Turbulence Models in OpenFOAM

Fumiya Nozaki
最終更新日: 2015年4月26日
日本語版
OpenFOAM
乱流モデル
Turbulence Models

2
Chapter 1.
OpenFOAM の乱流モデル

3
乱流モデルのソースコードのディレクトリ
 乱流モデルのソースコードのディレクトリ：
$FOAM_SRC/turbulenceModels
非圧縮性流れ計算用のモデル
圧縮性流れ計算用のモデル

4
 非圧縮性流れ計算用の乱流モデル：
$FOAM_SRC/turbulenceModels/incompressible
• RAS ディレクトリ
Reynolds-averaged Navier-Stokes (RANS) の各モデルのクラスの
ソースファイル (~.C) とヘッダファイル (~.H) が格納されています．
• LES ディレクトリ
Large eddy simulation (LES) の各モデルのクラスの
ソースファイルとヘッダファイルが格納されています．

 圧縮性流れ計算用の乱流モデル：
$FOAM_SRC/turbulenceModels/compressible
• RAS ディレクトリ
Reynolds-averaged Navier-Stokes (RANS) の各モデルのクラスの
ソースファイル (~.C) とヘッダファイル (~.H) が格納されています．
• LES ディレクトリ
Large eddy simulation (LES) の各モデルのクラスの
ソースファイルとヘッダファイルが格納されています．
5

6
使用可能な乱流モデル
 ソルバーにより，使用できる乱流モデルが異なります．
• RANS モデルのみ使用可能なソルバー
• RANS モデルに加えて，LES モデルも使用可能なソルバー
simpleFoam, SRFSimpleFoam, boundaryFoam,
porousSimpleFoam, buoyantSimpleFoam,
buoyantBoussinesqSimpleFoam,
buoyantBoussinesqPimpleFoam, and other solvers
pimpleFoam, pimpleDyMFoam, SRFPimpleFoam,
pisoFoam, buoyantPimpleFoam,
chtMultiRegionFoam, chtMultiRegionSimpleFoam,
and other solvers

7
使用可能な乱流モデル
 ソルバーがどちらのタイプかは，ほとんどの場合，
createFields.H ファイルの以下の記述で確認できます．
• RANS モデルのみ使用可能なソルバー
• RANS モデルに加えて，LES モデルも使用可能なソルバー
autoPtr<incompressible::turbulenceModel> turbulence
(
incompressible::turbulenceModel::New(U, phi, laminarTransport)
);
autoPtr<incompressible::RASModel> turbulence
(
incompressible::RASModel::New(U, phi, laminarTransport)
);

8
乱流モデルの設定ファイル
 ２つのタイプのソルバーでは，使用する乱流モデルの指定に必要な
設定ファイルが異なります．
• RANS モデルのみ使用可能なソルバーの場合
- constant/RASProperties のみ必要
• RANS モデルに加えて，LES モデルも使用可能なソルバーの場合
- constant/turbulenceProperties
RANS 計算(RASModel)，LES 計算(LESModel)，層流計算(laminar)
のどの計算を行うのかをこのファイルで指定します．
加えて
- constant/LESProperties (LES 計算を行う場合に必要)
- constant/RASProperties (RANS 計算を行う場合に必要)
層流計算の場合には，constant/turbulenceProperties のみ必要です．

9
乱流モデルの設定ファイル：turbulenceProperties
/*--------------------------------*- C++ -*----------------------------------*¥
| ========= | |
| ¥¥ / F ield | OpenFOAM: The Open Source CFD Toolbox |
| ¥¥ / O peration | Version: 2.3.0 |
| ¥¥ / A nd | Web: www.OpenFOAM.org |
| ¥¥/ M anipulation | |
¥*---------------------------------------------------------------------------*/
FoamFile
{
version 2.0;
format ascii;
class dictionary;
location "constant";
object turbulenceProperties;
}
// * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * //
simulationType RASModel;
// ************************************************************************* //
 simulationType RASModel
 simulationType LESModel
 simulationType laminar
： RANS 計算の場合
： LES 計算の場合
：層流計算の場合

10
乱流モデルの設定ファイル：RASProperties
/*--------------------------------*- C++ -*----------------------------------*¥
| ========= | |
¥*---------------------------------------------------------------------------*/
FoamFile
{
version 2.0;
format ascii;
class dictionary;
object RASProperties;
}
// * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * //
RASModel kEpsilon;
turbulence on;
printCoeffs on;
// ************************************************************************* //
• RASModel：計算に使用する RANS モデルを指定
• turbulence：乱流計算 (on) と層流計算 (off) の
切り替え
• printCoeffs: ソルバー開始時にモデル定数を
ターミナルへ標準出力するか否かのコントロール

/*--------------------------------*- C++ -*----------------------------------*¥
| ========= | |
¥*---------------------------------------------------------------------------*/
FoamFile
{
version 2.0;
format ascii;
class dictionary;
}
// * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * //
RASModel hogehoge;
turbulence on;
printCoeffs on;
// ************************************************************************* //
11
RANS モデルのリストの表示
 RASModel に適当な名前を指定して，ソルバーを実行すると，
使用可能な RANS モデルのリストを表示してくれます．
次のページに続きます．

12
RANS モデルのリストの表示
--> FOAM FATAL ERROR:
Unknown RASModel type hogehoge
Valid RASModel types:
18
(
LRR
LamBremhorstKE
LaunderGibsonRSTM
LaunderSharmaKE
LienCubicKE
LienCubicKELowRe
LienLeschzinerLowRe
NonlinearKEShih
RNGkEpsilon
SpalartAllmaras
kEpsilon
kOmega
kOmegaSST
kkLOmega
laminar
qZeta
realizableKE
v2f
)
例えば，simpleFoam の場合，
非圧縮流れ計算用の RANS モデルが 18種類
選択可能であることが分かります．
laminar は，層流計算用なので，
実質 17 種類のモデルです．

13
モデル定数
 それぞれの乱流モデルには，モデル定数が定義されています．
 例えば，非圧縮性流れ計算用の標準 k-ε モデル (kEpsilon) の場合
 ソースコードにデフォルト値が定義されています：
$FOAM_SRC/turbulenceModels/incompressible/RAS/kEpsilon
𝑅 𝑘 = 𝑣𝑗
𝜕𝑘
𝜕𝑥𝑗
−
𝜕
𝜕𝑥𝑗
𝜈 +
𝜈𝑡
𝜎 𝑘
𝜕𝑘
𝜕𝑥𝑗
− 𝑃𝑘 + 𝜀 = 0
𝑅 𝜀 = 𝑣𝑗
𝜕𝜀
𝜕𝑥𝑗
−
𝜕
𝜕𝑥𝑗
𝜈 +
𝜈𝑡
𝜎𝜀
𝜕𝜀
𝜕𝑥𝑗
− 𝑐1 𝑃𝑘
𝜀
𝑘
+ 𝑐2
𝜀2
𝑘
= 0
𝜈𝑡 = 𝑐 𝜇
𝑘2
𝜀
：OpenFOAMでの変数名
C1 C2Cmu
sigmaEps

14
モデル定数の確認
 設定ファイル RASProperties において，printCoeffs の設定を on にする
ことで，ソルバー実行時にモデル定数値を標準出力できます．
Create time
Create mesh for time = 0
Reading field p
Reading field U
Reading/calculating face flux field phi
Selecting incompressible transport model Newtonian
Selecting RAS turbulence model kEpsilon
kEpsilonCoeffs
{
Cmu 0.09;
C1 1.44;
C2 1.92;
sigmaEps 1.4;
}
No finite volume options present

15
モデル定数の編集
 モデル定数をデフォルト値から変更したい場合
1. 前ページのようにデフォルト値を表示させて、
2. これを RASProperties ファイルにコピー & ペーストして，
3. デフォルト値から変更したい変数の値を編集
FoamFile
{
version 2.0;
format ascii;
class dictionary;
}
// * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * //
RASModel ｋEpsilon;
turbulence on;
printCoeffs on;
kEpsilonCoeffs
{
Cmu 0.09;
C1 1.44;
C2 1.92;
sigmaEps 1.4;
}
// ************************************************************************* //
デフォルト値は、
標準的な値が設定されているので
変更が必要な機会は
あまり多くないかもしれません．

16
Chapter 2.
RANS モデルのクラスの設計

17
乱流モデルのクラスの関係
/*---------------------------------------------------------------------------*¥
Class kEpsilon Declaration
¥*---------------------------------------------------------------------------*/
class kEpsilon
:
public RASModel
{
protected:
// Protected data
// Model coefficients
dimensionedScalar Cmu_;
dimensionedScalar C1_;
dimensionedScalar C2_;
dimensionedScalar sigmaEps_;
派生クラス名
基底クラス名
 kEpsilon クラスは，RASModel クラスの派生クラスです．
 kOmega クラスなど，その他の RANS モデルのクラスも
RASModel の派生クラスです．
RASModel
kEpsilon
親クラス
子クラス
継承

18
kEpsilon クラスのメンバ
 kEpsilon クラスのメンバ
• データメンバ
- モデル定数 (Cmu_，C1_，C2_，sigmaEps_)
- 乱流変数 (k_，epsilon_，nut_)
- Runtime タイプ名
• コンストラクタ，デストラクタ
• メンバ関数
- DkEff()，DepsilonEff()：乱流変数の拡散係数
- R()：レイノルズ応力テンソル
- divDevReff(volVectorField& U)：拡散項の離散化
- correct()：乱流変数 𝑘 と 𝜀 の輸送方程式を解いて，
渦粘性係数 𝜈𝑡 を計算
など

19
メンバ関数： correct()
 RANS モデルにより，渦粘性係数の計算方法は異なります．
 turbulenceModel クラスは，correct() を純粋仮想関数として定義した
抽象クラスです．
RASModel
kEpsilon
継承
turbulence
Model
継承
virtual void correct() = 0;
void turbulenceModel::correct()
{
transportModel_.correct();
if (mesh_.changing())
{
y_.correct();
}
}

20
 RASModel クラスでも，correct() を仮想関数として定義しています．
virtual void correct();
void RASModel::correct()
{
turbulenceModel::correct();
}
RASModel
kEpsilon
継承
turbulence
Model
継承

21
 基底クラスの仮想関数 correct() を再定義することにより，
RANS モデルの渦粘性計算をカスタマイズしています．
void kEpsilon::correct()
{
RASModel::correct();
if (!turbulence_)
{
return;
}
volScalarField G(GName(), nut_*2*magSqr(symm(fvc::grad(U_))));
// Update epsilon and G at the wall
epsilon_.boundaryField().updateCoeffs();
// Dissipation equation
tmp<fvScalarMatrix> epsEqn
(
fvm::ddt(epsilon_)
+ fvm::div(phi_, epsilon_)
- fvm::laplacian(DepsilonEff(), epsilon_)
==
C1_*G*epsilon_/k_
- fvm::Sp(C2_*epsilon_/k_, epsilon_)
);
epsEqn().relax();
epsEqn().boundaryManipulate(epsilon_.boundaryField());
solve(epsEqn);
bound(epsilon_, epsilonMin_);
(以下省略)
RASModel
kEpsilon
継承
turbulence
Model
継承

22
Chapter 3.
乱流モデルのカスタマイズ

23
カスタマイズの手順
 Chalmers 大学の Håkan Nilsson 先生の資料 [1] の手順でカスタマイズが
可能です．
 ここでは，この資料の手順にしたがって kEpsilon モデルのカスタマイズを
行ってみます．
 kEpsilon モデルのソースコードをコピーします．
$ cd $WM_PROJECT_DIR
$ cp -r --parents src/turbulenceModels/incompressible/RAS/kEpsilon ¥
> $WM_PROJECT_USER_DIR
$ cd $WM_PROJECT_USER_DIR/src/turbulenceModels/incompressible/RAS
$ mv kEpsilon mykEpsilon
補足説明
• 入力コマンドが長くなる場合には，バックスラッシュ『¥』で改行を行い，
コマンド入力を複数行に分けることができます．
• WM_PROJECT_USER_DIR などの OpenFOAM の環境変数は，
etc/bashrc ファイルで定義されています．

24
 $FOAM_SRC/turbulenceModels/incompressible/RAS/Make を参考にし
て，ビルドに必要な Make/files と Make/options ファイルを準備します．
 Make ディレクトリを作成します．
$ mkdir Make
 Make ディレクトリの下に files という名前のファイルを作成します．この
ファイルに，次の２行を記述して保存します．
mykEpsilon/mykEpsilon.C
LIB = $(FOAM_USER_LIBBIN)/libmyIncompressibleRASModels

25
 Make ディレクトリの下に options という名前のファイルを作成します．
このファイルには，以下のように記述します．
EXE_INC = ¥
-I$(LIB_SRC)/turbulenceModels ¥
-I$(LIB_SRC)/transportModels ¥
-I$(LIB_SRC)/finiteVolume/lnInclude ¥
-I$(LIB_SRC)/meshTools/lnInclude ¥
-I$(LIB_SRC)/turbulenceModels/incompressible/RAS/lnInclude
LIB_LIBS = ¥
-lincompressibleTurbulenceModel ¥
-lfiniteVolume ¥
-lmeshTools
 ソースコードのファイル名を Make/files の記述に合わせて修正します．
$ cd mykEpsilon
$ mv kEpsilon.C mykEpsilon.C
$ mv kEpsilon.H mykEpsilon.H
$ rm kEpsilon.dep

26
 ソースコード内のクラス名を修正します．
$ sed -i -e "s/kEpsilon/mykEpsilon/g" mykEpsilon.C
$ sed -i -e "s/kEpsilon/mykEpsilon/g" mykEpsilon.H
 (オプション) カスタマイズしたモデルを使用している目印を作成します．
mysimpleFoam.C ファイルに次の1行を加えます．
補足説明
• sed コマンドの –i オプションで，対象ファイルの上書き編集が可能です．
{
Info << "Defining my own kEpsilon model" << endl;
bound(k_, kMin_);
bound(epsilon_, epsilonMin_);
nut_ = Cmu_*sqr(k_)/epsilon_;
nut_.correctBoundaryConditions();
printCoeffs();
}

27
 その他必要なカスタマイズを行います．
 コンパイルして，動的リンクライブラリを作成します．
$ cd ../
$ wmake libso
User Guide [2] 75ページ

28
 次のような表示があれば，コンパイル成功です．
(省略)
/platforms/linux64GccDPDebug/lib/libmyIncompressibleRASModels.so
' is up to date.
以上が，乱流モデルのカスタマイズの手順です．

29
カスタマイズした乱流モデルの使用
 カスタマイズした乱流モデルの使用
 system/controlDict ファイルに次の行を加えます．
FoamFile
{
version 2.0;
format ascii;
class dictionary;
location "system";
object controlDict;
}
// * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * //
libs ("libmyIncompressibleRASModels.so");
application simpleFoam;
startFrom latestTime;

30
カスタマイズした乱流モデルの使用
 設定ファイル RASProperties において，RASModel に mykEpsilon を指
定することでカスタマイズした乱流モデルを使用できます．
 RASModel に適当な名前を指定して
ソルバーを実行してみると，
新しいモデルがリストに
加わっているのが確認できます．
--> FOAM FATAL ERROR:
Unknown RASModel type hogehoge
Valid RASModel types:
19
(
LRR
LamBremhorstKE
LaunderGibsonRSTM
LaunderSharmaKE
LienCubicKE
LienCubicKELowRe
LienLeschzinerLowRe
NonlinearKEShih
RNGkEpsilon
SpalartAllmaras
kEpsilon
kOmega
kOmegaSST
kkLOmega
laminar
mykEpsilon
qZeta
realizableKE
v2f
)

31
Chapter 4. RANS モデル
Launder-Sharma low-Re k-𝜀 モデル

32
支配方程式
𝜕𝑘
𝜕𝑡
+
𝜕 𝑢𝑗 𝑘
𝜕𝑥𝑗
−
𝜕
𝜕𝑥𝑗
𝜈 + 𝜈𝑡
𝜕𝑘
𝜕𝑥𝑗
= 𝑃𝑘 − 𝜀 − 𝐷
𝜕𝜀
𝜕𝑡
+
𝜕 𝑢𝑗 𝜀
𝜕𝑥𝑗
−
𝜕
𝜕𝑥𝑗
𝜈 +
𝜈𝑡
𝜎𝜀
𝜕𝜀
𝜕𝑥𝑗
= 𝑐1 𝑓1 𝑃𝑘
𝜀
𝑘
− 𝑐2 𝑓2
𝜀2
𝑘
+ 𝐸
ここで
𝜈𝑡 = 𝑐 𝜇 𝑓𝜇
𝑘2
𝜀
𝑃𝑘 = 𝜈𝑡
𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑥𝑗
+
𝜕𝑢𝑗
𝜕𝑥𝑖
𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑥𝑗
, 𝐷 = 2𝜈
𝜕 𝑘
𝜕𝑥𝑗
2
, 𝐸 = 2𝜈𝜈𝑡
𝜕2 𝑢 𝑘
𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑥𝑗
2
𝑓𝜇 = exp
−3.4
1 +
𝑅𝑒𝑡
50
2 , 𝑓1 = 1, 𝑎𝑓2 = 1 − 0.3exp −𝑅𝑒𝑡
2
, 𝑅𝑒𝑡 =
𝑘2
𝜈𝜀
渦粘性係数
Damping
functions
𝜀 = 𝜀 − 𝐷

33
モデル定数
モデル定数 OpenFOAMの表記デフォルト値
𝑐 𝜇 Cmu 0.09
𝑐1 C1 1.44
𝑐2 C2 1.92
σ 𝜀 sigmaEps 1.3

34
モデルに関して
 通常のエネルギー散逸率 𝜀 の代わりに，𝜀 についての方程式を解きます．
𝐷 の壁面での値が，𝜀 の壁面での値に等しいので，変数 𝜀 = 𝜀 − 𝐷 の壁面で
の値は，𝜀 = 0 となり，壁面上の境界条件が取り扱いやすくなります．
 高 Re 型のモデルには無い項 𝐸 が追加されている理由
Its inclusion is simply due to the fact that without it the peak level of
turbulence kinetic energy at y+ ≈ 20 did not accord with experiment.
Several other forms were tried including choosing f1 to be a function
of Reynolds number. The form quoted is however, the only one which
generated the desired profile of k near the wall.
これによると，
壁近傍での乱流エネルギー k の分布が実験と合うように，導入されている項
のようです．
文献 [4]

35
モデルに関して
 Damping 関数の分布
拡大

36
OpenFOAM の実装｜𝑘 の輸送方程式
𝜕𝑘
𝜕𝑡
+
𝜕 𝑢𝑗 𝑘
𝜕𝑥𝑗
−
𝜕
𝜕𝑥𝑗
𝜈 + 𝜈𝑡
𝜕𝑘
𝜕𝑥𝑗
= 𝑃𝑘 − 𝜀 − 𝐷
数式 OpenFOAM
𝜕𝑘
𝜕𝑡
fvm::ddt(k_)
𝜕 𝑢𝑗 𝑘
𝜕𝑥𝑗
fvm::div(phi_, k_)
−
𝜕
𝜕𝑥𝑗
𝜈 + 𝜈𝑡
𝜕𝑘
𝜕𝑥𝑗
- fvm::laplacian(DkEff(), k_)
𝑃𝑘 G
−𝜀 − 𝐷 - fvm::Sp((epsilonTilda_ + D)/k_, k_)

37
OpenFOAM の実装｜𝜀 の輸送方程式
𝜕𝜀
𝜕𝑡
+
𝜕 𝑢𝑗 𝜀
𝜕𝑥𝑗
−
𝜕
𝜕𝑥𝑗
𝜈 +
𝜈𝑡
𝜎𝜀
𝜕𝜀
𝜕𝑥𝑗
= 𝑐1 𝑃𝑘
𝜀
𝑘
− 𝑐2 𝑓2
𝜀2
𝑘
+ 𝐸
数式 OpenFOAM
𝜕𝜀
𝜕𝑡
fvm::ddt(epsilonTilda_)
𝜕 𝑢𝑗 𝜀
𝜕𝑥𝑗
fvm::div(phi_, epsilonTilda_)
−
𝜕
𝜕𝑥𝑗
𝜈 +
𝜈𝑡
𝜎𝜀
𝜕𝜀
𝜕𝑥𝑗
- fvm::laplacian(DepsilonEff(),
epsilonTilda_)
𝑐1 𝑃𝑘
𝜀
𝑘
C1_*G*epsilonTilda_/k_
−𝑐2 𝑓2
𝜀2
𝑘
- fvm::Sp(C2_*f2()*epsilonTilda_/k_,
epsilonTilda_)
𝐸 E

38
OpenFOAM の実装｜乱流変数の輸送方程式
 前の２ページの離散化を注意深く見ると，右辺の項で，fvm::Sp が使われて
いる項といない項があるのが分かります．
• 符号がマイナスの項 fvm::Sp を使用している
• 符号がプラスの項 fvm::Sp を使用していない
 今考えている方程式では，右辺でマイナス符号が付いている項を左辺に移項
すると係数行列の対角成分を大きくする効果があるので，陰的に扱うために，
fvm::Sp を使用しています．
 連立方程式を反復法で解く場合，係数行列の対角成分が大きい方が解きやす
いため，このような工夫を行っています．
 fvm::Sp の詳細は，こちらのスライドの 80 ページをご覧ください．

39
OpenFOAM の実装｜Damping functions
𝑓𝜇 = exp
−3.4
1 +
𝑅𝑒𝑡
50
2 , 𝑓2 = 1 − 0.3exp −𝑅𝑒𝑡
2
, 𝑅𝑒𝑡 =
𝑘2
𝜈𝜀
LaunderSharmaKE.C

40
OpenFOAM の実装｜乱流エネルギーの生産率の計算
𝐺 = 2𝜈𝑡
1
2
𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑥𝑗
+
𝜕𝑢𝑗
𝜕𝑥𝑖
2
=
𝜈𝑡
2
𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑥𝑗
𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑥𝑗
+
𝜕𝑢𝑗
𝜕𝑥𝑖
𝜕𝑢𝑗
𝜕𝑥𝑖
+ 2
𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑥𝑗
𝜕𝑢𝑗
𝜕𝑥𝑖
= 𝜈𝑡
𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑥𝑗
+
𝜕𝑢𝑗
𝜕𝑥𝑖
𝜕𝑢𝑖
𝜕𝑥𝑗
= 𝑃𝑘
乱流エネルギーの生産率の表現
LaunderSharmaKE.C

41
OpenFOAM の実装｜D 項と E 項の計算
𝐷 = 2𝜈
𝜕 𝑘
𝜕𝑥𝑗
2
, 𝐸 = 2𝜈𝜈𝑡
𝜕2
𝑢 𝑘
𝜕𝑥𝑖 𝜕𝑥𝑗
2
LaunderSharmaKE.C
 E 項は，各 𝑘 = 0,1,2 について，次のヘッセ行列の magSqr の和を計算して
います(magSqrGradGrad，次ページ)．
𝛻 𝛻𝑢 𝑘 =
𝜕2 𝑢 𝑘
𝜕𝑥0 𝜕𝑥0
𝜕2 𝑢 𝑘
𝜕𝑥0 𝜕𝑥1
𝜕2 𝑢 𝑘
𝜕𝑥0 𝜕𝑥2
𝜕2 𝑢 𝑘
𝜕𝑥1 𝜕𝑥0
𝜕2 𝑢 𝑘
𝜕𝑥1 𝜕𝑥1
𝜕2 𝑢 𝑘
𝜕𝑥1 𝜕𝑥2
𝜕2 𝑢 𝑘
𝜕𝑥2 𝜕𝑥0
𝜕2 𝑢 𝑘
𝜕𝑥2 𝜕𝑥1
𝜕2 𝑢 𝑘
𝜕𝑥2 𝜕𝑥2

42
OpenFOAM の実装｜magSqrGradGrad
fvcMagSqrGradGrad.C

43
Turbulent Flat Plate｜流速分布
𝑢+ =
𝑢
𝑢 𝜏
𝑦+ =
𝑦𝑢 𝜏
𝜈
 Turbulent Flat Plate [5] で検証
Spalding 則については
こちらのスライドの 23 ページ

44
Turbulent Flat Plate｜𝑘+
分布
𝑘+ =
𝑘
𝑢 𝜏
2

45
Turbulent Flat Plate｜𝜀+
分布
𝜀+ =
𝜀𝜈
𝑢 𝜏
4

46
𝜀+
分布に関して補足
 前ページの図を見ると，対数則領域において，おおよそ次の関係が成り立っ
ているのが分かります．
𝜀+ =
𝜀𝜈
𝑢 𝜏
4
=
1
𝜅𝑦+
 これは次式のように変形できます．
𝜀 =
𝑢 𝜏
3
𝜅𝑦
 この式に， 𝑢 𝜏 = 𝐶𝜇
1 4
𝑘 という関係式を代入すれば，壁関数を使用した場合
の境界条件 (epsilonWallFunction) で使用している関係式が得られます．
𝜀 𝑃 =
𝐶𝜇
3 4
𝑘 𝑃
3 2
𝜅𝑦 𝑃

47
Turbulent Flat Plate｜k 方程式の項のバランス
𝜕𝑘
𝜕𝑡
+
𝜕 𝑢𝑗 𝑘
𝜕𝑥𝑗
−
𝜕
𝜕𝑥𝑗
𝜈 + 𝜈𝑡
𝜕𝑘
𝜕𝑥𝑗
= 𝑃𝑘 − 𝜀 + 𝐷
Production (生成)
Dissipation (散逸)
対数則領域では，乱流エネルギーの
生成と散逸のバランスが取れています．

 43 ページの図は，下記の gnuplot 設定ファイルを使用して作成しています．
 この設定ファイルを，Uprofile.gp 等の名前で保存して，𝑦+
と𝑢+
の
計算結果ファイル data.txt を用意して，次のコマンドを実行します．
gnuplot> load “Uprofile.gp"
48
付録｜gnuplot の設定ファイル
set terminal pngcairo enhanced size 800,600
set output "Uprofile.png"
set title "Turbulent Flat Plate - Velocity Profile"
set logscale x
set mxtics 10
set format x "10^{%T}"
set grid xtics mxtics ytics
set xlabel "y+"
set ylabel "u+"
set key top left
set parametric
# u+ range
set trange [0:25]
# Spaldings law
k=0.41
E=9.8
f(t) = t + (exp(k*t) - 1 - k*t*(1 + 0.5*k*t) - 1/6*(k*t)**3)/E
set style line 1 lc rgb '#8b1a0e' pt 1 ps 1 lt 1 lw 2 # red
set style line 2 lc rgb '#0072bd' pt 6 ps 1.5 lt 1 lw 2 # blue
plot f(t),t title "Spalding" with lines ls 1,¥
"data.txt" title "OpenFOAM" with points ls 2

49
参考資料
[1] http://www.tfd.chalmers.se/~hani/kurser/OS_CFD/implementTurbulenceModel.pdf
[2] http://foam.sourceforge.net/docs/Guides-a4/UserGuide.pdf
[3] https://www.youtube.com/watch?v=Eu_4ppppQmw
[4] Jones, W., and Launder, B. The prediction of laminarization with a two-equationmodel of
turbulence. Int. J. HeatMass Transfer 15 (1972), 301–314.
[5] http://www.grc.nasa.gov/WWW/wind/valid/fpturb/fpturb.html

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