Eykleidhs a 118_eykleidhs_2020

Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία
Α΄
Α΄118
υκλείδης
Γυμνάσιο
E
Μαθηματικό περιοδικό για το
ΠΛΗΡΩΜΕΝΟ
ΤΕΛΟΣ
ΠΛΗΡΩΜΕΝΟ
ΤΕΛΟΣ
Ταχ.
Γραφείο
ΚΕΜΠ.ΑΘ.
Ταχ.
Γραφείο
ΚΕΜΠ.ΑΘ.
Αριθμός
Άδειας
4156
Αριθμός
Άδειας
4156
ΕΛΤΑ
Hellenic
Post
Hellenic
Post
ΕΚΔΟΤΩΝ
ΕΝΤΥΠΟ
ΚΛΕΙΣΤΟ
ΑΡ.
ΑΔΕΙΑΣ
1099/96
ΚΕΜΠ.ΑΘ.
ΕΝΤΥΠΟ
ΚΛΕΙΣΤΟ
ΑΡ.
ΑΔΕΙΑΣ
1099/96
ΚΕΜΠ.ΑΘ.
ΟΚΤΩΒΡΙΟΣ - ΝΟΕΜΒΡΙΟΣ - ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΣ 2020 ευρώ 3,00
Η μαγεία των fractals
Η μαγεία των fractals
Ας βάψουμε έναν κύβο
ος
για μαθητές και
3
ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ
διαγωνισμός μαθηματικών ικανοτήτων
ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
6 μετάλλια
VIRTUAL
24 JBMO
th
φιλοξενήθηκε
από την Ε.Μ.Ε.
9-13 Σεπτ. 2020
5
5
5
00
5
5
5
00
0
5
25
75
95
100
0
5
25
75
95
100

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΠΛΗΡΟΦΟΡΗΣΗΣ
για το γυμνάσιο
Ευκλείδης α΄
ΠΕΡΕΧΟΜΕΝΑ
ΠΕΡΕΧΟΜΕΝΑ
Τεύχος 18
1
Τιμή Τεύχους Εύρω
3,00
e-mail: info@hms.gr, www.hms.gr
Οκτώβριος - Νοέμβριος - Δεκέμβριος 2020
Πανεπιστημίου 34
Τηλ 210
Ανάργυρος Φελλούρης
Παναγιώτης Δρούτσας
.: 210 3617784 - 3616532
Fax: 210 3641025
Εκδότης
Διευθυντής
Συντονιστές:
Συντακτική Επιτροπή:
Αποκεντρωμένοι συνεργάτες
Κεΐσογλου Στέφανος
Τριανταφύλλου Ανδρέας
Φερεντίνος Σπυρίδων
Αρδαβάνη
Διαμαντίδης Δημήτριος
Δοργιάκη Ιωάννα
Κυριακοπούλου Αθανασία
Λαγός Γεώργιος
Λυμπερόπουλος Γεώργιος
Μάλλιαρης Χρήστος
Νικολόπουλος Ιωάννης
Παλαιογιαννίδης Δημήτριος
Παπαδάκη Άννα
Παπαϊωάννου Δημήτριος
Σίσκου Μαρία
Τζίφας Νικόλαος
Τσικοπούλου Στάμη
Χριστόπουλος Παναγιώτης
Γεωργιάδου-Καμπουρίδη Βαρβάρα
Ζιώγας Χρήστος
Κωστοπούλου Καλλιόπη
Παπαδάκη Μαλβίνα
Ρίζος Ιωάννης
Ρουσούλη Μαρία
Καλλιόπη
Επιμέλεια Έκδοσης:
Κεΐσογλου Στέφανος
Τριανταφύλλου Ανδρέας
Φερεντίνος Σπύρος
ΙΔΙΟΚΤΗΣΙΑ της
ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΤΑΙΡΕΙΑΣ
Εκτύπωση:
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ
Στοιχειοθεσία – Σελιδοποίηση:
ROTOPRINT ( ).
: 210 6623778 - 358
ΤΗΛ
A. Προύσαλη & ΣΙΑ ΕΕ
Δ. Παπαδόπουλος
Υπεύθυνος Τυπογραφείου:
l
l
Τα διαφημιζόμενα βιβλία δε σημαίνει ότι προτείνονται σπό την Ε.Μ.Ε.
Οι συνεργασίες, τα άρθρα, οι προτεινόμενες ασκήσεις, οι λύσεις ασκήσεων κτλ. πρέπει να
στέλνονται έγκαιρα, στα γραφεία της Ε.Μ.Ε. με την ενδειξη «Για τον Ευκλείδη Α΄. Τα χειρόγραφα
δεν επιστρέφονται. Όλα τα άθρα υπόκειται σε κρίση
(10,00+2,00 Ταχυδρομικά=12,00 ευρώ)
10,00 ευρώ
Το αντίτιμο για τα τεύχη που παραγγέλνονται στέλνεται:
Ετήσια συνδρομή
Ετήσια συνδρομή για Σχολεία
Τιμή τεύχους: ευρώ 3,00
1. ΕΘΝΙΚΗ Τράπεζα
ALPHA
EUROBANK
απλήταχυδρομικήεπιταγή
γραφεία
λογαριασμός όψεως080/48002300 ΙΒΑΝ GR 87 0110 0800 0000 0804 8002 300
2. ,10100200201998ΙΒΑΝGR8601401010101002002019988
3. ,0026.0201.94.0201575138ΙΒΑΝGR9002602010000940201575138
4. Mε σεδιαταγήΕ.Μ.Ε.ΤαχΓραφείο54Τ.Θ.30044
5. Πληρώνεταιστα τηςΕ.Μ.Ε
Αγαπητοί / ές αναγνώστες αναγνώστριες.
με και .
Στο τεύχος αυτό έχουμε, όπως πάντα μία ποικιλία από ενδιαφέροντα
θέματα σχετικά με τα Μαθηματικά των τριών τάξεων και όχι μόνο.
Με ιδιαίτερη χαρά δεχτήκαμε πολύ ενδιαφέροντα κείμενα από
αποκεντρωμένους συνεργάτες καθώς και λύσεις από αναγνώστες
για τα προχωρημένα θέματα.
Θα θέλαμε να σας επισημάνουμε ότι το περιοδικό περιμένει κείμενα
αναγνωστών τα οποία με χαρά θα επιμεληθούμε και δημοσιεύσουμε.
Εκ μέρους της συντακτικής επιτροπής.
Εκ μέρους της του περιοδικού
Η του περιοδικού.
Καλή χρονιά υγεία πρόοδο
Συντακτικής επιτροπής
ομάδα συντονισμού
ΕΚΔΟΣΗ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΤΑΙΡΕΙΑΣ
Κωδικός ΕΛ.ΤΑ. : 2054
ISSN: 1105 - 7998
Συντακτική Επιτροπή
Η έγκαιρη πληρωμή της συνδρομής Βοηθάει
στην έκδοση του περιοδικού
Υποστηρικτής Ταχυδρομικών Υπηρεσιών
Γράμμα της Σύνταξης
ΕΛΤΑ
Hellenic Post
Hellenic Post
Ιστορία των Μαθηματικών
Τα Μαθηματικά στο Σχολείο
Τα Μαθηματικά στο Σχολείο
Μαθηματικοί Διαγωνισμοί
Διάφορα ΟΧΙ Αδιάφορα
= Γ΄ Τάξη
Ένας τρόπος εξάσκησης στον πολλαπλασιασμό
πολυωνύμων μιας μεταβλητής
με χρήση πινάκων
27
Προχωρημένα θέματα για όλους. Τάξη Γ΄
30
«Προχωρημένα θέματα για όλους».
ΛΥΣΕΙΣ ΑΝΑΓΝΩΣΤΩΝ ΓΙΑ ΤΟ ΤΕΥΧΟΣ 117
32
Ελένη Νικολακάρου
Επιμέλεια: Στέφανος Κεΐσογλου
.....................................................
.....................................
.....................................
Η ιστορία του τριγώνου του Pascal
1
Γιώργος Λαγουδάκος ....................................................
Μαθηματικοί Διαγωνισμοί
................................... 34
Επιμέλεια: Επιτροπή Διαγωνισμών
42
2ο Γυμνάσιο Τρίπολης
45
Διασκεδαστικά Μαθηματικά,
48
Βαρβάρα ΓεωργιάδουΚαμπουρίδη
Μαθηματικός: Καλλιόπη Κωστοπούλου
Παναγιώτης Χριστόπουλος
...................................
............................
...........................................
=
=
=
Α΄ Τάξη
Β΄ Τάξη
Γ΄ Τάξη
Η Έννοια του Ποσοστού
Μαθηματική ικανότητα επίλυσης προβλήματος
Προβλήματα του διαγωνισμού μαθηματικών
ικανοτήτων της ΕΜΕ ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ
Μαθηματική ικανότητα επίλυσης προβλήματος
Προβλήματα του διαγωνισμού μαθηματικών
ικανοτήτων της ΕΜΕ ΠΥΘΑΓΟΡΑΣ που λύνονται
Με εξίσωση
1
Προχωρημένα θέματα για όλους. Τάξη Β΄
18
Στιγμιότυπα της δευτεροβάθμιας εξίσωσης:
από τη Βαβυλώνα στη σύγχρονη εποχή
Στυλιανός Μαραγκάκης, Ανδρέας Τριανταφύλλου
Σ. Φερεντίνος και Δ. Παπαιωάννου
Σ. Φερεντίνος και Δ. Παπαιωάννου
Καλλιόπη Κωστοπούλου Γιάννης Καρκαζής
.............
.................................
.....................
5
10
20
................................
.....................................
5
0
5
25
75
95
100
0
5
25
75
95
100
0
5
25
75
95
100
0
5
25
75
95
100

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Aǯ 118 (2020) Ĳ.2/1
¡ ÂÌÍÈÊȯº ÍÈÎ ÍÊÂ¼əÆÈÎ ÍÈÎ Pascal
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
= ǹʌȩ ĲȠȞ īȚȫȡȖȠ ȁĮȖȠȣįȐțȠ
ȉȠ țİȓȝİȞȠ ĮʌȠĲİȜİȓ ıȣȞȑȤİȚĮ ĲȠȣ țİȚȝȑȞȠȣ ʌȠȣ İȓȤİ įȘȝȠıȚİȣĲİȓ ıĲȠ ʌȡȠȘȖȠȪȝİȞȠ ĲİȪȤȠȢ ȝİ ȖİȞȚțȩ
ĲȓĲȜȠ: ǲȡȖĮ țĮȚ ȘȝȑȡİȢ ĲȠȣ Blaise Pascal (1623-1662)
ǵʌȦȢ ȒįȘ ȑȤȠȣȝİ ʌİȚ Ƞ Pascal
ıİ ȘȜȚțȓĮ 12 İĲȫȞ ȑȡȤİĲĮȚ ıİ
İʌĮĳȒ ȝİ ĲȠ ʌȡȦĲȩĲȣʌȠ
țİȓȝİȞȠ ĲȦȞ ȈĲȠȚȤİȓȦȞ ĲȠȣ
ǼȣțȜİȓįȘ. Ǽțİȓ ıĲȠ 2Ƞ
ȕȚȕȜȓȠ
įȚĮĲȣʌȫȞİĲĮȚ Ș 4Ș
ʌȡȩĲĮıȘ ʌȠȣ
ĲȠ țİȓȝİȞȩ ĲȘȢ İȓȞĮȚ ĲȠ
ʌĮȡĮțȐĲȦ:
ǺȚȕȜȓȠ ǿǿ ʌȡȩĲĮıȘ 4
Ǿ ʌȡȩĲĮıȘ ĮȣĲȒ ȠȣıȚĮıĲȚțȐ ʌĮȡȠȣıȚȐȗİȚ ȖİȦȝİĲȡȚțȐ ĲȘȞ
ȖȞȦıĲȒ ȝĮȢ ĲĮȣĲȩĲȘĲĮ : 2 2 2
( ) 2
D E D DE E
ǼȓȞĮȚ ʌȠȜȪ ʌȚșĮȞȩ ȠȚ ĮȡȤĮȓȠȚ ǲȜȜȘȞİȢ ȝĮșȘȝĮĲȚțȠȓ ȞĮ
ȖȞȫȡȚȗĮȞ țĮȚ ĲȘȞ ĮȞĲȓıĲȠȚȤȘ ĲĮȣĲȩĲȘĲĮ
(Į ȕ) Į Į ȕ Įȕ ȕ

3 3 2 2 3
3 3 țĮșȫȢ țĮȚ ĲȘȞ
ȖİȦȝİĲȡȚțȒ ĲȘȢ İȡȝȘȞİȓĮ ȦȢ ȐșȡȠȚıȝĮ įȪȠ țȪȕȦȞ țĮȚ
6 ȠȡșȠȖȦȞȓȦȞ ʌĮȡĮȜȜȘȜİʌȚʌȑįȦȞ.
ǼʌİȚįȒ ȩȝȦȢ ȠȚ ǲȜȜȘȞİȢ ȒĲĮȞ țĮĲȐ ȕȐıȘ īİȦȝȑĲȡİȢ ĲĮ įȚȦȞȣȝȚțȐ ĮȞĮʌĲȪȖȝĮĲĮ Ȟ
(Į ȕ)
ȖȚĮ
Ȟ t 4 įİȞ ȝʌȩȡİıĮȞ ȞĮ ĲĮ ĮȞĮțĮȜȪȥȠȣȞ.

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------- H ǿıĲȠȡȓĮ ĲȠȣ ȉȡȚȖȫȞȠȣ ĲȠȣ Pascal ------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ǵĲȚ įİȞ țĮĲȐĳİȡĮȞ ȠȚ ǲȜȜȘȞİȢ ȞĮ ĮȞĮțĮȜȪȥȠȣȞ ĲȠ ĮȞĮțȐȜȣȥĮȞ ȠȚ ǿȞįȠȓ ȝĮșȘȝĮĲȚțȠȓ.
ǹȡȤȚțȐ ȝʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ ĮȞĮĳȑȡȠȣȝİ ĲȠȞ
Acharya Pingala (2 ĮȚȫȞĮȢ ʌ.Ȥ.) ıȣȖȖȡĮĳȑĮȢ
ĲȠȣ ȑȡȖȠȣ ChandaতĞƗstra, ʌȠȣ ȠȞȠȝȐȗİĲĮȚ
İʌȓıȘȢ țĮȚ Pingala-sutras. ȈĲȠȚȤİȓĮ ȖȚĮ ĲȠ
ȑȡȖȠ ĮȣĲȩ ȑȤȠȣȝİ Įʌȩ ĲȠȣȢ ıȤȠȜȚĮıĲȑȢ
VarƗhamihira (5ȠȢ ĮȚȫȞĮȢ ȝ.ȋ.) țĮȚ
Halayudha (10ȠȢ ĮȚȫȞĮȢ ȝ.ȋ.) ʌȠȣ ȑȖȡĮȥİ
ĲȠ M৚tasañjƯvanƯ ıĲȠ ȠʌȠȓȠ ʌİȡȚȑȤİĲĮȚ țĮȚ
ȝȓĮ ʌİȡȚȖȡĮĳȒ ĲȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ ĲȠȣ Pascal ʌȠȣ
ȠȞȠȝȐȗİĲĮȚ meru-prastaara.
ȆİȡȓʌȠȣ ĲȠ 850 ȝ.ȋ., Ƞ
ȝĮșȘȝĮĲȚțȩȢ Jain MahƗvƯra
ĮʌȠįȓįİȚ ĲȠȣȢ įȚȦȞȣȝȚțȠȪȢ
ıȣȞĲİȜİıĲȑȢ ıĲȘȞ ȖİȞȓțİȣıȒ ĲȠȣȢ
ȤȡȘıȚȝȠʌȠȚȫȞĲĮȢ
ʌȠȜȜĮʌȜĮıȚĮıȝȠȪȢ ȝİ ĲȡȩʌȠ
ȚıȠįȪȞĮȝȠ ȝİ ĲȠȞ ıȪȖȤȡȠȞȠ
ĲȪʌȠ. ǹȞĲȓıĲȠȚȤȘ İȡȖĮıȓĮ ȖȓȞİĲĮȚ
țĮȚ Įʌȩ ĲȠȞ ȝĮșȘȝĮĲȚțȩ
Bhattotpala ĲȠ 1068 ȝ.ȋ.
ȉȘȞ ȓįȚĮ ʌİȡȓȠįȠ Ƞ ȆȑȡıȘȢ ȝĮșȘȝĮĲȚțȩȢ Al-
Karaji (953-1029 ȝ.ȋ.) ĮȞĮĳȑȡİĲĮȚ ȩĲȚ
ıȣȞȑȖȡĮȥİ ȝİȜȑĲȘ ʌİȡȚȖȡȐĳȠȞĲĮȢ ĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ
ĲȠȣ Pascal.
ȁȓȖȠ ĮȡȖȩĲİȡĮ Ƞ İʌȓıȘȢ ȆȑȡıȘȢ ȝĮșȘȝĮĲȚțȩȢ
țĮȚ ĮıĲȡȠȞȩȝȠȢ Omar Khayyám (1048–
1131 ȝ.ȋ.) ĮȞĮĳȑȡİȚ ĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ țĮȚ ĲȚȢ
ȚįȚȩĲȘĲȑȢ ĲȠȣ, ȤȡȘıȚȝȠʌȠȚȫȞĲĮȢ ĲȠ ıĲȠ ȞĮ
ȣʌȠȜȠȖȓȗİȚ ȡȓȗİȢ ʌȡȐȖȝĮ ʌȠȣ ıȘȝĮȓȞİȚ ȩĲȚ
İȓȤİ țĮĲȠȡșȫıİȚ ȞĮ İʌİțĲİȓȞİȚ ĲȠȣ įȚȦȞȣȝȚțȩ
șİȫȡȘȝĮ țĮȚ ıİ țȜĮıȝĮĲȚțȑȢ įȣȞȐȝİȚȢ.

ǹȜȜȐ țĮȚ ıĲȘȞ ȝĮțȡȚȞȒ ȀȓȞĮ ȒĲĮȞ ȖȞȦıĲȩ ĲȠ
ĲȡȓȖȦȞȠ ĲȠȣ Pascal.
ǹȞĮĳȑȡİĲĮȚ ȩĲȚ Ƞ ȀȚȞȑȗȠȢ ȝĮșȘȝĮĲȚțȩȢ Jia Xian
(1010–1070 ʌ.ȋ.) ĲȠ ȤȡȘıȚȝȠʌȠȚȠȪıİ ȖȚĮ ĲȘȞ
İȪȡİıȘ ĲİĲȡĮȖȦȞȚțȫȞ țĮȚ țȣȕȚțȫȞ ȡȚȗȫȞ. Ǿ
ȝȑșȠįȠȢ ĮȣĲȒ ȜİȖȩĲĮȞ Shi Suo Suan Shu. ȉȠ ȑȡȖȠ
ĲȠȣ ıȤȠȜȚȐıĲȘțİ Įʌȩ ĲȠȞ ȝĮșȘȝĮĲȚțȩ Yang Hui
(1238–1298 ȝ.ȋ.) ʌȠȣ ʌĮȡȠȣıȓĮıİ ĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ țĮȚ
Įʌȩ ĲȩĲİ ȠȞȠȝȐȗİĲĮȚ ıĲȘȞ ȀȓȞĮ ĲȡȓȖȦȞȠ Yang Hui.
ȈĲȘ ǻȪıȘ, ȠȚ įȚȦȞȣȝȚțȠȓ ıȣȞĲİȜİıĲȑȢ ȤȡȘıȚȝȠʌȠȚȒșȘțĮȞ Įʌȩ ĲȠȞ ǼȕȡĮȓȠ ȝĮșȘȝĮĲȚțȩ țĮȚ
șİȠȜȩȖȠ Levi ben Gershon (1288–1344 ȝ.ȋ.) ıĲȠ ȑȡȖȠ ĲȠȣ Maaseh Hoshev ıĲȠ ȠʌȠȓȠ
ĮȞĮĳİȡȩĲĮȞ ıİ ĮȡȚșȝȘĲȚțȑȢ ʌȡȐȟİȚȢ țĮșȫȢ țĮȚ ȣʌȠȜȠȖȚıȝȠȪȢ ĲİĲȡĮȖȦȞȚțȫȞ țĮȚ țȣȕȚțȫȞ ȡȚȗȫȞ.
ȈĲȘȞ īİȡȝĮȞȓĮ ʌĮȡȠȣıȚȐȗİĲĮȚ ȝȓĮ ʌĮȡĮȜȜĮȖȒ ĲȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ ıĲȠ ȑȡȖȠ ĲȠȣ Petrus Apianus (1495
-1552 ȝ.ȋ. ) ȝĮșȘȝĮĲȚțȠȪ, ĮıĲȡȠȞȩȝȠȣ țĮȚ ȤĮȡĲȠȖȡȐĳȠȣ, ȩʌȦȢ İʌȓıȘȢ țĮȚ ıĲȠ ȑȡȖȠ ĲȠȣ
țĮșȘȖȘĲȒ Michael Stifel (1487-1567 ȝ.ȋ.) ĲȠȣ ȆĮȞİʌȚıĲȘȝȓȠȣ ĲȘȢ Jena.
ȈĲȘȞ ǿĲĮȜȓĮ ĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ȠȞȠȝȐȗİĲĮȚ
ĲȡȓȖȦȞȠ ĲȠȣ Tartaglia Įʌȩ ĲȠȞ
Niccolò Fontana Tartaglia (1500–
1577 ȝ.ȋ.), Ƞ ȠʌȠȓȠȢ įȘȝȠıȓİȣıİ ȑȟȚ
ıİȚȡȑȢ ĲȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ ĲȠ 1556. ȉȠ
1570 Ƞ İʌȓıȘȢ ǿĲĮȜȩȢ ȝĮșȘȝĮĲȚțȩȢ
Gerolamo Cardano (1501-1576
ȝ.ȋ.) ʌĮȡȠȣıȚȐȗİȚ ĲȚȢ ȚįȚȩĲȘĲİȢ ĲȠȣ
ĲȡȚȖȫȞȠȣ țĮȚ ĲȠȞ ĲȡȩʌȠ țĮĲĮıțİȣȒȢ
ĲȠȣ.
ȉȑȜȠȢ ĲȠ 1655 Ƞ Pascal įȘȝȠıȓİȣıİ ĲȠ Treatise on Arithmetical Triangle. ȈĲȠ ȑȡȖȠ ĮȣĲȩ Ƞ
Pascal ıȣȝʌİȡȚȑȜĮȕİ įȚȐĳȠȡĮ ıȣȝʌİȡȐıȝĮĲĮ ʌȠȣ ȒĲĮȞ ȒįȘ ȖȞȦıĲȐ țĮȚ ĲȠ ȤȡȘıȚȝȠʌȠȓȘıİ ȖȚĮ
ĲȘȞ İʌȓȜȣıȘ ʌȡȠȕȜȘȝȐĲȦȞ ʌȚșĮȞȠĲȒĲȦȞ țȐȞȠȞĲĮȢ ȤȡȒıȘ ȠȣıȚĮıĲȚțȐ ȖȚĮ ʌȡȫĲȘ ĳȠȡȐ ĲȘȢ
ȜİȖȩȝİȞȘȢ įȚȦȞȣȝȚțȒȢ țĮĲĮȞȠȝȒȢ.

ȉȠ 1708 Ƞ īȐȜȜȠȢ ȝĮșȘȝĮĲȚțȩȢ Pierre
Rémond de Montmort (1678 -1719 ȝ.ȋ.)
ȕĮĳĲȓȗİȚ ĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ Table de M. Pascal
pour les combinaisons țĮȚ ĮȡȖȩĲİȡĮ ĲȠ
1730 Ƞ İʌȓıȘȢ īȐȜȜȠȢ ȝĮșȘȝĮĲȚțȩȢ
Abraham de Moivre (1667-1754 ȝ.ȋ.) ĲȠ
ȠȞȠȝȐȗİȚ ıĲĮ ȁĮĲȚȞȚțȐ Triangulum
Arithmeticum Pascalianum įȘȜĮįȒ ĲȠ
ĮȡȚșȝȘĲȚțȩ ĲȡȓȖȦȞȠ ĲȠȣ Pascal ʌȠȣ İȓȞĮȚ Įʌȩ
ĲȩĲİ țĮȚ ĲȠ țĮșȚİȡȦȝȑȞȠ ıĲȘȞ ǻȪıȘ
ĲȠȣȜȐȤȚıĲȠȞ, ȩȞȠȝȐ ĲȠȣ.
ȉȅ ȉȇǿīȍȃȅ ȉȅȊ PASCAL ȈǼ 6 īȇǹȂȂǼȈ
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
O ȉȇȅȆȅȈ ȆȅȊ ǻǾȂǿȅȊȇīȅȊȃȉǹǿ ȅǿ ǹȇǿĬȂȅǿ ȀǹĬǼ ȈǼǿȇǹȈ

ȅǿ ȈȊȃȉǼȁǼȈȉǼȈ ȉȍȃ 6 Ȇȇȍȉȍȃ ǻȊȃǱȂǼȍȃ ȉȅȊ (Į+ȕ)Ȟ
(Į+ȕ)0
= 1
(Į+ȕ)1
= 1Į + 1ȕ
(Į+ȕ)2
= 1Į2
+ 2Į·ȕ + 1ȕ2
(Į+ȕ)3
= 1Į3
+ 3Į2
·ȕ + 3Į·ȕ2
+ 1ȕ3
(Į+ȕ)4
= 1Į4
+ 4Į3
·ȕ + 6Į2
·ȕ2
+ 4Į·ȕ3
+ 1ȕ4
(Į+ȕ)5
= 1Į5
+ 5Į4
·ȕ + 10Į3
·ȕ2
+ 10Į2
·ȕ3
+ 5Į·ȕ4
+ 1ȕ5

============================================ ȈĲȑȜȚȠȢ ȂĮȡĮȖțȐțȘȢ – ǹȞįȡȑĮȢ ȉȡȚĮȞĲĮĳȪȜȜȠȣ
ȉȠ ʌȠıȠıĲȩ İȞȩȢ ʌȠıȠȪ İȓȞĮȚ ȑȞĮ ȝȑȡȠȢ (țȜȐıȝĮ) ĲȠȣ ʌȠıȠȪ,
ȠʌȩĲİ ıĲȠ įȚʌȜĮȞȩ ıȤȒȝĮ ĲȠ ʌȠıȠıĲȩ ĲȠȣ ıțȚĮıȝȑȞȠ ȝȑȡȠȢ ĲȠȣ
ıȤȒȝĮĲȠȢ İȓȞĮȚ
1
4
.
ǵĲĮȞ ĮȞĮĳİȡȩȝĮıĲİ ıĲȠ ʌȠıȠıĲȩ, ıȣȞȒșȦȢ İȞȞȠȠȪȝİ «ʌȠıȠıĲȩ
ıĲĮ 100», ȑĲıȚ ĲȠ ʌȠıȠıĲȩ 25% ıȘȝĮȓȞİȚ 25/100.
ȅʌȩĲİ ʌȠıȠıĲȩ İʌȓ ĲȠȚȢ İțĮĲȩ, ȠȞȠȝȐȗȠȣȝİ ĲȠ įİțĮįȚțȩ țȜȐıȝĮ
Į
100
ĲȠ ȠʌȠȓȠ
ıȣȝȕȠȜȓȗȠȣȝİ Į%. ǼȓȞĮȚ įȘȜĮįȒ
Į
Į% =
100
ǼʌȠȝȑȞȦȢ ȑȞĮ İțĮĲȠıĲȚĮȓȠ țȜȐıȝĮ (țȜȐıȝĮ ȝİ ʌĮȡȠȞȠȝĮıĲȒ ĲȠ 100) ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ȖȡĮĳİȓ ȝİ
ıȣȝȕȠȜȚțȩ ĲȡȩʌȠ ȦȢ ʌȠıȠıĲȩ ıĲĮ İțĮĲȩ, ʌ.Ȥ. ǹȞĲȓ ȞĮ ʌȠȪȝİ ıĲȚȢ İțʌĲȫıİȚȢ Ș ĲȚȝȒ İȞȩȢ
ĮȞĲȚțİȚȝȑȞȠȣ ȝİȚȫșȘțİ țĮĲȐ
25
100
, İȓȞĮȚ ʌȡȠĲȚȝȩĲİȡȠ ȞĮ ʌȠȪȝİ ȩĲȚ ȝİȚȫșȘțİ țĮĲȐ 25%.
ǹȞĲȓıĲȠȚȤĮ ȑȞĮ țȜȐıȝĮ ȝİ ʌĮȡȠȞȠȝĮıĲȒ ĲȠ 1.000 ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ȖȡĮĳİȓ ȝİ ıȣȝȕȠȜȚțȩ ĲȡȩʌȠ
ıĮȞ ʌȠıȠıĲȩ ıĲĮ ȤȓȜȚĮ. ȉȠ ıȪȝȕȠȜȩ ĲȠȣ İȓȞĮȚ ‰.
ȉȠ ʌȠıȠıĲȩ ıĲĮ İțĮĲȩ (%), ĮĳȠȪ İȓȞĮȚ İțĮĲȠıĲȚĮȓȠ țȜȐıȝĮ, ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ȖȡĮĳİȓ țĮȚ ıĮȞ
įİțĮįȚțȩȢ ĮȡȚșȝȩȢ , Įȡțİȓ ȞĮ ȖȡȐȥȠȣȝİ ȝȩȞȠ ĲȠȞ ĮȡȚșȝȘĲȒ ĲȠȣ țȜȐıȝĮĲȠȢ țĮȚ ȞĮ ȤȦȡȓıȠȣȝİ ȝİ
ȣʌȠįȚĮıĲȠȜȒ įȪȠ įİțĮįȚțȐ ȥȘĳȓĮ ( ʌȡȠȢ Ĳ’ ĮȡȚıĲİȡȐ) ʌ.Ȥ. ĲȠ 25% ȖȓȞİĲĮȚ 0,25, ĲȠ 6% ȖȓȞİĲĮȚ
0,06 țĮȚ ȩȤȚ 0,6, ĲȠ 0,6 ıȘȝĮȓȞİȚ 0,60, ȐȡĮ 60% .
ǹȞ ĲȠ ʌȠıȠıĲȩ İȓȞĮȚ ȑȞĮ ȝȘ İțĮĲȠıĲȚĮȓȠ țȜȐıȝĮ, ĲȩĲİ İțĲİȜȫȞĲĮȢ ĲȘ įȚĮȓȡİıȘ
ȝİĲĮĲȡȑʌİĲĮȚ ıİ įİțĮįȚțȩ, ȐȡĮ țĮȚ ıİ ʌȠıȠıĲȩ %, ʌ.Ȥ. İʌȚĲȣȤȓĮ 12 ıĲȚȢ 15 ȕȠȜȑȢ ıĲȠ ȝʌȐıțİĲ
ıȘȝĮȓȞİȚ țȜȐıȝĮ 12/15, ȐȡĮ 12:15 = 0,8 Ȓ 0,80 Ȓ 80%
īȚĮ ȞĮ ȣʌȠȜȠȖȓıȠȣȝİ ĲȠ ʌȠıȠıĲȩ İȞȩȢ ȝİȖȑșȠȣȢ ȝ, ȖȡȐĳȠȣȝİ ĲȠ ʌȠıȠıĲȩ ıİ įİțĮįȚțȒ Ȓ
țȜĮıȝĮĲȚțȒ ȝȠȡĳȒ țĮȚ ĲȠ ʌȠȜȜĮʌȜĮıȚȐȗȠȣȝİ ȝİ ĲȠ ȝȑȖİșȠȢ, ʌ.Ȥ. ĲȠ 25% ĲȠȣ ĮȡȚșȝȠȪ 60 İȓȞĮȚ:
25
25% 60 0,25 60 60 15
100
˜ ˜ ˜ .
ȈĲĮ ʌȡȠȕȜȒȝĮĲĮ ȝİ ʌȠıȠıĲȐ:
ʌ.Ȥ. ĮȞ ȝȚĮ ıȠțȠȜȐĲĮ 400 ȖȡĮȝȝ.( ıȪȞȠȜȠ) ʌİȡȚȑȤİȚ 12% ȗȐȤĮȡȘ (ʌȠıȠıĲȩ) ĲȩĲİ ʌİȡȚȑȤİȚ
0,12 400 48
˜ ȖȡĮȝȝ. ȗȐȤĮȡȘȢ.
ȩĲĮȞ ȖȞȦȡȓȗȠȣȝİ ĲȠ ʌȠıȠıĲȩ ĲȠ ȠʌȠȓȠ ʌİȡȚȑȤİĲĮȚ ıİ ȑȞĮ ıȪȞȠȜȠ, țĮȚ șȑȜȠȣȝİ ȞĮ
ȣʌȠȜȠȖȓıȠȣȝİ ĲȠȞ ĮȡȚșȝȩ ĲȠȞ ȠʌȠȓȠ ĮȞĲȚʌȡȠıȦʌİȪİȚ ĮȣĲȩ ĲȠ ʌȠıȠıĲȩ ıĲȠ
ıȪȞȠȜȠ, ʌĮȓȡȞȠȣȝİ ĲȠ ʌȠıȠıĲȩ ıĲȘ įİțĮįȚțȒ ȝȠȡĳȒ ĲȠȣ țĮȚ ĲȠ
ʌȠȜȜĮʌȜĮıȚȐȗȠȣȝİ ȝİ ĲȠ ıȪȞȠȜȠ
ȩĲĮȞ ȖȞȦȡȓȗȠȣȝİ ĲȘȞ ʌȠıȩĲȘĲĮ ȝ (ȝȑȡȠȢ) țĮȚ ĲȘȞ ʌȠıȩĲȘĲĮ Ȟ (ȩȜȠ) țĮȚ ȗȘĲȠȪȝİ ĲȠ
ʌȠıȠıĲȩ ʌȠȣ ĮȞĲȚʌȡȠıȦʌİȪİȚ Ș ʌȠıȩĲȘĲĮ ȝ ıĲȘȞ ʌȠıȩĲȘĲĮ Ȟ, ȝİĲĮĲȡȑʌȠȣȝİ ĲȠ
țȜȐıȝĮ ıİ ʌȠıȠıĲȩ

------------------------------------------------------------------------------------------------------- Ǿ ǲȞȞȠȚĮ ĲȠȣ ȆȠıȠıĲȠȪ ---------------------------------------------------------------------------------------------------
ʌ.Ȥ. țĮĲȐ ĲȘ ȝİĲĮĳȠȡȐ 150 ĮȣȖȫȞ ȑıʌĮıĮȞ 6, ȠʌȩĲİ ĲȠ ʌȠıȠıĲȩ ĲȦȞ ĮȣȖȫȞ ʌȠȣ ȑıʌĮıĮȞ
İȓȞĮȚ
6 1
0,04 4%
150 25
ȈȪȝĳȦȞĮ ȝİ ĲĮ ʌĮȡĮʌȐȞȦ ĮȞ ȑȤȠȣȝİ ȑȞĮ Įʌȩ ĲĮ 3, įȘȜĮįȒ ʌȠıȠıĲȩ Ȓ țȜȐıȝĮ Ȓ įİțĮįȚțȩ
ĮȡȚșȝȩ İȝİȓȢ ȝʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ ĲȠ ȝİĲĮĲȡȑȥȠȣȝİ ıĲĮ ȐȜȜĮ įȪȠ.
1) ǹȖȠȡȐıĮȝİ ȑȞĮ ʌȠįȒȜĮĲȠ ʌȠȣ Ș țĮȞȠȞȚțȒ ĲȠȣ ĲȚȝȒ İȓȞĮȚ 2.000€ ȝİ ȑțʌĲȦıȘ 15%.
ȆȩıĮ ȤȡȒȝĮĲĮ ȖȜȣĲȫıĮȝİ;
ȁȪıȘ
1ȠȢ
ĲȡȩʌȠȢ
ȉȠ ʌȠıȩ ʌȠȣ ȖȜȣĲȫıĮȝİ İȓȞĮȚ ĲȠ 15% ĲȦȞ 2.000€, įȘȜĮįȒ ȖȜȣĲȫıĮȝİ
15
15% 2.000€ 2.000€ 15 20€ 300€
100
˜ ˜ ˜
2ȠȢ
ĲȡȩʌȠȢ
Ȃİ ĲȘȞ ĮʌȜȒ ȝȑșȠįȠ ĲȦȞ ĲȡȚȫȞ ĲȠ 15% ʌȠȣ ȖȜȣĲȫıĮȝİ ıȘȝĮȓȞİȚ
ȈĲĮ 100€ ȖȜȣĲȫıĮȝİ 15€
ȈĲĮ 2.000€ » x;
ȅʌȩĲİ ʌȡȠțȪʌĲİȚ ȩĲȚ ȖȜȣĲȫıĮȝİ
2.000
x 15 € 300€
100
˜
2) ȉȚ ıȘȝĮȓȞİȚ ȠĲĮȞ Ȝȑȝİ ȩĲȚ ĲȠ ȝȑȖİșȠȢ Ȟ İȓȞĮȚ țĮĲȐ 15% ȝİȖĮȜȪĲİȡȠ Įʌȩ ĲȠ ȝȑȖİșȠȢ ȝ;
ȁȪıȘ
ǵĲĮȞ Ȝȑȝİ ȩĲȚ ĲȠ ȝȑȖİșȠȢ Ȟ İȓȞĮȚ țĮĲȐ 15% ȝİȖĮȜȪĲİȡȠ Įʌȩ ĲȠ ȝȑȖİșȠȢ ȝ, ıȘȝĮȓȞİȚ ȩĲȚ
ȝʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ ȣʌȠȜȠȖȓıȠȣȝİ ĲȠȞ Ȟ ʌȡȠıșȑĲȠȞĲĮȢ ıĲȠ ȝ ĲȠ 15% ĲȠȣ ȝ, įȘȜĮįȒ
15
15%
100
˜P
Q P ˜P P Ȓ
115
100
˜P
Q
ǹȞȐȜȠȖĮ ȩĲĮȞ Ȝȑȝİ ȩĲȚ ĲȠ ȝȑȖİșȠȢ Ȟ İȓȞĮȚ țĮĲȐ 15% ȝȚțȡȩĲİȡȠ Įʌȩ ĲȠ ȝȑȖİșȠȢ ȝ, țȐȞȠȣȝİ
ĮĳĮȓȡİıȘ, įȘȜĮįȒ :
15
15%
100
˜P
Q P ˜P P Ȓ
85
100
˜P
Q
3) ȂȚĮ ȠȚțȠțȣȡȐ ĮȖȩȡĮıİ ʌȠȜȜȐ İȓįȘ
țĮșĮȡȚıȝȠȪ ȖȚĮ ĲȠ ıʌȓĲȚ ĲȘȢ.
ȅ țĮĲĮıĲȘȝĮĲȐȡȤȘȢ ĲȘȢ ȑțĮȞİ ȑțʌĲȦıȘ
8% țĮȚ ȑĲıȚ ʌȜȒȡȦıİ 12€ ȜȚȖȩĲİȡĮ. ȆȠȚĮ
ȒĲĮȞ Ș ĮȡȤȚțȒ ĲȚȝȒ ĲȦȞ İȚįȫȞ
țĮșĮȡȚıȝȠȪ;
ȁȪıȘ
ǹȞ x İȓȞĮȚ Ș ĮȡȤȚțȒ ĲȚȝȒ ĲȦȞ İȚįȫȞ țĮșĮȡȚıȝȠȪ, ĲȩĲİ Ș ȑțʌĲȦıȘ 8% ĲȠȣ x İȓȞĮȚ 12€.
ʃʄɳʍʅɲ
ɷɸʃɲɷɿʃʊʎ
ʋʉʍʉʍʏʊ
ȉĮ ʌȠıȠıĲȐ ĮȞĮĳȑȡȠȞĲĮȚ ıİ ĮȞȐȜȠȖĮ ʌȠıȐ țĮȚ ĲĮ
ʌȡȠȕȜȒȝĮĲĮ ĲȦȞ ʌȠıȠıĲȫȞ ȜȪȞȠȞĲĮȚ ȝİ ĲȚȢ ȖȞȦıĲȑȢ
ȝİșȩįȠȣȢ: ĮȞĮȖȦȖȒ ıĲȘ ȝȠȞȐįĮ, ĮʌȜȒ ȝȑșȠįȠȢ ĲȦȞ ĲȡȚȫȞ,
ĮȞĮȜȠȖȓİȢ, įȘȝȚȠȣȡȖȓĮ İȟȓıȦıȘȢ, ʌ.Ȥ

ȅʌȩĲİ ıȤȘȝĮĲȓȗȠȣȝİ ĲȘȞ İȟȓıȦıȘ
8
8% x 12Ȓ x 12Ȓ 0,08x 12
100
˜ ˜
ǱȡĮ
12 1.200
x € € 150€
0,08 8
ǹıțȒıİȚȢ țĮȚ ȆȡȠȕȜȒȝĮĲĮ ȁȣȝȑȞĮ
1) ȃĮ ȖȡĮĳȠȪȞ ȦȢ ʌȠıȠıĲȩ İʌȚ ĲȠȚȢ İțĮĲȩ, ĲĮ țȜȐıȝĮĲĮ:
Į)
3
5
ȕ)
3
8
Ȗ)
5
16
į)
3
25
İ)
3
50
ȁȪıȘ
Į)
3 20 3 60
60%
5 20 5 100
˜
˜
ȕ)
3
3 3 3
3 3 3 5 3 125 375 37,5
37,5%
8 2 2 5 1000 1000 100
˜ ˜
˜
Ȗ)
4
4 4 4
5 5 5 5 3.125 31,25
31,25%
16 2 2 5 10.000 100
˜
˜
į)
3 4 3 12
12%
25 100 100
˜
İ) 2 2
3 3 2 3 6 3 2 3 6
6% Ȓ Ȫ 6%
50 2 5 2 2 5 100 50 2 50 100
˜ ˜
SLR H NROD
˜ ˜ ˜ ˜
2) ȃĮ ȕȡİșİȓ ĲȚ ʌȠıȠıĲȩ İʌȚ ĲȠȚȢ İțĮĲȩ İȓȞĮȚ:
ǹ) ĲȠ 400 ȖȚĮ ĲȠȞ ĮȡȚșȝȩ 8.000 Ǻ) ȠȚ 3 ȝȒȞİȢ ȖȚĮ ĲȠ 1 ȑĲȠȢ
ī) ĲĮ 15cm ȖȚĮ ĲĮ 6m ǻ) ĲĮ 100gr ıĲĮ 5Kgr
ȁȪıȘ
ǹ)
400 4 1 5
5%
8.000 80 20 100
Ǻ)
3 Ȓ 3 Ȓ 3 1
0,25 25%
1ȑ 12 Ȓ 12 4
P QH9 P QH9
WR9 P QH9
ī)
15cm 15cm 15
0,025 2,5%
6m 600cm 600 ǻ)
100gr 100gr 100 1 2
2%
5Kgr 5.000gr 5.000 50 100
3) ǲȞĮ ʌȡȠȚȩȞ ȑȤİȚ ĮȞĮȖȡĮĳȩȝİȞȘ ĲȚȝȒ 9,50€. ȆȜȘȡȫıĮȝİ ȖȚĮ ĮȣĲȩ 1,40€ ȜȚȖȩĲİȡĮ. ȆȩıȠ
ȒĲĮȞ ĲȠ ʌȠıȠıĲȩ ĲȘȢ ȑțʌĲȦıȘȢ;
ȁȪıȘ
ǲıĲȦ x% Ș ȑțʌĲȦıȘ. ȉȩĲİ 9,50€ x% 1,40€
˜ Ȓ
x
9,50 1,40
100
˜ ȐȡĮ 0,095 x 1,40
˜ .
ǼʌȠȝȑȞȦȢ
1,40 1400
x 14,74%
0,095 95
İȓȞĮȚ ĲȠ ʌȠıȠıĲȩ ĲȘȢ ȑțʌĲȦıȘȢ.
4) Ǿ ĲȚȝȒ İȞȩȢ ʌȡȠȚȩȞĲȠȢ ĮȣȟȒșȘțİ țĮĲȐ 60%. ȆȩıȠ ʌȡȑʌİȚ ȞĮ ȝİȚȦșİȓ, ȫıĲİ ȞĮ ȑȤİȚ ĲȘȞ
ȓįȚĮ ĲȚȝȒ;
ȁȪıȘ
ǲıĲȦ ȩĲȚ ĲȠ ʌȡȠȚȩȞ țȠıĲȓȗİȚ 100 ȜİʌĲȐ. ǹĳȠȪ ĮȣȟȒșȘțİ țĮĲȐ 60%, ĲȫȡĮ țȠıĲȓȗİȚ 160
ȜİʌĲȐ.
ǹȞ x% İȓȞĮȚ ĲȠ ʌȠıȠıĲȩ ȝİȓȦıȘȢ șĮ ʌȡȑʌİȚ x
160 160 100
100
˜ , ȖȚĮ ȞĮ ȑȤİȚ ĲȘȞ ȓįȚĮ ĲȚȝȒ.
ǼʌȠȝȑȞȦȢ 160 1,6 x 100
˜ , ȐȡĮ 1,6 x 160 100
˜ , įȘȜĮįȒ 1,6 x 60
˜ Ȓ
60 600 150 75
x 37,5%
1,6 16 4 2
ʌȡȑʌİȚ ȞĮ İȓȞĮȚ ĲȠ ʌȠıȠıĲȩ ĲȘȢ ȝİȓȦıȘȢ.
ǵĲĮȞ ıĲȠȞ ʌĮȡȠȞȠȝĮıĲȒ ȑȤȠȣȝİ įȪȞĮȝȘ ĲȠȣ 2 Ȓ
ĲȠȣ 5 Ȓ țĮȚ ĲȦȞ įȪȠ, ʌȠȜȜĮʌȜĮıȚȐȗȠȣȝİ ĮȡȚșȝȘĲȒ
țĮȚ ʌĮȡȠȞȠȝĮıĲȒ ȝİ įȣȞȐȝİȚȢ ĲȠȣ 2 Ȓ ĲȠȣ 5, ȫıĲİ
ıĲȠȞ ʌĮȡȠȞȠȝĮıĲȒ ĲȠ 2 țĮȚ ĲȠ 5 ȞĮ ȑȤȠȣȞ ĲȠȞ ȓįȚȠ
İțșȑĲȘ, ȠʌȩĲİ

5) ȉȠ 40% ĲȦȞ ĮȣĲȠțȚȞȒĲȦȞ ʌȠȣ țȣțȜȠĳȠȡȠȪȞ ıĲȘ ȤȫȡĮ ȝĮȢ İȓȞĮȚ īİȡȝĮȞȚțȒȢ
țĮĲĮıțİȣȒȢ.
ǹʌȩ ĮȣĲȐ ĲȠ 65% ȑȤȠȣȞ ȝİĲĮȜȜȚțȩ ȤȡȫȝĮ
țĮȚ Įʌȩ ĮȣĲȐ ĲȠ 90% İȓȞĮȚ țĮĲĮȜȣĲȚțȐ.
ȆȩıȠ İȓȞĮȚ ĲȠ ʌȠıȠıĲȩ ĲȦȞ ĮȣĲȠțȚȞȒĲȦȞ
īİȡȝĮȞȚțȒȢ țĮĲĮıțİȣȒȢ ȝİ ȝİĲĮȜȜȚțȩ
ȤȡȫȝĮ țĮȚ țĮĲĮȜȣĲȚțȐ ʌȠȣ țȣțȜȠĳȠȡȠȪȞ
ıĲȘ ȤȫȡĮ ȝĮȢ;
ȁȪıȘ
ĬĮ ȣʌȠȜȠȖȓıȠȣȝİ ĲȠ 90% ĲȠȣ 65% ĲȠȣ 40% ĲȦȞ ĮȣĲȠțȚȞȒĲȦȞ ʌȠȣ țȣțȜȠĳȠȡȠȪȞ ıĲȘȞ
ǼȜȜȐįĮ.
ǼʌİȚįȒ ĲȠ ʌȠıȠıĲȩ ĲȠȣ ʌȠıȠıĲȠȪ ʌȡȠțȪʌĲİȚ Įʌȩ ĲȠ ȖȚȞȩȝİȞȠ ĲȦȞ İʌȓ ȝȑȡȠȣȢ ʌȠıȠıĲȫȞ
ȑȤȠȣȝİ ȩĲȚ ĲȠ ȗȘĲȠȪȝİȞȠ ʌȠıȠıĲȩ İȓȞĮȚ:
90 65 40 234.000
23,4%
100 100 100 1.000.000
˜ ˜ .
6) ȃĮ ȕȡİȓĲİ ĲȚ ʌȠıȠıĲȩ ĮȞĲȚʌȡȠıȦʌİȪİȚ ĲȠ ıțȚĮıȝȑȞȠ ĲȝȒȝĮ
ĲȠȣ įȚʌȜĮȞȠȪ ıȤȒȝĮĲȠȢ ȩʌȠȣ ĲĮ ǹǺīǻ țĮȚ ǼǽǾĬ İȓȞĮȚ ȓıĮ
ĲİĲȡȐȖȦȞĮ
ȁȪıȘ
ȆȡȠİțĲİȓȞȠȣȝİ ĲȚȢ ʌȜİȣȡȑȢ ĲȠȣ țȐșİ ĲİĲȡĮȖȫȞȠȣ ȝȑȤȡȚ ȞĮ
ıȣȞĮȞĲȒıȠȣȞ ĲȚȢ ʌȜİȣȡȑȢ ĲȠȣ ȐȜȜȠȣ, ȩʌȦȢ ıĲȠ ıȤȒȝĮ.
ȅʌȩĲİ ĲȠ țĮșȑȞĮ Įʌȩ ĲĮ ĲİĲȡȐȖȦȞĮ ȤȦȡȓȗİĲĮȚ ıİ 4 ȓıĮ
ȝȚțȡȩĲİȡĮ ĲİĲȡȐȖȦȞĮ.
ǼʌȠȝȑȞȦȢ ĲȠ ıȤȒȝĮ ĮʌȠĲİȜİȓĲĮȚ Įʌȩ 7 ȓıĮ ĲİĲȡȐȖȦȞĮ. ȅʌȩĲİ ĲȠ
ʌȠıȠıĲȩ ĮȞĲȚʌȡȠıȦʌİȪİȚ ĲȠ ıțȚĮıȝȑȞȠ ĲȝȒȝĮ İȓȞĮȚ
1
7
īİȞȓțİȣıȘ ĲȠȣ ʌȡȠȕȜȒȝĮĲȠȢ
ǵĲĮȞ ĲȠ įİȪĲİȡȠ ĲİĲȡȐȖȦȞȠ İȓȞĮȚ ȣʌȠ ȖȦȞȓĮȞ.
Ȉİ ĮȣĲȒ ĲȘȞ ʌİȡȓʌĲȦıȘ ʌĮȡĮĲȘȡȠȪȝİ ȩĲȚ ĲĮ ĲȡȓȖȦȞĮ DOK țĮȚ
OHF İȓȞĮȚ ȓıĮ …
7) Ȉİ ȝȓĮ ĮʌȠșȒțȘ ȑȤȠȣȞ ıȣȖțİȞĲȡȦșİȓ 1.000 ıȣıțİȣĮıȓİȢ ĲȡȚȦȞ İȚįȫȞ ǹ, Ǻ, țĮȚ ī
İȝʌȠȡİȣȝȐĲȦȞ. ȉĮ İȝʌȠȡİȪȝĮĲĮ Ǻ İȓȞĮȚ ĲȠ 78% ĲȦȞ İȝʌȠȡİȣȝȐĲȦȞ ǹ țĮȚ ĲĮ
İȝʌȠȡİȪȝĮĲĮ ī İȓȞĮȚ ĲȠ 22% ĲȦȞ İȝʌȠȡİȣȝȐĲȦȞ ǹ. ȃĮ ȕȡİȓĲİ Įʌȩ ʌȩıİȢ ıȣıțİȣĮıȓİȢ
ĮʌȠĲİȜȠȪȞĲĮȚ ĲĮ İȝʌȠȡİȪȝĮĲĮ ǹ, ʌȩıİȢ ĲĮ Ǻ țĮȚ Įʌȩ ʌȩıİȢ ĲĮ İȝʌȠȡİȪȝĮĲĮ ī.

ȁȪıȘ
ǹȞ x İȓȞĮȚ ȠȚ ıȣıțİȣĮıȓİȢ ĲȦȞ İȝʌȠȡİȣȝȐĲȦȞ ǹ, ĲȩĲİ ȠȚ ıȣıțİȣĮıȓİȢ ĲȦȞ İȝʌȠȡİȣȝȐĲȦȞ Ǻ
İȓȞĮȚ
78
x
100
˜ țĮȚ ȠȚ ıȣıțİȣĮıȓİȢ ĲȦȞ İȝʌȠȡİȣȝȐĲȦȞ ī İȓȞĮȚ
22
x
100
˜ .
ȅʌȩĲİ ĮĳȠȣ țĮȚ ȠȚ 3 ıȣıțİȣĮıȓİȢ İȓȞĮȚ 1.000, ȑȤȠȣȝİ ĲȘȞ İȟȓıȦıȘ
78 22
x x x 1.000
100 100
˜ ˜ Ȓ x 0,78x 0,22x 1.000
, ȐȡĮ 2x 1.000, ȠʌȩĲİ x 500.
ǼʌȠȝȑȞȦȢ ȠȚ ıȣıțİȣĮıȓİȢ ĲȦȞ İȝʌȠȡİȣȝȐĲȦȞ ǹ İȓȞĮȚ 500, ȠȚ ıȣıțİȣĮıȓİȢ ĲȦȞ
İȝʌȠȡİȣȝȐĲȦȞ Ǻ İȓȞĮȚ
78
500 78 5 390
100
˜ ˜ , ȠȚ ıȣıțİȣĮıȓİȢ ĲȦȞ İȝʌȠȡİȣȝȐĲȦȞ ī İȓȞĮȚ
22
500 22 5 110
100
˜ ˜ .
ȀĮȚ ȖȚĮ ȩıȠȣȢ įİȞ ȚțĮȞȠʌȠȚȒșȘțĮȞ.
1) ȂȚĮ ȠȚțȠȖȑȞİȚĮ ȑȤİȚ İȚıȩįȘȝĮ 1800€ ĲȠ ȝȒȞĮ. ǹʌȩ ĮȣĲȐ ĲȠ 12% ĲȠ ĮʌȠĲĮȝȚİȪİȚ, ĲȠ 25%
ȟȠįİȪİĲĮȚ ȖȚĮ İȞȠȓțȚȠ, ĲȠ 35% ȖȚĮ įȚĮĲȡȠĳȒ, ĲȠ 15% ȖȚĮ İȟȩĳȜȘıȘ įȩıȘȢ įĮȞİȓȠȣ țĮȚ ĲȠ
13% ȖȚĮ ȐȜȜİȢ țĮșȘȝİȡȚȞȑȢ ĮȞȐȖțİȢ.
ǹ) ȃĮ ȣʌȠȜȠȖȚıĲİȓ ʌȩıĮ ȤȡȒȝĮĲĮ ȟȠįİȪȠȞĲĮȚ ȖȚĮ țȐșİ țĮĲȘȖȠȡȓĮ įĮʌȐȞȘȢ.
Ǻ) ȆȠȚȠ İȓȞĮȚ ĲȠ ʌȠıȠıĲȩ ĲȠȣ İȞȠȚțȓȠȣ ıİ ıȤȑıȘ ȝİ ĲĮ ȤȡȒȝĮĲĮ ʌȠȣ ȟȠįȑȣȠȞĲĮȚ;
2) ǲȞĮ ʌȠıȩ ĮȣȟȐȞİĲĮȚ țĮĲȐ 20%. ȀĮĲȐ ĲȚ ʌȠıȠıĲȩ șĮ ʌȡȑʌİȚ ȞĮ ĮȣȟȘșİȓ ıĲȘ ıȣȞȑȤİȚĮ ȫıĲİ
ȞĮ įȚʌȜĮıȚĮıĲİȓ ıİ ıȤȑıȘ ȝİ ĲȠ ĮȡȤȚțȩ ʌȠıȩ;
3) ǲȞĮ ĮȡȤȚțȩ ʌȠıȩ ǹ ĮȣȟȐȞİĲĮȚ țĮĲȐ Į%. ȀĮĲȐ ĲȚ ʌȠıȠıĲȩ șĮ ʌȡȑʌİȚ ȞĮ İȜĮĲĲȦșİȓ ȫıĲİ ȞĮ
İʌĮȞȑȜșİȚ ıĲȘȞ ĮȡȤȚțȒ ĲȠȣ ĲȚȝȒ.
ȈȘȝİȓȦıȘ: ȉȠ ʌȡȩȕȜȘȝĮ ĮȣĲȩ ĮʌȠĲİȜİȓ ȖİȞȓțİȣıȘ ĲȠȣ șȑȝĮĲȠȢ 4 ʌȠȣ ȒįȘ ȑȤȠȣȝİ ȜȪıİȚ. ǹȣĲȩ
ıȘȝĮȓȞİȚ ȩĲȚ șĮ ʌȡȑʌİȚ ȞĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİĲİ ĲȠ ȗȘĲȠȪȝİȞȠ ʌȠıȠıĲȩ ȝİ ȕȐıȘ ĲȠ ȖȡȐȝȝĮ Į. Ȃİ ĲȠȞ
ĲȡȩʌȠ ĮȣĲȩ șĮ ȑȤİĲİ ȑȞĮȞ ȖİȞȚțȩ ĲȪʌȠ ʌȠȣ șĮ ȜȪȞİȚ ĲȠ ʌȡȩȕȜȘȝĮ ĲȘȢ İȪȡİıȘȢ ĲȠȣ ʌȠıȠıĲȠȪ
ʌȠȣ İʌĮȞĮĳȑȡİȚ ȑȞĮ ʌȠıȩ ıĲȘȞ ĮȡȤȚțȒ ĲȠȣ ĲȚȝȒ ȩĲĮȞ ĮȣĲȩ ȑȤİȚ ȣʌȠıĲİȓ ȠʌȠȚĮįȒʌȠĲİ
ʌȠıȠıĲȚĮȓĮ ĮȪȟȘıȘ.
ȆȡȠĲİȓȞȠȣȝİ ȞĮ įȠțȚȝȐıİĲİ ĲȠȞ ĲȪʌȠ ʌȠȣ ȕȡȒțĮĲİ ıĲȘȞ ʌİȡȓʌĲȦıȘ ʌȠȣ Ș ĮȪȟȘıȘ İȓȞĮȚ 60%
țĮȚ ȞĮ ıȣȖțȡȓȞİĲİ ĲȠ ĮʌȠĲȑȜİıȝĮ ȝİ ĮȣĲȩ ʌȠȣ ȑȤȠȣȝİ ȕȡİȚ ıĲȘȞ ȐıțȘıȘ 4).
4) ȂȓĮ İȡȫĲȘıȘ țȡȓıİȦȢ: ȀĮĲȐ ĲȚ ʌȠıȠıĲȩ șĮ ʌȡȑʌİȚ ȞĮ ĮȣȟȘșİȓ ȑȞĮ ʌȠıȩ ȫıĲİ ȞĮ
ĲȡȚʌȜĮıȚĮıĲİȓ;
H ƵǍǈĸĴǆĸǅǆƾ Ʃ›ǅĸǋǊ›ƾ
ǆĴǅ Ǌǅ Ƨ›ǊǆĶǈĸǋǐĂƽǈǊǅ ƵǍǈĶǋǁƼĸĶǌ
ĸǊǍ ›ĶǋǅǊĵǅǆǊǔ ķĴǌ ĶǔǎǊǈĸĴǅ
ƭĴǇƾ ǆĴǅ ¨ǃĂǅǊǍǋǁǅǆƾ ƸǋǊǈǅƼ ǁǅĴ ĸǊ 2021

› ÎÅÆºÌȯÈÎ
¦ºÁÀÅºÍÂÃȘ ÂÃºÆȿÍÀÍº ¾ÉȯÄÎÌÀË ÉÊÈ»ÄȘÅºÍÈË
ªÊÈ»ÄȘÅºÍº ÍÈÎ ½Âº¼ÒÆÂÌÅÈɉ ÅºÁÀÅºÍÂÃəÆ
ÂÃºÆÈÍȘÍÒÆ ÍÀË Ÿ¦Ÿ ª®¢›©«›¬
========================================================== Ȉ. ĭİȡİȞĲȓȞȠȢ țĮȚ ǻ. ȆĮʌĮȧȦȐȞȞȠȣ
Ǿ ȚțĮȞȩĲȘĲĮ İʌȓȜȣıȘȢ ʌȡȠȕȜȒȝĮĲȠȢ ĮȞĮĳȑȡİĲĮȚ ıĲȘȞ įȚĮįȚțĮıȓĮ İʌȓȜȣıȘȢ ʌȡȠȕȜȒȝĮĲȠȢ.
ȈĲȘȞ ȚțĮȞȩĲȘĲĮ ĮȣĲȒ ıȣȞȒșȦȢ ȖȓȞİĲĮȚ ıİ ʌİȡȚııȩĲİȡȠ Ȓ ȜȚȖȩĲİȡȠ ȕĮșȝȩ ȝȚĮ ıȪȞșİıȘ
ȝĮșȘȝĮĲȚțȫȞ ȚțĮȞȠĲȒĲȦȞ țĮȚ ȝĮșȘȝĮĲȚțȫȞ İȞȞȠȚȫȞ, Įʌȩ ĲȚȢ ʌȜȑȠȞ ĮʌȜȑȢ ıĲȚȢ ʌȜȑȠȞ ıȪȞșİĲİȢ.
ǵʌȦȢ ĮȞĮĳȑȡșȘțİ ıĲȠ ʌȡȠȘȖȠȪȝİȞȠ ĲİȪȤȠȢ Ș ȚțĮȞȩĲȘĲĮ İʌȓȜȣıȘȢ ʌȡȠȕȜȒȝĮĲȠȢ İȓȞĮȚ ȝȓĮ
ıȪȞșİĲȘ ȚțĮȞȩĲȘĲĮ ʌȠȣ ĮʌĮȚĲİȓ, ĲȠ ıȣȞįȣĮıȝȩ ȩȜȦȞ Ȓ ȠȡȚıȝȑȞȦȞ Įʌȩ ĲȚȢ ȕĮıȚțȑȢ ȝĮșȘȝĮĲȚțȑȢ
ȚțĮȞȩĲȘĲİȢ ȫıĲİ ȞĮ įȠșİȓ ĮʌȐȞĲȘıȘ – ȜȪıȘ ıİ țȐʌȠȚȠ ʌȡȩȕȜȘȝĮ. Ǽįȫ șȣȝȓȗȠȣȝİ ȩĲȚ ȕĮıȚțȩȢ
ıĲȩȤȠȢ ĲȘȢ įȚįĮıțĮȜȓĮȢ ĲȦȞ ȝĮșȘȝĮĲȚțȫȞ ıĲȠ īȣȝȞȐıȚȠ İȓȞĮȚ Ș ĮʌȩțĲȘıȘ ȕĮıȚțȫȞ
ȝĮșȘȝĮĲȚțȫȞ ȖȞȫıİȦȞ țĮȚ ȚțĮȞȠĲȒĲȦȞ (ĭǼȀ 304/13-3-2003).
ȈĲȠ ıȘȝİȓȠ ĮȣĲȩ șȑȜȠȣȝİ ȞĮ ĲȠȞȓıȠȣȝİ ȩĲȚ Ș ȚțĮȞȩĲȘĲĮ İʌȓȜȣıȘȢ ʌȡȠȕȜȒȝĮĲȠȢ, ȩʌȦȢ țĮȚ
ȠȚ ȣʌȩȜȠȚʌİȢ ȚțĮȞȩĲȘĲİȢ, İȓȞĮȚ ıȣȞįİįİȝȑȞȘ ȐȡȡȘțĲĮ ȝİ ĲȘȞ țĮĲȐȜȜȘȜȘ ıĲȡĮĲȘȖȚțȒ
ĮȞĲȚȝİĲȫʌȚıȘȢ.
ȈĲȘȞ ȑȞȞȠȚĮ ĲȘȢ ıĲȡĮĲȘȖȚțȒȢ șĮ ĮȞĮĳİȡșȠȪȝİ ʌİȡȚııȩĲİȡȠ ĮȞĮȜȣĲȚțȐ ĮȝȑıȦȢ ʌĮȡĮțȐĲȦ.
ȀȐșİ ĳȠȡȐ ʌȠȣ ȤȡİȚȐȗİĲĮȚ ȞĮ ĮȞĲȚȝİĲȦʌȓıȠȣȝİ ȑȞĮ ȂĮșȘȝĮĲȚțȩ ʌȡȩȕȜȘȝĮ (Ȓ
ȖİȞȚțȩĲİȡĮ ȑȞĮ ȝĮșȘȝĮĲȚțȩ șȑȝĮ) ȤȡİȚȐȗİĲĮȚ ȞĮ ĮțȠȜȠȣșȒıȠȣȝİ ȝȓĮ ıĲȡĮĲȘȖȚțȒ, ȑȞĮ
ıȤȑįȚȠ ʌȠȡİȓĮȢ.
Ǿ ȓįȚĮ ıĲȡĮĲȘȖȚțȒ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ İĳĮȡȝȠıĲİȓ ıİ įȚĮĳȠȡİĲȚțȐ İȓįȘ ʌȡȠȕȜȘȝȐĲȦȞ, įȘȜĮįȒ ıİ
ʌȡȠȕȜȒȝĮĲĮ ʌȠȣ ĮȞȒțȠȣȞ ıİ įȚĮĳȠȡİĲȚțȑȢ ȝĮșȘȝĮĲȚțȑȢ İȞȩĲȘĲİȢ.
x Ǿ ıĲȡĮĲȘȖȚțȒ ĲȘȢ ĮȞĮȖȦȖȒȢ ıĲȘ ȝȠȞȐįĮ
1) ȉĮ
3
5
İȞȩȢ ʌȠıȠȪ İȓȞĮȚ 24. ȆȩıȠ İȓȞĮȚ ĲĮ
7
8
ĲȠȣ ʌȠıȠȪ;
Ǽįȫ ȣʌȠȜȠȖȓȗȠȣȝİ ʌȡȫĲĮ ĲȠ
1
5
ʌȠȣ İȓȞĮȚ 8, ıĲȘ ıȣȞȑȤİȚĮ ȠȜȩțȜȘȡȠ ĲȠ ʌȠıȩ, įȘȜĮįȒ ĲĮ
5
5
ʌȠȣ İȓȞĮȚ 40 țĮȚ ıĲȘ ıȣȞȑȤİȚĮ ĲȠ ȗȘĲȠȪȝİȞȠ țȜȐıȝĮ ĲȠȣ ʌȠıȠȪ, įȘȜĮįȒ
7
8
. 40=35.
2) ȂȓĮ ȕȡȪıȘ ȤȡİȚȐȗİĲĮȚ 4 ȫȡİȢ ȞĮ ȖİȝȓıİȚ ȝȚĮ įİȟĮȝİȞȒ İȞȫ ȝȓĮ ȐȜȜȘ ȤȡİȚȐȗİĲĮȚ 6 ȫȡİȢ. Ȉİ
ʌȩıİȢ ȫȡİȢ șĮ ȖİȝȓıİȚ Ș įİȟĮȝİȞȒ ĮȞ ĮȞȠȓȟȠȣȝİ țĮȚ ĲȚȢ įȪȠ ȕȡȪıİȢ ıȣȖȤȡȩȞȦȢ;

----------------------------------------------------------------------- ȂĮșȘȝĮĲȚțȒ ȚțĮȞȩĲȘĲĮ İʌȓȜȣıȘȢ ʌȡȠȕȜȒȝĮĲȠȢ -------------------------------------------------------------------
ĬĮ ȣʌȠȜȠȖȓȗȠȣȝİ ĲȚ ȝȑȡȠȢ ĲȘȢ įİȟĮȝİȞȒȢ ȖİȝȓȗİȚ țȐșİ ȕȡȪıȘ ıİ ȝȓĮ ȫȡĮ. Ǿ ʌȡȫĲȘ ȕȡȪıȘ
ıİ ȝȚĮ ȫȡĮ ȖİȝȓȗİȚ ĲȠ
1
4
ĲȘȢ įİȟĮȝİȞȒȢ țĮȚ Ș ȐȜȜȘ ĲȠ
1
6
, ȐȡĮ țȐșİ ȫȡĮ ȖİȝȓȗȠȣȞ ȝĮȗȓ ĲĮ
1
4
+
1
6
=
5
12
ĲȘȢ įİȟĮȝİȞȒȢ, ȐȡĮ ĲȠ
1
12
ĲȘȢ įİȟĮȝİȞȒȢ șĮ ȖİȝȓıİȚ ıİ
1
5
ĲȘȢ ȫȡĮȢ įȘȜĮįȒ ıİ 12
ȜİʌĲȐ, ȐȡĮ ȠȜȩțȜȘȡȘ Ș įİȟĮȝİȞȒ șĮ ȖİȝȓıİȚ ıİ 12 . 12 =144 ȜİʌĲȐ Ȓ 2 ȫȡİȢ țĮȚ 24 ȜİʌĲȐ.
ǵȝȦȢ ȚıȤȪİȚ țĮȚ ĲȠ ĮȞĲȓıĲȡȠĳȠ, įȘȜĮįȒ ȖȚĮ ĲȘ ȜȪıȘ İȞȩȢ ʌȡȠȕȜȒȝĮĲȠȢ, ȠıȠįȒʌȠĲİ ĮʌȜȠȪ Ȓ
ıȪȞșİĲȠȣ, ȝʌȠȡİȓ țȐʌȠȚȠȢ ȞĮ ĮțȠȜȠȣșȒıİȚ įȚĮĳȠȡİĲȚțȑȢ ıĲȡĮĲȘȖȚțȑȢ.
x ǼȞĮȜȜĮțĲȚțȑȢ ıĲȡĮĲȘȖȚțȑȢ
1) ȉĮ
3
5
İȞȩȢ ʌȠıȠȪ İȓȞĮȚ 24. ȆȩıȠ İȓȞĮȚ ĲĮ
7
8
ĲȠȣ ʌȠıȠȪ;
ǼȓįĮȝİ ȩĲȚ Ș ıĲȡĮĲȘȖȚțȒ ĲȘȢ ĮȞĮȖȦȖȒȢ ıĲȘ ȝȠȞȐįĮ ȒĲĮȞ ĮʌȠįȠĲȚțȒ țĮȚ ȑįȦıİ ĮʌȠĲȑȜİıȝĮ
35. ǹȢ İĳĮȡȝȩıȠȣȝİ ȝȚĮ ȐȜȜȘ ıĲȡĮĲȘȖȚțȒ ʌȠȣ İȓȞĮȚ ĮȣĲȒ ĲȦȞ ȓıȦȞ Ȓ ȚıȠįȣȞȐȝȦȞ țȜĮıȝȐĲȦȞ.
ȉĮ įȪȠ țȜȐıȝĮĲĮ ȝİĲĮĲȡȑʌȠȞĲĮȚ ıİ ȠȝȫȞȣȝĮ
3
5
=
24
40
țĮȚ
7
8
=
35
40
. ǱȡĮ ĲĮ
24
40
ĲȠȣ ʌȠıȠȪ İȓȞĮȚ
24, İʌȠȝȑȞȦȢ ĲĮ
35
40
İȓȞĮȚ 35.
ȃĮ ȣʌȠȖȡĮȝȝȓıȠȣȝİ ȩĲȚ Ș ıĲȡĮĲȘȖȚțȒ ĲȦȞ ȚıȠįȣȞȐȝȦȞ țȜĮıȝȐĲȦȞ ȒĲĮȞ țĮĲȐȜȜȘȜȘ ȖȚĮĲȓ
ĲĮ įȪȠ țȜȐıȝĮĲĮ ĮȞĮĳȑȡȠȞĲĮȚ ıĲȠ ȓįȚȠ ʌȠıȩ. ǹȞ ĮȣĲȩ įİȞ ıȣȞȑȕĮȚȞİ ĲȩĲİ Ș ıĲȡĮĲȘȖȚțȒ șĮ ȒĲĮȞ
ĮțĮĲȐȜȜȘȜȘ țĮȚ șĮ ȠįȘȖȠȪıİ ıİ ȜĮȞșĮıȝȑȞȠ ĮʌȠĲȑȜİıȝĮ.
2) ǼʌȓıȘȢ ıĲȠ ʌȡȩȕȜȘȝĮ: ȂȓĮ ȕȡȪıȘ ȤȡİȚȐȗİĲĮȚ 4 ȫȡİȢ ȞĮ ȖİȝȓıİȚ ȝȚĮ įİȟĮȝİȞȒ, İȞȫ ȝȓĮ ȐȜȜȘ
ȤȡİȚȐȗİĲĮȚ 6 ȫȡİȢ. Ȉİ ʌȩıİȢ ȫȡİȢ șĮ ȖİȝȓıİȚ Ș įİȟĮȝİȞȒ ĮȞ ĮȞȠȓȟȠȣȝİ țĮȚ ĲȚȢ įȪȠ ȕȡȪıİȢ
ıȣȖȤȡȩȞȦȢ;
ǵʌȦȢ İȓįĮȝİ țĮȚ ıĲȠ ʌȡȩȕȜȘȝĮ ĮȣĲȩ Ș ıĲȡĮĲȘȖȚțȒ ĲȘȢ ĮȞĮȖȦȖȒȢ ıĲȘ ȝȠȞȐįĮ ȒĲĮȞ
ĮʌȠįȠĲȚțȒ.
ǹȢ İĳĮȡȝȩıȠȣȝİ ȝȚĮ ȐȜȜȘ ıĲȡĮĲȘȖȚțȒ ʌȠȣ İȓȞĮȚ ĮȣĲȒ ĲȘȢ İȟȓıȦıȘȢ. ǹȞ ıİ x ȫȡİȢ ȖİȝȓȗİȚ
Ș įİȟĮȝİȞȒ țĮȚ ȝİ ĲȚȢ 2 ȕȡȪıİȢ ĮȞȠȚȖȝȑȞİȢ ĲȩĲİ Ș ʌȡȫĲȘ ȕȡȪıȘ șĮ ȑȤİȚ ȖİȝȓıİȚ ĲĮ
x
4
ĲȘȢ
įİȟĮȝİȞȒȢ țĮȚ Ș įİȪĲİȡȘ ĲĮ
x
6
, ȐȡĮ
x
4
+
x
6
= 1 țĮȚ ȜȪȞȠȞĲĮȢ ĲȘȞ İȟȓıȦıȘ șĮ ȕȡȠȪȝİ Ȥ=2,4 Ȓ 2
ȫȡİȢ țĮȚ 20 ȜİʌĲȐ.
Ǿ ȜȪıȘ İȞȩȢ ʌȡȠȕȜȒȝĮĲȠȢ ȩʌȦȢ İȓįĮȝİ İȓȞĮȚ ȝȓĮ įȚĮįȚțĮıȓĮ, ȝȓĮ įȚĮįȡȠȝȒ. īȚĮ ȞĮ
ĳĲȐıȠȣȝİ ıĲȘ ȜȪıȘ șĮ ʌȡȑʌİȚ ȞĮ İʌȚȜȑȟȠȣȝİ ȝȑıĮ Įʌȩ ȝȓĮ ıİȚȡȐ įȡȩȝȦȞ, țĮșȑȞĮȢ Įʌȩ ĲȠȣȢ
ȠʌȠȓȠȣȢ İȓȞĮȚ ȝȓĮ ıĲȡĮĲȘȖȚțȒ. Ǿ İʌȚȜȠȖȒ ĲȘȢ ıĲȡĮĲȘȖȚțȒȢ ȩȝȦȢ įİȞ İȟĮıĳĮȜȓȗİȚ ĮȝȑıȦȢ ĲȘ
ȜȪıȘ ĲȠȣ ʌȡȠȕȜȒȝĮĲȠȢ. ĬĮ ʌȡȑʌİȚ ȞĮ ȑȤİȚ ĮȞĮʌĲȣȤșİȓ Ș ȚțĮȞȩĲȘĲĮ ȞĮ ȕĮįȓıȠȣȝİ ȝİ ıȣȞȑʌİȚĮ
ʌȐȞȦ ıİ ĮȣĲȩ ĲȠ įȡȩȝȠ. Ǿ ȚțĮȞȩĲȘĲĮ ĮȣĲȒ ȤĮȡĮțĲȘȡȓȗİĲĮȚ ȦȢ ȂĮșȘȝĮĲȚțȒ ȚțĮȞȩĲȘĲĮ ʌȠȣ ȝİ ĲȘ

ıİȚȡȐ ĲȘȢ ȣʌȐȖİĲĮȚ ıİ ȝȚĮ İȣȡȪĲİȡȘ ȚțĮȞȩĲȘĲĮ ʌȠȣ ȠȞȠȝȐȗİĲĮȚ ȝĮșȘĲȚțȒ ıțȑȥȘ. ȋȦȡȓȢ
ȂĮșȘȝĮĲȚțȑȢ ȚțĮȞȩĲȘĲİȢ Ș ıĲȡĮĲȘȖȚțȒ İȓȞĮȚ ȐȤȡȘıĲȘ, ĮȜȜȐ țĮȚ Ș ȑȜȜİȚȥȘ ıĲȡĮĲȘȖȚțȒȢ ȝĮȢ
ȠįȘȖİȓ ıİ ĮįȚȑȟȠįĮ.
ȀȜİȓȞȠȞĲĮȢ ĲȠȞ ʌȡȩȜȠȖȠ șȑȜȠȣȝİ ȞĮ ĲȠȞȓıȠȣȝİ ȩĲȚ ʌĮȡȩĲȚ Ș įȚĮįȚțĮıȓĮ İʌȓȜȣıȘȢ
ʌȡȠȕȜȒȝĮĲȠȢ ĮʌȠĲİȜİȓ ȑȞĮ Įʌȩ ĲȠȣȢ ȕĮıȚțȠȪȢ ıĲȩȤȠȣȢ ĲȘȢ ȝĮșȘȝĮĲȚțȒȢ İțʌĮȓįİȣıȘȢ, ıĲȘ
ıȣȞȒșȘ ıȤȠȜȚțȒ ʌȡĮțĲȚțȒ įȓȞİĲĮȚ ȝİȖȐȜȠ ȕȐȡȠȢ ıİ șİȦȡȘĲȚțȠȪ ĲȪʌȠȣ ĮıțȒıİȚȢ țĮȚ İĳĮȡȝȠȖȑȢ
țĮȚ ȩȤȚ ıĲȘȞ İʌȓȜȣıȘ ʌȡȠȕȜȒȝĮĲȠȢ. ǼʌȚʌȡȩıșİĲĮ, țİĳȐȜĮȚĮ ĲȦȞ ȝĮșȘȝĮĲȚțȫȞ ʌȠȣ ıȣȞįȑȠȞĲĮȚ
ȐȝİıĮ ȝİ ĲȘȞ İʌȓȜȣıȘ ʌȡȠȕȜȒȝĮĲȠȢ ȩʌȦȢ ĮȣĲȐ ĲȘȢ İʌȓȜȣıȘȢ ĲȪʌȦȞ, ĲȦȞ ʌȠıȠıĲȫȞ țĮȚ ĲȘȢ
ĮȞĮȜȠȖȓĮȢ İȓĲİ ĮĳĮȚȡȑșȘțĮȞ Įʌȩ ĲȘ įȚįĮțĲȑĮ ȪȜȘ, İȓĲİ ȑȤȠȣȞ ıȣȡȡȚțȞȦșİȓ ıİ ȝİȖȐȜȠ ȕĮșȝȩ.
ǲĲıȚ İȟȘȖİȓĲĮȚ țĮȚ Ș ĮʌȠĲȣȤȓĮ ĲȦȞ ȝĮșȘĲȫȞ ĲȘȢ ǼȜȜȐįĮȢ ıĲȠ ʌȡȩȖȡĮȝȝĮ PISA, ȖȚĮĲȓ ĲĮ
ʌĮȡĮʌȐȞȦ țİĳȐȜĮȚĮ İȓȞĮȚ ĮʌȩȜȣĲĮ ıȣȞįİįİȝȑȞĮ ȝİ İĳĮȡȝȠȖȑȢ ĲȦȞ ȝĮșȘȝĮĲȚțȫȞ ıĲȘȞ
țĮșȘȝİȡȚȞȒ ȗȦȒ țĮȚ ĲȠȞ ʌȡĮȖȝĮĲȚțȩ țȩıȝȠ, įȘȜĮįȒ ĲȠȞ ȝĮșȘȝĮĲȚțȩ ȖȡĮȝȝĮĲȚıȝȩ, ʌȠȣ İȓȞĮȚ
ȑȞĮ Įʌȩ ĲĮ ȚįȚĮȓĲİȡĮ ȤĮȡĮțĲȘȡȚıĲȚțȐ ĲȦȞ șİȝȐĲȦȞ ʌȠȣ ĲȓșİȞĲĮȚ ıĲȠ ʌȡȩȖȡĮȝȝĮ PISA.
ǼȜʌȚįȠĳȩȡȠ ȝȒȞȣȝĮ ĮʌȠĲİȜȠȪȞ ȠȚ ʌĮȡĮțȐĲȦ ʌȡȠĲȐıİȚȢ ȠȝȐįĮȢ ȝİȜİĲȫȞ ĲȠȣ ǿǼȆ (ǿǼȆ.
1919. ǼȜȜȘȞȚțȒ ȂĮșȘȝĮĲȚțȒ ǼțʌĮȓįİȣıȘ țĮȚ ĮȟȚȠȜȩȖȘıȘ PISA) ʌȠȣ ĮĳȠȡȠȪȞ ĲȘ ıȪȖțȜȚıȘ ĲȘȢ
İțʌĮȚįİȣĲȚțȒȢ įȚĮįȚțĮıȓĮȢ ȝİ ĲȚȢ ĮȡȤȑȢ ʌȠȣ ĮȟȚȠȜȠȖȠȪȞĲĮȚ Įʌȩ ĲȠ PISA: 1) İȓȞĮȚ ȠȣıȚȫįİȢ ȞĮ
ĮȞĮįİȚȤșİȓ Ș İȞĮıȤȩȜȘıȘ ȝİ ĲĮ ʌȡȠȕȜȒȝĮĲĮ ȦȢ ȕĮıȚțȩ ıĲȠȚȤİȓȠ ĲȘȢ ȝĮșȘȝĮĲȚțȒȢ İțʌĮȓįİȣıȘȢ
țĮȚ 2) ȤȡİȚȐȗİĲĮȚ İȞșȐȡȡȣȞıȘ ĲȦȞ įȚįĮıțȩȞĲȦȞ ȞĮ ʌȡȠȤȦȡȒıȠȣȞ ıİ ȝȚĮ įȚįĮțĲȚțȒ ȝİĲĮĲȩʌȚıȘ,
İȞĲȐııȠȞĲĮȢ ĲĮ ʌȡȠȕȜȒȝĮĲĮ ıĲȠ țĮșȘȝİȡȚȞȩ įȚįĮțĲȚțȩ ȡİʌİȡĲȩȡȚȠ. ǹȞ ȣȚȠșİĲȘșȠȪȞ ĮȣĲȑȢ ȠȚ
ʌȡȠĲȐıİȚȢ ĲȩĲİ İȓȞĮȚ ʌȚșĮȞȩ ȩĲȚ Ș İʌȓȜȣıȘ ʌȡȠȕȜȒȝĮĲȠȢ șĮ ʌȐȡİȚ ĲȘȞ țİȞĲȡȚțȒ șȑıȘ ıĲȘȞ
țĮȡįȚȐ ĲȘȢ ȝĮșȘȝĮĲȚțȒȢ İțʌĮȓįİȣıȘȢ.
ȉȑȜȠȢ, ıȪȝĳȦȞĮ ȝİ ĲȚȢ İȟĮȖȖİȜȓİȢ ĲȠȣ ȊʌȠȣȡȖİȓȠȣ ȆĮȚįİȓĮȢ, ıĲȚȢ İȟİĲȐıİȚȢ ȖȚĮ ĲĮ
ȆȡȩĲȣʌĮ ıȤȠȜİȓĮ įİȞ İȜȑȖȤȠȞĲĮȚ ȖȞȫıİȚȢ țĮȚ įİȞ ĮʌĮȚĲİȓĲĮȚ ȠȚ ȝĮșȘĲȑȢ ȞĮ ȝİȜİĲȒıȠȣȞ
ʌȡȩıșİĲȘ ȪȜȘ. ǼȚįȚțȐ ıĲĮ ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ șĮ İȜȑȖȤȠȞĲĮȚ ȠȚ ȚțĮȞȩĲȘĲİȢ ĲȦȞ ȝĮșȘĲȫȞ ȖȚĮ
țĮĲĮȞȩȘıȘ țĮȚ İʌȓȜȣıȘ ʌȡȠȕȜȘȝȐĲȦȞ țȣȡȓȦȢ ĲȘȢ țĮșȘȝİȡȚȞȒȢ ȗȦȒȢ. ǼʌȚʌȡȩıșİĲĮ ĲĮ șȑȝĮĲĮ
ıĲĮ ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ, ȩʌȦȢ ĮțȡȚȕȫȢ țĮȚ ĲĮ ĮȞĲȓıĲȠȚȤĮ ıĲȠȞ ȆȊĬǹīȅȇǹ, șĮ ʌİȡȚȑȤȠȣȞ 25
İȡȦĲȒıİȚȢ ʌȠȜȜĮʌȜȒȢ İʌȚȜȠȖȒȢ įȚĮȕĮșȝȚıȝȑȞȘȢ įȣıțȠȜȓĮȢ.
ǼȓȞĮȚ ʌȡȠĳĮȞȑȢ ȩĲȚ ȩȜĮ ĲĮ ʌĮȡĮʌȐȞȦ įȘȜȫȞȠȣȞ ʌȜȒȡȘ İȞĮȡȝȩȞȚıȘ ĲȦȞ İȟİĲȐıİȦȞ ȖȚĮ ĲĮ
ȆȡȩĲȣʌĮ ıȤȠȜİȓĮ ȝİ ĲĮ ȤĮȡĮțĲȘȡȚıĲȚțȐ ĲȠȣ ȆȊĬǹīȅȇǹ.
ȆĮȡĮțȐĲȦ șĮ ʌĮȡȠȣıȚȐıȠȣȝİ ȠȡȚıȝȑȞĮ ȤĮȡĮțĲȘȡȚıĲȚțȐ ʌȡȠȕȜȒȝĮĲĮ ʌȠȣ ĲȑșȘțĮȞ ıĲȠȞ
įȚĮȖȦȞȚıȝȩ ȝĮșȘȝĮĲȚțȫȞ ȚțĮȞȠĲȐĲȦȞ ĲȘȢ ǼȂǼ, ȆȊĬǹīȅȇǹȈ.
ȅȚ ȜȪıİȚȢ ʌȠȣ ʌȡȠĲİȓȞȠȞĲĮȚ įİȞ ıĲȘȡȓȗȠȞĲĮȚ ıĲȘ įȘȝȚȠȣȡȖȓĮ İȟȓıȦıȘȢ țĮșȫȢ ıĲȩȤȠȢ
İȓȞĮȚ Ș įȣȞĮĲȩĲȘĲĮ ȜȪıȘȢ ȝİ ȞȠİȡȑȢ ʌȡȐȟİȚȢ.
ĬȑȝĮ 1: ȅȚ țȐĲȠȚțȠȚ įȪȠ țȠȚȞȠĲȒĲȦȞ ĮʌȠĳȐıȚıĮȞ ȞĮ
įİȞįȡȠĳȣĲİȪıȠȣȞ ĲȠȞ įȡȩȝȠ ʌȠȣ ıȣȞįȑİȚ ĲȚȢ įȪȠ țȠȚȞȩĲȘĲİȢ.
ĭȪĲİȣıĮȞ ȜİȪțİȢ, ȩʌȦȢ įİȓȤȞİȚ Ș İȚțȩȞĮ, ıİ ĮʌȩıĲĮıȘ 15
ȝȑĲȡȦȞ ĲȘȞ ȝȓĮ Įʌȩ ĲȘȞ ȐȜȜȘ. ȈȣȞȠȜȚțȐ ȤȡİȚȐıĲȘțİ ȞĮ
ĳȣĲİȪıȠȣȞ 402 ȜİȪțİȢ. ȆȩıȠ ȝȒțȠȢ ȑȤİȚ Ƞ įȡȩȝȠȢ;
ǹʌȐȞĲȘıȘ: ȆĮȡĮĲȘȡȠȪȝİ ȩĲȚ ȖȚĮ ȞĮ ȣʌȠȜȠȖȚıșİȓ ĲȠ ȝȒțȠȢ ĲȠȣ įȡȩȝȠȣ Įȡțİȓ ȞĮ ȣʌȠȜȠȖȓıȠȣȝİ
ĲȠ ȝȒțȠȢ ȝȩȞȠ ĲȘȢ ȝȓĮ ıİȚȡȐȢ. Ǿ ȝȓĮ ıİȚȡȐ ĮʌȠĲİȜİȓĲĮȚ Įʌȩ 402:2=201 ȜİȪțİȢ. īȞȦȡȓȗȠȣȝİ ȩĲȚ
ȠȚ ȜİȪțİȢ ĮʌȑȤȠȣȞ ĮʌȩıĲĮıȘ 15 ȝȑĲȡȦȞ Ș ȝȓĮ Įʌȩ ĲȘȞ ȐȜȜȘ ıȣȞİʌȫȢ ĲĮ įȚĮıĲȒȝĮĲĮ ʌȠȣ
įȘȝȚȠȣȡȖȠȪȞĲĮȚ İȓȞĮȚ 200, ȐȡĮ Įȡțİȓ ȞĮ țȐȞȠȣȝİ ĲȠȞ ʌȠȜȜĮʌȜĮıȚĮıȝȩ 200 15=3000
˜ ȝȑĲȡĮ
ʌȠȣ ĮȞĲȚıĲȠȚȤȠȪȞ ıİ 3.000:1.000=3km.
ĬȑȝĮ 2: Ȉİ ȝȓĮ ıȣȖțȑȞĲȡȦıȘ ȝĮșȘĲȫȞ țĮȚ ȝĮșȘĲȡȚȫȞ ĮȞ ĲĮ ĮȖȩȡȚĮ ȒĲĮȞ 10%
ʌİȡȚııȩĲİȡĮ ĲȩĲİ șĮ ȣʌȒȡȤĮȞ ıĲȘȞ ĮȓșȠȣıĮ 74 ȐĲȠȝĮ. ǹȞ ĲĮ țȠȡȓĲıȚĮ ȒĲĮȞ 10%

ʌİȡȚııȩĲİȡĮ ĲȩĲİ ıĲȘȞ ĮȓșȠȣıĮ șĮ ȣʌȒȡȤĮȞ 73 ȐĲȠȝĮ. ȅ ĮȡȚșȝȩȢ ĲȦȞ ĮȖȠȡȚȫȞ ıĲȘȞ
ĮȓșȠȣıĮ İȓȞĮȚ:
ǹ) 30 Ǻ) 40 ī) 45 ǻ) 50 Ǽ) țĮȞȑȞĮ Įʌȩ ĲĮ ʌȡȠȘȖȠȪȝİȞĮ
ǹʌȐȞĲȘıȘ: ȈĲȠ ʌĮȡĮʌȐȞȦ ʌȡȩȕȜȘȝĮ ʌĮȡĮĲȘȡȠȪȝİ ȩĲȚ ȠȚ ĮȡȚșȝȠȓ ʌȠȣ ĮȞĲȚʌȡȠıȦʌİȪȠȣȞ ĲĮ
ĮȖȩȡȚĮ Ȓ ĲĮ țȠȡȓĲıȚĮ șĮ ʌȡȑʌİȚ ȞĮ İȓȞĮȚ ĭȣıȚțȠȓ, ĮĳȠȪ įİȞ İȓȞĮȚ įȣȞĮĲȩȞ ȞĮ ȣʌȐȡȤȠȣȞ 2,1 Ȓ
4
5
ʌĮȚįȚȐ. ǹȣĲȩ ʌȠȣ șĮ İʌȚȤİȚȡȒıȠȣȝİ ȞĮ țȐȞȠȣȝİ ȖȚĮ ȞĮ ĮʌĮȞĲȒıȠȣȝİ ıİ ĮȣĲȩ ĲȠ șȑȝĮ İȓȞĮȚ ȞĮ
İȜȑȖȟȠȣȝİ ȝİ ĲȘ ıİȚȡȐ ĲȚȢ ĮʌĮȞĲȒıİȚȢ ʌȠȣ ȝĮȢ įȓȞȠȞĲĮȚ, ĮȞ ȝʌȠȡȠȪȞ ȞĮ İʌĮȜȘșİȪıȠȣȞ ĲĮ
įİįȠȝȑȞĮ ĲȠȣ ʌȡȠȕȜȒȝĮĲȠȢ.
ȆȚȠ ıȣȖțİțȡȚȝȑȞĮ, Ș İʌȚȜȠȖȒ ǹ) ȠȡȓȗİȚ ȩĲȚ ĲĮ ĮȖȩȡȚĮ İȓȞĮȚ 30.
ȉȠ 10% ĲȠȣ 30 ȣʌȠȜȠȖȓȗİĲĮȚ ȦȢ İȟȒȢ
10
30=3
100
˜ . ǱȡĮ Ƞ ıȣȞȠȜȚțȩȢ ĮȡȚșȝȩȢ ĲȦȞ ĮȖȠȡȚȫȞ
İȓȞĮȚ 30+3=33. ǹȣĲȩ ıȘȝĮȓȞİȚ ȩĲȚ ĲĮ țȠȡȓĲıȚĮ șĮ İȓȞĮȚ 74-33=41. ȉȠ 10% ĲȦȞ țȠȡȚĲıȚȫȞ
ȣʌȠȜȠȖȓȗİĲĮȚ ȦȢ İȟȒȢ
10
41=4,1
100
˜ . ǵȝȦȢ įİȞ İȓȞĮȚ įȣȞĮĲȩȞ ȞĮ ȣʌȐȡȤȠȣȞ 4,1 țȠȡȓĲıȚĮ. ǱȡĮ Ș
İʌȚȜȠȖȒ ǹ) ĮʌȠȡȡȓʌĲİĲĮȚ.
ǼʌȩȝİȞȘ ıĲȘ ıİȚȡȐ İȓȞĮȚ Ș İʌȚȜȠȖȒ Ǻ) ȩʌȠȣ ȠȡȓȗİȚ ȩĲȚ ĲĮ ĮȖȩȡȚĮ İȓȞĮȚ 40.
ȉȠ 10% ĲȠȣ 40 ȣʌȠȜȠȖȓȗİĲĮȚ ȦȢ İȟȒȢ
10
40=4
100
˜ . ǱȡĮ Ƞ ıȣȞȠȜȚțȩȢ ĮȡȚșȝȩȢ ĲȦȞ ĮȖȠȡȚȫȞ
İȓȞĮȚ 40+4=44. ǹȣĲȩ ıȘȝĮȓȞİȚ ȩĲȚ ĲĮ țȠȡȓĲıȚĮ șĮ İȓȞĮȚ 74-44=30. ȉȠ 10% ĲȦȞ țȠȡȚĲıȚȫȞ
ȣʌȠȜȠȖȓȗİĲĮȚ ȦȢ İȟȒȢ
10
30=3
100
˜ , ıȣȞİʌȫȢ ĲĮ țȠȡȓĲıȚĮ șĮ İȓȞĮȚ 33 ʌȠȣ İʌĮȜȘșİȪİĲĮȚ țĮȚ Įʌȩ ĲȠ
įİȪĲİȡȠ įİįȠȝȑȞȠ ĲȠȣ ʌȡȠȕȜȒȝĮĲȠȢ ĮĳȠȪ 33+40=73.
ĬȑȝĮ 3 : ǲȞĮȢ țĲȘȞȠĲȡȩĳȠȢ ȝȠȓȡĮıİ ıĲĮ 3 ʌĮȚįȚȐ ĲȠȣ ĲĮ ʌȡȩȕĮĲĮ ʌȠȣ İȓȤİ ȦȢ İȟȒȢ:
ȈĲȠ ʌȡȫĲȠ ʌĮȚįȓ ĲȠȣ ȑįȦıİ ĲĮ
2
5
Įʌȩ ĲĮ ʌȡȩȕĮĲĮ, ıĲȠ
įİȪĲİȡȠ ʌĮȚįȓ ȑįȦıİ ĲĮ
2
7
țĮȚ ıĲȠ ĲȡȓĲȠ ʌĮȚįȓ ȑįȦıİ ĲȠ
1
4
.
ǵĲĮȞ ĲİȜİȓȦıİ Ș ȝȠȚȡĮıȚȐ ʌĮȡĮĲȒȡȘıİ ȩĲȚ ĲȠȣ İȓȤĮȞ
ʌİȡȚııȑȥİȚ 18 ʌȡȩȕĮĲĮ. ȆȩıĮ ʌȡȩȕĮĲĮ İȓȤİ ıȣȞȠȜȚțȐ Ƞ
țĲȘȞȠĲȡȩĳȠȢ;
ǹʌȐȞĲȘıȘ: ǹȡȤȚțȐ, ʌĮȡĮĲȘȡȠȪȝİ ȩĲȚ ĲĮ țȜȐıȝĮĲĮ ıĲȠ ʌȡȩȕȜȘȝĮ įİȞ İȓȞĮȚ ȠȝȫȞȣȝĮ, ȐȡĮ șĮ
ĲĮ țȐȞȠȣȝİ ȠȝȫȞȣȝĮ ȑĲıȚ ȫıĲİ ȞĮ ȕȡȠȪȝİ ĲĮ 18 ʌȡȩȕĮĲĮ ıİ ʌȠȚȠ ȝȑȡȠȢ ĲȠȣ ıȣȞȠȜȚțȠȪ
ȝİȖȑșȠȣȢ ĮȞĮĳȑȡȠȞĲĮȚ. ȈȣȞİʌȫȢ,
2 2 1 56 40 35 131
+ + = + + =
5 7 4 140 140 140 140
ĮĳȠȪ ĲȠ
Ǽ.Ȁ.Ȇ.(5,7,4)=140. ǻȘȜĮįȒ, Ƞ țĲȘȞȠĲȡȩĳȠȢ ȑįȦıİ ıĲĮ ʌĮȚįȚȐ ĲȠȣ
131
140
, ȐȡĮ ĲȠȣ ȑȝİȚȞĮȞ ȞĮ
įȫıİȚ ĲĮ
140 131 9
- =
140 140 140
. ȍȢ İț ĲȠȪĲȠȣ ĲĮ 18 ʌȡȩȕĮĲĮ ĮȞĲȚıĲȠȚȤȠȪȞ ıĲĮ
9
140
. ȂʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ
ȕȡȠȪȝİ ĲȠȞ ıȣȞȠȜȚțȩ ĮȡȚșȝȩ ʌȡȠȕȐĲȦȞ ȝİ ĮȞĮȖȦȖȒ ıĲȘ ȝȠȞȐįĮ, įȘȜĮįȒ 18:9=2, ȐȡĮ ĲȠ
1
140
ĮȞĲȚıĲȠȚȤİȓ ıİ 2 ʌȡȩȕĮĲĮ, ıȣȞİʌȫȢ ĲĮ
140
=1
140
ĮȞĲȚıĲȠȚȤİȓ ıİ 2 140=280
˜ ʌȡȩȕĮĲĮ.

ĬȑȝĮ 4: ȈĲȠȞ ʌĮȡĮțȐĲȦ ʌȓȞĮțĮ ĳĮȓȞİĲĮȚ ĲȠ ȪȥȠȢ ĲȘȢ ıĲȐșȝȘȢ ĲȠȣ ȞİȡȠȪ ıİ ȝȓĮ
țȣȜȚȞįȡȚțȒ įİȟĮȝİȞȒ ʌȠȣ ȖİȝȓȗİȚ Įʌȩ ȝȓĮ ȕȡȪıȘ ȝİ ıĲĮșİȡȒ ȡȠȒ ȞİȡȠȪ.
Ȉİ ĲȚ ȪȥȠȢ ĮȞĮȝȑȞİĲĮȚ ȞĮ ȕȡȓıțİĲĮȚ ĲȠ Ȟİȡȩ ıĲȚȢ 10.10ǯʌ.ȝ;
ǹʌȐȞĲȘıȘ: ȆĮȡĮĲȘȡȠȪȝİ ȩĲȚ Ș ıĲȐșȝȘ ĲȠȣ ȞİȡȠȪ ĮȞİȕĮȓȞİȚ 3cm țȐșİ 20’. ǱȡĮ:
¾ ȈĲȚȢ 9:20 Ș ıĲȐșȝȘ șĮ ĮȞȑȕİȚ ıĲĮ 32+3=35cm.
¾ ȈĲȚȢ 10:10 Ș ıĲȐșȝȘ șĮ ĮȞȑȕİȚ ıĲĮ 41+1,5=42,5cm
ĬȑȝĮ 5: ǲȞĮ ĮȣĲȠțȓȞȘĲȠ ĲȡȑȤİȚ ȝİ ıĲĮșİȡȒ ĲĮȤȪĲȘĲĮ țĮȚ ıİ 7 ȜİʌĲȐ įȚȐȞȣıİ ĮʌȩıĲĮıȘ 10
km. ǹȞ ıȣȞİȤȓıİȚ ȝİ ĲȘȞ ȓįȚĮ ĲĮȤȪĲȘĲĮ ĲȚ įȚȐıĲȘȝĮ șĮ įȚĮȞȪıİȚ ıİ 1 ȫȡĮ;
ǹ) 60km Ǻ) 100 km ī) 70 km ǻ) 85,7km Ǽ) 85,3km
ǹʌȐȞĲȘıȘ: ǹȢ ʌĮȡĮĲȘȡȒıȠȣȝİ ĲȚȢ ĮʌĮȞĲȒıİȚȢ țĮȚ ĮȢ İȡȖĮıĲȠȪȝİ ʌȡȠıİȖȖȚıĲȚțȐ. ǿıȤȪİȚ
60=8×7+4, įȘȜĮįȒ ĲȠ ĮȣĲȠțȓȞȘĲȠ șĮ įȚĮȞȪıİȚ ȜȓȖȠ ʌİȡȚııȩĲİȡĮ Įʌȩ ĲĮ 8×10km=80km. ǹȢ
țȐȞȠȣȝİ ĲȫȡĮ ȝȓĮ țĮȜȪĲİȡȘ ʌȡȠıȑȖȖȚıȘ. ǹʌȩ ĲȘ ıȤȑıȘ 60=8×7+4 ȕȜȑʌȠȣȝİ ȩĲȚ ĲȠ ȣʌȩȜȠȚʌȠ 4
İȓȞĮȚ ʌİȡȚııȩĲİȡȠ Įʌȩ ĲȠ ȝȚıȩ ĲȠȣ 7 įȘȜĮįȒ Įʌȩ ĲȠ 3,5 ȐȡĮ șĮ įȚĮȞȪıİȚ İʌȚʌȜȑȠȞ țĮȚ ȜȓȖȠ
ʌİȡȚııȩĲİȡȠ Įʌȩ ĲĮ ȝȚıȐ ĲȠȣ 10km, įȘȜĮįȒ Įʌȩ ĲĮ 5km. ǹʌȩ ĲĮ ʌĮȡĮʌȐȞȦ İȓȞĮȚ ĳĮȞİȡȩ ȩĲȚ
ĲĮȚȡȚȐȗİȚ Ș ĮʌȐȞĲȘıȘ 85,7km.
ĬȑȝĮ 6: Ȉİ ȑȞĮ ȖȡĮĳİȓȠ İȡȖȐȗİĲĮȚ ȓįȚȠȢ ĮȡȚșȝȩȢ ȖȣȞĮȚțȫȞ țĮȚ ĮȞįȡȫȞ. ǵıȠȚ ȐȞįȡİȢ țĮȚ
ȖȣȞĮȓțİȢ ȑȤȠȣȞ ʌĮȚįȚȐ İȓȞĮȚ ʌĮȞĲȡİȝȑȞȠȚ. ǹʌȩ ĲȚȢ ȖȣȞĮȓțİȢ ȠȚ ȝȚıȑȢ İȓȞĮȚ ʌĮȞĲȡİȝȑȞİȢ İȞȫ
Įʌȩ ĲȚȢ ʌĮȞĲȡİȝȑȞİȢ ȖȣȞĮȓțİȢ ĲȠ
2
3
ȑȤȠȣȞ ʌĮȚįȚȐ. ǹʌȩ ĲȠȣȢ ȐȞįȡİȢ ĲĮ
2
3
İȓȞĮȚ ʌĮȞĲȡİȝȑȞȠȚ
İȞȫ ȠȚ ȝȚıȠȓ ĲȦȞ ʌĮȞĲȡİȝȑȞȦȞ ĮȞįȡȫȞ ȑȤȠȣȞ ʌĮȚįȚȐ. ȉȚ ȝȑȡȠȢ ĲȦȞ İȡȖĮȗȩȝİȞȦȞ ıĲȠ
ȖȡĮĳİȓȠ įİȞ ȑȤİȚ ʌĮȚįȚȐ;
ǹʌȐȞĲȘıȘ: ȂĮȢ ȗȘĲİȓĲĮȚ ȞĮ ȣʌȠȜȠȖȓıȠȣȝİ ĲȚ ȝȑȡȠȢ ĲȦȞ İȡȖĮȗȠȝȑȞȦȞ įİȞ ȑȤİȚ ʌĮȚįȚȐ,
ʌĮȡĮĲȘȡȠȪȝİ ȩȝȦȢ ȩĲȚ ȝʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ ȣʌȠȜȠȖȓıȠȣȝİ ĲȠ ȝȑȡȠȢ ĲȦȞ ȖȣȞĮȚțȫȞ țĮȚ ĲȠ ȝȑȡȠȢ ĲȦȞ
ĮȞįȡȫȞ ʌȠȣ ȑȤİȚ ʌĮȚįȚȐ. ȆȚȠ ıȣȖțİțȡȚȝȑȞĮ ĲȠ ȝȑȡȠȢ ĲȦȞ ȖȣȞĮȚțȫȞ ʌȠȣ ȑȤȠȣȞ ʌĮȚįȚȐ İȓȞĮȚ
1 2 2 1
= =
2 3 6 3
˜ İȞȫ ĲȠ ȝȑȡȠȢ ĲȦȞ ĮȞįȡȫȞ ʌȠȣ ȑȤȠȣȞ ʌĮȚįȚȐ İȓȞĮȚ
2 1 2 1
= =
3 2 6 3
˜ . ǻȘȜĮįȒ ĲȠ
1
3
ĲȦȞ ĮȞįȡȫȞ țĮȚ ĲȠ
1
3
ĲȦȞ ȖȣȞĮȚțȫȞ ȑȤȠȣȞ ʌĮȚįȚȐ. ǼʌİȚįȒ Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ ĲȦȞ ĮȞįȡȫȞ țĮȚ ĲȦȞ
ȖȣȞĮȚțȫȞ İȓȞĮȚ ȓįȚȠȢ, ȝʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ ıȣȝʌİȡȐȞȠȣȝİ ȩĲȚ ĲȠ
1
3
ĲȠȣ ıȣȞȩȜȠȣ ĲȦȞ İȡȖĮȗȠȝȑȞȦȞ ȑȤİȚ
ʌĮȚįȚȐ. ȍȢ İț ĲȠȪĲȠȣ ȖȚĮ ȞĮ ȣʌȠȜȠȖȓıȠȣȝİ ĲȠ ȝȑȡȠȢ ĲȦȞ İȡȖĮȗȠȝȑȞȦȞ ʌȠȣ įİȞ ȑȤȠȣȞ ʌĮȚįȚȐ șĮ
ʌȡȑʌİȚ ȞĮ ĮĳĮȚȡȑıȠȣȝİ Įʌȩ ĲȘ ȝȠȞȐįĮ ĲȠ ȝȑȡȠȢ İțİȓȞȦȞ ʌȠȣ ȑȤİȚ, įȘȜĮįȒ
1 3 1 2
1- = - =
3 3 3 3
.
ȋȇȅȃȅȈ ȊȌȅȈ
8 ʌ.ȝ 23cm
8.20ǯʌ.ȝ 26cm
8.40ǯʌ.ȝ 29cm
9 ʌ.ȝ 32cm

œ ÎÅÆºÌȯÈÎ
¦ºÁÀÅºÍÂÃȘ ÂÃºÆȿÍÀÍº ¾ÉȯÄÎÌÀË ÉÊÈ»ÄȘÅºÍÈË
ªÊÈ»ÄȘÅºÍº ÍÈÎ ½Âº¼ÒÆÂÌÅÈɉ ÅºÁÀÅºÍÂÃəÆ ÂÃºÆÈÍȘÍÒÆ ÍÀË
Ÿ¦Ÿ ÉÈÎ ÄɉÆÈÆÍºÂ Å¾ ¾ÇȯÌÒÌÀ
ª®¢›©«›¬
========================================================== Ȉ. ĭİȡİȞĲȓȞȠȢ țĮȚ ǻ. ȆĮʌĮȧȦȐȞȞȠȣ
ĬȑȝĮ 1: ȅȚ İȣșİȓİȢ İ1 țĮȚ İ2 ĲȑȝȞȠȞĲĮȚ İȞȫ Ș İ3 İȓȞĮȚ țȐșİĲȘ ıĲȘȞ İ2.
ȆȩıİȢ ȝȠȓȡİȢ İȓȞĮȚ Ș ȖȦȞȓĮ ĳ;
ǹʌȐȞĲȘıȘ: ǹʌȩ ĲȠ ıȤȒȝĮ ʌĮȡĮĲȘȡȠȪȝİ ȩĲȚ, Ș ȠȡșȒ ȖȦȞȓĮ ʌȠȣ ıȤȘȝĮĲȓȗİĲĮȚ ȝİĲĮȟȪ ĲȦȞ 2
H țĮȚ
3
H ȝİ ĲȘ ȖȦȞȓĮ ĳ, İȓȞĮȚ ʌĮȡĮʌȜȘȡȦȝĮĲȚțȑȢ ȝİ ĲȘ ȖȦȞȓĮ ʌȠȣ İȓȞĮȚ 180R
. ǵʌȦȢ ȖȞȦȡȓȗȠȣȝİ, ȠȚ
țĮĲĮțȠȡȣĳȒȞ ȖȦȞȓİȢ İȓȞĮȚ ȓıİȢ. ȈȣȞİʌȫȢ, șĮ ȚıȤȪİȚ ȩĲȚ Ƞ Ƞ
ĳ 90 =140
, ȝİ Ƞ Ƞ
ĳ=140 -90 , įȘȜĮįȒ
ĳ=1500
.
ĬȑȝĮ 2: ȅ țĮșȘȖȘĲȒȢ ĲȦȞ ȂĮșȘȝĮĲȚțȫȞ țĮĲĮıțİȪĮıİ ıĲȠȞ ʌȓȞĮțĮ
ĲȠ įȚʌȜĮȞȩ ıȤȒȝĮ ȝİ ĲĮ įȪȠ ȠȡșȠȖȫȞȚĮ ĲȡȓȖȦȞĮ ǹǺī țĮȚ Ǻǻī țĮȚ
ȗȒĲȘıİ Įʌȩ ĲȠȣȢ ȝĮșȘĲȑȢ ȞĮ ıȣȗȘĲȒıȠȣȞ ȖȚĮ ĲȠ ĮȞ țĮȚ ĲȠ ʌȦȢ
ȝʌȠȡȠȪȞ ȞĮ ȣʌȠȜȠȖȓıȠȣȞ ĲȘȞ ĲȚȝȒ ĲȠȣ ʌȡĮȖȝĮĲȚțȠȪ ĮȡȚșȝȠȪ x.
x ȅ ǺĮıȓȜȘȢ ĮʌȐȞĲȘıİ ĮȝȑıȦȢ x=4
x H ǲȜİȞĮ İȓʌİ ȩĲȚ ʌȡȑʌİȚ ȠʌȦıįȒʌȠĲİ ȞĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİȚ ĲȘȞ Ǻī.
x ȅ ȆȑĲȡȠȢ İȓʌİ ȩĲȚ ʌȡȑʌİȚ ĲȠ x ȞĮ İȓȞĮȚ ȐȡȡȘĲȠȢ ĮȡȚșȝȩȢ.
x Ǿ ȈĮȝȐȞșĮ İȓʌİ ȩĲȚ İȓȞĮȚ ĮįȪȞĮĲȠȞ ȞĮ ȣʌȐȡȤȠȣȞ ĲȑĲȠȚĮ ĲȡȓȖȦȞĮ
x ȅ ǲțĲȠȡĮȢ ĮʌȐȞĲȘıİ ȩĲȚ șĮ ʌȡȑʌİȚ ʌȡȫĲĮ ȞĮ ȣʌȠȜȠȖȓıİȚ ĲȚȢ
ȖȦȞȓİȢ ĲȦȞ ĲȡȚȖȫȞȦȞ.
ȆȠȚȠȢ ȝĮșȘĲȒȢ Ȓ ȝĮșȒĲȡȚĮ įȚĮĲȪʌȦıİ ĲȘȞ ʌȚȠ ıȦıĲȒ ȐʌȠȥȘ;
ǹʌȐȞĲȘıȘ: ǹȡȤȚțȐ, ʌĮȡĮĲȘȡȠȪȝİ ȩĲȚ ĲĮ įȪȠ ĲȡȓȖȦȞĮ İȓȞĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚĮ ȝİ țȠȚȞȒ ȣʌȠĲİȓȞȠȣıĮ.
īȚǯĮȣĲȩ șĮ İĳĮȡȝȩıȠȣȝİ ĲȠ ȆȣșĮȖȩȡİȚȠ șİȫȡȘȝĮ țĮȚ ȖȚĮ ĲĮ įȪȠ ĲȡȓȖȦȞĮ ȝİ țȠȚȞȒ ȣʌȠĲİȓȞȠȣıĮ
ĲȘȞ ʌȜİȣȡȐ Ǻī.
ǻȘȜĮįȒ șĮ ȚıȤȪİȚ ȩĲȚ 2 2 2 2
x +(x+3) =(x+1) +(x+2) , ȐȡĮ x2
+ (x+3)·(x+3) = (x+1)·(x+1) =
(x+2)·(x+2) ȠʌȩĲİ 2 2
2x +6x+9=2x +6x+5.
ǹʌȩ ĲȘȞ ĲİȜİȣĲĮȓĮ ȚıȩĲȘĲĮ ʌȡȠțȪʌĲİȚ ȩĲȚ įİȞ ȣʌȐȡȤİȚ ʌȡĮȖȝĮĲȚțȒ ĲȚȝȒ ĲȠȣ x ȑĲıȚ ȫıĲİ ȞĮ İȓȞĮȚ
ĮȜȘșȒȢ.
ĬȑȝĮ 3: ǲȞĮ ĮȣĲȠțȓȞȘĲȠ ĲȡȑȤİȚ ȝİ ıĲĮșİȡȒ ĲĮȤȪĲȘĲĮ țĮȚ ıİ 2 ȜİʌĲȐ įȚȐȞȣıİ ĮʌȩıĲĮıȘ 3
km. ǹȞ ıȣȞİȤȓıİȚ ȝİ ĲȘȞ ȓįȚĮ ĲĮȤȪĲȘĲĮ ĲȚ įȚȐıĲȘȝĮ șĮ įȚĮȞȪıİȚ ıİ 1 ȫȡĮ;
ǹʌȐȞĲȘıȘ: īȞȦȡȓȗȠȣȝİ ȩĲȚ ĲȠ ĮȣĲȠțȓȞȘĲȠ ĲȡȑȤİȚ ȝİ ıĲĮșİȡȒ ĲĮȤȪĲȘĲĮ țĮȚ ȩĲȚ ıİ 2 ȜİʌĲȐ
įȚȐȞȣıİ ĮʌȩıĲĮıȘ 3 km. ĬȑȜȠȣȝİ ȞĮ ȕȡȠȪȝİ, ʌȩıȘ ĮʌȩıĲĮıȘ șĮ įȚĮȞȪıİȚ ıİ 1 ȫȡĮ įȘȜĮįȒ ıİ
60 ȜİʌĲȐ. ǱȡĮ ȑȤȠȣȝİ ȩĲȚ
2 3
=
60 x
, įȘȜĮįȒ 2x = 180 ȐȡĮ x = 90km.

ĬȑȝĮ 4: ǼȐȞ ĮȞĮțĮĲȑȥȠȣȝİ 5 țȚȜȐ țȩțțȚȞȠ ȤȡȫȝĮ țĮȚ 9 țȚȜȐ țȓĲȡȚȞȠ, ȝİ ıĲȩȤȠ ȞĮ
ȕȐȥȠȣȝİ ȑȞĮ įȦȝȐĲȚȠ, ʌĮȓȡȞȠȣȝİ ȝȚĮ ıȣȖțİțȡȚȝȑȞȘ ĮʌȩȤȡȦıȘ ĲȠȣ ʌȠȡĲȠțĮȜȓ ȤȡȫȝĮĲȠȢ.
Ȃİ ʌȩıĮ țȚȜȐ țȓĲȡȚȞȠ șĮ ĮȞĮțĮĲȑȥȠȣȝİ 8 țȚȜȐ țȩțțȚȞȠ ȤȡȫȝĮ ȖȚĮ ȞĮ ʌȐȡȠȣȝİ ĲȘȞ ȓįȚĮ
ĮʌȩȤȡȦıȘ ĲȠȣ ʌȠȡĲȠțĮȜȓ ȤȡȫȝĮĲȠȢ;
ǹʌȐȞĲȘıȘ: īȞȦȡȓȗȠȣȝİ ȩĲȚ ȖȚĮ ȞĮ ʌȐȡȠȣȝİ ĲȘ ıȣȖțİțȡȚȝȑȞȘ ĮʌȩȤȡȦıȘ ĲȠȣ ʌȠȡĲȠțĮȜȓ
ȤȡȫȝĮĲȠȢ ʌȡȑʌİȚ ȞĮ ĮȞĮțĮĲȑȥȠȣȝİ 5 țȚȜȐ țȩțțȚȞȠ ȤȡȫȝĮ țĮȚ 9 țȚȜȐ țȓĲȡȚȞȠ ȤȡȫȝĮ, įȘȜĮįȒ șĮ
ʌȡȑʌİȚ ȞĮ ȣʌȐȡȤİȚ ıȣȖțİțȡȚȝȑȞȘ ĮȞĮȜȠȖȓĮ țȩțțȚȞȠȣ țĮȚ țȓĲȡȚȞȠȣ ȤȡȫȝĮĲȠȢ. ǱȡĮ, ĮȞ ȑȤȠȣȝİ 8
țȚȜȐ țȩțțȚȞȠȣ ȤȡȫȝĮĲȠȢ șĮ ʌȡȑʌİȚ ȞĮ ȣʌȠȜȠȖȓıȠȣȝİ ĲĮ țȚȜȐ ĲȠȣ țȓĲȡȚȞȠȣ ȤȡȫȝĮĲȠȢ
ȤȡȘıȚȝȠʌȠȚȫȞĲĮȢ ĮȞȐȜȠȖĮ ʌȠıȐ. ǻȘȜĮįȒ
9 x
=
5 8
, ȐȡĮ 5x = 72, įȘȜĮįȒ
72
x= =14,4
5
.
ĬȑȝĮ 5: Ȃİ ȕȐıȘ ĲȚȢ ȝİĲȡȒıİȚȢ ĲȠȣ ĮȞȘĳȠȡȚțȠȪ įȡȩȝȠȣ, ĲȘȞ ʌȚȞĮțȓįĮ ĲȘȢ țȜȓıȘȢ ĲȠȣ
įȡȩȝȠȣ țĮȚ ĲȠȞ ĲȡȚȖȦȞȠȝİĲȡȚțȩ ʌȓȞĮțĮ ĲȚ Įʌȩ ĲĮ ʌĮȡĮțȐĲȦ ȚıȤȪİȚ;
ǹ) įİȞ ȣʌȐȡȤİȚ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ȝİ ĮȣĲȑȢ ĲȚȢ ȝİĲȡȒıİȚȢ
Ǻ) ȝİ ȕȐıȘ ĲȘȢ ȖȦȞȓĮ ʌȠȣ ıȤȘȝĮĲȓȗİȚ Ƞ įȡȩȝȠȢ ȝİ ĲȠ ȠȡȚȗȩȞĲȚȠ İʌȓʌİįȠ İȓȞĮȚ ȜȐșȠȢ Ș țȜȓıȘ
14%
ī) șĮ ȑʌȡİʌİ Ƞ ʌȓȞĮțĮȢ ȞĮ ʌİȡȚȑȤİȚ ĲȠ ıȣȞȘȝȓĲȠȞȠ țĮȚ ȩȤȚ ĲȘȞ İĳĮʌĲȠȝȑȞȘ.
ǻ) Įʌȩ ĲȠȞ ʌȓȞĮțĮ ʌȡȠțȪʌĲİȚ ȩĲȚ ȩıȠ ĮȞȑȡȤİĲĮȚ ĲȠ ĮȣĲȠțȓȞȘĲȠ ĲȩıȠ ĮȣȟȐȞİĲĮȚ țĮȚ Ș țȜȓıȘ
ĲȠȣ įȡȩȝȠȣ.
Ǽ) ȩȜĮ ĲĮ ʌȡȠȘȖȠȪȝİȞĮ ȚıȤȪȠȣȞ.
ǹʌȐȞĲȘıȘ: ȆȡȑʌİȚ ȞĮ İȜȑȖȟȠȣȝİ ĮȞ Ș ʌȚȞĮțȓįĮ ʌȠȣ ȣʌȠįİȚțȞȪİȚ ȩĲȚ Ș țȜȓıȘ İȓȞĮȚ ȓıȘ ȝİ 14%
ĮȜȘșİȪİȚ. īȚĮ ȞĮ ĲȠ țȐȞȠȣȝİ ĮȣĲȩ șĮ ʌȡȑʌİȚ ȞĮ ȣʌȠȜȠȖȚıșİȓ Ș ʌȡȠıțİȓȝİȞȘ ʌȜİȣȡȐ ĲȘȢ
įİįȠȝȑȞȘȢ ȖȦȞȓĮȢ ĲȦȞ 80
. ǹʌȩ ĲȠȞ ĲȡȚȖȦȞȠȝİĲȡȚțȩ ʌȓȞĮțĮ ʌȠȣ ȝĮȢ įȓȞİĲĮȚ ʌĮȡĮĲȘȡȠȪȝİ ȩĲȚ Ș
İĳĮʌĲȠȝȑȞȘ ĲȦȞ 80
İȓȞĮȚ ȓıȘ ȝİ 0,14 ȝİ ʌȡȠıȑȖȖȚıȘ įİțȐĲȠȣ, įȘȜĮįȒ ȚıȤȪİȚ ȩĲȚ
0 14
İĳ8 =0,14=
100
. ǼʌȓıȘȢ İȓȞĮȚ ȖȞȦıĲȩ ȩĲȚ Ș İĳĮʌĲȠȝȑȞȘ ĲȘȢ ȠȟİȓĮȢ ȖȦȞȓĮȢ ĲȦȞ 80
İȓȞĮȚ ȓıȘ ȝİ
ĲȠȞ ȜȩȖȠ, 0 ĮʌȑȞĮȞĲȚ țȐșİĲȘ ʌȜİȣȡȐ 5
İĳ8 = =
ʌȡȠıțİȓȝİȞȘ țȐșİĲȘ ʌȜİȣȡĮ x
, įȘȜĮįȒ
14 5
=
100 x
, ȐȡĮ
500
x= m
14
. ǻȘȜĮįȒ
ȖȚĮ ȞĮ İȓȞĮȚ Ș țȜȓıȘ ȓıȘ ȝİ 14% șĮ ʌȡȑʌİȚ Ș ʌȡȠıțİȓȝİȞȘ ʌȜİȣȡȐ ĲȘȢ ȖȦȞȓĮȢ ĲȦȞ 80
ȞĮ İȓȞĮȚ ȓıȘ
ȝİ
500
=35,71m
14
ȝİ ʌȡȠıȑȖȖȚıȘ įİțȐĲȠȣ.
ǵȝȦȢ ĮĳȠȪ ĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ İȓȞĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ȝİ ȣʌȠĲİȓȞȠȣıĮ ĲȘȞ ʌȜİȣȡȐ ʌȠȣ İȓȞĮȚ 13m șĮ ʌȡȑʌİȚ ȞĮ
İʌĮȜȘșİȪİĲĮȚ țĮȚ ĲȠ ʌȣșĮȖȩȡİȚȠ șİȫȡȘȝĮ, įȘȜĮįȒ șĮ ʌȡȑʌİȚ 2 2 2
5 +x =13 , ȝİ
2 2 2
x =13 -5 =169-25=144 țĮȚ 2
x = 144 , ıȣȞİʌȫȢ =12m.
ǵȝȦȢ ȕȜȑʌȠȣȝİ ȩĲȚ
500
12m m!
14
z

ĬȑȝĮ 6: ȉȡİȚȢ ĳȓȜȠȚ ĮȖȩȡĮıĮȞ ȝĮȗȓ ȑȞĮȞ ȜĮȤȞȩ ıİ ȝȓĮ ıȣȖțȑȞĲȡȦıȘ țĮȚ țȑȡįȚıĮȞ ȝȓĮ
ĲȘȜİȩȡĮıȘ țĮȚ ȑȞĮ ıĲİȡİȠĳȦȞȚțȩ.
ȈȣȝĳȫȞȘıĮȞ ȞĮ țȡĮĲȒıȠȣȞ Ƞ ʌȡȫĲȠȢ ĲȘȞ ĲȘȜİȩȡĮıȘ, Ƞ
įİȪĲİȡȠȢ ĲȠ ıĲİȡİȠĳȦȞȚțȩ țĮȚ ıĲȠȞ ĲȡȓĲȠ ȞĮ įȫıȠȣȞ
ȤȡȒȝĮĲĮ ȫıĲİ ĲİȜȚțȐ ȞĮ țĮȚ ȠȚ ĲȡİȚȢ ȞĮ ȑȤȠȣȞ ȦĳİȜȘșİȓ İȟ
ȓıȠȣ Įʌȩ ĲȠȞ ȜĮȤȞȩ. ȅ ʌȡȫĲȠȢ ȑįȦıİ ıĲȠȞ ĲȡȓĲȠ 180€ İȞȫ
Ƞ įİȪĲİȡȠȢ ȑįȦıİ ıĲȠȞ ʌȡȫĲȠ 20€ țĮȚ ıĲȠȞ ĲȡȓĲȠ 100€.
ȆȠȚĮ İȓȞĮȚ Ș ĮȟȓĮ ĲȘȢ ĲȘȜİȩȡĮıȘȢ;
ǹʌȐȞĲȘıȘ: ȆĮȡĮĲȘȡȠȪȝİ ȩĲȚ ĲȠ ıȣȞȠȜȚțȩ ʌȠıȩ ʌȠȣ ʌȒȡİ Ƞ ĲȡȓĲȠȢ ĳȓȜȠȢ ȒĲĮȞ 280€. AȞ x Ș
ĮȟȓĮ ĲȘȢ ĲȘȜİȩȡĮıȘȢ ĲȩĲİ ĲȠ ʌȠıȩ ʌȠȣ İȚıȑʌȡĮȟİ Ƞ ʌȡȫĲȠȢ șĮ İȓȞĮȚ: x+ 20€ - 180€.
ȀĮșȫȢ ĲĮ įȪȠ ĮȣĲȐ ʌȠıȐ șĮ ʌȡȑʌİȚ ȞĮ İȓȞĮȚ ȓıĮ ȑȤȠȣȝİ: x+ 20€ - 180€=100€ + 180€ ȐȡĮ
x=440€
ĬȑȝĮ 7: ǲȞĮ ʌȡȠȧȩȞ ȝİ ĮȡȤȚțȒ ĲȚȝȒ ǹ ĮȣȟȒșȘțİ țĮĲȐ 10%, ȝİĲȐ ȝİȚȫșȘțİ țĮĲȐ 10% țĮȚ
Ș ĲİȜȚțȒ ĲȚȝȒ ĲȠȣ ȑȖȚȞİ ȉ.
Į) ȆȠȚĮ İȓȞĮȚ Ș ʌȠıȠıĲȚĮȓĮ ȝİĲĮȕȠȜȒ ĲȠȣ ʌȠıȠȪ ǹ;
ȕ) ǹȞ ʌȡȠȘȖȘșİȓ Ș İȜȐĲĲȦıȘ țĮĲȐ 10% țĮȚ ȝİĲȐ ȖȓȞİȚ Ș ĮȪȟȘıȘ 10% ʌȠȚĮ șĮ İȓȞĮȚ ĲȩĲİ Ș
ʌȠıȠıĲȚĮȓĮ ȝİĲĮȕȠȜȒ ĲȠȣ ʌȠıȠȪ ǹ;
ǹʌȐȞĲȘıȘ: ȈĲȠ ʌĮȡĮʌȐȞȦ șȑȝĮ ȝĮȢ ȗȘĲİȓĲĮȚ ȞĮ ȣʌȠȜȠȖȓıȠȣȝİ ĲȘȞ ʌȠıȠıĲȚĮȓĮ ȝİĲĮȕȠȜȒ ĲȘȢ
ĮȡȤȚțȒȢ ĲȚȝȒȢ ǹ İȞȩȢ ʌȡȠȧȩȞĲȠȢ ȑʌİȚĲĮ Įʌȩ țȐʌȠȚİȢ ʌȠıȠıĲȚĮȓİȢ ĮȣȟȠȝİȚȫıİȚȢ.
īȚĮ ĲȠȣȢ ȣʌȠȜȠȖȚıȝȠȪȢ ȝĮȢ ıĲȘ ıȣȞȑȤİȚĮ șĮ șİȦȡȒıȠȣȝİ ĲȘȞ ĮȡȤȚțȒ ĲȚȝȒ ǹ ĲȠȣ ʌȡȠȧȩȞĲȠȢ ȦȢ x.
Į) ǹȡȤȚțȐ, șĮ ȣʌȠȜȠȖȓıȠȣȝİ ĲȘȞ ĲȚȝȒ ʌȠȣ șĮ ȑȤİȚ ĲȠ ʌȡȠȧȩȞ ȝİ ĮȡȤȚțȒ ĲȚȝȒ x, ĮȝȑıȦȢ ȝİĲȐ ĲȘȞ
ĮȪȟȘıȘ țĮĲȐ 10%. H ĲȚȝȒ ĮȣĲȒ İȓȞĮȚ
10
x+ x
100
˜ , įȘȜĮįȒ 1,1·x.
ǲʌİȚĲĮ, ȖȓȞİĲĮȚ ȝİȓȦıȘ ĲȘȢ ĲȚȝȒȢ ĲȠȣ ʌȡȠȧȩȞĲȠȢ țĮĲȐ 10%.
ȈȣȞİʌȫȢ Ș ĲİȜȚțȒ ĲȚȝȒ ȉ ĲȠȣ ʌȡȠȧȩȞĲȠȢ șĮ İȓȞĮȚ,
10
ȉ=1,1 x- 1,1 x
100
˜ ˜ ˜ ȐȡĮ
99
ȉ=0,99 x= x
100
˜ ˜ .
ǼȓȞĮȚ ʌȡȠĳĮȞȑȢ ȩĲȚ Ș ʌȠıȠıĲȚĮȓĮ ȝİĲĮȕȠȜȒ ĲȘȢ ȐȡĮ ĮȡȤȚțȒȢ ĲȚȝȒȢ ǹ ĲȠȣ ʌȡȠȧȩȞĲȠȢ İȓȞĮȚ
ȝİȚȦȝȑȞȘ țĮĲȐ 1%.
ȕ) ȈĲȘ ıȣȞȑȤİȚĮ, țĮȜȠȪȝĮıĲİ ȞĮ ȣʌȠȜȠȖȓıȠȣȝİ ʌȐȜȚ ĲȘȞ ʌȠıȠıĲȚĮȓĮ ȝİĲĮȕȠȜȒ ĲȘȢ ĮȡȤȚțȒȢ
ĲȚȝȒȢ x ĲȠȣ ʌȡȠȧȩȞĲȠȢ , ȝİ ĲȘ įȚĮĳȠȡȐ ȩȝȦȢ ȩĲȚ șĮ ʌȡȠȘȖȘșİȓ Ș İȜȐĲĲȦıȘ țĮĲȐ 10% țĮȚ ȑʌİȚĲĮ
șĮ ȖȓȞİȚ Ș ĮȪȟȘıȘ țĮĲȐ 10%.
ǹȢ ȟİțȚȞȒıȠȣȝİ ʌȡȫĲĮ ȝİ ĲȠȞ ȣʌȠȜȠȖȚıȝȩ ĲȘȢ ȝİȓȦıȘȢ. ĬĮ ȑȤȠȣȝİ ȩĲȚ ĲȠ ʌȠıȩ x ȝİĲȐ ĲȘȞ
ȝİȓȦıȘ șĮ ȖȓȞİȚ
10
x- x
100
˜ , įȘȜĮįȒ 0,9·x.
ǲʌİȚĲĮ, ȖȚĮ ĲȘȞ İȪȡİıȘ ĲȘȢ ĲİȜȚțȒȢ ĲȚȝȒȢ ȉ ĲȠȣ ʌȡȠȧȩȞĲȠȢ șĮ ȚıȤȪİȚ ȩĲȚ,
10
ȉ=0,9 x+ 0,9 x
100
˜ ˜ ˜
ȐȡĮ ȉ=0,9·x+0,09·x = 0,99x.
ȈȣȞİʌȫȢ țĮȚ ıİ ĮȣĲȒȞ ĲȘȞ ʌİȡȓʌĲȦıȘ Ș ʌȠıȠıĲȚĮȓĮ ȝİĲĮȕȠȜȒ ĲȘȢ ĮȡȤȚțȒȢ ĲȚȝȒȢ ĲȠȣ ʌȡȠȧȩȞĲȠȢ x
ʌĮȡĮĲȘȡȠȪȝİ ȩĲȚ ȝİȚȫșȘțİ țĮĲȐ 1%.

œ
œ
Î
ÎÅ
ÅÆ
Æº
ºÌ
Ìȯ
ȯÈ
ÈÎ
Î
ª
ªÊ
ÊÈ
ÈÐ
ÐÒ
ÒÊ
ÊÀ
ÀÅ
ÅȐ
ȐÆ
Æº
º Á
ÁȐ
ȐÅ
Åº
ºÍ
Íº
º ¼
¼Â
Âº
º ȿ
ȿÄ
ÄÈ
ÈÎ
ÎË
Ë.
.
============================================================== ǼʌȚȝȑȜİȚĮ ȈĲȑĳĮȞȠȢ ȀİǸıȠȖȜȠȣ
1) ǲȞĮ ʌȠıȩ ǹ ĮȣȟȒșȘțİ țĮĲȐ 25%, ıĲȘ ıȣȞȑȤİȚĮ ĮȣȟȒșȘțİ țĮȚ ʌȐȜȚ țĮĲȐ 25%, ȝİĲȐ ȝİȚȫșȘțİ
țĮĲȐ 25% țĮȚ ĲȑȜȠȢ ȝİȚȫșȘțİ țĮȚ ʌȐȜȚ țĮĲȐ 25%.
ȀĮĲȐ ĲȚ ʌȠıȠıĲȩ, țĮĲȐ ʌȡȠıȑȖȖȚıȘ, ȝİĲĮȕȜȒșȘțİ ĲİȜȚțȐ ĲȠ ʌȠıȩȞ ǹ;
2) Ȉİ ȑȞĮ ȕȚȕȜȚȠʌȦȜİȓȠ ȑȤȠȣȞ ĲȠʌȠșİĲȘșİȓ ıĲȠ ȓįȚȠ ȡȐĳȚ 31 ȕȚȕȜȓĮ ĲȠ ȑȞĮ įȓʌȜĮ ıĲȠ ȐȜȜȠ.
ȀȐșİ ȕȚȕȜȓȠ ȑȤİȚ ĮȟȓĮ 2€ ȝȚțȡȩĲİȡȘ Įʌȩ ĲȠ İʌȩȝİȞȠ ıĲȘ ıİȚȡȐ. Ǿ
ĮȟȓĮ ĲȠȣ ĲİȜİȣĲĮȓȠȣ ȕȚȕȜȓȠȣ İȓȞĮȚ ȓıȘ ȝİ ĲȘȞ ĮȟȓĮ ĲȠȣ ȝİıĮȓȠȣ țĮȚ
İȞȩȢ Įʌȩ ĲĮ įȪȠ įȚʌȜĮȞȐ ĲȠȣ. ȃĮ İȡİȣȞȒıİĲİ ĮȞ ĲȠ įȚʌȜĮȞȩ ȕȚȕȜȓȠ
ĲȠȣ ȝİıĮȓȠȣ İȓȞĮȚ ĲȠ ʌȡȠȘȖȠȪȝİȞȠ Ȓ ĲȠ İʌȩȝİȞȠ.
3) Ȉİ ȝȓĮ ĮȓșȠȣıĮ ȣʌȐȡȤȠȣȞ ȝİȡȚțȐ ȐĲȠȝĮ țĮȚ ȑȞĮ ȡȠȜȩȚ ıĲȠȞ ĲȠȓȤȠ.
4) ȉȡİȚȢ ĮșȜȘĲȑȢ, ȠȚ ǹ, Ǻ țĮȚ ī, ĲȡȑȤȠȣȞ ıİ ȑȞĮȞ ĮȖȫȞĮ įȡȩȝȠȣ. ǵĲĮȞ ĲİȡȝĮĲȓȗİȚ Ƞ ǹ, Ƞ Ǻ
ȕȡȓıțİĲĮȚ 20m ʌȓıȦ ĲȠȣ țĮȚ Ƞ ī ȕȡȓıțİĲĮȚ 28m ʌȓıȦ ĲȠȣ A. ǵĲĮȞ ĲİȡȝĮĲȓȗİȚ Ƞ Ǻ Ƞ ī ȕȡȓıțİĲĮȚ
10m ʌȓıȦ ĲȠȣ. ȆȠȚĮ ȒĲĮȞ Ș ĮʌȩıĲĮıȘ ĲȘȞ ȠʌȠȓĮ ȑĲȡİȟĮȞ ȠȚ 3 ĮșȜȘĲȑȢ;
5) ǲȞĮ ȠȡȞȚșȠĲȡȠĳİȓȠ įȚĮșȑĲİȚ 1.521 ĮȣȖȐ. ȉȠ ȠȡȞȚșȠĲȡȠĳİȓȠ įȚĮșȑĲİȚ ȑȞĮȞ ȠȡȚıȝȑȞȠ ĮȡȚșȝȩ
Įʌȩ șȒțİȢ ȠȚ ȠʌȠȓİȢ ȤȦȡȐȞİ ȩȜİȢ ĲȠȞ ȓįȚȠ ĮȡȚșȝȩ ĮȣȖȫȞ. ȋȡȘıȚȝȠʌȠȚȒșȘțİ ȑȞĮȢ ĮȡȚșȝȩȢ Įʌȩ
șȒțİȢ ʌȠȣ ȒĲĮȞ ȝİȖĮȜȪĲİȡȠȢ ĲȠȣ 200 ĮȜȜȐ ȝȚțȡȩĲİȡȠȢ ĲȠȣ 300 ȩȝȦȢ ʌİȡȓııİȥĮȞ 3 ĮȣȖȐ. ȆȩıİȢ
șȒțİȢ ȤȡȘıȚȝȠʌȠȚȒșȘțĮȞ țĮȚ ʌȩıĮ ĮȣȖȐ ȤȦȡȠȪıİ Ș țȐșİ ȝȓĮ;
Ƨ›ĴǈĸƾķĶǅǌ ǄĶĂƼĸǐǈ ĸĶǔǎǊǍǌ 117
1) ǲıĲȦ ȩĲȚ Ƞ țĮĲȘĳȠȡȚțȩȢ įȡȩȝȠȢ (ıİ ȤȚȜȚȩȝİĲȡĮ) ȑȤİȚ ȝȒțȠȢ Į, o ȠȡȚȗȩȞĲȚȠȢ ȑȤİȚ ȝȒțȠȢ ȕ țĮȚ Ȗ
Ƞ ĮȞȘĳȠȡȚțȩȢ.
ǿıȤȪİȚ
Į ȕ Ȗ
3
75 60 50
İȞȫ
Ȗ ȕ Į
3,5
75 60 50
țĮșȫȢ ıĲȘȞ İʌȚıĲȡȠĳȒ Ƞ ĮȞȘĳȠȡȚțȩȢ įȡȩȝȠȢ
ȖȓȞİĲĮȚ țĮĲȘĳȠȡȚțȩȢ țĮȚ ĮȞĲȚıĲȡȩĳȦȢ.
Ȃİ ʌȡȩıșİıȘ țĮĲȐ ȝȑȜȘ ʌĮȓȡȞȠȣȝİ
5Į 2ȕ 5Ȗ
6,5
150 60 150
Įʌȩ ȩʌȠȣ ʌȡȠțȪʌĲİȚ ȩĲȚ
Į ȕ Ȗ
6,5
30 30 30
țĮȚ ĲİȜȚțȐ Į+ȕ+Ȗ=30·6,5=195 (ȤȚȜȚȩȝİĲȡĮ)
2) Ȃİ ȕȐıȘ ĲȘȞ İțĳȫȞȘıȘ țĮȚ ĲȠ ıȤȒȝĮ ȑȤȠȣȝİ x+y+3x=180 (ıİ ȝȠȓȡİȢ) ȩʌȠȣ y İȓȞĮȚ Ș ĲȡȓĲȘ
ȖȦȞȓĮ ĲȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ. ȀĮșȫȢ ĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ İȓȞĮȚ ȠȟȣȖȫȞȚȠ șĮ ȑȤȠȣȝİ 0xy3x90.
ǲȞĮ ȐĲȠȝȠ ȕȖĮȓȞİȚ ȑȟȦ Įʌȩ ĲȘȞ ĮȓșȠȣıĮ ȩĲĮȞ ıĲȠ ȡȠȜȩȚ ȠȚ įȪȠ įİȓțĲİȢ
ıȤȘȝȐĲȚȗĮȞ ȖȦȞȓĮ 1250
ȜȓȖȠ ȝİĲȐ ĲȚȢ 6ȝ.ȝ. ǼȓȤİ ʌİȡȐıİȚ ʌȐȞȦ Įʌȩ ȝȚıȒ ȫȡĮ,
ĮȜȜȐ ȜȚȖȩĲİȡȠ Įʌȩ ȝȓĮ ȫȡĮ, țĮȚ ĲȠ ȓįȚȠ ȐĲȠȝȠ İʌȑıĲȡİȥİ ıĲȘȞ ĮȓșȠȣıĮ ȩĲĮȞ ȠȚ
įİȓțĲİȢ ĲȠȣ ȡȠȜȠȖȚȠȪ ıȤȘȝȐĲȚȗĮȞ ȖȦȞȓĮ 122,50
. ȆȩıȘ ȫȡĮ ȑȜİȚȥİ Įʌȩ ĲȘȞ
ĮȓșȠȣıĮ ĲȠ ıȣȖțİțȡȚȝȑȞȠ ȐĲȠȝȠ;

-------------------------------------------------------------------------------------------- ȆȡȠȤȦȡȘȝȑȞĮ șȑȝĮĲĮ ȖȚĮ ȩȜȠȣȢ ----------------------------------------------------------------------------------------
ǼʌİȚįȒ xy3x șĮ ȑȤȠȣȝİ 5xx+y+3x7x (İįȫ ȝİ ĲȠ ĲȑȤȞĮıȝĮ ĲȘȢ ʌȡȩıșİıȘȢ x+3x țĮȚ ıĲĮ
įȪȠ ȝȑȜȘ ʌȡȠıʌĮșȒıĮȝİ ȞĮ ĮȟȚȠʌȠȚȒıȠȣȝİ ĲȘ ıȤȑıȘ x+y+3x=180). ȉİȜȚțȐ ȚıȤȪİȚ 5x1807x
țĮȚ ȠȚ ȝȩȞȠȚ șİĲȚțȠȓ ĮțȑȡĮȚȠȚ ĮȡȚșȝȠȓ ʌȠȣ ȚțĮȞȠʌȠȚȠȪȞ ĲȘ ıȤȑıȘ ĮȣĲȒ İȓȞĮȚ ȠȚ 26, 27, 28 țĮȚ 29.
3) Ȃİ ȕȐıȘ ĲȘȞ İțĳȫȞȘıȘ ȚıȤȪİȚ: ĮȕȖį țĮȚ
1 1 1 1
+ + + =1
Į ȕ Ȗ į
. ȊʌȠȤȡİȦĲȚțȐ șĮ ʌȡȑʌİȚ ȞĮ
İȟİĲȐıȠȣȝİ ȩȜȠȣȢ ĲȠȣȢ ıȣȞįȣĮıȝȠȪȢ ȟİțȚȞȫȞĲĮȢ Įʌȩ ĲȚȢ ĲȚȝȑȢ Į=2 țĮȚ ȕ=3 (ȖȚĮĲȓ;)
ǲȤȠȣȝİ
1 1 1 1 1 1 1
+ + + =1 ȐȡĮ +
2 3 Ȗ į Ȗ į 6
ĮȣĲȩ ıȘȝĮȓȞİȚ ȩĲȚ Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ Ȗ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ʌȐȡİȚ ĲȚȝȑȢ
ȝİȖĮȜȪĲİȡİȢ İȓĲİ ȓıİȢ ȝİ 7. ȆȡȐȖȝĮĲȚ ĮȞ Ȗ=7 ĲȩĲİ
1 1 1 į+7 1
+ ȐȡĮ
7 į 6 7į 6
ȠʌȩĲİ į=42 țĮȚ Ș ʌȡȫĲȘ
ĲİĲȡȐįĮ ʌȠȣ ȕȡȒțĮȝİ İȓȞĮȚ Ș (2, 3, 7, 42). ȈțİʌĲȩȝĮıĲİ ȝİ ĲȠȞ ȓįȚȠ ĲȡȩʌȠ țĮȚ ȖȚĮ Ȗ=8
ʌȡȠțȪʌĲİȚ į=24, ȖȚĮ Ȗ=9 ʌȡȠțȪʌĲİȚ į=18 țĮȚ ȖȚĮ Ȗ=10 ĲȩĲİ į=15. ȈĲȘ ıȣȞȑȤİȚĮ įȠțȚȝȐȗȠȣȝİ ĲȘȞ
ʌİȡȓʌĲȦıȘ ȕ=4 Įʌȩ ȩʌȠȣ ʌȡȠțȪʌĲİȚ Ȗ=5 țĮȚ į=20 țĮȚ ĲȑȜȠȢ ȖȚĮ ȕ=4 ʌȡȠțȪʌĲİȚ Ȗ=6 țĮȚ į=12.
ȅȚ ıȣȞȠȜȚțȑȢ ĲİĲȡȐįİȢ İʌȠȝȑȞȦȢ İȓȞĮȚ ȠȚ (2, 3, 7, 42) - (2, 3, 8, 24) - (2, 3, 9, 18) - (2, 3, 10, 15) -
(2, 4, 5, 20) - (2, 4, 6, 12).
4) ȂȓĮ Įʌȩ ĲȚȢ ȝİșȩįȠȣȢ ȣʌȠȜȠȖȚıȝȠȪ İȝȕĮįȫȞ İȞȩȢ İʌȚʌȑįȠȣ ıȤȒȝĮĲȠȢ İȓȞĮȚ ȞĮ ĲȠ ȤȦȡȓıȠȣȝİ
ıİ ĲȝȒȝĮĲĮ. ǹȣĲȩ ȝĮȢ ȠįȘȖİȓ ıĲȘ ıțȑȥȘ ȞĮ İȞȫıȠȣȝİ ĲȠ ıȘȝİȓȠ Ȁ ȝİ ĲȚȢ țȠȡȣĳȑȢ ĲȠȣ
ȠȡșȠȖȦȞȓȠȣ ȠʌȩĲİ ĮȣĲȩ ȤȦȡȓȗİĲĮȚ ʌȜȑȠȞ ıİ 8 ĲȡȓȖȦȞĮ ĲĮ ȠʌȠȓĮ ĮȞȐ įȪȠ İȓȞĮȚ ȚıİȝȕĮįȚțȐ
(ȖȚĮĲȓ;).
Ȃİ ȕȐıȘ ĲȠ ıȤȒȝĮ ȑȤȠȣȝİ Į+ȕ=6 (1), ȕ+Ȗ=10 (2) țĮȚ Ȗ+į=11 (3) ȠʌȩĲİ Įȡțİȓ ȞĮ ȣʌȠȜȠȖȚıĲİȓ ĲȠ
Į+į. ǹʌȩ ĲȚȢ ıȤȑıİȚȢ (1)+(3) ȑȤȠȣȝİ (Į+ȕ)+(Ȗ+į) = 17 ȐȡĮ (Į+į) + (ȕ+Ȗ) = 17 țĮȚ İʌİȚįȒ
ȕ+Ȗ=10 ȐȡĮ Į+į= 7.
5) ǹȞ ʌȡȠİțĲİȓȞȠȣȝİ ĲĮ ĲȝȒȝĮĲĮ ǹǻ țĮȚ Ǻī șĮ įȘȝȚȠȣȡȖȘșİȓ ĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǼǹǺ ʌȠȣ İȓȞĮȚ
ȚıȩʌȜİȣȡȠ (ȖȚĮĲȓ; ). ȈțİĳĲȩȝĮıĲİ ȝȒʌȦȢ İȓȞĮȚ ȤȡȒıȚȝȠ ȞĮ ȤȦȡȓıȠȣȝİ ĲȘ ȗȘĲȠȪȝİȞȘ ȖȦȞȓĮ ș
ĳȑȡȞȠȞĲĮȢ ĲȘȞ ʌĮȡȐȜȜȘȜȘ īǽ ʌȡȠȢ ĲȘȞ ǹǺ.ȆȡȐȖȝĮĲȚ İȓȞĮȚ ȤȡȒıȚȝȠ țĮșȫȢ ĲȫȡĮ ȑȤȠȣȝİ ȞȑȠ
ȚıȩʌȜİȣȡȠ ĲȡȓȖȦȞȠ, ĲȠ Ǽīǽ (ȖȚĮĲȓ; ). ǼʌȚʌȜȑȠȞ ĲȠ ıȘȝİȓȠ ǻ İȓȞĮȚ ĲȠ ȝȑıȠȞ ĲȘȢ Ǽǽ, Ș īǻ İȓȞĮȚ
įȚȐȝİıȠȢ ȐȡĮ țĮȚ ȪȥȠȢ țĮȚ įȚȤȠĲȩȝȠȢ ȠʌȩĲİ Ș ȖȦȞȓĮ ș2=300
țĮȚ țĮșȫȢ ș1=1200
. ȉİȜȚțȐ ș=1500
.

¬
¬Í
ÍÂ
Â¼
¼Å
ÅÂ
Âȿ
ȿÍ
ÍÎ
ÎÉ
Éº
º Í
ÍÀ
ÀË
Ë ½
½¾
¾Î
ÎÍ
Í¾
¾Ê
ÊÈ
È»
»Ƿ
ǷÁ
ÁÅ
ÅÂ
Âº
ºË
Ë ¾
¾Ç
Çȯ
ȯÌ
ÌÒ
ÒÌ
ÌÀ
ÀË
Ë:
:
º
ºÉ
Éȿ
ȿ Í
ÍÀ
À œ
œº
º»
»Î
ÎÄ
Äə
əÆ
Æº
º Ì
ÌÍ
ÍÀ
À Ì
Ìɉ
ɉ¼
¼Ð
ÐÊ
ÊÈ
ÈÆ
ÆÀ
À ¾
¾É
ÉÈ
ÈÐ
ÐȘ
Ș
============================================== ȀĮȜȜȚȩʌȘ ȀȦıĲȠʌȠȪȜȠȣ – īȚȐȞȞȘȢ ȀĮȡțĮȗȒȢ
ȉȠ ʌȡȩȕȜȘȝĮ ĲȘȢ İȟİȪȡİıȘȢ ȜȪıȘȢ ĮʌȜȫȞ įİȣĲİȡȠȕȐșȝȚȦȞ İȟȚıȫıİȦȞ ĮȞĲȚȝİĲȦʌȓıĲȘțİ
ĲȠȣȜȐȤȚıĲȠȞ 4000 ȤȡȩȞȚĮ ʌȡȚȞ, ĲȩıȠ Įʌȩ ĲȠȣȢ ǺĮȕȣȜȫȞȚȠȣȢ ȩıȠ țĮȚ Įʌȩ ĲȠȣȢ ǹȚȖȪʌĲȚȠȣȢ. Ȃİ
įİįȠȝȑȞȠ ȩĲȚ țĮĲȐ ĲȘȞ ĮȡȤĮȚȩĲȘĲĮ įİȞ İȓȤĮȞ İʌȚȞȠȘșİȓ ĲĮ ıȪȝȕȠȜĮ ȖȚĮ ĲȘȞ ĮʌȠĲȪʌȦıȘ
ĮȜȖİȕȡȚțȫȞ ʌĮȡĮıĲȐıİȦȞ ȖȚ’ ĮȣĲȩ ȠȚ ȐȞșȡȦʌȠȚ țĮĲȑĳİȣȖĮȞ ıĲȘȞ ʌİȡȚȖȡĮĳȚțȒ ĮʌȠĲȪʌȦıȘ ȝİ
ȜȑȟİȚȢ țĮȚ İȚțȩȞİȢ, ĲȩıȠ ĲȦȞ ĮȜȖİȕȡȚțȫȞ İȟȚıȫıİȦȞ ȩıȠ țĮȚ ĲȘȢ įȚĮįȚțĮıȓĮȢ İʌȓȜȣıȘȢ ĲȠȣȢ.
Ȉİ İțİȓȞȠȣȢ ĲȠȣȢ ĮȡȤĮȓȠȣȢ ȤȡȩȞȠȣȢ, ĲĮ ʌȡȠȕȜȒȝĮĲĮ ʌȠȣ ĮĳȠȡȠȪıĮȞ ĲİĲȡȐȖȦȞĮ ʌȠıȠĲȒĲȦȞ
İȝĳĮȞȓȗȠȞĲĮȞ ıȣȞȒșȦȢ țĮĲȐ ĲȠȞ ȣʌȠȜȠȖȚıȝȩ ĲȦȞ İȝȕĮįȫȞ țĮȚ ĲȦȞ įȚĮıĲȐıİȦȞ ȠȚțȠʌȑįȦȞ.
īȚĮ ʌĮȡȐįİȚȖȝĮ, ıĲȘ ǺĮȕȣȜȫȞĮ, ȝȚĮ ĲȣʌȚțȒ ȝȑĲȡȘıȘ ĲȠȣ ȝȒțȠȣȢ ȒĲĮȞ ĲȠ nindan, İȞȫ ȝȚĮ
ĲȣʌȚțȒ ȝȠȞȐįĮ ȑțĲĮıȘȢ, ȒĲĮȞ ĲȠ ȑȞĮ ĲİĲȡĮȖȦȞȚțȩ nindan, ĲȠ ȠʌȠȓȠ ȠȡȚȗȩĲĮȞ ȦȢ ȑȞĮ sar (ȓıȠ ȝİ
ʌİȡȓʌȠȣ 36 ĲİĲȡĮȖȦȞȚțȐ ȝȑĲȡĮ).
ǲȞĮ ʌȡȩȕȜȘȝĮ ʌȠȣ ȠȚ ǺĮȕȣȜȫȞȚȠȚ ȓıȦȢ ȤȡİȚĮȗȩĲĮȞ ȞĮ ȜȪıȠȣȞ, șĮ ȒĲĮȞ ȞĮ ȕȡȠȣȞ ĲȠ ȝȒțȠȢ
ĲȦȞ ʌȜİȣȡȫȞ İȞȩȢ ĲİĲȡĮȖȦȞȚțȠȪ șĮȜȐȝȠȣ ĮʌȠșȒțİȣıȘȢ ȑțĲĮıȘȢ 16 sar.

ͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲȈĲȚȖȝȚȩĲȣʌĮ ĲȘȢ įİȣĲİȡȠȕȐșȝȚĮȢ İȟȓıȦıȘȢ: Įʌȩ ĲȘ ǺĮȕȣȜȫȞĮ ıĲȘ ıȪȖȤȡȠȞȘ İʌȠȤȒͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲ

Ȉİ ıȪȖȤȡȠȞȠȣȢ ĮȜȖİȕȡȚțȠȪȢ ȩȡȠȣȢ, șĮ ȝʌȠȡȠȪıĮȝİ ȞĮ İțĳȡȐıȠȣȝİ ĮȣĲȩ ĲȠ ʌȡȩȕȜȘȝĮ ȝİ
ĲȘȞ İȟȓıȦıȘ x2
= 16, ȩʌȠȣ ĲȠ x İțĳȡȐȗİȚ ĲȠ ȐȖȞȦıĲȠ ȝȒțȠȢ ĲȘȢ ʌȜİȣȡȐȢ ĲȠȣ șĮȜȐȝȠȣ.
ǹȣĲȩ ȚıȠįȣȞĮȝİȓ ȝİ ĲȘȞ İʌȓȜȣıȘ ĲȘȢ įİȣĲİȡȠȕȐșȝȚĮȢ İȟȓıȦıȘȢ x2
–16 = 0.
Ȉİ ĮȣĲȒȞ ĲȘȞ ʌİȡȓʌĲȦıȘ țĮȚ ȝİ įİįȠȝȑȞȠ ȩĲȚ ĲȠ ȝȒțȠȢ ʌȡȑʌİȚ ʌȐȞĲĮ ȞĮ İȓȞĮȚ șİĲȚțȩ, Ș ĲȚȝȒ
ĲȠȣ x ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ȕȡİșİȓ ȜĮȝȕȐȞȠȞĲĮȢ ĲȘȞ ĲİĲȡĮȖȦȞȚțȒ ȡȓȗĮ ĲȠȣ 16, țȐĲȚ ʌȠȣ ȠȚ ǺĮȕȣȜȫȞȚȠȚ țĮȚ
ȠȚ ǹȚȖȪʌĲȚȠȚ ȑțĮȞĮȞ ıȣȝȕȠȣȜİȣȩȝİȞȠȚ ʌȓȞĮțİȢ ʌȠȣ İȓȤĮȞ țĮĲĮıțİȣȐıİȚ ȝİ ĲĮ ĲİĲȡȐȖȦȞĮ ĲȦȞ
ĮȡȚșȝȫȞ ıİ ʌȒȜȚȞİȢ ʌȚȞĮțȓįİȢ Ȓ ʌȐʌȣȡȠȣȢ.
ǲȞĮ ʌȚȠ įȪıțȠȜȠ ʌȡȩȕȜȘȝĮ șĮ ȝʌȠȡȠȪıİ ȞĮ İȓȞĮȚ ȞĮ ȕȡİșİȓ ĲȠ ȝȒțȠȢ ĲȦȞ ʌȜİȣȡȫȞ İȞȩȢ
ĲİĲȡĮȖȦȞȚțȠȪ șĮȜȐȝȠȣ ĮʌȠșȒțİȣıȘȢ ȝİ ȝȚĮ İʌȚʌȜȑȠȞ İʌȑțĲĮıȘ 3 nindan, ȩʌȠȣ Ș ıȣȞȠȜȚțȒ
ʌİȡȚȠȤȒ ĮʌȠșȒțİȣıȘȢ ʌȡȑʌİȚ ȞĮ İȓȞĮȚ 28 sar.


ǹȣĲȩ ĲȠ ʌȡȩȕȜȘȝĮ șĮ ȝʌȠȡȠȪıİ ȞĮ İțĳȡȐȗİĲĮȚ Įʌȩ ĲȘȞ İȟȓıȦıȘ x2
+ 3x = 28,
Ȓ ĮĳĮȚȡȫȞĲĮȢ ĲȠ 28 țĮȚ Įʌȩ ĲĮ įȪȠ ȝȑȜȘ ĲȘȢ İȟȓıȦıȘȢ, ĮȣĲȒ șĮ ȝʌȠȡȠȪıİ ȞĮ ȖȡĮĳĲİȓ x2
+ 3x –
28 =0.
Ǿ İʌȓȜȣıȘ ĲȘȢ ıȣȖțİțȡȚȝȑȞȘȢ įİȣĲİȡȠȕȐșȝȚĮȢ İȟȓıȦıȘȢ İȓȞĮȚ ʌȚȠ ʌİȡȓʌȜȠțȘ Įʌȩ ĲȘȞ ĮʌȜȒ
ȜȒȥȘ ĲİĲȡĮȖȦȞȚțȒȢ ȡȓȗĮȢ, ȠʌȩĲİ ȑʌȡİʌİ ȞĮ ĮȞĮʌĲȣȤșȠȪȞ įȚĮįȚțĮıȓİȢ Įʌȩ ĲȠȣȢ ǺĮȕȣȜȫȞȚȠȣȢ ȖȚĮ
ĲȘȞ İʌȓȜȣıȘ ȖİȞȚțȩĲİȡȦȞ ĲȪʌȦȞ įİȣĲİȡȠȕȐșȝȚȦȞ İȟȚıȫıİȦȞ ȩʌȦȢ ĮȣĲȒ.
ȈĲȠ ʌȑȡĮıȝĮ ĲȦȞ ȤȡȩȞȦȞ Ș įİȣĲİȡȠȕȐșȝȚĮ İȟȓıȦıȘ ĮʌȠĲȑȜİıİ ʌȡȩțȜȘıȘ ȖȚĮ ʌȠȜȜȠȪȢ
ȝĮșȘȝĮĲȚțȠȪȢ. ȈĲĮ «ȈĲȠȚȤİȓĮ» ĲȠȣ ǼȣțȜİȓįȘ țȐșİ țĮĲĮıțİȣȒ ȝİ ĲȘ ȕȠȒșİȚĮ ĲȠȣ țĮȞȩȞĮ țĮȚ ĲȠȣ
įȚĮȕȒĲȘ İȓȞĮȚ ȚıȠįȪȞĮȝȘ ȝİ ĲȘ ȜȪıȘ įȚĮįȠȤȚțȫȞ įİȣĲİȡȠȕȐșȝȚȦȞ İȟȚıȫıİȦȞ.
ȈĲĮ «ǹȡȚșȝȘĲȚțȐ», Ƞ ǻȚȩĳĮȞĲȠȢ ȤȡȘıȚȝȠʌȠȚİȓ įİȣĲİȡȠȕȐșȝȚİȢ İȟȚıȫıİȚȢ ȖȚĮ ĲȘȞ
ĮȞĲȚȝİĲȫʌȚıȘ ʌȡȠȕȜȘȝȐĲȦȞ, ȤȦȡȓȢ ȩȝȦȢ ȞĮ ĲȚȢ ȣʌȠȜȠȖȓȗİȚ.
ȅ ȆȑȡıȘȢ Al–Khwarizmi(ʌĮĲȑȡĮȢ ĲȘȢ ǱȜȖİȕȡĮȢ ȝȚĮȢ țĮȚ Ș ȜĮĲȚȞȠʌȠȓȘıȘ ĲȠȣ ȠȞȩȝĮĲȠȢ ĲȠȣ
Al–jabr ıȘȝĮȓȞİȚ ǱȜȖİȕȡĮ), ȝİĲȐ Įʌȩ ȝİȜȑĲȘ ʌȠȜȜȫȞ ǼȜȜȘȞȚțȫȞ ȝĮșȘȝĮĲȚțȫȞ țİȚȝȑȞȦȞ,
țĮĲȘȖȠȡȚȠʌȠȓȘıİ ıİ ȑȟȚ ĲȪʌȠȣȢ ĲȚȢ įİȣĲİȡȠȕȐșȝȚİȢ İȟȚıȫıİȚȢ. ȉĮ ĮȜȖİȕȡȚțȐ İȡȖĮȜİȓĮ țĮȚ ȠȚ
ȝȑșȠįȠȚ ʌȠȣ ĮȞȑʌĲȣȟİ ĮʌȠĲȑȜİıĮȞ ĲȠ ʌȡȫĲȠ ȕȒȝĮ ȖȚĮ ĲȘȞ ʌİȡĮȚĲȑȡȦ ĮȞȐʌĲȣȟȘ ĲȘȢ ǱȜȖİȕȡĮȢ.
ǲĲıȚ ıĲȘ ıȪȖȤȡȠȞȘ İʌȠȤȒ țĮȚ ȝİĲȐ ĲȘȞ İʌȚȞȩȘıȘ ʌȠȜȜȫȞ ȝİșȩįȦȞ ȣʌȠȜȠȖȚıȝȠȪ, Ș ʌȚȠ
İȣȡȑȦȢ įȚĮįİįȠȝȑȞȘ ȝȑșȠįȠȢ İʌȓȜȣıȘȢ İȟȚıȫıİȦȞ 2Ƞȣ
ȕĮșȝȠȪ İȓȞĮȚ ĮȣĲȒ ʌȠȣ ʌİȡȚȖȡȐĳİĲĮȚ
ʌĮȡĮțȐĲȦ.
ȆȡȚȞ ȩȝȦȢ Įʌȩ ĲȘȞ ĮȞȐȜȣıȘ ĲȘȢ įȚĮįȚțĮıȓĮȢ ĮȣĲȒȢ ĮȢ įȠȪȝİ ĲȘȞ İȞȞȠȚȠȜȠȖȚțȒ
ĮʌȠıĮĳȒȞȚıȘ ĲȦȞ ȩȡȦȞ ʌȠȣ İȝʌȜȑțȠȞĲĮȚ ıĲȘȞ ʌȠȡİȓĮ İʌȓȜȣıȒȢ ĲȘȢ.
ǻİȣĲİȡȠȕȐșȝȚĮ İȟȓıȦıȘ Ȓ İȟȓıȦıȘ 2Ƞȣ
ȕĮșȝȠȪ ȠȞȠȝȐȗȠȣȝİ țȐșİ İȟȓıȦıȘ ĲȘȢ ȝȠȡĳȒȢ
2
Įx +ȕx + Ȗ = 0,ȝİĮ 0
z .
ȅȚ ĮȡȚșȝȠȓ Į, ȕ,Ȗ ȠȞȠȝȐȗȠȞĲĮȚ ıȣȞĲİȜİıĲȑȢ ĲȘȢ İȟȓıȦıȘȢ.
ȈĲȘȞ İʌȓȜȣıȘ ȝȚĮȢ įİȣĲİȡȠȕȐșȝȚĮȢ İȟȓıȦıȘȢ ıȘȝĮȞĲȚțȩ ȡȩȜȠ ʌĮȓȗİȚ Ș ʌĮȡȐıĲĮıȘ
2
ǻ = ȕ - 4ĮȖ ʌȠȣ ȠȞȠȝȐȗİĲĮȚ įȚĮțȡȓȞȠȣıĮ ĲȘȢ İȟȓıȦıȘȢ.
ȉȠ ʌȜȒșȠȢ ĲȦȞ ȜȪıİȦȞ ȝȚĮȢ įİȣĲİȡȠȕȐșȝȚĮȢ İȟȓıȦıȘȢ İȟĮȡĲȐĲĮȚ Įʌȩ ĲȚȢ ĲȚȝȑȢ ĲȘȢ
įȚĮțȡȓȞȠȣıĮȢ ǻ.
ȈȣȖțİțȡȚȝȑȞĮ:
x ǹȞ 0
' ! ,ĲȩĲİ Ș İȟȓıȦıȘ ȑȤİȚ 2 ȐȞȚıİȢ ȜȪıİȚȢ ĲȚȢ: 1,2
-ȕ ± ǻ
x =
2Į
x ǹȞ 0
' ,ĲȩĲİ Ș İȟȓıȦıȘ ȑȤİȚ 1 įȚʌȜȒ ȜȪıȘ ĲȘȞ 0
-ȕ
x =
2Į

x ǹȞ 0
' ,ĲȩĲİ Ș İȟȓıȦıȘ įİȞ ȑȤİȚ ȜȪıȘ (ĮįȪȞĮĲȘ).


ǼĳĮȡȝȠȖȒ
ȃĮ ȜȣșȠȪȞ ȠȚ ʌĮȡĮțȐĲȦ İȟȚıȫıİȚȢ:
Į) 3x2
–5x+2=0
ȕ) 5x2
=2x
Ȗ) x2
–16=0
į) x2
–2x+1=0
İ) 52
+2x+1=0
ıĲ) x2
– (1- 7 )x– 7 =0
ȁȪıȘ
Į) Ǿ İȟȓıȦıȘ ȑȤİȚ įȚĮțȡȓȞȠȣıĮ

2
2
ǻ = ȕ - 4ĮȖ = -5 - 4 3 2 = 25- 24 = 1 0
˜ ˜
ǼʌȠȝȑȞȦȢ ȑȤİȚ įȪȠ ȜȪıİȚȢ ȐȞȚıİȢ:

1,2
- -5 ± 1
-ȕ ± ǻ 5±1
x = = =
2Į 2 3 6
˜
ǱȡĮ 1
5+1
x = 1
6
Ȓ 2
5-1 2
x =
6 3

ȕ) Ǿ İȟȓıȦıȘ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ȖȡĮĳİȓ 2
5x -2x = 0
1ȠȢ
ĲȡȩʌȠȢ (ȤȡȒıȘ įȚĮțȡȓȞȠȣıĮȢ)
Ǿ İȟȓıȦıȘ ȑȤİȚ įȚĮțȡȓȞȠȣıĮ

2
2
ǻ = ȕ - 4ĮȖ = -2 - 4 5 0 = 4 0
˜ ˜

1,2
- -2 ± 4
-ȕ ± ǻ 2 ± 2
x = = =
2Į 2 5 10
˜
ǱȡĮ 1
2+ 2 2
x =
10 5
Ȓ 2
x = 0
2ȠȢ
ĲȡȩʌȠȢ (ȤȡȒıȘ ʌĮȡĮȖȠȞĲȠʌȠȓȘıȘȢ)
ǲȤȠȣȝİ 2
5x -2x = 0Ȓ

x 5x - 2 = 0

ȑĲıȚ x = 0Ȓ 5x-2 = 0ȠʌȩĲİ
2
x =
5

Ȗ) 1ȠȢ
ĲȡȩʌȠȢ(ȤȡȒıȘ įȚĮțȡȓȞȠȣıĮȢ)
Ǿ İȟȓıȦıȘ ȑȤİȚ įȚĮțȡȓȞȠȣıĮ

2 2
ǻ = ȕ - 4ĮȖ = 0 - 4 1 -16 = 64 0
˜ ˜
ǼʌȠȝȑȞȦȢ ȑȤİȚ įȪȠ ȜȪıİȚȢ ȐȞȚıİȢ: 1,2
-ȕ ± ǻ -0 ± 64 ±8
x = = =
2Į 2 1 2
˜
. ǱȡĮ 1
x = 4

Ȓ 2
x = -4
2ȠȢ
ĲȡȩʌȠȢ (ȤȡȒıȘ ʌĮȡĮȖȠȞĲȠʌȠȓȘıȘȢ)
ǲȤȠȣȝİ 2
x -16 = 0ȐȡĮ

x - 4 x + 4 = 0ȠʌȩĲİ x -4 = 0 Ȓ x +4 = 0 ȐȡĮ x = 4Ȓ x = -4.


3ȠȢ
ĲȡȩʌȠȢ (ȤȡȒıȘ ȝȠȡĳȒȢ 2
Įx + Ȗ = 0 )
ǲȤȠȣȝİ 2
x -16 = 0ȐȡĮ 2
x =16 ȠʌȩĲİ x = 16 Ȓ x = - 16 įȘȜĮįȒ x = 4Ȓ x = -4
į) 1ȠȢ
ĲȡȩʌȠȢ(ȤȡȒıȘ įȚĮțȡȓȞȠȣıĮȢ)

2
2
ǻ = ȕ - 4ĮȖ = -2 - 4 1 1= 4 - 4 = 0
˜ ˜ ȐȡĮ ȑȤİȚ ȝȚĮ įȚʌȜȒ ȜȪıȘ ĲȘȞ

0
- -2
-ȕ
x = = =1
2Į 2 1
˜

2ȠȢ
ĲȡȩʌȠȢ (ȤȡȒıȘ ĲĮȣĲȩĲȘĲĮȢ)
ǲȤȠȣȝİ 2
x -2x +1= 0 ȠʌȩĲİ

2
x-1 =0 ȐȡĮ x-1= 0 įȘȜĮįȒ x=1
İ) Ǿ İȟȓıȦıȘ ȑȤİȚ įȚĮțȡȓȞȠȣıĮ 2 2
ǻ = ȕ -4ĮȖ = 2 -4 5 1= 4-20 = -16 0
˜ ˜ ȐȡĮ İȓȞĮȚ ĮįȪȞĮĲȘ.
ıĲ)

2
2
ǻ = ȕ -4ĮȖ = 1- 7 + 4 7 =
2 2
2 2 2
1 -2 7 + 7 + 4 7 =1 + 2 7 + 7 = (1+ 7) 0

2
1,2
1- 7 ± 1+ 7 1- 7 ± 1+ 7
-ȕ ±ǻ
x = = =
2Į 2 1 2
˜
ǱȡĮ 1
1- 7 +1+ 7
x =
2
Ȓ 2
1- 7 -1- 7
x =
2
ȐȡĮ 1
2
x =
2
Ȓ 2
-2 7
x =
2
ȠʌȩĲİ 1
x =1,
2
x = - 7
ǲȞĮ ȝİȖȐȜȠ ȝȑȡȠȢ ĲȘȢ ǱȜȖİȕȡĮȢ İȓȞĮȚ ĮĳȚİȡȦȝȑȞȠ ıĲȘȞ ʌĮȡĮȖȠȞĲȠʌȠȓȘıȘ ĮȜȖİȕȡȚțȫȞ
ʌĮȡĮıĲȐıİȦȞ ȜȩȖȦ ĲȘȢ ȤȡȘıȚȝȩĲȘĲȐȢ ĲȘȢ. Ǿ ĮȜȖİȕȡȚțȒ ʌĮȡȐıĲĮıȘ įİȣĲȑȡȠȣ ȕĮșȝȠȪ
2
Įx +ȕx+Ȗ=0, ȝİ Į 0
z (ĲȡȚȫȞȣȝȠ), ȝİ ĲȘ ȕȠȒșİȚĮ ĲȘȢ įȚĮțȡȓȞȠȣıĮȢ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ
ʌĮȡĮȖȠȞĲȠʌȠȚȘșİȓ ıȪȝĳȦȞĮ ȝİ ĲȠȞ ʌĮȡĮțȐĲȦ ʌȓȞĮțĮ:
2
ǻ = ȕ - 4ĮȖ ȆȜȒșȠȢ ȜȪıİȦȞ ȁȪıİȚȢ ȆĮȡĮȖȠȞĲȠʌȠȓȘıȘ
0
' ! 2 ȐȞȚıİȢ ȜȪıİȚȢ 1,2
-ȕ ± ǻ
x =
2Į

1 2
Į x - x x - x
0
' 1 įȚʌȜȒ ȜȪıȘ 0
ȕ
x = -
2Į

2
0
Į x - x
0
' ǻİȞ ȑȤİȚ ȜȪıİȚȢ ǻİȞ ʌĮȡĮȖȠȞĲȠʌȠȚİȓĲĮȚ
ǼĳĮȡȝȠȖȑȢ
1) ȃĮ ʌĮȡĮȖȠȞĲȠʌȠȚȘșİȓ ĲȠ ĲȡȚȫȞȣȝȠ: 2
7x 9x 2

ȁȪıȘ
ȉȠ ĲȡȚȫȞȣȝȠ ȑȤİȚ įȚĮțȡȓȞȠȣıĮ

2
2
ǻ = ȕ - 4ĮȖ = -9 - 4 7 2 = 81-56 = 25 0
˜ ˜
ȑĲıȚ ȣʌȐȡȤȠȣȞ įȪȠ ȐȞȚıİȢ ȜȪıİȚȢ:

1,2
- -9 ± 25
-ȕ ± ǻ 9 ±5
x = = =
2Į 2 7 14
˜
ȠʌȩĲİ 1
x =1
Ȓ 2
2
x =
7
.
ǼʌȠȝȑȞȦȢ ʌȡȠțȪʌĲİȚ:

2 2
7x -9x + 2 = 7 x -1 x - = x -1 7x -2
7
§ ·
˜ ˜ ˜
¨ ¸
© ¹
2) ȃĮ ȕȡİșȠȪȞ ȠȚ ĲȚȝȑȢ ĲȘȢ ȝİĲĮȕȜȘĲȒȢ x ȖȚĮ ĲȚȢ ȠʌȠȓİȢ ȠȡȓȗİĲĮȚ Ș ʌĮȡȐıĲĮıȘ
2
3x-1
3x -4x 1
$

țĮȚ ıĲȘ ıȣȞȑȤİȚĮ ȞĮ ĮʌȜȠʌȠȚȘșİȓ.
ȁȪıȘ
Ǿ ʌĮȡȐıĲĮıȘ ȠȡȓȗİĲĮȚ ȩĲĮȞ Ș ȝİĲĮȕȜȘĲȒ x ʌĮȓȡȞİȚ ĲȚȝȑȢ ʌȠȣ įİȞ ȝȘįİȞȓȗȠȣȞ ĲȠȞ
ʌĮȡȠȞȠȝĮıĲȒ. ǼʌȠȝȑȞȦȢ șĮ ʌȡȑʌİȚ ȞĮ ȚıȤȪİȚ: 2
3x -4x +1 0
z
ȉȠ ĲȡȚȫȞȣȝȠ ȑȤİȚ įȚĮțȡȓȞȠȣıĮ

2
2
ǻ = ȕ - 4ĮȖ = -4 - 4 3 1 =16-12 = 4 0
˜ ˜ , ȡȓȗİȢ 1 țĮȚ
1
3

ǼʌȠȝȑȞȦȢ Ș ʌĮȡȐıĲĮıȘ ǹ ȠȡȓȗİĲĮȚ ȖȚĮ x 1
z țĮȚ
1
x
3
z .
ȈĲȘ ıȣȞȑȤİȚĮ ȖȚĮ ȞĮ ĮʌȜȠʌȠȚȘșİȓ Ș ʌĮȡȐıĲĮıȘ ǹ ʌȡȑʌİȚ ȞĮ ʌĮȡĮȖȠȞĲȠʌȠȚȘșİȓ Ƞ ĮȡȚșȝȘĲȒȢ
țĮȚ Ƞ ʌĮȡȠȞȠȝĮıĲȒȢ ĲȘȢ, ȑĲıȚ ʌȡȠțȪʌĲİȚ:

Eykleidhs a 118_eykleidhs_2020

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

Plus de Θανάσης Δρούγας

Plus de Θανάσης Δρούγας (20)

Eykleidhs a 118_eykleidhs_2020