A puede no ser r.e.
(1) (1)
(b) El conjunto B = {x ∈ N : ϕx es total y ∀y ≥ 5 (ϕx (y) = y + 1)} no es GOTO–computable.
(1) (1)
(c) El conjunto C = {x ∈ N : ϕx total y ∀y (ϕx (y + 1) ≥ y)} no es GOTO–computable.
(d) Si f : N → N es una funci´n total y GOTO–computable, entonces el conjunto
o
Df = {x ∈ N : ϕ(1) es total y ∀y (ϕ(1) (y + 1) = f (ϕx (y)))}
x x
(1)
es GOTO–computable.
Ejercicio 88.– Sea θ un predicado (n + 1)–ario sobre N. Se define la cuantificaci´n no acotada de θ,
o
que notaremos ∀y θ(x, y), como sigue:
1 si para todo y ∈ N se tiene que θ(x, y) = 1
∀y θ(x, y) =
0 e.o.c.
(La cuantificaci´n no acotada de un predicado (n + 1)–ario sobre N es un predicado n–ario)
o
Probar que la clase de los predicados GOTO–computables y la clase de los predicados parcialmente
decidibles, no son cerradas bajo cuantificaci´n no acotada.
o
Indicaci´n: Consid´rese el conjunto N − K.
o e
(1)
Ejercicio 89.– Probar que el conjunto A = { x, x, y ∈ N : ϕx (y) ↓} es r.e. pero no es GOTO–
computable.
Indicaci´n: Para establecer que dicho conjunto no es GOTO–computable, pru´bese que CK0 (x, y) =
o e
CA ( x, x, y ).
Ejercicio 90.– Sea A ⊆ N tal que existe una funci´n f : N → N total, GOTO–computable e inyectiva
o
verificando que f [K] = A. Probar que el conjunto A no es GOTO–computable.
Indicaci´n: Pru´bese el resultado por reducci´n al absurdo, teniendo presente que si f es total e
o e o
inyectiva, entonces x ∈ K ⇐⇒ f (x) ∈ f [K].
Ejercicio 91.– Dar ejemplo de una funci´n que no sea GOTO–computable y que, en cambio, su rango
o
sea un conjunto finito.
Indicaci´n: Consid´rese la funci´n caracter´
o e o ıstica del conjunto K.
Ejercicio 92.– Estudiar la GOTO–computabilidad de los siguientes conjuntos:
(1) (1)
1. A = {e ∈ N : ϕe es total y ∀x (x ∈ K ⇐⇒ ϕe (x) = 0)}.

3. (1)
2. B = {e ∈ N : ϕe (e) ↑}.
(1)
3. Cf = {e ∈ N : ϕe = f }, siendo f : N− → N una funci´n GOTO–computable.
o
(1)
4. Df = {e ∈ N : el conjunto {x : f (ϕe (x)) ↓} es r.e.}, siendo f : N− → N una funci´n
o
GOTO–computable.
(1)
5. F IN = {e ∈ N : dom(ϕe ) es finito}.
6. N − F IN .
(1)
7. IM P = {e ∈ N : existe un programa P tal que |P | es impar y [[P]] = ϕe }.
(1) (1) (1)
8. M ON = {e ∈ N : ϕe es total y ∀x (ϕe (x) ≤ ϕe (x + 1))}.
(1)
9. P RED = {e ∈ N : ϕe es un predicado}.
(1)
10. REC = {e ∈ N : dom(ϕe ) es un conjunto GOTO–computable }.
(1)
11. SOBRE = {e ∈ N : ϕe es sobreyectiva}.
12. N − SOBRE.
(1)
Ejercicio 93.– Sea A = {e ∈ N : ∀x ∈ N (ϕe (x) es una potencia de 2)}. Probar que el conjunto A
no es GOTO–computable.
Indicaci´n: Apl´
o ıquese el teorema de Rice.
Ejercicio 94.– Usando el teorema del grafo probar que la siguiente funci´n
o
(1) (1)
x·y si ϕx (y) ↓ y si x ∈ rang(ϕy )
f (x, y) = g(x, y) =
↑ e.c.o.c. ↑ e.c.o.c.
es GOTO–computable.
Ejercicio 95.– Sea f : N → N una funci´n total y GOTO–computable. Se considera el conjunto
o
(1)
Cf = {e ∈ N : ϕf (e) es una funci´n constante} Se pide:
o
(a) Dar ejemplo de una tal funci´n f , de manera que el conjunto Cf sea GOTO–computable.
o
(b) Probar que si f es, adem´s, biyectiva, entonces el conjunto Cf no es GOTO–computable.
a
(1)
Indicaci´n: (b) Pru´bese que si f es biyectiva, entonces Cf = {x ∈ N : ϕx es una funci´n constante}.
o e o
Luego, apl´
ıquese el teorema de Rice.
(1) (1)
Ejercicio 96.– Probar que el conjunto A = {x ∈ N : ϕx (x) ↓ ∧ ϕx (x) > x} es r.e. pero no es
GOTO–computable.
Indicaci´n: Para probar que el conjunto A no es GOTO–computable, sup´ngase lo contrario y con-
o o
sid´rese la funci´n total f : N → N definida como sigue: f (x) = 0, si x ∈ A y f (x) = x + 1, si x ∈ A.
e o /
(1)
Entonces, existir´ un n´ mero natural e0 tal que f = ϕe0 . A partir de aqu´ llegar a una contradicci´n.
ıa u ı, o
Ejercicio 97.– Usando el teorema de Rice probar que el conjunto de los ´
ındices de la aplicaci´n vac´
o ıa
no es GOTO–computable. Aplicando el teorema del complemento (o de la negaci´n), probar que dicho
o
conjunto no es r.e.
Ejercicio 98.– Diremos que una funci´n GOTO–computable f : N− −→ N es extendible si existe otra
o
funci´n g : N −→ N, total y GOTO–computable tal que
o
∀x ∈ N (f (x) ↓ =⇒ g(x) = f (x))
(1)
Consideremos el problema de decisi´n “Dado un n´mero natural e ∈ N, determinar si la funci´n ϕe
o u o
es extendible”. Demostrar que este problema es indecidible.

4. (1)
Indicaci´n: Pru´bese el conjunto A = {e ∈ N : ϕe es extendible}. Para ello, apl´
o e ıquese el teorema
de Rice considerando la clase de funciones F = {f ∈ GCOM P (1) : f es extendible}. Para probar que
(1)
F = GCOM P (1) consid´rese la funci´n f : N− → N definida como sigue: f (x) = ϕx (x) + 1, si x ∈ K
e o
y f (x) =↑, si x ∈ K; y demu´strese que esta funci´n GOTO–computable no es extendible.
/ e o
Ejercicio 99.– Consideremos el problema de decisi´n: “Dado un n´mero natural x, determinar si
o u
(1)
x ∈ rang(ϕx )”. Demostrar que este problema es indecidible.
(1)
Indicaci´n: Pru´bese que el conjunto A = {x ∈ N : x ∈ rang(ϕx )} no es GOTO–computable. Caso
o e
contrario, se considera la funci´n f : N− → N definida por f (x) = x, si x ∈ A, y f (x) ↑ si x ∈ A.
o /
(1)
Entonces f ser´ GOTO–computable. Luego, existir´ e0 ∈ N tal que f = ϕe0 . A partir de aqu´ llegar
ıa ıa ı
una contradicci´n.
o
Ejercicio 100.– Consideremos el problema de decisi´n: “Dados dos n´meros naturales x,y determinar
o u
(1)
si ϕx (y) = 0”. Se pide:
(a) Demostrar que este problema es indecidible.
(b) Probar que, en cambio, este problema es semidicible.
(1)
Indicaci´n: (a) Por reducci´n al absurdo. Sup´ngase que el conjunto A = {(x, y) ∈ N × N : ϕx (y) =
o o o
0} fuese GOTO–computable. En tal situaci´n, la funci´n f : N− → N definida por f (x) = 0, si
o o
(1) (1) (1)
ϕx (x) = 0, y f (x) ↑ si ϕx (x) = 0, ser´ GOTO–computable. Luego, existir´ e0 ∈ N tal que f = ϕe0 .
ıa ıa
A partir de aqu´ llegar una contradicci´n.
ı o
(b) Pru´bese que la relaci´n de pertenencia al conjunto A es parcialmente decidible.
e o
Ejercicio 101.– Sea A ⊆ N un conjunto finito y no vac´ Consideremos el siguiente problema de
ıo.
(1)
decisi´n XA : “Dado un n´mero natural x ∈ N, determinar si A ⊆ dom(ϕx )”
o u
Se pide:
(a) Demostrar que el problema XA es indecidible.
(b) Demostrar que el problema XA no es semidicible.
(1)
Indicaci´n: (a) Pru´bese que el conjunto B = {x ∈ N : A ⊆ dom(ϕx )} no es GOTO–computable,
o e
aplicando el teorema de Rice.
(1)
(b) Pru´bese que el conjunto B = {x ∈ N :
e A ⊆ dom(ϕx )} es r.e. y aplicar el teorema del
complemento.
Ejercicio 102.– Consideremos los siguientes problemas de decisi´n:
o
(1)
X ≡ Dado un n´mero natural, x, determinar si la funci´n ϕx no es inyectiva.
u o
(1)
Y ≡ Dado un n´mero natural, x, determinar si la funci´n ϕx es inyectiva.
u o
Se pide:
(a) Probar que el problema X es indecidible pero que, en cambio, es semidecidible.
(a) Probar que el problema Y es indecidible y que, incluso, no es semidecidible.
(1)
Indicaci´n: (a) Pru´bese que el conjunto A = {x ∈ N : ϕx no es inyectiva} no es GOTO–computable,
o e
aplicando el teorema de Rice. Para demostrar que el problema es semidecidible, pru´bese que el
e
conjunto A es r.e.
(1)
(b) T´ngase presente que el conjunto B = {x ∈ N : ϕx
e es inyectiva} es el complementario del
conjunto A.