Athens University of Economics and Business, Giannis Alexakis, MBA, Thesis: "Parsimomious Estimation of Default Probabilities from Credit Default Swaps and Bonds"

1. ∆ΙΑΤΜΗΜΑΤΙΚΟ ΜΒΑ
PARSIMONIOUS ESTIMATION OF DEFAULT PROBABILITIES
FROM CREDIT DEFAULT SWAPS AND BONDS
Μεταπτυχιακή Εργασία
του
ΙΩΑΝΝΗ ΑΛΕΞΑΚΗ
Εξεταστική Επιτροπή:
Ε. Καβουσανός, Καθηγητής (επιβλέπων)
Γ. Καραθανάσης, Καθηγητής
Π. ∆ιαµάντης, Αναπληρωτής Καθηγητής

2. Παρουσίαση
1. Credit Derivatives - Credit Default Swaps
2. Περιεχόµενο Εργασίας
3. Σχετική Βιβλιογραφία
4. Οµόλογα και Πιστωτικός Κίνδυνος
5. CDS και Πιστωτικός Κίνδυνος
6. Περιγραφή Μεθόδου
7. Περιγραφή ∆είγµατος – Αποτελέσµατα
8. Συµπεράσµατα
2

3. 1.
CREDIT DERIVATIVES
CREDIT DEFAULT SWAPS
3

4. Αγορά Credit Derivatives
30,000
Ονοµαστική
25,000 αξία
(δισ. US $)
20,000 26,006
15,000
17,096
10,000
12,430
5,000
632
0
1H01 2H01 1H02 2H02 1H03 2H03 1H04 2H04 1H05 2H05 1H06
Εξάµηνα (2001 - 2006)
Credit Linked Baskets, 2% Others, 11%
Notes, 3% Single-name
CDS, 32%
Tranched Index
Swaps, 7%
Collaterized
Debt
CDS
Obligations,
Indices, 29%
16%
4

5. Credit Default Swaps
• Κυριότερα πιστωτικά παράγωγα
• Συνήθως Over The Counter
• Συναλλαγές γίνονται ηλεκτρονικά
− CreditEx
− CreditTrade
• Κατηγορίες
− Single Name CDS
− Index CDS
5

6. Credit Default Swaps
•O Αγοραστής Ασφάλειας (Protection Buyer)
συνάπτει συµβόλαιο µε αυτόν που
προσφέρει Ασφάλεια (Protection Seller)
•Ο Πωλητής λαµβάνει ταµειακές εισροές από Αγοραστή
−σε περιοδικά χρονικά διαστήµατα (πχ ανά τρίµηνο)
−µέχρι τη λήξη του συµβολαίου (συνήθως είναι 1,3,5,7 ή 10 έτη)
•Το επασφάλιστρο (CDS premium)
−ορίζεται ως µονάδες βάσης (basis points)
−σε ονοµαστική αξία (notional value)
•O Αγοραστής αποκτά δικαίωµα αποζηµίωσης σε default ενός
τρίτου οργανισµού Οντότητα Αναφοράς (Reference Entity)
6

7. Credit Default Swaps
σταθερό επασφάλιστρο
(µονάδες βάσης επί
ονοµαστική αξία)
Πωλητής Αγοραστής
Ασφάλειας Ασφάλειας
πριν το
Πιστωτικό Γεγονός
χρεόγραφα
Πωλητής Αγοραστής
Ασφάλειας Ασφάλειας
χρηµατικό ποσό ίσο µε την
ονοµαστική αξία
σε περίπτωση
Πιστωτικού Γεγονότος
7

8. 2.
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ
8

9. Περιεχόµενο Εργασίας
• Oι επενδυτές αναζητούν αποδόσεις ανάλογες του κινδύνου
που αναλαµβάνουν (πιστωτικός κίνδυνος)
• Oι αποδόσεις των CDS θα πρέπει αντικατοπτρίζουν τις
εκτιµήσεις των επενδυτών για τα bond default probabilities
• Το ίδιο ισχύει και για τις αποδόσεις των οµολόγων
αποδόσεις πιστωτικός κίνδυνος
9

10. Περιεχόµενο Εργασίας
• Με βάση τις αποδόσεις των CDS και των οµολόγων
− εξάγουµε συµπεράσµατα για τις πιθανότητες default
− διερευνούµε κατά πόσο αποτιµάται το ίδιο ο πιστωτικός
κίνδυνος µιας εταιρίας από τις δύο αγορές
• Για το σκοπό αυτό
− αναπτύξαµε µια µέθοδο
− υλοποιήσαµε ένα πληροφοριακό σύστηµα ανάλυσης των
στοιχείων των CDS’ και των υποκείµενων τίτλων τους
(οµόλογων)
− συλλέξαµε στοιχεία για 27 εταιρίες των ΗΠΑ (CDS και
Οµόλογα)
− συγκρίναµε τις τεκµαιρόµενες πιθανότητες για τις δύο αγορές
10

11. Περιεχόµενο Εργασίας
Credit
Οµόλογα Default
Swaps
κουπόνι,τιµή, επασφάλιστρο
ονοµαστική αξία, (CDS spread),
χρόνος µέχρι τη λήξη χρόνος µέχρι τη λήξη
default default
probabilities ΣΥΓΚΡΙΣΗ probabilities
11

12. 3.
ΣΧΕΤΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ
12

13. Μέθοδοι εκτίµησης Default
Probabilities
• STRUCTURAL FORM MODELS
Ιδιαίτερα χρηµατοοικονοµικά
Default
χαρακτηριστικά επιχείρησης
Probabilities
(ενεργητικό, υποχρεώσεις…)
• Merton (1974)
• Vasicek-Kealhofer (1977-)
• Black, Cox (1976)
• Geske (1977)
13

14. Μέθοδοι εκτίµησης Default
Probabilities
• REDUCED FORM MODELS
εκτιµήσεις της αγοράς για τον κίνδυνο
(αντικατοπτρίζονται στις Default
απαιτούµενες αποδόσεις) Probabilities
• Jarrow and Turnbull (1995)
• Hull and White (2000)
• Duffie and Singleton(1999)
• Schönbucher (1997)
14

15. Reduced VS Structural Form
• Structural Form Models
− Απαιτούν λεπτοµερή πληροφόρηση
• Reduced Form Models
− Απλούστερα
− Αντανακλούν εκτιµήσεις αγοράς
− ∆εν αναλύουν την αιτία που προκάλει το default µε
χρηµατοοικονοµικούς όρους
• Επικεντρονόµαστε σε Reduced Form
15

16. Σύγκριση CDS-Οµολόγων
• Houweling (2001)
− προτείνει τον υπολογισµό ισοδύναµου CDS premium
από αποδόσεις Οµολόγων
− καλύτερο από απευθείας σύγκριση CDS-Credit Spread
• Hull, Predescu and White (2004)
− σχέση µεταξύ αποδόσεων Οµολόγων και CDS premiums
− εξετάζονται οι επιπτώσεις των ανακοινώσεων Credit Ratings
• Longstaff et al(2004)
παράγοντες που επηρεάζουν τα Spreads των Οµολόγων
− πιστωτικός κίνδυνος (κατά κύριο λόγο)
− ρευστότητα
− µακροοικονοµικές αιτίες
16

17. Σύγκριση CDS-Οµολόγων
Blanco, Levin, Perli
Norden and
Brennan and and Zakrajsek Zhu (2006) De Wit (2006)
Weber (2004)
Marsh (2005) (2005)
DATASET
CDS Term 5 1/2/3/5/7/10 5 5 3/5/10
02/01/2001 to 02/01/2001 to 01/01/1999 to 01/01/2004 to
2000-2002
Period 20/06/2002 01/09/2005 31/12/2002 30/12/2005
# reference entities 33 306 58 24 103
# contracts 33 1290 58 24 144
IG/HY
IG (+HY) IG/HY Corporates
reference entities IG Corporates Corporates (US- IG Corporates
Corporates + EM Sovereigns
type USD only)
METHODOLOGY
Spline estimate Interpolation / Interpolation /
Interpolation Interpolation
CDS curve, Matching bond Matching bond
bond spreads to bond spread to
match to bond spread to CDS spread to CDS
Spread estimation CDS term CDS term
term term term
Long-term Cointegration / Cointegration Cointegration Cointegration
relationship
RESULTS
0 bp. (median), - +7 bp. (median),
+6 bp. (mean) +14 bp. (mean) +13 bp. (mean)
2 bp. (mean) +16 bp.(mean)
Basis
26 out of 33 36 out of 58 15 out of 24 88 out of 144
Long-term cointegrated / cointegrated cointegrated cointegrated
relationship (unrestricted) (unrestricted) (restricted) (restricted)
CDS tends to lead
CDS tends to / - Mainly CDS tends to
bonds in US, not /
lead bonds idiosyncratic lead bonds
Price discovery elsewhere
17

18. 4.
ΟΜΟΛΟΓΑ ΚΑΙ
ΠΙΣΤΩΤΙΚΟΣ ΚΙΝ∆ΥΝΟΣ
18

19. Οµόλογα-Πιστωτικός Κίνδυνος
• Συνήθη µέτρα απόδοσης (όπως ΥΤΜ)
− δεν είναι κατάλληλα για µέτρηση πιστωτικού κινδύνου
− δεν λαµβάνουν υπ’ όψιν ακίνδυνο επιτόκιο αγοράς
• Κατάλληλο µέτρο – Credit Spread:
− σύγκριση απόδοσης – ακίνδυνου επιτοκίου αγοράς
− ακίνδυνο επιτόκιο προκύπτει από Swap Rates/LIBOR
19

20. Μέτρηση µε I-spread
• ΥΤΜ Οµολόγου - Swap Rate στη λήξη
Χρόνος Έτος 0 Έτος 1 Έτος 2 Έτος 3
Swap Rates 0.50% 1% 2%
Ταµειακές Ροές -92.13 5 5 105
5 5 105
92.13 = + + ⇒ YTM = 8.06%
(1 + YTM ) (1 + YTM ) (1 + YTM )
2 3
Ispread = YTM − SwapRate3 = 8.06% − 2% = 6.06%
• ∆εν λαµβάνει υπ’ όψιν όλη τη Swap Rate καµπύλη
• Πρόχειρος υπολογισµός
20

21. Μέτρηση µε Asset Swap
Spread
• Ισοδύναµο Asset Swap επιτόκιο
• Επενδυτής σε οµόλογο λαµβάνει κυµαινόµενο επιτοκίο
(LIBOR+s) αντί για κουπόνι
οµόλογα
Αρχική
Επενδυτής Τ-Bank Χρηµατιστής
Επένδυση
κεφάλαιο κεφάλαιο
LIBOR + s LIBOR + s
Ενδιάµεσες
Επενδυτής Τ-Bank ΧYZ Bank
Χρηµατοροές
κουπόνια
κουπόνια
Οµόλογο
ονοµαστική ονοµαστική
αξία οµολόγου αξία οµολόγου
Λήξη του
Επενδυτής Τ-Bank EuroAutos AG
Οµολόγου
21

22. Μέτρηση µε Asset Swap
Spread
Bond FairValue − Pdirty
• Αποδεικνύεται ότι ASWspread =
PV ( Annuity )
Χρόνος Έτος 0 Έτος 1 Έτος 2 Έτος 3
Risk Free Rates 0.50% 1% 2%
Ταµειακές Ροές -92.13 5 5 105
5 5 105 
Bond FairValue = + + = 108.82 
(1 + 0.5%) (1 + 1%) 2 (1 + 2%)3 
⇒
1 1 1
PV ( Annuity ) = + + = 2.92 
(1 + 0.5%) (1 + 1%) (1 + 2%)
2 3


108.82 − 92.13
⇒ ASWspread = = 5.72%
2.92
• Η τιµή έχει αντίκρισµα στην αγορά Asset Swaps
• Ακατάλληλο για Οµόλογα µε τιµή µακριά από ονοµαστική
22

23. Μέτρηση µε Ζ-spread
• Πόσο µετατοπίζουµε τη Risk Free καµπύλη για να προκύψει
η τιµή του οµολόγου
Χρόνος Έτος 0 Έτος 1 Έτος 2 Έτος 3
Risk Free Rates 0.50% 1% 2%
Ταµειακές Ροές -92.13 5 5 105
5 5 105
92.13 = + + ⇒ Z = 6.12%
(1 + 0.5% + Z ) (1 + 1% + Z ) (1 + 2% + Z )
2 3
• Το καλύτερο αναλυτικό εργαλείο
• Η τιµή δεν έχει αντίκρισµα στη αγορά
23

24. Default Probabilities
Οµολόγων
• Παρούσα αξία οµολόγου ανάλογα µε default ή όχι
C 100+C
C
PV(Bond) q(0,1,k)
q(0,1,2) R(100+C)
q(0,0,1) R(100+C)
R(100+C)
− R ποσοστό ανάκτησης επί ονοµαστικής αξίας
− C κουπόνι
− q(0,1,2) πιθανότητα default στο διάστηµα 1,2
• Αποδικνύεται ότι (Jarrow and Turnbull)
1 − e − S (0,T )⋅T
− Q(0,T) πιθανότητα default µέχρι Τ Q(0, T ) =
− S Credit Spread 1− R
24

25. Αποτίµηση CDS
• JP Morgan model (παράµετροι)
− SN ετήσιο CDS spread για N περίοδους
− Τ0,Τ1 … ΤΝ χρονικά διαστήµατα που εξετάζουµε
− DFi παράγοντας προεξόφλησης από Τ0-Ti
− PNDi πιθανότητα να µην συµβεί default µέχρι Ti
− ∆i δεδουλευµένο CDS premium από Τi-1 µέχρι Ti
PV (CDS ) = PV (Contigent ) − PV ( Fee) =
N N N
∆i
(1 − R)∑ DFi ⋅ ( PNDi −1 − PNDi ) − S N ∑ DFi ⋅ PNDi ⋅ ∆ i − S N ∑ DFi ⋅ ( PNDi −1 − PNDi ) ⋅
i =1 i =1 i =1 2
25

26. 5.
CDS ΚΑΙ
ΠΙΣΤΩΤΙΚΟΣ ΚΙΝ∆ΥΝΟΣ
26

27. CDS Default Probabilities
• Στην έναρξη του CDS, PV(CDS)=0 CDS premiums s
PV(CDS)=0,
• Αν έχουµε Ν συµβόλαια CDS µε λήξεις ανά έτος
1
(1 − R − si )[di−1 + DFi PNDi −1 ] − si ci −1
(1 − R) 2
PND1 = PNDi =
1 1
s1 + (1 − R) ((1 − R) + si ) DFi
2 2
όπου
i i i
ci = ∑ DFx PNDx , di = ∑ DFx (1 − PNDx ) = ∑ DFx − ci
x =1 x =1 x =1
• Προσεγγιστικά
1
1−
(1 + s)i
PNDi = 1 −
1− R
27

28. CDS Default Probabilities
• Παράδειγµα υπολογισµού default
probabilities από CDS premiums
CDS Time RiskFree PND
bps= Years 1 Dfi Ci diff Di P Def error P Def APROX
24 1 3.0% 0.996 0.971 0.967 0.004 0.004 0.004 1.6E-06 0.004
35 2 3.1% 0.988 0.941 1.897 0.008 0.011 0.012 6.2E-05 0.012
50 3 3.2% 0.975 0.910 2.784 0.013 0.023 0.025 3.2E-04 0.025
55 4 3.3% 0.963 0.878 3.630 0.012 0.033 0.037 4.4E-04 0.036
60 5 3.3% 0.950 0.850 4.438 0.013 0.045 0.050 6.4E-04 0.049
70 6 3.4% 0.930 0.818 4.232 0.020 0.057 0.070 0.001 0.068
80 7 3.4% 0.918 0.791 4.029 0.012 0.059 0.082 -0.009 0.090
90 8 3.5% 0.903 0.759 3.827 0.016 0.059 0.097 -0.018 0.115
100 9 3.5% 0.881 0.734 3.627 0.022 0.065 0.119 -0.023 0.143
105 10 3.5% 0.867 0.709 3.434 0.014 0.064 0.133 -0.032 0.165
28

29. 6.
ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΜΕΘΟ∆ΟΥ
29

30. Περιγραφή της µεθόδου
Οµόλογα CDS
• Υπολογισµός Zero Coupon
ακίνδυνου επιτοκίου από • Εύρεση βέλτιστης
Swap Rates καµπύλης CDS spreads
(bootstrapping) • Υπολογισµός Default
• Υπολογισµός Credit Spread Probabilities
(I,ASW,Z spread) • Σύγκριση µε Default
• Εύρεση βέλτιστης Spread Probabilities από οµόλογα
καµπύλης
• Υπολογισµός Default
Probabilities
30

31. Παράδειγµα
• Υπολογισµός Zero Coupon
ακίνδυνου επιτοκίου (bootstrapping)
Έτος Swap Επιτόκιο Zero Coupon Επιτόκιο
1 1.50% 1.50%
2 2.00% 2.01%
3 2.50% 2.52%
4 3.00% 3.04%
2 102
100 = +
1 + 1.5% (1 + z2 )2
2.5 2.5 102.5
100 = + +
1 + 1.5% (1 + 2.01%)2 (1 + z3 %)3
3 3 3 103
100 = + + +
1 + 1.5% (1 + 2.01%)2 (1 + 2.52%)3 (1 + z4 )4
31

32. Παράδειγµα Ford Motor
Maturity Date
(dd-mmm-yy) Coupon Clean Price
25-Jan-07 6 1/2 100.2
15-Jun-07 7.2 100.5
15-Jan-08 4.95 94.3
01-Oct-08 5 5/8 93.5
28-Oct-09 7 3/8 96.1
01-Dec-09 5.8 93.4
15-Jan-10 5.7 90.8
15-Jun-10 7 7/8 96.6
01-Feb-11 7 3/8 94.6
25-Oct-11 7 1/4 93.7
01-Oct-13 7 92.7
32

33. Εκτίµηση spread καµπύλης
Μέθοδος Nelson Siegel
• Mοντελοποιούµε τα
spreads µε βάση τη
συνάρτηση
   
 −m 
τ 
  −m 
   −m 

1 − e   1 − e  τ   
R ( m)t = β 0 + β1   + β2  m τ − e
 τ 

mτ

 
 
 

• β0,β1,β2,τ παράµετροι,
• m χρόνος
33

34. Εύρεση Βέλτιστης καµπύλης
Nelson Siegel
• Χρησιµοποιούµε αλγόριθµους µη γραµµικής
βελτιστοποίησης
− Μέθοδος διαστηµάτων εµπιστοσύνης για µη γραµµική
ελαχιστοποίηση
− Preconditioned Conjurate Grandients
• Ώστε
− ελάχιστο σφάλµα τιµολόγησης οµολόγων
− ή διαφορών θεωρητικών πραγµατικών αποδόσεων
n ∧ n ∧
bopt = min ∑ wi ( Pi − Pi ) ή bopt = min ∑ ( yi − yi ) 2
2
b b
i =1 i =1
34

35. Παράδειγµα I-spread
35

36. Παράδειγµα ASW-spread
36

37. Παράδειγµα Z-spread
37

38. Παράδεγµα CDS καµπύλη
Term To Maturity (years) 1 3 5 10
CDS premium (bps) 153 351 408 421
38

39. Σύγκριση Default Probabilities
Years 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Error (%) -0.35 -0.68 -0.73 -0.50 -0.15 0.18 0.39 0.43 0.27 -0.08
39

40. 5.
ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ∆ΕΙΓΜΑΤΟΣ
ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ
40

41. Περιγραφή ∆είγµατος
Number Credit
Company Sector of Bonds Rating
1 Boeing 7 A2
2 General Dynamics 4 A2
• 27 εταιρίες από ΗΠΑ 3 Goodrich
Aerospace -
Defense
4 Baa3
4 Lockheed 5 Baa1
5 Northrop 4 Baa2
• 223 οµόλογα 6
7
Ford Motor
General Motors
Cars
14
13
B3
B3
8 Cinergy 8 Baa2
• 108 CDS 9
10
Constellation Energy
Devon Energy
8
6
Baa1
Baa2
Energy
11 Exelon 18 Baa2
• CDS λήξεις 1,3,5,10 έτη 12
13
Progress Energy
Xcel Energy
12
8
Baa2
Baa1
14 Clear Channel Communications 8 Baa3
• 1/1/2004 µέχρι 1/1/2007 15
16
Comcast Cable
Cox Communications Media
22
9
Baa2
Baa3
17 Disney 5 A2
• Οι πιο ρευστές εκδόσεις 18
19
Time Warner
Anheuser Busch
9
10
Baa2
A2
20 Cargill Food 5 A2
21 Kraft 7 A3
• Non-callable οµόλογα 22 Philip Morris Tobacco 6 A1
23 Albertsons 7 B1
24 Federated Department Stores Retail 5 Baa1
• Υπόθεση: Recovery 25 Kroger 11 Baa2
26 AT&T 10 A2
Communications
Rate=40% (µέσο από 27 New Cingular Wireless Services 4 A3
ιστορικά στοιχεία)
41

42. Σύγκριση
• Σύγκριση default probabilities CDS και οµολόγων
για 3, 5 και 7 έτη
• Αποδεκτό όριο: σφάλµα που αντιστοιχεί σε 20bps
(µέσο bid-ask spread)
− ±1%, ±1.6%, ±2.3%
− για 3,5 και 7 χρόνια αντίστοιχα
• Σύγκριση των 3 µεθόδων υπολογισµού Spread (ποιά δίνει
µικρότερη διαφορά µεταξύ Οµολόγων και CDS)
• Υπολογισµός διαφορών διαχρονικά
42

43. 43

44. ∆ιαφορές διαχρονικά
(ενδεικτικά)
44

45. ∆ιαφορές διαχρονικά
(ενδεικτικά)
45

46. 7.
ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ
46

47. Συµπεράσµατα
• Οι µέθοδοι I-spread και Ζ-spread δίνουν σφάλµα µέσα στο
όριο που έχουµε θέσει
• Εκτός 3 περιπτώσεων
(General Motors, Ford Motor, Phillip Morris)
- σφάλµα κοντά στο όριο
• Μέθοδος Asset Swap spread υψηλό σφάλµα –
απορρίπτεται όπως την έχουµε υλοποιήσει
47

48. Συµπεράσµατα
• Εταιρίες γύρω από το 0 µε διακυµάνσεις ανα περίοδο
(Boeing, Goodrich, Cinergy)
• Μεγαλύτερα implied default probabilities από Οµόλογα
(Cingular Wireless Services, και η Cox Communications)
• Μεγαλύτερα implied default probabilities από τα CDS (Xcel
Energy, General Dynamics).
48

49. Συµπεράσµατα
• Οι αποστάσεις µεταξύ των implied default probabilities
είναι αναµενόµενες
− Η ρευστότητα στις αγορές των CDS και των οµολόγων συχνά
διαφέρει (τα CDS είναι unfunded transactions)
− Ο αγοραστής ενός CDS δεν γνωρίζει ακριβώς ποιο οµόλογο θα του
µεταβιβαστεί σε περίπτωση default (cheapest to deliver option)
− πιστωτικός κίνδυνος του αντισυµβαλλοµένου (CDS counterparty risk)
• ∆εν σηµαίνει κατ’ ανάγκη ότι υπάρχουν δυνατότητες για
χωρίς κίνδυνο κέρδος (arbitrage)
− αγοράζοντας προστασία και το αντίστοιχο οµόλογα µαζί µε
χρηµατοδότηση κοντά στο ακίνδυνο επιτόκιο
49

50. Συµπεράσµατα
• Πολλές εφαρµογές έξω από τα πλαίσια της παρούσας έρευνας
− χρήσιµο σε έναν αναλυτή των αγορών CDS και Οµολόγων
− τιµολογήση νέων ή µη ρευστών εκδόσεων στηριζόµενοι στην
καµπύλη αποδόσεων
− τιµολογήση άλλων Πιστωτικών Παραγώγων βασιζόµενοι στα
default probabilities
− ανάλυση χαρτοφυλακίου Οµολόγων (προποθέτει υπολογισµό
συντελεστών συσχέτισης)
50

51. Συµπεράσµατα
• Άλλες εφαρµογές
− εξάγοντας τις τις real-world probabilities υπολογίζουµε VaR
(Value at Risk) για επενδύσεις σε οµόλογα ή χαρτοφυλάκια
οµολόγων
− απευθείας επικοινωνία µέσω του ∆ιαδικτύου µε κάποια βάση
δεδοµένων (πχ Βloomberg ή Reuters)
− αναλύση των αγορών σε καθηµερινή βάση και σε πραγµατικό
χρόνο
51