Eykleidhs b 119_eykleidhs_2021 (1)

119
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΟΙ ΟΛΥΜΠΙΑΔΕΣ ΓΕΓΟΝΟΤΑ
B΄
B΄ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ
ΙΑΝΟΥΑΡΙΟΣ - ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ - ΜΑΡΤΙΟΣ 21
20 ευρώ 3,5
Μαθηματικό περιοδικό για το ΛΥΚΕΙΟ
ΠΛΗΡΩΜΕΝΟ
ΤΕΛΟΣ
ΠΛΗΡΩΜΕΝΟ
ΤΕΛΟΣ
Ταχ.
Γραφείο
ΚΕΜΠ.ΑΘ.
Ταχ.
Γραφείο
ΚΕΜΠ.ΑΘ.
Αριθμός
Άδειας
4156
Αριθμός
Άδειας
4156
ΕΛΤΑ
Hellenic
Post
Hellenic
Post
ΕΚΔΟΤΩΝ
ΕΝΤΥΠΟ
ΚΛΕΙΣΤΟ
ΑΡ.
ΑΔΕΙΑΣ
1099/96
ΚΕΜΠ.ΑΘ.
ΕΝΤΥΠΟ
ΚΛΕΙΣΤΟ
ΑΡ.
ΑΔΕΙΑΣ
1099/96
ΚΕΜΠ.ΑΘ.
Ελληνικ Μαθηματικ Εταιρε α
ή ή ί
Ελληνικ Μαθηματικ Εταιρε α
ή ή ί
ΕΜΕ:ΧΡΥΣΟ ΜΕΤΑΛΛΙΟ 2018 ΑΚΑΔΗΜΙΑΣ ΑΘΗΝΩΝ
To κυνήγι του θησαυρού
To κυνήγι του θησαυρού
Κλιματική αλλαγή
Κβάντο υπολογιστής Θεώρημα Zsigmondy
5
5
5
00
5
5
5
00
0
5
25
75
95
100
0
5
25
75
95
100

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟ ΠΕΡΙΟΔΙΚΟ ΓΙΑ ΤΟ ΛΥΚΕΙΟ
ÐÅÑÉÅ×ÏÌÅÍÁ
ÐÅÑÉÅ×ÏÌÅÍÁ
Τεύχος 119 - Ιανουάριος - Φεβρουάριος - Μάρτιος 2021 - Ευρώ: 3,50
e-mail: info@hms.gr, www.hms.gr
ÐÁÍÅÐÉÓÔÇÌÉÏÕ 34
106 79 ÁÈÇÍÁ
Ôçë.: 210 3617784 - 210 3616532
Fax: 210 3641025
Ανάργυρος Φελλούρης
Παναγιώτης Δρούτσας
Åêäüôçò:
ÄéåõèõíôÞò:
ÁíäñïõëáêÜêçò Íßêïò
Áíôùíüðïõëïò Íßêïò
ÁñãõñÜêçò ÄçìÞôñéïò
Âáêáëüðïõëïò Êþóôáò
ÊáêáâÜò Áðüóôïëïò
Êáìðïýêïò ÊõñéÜêïò
ÊáñêÜíçò Âáóßëçò
Êáôóïýëçò Ãéþñãïò
Êáñäáìßôóçò Óðýñïò
Êåñáóáñßäçò ÃéÜííçò
Êïíüìçò ¢ñôé
ÊõâåñíÞôïõ ×ñõóô
Êõñéáêüðïõëïò Áíôþíçò
Êõñéáêoðïýëïõ Êùí/íá
Ëáæáñßäçò ×ñÞóôïò
ËïõñéäÜò ÃéÜííçò
Ëïõñßäáò ÓùôÞñçò
ÌáëáöÝêáò ÈáíÜóçò
ÌáõñïãéáííÜêçò Ëåùíßäáò
ÌÞëéïò Ãåþñãéïò
Ìðåñóßìçò Öñáãêßóêïò
Ìðñßíïò Ðáíáãéþôçò
Ìþêïò ñÞóôïò
Óßóêïõ Ìáñßá
ÓôåöáíÞò Ðáíáãéþôçò
ÓôñáôÞò ÃéÜííçò
Táðåéíüò Íéêüëáïò
T
ÔñéÜíôïò Ãåþñãéïò
ÔõñëÞò ÉùÜííçò
× éóôüðïõëïò ÈáíÜóçò
×ñéóôüðïõëïò Ðáíáãéþôçò
Øý÷áò ÂáããÝëçò
Απατσίδης Δημήτρης
Βλάχος Σπύρος
Γαμβρέλλης Αργύρης
Γιώτης Γιάννης
Δρούτσας Παναγιώτης
Ζέρβας Νίκος
Ζώτος Ευάγγελος
Κουτσούρης Λέων
αλένια
Λουμπαρδιά Αγγελική
Μανιατοπούλου Αμαλία
Μπρούζος Στέλιος
Χ
Μωραΐτου Κατερίνα
Πανταζή Αφροδίτη
Τζελέπης Αλκιβιάδης
ουρναβίτης Στέργιος
Τσικαλουδάκης Γιώργος
Τσίτος Χρήστος
Τσιφάκης Χρήστος
Τσουλουχάς Χάρης
Φανέλη Άννυ
ρ
Δ
Δ
Επίκαιρα Θέματα
Γενικά Θέματα
Κρυμμ΄ένος θησαυρός, 1
Κλιματική αλλαγή, 7
Μαθηματικοί Διαγωνισμοί, Μαθηματικές Ολυμπιάδες, ημέρα π=3,14 9
13
Άλγεβρα: Εξισώσεις, Ανισώσεις, Συναρτήσεις, 19
Ευκλείδεια Γεωμετρία: Ασκήσεις, 31
Άλγεβρα: Πολυώνυμα, Θέματα για εμβάθυνση, 33
Ευκλείδεια Γεωμετρία: Κύκλος, Κανονικά πολύγωνα, 39
Αναλυτική Γεωμετρία: Κωνικές Τομές, 43
Υπαρξιακά θεώρηματα Μέσης τιμής, 46
Το Βήμα του Ευκλείδη: Πυθαγόρειες τετράδες, Ζ Fibonacci, 54
Ο Ευκλείδης προτείνει... Και Μαθηματικά που έχουν ενδιαφέρον 64
Τα Μαθηματικ΄ά μας Διασκεδάζουν, 75
ημερίδα για τον
..............................................................................
.....................................................................................
......................................
..............................................................
.....................................
.............................
............................
..
.......
........................................................
Homo Mathematicus,
Bolzano-Rolle -
sigmondy,
e- covid-19, 81
..................................................................................
.....................................................
.........................................................................
Α΄
Β΄
Γ΄
Τάξη
Τάξη
Τάξη
Γράμμα της Σύνταξης
Κωδικός ΕΛ.ΤΑ: 2054
ISSN: 1105 - 8005
Τιμή Τεύχους: ευρώ 3,50
•
• Ïé óõíåñãáóßåò,
ÅôÞóéá óõíäñïìÞ (12,00 + 2,00 Ôá÷õäñïìéêÜ = åõñþ 14,00). ÅôÞóéá óõíäñïìÞ ãéá Ó÷ïëåßá åõñþ 12,00
Ôá äéáöçìéæüìåíá âéâëßá äå óçìáßíåé üôé ðñïôåßíïíôáé áðü ôçí Å.Ì.Å.
[ôá Üñèñá, ïé ðñïôåéíüìåíåò áóêÞóåéò, ïé ëýóåéò áóêÞóåùí êëð.] ðñÝðåé íá óôÝëíïíôáé Ýãêáéñá, óôá ãñáöåßá ôçò Å.Ì.Å. ìå ôçí
Ýíäåéîç “Ãéá ôïí Åõêëåßäç B´”. Ôá ÷åéñüãñáöá äåí åðéóôñÝöïíôáé.
.
Όλα τα άρθρα υπόκεινται σε κρίση, αλλά την κύρια ευθύνη τη φέρει ο
εισηγητής
Åêôýðùóç: (A. ÌÐÑÏÕÓÁËÇ & ÓÉÁ ÅÅ). ôçë.: 210 6623778 - 358 Ä. Ðáðáäüðïõëïò
ROTOPRINT Õðåýèõíïò ôõðïãñáöåßïõ:
Ζώτος Ευάγγελος
Êåñáóáñßäçò ÃéÜííçò
Áíôùíüðïõëïò Íßêïò
ÁñãõñÜêçò ÄçìÞôñéïò
Âáêáëüðïõëïò Êþóôáò
ËïõñéäÜò ÃéÜííçò
Ëïõñßäáò ÓùôÞñçò
Τσίτος Χρήστος
Τσιφάκης Χρήστος
×ñéóôüðïõëïò Ðáíáãéþôçò
Η έγκαιρη πληρωμή της
βοηθάει στην έκδοση του περιοδικού
συνδρομής
Εξώφυλλο:
Σχόλιο: Οι εργασίες για το περιοδικό στέλνονται
και ηλεκτρονικά στο e-mail: stelios@hms.gr
Υπεύθυνοι για το Δ.Σ
Επιτροπή Έκδοσης
ΕΚΔΟΣΗ ΤΗΣ ΕΛΛΗΝΙΚΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΕΤΑΙΡΕΙΑΣ Συντακτική Επιτροπή
Υποστηρικτής Ταχυδρομικών Υπηρεσιών
Ευκλείδης:
Θαλής:
Αρχιμήδης:
Μαθηματικοί Διαγωνισμοί
6 2020
Νοεμβρίου
27 2021
Φεβρουαρίου
23 Ιανουαρίου 2021
Εικαστική σύνθεση βασισμένη
στην πρόσφατη επικαιρότητα των Μαθηματικών
ΕΛΤΑ
Hellenic Post
Hellenic Post
Το για τα τεύχη που παραγγέλνονται στέλνεται:
Με κατάθεση του αντιτίμου της συνδρομής στους παρακάτω λογαριασμούς
ΕΘΝΙΚΗ Τράπεζα λογαριασμός όψεως 080/48002300 ΙΒΑΝ GR 87 0110 0800 0000 0804 8002 300
ALPHA , 10 100 200 20 19 98 ΙΒΑΝ GR 86 0140 1010 1010 0200 2019 988
EUROBANK , 0026.0201.94.0201575138 ΙΒΑΝ GR 90 0260 2010 0009 4020 1575 138
Mε απλή ταχυδρομική επιταγή σε διαταγή Ε.Μ.Ε. Ταχ Γραφείο 54, Τ.Θ. 30044
Πληρώνεται στα γραφεία της Ε.Μ.Ε
αντίτιμο
1.
2.
3.
4.
5.
Αγαπητοίφίλοι,
μαθητέςκαισυνάδελφοι,
μεψυχραιμίανακοιτάξουμε
μπροστά
καιμεδύναμηψυχής
νααντιμετωπίσουμε
ταδύσκολα
καιόπωςλέεικαιοποιητής...
“ Το νερο δεν μπορει να γεμισει το χαος.
Στεκεται (...)
Μετεωρο, ζωντανο και ψαχνει
να βρει την αλλη οχθη... ”
Έκτωρ Κακναβάτος [1920-2010]
Ποιήματα 1943-1987
μαθηματικός, ποιητής - συγγραφέας
στον υπερρεαλιστικό χώρο
H ó íôá ò
επιτροπή ύ ξη
του περιοδικού
Υ.Γ.
Α΄ Λυκείου
Β΄ Λυκείου
Γ΄ Λυκείου
Υπεύθυνοι για την επιμέλεια της ύλης των τάξεων είναι οι συνάδελφοι:
[Γ. Κατσούλης, Λ. Κουτσούρης, Χρ. Λαζαρίδης, Χρ. Τσιφάκης, Χ. Τσίτος],
[Απ. Κακκαβάς, Β. Καρκάνης, Σ. Λουρίδας, Μ. Σίσκου, Χρ. Τσιφάκης],
Ν. Αντωνόπουλος, Δ. Αργυράκης, Κ. Βακαλόπουλος, Ι. Λουριδάς]
[
Το να έχει χαρά
αισιοδοξία και όραμα για το καλύτερο ...
2021
2021 = + +
20 (2.20) 21
2 2
5
5
5
00
5
5
5
00
0
5
25
75
95
100
0
5
25
75
95
100

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 119 (2021) Ĳ. 3/1
ƧǈĴǆĴǇǔ›ĸǊǍĂĶ ĸǊǈ ǆǋǍĂĂƽǈǊ ǄǃķĴǍǋǓ
ĂĶ ĸǃ ǀǊƾǄĶǅĴ ĸǃǌ ıĶǐĂĶĸǋȽĴǌ
ȋȡȒıĲȠȢ ȂʌĮĲȑȜȘȢ - ȆĮȡȐȡĲȘȝĮ ǼȂǼ ǹȤĮǸĮȢ
Ǿ īİȦȝİĲȡȓĮ ȟİțȓȞȘıİ Įʌȩ ĲȘ ȝȑĲȡȘıȘ ĲȘȢ ȖȘȢ İįȫ țĮȚ ȤȚȜȚȐįİȢ ȤȡȩȞȚĮ. Ǿ İȟȑȜȚȟȒ ĲȘȢ ıĲȠȣȢ ĮȚȫȞİȢ
ȒĲĮȞ șİĮȝĮĲȚțȒ. ȂȑȤȡȚ ıİ ıȘȝİȓȠ ʌȠȣ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ȕȠȘșȒıİȚ ȑȞĮȞ țĮȜȩ ȖİȦȝȑĲȡȘ ȞĮ ȕȡİȚ șȘıĮȣȡȩ țȡȣȝȝȑȞȠ
ıĲȘ ȖȘ! ǹȣĲȩ İȓȞĮȚ ĲȠ șȑȝĮ ʌȠȣ șĮ ȝĮȢ ĮʌĮıȤȠȜȒıİȚ ıĲȘ ıȣȞȑȤİȚĮ.
ȆȡȫĲĮ, ȩȝȦȢ, ʌȡȑʌİȚ ȞĮ ĮʌȠțĲȒıȠȣȝİ ĲȠ ȣʌȩȕĮșȡȠ ĲȠȣ țĮȜȠȪ ȖİȦȝȑĲȡȘ, ȫıĲİ ȞĮ ȝʌȠȡȑıȠȣȝİ ȞĮ
İĳĮȡȝȩıȠȣȝİ ĲȚȢ ȖȞȫıİȚȢ ȝĮȢ ȖȚĮ ȞĮ ĮȞĮțĮȜȪȥȠȣȝİ ĲȠȞ țȡȣȝȝȑȞȠ șȘıĮȣȡȩ. ȆȫȢ, ȩȝȦȢ, șĮ ȖȓȞİȚ ĮȣĲȩ;
ĬĮ ȖȞȦȡȓıȠȣȝİ ĲȡȓĮ ȖİȦȝİĲȡȚțȐ ʌȡȠȕȜȒȝĮĲĮ țĮȚ șĮ İȝȕĮșȪȞȠȣȝİ ıĲȚȢ ȜȪıİȚȢ ĲȠȣȢ. ȀȐșİ İʌȩȝİȞȠ
ʌȡȩȕȜȘȝĮ İȓȞĮȚ ȝȚĮ İȟȑȜȚȟȘ ĲȠȣ ʌȡȠȘȖȠȪȝİȞȠȣ ʌȡȠȕȜȒȝĮĲȠȢ ȫıĲİ ȞĮ ʌİȡȐıȠȣȝİ Įʌȩ ĲȠ İȚįȚțȩ ıĲȠ ȖİȞȚțȩ
țĮȚ ĲȑȜȠȢ ıĲȘȞ İĳĮȡȝȠȖȒ ĲȠȣȢ ıĲȘȞ ʌȡĮȖȝĮĲȚțȩĲȘĲĮ.
ȉȠ ʌȡȫĲȠ ʌȡȩȕȜȘȝĮ ʌȠȣ ȒĲĮȞ șȑȝĮ ıĲȚȢ İȚıĮȖȦȖȚțȑȢ İȟİĲȐıİȚȢ ĲȠȣ ȆȠȜȣĲİȤȞȚțȠȪ țȪțȜȠȣ ĲȠ 1976,
ĮȞĮĳȑȡİĲĮȚ ıİ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ĲȡȓȖȦȞȠ. ȆĮȡȠȣıȚȐȗȠȣȝİ 4 įȚĮĳȠȡİĲȚțȑȢ ȜȪıİȚȢ ĮȣĲȠȪ ĲȠȣ ʌȡȠȕȜȒȝĮĲȠȢ.
ȉȠ įİȪĲİȡȠ ʌȡȩȕȜȘȝĮ șȑȜİȚ ȞĮ ĮʌȠįİȓȟȠȣȝİ ȩ,ĲȚ ĮʌȠįİȓȟĮȝİ ıĲȠ ʌȡȫĲȠ ĮȜȜȐ ĮȞĮĳȑȡİĲĮȚ ıİ ĲȣȤĮȓȠ
ĲȡȓȖȦȞȠ.
ȉȠ ĲȡȓĲȠ ʌȡȩȕȜȘȝĮ șȑȜİȚ ȩ,ĲȚ țĮȚ ĲĮ ʌȡȠȘȖȠȪȝİȞĮ ĮȜȜȐ ȝİ ȝȓĮ Įʌȩ ĲȚȢ țȠȡȣĳȑȢ ĲȠȣ ĲȣȤĮȓȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ
ȞĮ ĮȜȜȐȗİȚ șȑıİȚȢ ıĲȠ ȘȝȚİʌȓʌİįȠ ʌȠȣ ȠȡȓȗİȚ ȝİ ĲĮ ȐȜȜĮ įȪȠ ıȘȝİȓĮ.
ȉȑȜȠȢ, șĮ ʌȡȠıʌĮșȒıȠȣȝİ ȞĮ ıȣȞįȑıȠȣȝİ ĲĮ ʌĮȡĮʌȐȞȦ ʌȡȠȕȜȒȝĮĲĮ ȝİ ĲȠ ʌȡȩȕȜȘȝĮ ĲȠȣ țȡȣȝȝȑȞȠȣ
șȘıĮȣȡȠȪ ȖȚĮ ȞĮ ĲȠ ȜȪıȠȣȝİ țĮȚ ȞĮ ĲȠȞ ȕȡȠȪȝİ!
ȆȡȫĲȠ ʌȡȩȕȜȘȝĮ: ǻȓȞİĲĮȚ ĲȠ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǺī ( o
A 90
š
). ȈĲȚȢ ʌȜİȣȡȑȢ ǹǺ țĮȚ ǹī
ĲȡȚȖȫȞȠȣ ǹǺī țĮĲĮıțİȣȐȗȠȣȝİ İȟȦĲİȡȚțȐ ĲĮ ĲİĲȡȐȖȦȞĮ ǹǺǻǿ țĮȚ ǹīǾǽ. ǹȞ ȇ İȓȞĮȚ ĲȠ ȝȑıȠ ĲȠȣ
İȣșȣȖȡȐȝȝȠȣ ĲȝȒȝĮĲȠȢ ǻǾ ȞĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ ĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ Ǻȇī İȓȞĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ țĮȚ ȚıȠıțİȜȑȢ.
1Ș ȜȪıȘ
ĬĮ ĮʌȠįİȓȟȠȣȝİ ʌȡȫĲĮ ȩĲȚ ĲĮ ıȘȝİȓĮ ǻ, ǹ, Ǿ İȓȞĮȚ
ıȣȞİȣșİȚĮțȐ. ǼȓȞĮȚ o
1 2
A A 45
š š
țĮȚ İʌİȚįȒ BA 90
š
R
* ,
șĮ İȓȞĮȚ 180
š
R
'$+ , ȐȡĮ ĲĮ ıȘȝİȓĮ ǻ, ǹ, Ǿ İȓȞĮȚ
ıȣȞİȣșİȚĮțȐ, (ıȤȒȝĮ 1). ǲıĲȦ Ȁ ĲȠ ıȘȝİȓȠ ĲȠȝȒȢ ĲȦȞ
ǻǺ, Ǿī. ȉȩĲİ ıĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ȀǻǾ șĮ İȓȞĮȚ o
45
š š
' + ,
ȐȡĮ ĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ șĮ İȓȞĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ țĮȚ ȚıȠıțİȜȑȢ, țĮȚ
İʌİȚįȒ Ȁȇ įȚȐȝİıȠȢ, șĮ İȓȞĮȚ K
2
'+
5 '5 5+ (1).
ǼʌȓıȘȢ Ș Ȁȇ șĮ İȓȞĮȚ țĮȚ įȚȤȠĲȩȝȠȢ ĲȘȢ 90
š
R
'.+ , ȐȡĮ
șĮ İȓȞĮȚ țĮȚ 45
š š
R
'.5 +.5 (2).
ĬĮ ĮʌȠįİȓȟȠȣȝİ ȩĲȚ ȇǺ=ȇī.
ǹȡțİȓ ȞĮ İȓȞĮȚ ȓıĮ ĲĮ ĲȡȓȖȦȞĮ ȇǻǺ țĮȚ ȇȀī.
TĮ ĲȡȓȖȦȞĮ ȇǻǺ, ȇȀī ȑȤȠȣȞ ǻȇ=Ȁȇ ȜȩȖȦ (1)
45
š š
R
5'% 5.* ȜȩȖȦ (2)
ǻǺ=Ȁī įȚȩĲȚ ǻǺ=ǹǺ (ǹǺǻǿ ĲİĲȡȐȖȦȞȠ) țĮȚ ǹǺȀī
ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ȠʌȩĲİ ǹǺ=Ȁī.
ǱȡĮ ĲĮ ĲȡȓȖȦȞĮ ȇǻǺ țĮȚ ȇȀī İȓȞĮȚ ȓıĮ, ȠʌȩĲİ ȇǺ=ȇī, įȘȜĮįȒ ĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ȇǺī İȓȞĮȚ ȚıȠıțİȜȑȢ.
ĬĮ ĮʌȠįİȓȟȠȣȝİ ĲȫȡĮ ȩĲȚ B 90
š
R
5* .

ͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲǹȞĮțĮȜȪʌĲȠȣȝİ ĲȠȞ țȡȣȝȝȑȞȠ șȘıĮȣȡȩ ȝİ ĲȘ ȕȠȒșİȚĮ ĲȘȢ īİȦȝİĲȡȓĮȢ ͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲͲ

ǼȓȞĮȚ 1 2
B B K B K 90
š š š š š
R
5* 5 5 5 5 , įȚȩĲȚ ĲĮ ĲȡȓȖȦȞĮ ȇǻǺ țĮȚ ȇȀī İȓȞĮȚ ȓıĮ, ȠʌȩĲİ 1 2
š š
5 5 .
ǱȡĮ ĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ȇǺī İȓȞĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ țĮȚ ȚıȠıțİȜȑȢ.
ȈȤȩȜȚȠ: ǹțȠȜȠȣșȠȪȞ ȠȚ ĲȡİȚȢ Įʌȩ ĲȚȢ ĲȑııİȡİȚȢ ȜȪıİȚȢ ʌȠȣ ĮȞĮĳȑȡȠȞĲĮȚ ıĲȠ ʌİȡȚȠįȚțȩ ǼȣțȜİȓįȘȢ Ǻ, ĲȩȝȠȢ
1, ĲİȪȤȠȢ 1, ȅțĲȫȕȡȚȠȢȃȠȑȝȕȡȚȠȢ 1976 (ıİȜ. 22–23–26).
2Ș
ȜȪıȘ [ʌİȡȚȠįȚțȩ ǼȣțȜİȓįȘȢ, Ĳ. 1 – 1976]
ȉĮ ıȘȝİȓĮ ǻ, ǹ, Ǿ İȓȞĮȚ ıȣȞİȣșİȚĮțȐ o
A A 45 90 45 180
š š š
R R R
' % % * *$+ , (ıȤȒȝĮ 2).
ĭȑȡȞȠȣȝİ ĲȚȢ ǻȁ, ȇȂ, ǾǼAǺī, ĲȩĲİ ĲȠ ǻȁǼǾ șĮ
İȓȞĮȚ ĲȡĮʌȑȗȚȠ țĮȚ İʌİȚįȒ ĲȠ ȇ İȓȞĮȚ ĲȠ ȝȑıȠ ĲȘȢ
ǻǾ șĮ İȓȞĮȚ țĮȚ ĲȠ Ȃ ȝȑıȠ ĲȘȢ ȁǼ țĮȚ ȇȂAǺī.
ĬĮ İȓȞĮȚ ȜȠȚʌȩȞ Ȃȁ=ȂǼ (1).
ĭȑȡȞȠȣȝİ ǹȃAǺī, ĲȩĲİ ĲĮ ĲȡȓȖȦȞĮ ǻȁǺ țĮȚ ǹǺȃ
ȑȤȠȣȞ: ǻǺ=ǹǺ (ȊʌȩșİıȘ), B 90
š š
R
'/ $1%
1 1
A
š š
% (ȆȜİȣȡȑȢ țȐșİĲİȢ), ȐȡĮ ĲĮ ĲȡȓȖȦȞĮ İȓȞĮȚ
ȓıĮ ȠʌȩĲİ șĮ İȓȞĮȚ: ȁǺ=ǹȃ (2), ǻȁ=Ǻȃ (3).
ǵȝȠȚĮ ĲĮ ĲȡȓȖȦȞĮ ǹȃī, ǾīǼ ȑȤȠȣȞ
ǹī=īǾ (ȊʌȩșİıȘ), AN 90
š š
R
* +(*
1 1
š š
* + (ȆȜİȣȡȑȢ țȐșİĲİȢ), ȐȡĮ ĲĮ ĲȡȓȖȦȞĮ İȓȞĮȚ
ȓıĮ ȠʌȩĲİ șĮ İȓȞĮȚ: ǹȃ=īǼ (4), ȃī=ǾǼ (5).
Ǿ (1) ȖȓȞİĲĮȚ Ȃȁ=ȂǼŸȂǺ+Ǻȁ=Ȃī+īǼŸȂǺ=Ȃī, įȚȩĲȚ Ǻȁ=ǹȃ ȜȩȖȦ (2) țĮȚ ǹȃ=īǼ ȜȩȖȦ (4).
ǱȡĮ ĲȠ Ȃ șĮ İȓȞĮȚ ĲȠ ȝȑıȠ ĲȘȢ Ǻī țĮȚ İʌİȚįȒ ȇȂAǺī, ȐȡĮ ȇǺ=ȇī, ȠʌȩĲİ ĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ȇǺī İȓȞĮȚ
ȚıȠıțİȜȑȢ. ǹȡțİȓ ĲȫȡĮ ȞĮ ĮʌȠįİȓȟȠȣȝİ ȩĲȚ B 90
š
R
5* .
ȈĲȠ ĲȡĮʌȑȗȚȠ ǻȁǼǾ Ș ȇȂ İȓȞĮȚ įȚȐȝİıȠȢ, ȐȡĮ
(3),(5)
2 2 2
'/ (+ %1 1* %*
50 . ǻȘȜĮįȒ ıĲȠ
ĲȡȓȖȦȞȠ ȇǺī Ș įȚȐȝİıȠȢ ȇȂ İȓȞĮȚ ĲȠ ȝȚıȩ ĲȘȢ Ǻī, ȐȡĮ ĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ Ǻȇī İȓȞĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ.
3Ș
ȜȪıȘ [ʌİȡȚȠįȚțȩ ǼȣțȜİȓįȘȢ, Ĳ.1-1976]
A A 45 90 45 180
š š š
R R R
' % % * *$+ , (ıȤȒȝĮ 3).
ǲıĲȦ ȩĲȚ Ș Ǻȇ ĲȑȝȞİȚ ĲȘ ǽǾ ıĲȠ Ĭ.
ǼȓȞĮȚ ǾǽAǺǽ (Ǻ, ǹ, ǽ ıȣȞİȣșİȚĮțȐ) țĮȚ ǻǺAǹǺ, ȐȡĮ ǻǺ//Ǿǽ.
ȉĮ ĲȡȓȖȦȞĮ ǻǺȇ țĮȚ ĬǾȇ ȑȤȠȣȞ ǻȇ=ȇǾ (ȊʌȩșİıȘ)
š š
%'5 5+4 (ǼȞĲȩȢ İȞĮȜȜȐȟ)
š š
'5% 45+ (țĮĲȐ țȠȡȣĳȒ)
ǱȡĮ ĲĮ ĲȡȓȖȦȞĮ İȓȞĮȚ ȓıĮ, ȠʌȩĲİ șĮ İȓȞĮȚ ȇǺ=ȇĬ (1)
țĮȚ ǻǺ=ĬǾ (2). ȉĮ ĲȡȓȖȦȞĮ ǹǺī, ĬǾī ȑȤȠȣȞ
ǹī=īǾ (ȊʌȩșİıȘ), ǹǺ=ĬǾ (ȜȩȖȦ (2) țĮȚ ǹǺ=ǻǺ)
A 90
š š
R
% * 4+* , ȐȡĮ ĲĮ ĲȡȓȖȦȞĮ İȓȞĮȚ ȓıĮ, ȠʌȩĲİ
īǺ=īĬ, įȘȜĮįȒ ĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ īǺĬ İȓȞĮȚ ȚıȠıțİȜȑȢ țĮȚ
İʌİȚįȒ ĲȠ ȇ İȓȞĮȚ ȝȑıȠ ĲȘȢ ǺĬ, șĮ İȓȞĮȚ īȇ A ǺĬ.
ǻȘȜĮįȒ ĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ Ǻȇī İȓȞĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ, ȠʌȩĲİ
Įȡțİȓ ȞĮ İȓȞĮȚ țĮȚ ȚıȠıțİȜȑȢ (ȇǺ = ȇī).
ǹʌȩ ĲȘȞ ȚıȩĲȘĲĮ ĲȦȞ ĲȡȚȖȫȞȦȞ ǹǺī, ĬǾī șĮ ȑȤȠȣȝİ İʌȓıȘȢ 1 2
š š
* * (3).
ǼȓȞĮȚ H A 90
š
R
* œ
(3)
2 1
A 90 A 90 B 90
š š š š š
R R R
* 4* œ* 4* œ 4* , ȐȡĮ ĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ĬīǺ İȓȞĮȚ
ȠȡșȠȖȫȞȚȠ țĮȚ İʌİȚįȒ īȇ įȚȐȝİıȠȢ șĮ İȓȞĮȚ
2
%4
*5 5% 54 , ȠʌȩĲİ ĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ȇǺī İȓȞĮȚ ȚıȠıțİȜȑȢ


4Ș
ȁȪıȘ [ʌİȡȚȠįȚțȩ ǼȣțȜİȓįȘȢ, Ĳ.1 – 1976]
A A 45 90 45 180
š š š
R R R
' % % * *$+ , ıȤȒȝĮ 4.
ǼȓȞĮȚ Ǿǽ A Ǻǽ (Ǻ, ǹ, ǽ ıȣȞİȣșİȚĮțȐ) țĮȚ
ǻǺ A ǹǺ, ȐȡĮ ǻǺ // Ǿǽ, ȠʌȩĲİ ĲȠ ĲİĲȡȐʌȜİȣȡȠ
ǻǺǾǽ İȓȞĮȚ ĲȡĮʌȑȗȚȠ țĮȚ ĲȠ ȇ İȓȞĮȚ ĲȠ ȝȑıȠ ĲȘȢ
įȚĮȖȦȞȓȠȣ ǻǾ.
ĭȑȡȞȠȣȝİ ȇȁ A Ǻǽ, ȠʌȩĲİ ĲȠ ȁ șĮ İȓȞĮȚ ĲȠ ȝȑıȠȞ
ĲȘȢ Ǻǽ țĮȚ șĮ İȓȞĮȚ
2
E J
/5 (ȕ Ȗ) (1).
ǵȝȠȚĮ ǻǿ A ǿī țĮȚ Ǿī A ǿī, ȐȡĮ ĲȠ ĲİĲȡȐʌȜİȣȡȠ
ǻǿǾī İȓȞĮȚ ĲȡĮʌȑȗȚȠ țĮȚ ĲȠ ȇ İȓȞĮȚ ĲȠ ȝȑıȠ ĲȘȢ
įȚĮȖȦȞȓȠȣ ǻǾ. ĭȑȡȞȠȣȝİ ȇȉ A ǿī, ȠʌȩĲİ ĲȠ ȉ șĮ
İȓȞĮȚ ĲȠ ȝȑıȠȞ ĲȘȢ ǿī țĮȚ șĮ İȓȞĮȚ T
2
E J
5 (2).
ȉȠ ȁ İȓȞĮȚ ȝȑıȠ ĲȘȢ Ǻǽ, ȐȡĮ
BZ
B
2 2
E J
/ (3). ȉȠ ȉ İȓȞĮȚ ȝȑıȠ ĲȘȢ ǿī, ȐȡĮ
2 2
,* E J
*7 (4).
ȉĮ ĲȡȓȖȦȞĮ ȁȇǺ, ȇȉī ȑȤȠȣȞ ȁȇ = ȉȇ ȜȩȖȦ (1), (2), Ǻȁ = īȉ ȜȩȖȦ (3), (4)
90
š š
R
%/5 57* , ȐȡĮ ĲĮ ĲȡȓȖȦȞĮ İȓȞĮȚ ȓıĮ, ȠʌȩĲİ șĮ İȓȞĮȚ ȇǺ = ȇī, įȘȜĮįȒ ĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ȇǺī İȓȞĮȚ
ȚıȠıțİȜȑȢ. ǹȡțİȓ ȞĮ İȓȞĮȚ țĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ. ǼʌȓıȘȢ İȓȞĮȚ țĮȚ 1 1
š š
% * , ȐȡĮ ĲȠ ĲİĲȡȐʌȜİȣȡȠ ǹȇīǺ İȓȞĮȚ
İȖȖȡȐȥȚȝȠ, ȠʌȩĲİ A 90
š š
R
%5* % * , ȐȡĮ ĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ȇǺī șĮ İȓȞĮȚ țĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ.
ǻİȪĲİȡȠ ȆȡȩȕȜȘȝĮ: ȈĲȚȢ ʌȜİȣȡȑȢ ǹǺ țĮȚ ǹī ĲȡȚȖȫȞȠȣ
ǹǺī țĮĲĮıțİȣȐȗȠȣȝİ İȟȦĲİȡȚțȐ ĲĮ ĲİĲȡȐȖȦȞĮ ǹǺǻǿ țĮȚ
ǹīǾǽ. ǲıĲȦ ȇ ĲȠ ȝȑıȠȞ ĲȘȢ ǻǾ țĮȚ Ȃ ĲȠ ȝȑıȠ ĲȘȢ Ǻī.
ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ ĲȠ İȣșȪȖȡĮȝȝȠ ĲȝȒȝĮ Ȃȇ, İȓȞĮȚ țȐșİĲȠ
ıĲȘȞ Ǻī țĮȚ ȓıȠ ȝİ ĲȠ ȝȚıȩ ĲȘȢ.
ȁȪıȘ
ǹȡțİȓ ȞĮ ĮʌȠįİȓȟȠȣȝİ ȩĲȚ ĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ȇǺī İȓȞĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ
țĮȚ ȚıȠıțİȜȑȢ. ȆȡȑʌİȚ ȞĮ İțȝİĲĮȜȜİȣĲȠȪȝİ ĲȠ ȝȑıȠ Ȃ ĲȘȢ Ǻī
țĮȚ ĲȚȢ ȚıȩĲȘĲİȢ ĲȦȞ ʌȜİȣȡȫȞ ĲȦȞ įȪȠ ĲİĲȡĮȖȫȞȦȞ. ȀĮĲĮıțİȣȐȗȠȣȝİ ĲȠ ʌĮȡĮȜȜȘȜȩȖȡĮȝȝȠ ǹǺȀī.
ĭĮȓȞİĲĮȚ ȩĲȚ ĲĮ ĲȡȓȖȦȞĮ ǻȇǺ țĮȚ ȇȀī İȓȞĮȚ ȓıĮ, ĮȞ ĲȠ ĮʌȠįİȓȟȠȣȝİ ĮȣĲȩ ĲȩĲİ ȇǺ = ȇī.
ȉĮ ĲȡȓȖȦȞĮ ǻȇǺ, ȇȀī ȑȤȠȣȞ:
ǻǺ = Ȁī (ǻǺ=ǹǺ=īȀ, ǹǺǻǿ ĲİĲȡȐȖȦȞȠ țĮȚ ǹǺȀī
ʌĮȡĮȜȜȘȜȩȖȡĮȝȝȠ)
ǹȞ İȓȞĮȚ ǻȇ = Ȁȇ ĲȩĲİ ǻȇ=Ȁȇ=ȇǾ=
2
'+
, įȘȜĮįȒ
șĮ ʌȡȑʌİȚ ĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǻȀǾ ȞĮ İȓȞĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ,
Įȡțİȓ 90
š
R
§ ·
'.+
¨ ¸
© ¹
.
ǼȓȞĮȚ 1 2
š š š š
'.+ . %.* . = 1 2
š š š
. %$* . (1).
ǹȢ įȠȪȝİ ĲȚ ıȤȑıȘ ȑȤȠȣȞ ȠȚ ȖȦȞȓİȢ 1 2
,
š š
. . .
ȉĮ ĲȡȓȖȦȞĮ ǺǻȀ, īȀǾ ȑȤȠȣȞ ǻǺ=Ȁī įȚȩĲȚ
ǻǺ=ǹǺ=Ȁī (ĲİĲȡȐȖȦȞȠ ǹǺǻǿ țĮȚ ʌĮȡĮȜȜȘ-
ȜȩȖȡĮȝȝȠ ǹǺȀī)
ǺȀ=īǾ įȚȩĲȚ ǺȀ=ǹī=īǾ (ʌĮȡĮȜȜȘȜȩȖȡĮȝȝȠ ǹǺȀī țĮȚ ĲİĲȡȐȖȦȞȠ ǹīǾǽ)
š š
'%. .*+ įȚȩĲȚ 360 90 270
š š š š
R R R
'%. $%. $*. .*+ .
ǱȡĮ ĲĮ ĲȡȓȖȦȞĮ İȓȞĮȚ ȓıĮ ȠʌȩĲİ ȀǾ=Ȁǻ, ȐȡĮ ĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǻȀǾ İȓȞĮȚ ȚıȠıțİȜȑȢ.


ǼʌȓıȘȢ șĮ İȓȞĮȚ 1 1
H
š š
. , 2 1
š š
. ' (2). Ǿ (1) ȜȩȖȦ ĲȘȢ (2) ȖȓȞİĲĮȚ:
1 2 1 2 180 180
š š š š š š š š š
R R
'.+ + %$* . + . %$* .*+ $*. 360 ( )
š š
R
.*+ $*. =
360 (360 90 ) 90
R R R R
, įȘȜĮįȒ ĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǻȀǾ İȓȞĮȚ țĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ.
ǼʌİȚįȒ ĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǻȀǾ İȓȞĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ țĮȚ ȚıȠıțİȜȑȢ, șĮ İȓȞĮȚ Ȁȇ=ǻȇ=ȇǾ (3).
ȉĮ ĲȡȓȖȦȞĮ ǻȇǺ țĮȚ ȇȀī ȑȤȠȣȞ įȪȠ ʌȜİȣȡȑȢ ȓıİȢ (ǻǺ=Ȁī țĮȚ ǻȇ=ȇȀ ȜȩȖȦ (3), Įȡțİȓ Ș ʌİȡȚİȤȩȝİȞİȢ
ȖȦȞȓİȢ ȞĮ İȓȞĮȚ ȓıİȢ. ǹȡțİȓ
š š
5'% 5.* . ǼʌİȚįȒ ĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ȀǻǾ İȓȞĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ țĮȚ ȚıȠıțİȜȑȢ țĮȚ Ș
Ȁȇ İȓȞĮȚ ȪȥȠȢ, șĮ İȓȞĮȚ țĮȚ įȚȤȠĲȩȝȠȢ, ȐȡĮ 45
š š
R
5.+ 5.' , ȠʌȩĲİ
(2)
o o
2 1
45 K 45
š š š
5.* ' (4).
ǼʌİȚįȒ ĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ȀǻǾ İȓȞĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ țĮȚ ȚıȠıțİȜȑȢ, șĮ İȓȞĮȚ 45
š š
R
.'+ '+. , ȠʌȩĲİ
o
1
45
š š
5'% ' țĮȚ ȜȩȖȦ (4) șĮ İȓȞĮȚ
š š
5'% 5.* . ǱȡĮ ĲĮ ĲȡȓȖȦȞĮ ǻȇǺ, ȇȀī İȓȞĮȚ ȓıĮ, ȠʌȩĲİ ȇǺ=ȇī.
ǼʌȓıȘȢ șĮ İȓȞĮȚ
š š
'5% .5* (5). ȉȠ ĲȡȓȖȦȞȠ Ǻȇī İȓȞĮȚ ȚıȠıțİȜȑȢ țĮȚ Ș ȇȂ İȓȞĮȚ įȚȐȝİıȠȢ, ȐȡĮ
ȇȂAǺī. īȚĮ ȞĮ ĮʌȠįİȓȟȠȣȝİ ȩĲȚ
2
%*
50 , Įȡțİȓ 90
š
R
%5* .
ǼȓȞĮȚ
(5)
P 90
š š š š š
R
%5* %5. .5* %5. ' % , įȚȩĲȚ ȀȇAǻǾ.
ȉȡȓĲȠ ʌȡȩȕȜȘȝĮ: ȈĲȚȢ ʌȜİȣȡȑȢ ǹǺ țĮȚ ǹī ĲȡȚȖȫȞȠȣ ǹǺī țĮĲĮıțİȣȐȗȠȣȝİ İȟȦĲİȡȚțȐ ĲĮ
ĲİĲȡȐȖȦȞĮ ǹǺǻǿ țĮȚ ǹīǾǽ. ǼȐȞ ȠȚ țȠȣĳȑȢ Ǻ țĮȚ ī ĲȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ İȓȞĮȚ ıĲĮșİȡȑȢ, İȞȫ Ș țȠȡȣĳȒ ǹ
țȚȞİȓĲĮȚ ʌȐȞȦ ıĲȠ ȑȞĮ Įʌȩ ĲĮ ȘȝȚİʌȓʌİįĮ, ʌȠȣ ȠȡȓȗİȚ Ș İȣșİȓĮ Ǻī, Ȟ' ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ ĲȠ ȝȑıȠ ȇ ĲȠȣ
İȣșȣȖȡȐȝȝȠȣ ĲȝȒȝĮĲȠȢ ǻǾ İȓȞĮȚ ıĲĮșİȡȩ ıȘȝİȓȠ, įȘȜĮįȒ Ș șȑıȘ ĲȠȣ įİȞ İȟĮȡĲȐĲĮȚ Įʌȩ ĲȘ șȑıȘ
ĲȠȣ ǹ.
ȁȪıȘ
ǼʌİȚįȒ ĲĮ ıȘȝİȓĮ Ǻ, ī İȓȞĮȚ ıĲĮșİȡȐ țĮȚ ĲȠ ǹ ȝİĲĮȕȜȘĲȩ,
șİȦȡȠȪȝİ ȝȓĮ ȐȜȜȘ ĲȣȤĮȓĮ șȑıȘ ȖȚĮ ĲȠ ǹ, ȑıĲȦ ǹǯ.
ȉȩĲİ ĲĮ ȞȑĮ ĲİĲȡȐȖȦȞĮ șĮ İȓȞĮȚ ĲĮ ǹǯǺǻǯǿǯ țĮȚ ǹǯīǾǯǽǯ, ĬĮ
ĮʌȠįİȓȟȠȣȝİ ȩĲȚ Ș ǻǯǾǯ įȚȑȡȤİĲĮȚ Įʌȩ ĲȠ ȇ.
(ȈȤ. 6)
Ǿ ȞȑĮ șȑıȘ ǹǯ ıĲȡȑĳİȚ ĲȘȞ Ǻǹ țĮĲȐ ȖȦȞȓĮ 2 1
š š
% % , įȚȩĲȚ
ǯ ǯ 90
š š
R
' %$ '%$ Ÿ ǯ ǯ ǯ ǯ
š š š š
' %$ $%$ '%' ' %$ Ÿ 2 1
ǯ ǯ
š š š š
' %$ % % ' %$Ÿ 2 1
š š
% % .
ǵȝȠȚĮ ıĲȡȑĳİȚ ĲȘȞ īǹ țĮĲȐ ȖȦȞȓĮ `1 2
š š
* * , įȚȩĲȚ ' ǯ 90
š š
R
+ *$ +*$ Ÿ ǯ ǯ ǯ '
š š š š
+ *++*$ +*$ $ *$Ÿ


2 1
ǯ ǯ
š š š š
* +*$ +*$ * Ÿ 2 1
š š
* * .
īȚĮ ȞĮ ĮʌȠįİȓȟȠȣȝİ ȩĲȚ Ș ǻǯǾǯ įȚȑȡȤİĲĮȚ Įʌȩ ĲȠ ȇ, Įȡțİȓ ȞĮ ĮʌȠįİȓȟȠȣȝİ ȩĲȚ ĲȠ ǻǻ'ǾǾ' İȓȞĮȚ
ʌĮȡĮȜȜȘȜȩȖȡĮȝȝȠ, ȠʌȩĲİ ȠȚ įȚĮȖȫȞȚȠȚ șĮ įȚȤȠĲȠȝȠȪȞĲĮȚ. ǹȡțİȓ ȞĮ ĮʌȠįİȓȟȠȣȝİ ȩĲȚ ǻǻ' = // ĲȘȢ ǾǾ'.
ĬĮ İțȝİĲĮȜȜİȣĲȠȪȝİ ĲȘȞ ȚıȩĲȘĲĮ ĲȦȞ ȖȦȞȚȫȞ 2 1
š š
% % țĮȚ 2 1
š š
* * .
ȉĮ ĲȡȓȖȦȞĮ Ǻǻǻǯ țĮȚ Ǻǹǹǯ ȑȤȠȣȞ Ǻǻ = Ǻǹ (ȊʌȩșİıȘ), Ǻǻǯ= Ǻǹǯ (ȊʌȩșİıȘ), 1 2
š š
% %
ǱȡĮ ĲĮ ĲȡȓȖȦȞĮ İȓȞĮȚ ȓıĮ ȠʌȩĲİ ǻǻ' = ǹǹ' (1).
ȉĮ ĲȡȓȖȦȞĮ īǹǹǯ țĮȚ īǾǾǯ ȑȤȠȣȞ īǹ=īǾ (ȊʌȩșİıȘ), īǹǯ=īǾǯ (ȊʌȩșİıȘ), 1 2
š š
* *
ǱȡĮ ĲĮ ĲȡȓȖȦȞĮ İȓȞĮȚ ȓıĮ ȠʌȩĲİ ǾǾ' = ǹǹ' (2). ǹʌȩ ĲȚȢ (1) țĮȚ (2) ȑȤȠȣȝİ ǻǻ' = ǾǾ'. ǹȡțİȓ ǻǻ' // ǾǾ'.
ǹȡțİȓ 1 2 1 2 180
š š š š
R
' ' + + . Ǿ 1
š
' İȓȞĮȚ İȟȦĲİȡȚțȒ ȖȦȞȓĮ ĲȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ ǻǺǻǯ, ȐȡĮ 1 1
ǯ
š š š
' '' % % .
ǹʌȩ ĲȘȞ ȚıȩĲȘĲĮ ĲȦȞ ĲȡȚȖȫȞȦȞ Ǻǻǻǯ, Ǻǹǹǯ șĮ ȑȤȠȣȝİ 1 2
š š
% % țĮȚ 1
ǯ '
š š
'' % $ , ȠʌȩĲİ șĮ İȓȞĮȚ:
1 1
ǯ
š š š
' '' % % = 1 2
A'
š š
% (3). ǹʌȩ ĲȘȞ ȚıȩĲȘĲĮ ĲȦȞ ĲȡȚȖȫȞȦȞ īǹǹǯ țĮȚ īǾǾǯ șĮ ȑȤȠȣȝİ 1 1
H A
š š
, ȠʌȩĲİ
șĮ İȓȞĮȚ:
(3)
1 2 1 2 1 2 2 1 2
A' B A H
š š š š š š š š š
' ' + + ' țĮȚ șȑȜȠȣȝİ ĮȣĲȩ ĲȠ ȐșȡȠȚıȝĮ ȞĮ țȐȞİȚ 180Ƞ
.
ǹʌȩ ĲȠ ĲȡȓȖȦȞĮ ǹǺǹǯ șĮ ȑȤȠȣȝİ: 1 2 1
A' B BA A 180
š š š š
R
* , ȠʌȩĲİ Įȡțİȓ ȞĮ ĮʌȠįİȓȟȠȣȝİ ȩĲȚ
2 2
H
š š š
' %$* . ȆȡȠİțĲİȓȞȠȣȝİ ĲȚȢ ǻǺ, Ǿī ʌȠȣ ĲȑȝȞȠȞĲĮȚ ıĲȠ Ȁ. ȅȚ ȖȦȞȓİȢ 2 2
, H
š š
' İȓȞĮȚ ȖȦȞȓİȢ ĲȠȣ
ĲȡȚȖȫȞȠȣ ǻǾȀ, ȠʌȩĲİ o
2 2
H 180
š š š
' '.+ (4). ȉȠ ĲİĲȡȐʌȜİȣȡȠ ǹǺȀī İȓȞĮȚ İȖȖȡȐȥȚȝȠ (ǹǺAǺȀ țĮȚ
ǹīAȀī), ȐȡĮ BK 180
š š
R
* %$* Ÿ K 180
š š
R
' + %$* Ÿ K 180
š š
R
' + %$* (5).
Ǿ (4) ȜȩȖȦ ĲȘȢ (5) ȖȓȞİĲĮȚ o
2 2
H 180 (180 )
š š š š
R
' %$* %$* . ǱȡĮ ǻǻ' =//ǾǾ', ȠʌȩĲİ ĲȠ ǻǻǳǾǯ
ʌĮȡĮȜȜȘȜȩȖȡĮȝȝȠ ȐȡĮ ȠȚ įȚĮȖȫȞȚȠȚ įȚȤȠĲȠȝȠȪȞĲĮȚ, įȘȜĮįȒ Ș ǻ' Ǿ' įȚȑȡȤİĲĮȚ Įʌȩ ĲȠ ȇ.
ȆĮȡĮĲȘȡȒıİȚȢ:
1. ȉȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ȇǺī ıȣȞİȤȓȗİȚ ȞĮ İȓȞĮȚ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ țĮȚ ȚıȠıțİȜȑȢ ĮȞİȟȐȡĲȘĲĮ Įʌȩ ĲȘ șȑıȘ ĲȠȣ ıȘȝİȓȠȣ ǹ.
2. ǼʌİȚįȒ Ș țĮĲĮıțİȣȒ ĲȠȣ, İȟĮȡĲȐĲĮȚ ȝȩȞȠ Įʌȩ ĲȘȞ ʌȜİȣȡȐ Ǻī, Ș șȑıȘ ĲȠȣ ıȘȝİȓȠȣ ȇ șĮ İȓȞĮȚ
țĮĲĮıțİȣȐıȚȝȘ.
3. Ȃİ įȚȐȝİĲȡȠ ĲȘ Ǻī țĮĲĮıțİȣȐȗȠȣȝİ țȪțȜȠ, ĳȑȡȞȠȣȝİ ĲȘ ȝİıȠțȐșİĲȘ ĲȘȢ Ǻī țĮȚ İțİȓ ʌȠȣ ĲȑȝȞİȚ ĲȠȞ
țȪțȜȠ İȓȞĮȚ ĲȠ ıȘȝİȓȠ ȇ.
ǹȢ įȠȪȝİ ĲȫȡĮ ʌȫȢ ȝİ ĲȘ ȕȠȒșİȚĮ ĲȘȢ īİȦȝİĲȡȓĮȢ ȝʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ țĮĲĮıțİȣȐıȠȣȝİ ȑȞĮ ʌȡȩȕȜȘȝĮ
țȡȣȝȝȑȞȠȣ șȘıĮȣȡȠȪ țĮȚ ȞĮ ĲȠ ȜȪıȠȣȝİ ȕĮıȚȗȩȝİȞȠȚ ıĲȘȞ İȝʌİȚȡȓĮ ʌȠȣ ĮʌȠțȠȝȓıĮȝİ ȜȪȞȠȞĲĮȢ ĲĮ ĲȡȓĮ
ʌȡȠȕȜȒȝĮĲĮ țĮȚ İıĲȚȐȗȠȞĲĮȢ ıĲȚȢ ʌĮȡĮĲȘȡȒıİȚȢ ȝĮȢ.
ƶǊ ›ǋǓǀǇǃĂĴ ĸǊǍ ǆǋǍĂĂƽǈǊǍ ǄǃķĴǍǋǊǔ
ǲıĲȦ ȩĲȚ ȕȡȓıțȠȣȝİ ȑȞĮ ʌĮȜȚȩ ȤȐȡĲȘ ʌȠȣ ĮʌİȚțȠȞȓȗİȚ ȑȞĮ ȞȘıȓ ıĲȠ ȠʌȠȓȠ ȣʌȐȡȤİȚ țȡȣȝȝȑȞȠȢ
șȘıĮȣȡȩȢ. ǼțĲȩȢ Įʌȩ ĲȠ ȖİȦȖȡĮĳȚțȩ ʌȜȐĲȠȢ țĮȚ ȝȒțȠȢ ĲȠȣ ȞȘıȚȠȪ, Ƞ ȤȐȡĲȘȢ ȑȤİȚ ıȤİįȚĮıȝȑȞĮ İʌȐȞȦ
ĲȠȣ ȝȚĮ ȠȟȚȐ Ǻ, ȝȚĮ ȕİȜĮȞȚįȚȐ Ǽ, ȝȚĮ țȡİȝȐȜĮ G, țĮȚ įȪȠ ıȘȝİȓĮ Ǻǯ țĮȚ Ǽǯ, ĮȞȐȝİıĮ ıĲĮ ȠʌȠȓĮ, ıĲȘ ȝȑıȘ
ĮțȡȚȕȫȢ, İȓȞĮȚ Ƞ șȘıĮȣȡȩȢ.
ȉȠ ıȘȝİȓȠ Ǻ' ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ĲȠ ȕȡİȚ țĮȞİȓȢ ĮȞ ʌȡȠȤȦȡȒıİȚ Įʌȩ ĲȘȞ țȡİȝȐȜĮ G ʌȡȠȢ ĲȘȞ ȠȟȚȐ B,
ȝİĲȡȫȞĲĮȢ ĲĮ ȕȒȝĮĲĮ țĮȚ ıĲȡĮĳİȓ țĮĲȩʌȚȞ ĮȡȚıĲİȡȐ țĮĲȐ 90Ƞ
, țȐȞȠȞĲĮȢ ĲȩıĮ ȕȒȝĮĲĮ ȩıĮ ȑțĮȞİ Įʌȩ ĲȘȞ
țȡİȝȐȜĮ ȝȑȤȡȚ ĲȘȞ ȠȟȚȐ.
Ȃİ ĲȠȞ ȓįȚȠ ĲȡȩʌȠ, ʌȡȠȤȦȡȫȞĲĮȢ Įʌȩ ĲȘȞ țȡİȝȐȜĮ G ʌȡȠȢ ĲȘȞ ȕİȜĮȞȚįȚȐ Ǽ, ȝİĲȡȫȞĲĮȢ ĲĮ ȕȒȝĮĲĮ
țĮȚ ıĲȡİĳȩȝİȞȠȢ ȩȝȦȢ ʌȡȠȢ ĲĮ įİȟȚȐ țĮĲȐ 90Ƞ
țȐȞȠȞĲĮȢ ĲȩıĮ ȕȒȝĮĲĮ ȩıĮ ȑțĮȞİ Įʌȩ ĲȘȞ țȡİȝȐȜĮ,
ȕȡȓıțİȚ țĮȞİȓȢ ĲȠ ıȘȝİȓȠ Ǽ'.


ǵĲĮȞ ȩȝȦȢ ȑĳĲĮıİ ıĲȠ ȞȘıȓ, ȕȡȓıțİȚ ĲĮ įȪȠ
įȑȞįȡĮ, ĮȜȜȐ ȩȤȚ țĮȚ ĲȘȞ țȡİȝȐȜĮ ʌȠȣ ȑȤİȚ
İȟĮĳĮȞȚıĲİȓ ĲİȜİȓȦȢ, ȤȦȡȓȢ Ȟǯ ĮĳȒıİȚ ĲȠ
ʌĮȡĮȝȚțȡȩ ȓȤȞȠȢ.
ȆȫȢ șĮ ȝʌȠȡȑıİȚ ĲȫȡĮ ȞĮ ȕȡİȚ ĲȠȞ
șȘıĮȣȡȩ;
ȁȪıȘ
ǹȢ țȐȞȠȣȝİ ʌȡȫĲĮ ȑȞĮ ıȤȒȝĮ ȖȚĮ ĲȘ șȑıȘ ĲȠȣ
șȘıĮȣȡȠȪ.
ǵʌȦȢ ĳĮȓȞİĲĮȚ Įʌȩ ĲĮ ʌĮȡĮʌȐȞȦ ıȤȒȝĮ, ȑȤȠȣȝİ
ȑȞĮ ĲȡȓȖȦȞȠ ĲȠ GBE țĮȚ ĲĮ İȣșȪȖȡĮȝȝĮ
ĲȝȒȝĮĲĮ ǺǺ', ǼǼ', ĲȑĲȠȚĮ ȫıĲİ ǺǺ' A ǺG ȝİ
ǺǺ' = ǺG țĮȚ GǼ A ǼǼ' ȝİ GǼ = ǼǼ'.
ǼʌİȚįȒ ǺǺ' A ǺG țĮȚ ǺǺ' = ǺG, ĮȣĲȩ ʌĮȡĮʌȑȝʌİȚ ıİ
ĲİĲȡȐȖȦȞȠ, ĲȠ GBB' ȃ.
ǵȝȠȚĮ İʌİȚįȒ GǼ A ǼǼ' ȝİ GǼ = ǼǼ', ĮȣĲȩ
ʌĮȡĮʌȑȝʌİȚ ıİ ĲİĲȡȐȖȦȞȠ GǼǼ' Ȁ, ȩʌȦȢ ĳĮȓȞİĲĮȚ țĮȚ
ıĲȠ ʌĮȡĮțȐĲȦ ıȤȒȝĮ.
ǹȣĲȩ ĲȠ ıȤȒȝĮ ʌĮȡĮʌȑȝʌİȚ ıİ ʌȡȠȘȖȠȪȝİȞȠ
ʌȡȩȕȜȘȝĮ (ĲȠ ʌȡȩȕȜȘȝĮ 2)
ȈĲȠ ʌȡȩȕȜȘȝĮ ĮȣĲȩ ĮʌȠįİȓȟĮȝİ ȩĲȚ ĲȠ ȝȑıȠȞ ĲȠȣ ǺǯǼǯ
ȕȡȓıțİĲĮȚ ʌȐȞȦ ıĲȘ ȝİıȠțȐșİĲȘ ĲȘȢ ǺǼ țĮȚ ıİ
ĮʌȩıĲĮıȘ
BE
2
Įʌȩ ĲȠ ȝȑıȠȞ ĲȘȢ ǺǼ. ǻȘȜĮįȒ Ș șȑıȘ
ĲȘȢ țȡİȝȐȜĮȢ G įİȞ ʌĮȓȗİȚ țĮȞȑȞĮ ȡȩȜȠ ıĲȘȞ ĮȞĮțȐȜȣȥȘ ĲȠȣ șȘıĮȣȡȠȪ.
ȈȣȝʌİȡĮıȝĮĲȚțȐ: Ȃİ ĲȘ ȕȠȒșİȚĮ ĲȘȢ īİȦȝİĲȡȓĮȢ ĮȞĮțĮȜȪȥĮȝİ ĲȠȞ țȡȣȝȝȑȞȠ șȘıĮȣȡȩ ȤȦȡȓȢ țĮȞ
ȞĮ ȤȡİȚĮıĲİȓ ȞĮ... ıțȐȥȠȣȝİ ʌĮȡȐ ȝȩȞȠȞ ıĲȠ țĮȚ ȝİ ĲȠ ȝȣĮȜȩ ȝĮȢ. Ǿ ıȣıĲȘȝĮĲȚțȒ ȝİĲȐȕĮıȘ Įʌȩ
ĲȚȢ ȚįȚȩĲȘĲİȢ İȞȩȢ ıȣȖțİțȡȚȝȑȞȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ (1Ƞ ʌȡȩȕȜȘȝĮ) ıĲȚȢ ȓįȚİȢ ȚįȚȩĲȘĲİȢ İȞȩȢ ĲȣȤĮȓȠȣ
ĲȡȚȖȫȞȠȣ ȝİ ȝİĲĮțȚȞȠȪȝİȞȘ țȠȡȣĳȒ (3Ƞ ʌȡȩȕȜȘȝĮ) ĮȞȑįİȚȟİ ĲȘ įȣȞĮȝȚțȒ ĲȘȢ īİȦȝİĲȡȓĮȢ țĮȚ ĲȘȞ
İĳĮȡȝȠȖȒ ĲȘȢ ıĲȘȞ ĮȞĮțȐȜȣȥȘ ĲȠȣ țȡȣȝȝȑȞȠȣ șȘıĮȣȡȠȪ.
ȆȘȖȑȢ:
x ȆİȡȚȠįȚțȩ ǼȣțȜİȓįȘȢ ȖȚĮ ĲȠ ȁȪțİȚȠ ĲȩȝȠȢ ǿǯ, ĲİȪȤȠȢ 1, [ȅțĲȫȕȡȚȠȢ - ȃȠȑȝȕȡȚȠȢ 1976 ıİȜȓįĮ 22–23–26].
x ȆİȡȚȠįȚțȩ ǼȣțȜİȓįȘȢ ȖȚĮ ĲȠ ȁȪțİȚȠ ĲȩȝȠȢ ǿǺǯ, ĲİȪȤȠȢ 5, [ȂȐȚȠȢ – ǿȠȪȞȚȠȢ 1979].
x ȆİȡȚȠįȚțȩ ǼȣțȜİȓįȘȢ ȖȚĮ ĲȠ ȁȪțİȚȠ ĲȩȝȠȢ Ȁǹǯ, ĲİȪȤȠȢ 4, [ǹʌȡȓȜȚȠȢ 1988 ıİȜȓįĮ 197].

Ⱦʄɿʅɲʏɿʃɼɲʄʄɲɶɼ
ɅɲʆɲɶɿʙʏɻʎɅ.ɍʌɿʍʏʊʋʉʐʄʉʎ

ʌɿʆ 650 ɸʃɲʏʉʅʅʑʌɿɲ ʖʌʊʆɿɲ, ʃɲʏɳ ʏʉʐʎ ȳɸʘʄʊɶʉʐʎ, ʐʋɼʌʇɸ ɻ
Ⱦʌʐʉɶɸʆɼʎ ʋɸʌʀʉɷʉʎ ʍʏɻ ȳɻ, ʃɲɿ ʅɳʄɿʍʏɲ ʋɿʍʏɸʑʉʐʆ ʊʏɿ ʉɿ ʋɳɶʉɿ
ɸʀʖɲʆ ʔʏɳʍɸɿ ʍʏʉ Ȼʍɻʅɸʌɿʆʊ. ȸ ȳɻ ʏʊʏɸ ɼʏɲʆ ʅɿɲ ʖɿʉʆʊʅʋɲʄɲ
(Snowball Earth). ȵɷʙ ʃɲɿ 2,5 ɸʃɲʏʉʅʅʑʌɿɲ ʖʌʊʆɿɲ ɸʀʅɲʍʏɸ ʍʏɻʆ
ʏɸʏɲʌʏʉɶɸʆɼ ʋɲɶɸʏʘʆɿʃɼ ʋɸʌʀʉɷʉ, ɷɻʄɲɷɼ ʋɸʌʀʉɷʉʎ ɲʐʏɼ ʏɻʆ ʉʋʉʀɲ
ɷɿɲʆʑɸɿ ɻ ȳɻ ʏʙʌɲ ɸʀʆɲɿ ʅɸʍʉʋɲɶɸʏʘʆɿʃɼ ʋɸʌʀʉɷʉʎ. ɇʑʅʔʘʆɲ ʅɸ ʏʉ
ʅɲɽɻʅɲʏɿʃʊ ʅʉʆʏɹʄʉ ʏʉʐ ɀɿʄʉʐʏʀʆ ɀɿʄɳʆʃʉɴɿʏʎ, ʏʉʐʎ «ʃʑʃʄʉʐʎ
ɀɿʄɳʆʃʉɴɿʏʎ», ʐʋɳʌʖʉʐʆ ʖʌʉʆɿʃɹʎ ʋɸʌʀʉɷʉɿ, ʃɲʏɳ ʏɿʎ ʉʋʉʀɸʎ ɹʖʉʐʅɸ ʍɻʅɲʆʏɿʃɼ ʋʏʙʍɻ ʏɻʎ
ɽɸʌʅʉʃʌɲʍʀɲʎ ʅɸ ɲʑʇɻʍɻ ʏʘʆ ʋɲɶɸʏʙʆʘʆ ʃɲɿ ʖʌʉʆɿʃɹʎ ʋɸʌɿʊɷʉʐʎ ʅɸ ɲʑʇɻʍɻ ʏɻʎ ɽɸʌʅʉʃʌɲʍʀɲʎ ʃɲɿ
ʄɿʙʍɿʅʉʏʘʆʋɳɶʘʆ.Ʉʄɲɹʖʉʐʆʆɲʃɳʆʉʐʆʅɸʏɿʎʋɸʌɿʉɷɿʃɹʎʃɿʆɼʍɸɿʎʏɻʎȳɻʎʃɲɿʏɻɽɹʍɻʋʉʐʋɲʀʌʆɸɿ
ʃɳɽɸʔʉʌɳʍɸʍʖɹʍɻʅɸʏʉʆȹʄɿʉ.ȸʋɿʉ«ʋʌʊʍʔɲʏɻ»,ɸʋʉʖɼʏʘʆʋɲɶɸʏʙʆʘʆʍʏɻȳɻɳʌʖɿʍɸʆɲʐʋʉʖʘʌɸʀ
ʋʌɿʆ ɲʋʊ 12.000 ʖʌʊʆɿɲ, ʋʉʐ ɹʖʉʐʅɸ ʏɻʆ ɸʅʔɳʆɿʍɻ ʏʘʆ ʋʌʙʏʘʆ ʋʉʄɿʏɿʍʅʙʆ. Ȱʐʏʊ ɸʋɹʏʌɸʗɸ ʍʏʉʐʎ
ɲʆɽʌʙʋʉʐʎ ʆɲ ɲʔɼʍʉʐʆ ʏɻʆ ʆʉʅɲɷɿʃɼ ɺʘɼ, ʆɲ ɸɶʃɲʏɲʍʏɲɽʉʑʆ ʅʊʆɿʅɲ ʍɸ ɸʑʃʌɲʏɸʎ ʋɸʌɿʉʖɹʎ ʏɻʎ
ɀɸʍʉɶɸʀʉʐʃɲɿɸʃɸʀʆɲɲʆɲʋʏʑʇʉʐʆʏɻʆɶɸʘʌɶʀɲʃɲɿʏɻʆʃʏɻʆʉʏʌʉʔʀɲ.
Ʉʅʘʎʏʉʐʎʏɸʄɸʐʏɲʀʉʐʎɷʑʉɲɿʙʆɸʎ,ɻɲʆɽʌʘʋʊʏɻʏɲɲʆɹʋʏʐʇɸʏʉʆ«ʋʉʄɿʏɿʍʅʊʏɻʎʃɲʅɿʆɳɷɲʎ»ʊʋʘʎ
ʉʆʉʅɳʍʏɻʃɸ,ʉʉʋʉʀʉʎʋʌʉʇɹʆɻʍɸʅɸɶɳʄɻʅʊʄʐʆʍɻʍʏʉʆʋʄɲʆɼʏɻʅɲʎʃɲɿɴʀɲɿɻʅɸʏɲɴʉʄɼʏʘʆʃɲɿʌɿʃʙʆ
ʔɲɿʆʉʅɹʆʘʆ. Ȱʆ ɷɸʆ ɸʀʖɸ ɲʆɲʋʏʐʖɽɸʀ ɻ ɀɸʏɸʘʌʉʄʉɶʀɲ, ʆɲ ʅɲʎ ʋʌʉɸɿɷʉʋʉɿʉʑʆ ɶɿɲ ʏɲ ʃɲɿʌɿʃɳ
ʔɲɿʆʊʅɸʆɲ,ʋɿʍʏɸʑʘʊʏɿɽɲɸʀʖɲʅɸʋʉʄʑʅɸɶɳʄɸʎʏʌɲɶʘɷʀɸʎ.ȸʅʊʄʐʆʍɻɲʐʏɼʏʉʐʋɸʌɿɴɳʄʄʉʆʏʉʎɲʋʊ
ʏɻʆʃɳʋʆɲʏʉʐʋɸʏʌɸʄɲʀʉʐ,ʏɲʋʄɲʍʏɿʃɳ,ʏɲɴɿʉʅɻʖɲʆɿʃɳɲʋʊɴʄɻʏɲ,ʏɲʖɻʅɿʃɳ,ʏʉʃʊʗɿʅʉʃɲɿʃɳʗɿʅʉ
ʏʘʆɷɲʍʙʆ,ʏʉʆʋɸʌɿʉʌɿʍʅʊʏʘʆʌɸʅɳʏʘʆ,ʏɻʆʐʋɸʌɴʉʄɿʃɼɲʆʉɿʃʉɷʊʅɻʍɻ,ʃɲɿɶɸʆɿʃɳʏɻʅɸʏɲɴʉʄɼʏɻʎ
ʊʗɻʎʏʉʐʋʄɲʆɼʏɻ,ɲʔʑʋʆɿʍɲʆɸʐʏʐʖʙʎʏɻʆɲʆɽʌʘʋʊʏɻʏɲ.ȳɿɲʏɻʆʃʄɿʅɲʏɿʃɼɲʄʄɲɶɼ,ʃɲʆɸʀʎɷɸʆɽɲ
ʅʋʉʌʉʑʍɸʆɲʋɸɿʅɸɴɸɴɲɿʊʏɻʏɲʋʉɿɸʎɸʀʆɲɿʉɿɲɿʏʀɸʎ.

ɇʑʅʔʘʆɲ ʊʅʘʎ ʅɸ ʏʉʐʎ ɸʋɿʍʏɼʅʉʆɸʎ, ʐʋɸʑɽʐʆɻ ɸʀʆɲɿ ɻ ɲʆɽʌʙʋɿʆɻ ɷʌɲʍʏɻʌɿʊʏɻʏɲ. ɀʋʌʉʍʏɳ ʍɸ
ɲʐʏʊʆʏʉʆʃʀʆɷʐʆʉ200ʋɸʌʀʋʉʐʖʙʌɸʎʐʋɹɶʌɲʗɲʆʏʉ2016ɇʐʅʔʘʆʀɲʍʏʉɅɲʌʀʍɿɶɿɲʏʉʆʋɸʌɿʉʌɿʍʅʊ
ʏʘʆʌʐʋʉɶʊʆʘʆɷʌɲʍʏɻʌɿʉʏɼʏʘʆʃɲɿʋʌʉʍʋɳɽɸɿɸʎɶɿɲʋʌɳʍɿʆɻɸʆɹʌɶɸɿɲ.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ȀȜȚȝĮĲȚțȒ ǹȜȜĮȖȒ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------
«Ʌʌɹʋɸɿ ʆɲ ʃɲʏɲɴɳʄʉʐʅɸ ʃɳɽɸ ʋʌʉʍʋɳɽɸɿɲ ɶɿɲ ʆɲ ɷɿɲʍʔɲʄʀʍʉʐʅɸ ʊʏɿ ʏʉ ʃʄʀʅɲ ɷɸʆ ɽɲ ɲʄʄɳʇɸɿ
ɷʌɲʅɲʏɿʃɳ»ɸʀʖɸʋɸɿʉɆʙʍʉʎʋʌʊɸɷʌʉʎVladimirPutin.
ȴʐʍʏʐʖʙʎʉʋʌʉɻɶʉʑʅɸʆʉʎʋʌʊɸɷʌʉʎʏɻʎȰʅɸʌɿʃɼʎɸʀʖɸɲʋʉʖʘʌɼʍɸɿɲʋʊʏɻʆɇʐʅʔʘʆʀɲʏʉʐɅɲʌɿʍɿʉʑ,
ʅɸʏɻɷɿʃɲɿʉʄʉɶʀɲ,ʋʘʎɸʋɹʏʌɸʋɸʍɸȾʀʆɲʃɲɿȻʆɷʀɲ,ʏɿʎɷʑʉʖʙʌɸʎʅɸʐʗɻʄʊʏɸʌɸʎɸʃʋʉʅʋɹʎʌʑʋʘʆ,ʆɲ
ʃɲʏɲʆɲʄʙʆʉʐʆɸʄɸʑɽɸʌɸʎ,ʉʌʐʃʏɳʃɲʑʍɿʅɲ.Ȱʄʄɳʅɸʏɻʆʍʐʅʔʘʆʀɲʋʉʐɹɶɿʆɸʋʌɿʆʄʀɶɸʎʅɹʌɸʎʅɸʏɲʇʑ
ʏʉʐ ʆɹʉʐ ʋʌʉɹɷʌʉʐ ʏʘʆ ȸɅȰ ʃɲɿ ʏɻʎ Ɇʘʍʀɲʎ ɶɿɲ ʆɲ ʍʐʆɸʌɶɲʍʏʉʑʆ ʋɸʌɲɿʏɹʌʘ ʍʏʉ ʋʄɲʀʍɿʉ ʏʉʐ
Ȱʌʃʏɿʃʉʑ ɇʐʅɴʉʐʄʀʉʐ ɶɿɲ ʏʉ ʋɸʌɿɴɳʄʄʉʆ, ɹʖʉʐʅɸ ɸʄʋʀɷɸʎ ʊʏɿ ʊʄɸʎ ʉɿ ʖʙʌɸʎ ɽɲ ɸʆʏɸʀʆʉʐʆ ʏɿʎ
ʋʌʉʍʋɳɽɸɿɹʎʏʉʐʎɶɿɲʆɲʍʏɲʅɲʏɼʍʉʐʆʏɻʆɲʑʇɻʍɻʏɻʎɽɸʌʅʉʃʌɲʍʀɲʎ,ʋʌʉʃɸɿʅɹʆʉʐʆɲɲʋʉʏʌɲʋɸʀʅɿɲ
ʃɲʏɲʍʏʌɸʋʏɿʃɼ ʃʄɿʅɲʏɿʃɼ ɲʄʄɲɶɼ. Ⱦʄɲʍʍɿʃɼ ɸʐʃɲɿʌʀɲ ʆɲ ɶʀʆɸɿ ɲʐʏʊ, ʍʏɻ ʍʑʆʉɷʉ ʃʉʌʐʔɼʎ, ʋʉʐ
ʋʌʊʃɸɿʏɲɿʆɲʔɿʄʉʇɸʆɻɽɸʀʍʏɿʎȸɅȰʍʏɿʎ22Ȱʋʌɿʄʀʉʐ2021(ɻʅɹʌɲʏɻʎȳɻʎ)
«ȸ ɸʋɿʍʏɼʅɻ ɽɲ ɸʀʆɲɿ ʋɳʆʏɲ ʍʏɻʆ ʋʌʙʏɻ ɶʌɲʅʅɼ ʏɻʎ ɷɿʉʀʃɻʍɼʎ ʅʉʐ» ɷɼʄʘʍɸ ʉ ʆɹʉʎ ʋʌʊɸɷʌʉʎ Joe
Biden ʏɻʎ Ȱʅɸʌɿʃɼʎ. Ɉɻ ɽɹʍɻ ʏʉʐ ȴɿɸʐɽʐʆʏɼ, ʏʉʐ ɶʌɲʔɸʀʉʐ ȵʋɿʍʏɼʅɻʎ ʃɲɿ Ɉɸʖʆʉʄʉɶɿʃɼʎ ʋʉʄɿʏɿʃɼʎ
ɸʅʋɿʍʏɸʑʏɻʃɸ ʍɸ ɹʆɲʆ ʅɲɽɻʅɲʏɿʃʊ, ʏʉʆ Eric Steven Lander, ʋʉʐ ɸʀʆɲɿ ʃɲɿ ɶɸʆɸʏɿʍʏɼʎ. Ⱦɲɽɻɶɻʏɼʎ
ɴɿʉʄʉɶʀɲʎʍʏʉMIT,ɸʀʆɲɿɹʆɲʎɲʋʊʏʉʐʎʋɿʉɶʆʘʍʏʉʑʎɸʌɸʐʆɻʏɹʎʍʏʉɲʆɽʌʙʋɿʆʉɶʉʆɿɷʀʘʅɲ.Ȱʄʄɳʃɲɿʉɿ
ɳʄʄʉɿʃɲɽɻɶɻʏɹʎɲʐʏɼʎʏɻʎɸʋɿʏʌʉʋɼʎɸʀʆɲɿʋɲɶʃʉʍʅʀʉʐʔɼʅɻʎɸʋɿʍʏɼʅʉʆɸʎ.ȵʀʆɲɿʊʄʉɿɸʋɿʍʏɼʅʉʆɸʎ
ʏɻʎ ʐɶɸʀɲʎ, ʏɻʎ ɷɿɲʏʌʉʔɼʎ ʃɲɿ ʏʉʐ ʋɸʌɿɴɳʄʄʉʆʏʉʎ. ɉʋɳʌʖɸɿ ɸʋʉʅɹʆʘʎ, ɻ ɸʄʋʀɷɲ ʊʏɿ ɷɸʆ ɽɲ ɹʖʉʐʅɸ
ʖɸɿʌʊʏɸʌɸʎɻʅɹʌɸʎʍʏʉʅɹʄʄʉʆ,ɲʔʉʑʊʄɸʎʉɿʖʙʌɸʎʃɲɿʊʄʉɿʉɿɸʋɿʍʏɼʅʉʆɸʎʏʉʐʃʊʍʅʉʐɽɲʌɿʖʏʉʑʆʍʏɻ
ʅɳʖɻ ɶɿɲ ʏɻʆ ʃʄɿʅɲʏɿʃɼ ɲʄʄɲɶɼ. ɀɳʄɿʍʏɲ ʄɹʆɸ ʊʏɿ ʍɸ ɲʆʏʀɽɸʏɻ ʋɸʌʀʋʏʘʍɻ, ʉɿ ʃɲʏɲʍʏʌʉʔɹʎ ʋʉʐ ɽɲ
ʋʌʉʃɲʄɹʍɸɿ ɻ ʃʄɿʅɲʏɿʃɼ ɲʄʄɲɶɼ ɽɲ ɸʀʆɲɿ ʖɸɿʌʊʏɸʌɸʎ ɲʋʊ ɲʐʏɹʎ ʏɻʎ ʋɲʆɷɻʅʀɲʎ ʏʉʐ ʃʉʌʘʆʉʁʉʑ. Ƀɿ
ʖʙʌɸʎ ʋʉʐ ʐʋɹɶʌɲʗɲʆ ʏɻ ʍʑʅɴɲʍɻͲʋʄɲʀʍɿʉ ʏʘʆ ȸʆʘʅɹʆʘʆ ȵɽʆʙʆ ɶɿɲ ʏɻʆ ʃʄɿʅɲʏɿʃɼ ɲʄʄɲɶɼ
ʍʐʅʔʙʆɻʍɲʆʆɲʋɸʌɿʉʌʀʍʉʐʆʏɻʆʋɲɶʃʊʍʅɿɲʅɹʍɻɲʑʇɻʍɻʏɻʎɸʋɿʔɲʆɸɿɲʃɼʎɽɸʌʅʉʃʌɲʍʀɲʎɲʋʊʏɻʆ
ʋʌʉɴɿʉʅɻʖɲʆɿʃɼɸʋʉʖɼʍɸʄɿɶʊʏɸʌʉɲʋʊ2°C

ȸȵʐʌʘʋɲʁʃɼȶʆʘʍɻɹʖɸɿɷɸʍʅɸʐʏɸʀʆɲʅɸɿʙʍɸɿʅɹʖʌɿʏʉ2030ʃɲʏɳ55%ʏɿʎɸʃʋʉʅʋɹʎɷɿʉʇɸɿɷʀʉʐʏʉʐ
ɳʆɽʌɲʃʉʎʍɸʍʑɶʃʌɿʍɻʅɸʏɲɸʋʀʋɸɷɲʏʉʐ1990.Ȳɹɴɲɿɲɶɿɲʏʉʐʎɲʆɽʌʙʋʉʐʎʋʉʐɺʉʑʆɸʍɸʋʊʄɸɿʎʃɲɿ
ɲʋʉʅɲʃʌʑʆʉʆʏɲɿɲʋʊʏɻʔʑʍɻ,ʏɲʃɲɿʌɿʃɳʔɲɿʆʊʅɸʆɲɽɲʏʉʐʎɸʀʆɲɿɳɶʆʘʍʏɲ,ɲʄʄɳɽɲʏʉʐʎʔʉɴʀɺʉʐʆ
ʃɲɿ ɲʃʊʅɲ ʋɸʌɿʍʍʊʏɸʌʉ ɽɲ ʏʉʐʎ ʔʉɴʀɺʉʐʆ ʏɲ ʉʆʊʅɲʏɲ ʋʉʐ ɴɳɺʉʐʆ ʉɿ ʅɸʏɸʘʌʉʄʊɶʉɿ ɶɿɲ ʆɲ ʏɲ
ʃɲʏɲɶʌɳʗʉʐʆ.


ƯĴǄǃĂĴĸǅǆǊȽ ¨ǅĴǁǐǈǅķĂǊȽ
ƯĴǄǃĂĴĸǅǆƽǌ ƲǇǍĂ›ǅƼĵĶǌ
ȵʋɿʏʌʉʋɼȴɿɲɶʘʆɿʍʅʙʆʏɻʎE.M.E.
Ʋǅ ǇǔķĶǅǌ ĸǐǈ ĴķǆƾķĶǐǈ ĸǊǍ ĸĶǔǎǊǍǌ 118
ȃ49. ȃĮ ʌȡȠıįȚȠȡȓıİĲİ ȩȜȠȣȢ ĲȠȣȢ ʌȡȫĲȠȣȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ p ʌȠȣ İȓȞĮȚ ĲȑĲȠȚȠȚ ȫıĲİ Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ
p 4
5 4p
ȞĮ İȓȞĮȚ ĲȑȜİȚȠ ĲİĲȡȐȖȦȞȠ.
(Ȃ. ȅ. ȈȚȖțĮʌȠȪȡȘȢ, 2008)
ȁȪıȘ
ǲıĲȦ ȩĲȚ p 4 2
5 4p q ,q .
] ȉȩĲİ

p 2 4 2 2
5 q 4p q 2p q 2p , q .
]
ǼʌİȚįȒ Ƞ 5 İȓȞĮȚ ʌȡȫĲȠȢ, ȑʌİĲĮȚ ȩĲȚ:
2 s 2 t
q 2p 5 , q 2p 5 , 0 s t, s t p,
d
Įʌȩ ĲȚȢ ȠʌȠȓİȢ ȝİ ĮĳĮȓȡİıȘ țĮĲȐ ȝȑȜȘ ȜĮȝȕȐȞȠȣȝİ:

2 t s s t s
4p 5 5 5 5 1

˜ .
ǻȚĮțȡȓȞȠȣȝİ ĲȚȢ ʌİȡȚʌĲȫıİȚȢ:
1. s 0.
! ȉȩĲİ 2
5 4p p 5 p 5,
Ÿ Ÿ ȠʌȩĲİ p 4 5 4 2
5 4p 5 4 5 5625 75 q 75
˜ Ÿ ,
ȠʌȩĲİ Ƞ p 5 İȓȞĮȚ ȝȓĮ ȜȪıȘ.
2. s 0. ȉȩĲİ p 2
p t țĮȚ 5 4p 1.
ǵȝȦȢ șĮ ĮʌȠįİȓȟȠȣȝİ ȝİ İʌĮȖȦȖȒ, ȖȚĮ țȐșİ p 2
t ȩĲȚ
ȚıȤȪİȚ p 2
5 4p 1,
! ȠʌȩĲİ ıİ ĮȣĲȒ ĲȘȞ ʌİȡȓʌĲȦıȘ įİȞ ȣʌȐȡȤİȚ ȜȪıȘ.
ȆȡȐȖȝĮĲȚ, Ș ıȤȑıȘ k 2
5 4k 1
! İȓȞĮȚ ĮȜȘșȒȢ ȖȚĮ k 2, İȞȫ ȝİ ȣʌȩșİıȘ k 2
5 4k 1
! ,
ȑʌİĲĮȚ ȩĲȚ

k 1 k 2 2
2 2 2
5 5 5 5 4k 1 20k 5 țĮȚ
4 k 1 1 4k 8k 5 4k k 2 5 4k 5k 5 20k 5,

˜ !
˜
ȠʌȩĲİ

2
k 1
5 4 k 1 1.

!
ȃ50. ȃĮ ʌȡȠıįȚȠȡȓıİĲİ ĲȠ ȝȑȖȚıĲȠ įȣȞĮĲȩ șİĲȚțȩ ĮțȑȡĮȚȠ ț Ƞ ȠʌȠȓȠȢ ȖȚĮ ȩȜȠȣȢ ĲȠȣȢ
ĮțȑȡĮȚȠȣȢ Į, ȕ İȓȞĮȚ ĲȑĲȠȚȠȢ ȫıĲİ, ĮȞ Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ Įȕ+1 įȚĮȚȡİȓĲĮȚ ȝİ ĲȠ ț, ĲȩĲİ țĮȚ Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ
Į + ȕ įȚĮȚȡİȓĲĮȚ ȝİ ĲȠ ț.
Mathematical Excalibur, Vol. 21, no4.

--------------------------------------------------------------------------------- ȂĮșȘȝĮĲȚțȠȓ ǻȚĮȖȦȞȚıȝȠȓ - ȂĮșȘȝĮĲȚțȑȢ ȅȜȣȝʌȚȐįİȢ ------------------------------------------------------------------------------
ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 119 (2021) Ĳ. 3/10
ȁȪıȘ
ǲıĲȦ ț ȑȞĮȢ Įʌȩ ĲȠȣȢ ĮțȑȡĮȚȠȣȢ ʌȠȣ ȗȘĲȐȝİ țĮȚ ȑıĲȦ

^ `
S : țĮȚ , 1 .
D D D N
]
ĬİȦȡȠȪȝİ S
D țĮȚ İʌȚȜȑȖȠȣȝİ ĮțȑȡĮȚȠ , 1 1,
P d P d N ȑĲıȚ ȫıĲİ: 2
1(mod )
PD { N .
ǼʌȠȝȑȞȦȢ, ĮȞ ,
E PD ĲȩĲİ 2
1 1 0(mod ),
DE PD { N ȠʌȩĲİ 1.
N DE ȉȩĲİ, ıȪȝĳȦȞĮ ȝİ ĲȘȞ
ȣʌȩșİıȘ, N D E țĮȚ

2
1 1.
N D E D DE D
ȉȩĲİ, ȖȚĮ țȐșİ S
D , țȐșİ ʌȡȫĲȠȢ ʌĮȡȐȖȠȞĲĮȢ p ĲȠȣ ț ȚțĮȞȠʌȠȚİȓ ĲȘȞ ȚıȠĲȚȝȓĮ:

2
1 mod p
D { .
ǹȞ ȩȜȠȚ ȠȚ ʌȡȫĲȠȚ ʌĮȡȐȖȠȞĲİȢ p ĲȠȣ ț İȓȞĮȚ ȝİȖĮȜȪĲİȡȠȚ Ȓ ȓıȠȚ ĲȠȣ 5, ĲȩĲİ ȠȚ 2, 3 ĮȞȒțȠȣȞ ıĲȠ
ıȪȞȠȜȠ S , ĮȜȜȐ įİȞ ȚțĮȞȠʌȠȚȠȪȞ ĲȘ ıȤȑıȘ

2
1 mod p
D { , ĮĳȠȪ 2
2 1 3 .p
z SRO țĮȚ İʌȓıȘȢ
2
3 1 8 .p
z SRO . ǼʌȠȝȑȞȦȢ ȠȚ ȝȠȞĮįȚțȠȓ įȣȞĮĲȠȓ ʌȡȫĲȠȚ ʌĮȡȐȖȠȞĲİȢ ĲȠȣ ț İȓȞĮȚ ȠȚ 2 țĮȚ 3,
ȠʌȩĲİ
2 3
U V
N ˜ țĮȚ

^ `
S : țĮȚ ,2 1 ,3
D D D D
] .
ǹȞ ʌȐȡȠȣȝİ 5 S,
D ĲȩĲİ Įʌȩ ĲȘ ıȤȑıȘ

2
5 25 1 mod2U
{ ʌȡȠțȪʌĲİȚ ȩĲȚ 2 24 3.
U
Ÿ U d
ȅȝȠȓȦȢ, ȖȚĮ 5 S,
D ĲȩĲİ Įʌȩ ĲȘ ıȤȑıȘ

2
5 25 1 mod3V
{ ʌȡȠțȪʌĲİȚ ȩĲȚ 3 24 1.
V
Ÿ V d
ǱȡĮ İȓȞĮȚ 3 1
2 3 24.
N d ˜
ĬİȦȡȠȪȝİ ĲȫȡĮ 24
N . ȉȩĲİ Įʌȩ 24 1
N DE , ȑʌİĲĮȚ ȩĲȚ

^ `
mod24 mod24 , ȩʌȠȣ 1,5,7,11,13,17,19,23
D { J NDL E { J J . ȉĮ ȗİȣȖȐȡȚĮ ʌȠȣ ȚțĮȞȠʌȠȚȠȪȞ
ĲȘ ıȤȑıȘ

1 0 mod24
DE { İȓȞĮȚ ĲĮ

^ `
, 1,23 , 5,19 , 7,17 , 11,13
D E țĮȚ ȖȚĮ ĮȣĲȐ ȚıȤȪİȚ
ȩĲȚ 24 .
D E ǼʌȠȝȑȞȦȢ Ș ȝİȖĮȜȪĲİȡȘ įȣȞĮĲȒ ĲȚȝȒ ĲȠȣ ț İȓȞĮȚ ĲȠ 24.
ī52. ǲıĲȦ ǹǺīǻ İȖȖȡȐȥȚȝȠ ĲİĲȡȐʌȜİȣȡȠ ĲȑĲȠȚȠ ȫıĲİ %* ! $' țĮȚ .
*' ! $% ȉĮ ıȘȝİȓĮ
Ǽ, ǽ ĮȞȒțȠȣȞ ıĲȚȢ ʌȜİȣȡȑȢ Ǻī țĮȚ īǻ, ĮȞĲȓıĲȠȚȤĮ, țĮȚ ĲȠ ıȘȝİȓȠ Ȃ İȓȞĮȚ ĲȠ ȝȑıȠ ĲȠȣ
İȣșȣȖȡȐȝȝȠȣ ĲȝȒȝĮĲȠȢ Ǽǽ. ǹȞ %( $' țĮȚ '= $% , ĲȩĲİ ȞĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ %0 A '0 .
Mathematical Excalibur, Vol. 20, no1.
ȁȪıȘ
ĬİȦȡȠȪȝİ ıȘȝİȓȠ Ȁ ȑĲıȚ ȫıĲİ ǹǺȀǻ ʌĮȡĮȜȜȘȜȩȖȡĮȝȝȠ, ȠʌȩĲİ ˆ
ˆ
$%. $'. Z țĮȚ
İʌȚʌȜȑȠȞ ȑȤȠȣȝİ ĲȚȢ ȚıȩĲȘĲİȢ %( $' %. țĮȚ '= $% '. .

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 119 (2021) Ĳ. 3/11
ǹʌȩ ĲĮ ȚıȠıțİȜȒ ĲȡȓȖȦȞĮ ǺȀǼ, ǻȀǽ țĮȚ ĲȠ ʌĮȡĮȜȜȘȜȩȖȡĮȝȝȠ ǹǺȀǻ ȑȤȠȣȝİ:
ˆ
ˆ 180
%.' Z, 0 0
ˆ ˆ
ˆ 90 90
2 2
.%( $%* Z
%.( țĮȚ 0 0
ˆ ˆ
ˆ 90 90
2 2
.'= $'* Z
'.= .
Ȃİ ʌȡȩıșİıȘ țĮĲȐ ȝȑȜȘ ĲȦȞ ʌĮȡĮʌȐȞȦ ĲȡȚȫȞ ȚıȠĲȒĲȦȞ, ȜĮȝȕȐȞȠȞĲĮȢ ȣʌȩȥȚȞ țĮȚ ĲȘ ıȤȑıȘ
0
ˆ
ˆ 180
$%* $'* , ȑȤȠȣȝİ
0
ˆ ˆ ˆ 270
%.' %.( '.= .
ǼʌȠȝȑȞȦȢ, șĮ İȓȞĮȚ 0 0 0
ˆ 360 270 90
(.= , ȠʌȩĲİ .
.= A .(
ǹʌȩ ĲȠ ȠȡșȠȖȫȞȚȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ǼȀǽ ȑʌİĲĮȚ ȩĲȚ .
.0 0( 0= ǼʌȓıȘȢ ȑȤȠȣȝİ ȩĲȚ %( %. țĮȚ
,
'. '= ȠʌȩĲİ Ș İȣșİȓĮ ǺȂ İȓȞĮȚ ȝİıȠțȐșİĲȘ ĲȠȣ ȀǼ țĮȚ Ș İȣșİȓĮ ǻȂ İȓȞĮȚ ȝİıȠțȐșİĲȘ ĲȠȣ
Ȁǽ.
ǼʌȠȝȑȞȦȢ, İȓȞĮȚ %0 .=
țĮȚ ,
'0 .(
ȠʌȩĲİ %0 A '0 .
ƧķǆƾķĶǅǌ ǁǅĴ Ǉǔķǃ
ȃ51. ǲıĲȦ n șİĲȚțȩȢ ĮțȑȡĮȚȠȢ. ȃĮ ʌȡȠıįȚȠȡȓıİĲİ ȩȜȠȣȢ ĲȠȣȢ șİĲȚțȠȪȢ įȚĮȚȡȑĲİȢ d ĲȠȣ 2
3n ʌȠȣ
İȓȞĮȚ ĲȑĲȠȚȠȚ ȫıĲİ Ƞ ĮȡȚșȝȩȢ 2
n d
ȞĮ ȚıȠȪĲĮȚ ȝİ ĲȠ ĲİĲȡȐȖȦȞȠ ĮțİȡĮȓȠȣ.
ī53. ǲıĲȦ ĲȡȓȖȦȞȠ ǹǺī, ǿ ĲȠ ȑțțİȞĲȡȠ ĲȠȣ, ǻ ĲȠ ıȘȝİȓȠ İʌĮĳȒȢ ĲȠȣ İȖȖİȖȡĮȝȝȑȞȠȣ țȪțȜȠȣ ȝİ
ĲȘȞ ʌȜİȣȡȐ Ǻī țĮȚ ǹǼ Ș įȚȤȠĲȩȝȠȢ ĲȘȢ ȖȦȞȓĮȢ ˆ .
$ ĬİȦȡȠȪȝİ țĮȚ ĲȠ ȝȑıȠ Ȃ ĲȠȣ ĲȩȟȠȣ Ǻī ĲȠȣ
ʌİȡȚȖİȖȡĮȝȝȑȞȠȣ țȪțȜȠȣ ʌȠȣ ʌİȡȚȑȤİȚ ĲȘȞ țȠȡȣĳȒ ǹ țĮȚ ȑıĲȦ ǽ ĲȠ ıȘȝİȓȠ ĲȠȝȒȢ ĲȦȞ İȣșİȚȫȞ
ǻǿ țĮȚ ǹȂ. ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ Ș İȣșİȓĮ Ȃǿ ʌİȡȞȐİȚ Įʌȩ ĲȠ ȝȑıȠ ĲȠȣ Ǽǽ.
ī54. Ȉİ țȣȡĲȩ ĲİĲȡȐʌȜİȣȡȠ ǹǺīǻ İȓȞĮȚ 0
ˆ 90
$'* . ǲıĲȦ Ǽ țĮȚ ǽ ȠȚ ȠȡșȑȢ ʌȡȠȕȠȜȑȢ ĲȠȣ
ıȘȝİȓȠȣ Ǻ ʌȐȞȦ ıĲȚȢ İȣșİȓİȢ ǹǻ țĮȚ ǹī, ĮȞĲȓıĲȠȚȤĮ. ǻȓȞİĲĮȚ ȩĲȚ ĲȠ ǽ ȕȡȓıțİĲĮȚ ȝİĲĮȟȪ ĲȦȞ
ıȘȝİȓȦȞ ǹ țĮȚ ī, İȞȫ ĲȠ ǹ ȕȡȓıțİĲĮȚ ȝİĲĮȟȪ ĲȦȞ ıȘȝİȓȦȞ ǻ țĮȚ Ǽ. ǼʌȓıȘȢ Ș İȣșİȓĮ Ǽǽ ʌİȡȞȐİȚ
Įʌȩ ĲȠ ȝȑıȠ ĲȘȢ įȚĮȖȦȞȓȠȣ Ǻǻ. ȃĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ ĲȠ ĲİĲȡȐʌȜİȣȡȠ ǹǺīǻ İȓȞĮȚ İȖȖȡȐȥȚȝȠ.
ǹ63. ǹȞ ȠȚ șİĲȚțȠȓ ʌȡĮȖȝĮĲȚțȠȓ ĮȡȚșȝȠȓ ,
D E İȓȞĮȚ ĲȑĲȠȚȠȚ ȫıĲİ

2 2
3 1 4 ,
D E D E ȞĮ
ʌȡȠıįȚȠȡȓıİĲİ ĲȘȞ İȜȐȤȚıĲȘ ĲȚȝȒ ĲȘȢ ʌĮȡȐıĲĮıȘȢ

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 119 (2021) Ĳ. 3/12
ƳĴǁǆǓķĂǅĴ ƫĂƽǋĴ ĸǊǍ ›=3,14
įȚİșȞȒȢ ȘȝȑȡĮ ȂĮșȘȝĮĲȚțȫȞ [IDM 2021] İȠȡĲȐıĲȘțİ țĮȚ ĳȑĲȠȢ, ıĲȚȢ 14 ȂĮȡĲȓȠȣ 2021,
ʌĮȖțȠıȝȓȦȢ ȣʌȩ ĲȘȞ ĮȚȖȓįĮ ĲȘȢ Unesco, ȑȤȠȞĲĮȢ ȦȢ țİȞĲȡȚțȩ șȑȝĮ: «ȉĮ ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ ȖȚĮ
ȑȞĮȞ țĮȜȪĲİȡȠ țȩıȝȠ» ȜȩȖȦ țĮȚ ĲȘȢ ıȣȖțȣȡȓĮȢ ĲȘȢ covid-19. ȉĮ ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ ĮʌȠĲİȜȠȪȞ
șİȝİȜȚȫįȘ İȡȖĮȜİȓĮ ıİ ȩȜȠ ĲȠȞ țȩıȝȠ ȖȚĮ ĲȘȞ ʌȡȩȕȜİȥȘ ĲȘȢ İȟȑȜȚȟȘȢ țĮȚ ĲȘȞ ȣʌȠȕȠȒșȘıȘ ĲȦȞ
ĮȡȝȠįȓȦȞ ĮȡȤȫȞ ıĲȘ ȜȒȥȘ ȕȑȜĲȚıĲȦȞ ĮʌȠĳȐıİȦȞ. ǹȜȜȐ țĮȚ ʌȑȡĮ Įʌȩ
ĲȘȞ ʌĮȞįȘȝȓĮ – ıİ ȩȜȠ ĲȠ ĳȐıȝĮ ĲȦȞ ȩȥİȦȞ țĮȚ İĳĮȡȝȠȖȫȞ ĲȘȢ
țĮșȘȝİȡȚȞȩĲȘĲĮȢ – ıȣȝȕȐȜȜȠȣȞ ıȘȝĮȞĲȚțȐ ıĲȠ ıȤİįȚĮıȝȩ
țĮȜȪĲİȡȦȞ ȠȚțȠȞȠȝȚțȫȞ țĮȚ țȠȚȞȦȞȚțȫȞ ʌȠȜȚĲȚțȫȞ. Ǿ ʌĮȖțȩıȝȚĮ ĮȣĲȒ
ȘȝȑȡĮ, ȠȡȖĮȞȫșȘțİ Įʌȩ ĲȘ įȚİșȞȒ ȝĮșȘȝĮĲȚțȒ ȑȞȦıȘ ıİ
ʌİȡȚııȩĲİȡİȢ Įʌȩ 70 ȤȫȡİȢ țĮȚ ʌȡĮȖȝĮĲȠʌȠȚȒșȘțĮȞ, ʌȐȞȦ Įʌȩ 450 İțįȘȜȫıİȚȢ (ıȣȞȑįȡȚĮ,
įȚĮȖȦȞȚıȝȠȓ, İțșȑıİȚȢ, ȠȝȚȜȓİȢ ț.Ȝ.ʌ.) [www.idm314.org/launch 2021 - program.html].
ȅ İȠȡĲĮıȝȩȢ ĮȣĲȩȢ, ȟİțȚȞȐİȚ ĮțȡȚȕȫȢ ıĲȚȢ 1:59, ȝİĲȐ ĲȠ
ȝİıȘȝȑȡȚ, țĮșȫȢ İȓȞĮȚ ȠȚ ĲȡİȚȢ ĮȡȚșȝȠȓ ʌȠȣ ĮțȠȜȠȣșȠȪȞ ĲȘ
ıĲĮșİȡȐ ʌ=3,14 Ș ȠʌȠȓĮ ıĲȘȞ İĳĲĮȥȒĳȚĮ İțįȠȤȒ ĲȘȢ, İȓȞĮȚ
ʌ=3,14159. Ǿ ȘȝȑȡĮ ʌ țĮșȚİȡȫșȘțİ ĲȠ 1988 Įʌȩ ĲȠȞ Larry
Shaw, ıĲȠ ȝȠȣıİȓȠ ıĲȠ Exploratorium ĲȠȣ ȈĮȞ ĭȡĮȞıȓıțȠ,
İȞȫ ĲȠ ʌ ĮȞĮĳȑȡİĲĮȚ ȖȚĮ ʌȡȫĲȘ ĳȠȡȐ ʌȡȠıİȖȖȚıĲȚțȐ,
ĮȞȐȝİıĮ ıĲȚȢ ĮȞĮȜȠȖȓİȢ ĲȘȢ ȝİȖȐȜȘȢ ȆȣȡĮȝȓįĮȢ ĲȘȢ īțȓȗĮȢ,
ʌȠȣ țĮĲĮıțİȣȐıĲȘțİ ĲȠ 2589-2566 ʌ.ȋ.
ȅ ǹȡȤȚȝȒįȘȢ (3ȠȢ
ĮȚȫȞĮȢ ʌ. ȋ.) ʌȠȜȪ ĮȡȖȩĲİȡĮ
țĮĲȑȜȘȟİ, ȝİĲȐ Įʌȩ ĲȚȢ ȝİȜȑĲİȢ ĲȠȣ ǿʌʌȠțȡȐĲȘ ĲȠȣ ȋȓȠȣ
(ȝȘȞȓıțȠȚ) (470 ʌ.ȋ.) țĮȚ ĲȠȣ ǹȞĲȚĳȫȞĲĮ (țȣțȜȚțȩȢ
įȓıțȠȢ, țĮȞȠȞȚțȐ ʌȠȜȪȖȦȞĮ) (430 ʌ.ȋ.), ıĲȘ ıȘȝĮȞĲȚțȒ
ıȤȑıȘ
223 L 22
71 2 7

U
(ȩʌȠȣ L=ȝȒțȠȢ
țȪțȜȠȣ țĮȚ ȡ ĮțĲȓȞĮ țȪțȜȠȣ).
ȉȠ ıȪȝȕȠȜȠ ʌ țĮșȚİȡȫșȘțİ Įʌȩ ĲȠȞ Eüler ĲȠ 1737 ıĲȠ ȕȚȕȜȓȠ ĲȠȣ
«ǼȚıĮȖȦȖȒ ıĲȘȞ ĮʌİȚȡȠıĲȚțȒ ĮȞȐȜȣıȘ». ȉȠ 1882 Ƞ Lindeman ĮʌȑįİȚȟİ
ȩĲȚ Ƞ ʌ İȓȞĮȚ ȣʌİȡȕĮĲȚțȩȢ ĮȡȚșȝȩȢ, įȘȜĮįȒ įİȞ İȓȞĮȚ ȡȓȗĮ ʌȠȜȣȦȞȣȝȚțȒȢ
İȟȓıȦıȘȢ ȝİ ĮțİȡĮȓȠȣȢ Ȓ ȡȘĲȠȪȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ. Ǿ ĮʌȩįİȚȟȘ ĮȣĲȒ ȑįȦıİ ĲȘȞ
ĲİȜȚțȒ ĮʌȐȞĲȘıȘ, ȩĲȚ Ƞ țȪțȜȠȢ įİȞ ĲİĲȡĮȖȦȞȓȗİĲĮȚ. ȈĲȚȢ 14 ȂĮȡĲȓȠȣ 2018
Ș Google ȖȚȩȡĲĮıİ ĲȘȞ 30Ș
İʌȑĲİȚȠ ĲȘȢ ıĲĮșİȡȐȢ ĲȠȣ ʌ ȝİ ĲȘȞ ȑțĳȡĮıȘ
Happy Pi Pay. ȉȠ ȆȡȓȞıĲȠȞ, țȐșİ ȤȡȩȞȠ ĳȚȜȠȟİȞİȓ ʌȠȜȣȐȡȚșȝİȢ
İțįȘȜȫıİȚȢ ıİ ȑȞĮ țȠȚȞȩ İȠȡĲĮıȝȩ ĲȘȢ ǾȝȑȡĮȢ ĲȠ ʌ țĮȚ ĲȦȞ ȖİȞİșȜȓȦȞ ĲȠȣ ǹȧȞıĲĮȧȞ (ȑȗȘıİ
ʌİȡȚııȩĲİȡȠ Įʌȩ 20 ȤȡȩȞȚĮ ıĲȠ ȆȡȓȞıĲȠȞ, ıĮȞ İȡİȣȞȘĲȒȢ ıĲȠ ȤȫȡȠ ĲȦȞ ȂĮșȘȝĮĲȚțȫȞ).
ǹȟȓȗİȚ ȞĮ ıȘȝİȚȦșİȓ ȩĲȚ ıĲȠȞ ǼȜȜĮįȚțȩ ȤȫȡȠ, ȑȖȚȞĮȞ ĮȡțİĲȑȢ İțįȘȜȫıİȚȢ, ȖȚĮ ĲȠ ʌ, ıĲȚȢ 14
ȂĮȡĲȓȠȣ 2021, İȞįİȚțĲȚțȐ ĮȞĮĳȑȡȠȣȝİ ĲĮ ȆĮȡĮȡĲȒȝĮĲĮ ĲȘȢ ǼȂǼ ȀĮıĲȠȡȚȐȢ țĮȚ ǲȕȡȠȣ ıİ
ıȣȞİȡȖĮıȓĮ ȝİ ĲȠ ȆĮȞİʌȚıĲȒȝȚȠ ǻȣĲȚțȒȢ ȂĮțİįȠȞȓĮȢ țĮȚ ĲȠ ǻȘȝȠțȡȓĲİȚȠ ȆĮȞİʌȚıĲȒȝȚȠ
ĮȞĲȓıĲȠȚȤĮ. [ǻİȓĲİ ıȤİĲȚțȐ ıĲȘȞ www.hms.gr]
Ǿ
ǹȡȤȚȝȒįȘȢ
ǹʌȩ ĲȠ İȟȫĳȣȜȜȠ ĲȠȣ ǼȣțȜİȓįȘ Ǻǯ ĲȠ 2020

ǼȊȀȁǼǿǻǾȈ Ǻǯ 119 (2021) Ĳ.3/13
ƫƲƯƲ ƯƧƶHEMATICUS
Ǿ Homo Mathematicus İȓȞĮȚ ȝȚĮ ıĲȒȜȘ ıĲȠ ʌİȡȚȠįȚțȩ ȝĮȢ, ȝİ ıțȠʌȩ ĲȘȞ ĮȞĲĮȜȜĮȖȒ ĮʌȩȥİȦȞ țĮȚ ĲȘȞ ĮȞȐʌĲȣȟȘ
ʌȡȠȕȜȘȝĮĲȚıȝȠȪ ʌȐȞȦ ıĲĮ İȟȒȢ șȑȝĮĲĮ: 1) ȉȚ İȓȞĮȚ ĲĮ ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ, 2) ȆȡȑʌİȚ Ȓ ȩȤȚ ȞĮ įȚįȐıțȠȞĲĮȚ, 3) ȆȠȚȠȚ İȓȞĮȚ
ȠȚ țȜȐįȠȚ ĲȦȞ ȂĮșȘȝĮĲȚțȫȞ țĮȚ ʌȠȚȠ ĲȠ ĮȞĲȚțİȓȝİȞȠ ĲȠȣ țĮșİȞȩȢ, 4) ȆȠȚİȢ İȓȞĮȚ ȠȚ İĳĮȡȝȠȖȑȢ ĲȠȣȢ, 5) ȆȠȚİȢ
İʌȚıĲȒȝİȢ Ȓ țȜȐįȠȚ İʌȚıĲȘ
ȝȫȞ ĮʌĮȚĲȠȪȞ țĮȜȒ ȖȞȫıȘ ĲȦȞ ȂĮșȘȝĮĲȚțȫȞ ȖȚĮ ȞĮ ȝʌȠȡȑıİȚ țȐʌȠȚȠȢ ȞĮ ĲȠȣȢ ıʌȠȣįȐıİȚ.
ıȣȞĲĮțĲȚțȒ İʌȚĲȡȠʌȒ: ȀİȡĮıĮȡȓįȘȢ īȚȐȞȞȘȢ, ǺȜȐȤȠȢ ȈʌȪȡȠȢ, ȂȒȜȚȠȢ īȚȫȡȖȠȢ, ȂʌȡȠȪȗȠȢ ȈĲȑȜȚȠȢ
I. ĲȚ İȓȞĮȚ ĲĮ ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ
ʌȡȠȜİȖȩȝİȞĮ ȚțĮȞȠʌȠȚȫȞĲĮȢ İʌȚșȣȝȓĮ ĮȡțİĲȫȞ ıȣȞĮįȑȜĳȦȞ, ʌĮȡĮșȑĲȠȣȝİ (Įʌȩ ĲȠȪĲȠ ĲȠ
ĲİȪȤȠȢ), ĲȘȞ ȐʌȠȥȘ ıȤİĲȚțȐ ȝİ ĲȠ Ĳȓ İȓȞĮȚ ĲĮ ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ, ȠȡȚıȝȑȞȦȞ įȚĮțİțȡȚȝȑȞȦȞ ȠȝȐįȦȞ
(Ȓ ʌȡȠıȫʌȦȞ). ȁȩȖȦ ȑȜȜİȚȥȘȢ ȤȫȡȠȣ ĲȘȢ ıĲȒȜȘȢ ȝĮȢ, ȠȚ İțĲȚșȑȝİȞİȢ ĮʌȩȥİȚȢ șĮ İȓȞĮȚ ıȤİįȩȞ
İʌȚȖȡĮȝȝĮĲȚțȑȢ.
1. ȠȚ ȆȣșĮȖȩȡİȚȠȚ țĮȚ ĲĮ ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ
ȄİțȚȞȐȝİ ĲȘȞ ʌȡȠıʌȐșİȚȐ ȝĮȢ ĮȣĲȒ, ȝİ ĲȘȞ ''ȐʌȠȥȘ'' ĲȦȞ ȆȣșĮȖȠȡİȓȦȞ. ȉȠ ĮʌȩțȠȝȝĮ
įĮȞİȚıĲȒțĮȝİ Įʌȩ ĲȘȞ įȚįĮțĲȠȡȚțȒ İȡȖĮıȓĮ ĲȠȣ ǺĮıȓȜȘ ȁȚȩıȘ (ĲȠȞ ȠʌȠȓȠ İȣȤĮȡȚıĲȠȪȝİ)
(İʌȚȕȜȑʌȦȞ țĮșȘȖȘĲȒȢ, ȆĮȞĮȖȚȫĲȘȢ ȈʌȪȡȠȣ).
«...ǼȓȞĮȚ ȖȞȦıĲȩ ʌȦȢ ȖȡĮʌĲȐ țİȓȝİȞĮ Įʌȩ ĲȠȣȢ ȆȣșĮȖȩȡİȚȠȣȢ įİȞ ȣʌȐȡȤȠȣȞ, ȦıĲȩıȠ ȣʌȐȡȤȠȣȞ țȐʌȠȚİȢ
ĮȞĮĳȠȡȑȢ ȖȚĮ ĮȣĲȠȪȢ ȠȚ ȠʌȠȓİȢ țȣȡȓȦȢ ʌȡȠȑȡȤȠȞĲĮȚ Įʌȩ ĲȠȞ ǹȡȚıĲȠĲȑȜȘ. ȂʌȠȡİȓ ȞĮ ȝȘ įȚĮĲȣʌȫȞİĲĮȚ ȝİ
ȡȘĲȩ ĲȡȩʌȠ țȐʌȠȚȠȢ ȠȡȚıȝȩȢ ĲȦȞ ȂĮșȘȝĮĲȚțȫȞ, ȦıĲȩıȠ Ș ȐʌȠȥȒ ĲȠȣȢ ȖȚĮ ĲȘȞ ȑȞȞȠȚĮ ĲȠȣ ĮȡȚșȝȠȪ įȘȜȫȞİȚ
ȝİ ȑȞĮ ȣʌȩȡȡȘĲȠ ĲȡȩʌȠ țĮȚ ĲȘȞ ĮȞĲȓȜȘȥȒ ĲȠȣȢ ȖȚĮ ĲȠ ĲȚ İȓȞĮȚ ȝĮșȘȝĮĲȚțȐ țĮȚ ʌȠȪ ĮȣĲȐ ȣʌȐȡȤȠȣȞ. ȈȪȝĳȦȞĮ
ȝİ ĲȠȞ ǹȡȚıĲȠĲȑȜȘ : «…ȠȚ ȜİȖȩȝİȞȠȚ ȆȣșĮȖȩȡİȚȠȚ țĮĲĮʌȚȐıĲȘțĮȞ ʌȡȫĲȠȚ ȝİ ĲĮ ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ țĮȚ ȩȤȚ ȝȩȞȠ
ĲĮ ĮȞȑʌĲȣȟĮȞ ĮȜȜȐ țĮșȫȢ ĮȣĲȐ ĲȠȣȢ ȑȖȚȞĮȞ įİȪĲİȡȘ ĳȪıȘ, șİȫȡȘıĮȞ ȩĲȚ ȠȚ ĮȡȤȑȢ ĲȠȣȢ İȓȞĮȚ ĮȡȤȑȢ ĲȦȞ
ȩȞĲȦȞ. ǼʌİȚįȒ ȜȠȚʌȩȞ ıĲĮ ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ ȠȚ ĮȡȚșȝȠȓ ȑȡȤȠȞĲĮȚ, Įʌȩ ĲȘ ĳȪıȘ ĲȠȣȢ, ʌȡȫĲȠȚ țĮȚ İʌİȚįȒ
șİȦȡȠȪıĮȞ ȩĲȚ ıĲȠȣȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ ȕȜȑʌȠȣȞ ʌȠȜȜȑȢ ȠȝȠȚȩĲȘĲİȢ ȝİ ĲĮ ȩȞĲĮ țĮȚ ĲĮ ȖİȖȠȞȩĲĮ, ʌİȡȚııȩĲİȡİȢ Įʌȩ
ȩĲȚ ıĲȘ ĳȦĲȚȐ, ıĲȘ ȖȘ țĮȚ ıĲȠ Ȟİȡȩ, ȩĲȚ Ƞ ĲȐįİ ĮȡȚșȝȩȢ ȝİ ĲȚȢ ıȣȖțİțȡȚȝȑȞİȢ ȚįȚȩĲȘĲİȢ İȓȞĮȚ Ș įȚțĮȚȠıȪȞȘ, Ƞ
ĲȐįİ Ș ȥȣȤȒ țĮȚ Ƞ ȞȠȣȢ, Ƞ ȐȜȜȠȢ Ƞ țĮȚȡȩȢ țĮȚ ȠȪĲȦ țĮș’ İȟȒȢ. ȈĲȠȣȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ ĮțȩȝĮ ȑȕȜİʌĮȞ ĲȚȢ ȚįȚȩĲȘĲİȢ
țĮȚ ĲȚȢ ıȤȑıİȚȢ ĲȦȞ ȝȠȣıȚțȫȞ ĮȡȝȠȞȚȫȞ. ǹĳȠȪ, ȜȠȚʌȩȞ, ȩȜĮ ĲĮ ȐȜȜĮ ȩȞĲĮ ĳĮȓȞȠȞĲĮȞ ȞĮ İȓȞĮȚ ĲȑȜİȚĮ
ĮʌİȚțȩȞȚıȘ ĲȦȞ ĮȡȚșȝȫȞ țĮȚ ĮĳȠȪ ȠȚ ĮȡȚșȝȠȓ İȓȞĮȚ ʌȡȦĲĮȡȤȚțȠȓ ıİ ȠȜȩțȜȘȡȘ ĲȘ ĳȪıȘ, șİȫȡȘıĮȞ ȩĲȚ ĲĮ
ıĲȠȚȤİȓĮ ȩȜȦȞ ĲȦȞ ȩȞĲȦȞ țĮȚ ȩĲȚ ȠȜȩțȜȘȡȠȢ Ƞ ȠȣȡĮȞȩȢ įİȞ İȓȞĮȚ ʌĮȡȐ ĮȡȝȠȞȓĮ țĮȚ ĮȡȚșȝȩȢ ȩıİȢ, ȜȠȚʌȩȞ,
ĮȞĮȜȠȖȓİȢ ȝʌȠȡȠȪıĮȞ ȞĮ įİȓȟȠȣȞ ĮȞȐȝİıĮ ıĲȠȣȢ ĮȡȚșȝȠȪȢ țĮȚ ıĲȚȢ ĮȡȝȠȞȓİȢ ĮĳİȞȩȢ țĮȚ ıĲȚȢ ȝİĲĮȕȠȜȑȢ, ĲĮ
ȝȑȡȘ ĲȠȣ ȠȣȡĮȞȠȪ țĮȚ ĲȘ ȖİȞȚțȒ įȚȐĲĮȟȘ ĲȠȣ țȩıȝȠȣ ĮĳİĲȑȡȠȣ, ĲȚȢ ıȣȖțȑȞĲȡȦȞĮȞ țĮȚ ĲȚȢ İȞıȦȝȐĲȦȞĮȞ ıĲȠ
ıȪıĲȘȝȐ ĲȠȣȢ...».
Iǿ. īİȦȝİĲȡȓĮ ĮȖȐʌȘ ȝȠȣ
ƒ ʌȩȜȠȢ țĮȚ ʌȠȜȚțȒ ȦȢ ʌȡȠȢ țȪțȜȠ
ǻȓȞİĲĮȚ țȪțȜȠȢ C țĮȚ ıĲĮșİȡȩ ıȘȝİȓȠ K. ǹʌȩ ĲȠ K įȚȑȡȤȠȞĲĮȚ įȚĮĲȑȝȞȠȣıİȢ ĲȠȞ țȪțȜȠ, ʌȠȣ ĲȠȞ ĲȑȝȞȠȣȞ
ıĲĮ N,M ȝİ ȃ ȝİĲĮȟȪ Ȃ,Ȁ. ǹȞ ȁ İȓȞĮȚ ĲȠ ĮȡȝȠȞȚțȩ ıȣȗȣȖȑȢ ĲȠȣ Ȁ ȦȢ ʌȡȠȢ ĲĮ ȃ,Ȃ, Ƞ ȖİȦȝ. ĲȩʌȠȢ ĲȦȞ
ıȘȝİȓȦȞ ȁ İȓȞĮȚ ȝȓĮ İȣșİȓĮ (İ).
— ȉȠ ıȘȝİȓȠ Ȁ. ȠȞȠȝȐȗİĲĮȚ ʌȩȜȠȢ ĲȘȢ İȣșİȓĮȢ (İ) ȦȢ ʌȡȠȢ ĲȠȞ țȪțȜȠ C.
— Ǿ (İ) ȠȞȠȝȐȗİĲĮȚ ʌȠȜȚțȒ ĲȠȣ ıȘȝİȓȠȣ K, ȦȢ ʌȡȠȢ ĲȠȞ țȪțȜȠ C.
ƒ ȝİĲĮʌȠȜȚțȐ ıȘȝİȓĮ – ȝİĲĮʌĮȡȐȜȜȘȜĮ ĲȡȓȖȦȞĮ
ǻȓȞȠȞĲĮȚ įȪȠ ĲȡȓȖȦȞĮ. ǹʌȩ ĲĮ țȠȡȣĳȑȢ ĲȠȣ ʌȡȫĲȠȣ ĳȑȡȠȣȝİ ʌĮȡȐȜȜȘȜİȢ ʌȡȠȢ ĲȚȢ ʌȜİȣȡȑȢ ĲȠȣ įİȪĲİȡȠȣ.
ǹȞ ĮȣĲȑȢ ȠȚ ʌĮȡȐȜȜȘȜİȢ įȚȑȡȤȠȞĲĮȚ Įʌȩ ĲȠ ȓįȚȠ ıȘȝİȓȠ ȅ1, ĲȩĲİ țĮȚ ȠȚ ʌĮȡȐȜȜȘȜİȢ Įʌȩ ĲȚȢ țȠȡȣĳȑȢ ĲȠȣ
įİȪĲİȡȠȣ ʌȡȠȢ ĲȚȢ ʌȜİȣȡȑȢ ĲȠȣ ʌȡȫĲȠȣ įȚȑȡȤȠȞĲĮȚ Įʌȩ ĲȠ ȓįȚȠ ıȘȝİȓȠ ȅ2.
—ȉĮ ıȘȝİȓĮ ȅ1,ȅ2 ȠȞȠȝȐȗȠȞĲĮȚ ȝİĲĮʌȠȜȚțȐ ıȘȝİȓĮ ĲȦȞ įȪȠ ĲȡȚȖȫȞȦȞ.
—ȉĮ įȪȠ ĲȡȓȖȦȞĮ ȠȞȠȝȐȗȠȞĲĮȚ ȝİĲĮʌĮȡȐȜȜȘȜĮ
ƒ ıȘȝİȓĮ ȠȡșȠʌȠȜȚțȐ – ĲȡȓȖȦȞĮ ȠȡșȠȜȠȖȚțȐ
ǻȓȞȠȞĲĮȚ įȪȠ ĲȡȓȖȦȞĮ. ǹʌȩ ĲĮ țȠȡȣĳȑȢ ĲȠȣ ʌȡȫĲȠȣ ĳȑȡȠȣȝİ țȐșİĲİȢ ʌȡȠȢ ĲȚȢ ʌȜİȣȡȑȢ ĲȠȣ įİȪĲİȡȠȣ. ǹȞ
ĮȣĲȑȢ ȠȚ țȐșİĲİȢ įȚȑȡȤȠȞĲĮȚ Įʌȩ ĲȠ ȓįȚȠ ıȘȝİȓȠ ȅ1, ĲȩĲİ țĮȚ ȠȚ țȐșİĲİȢ Įʌȩ ĲȚȢ țȠȡȣĳȑȢ ĲȠȣ įİȪĲİȡȠȣ

-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
- HOMO MATHEMATICUS -
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
ʌȡȠȢ ĲȚȢ ʌȜİȣȡȑȢ ĲȠȣ ʌȡȫĲȠȣ įȚȑȡȤȠȞĲĮȚ Įʌȩ ĲȠ ȓįȚȠ ıȘȝİȓȠ ȅ2.
— ȉĮ įȪȠ ĲȡȓȖȦȞĮ ȠȞȠȝȐȗȠȞĲĮȚ ȠȡșȠȜȠȖȚțȐ
— ȉĮ ıȘȝİȓĮ ȅ1,ȅ2 ȠȞȠȝȐȗȠȞĲĮȚ ȠȡșȠʌȠȜȚțȐ
III. ǹȣĲȩ ĲȠ ȟȑȡĮĲİ;
ʌȠȚİȢ ȣʌȠșİĲȚțȑȢ ʌȡȠĲȐıİȚȢ ȜȑȖȠȞĲĮȚ: i. ĮȞĲȓıĲȡȠĳİȢ, ii. ĮȞĲȓșİĲİȢ, iii. ĮȞȐıĲȡȠĳİȢ;
(Ș ĮʌȐȞĲȘıȘ ıĲȠ ĲȑȜȠȢ ĲȘȢ ıĲȒȜȘȢ)
IV. «ȅȚ ıȣȞİȡȖȐĲİȢ ĲȘȢ ıĲȒȜȘȢ ȖȡȐĳȠȣȞ–İȡȦĲȠȪȞ»
1o
șȑȝĮ. ĬĮȞȐıȘȢ ĭȦțȐȢ: ȅ ȝİȖĮȜȪĲİȡȠȢ ıȪȖȤȡȠȞȠȢ ǲȜȜȘȞĮȢ ȝĮșȘȝĮĲȚțȩȢ
[Įʌȩ ĲȠȞ Ȃ. ȂȚȤĮȘȜȓįȘ, ıİ ȡİʌȠȡĲȐȗ īȚȐȞȞȘ ȆĮȞĲĮȗȩʌȠȣȜȠȣ]
ʌȡȠȜİȖȩȝİȞĮ Ƞ ĳȓȜȠȢ ĲȘȢ ıĲȒȜȘȢ ȂȚȤȐȜȘȢ ȂȚȤĮȘȜȓįȘȢ, ȝĮȢ
ȑıĲİȚȜİ İȜȐȤȚıĲȘ ʌİȡȓȜȘȥȘ Įʌȩ ıȣȞȑȞĲİȣȟȘ ĲȠȣ ȝİȖȐȜȠȣ ǲȜȜȘȞĮ
ȝĮșȘȝĮĲȚțȠȪ ĬĮȞȐıȘ ĭȦțȐ ʌȡȠȢ ĲȠȞ įȘȝȠıȚȠȖȡȐĳȠ īȚȐȞȞȘ
ȆĮȞĲĮȗȩʌȠȣȜȠ [LIFO.gr, 7–5–2019]
«ȅ ĬĮȞȐıȘȢ ĭȦțȐȢ ȖİȞȞȒșȘțİ ĲȠ 1952 țĮȚ ȝİȖȐȜȦıİ ıĲȠ
ǹȡȖȠıĲȩȜȚ ȀİĳĮȜȜȠȞȚȐȢ. ȅ Israel Gelfand, ȑȞĮȢ Įʌȩ ĲȠȣȢ
ȝİȖĮȜȪĲİȡȠȣȢ ȝĮșȘȝĮĲȚțȠȪȢ țĮȚ ȕȚȠȜȩȖȠȣȢ ĲȠȣ 20ȠȪ ĮȚȫȞĮ, ȑȤİȚ
ʌİȚ ȖȚ' ĮȣĲȩȞ: «ȅ ĭȦțȐȢ İȓȞĮȚ ȝȚĮ ıʌȐȞȚĮ ʌİȡȓʌĲȦıȘ
ĮȞĮȖİȞȞȘıȚĮțȠȪ İʌȚıĲȒȝȠȞĮ». ǹʌȠĳȠȓĲȘıİ ʌȡȫĲȠȢ Įʌȩ ĲȘȞ
ǹİȡȠȞĮȣʌȘȖȚțȒ ȈȤȠȜȒ ĲȠȣ Imperial College, ȑțĮȞİ įȚįĮțĲȠȡȚțȩ
ıĲĮ ǼĳĮȡȝȠıȝȑȞĮ ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ ıĲȠ ȆĮȞİʌȚıĲȒȝȚȠ Caltech țĮȚ
ȑȜĮȕİ ʌĲȣȤȓȠ ǿĮĲȡȚțȒȢ Įʌȩ ĲȠ ȆĮȞİʌȚıĲȒȝȚȠ ĲȠȣ MĮȧȐȝȚ. ȉȠ 1995 ĮȞȑȜĮȕİ ĲȘȞ ȑįȡĮ ĲȦȞ ǼĳĮȡȝȠıȝȑȞȦȞ
ȂĮșȘȝĮĲȚțȫȞ ĲȠȣ Imperial College țĮȚ Įʌȩ ĲȠ 2002 ȝȑȤȡȚ țĮȚ ıȒȝİȡĮ țĮĲȑȤİȚ ĲȘȞ ȑįȡĮ ĲȘȢ ȂȘ
īȡĮȝȝȚțȒȢ ȂĮșȘȝĮĲȚțȒȢ ǼʌȚıĲȒȝȘȢ ĲȠȣ ȆĮȞİʌȚıĲȘȝȓȠȣ ĲȠȣ ȀȑȝʌȡȚĲȗ.
— Ȉİ ĲȚ ʌİȡȚȕȐȜȜȠȞ ȝİȖĮȜȫıĮĲİ;
īİȞȞȒșȘțĮ țĮȚ ȝİȖȐȜȦıĮ ıĲȘȞ ȀİĳĮȜȜȠȞȚȐ. ǳȝȠȣȞ ʌȠȜȪ țĮȜȩȢ ȝĮșȘĲȒȢ, ĮȜȜȐ ĲĮ ĲİȜİȣĲĮȓĮ ȤȡȩȞȚĮ ĲȠȣ
īȣȝȞĮıȓȠȣ ĮȞĮțȐȜȣȥĮ ȩĲȚ ȒȝȠȣȞ ʌȠȜȪ țĮȜȩȢ ĲİȡȝĮĲȠĳȪȜĮțĮȢ. Ǿ İȞĮıȤȩȜȘıȒ ȝȠȣ ȝİ ĲȠ ʌȠįȩıĳĮȚȡȠ
İȓȤİ ȦȢ ĮʌȠĲȑȜİıȝĮ ȞĮ ȝȘ įȚĮȕȐȗȦ țĮȚ ȞĮ ʌȐȡȦ įȚĮȖȦȖȒ «țȠıȝȓĮ», ȝȑȖȚıĲȠ ʌȡȩȕȜȘȝĮ İțİȓȞȘ ĲȘȞ İʌȠȤȒ.
ȉȩĲİ Ƞ ʌĮĲȑȡĮȢ ȝȠȣ ȝİ ȑıĲİȚȜİ ĲȠȞ ĲİȜİȣĲĮȓȠ ȤȡȩȞȠ ĲȠȣ īȣȝȞĮıȓȠȣ ıĲȘȞ ǹșȒȞĮ, ȩʌȠȣ İʌĮȞȒȜșĮ ıĲȠȞ
ʌĮȜȚȩ ȝȠȣ ȡȣșȝȩ. ǼȓȤĮ ĮȞĲȚȜȘĳșİȓ ȩĲȚ İȓȤĮ țȐʌȠȚĮ țȜȓıȘ ıĲĮ ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ, İʌİȚįȒ ȩȝȦȢ ĲȩĲİ
İʌȚțȡĮĲȠȪıİ Ș ȐʌȠȥȘ ȩĲȚ ĲĮ ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ İȓȞĮȚ ȐȤȡȘıĲĮ, ĮʌȠĳȐıȚıĮ ȞĮ ȖȓȞȦ ȝȘȤĮȞȚțȩȢ. ȇȦĲȫȞĲĮȢ,
ȑȝĮșĮ ȩĲȚ ȠȚ ȝȘȤĮȞȚțȠȓ ʌȠȣ ȤȡȘıȚȝȠʌȠȚȠȪȞ ĲĮ ʌİȡȚııȩĲİȡĮ ȝĮșȘȝĮĲȚțȐ İȓȞĮȚ ȠȚ ĮİȡȠȞĮȣʌȘȖȠȓ țĮȚ ȠȚ
ȘȜİțĲȡȠȜȩȖȠȚ ȝȘȤĮȞȠȜȩȖȠȚ. ǲįȦıĮ İȟİĲȐıİȚȢ ȖȚĮ ĲȠ ȆȠȜȣĲİȤȞİȓȠ, ĮȜȜȐ ĮʌȑĲȣȤĮ. ǲĲıȚ, ĮʌȠĳȐıȚıĮ ȞĮ
ʌȐȦ ıĲȘȞ ǹȖȖȜȓĮ. ǳĲĮȞ įȪıțȠȜİȢ ȠȚ ıȣȞșȒțİȢ, įİȞ ȒȟİȡĮ ĲȘ ȖȜȫııĮ țĮȚ įİȞ İȓȤĮ ȤȡȒȝĮĲĮ. ȀĮĲȐĳİȡĮ
ȩȝȦȢ, ȝĮșĮȓȞȠȞĲĮȢ ʌİȡȓʌȠȣ ĲȡȚĮțȩıȚİȢ ȜȑȟİȚȢ ĲȘȞ ȘȝȑȡĮ, ȞĮ ȝȐșȦ ĮȖȖȜȚțȐ ıİ ĲȡİȚȢ ȝȒȞİȢ. ǹʌȩ ĲĮ
ʌĮȚįȚțȐ ȝȠȣ ȤȡȩȞȚĮ ȞȠıĲĮȜȖȫ ĲȠ ʌȠįȩıĳĮȚȡȠ țĮȚ ĲȘ ĳȦȞȒ ĲȠȣ ʌĮĲȑȡĮ ȝȠȣ, Ƞ ȠʌȠȓȠȢ ȒĲĮȞ İȟĮȚȡİĲȚțȩȢ
ĲİȞȩȡȠȢ. ȀȐșİ ĳȠȡȐ ʌȠȣ ĲȡĮȖȠȣįȠȪıİ ȑȞĮ ȞĲȠȣȑĲȠ Įʌȩ ĲȘȞ ȩʌİȡĮ ĲȠȣ ǺȑȡȞĲȚ «Ǿ įȪȞĮȝȘ ĲȠȣ
ʌİʌȡȦȝȑȞȠȣ» įȐțȡȣȗĮ. īȚĮ ʌȠȜȜȐ ȤȡȩȞȚĮ ȝİĲȐ ĲȠȞ șȐȞĮĲȠ ĲȠȣ įİȞ ȝʌȠȡȠȪıĮ ȞĮ ĮțȠȪıȦ ȝȠȣıȚțȐ
țȠȝȝȐĲȚĮ ʌȠȣ Ƞ ȓįȚȠȢ ĲȡĮȖȠȣįȠȪıİ. ǺȑȕĮȚĮ, Ș ȞȠıĲĮȜȖȓĮ, ȝİ ĲȘ ȖȜȣțȚȐ șȜȓȥȘ ʌȠȣ ĲȘȞ ıȣȞȠįİȪİȚ, İȓȞĮȚ
ȝȓĮ Įʌȩ ĲȚȢ ĮȚĲȓİȢ ʌȠȣ Ș ȗȦȒ İȓȞĮȚ ȣʌȑȡȠȤȘ.
— ȆȩĲİ ĮȞĮțĮȜȪʌĲİĲİ ĲȘȞ «țȜȓıȘ» ıĮȢ ıĲĮ ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ;
ȈĲȘȞ Ǽ' ǻȘȝȠĲȚțȠȪ, ȩĲĮȞ ȑȞĮȢ įȐıțĮȜȠȢ ȝĮȢ ȑȕĮȜİ ȑȞĮ ʌȡȩȕȜȘȝĮ ʌȠȣ ȝȩȞȠ İȖȫ ȑȜȣıĮ ıİ ȩȜȘ ĲȘȞ
ĲȐȟȘ. ǹȣĲȩ İʌȑįȡĮıİ ıȘȝĮȞĲȚțȐ ıĲȘȞ ʌȠȡİȓĮ ȝȠȣ.
— ȉȚ ıĮȢ ȖȠȘĲİȪİȚ ıĲȘȞ İʌȚıĲȒȝȘ ĲȦȞ ȂĮșȘȝĮĲȚțȫȞ;
Ǿ ʌȠȜȣʌȜȠțȩĲȘĲĮ. ȄİțȚȞȐȢ Įʌȩ ĲİȜİȓȦȢ įȚĮĳȠȡİĲȚțȑȢ ĮĳİĲȘȡȓİȢ țĮȚ țĮĲĮȜȒȖİȚȢ ıİ ĮʌȠĲİȜȑıȝĮĲĮ ȝİ
İıȦĲİȡȚțȒ ıȣȞȑʌİȚĮ.
— ǵȜĮ ĲĮ ʌȡȠȕȜȒȝĮĲĮ ȑȤȠȣȞ ȜȪıȘ;
ȈĲȠ ȀȑȝʌȡȚĲȗ ȑȤȦ ȑȞĮȞ ĳȠȚĲȘĲȒ ʌȠȜȪ įȚȐıȘȝȠ İʌİȚįȒ İȓȞĮȚ Ƞ ȞİȩĲİȡȠȢ ʌȠȣ țĮĲȐĳİȡİ ȞĮ ȝʌİȚ ıĲȠ
ʌĮȞİʌȚıĲȒȝȚȠ Įʌȩ ĲȠ 1774 țĮȚ ȠȜȠțȜȒȡȦıİ ĲȚȢ įȚįĮțĲȠȡȚțȑȢ ĲȠȣ ıʌȠȣįȑȢ ĲȠȣ ʌȡȚȞ įȚĮȕİȓ ĲȠ İȚțȠıĲȩ
ȑĲȠȢ ĲȘȢ ȘȜȚțȓĮȢ ĲȠȣ. ǳȡșİ ʌȡȚȞ Įʌȩ ȜȓȖİȢ ȝȑȡİȢ țĮȚ ȝİ ȡȫĲȘıİ ʌȠȚȠ İȓȞĮȚ ĲȠ ȝȣıĲȚțȩ ĲȘȢ ȜȪıȘȢ
ĲȩıȦȞ ʌȡȠȕȜȘȝȐĲȦȞ. ȉȠȣ ĮʌȐȞĲȘıĮ ȩĲȚ İȓȞĮȚ ʌȠȜȪ ĮʌȜȩ: ȞĮ ȟȣʌȞȐȢ țĮȚ ȞĮ țȠȚȝȐıĮȚ ȝİ ĲȠ ʌȡȩȕȜȘȝĮ.
ǹȞĮȜȠȖȚıĲİȓĲİ ȩĲȚ ȖȚĮ ȞĮ ĳĲȐıȦ ıĲȘȞ «ȝȑșȠįȠ ĭȦțȐ» ʌȑȡĮıĮȞ įİțĮʌȑȞĲİ ȤȡȩȞȚĮ.
— ȉȚ ĮʌĮȞĲȐĲİ ı' ĮȣĲȠȪȢ ʌȠȣ ȜȑȞİ ȩĲȚ ĲĮ ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ įİȞ ȝĮȢ ȤȡȘıȚȝİȪȠȣȞ ʌȠȣșİȞȐ;
ĬĮ İȓȤĮȝİ ĮȣĲȒ ĲȘȞ ĲİȡȐıĲȚĮ İȟȑȜȚȟȘ țĮȚ ĲȘȞ ĲİȤȞȠȜȠȖȚțȒ ʌȡȩȠįȠ ĮȞ įİȞ ȣʌȒȡȤİ Ƞ ȘȜİțĲȡȠȞȚțȩȢ
ĬĮȞȐıȘȢ ĭȦțȐȢ

-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
ȣʌȠȜȠȖȚıĲȒȢ; ĬĮ ȣʌȒȡȤİ ȘȜİțĲȡȠȞȚțȩȢ ȣʌȠȜȠȖȚıĲȒȢ ȤȦȡȓȢ ĲĮ ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ; ȂȩȞȠ ĮȞ įİȚȢ ĲȘȞ
İʌȚıĲȒȝȘ ĲȦȞ ȂĮșȘȝĮĲȚțȫȞ ıİ ȖİȞȚțȩ ʌȜĮȓıȚȠ șĮ ĮȞĲȚȜȘĳșİȓȢ ĲȘȞ ȝȑȖȚıĲȘ ıȘȝĮıȓĮ ĲȠȣȢ ıĲȘȞ ʌȠȡİȓĮ
ĲȠȣ țȩıȝȠȣ. ǼȓȞĮȚ ȕȑȕĮȚȠ ȩĲȚ įİȞ ȝʌȠȡİȓȢ ȞĮ ʌȜȘıȚȐıİȚȢ ĲȘȞ ȠȣıȓĮ ĲȠȣ țȩıȝȠȣ ȤȦȡȓȢ ĲȘ ȖȞȫıȘ ĲȦȞ
ȂĮșȘȝĮĲȚțȫȞ.
— ȂȚĮ ȤȡȒıȚȝȘ ıȣȝȕȠȣȜȒ ʌȠȣ ıĮȢ ȑȤȠȣȞ įȫıİȚ;
ȀȐʌȠĲİ, ʌȡȚȞ İțĳȦȞȒıȦ ȝȚĮ ȠȝȚȜȓĮ, ĲȘȞ ȑįȦıĮ ȞĮ ĲȘ įȚĮȕȐıİȚ Ș ȝİȖȐȜȘ țȣȡȓĮ ĲȘȢ ʌȠȓȘıȘȢ ȀȚțȒ
ǻȘȝȠȣȜȐ, Ș ȠʌȠȓĮ ȑıȕȘıİ Įʌ' ĮȣĲȒȞ įȪȠ ȖȡĮȝȝȑȢ țĮȚ ȝȠȣ İȓʌİ ȩĲȚ ĮȣĲȑȢ șĮ ȝʌȠȡȠȪıİ ȞĮ ĲȚȢ İȓȤİ ʌİȚ Ƞ
țĮșȑȞĮȢ. Ǿ įİȪĲİȡȘ ıȣȝȕȠȣȜȒ, ıİ ʌȜȒȡȘ ıȣȞȑʌİȚĮ ȝİ ĲȘȞ ʌȡȫĲȘ, ȒȜșİ Įʌȩ ĲȠȞ ıȘȝĮȞĲȚțȩĲİȡȠ ıȣȞİȡȖȐĲȘ
ĲȘȢ ȗȦȒȢ ȝȠȣ, ĲȠȞ Israel Gelfand: «ȆȠĲȑ ȝȘ ȜȪıİȚȢ ȑȞĮ ʌȡȩȕȜȘȝĮ ʌȠȣ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ȜȪıİȚ țȐʌȠȚȠȢ ȐȜȜȠȢ,
įȚȩĲȚ ĮȞ țȐʌȠȚȠȢ ȐȜȜȠȢ ȝʌȠȡİȓ ȞĮ ĲȠ ȜȪıİȚ, ĲȩĲİ Ș İʌȚıĲȒȝȘ įİȞ ıİ ȤȡİȚȐȗİĲĮȚ».
2o
șȑȝĮ. ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ țĮȚ țȠȡȠȞȠȧȩȢ (ĲȠȣ ȀȫıĲĮ ǻȩȡĲıȚȠȣ)
ʌȡȠȜİȖȩȝİȞĮ ȝİ ĮĳȠȡȝȒ ĲȘȞ ȩȜȠ țĮȚ İȞĲȠȞȩĲİȡȘ ĮʌİȚȜȒ Įʌȩ ĲȘȞ ʌĮȞįȘȝȓĮ ĲȠȣ țȠȡȠȞȠȧȠȪ țĮȚ ĲȘȞ
țȠȪȡıĮ ĲȦȞ İȝȕȠȜȚĮıȝȫȞ, ȝĮȢ Ȓȡșİ ıĲȠ ȞȠȣ Ș ıȣȝȕȠȜȒ ĲȘȢ İʌȚıĲȒȝȘȢ ĲȦȞ ȂĮșȘȝĮĲȚțȫȞ, ı' ĮȣĲȩȞ ĲȠȞ
ʌȩȜİȝȠ. Ǿ ıĲȒȜȘ ȝĮȢ ȑȤİȚ įȘȝȠıȚİȪıİȚ, ıĲȠ ʌĮȡİȜșȩȞ, ıȤİĲȚțȑȢ ĮȞĮĳȠȡȑȢ (ʌ.Ȥ. ĲȠȣ ȀȫıĲĮ ȈȚȑĲȠȣ, ĲȠȣ
ȀȫıĲĮ ǻĮıțĮȜȐțȘ, ț.Ȑ. ĮȟȚȩȜȠȖȦȞ ǼȜȜȒȞȦȞ İȡİȣȞȘĲȫȞ). Ȉİ ĲȠȪĲȠ ĲȠ ĲİȪȤȠȢ ıĮȢ ʌĮȡȠȣıȚȐȗȠȣȝİ,
İȞįİȚțĲȚțȐ, ĲȠȞ ʌȡȩȜȠȖȠ ȝȚĮȢ ʌȠȜȪ ȝİȖȐȜȘȢ țĮȚ ĮȟȚȩȜȠȖȘȢ İȡȖĮıȓĮȢ ĲȠȣ ıȘȝĮȞĲȚțȠȪ ĳȓȜȠȣ ĲȘȢ ıĲȒȜȘȢ,
ĲȠȣ ȀȫıĲĮ ǻȩȡĲıȚȠȣ (īȡİȕİȞȐ). Ǿ İȡİȣȞȘĲȚțȒ ĲȠȣ İȡȖĮıȓĮ ʌȐȞȦ ı' ĮȣĲȩ ĲȠ șȑȝĮ İȓȞĮȚ ȝİȖȐȜȘ ıİ
ȑțĲĮıȘ țĮȚ ĮĳȠȡȐ ĲȠȞ İȜȜȘȞȚțȩ ȤȫȡȠ. ǹȡțȠȪȝĮıĲİ, ȜȠȚʌȩȞ, ıĲȘȞ İȚıĮȖȦȖȚțȒ ıȘȝİȓȦıȘ, ʌȠȣ ȑțĮȞİ ʌȡȚȞ
ȑȞĮ ʌİȡȓʌȠȣ ȤȡȩȞȠ (ıĲȘȞ ȑȖțȣȡȘ ȚıĲȠıİȜȓįĮ ''mathematica.gr'')
«Įʌȩ KDORTSI » ȉİĲ ǹʌȡ 08, 2020 9:56 pm
ȀĮȜȘıʌȑȡĮ Įʌȩ īȡİȕİȞȐ...
ȉȚȢ ȝȑȡİȢ ĲȠȪĲİȢ ȩȜȠȚ ȝĮȢ, ĮȜȜȐ țĮȚ ȠȜȩțȜȘȡȠȢ Ƞ țȩıȝȠȢ, ȗİȚ țĮȚ ȕȚȫȞİȚ ĲȘȞ İʌȚįȘȝȓĮ ĲȠȣ țȠȡȦȞȠȧȠȪ.
ǼʌİȚįȒ ʌȓıȦ Įʌȩ ĲȘȞ İʌȚıĲȒȝȘ ĲȘȢ ȚĮĲȡȚțȒȢ ĮțȠȪȖȠȞĲĮȚ țĮȚ įȚȐĳȠȡĮ ȝĮșȘȝĮĲȚțȐ ȝȠȞĲȑȜĮ,
(ıĲĮĲȚıĲȚțȠȓ ʌȓȞĮțİȢ, ʌȚșĮȞȩĲȘĲİȢ, ʌȡȠȕȜȑȥİȚȢ, țĮȝʌȪȜİȢ, ȖİȦȝİĲȡȚțȑȢ ʌȡȩȠįȠȚ, İțșİĲȚțȑȢ ıȣȞĮȡĲȒıİȚȢ,
ț.Ȑ.), įȘȜĮįȒ ȝİȜȑĲİȢ țĮȚ ʌȡȠȕȜȑȥİȚȢ ȝȑıĮ Įʌȩ ĲȘ ȜȠȖȚțȒ ĲȘȢ ȂĮșȘȝĮĲȚțȒȢ ȈțȑȥȘȢ, ʌȠȣ ʌȘȖȐȗİȚ Įʌȩ
ȑȞĮ ȠȜȩțȜȘȡȠ țĮȚ ĮĳĮȞȒ țȩıȝȠ ĲȦȞ ȝĮșȘȝĮĲȚțȫȞ, ĮȟȓȗİȚ ȞĮ ĲȠȞȚıĲİȓ Ș ĮȞșȡȦʌȚıĲȚțȒ ıȘȝĮıȓĮ ĲȠȣ ȑȡȖȠȣ țȚ
ĮȣĲȫȞ ĲȦȞ ĮȞșȡȫʌȦȞ, ȩʌȠȣ ȖȘȢ.
ǼȖȫ țȜİȚıȝȑȞȠȢ țĮȚ ȝʌȡȠıĲȐ ıĲȠȞ ȣʌȠȜȠȖȚıĲȒ ʌĮȡĮțȠȜȠȣșȫ ĲĮ įȡȫȝİȞĮ ıȤİĲȚțȐ ȝİ ĲȠȞ țȠȡȠȞȠȧȩ.
ǹțȠȪȖȠȞĲĮȢ țȐșİ ĮʌȩȖİȣȝĮ ĲĮ ıĲĮĲȚıĲȚțȐ Įʌȩ ĲȠȞ ț. ȈȦĲȒȡȘ ȉıȚȩįȡĮ, țȣȡȓȦȢ ĲĮ ȞȑĮ țȡȠȪıȝĮĲĮ,
ıțȑĳĲȘțĮ ȞĮ ȡȦĲȒıȦ ĲĮ ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ. ǲĲıȚ
ıțȑĳĲȘțĮ ĲȘȞ ʌĮȜȚȞįȡȩȝȘıȘ ....
ȉȠ ıȤȒȝĮ ʌȠȣ ĮȞĮȡĲȫ ȑȤİȚ ĮțȡȚȕȫȢ ĲĮ ıĲȠȚȤİȓĮ,
ĲȦȞ ȞȑȦȞ țȡȠȣıȝȐĲȦȞ ȝȑȤȡȚ țĮȚ ıȒȝİȡĮ 8
ǹʌȡȚȜȓȠȣ 2020, Įʌȩ ĲȚȢ 30 ȂĮȡĲȓȠȣ 2020 .
Ǿ İȣșİȓĮ ȖȡĮȝȝȚțȒȢ ʌĮȜȚȞįȡȩȝȘıȘȢ, ȩʌȦȢ
ĳĮȓȞİĲĮȚ Įʌȩ ĲȠ įȚȐȖȡĮȝȝĮ ĮȣĲȩ,
ʌȡȠȕȜȑʌİȚ(;), ȩĲȚ Ƞ ȝȘįİȞȚıȝȩȢ ĲȦȞ
țȡȠȣıȝȐĲȦȞ șĮ ıȣȝȕİȓ țĮĲȐ ĲȠ įȚȐıȘȝĮ ȝİĲĮȟȪ
ĲȘȢ 24 ȝİȚ 25 ǹʌȡȚȜȓȠȣ, ĮȞ ȕȑȕĮȚĮ ȩȜİȢ ȠȚ ȐȜȜİȢ
ʌĮȡȐȝİĲȡȠȚ ĲȠȣ ȩȜȠȣ įȡȫȝİȞȠȣ İȓȞĮȚ ıĲĮșİȡȑȢ.
ȅ ȠȡȚȗȩȞĲȚȠȢ ȐȟȠȞĮȢ įȘȜȫȞİȚ ĲȚȢ ȝȑȡİȢ ĲȠȣ ǹʌȡȚȜȓȠȣ 2020 țĮȚ Ƞ țĮĲĮțȩȡȣĳȠȢ ĲȠȞ ĮȡȚșȝȩ ĲȦȞ ȞȑȦȞ
țȡȠȣıȝȐĲȦȞ.
ȉȠ ȖȡȐĳȘȝĮ ĮȣĲȩ ĲȠ İȞȘȝİȡȫȞȦ țȐșİ ȝȑȡĮ..... ǴįȦȝİȞ.... ȀȫıĲĮȢ ǻȩȡĲıȚȠȢ»
3o
șȑȝĮ. ǴȦȞİȢ ʌȡȠıȦțȡĮĲȚțȠȓ ĳȣıȚțȠȓ ĳȚȜȩıȠĳȠȚ țĮȚ ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ (ĲȠȣ ȆȑĲȡȠȣ ȈȠĳȚĮȞȠȪ)

ʌȡȠȜİȖȩȝİȞĮ Ƞ ȆȑĲȡȠȢ ȈȠĳȚĮȞȩȢ İȓȞĮȚ Įʌȩ ĲȠȣȢ ʌĮȜȚȠȪȢ ıȣȞİȡȖȐĲİȢ ĲȘȢ ıĲȒȜȘȢ ȝĮȢ. ǻȚĮțȡȓȞİĲĮȚ
ȖȚĮ ĲȘ ȖȞȫıȘ ĲȦȞ ǿȫȞȦȞ ĳȚȜȠıȩĳȦȞ. ǻİȞ ȣʌȐȡȤİȚ țİȓȝİȞȩ ĲȠȣ ʌȠȣ ȞĮ ȝȘ ʌİȡȚȜĮȝȕȐȞİȚ ȑȝȝİĲȡİȢ
İțĳȡȐıİȚȢ (ȩʌȦȢ Ș ʌĮȡĮțȐĲȦ ȑȝȝİĲȡȘ İȚıĮȖȦȖȒ ıĲȠ șȑȝĮ):
«Ȉİ įȫįİțĮ ȓıĮ ĲȝȒȝĮĲĮ ȤȫȡȚıĮȞ ĲȠ țȠȡįȩȞȚ
ĲȠȣ ȋȫȡȠȣ ȋȡȩȞȠȣ țĮĲ’ ĮȡȤȐȢ ȝİ Ĳ’ ȩȞȠȝĮ «ĮȡʌİįȩȞȘ»!
ǻȫįİțĮ ȆȩȜİȚȢ țĲȓıĲȘțĮȞ , ȩıȠȚ țĮȚ ȠȚ șİȠȓ ĲȠȣȢ
ıĲȘȢ ǿȦȞȓĮȢ ĲȘ ȝİȡȚȐ țȚ ȐȟȚȠȚ ȠȚ ĭȚȜȩıȠĳȠȓ ĲȠȣȢ!»
ȁȩȖȦ ȑȜȜİȚȥȘȢ ȤȫȡȠȣ, įȘȝȠıȚİȪȠȣȝİ ȝȩȞȠ ȑȞĮ ȝȑȡȠȢ ĲȠȣ ıȘȝİȚȫȝĮĲȩȢ ĲȠȣ.
«...ȅ ĬĮȜȒȢ Įʌȩ ĲȘȞ ȂȓȜȘĲȠ, Ƞ ʌȡȫĲȠȢ Įʌȩ ĲȠȣ 7 ıȠĳȠȪȢ ĲȘȢ ʌȡȫĲȘȢ İțİȓȞȘȢ ǼȜȜȘȞȚțȒȢ ʌİȡȚȠȤȒȢ

-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
ʌȠȣ ȑĳİȡİ ĲȠ ȩȞȠȝĮ ǿȦȞȓĮ, ĲĮȟȓįİȣİ ıĲȘȞ ǹȓȖȣʌĲȠ ȝİ ıțȠʌȠȪȢ İȝʌȠȡȚțȠȪȢ, ĮȜȜȐ țĮȚ İȡİȣȞȘĲȚțȠȪȢ
ĲȠȣ ʌȠȜȚĲȚıȝȠȪ ĲȘȢ ǹȚȖȪʌĲȠȣ țĮȚ ĲȘȢ ȂİıȠʌȠĲĮȝȓĮȢ.
ǼȓȞĮȚ İȣȡȪĲĮĲĮ ȖȞȦıĲȩ ʌȦȢ Ƞ ĬĮȜȒȢ, İĳĮȡȝȩȗȠȞĲĮȢ ĲȘȞ ĮȞĮȜȠȖȓĮ ıĮȞ ĮȡȚșȝȘĲȚțȒ ıȤȑıȘ țĮȚ ĲȘȞ
ȠȝȠȚȩĲȘĲĮ ȠȡșȠȖȦȞȓȦȞ ĲȡȚȖȫȞȦȞ, țĮĲȐĳİȡȞİ ȞĮ ȣʌȠȜȠȖȓȗİȚ ȝʌȡȠıĲȐ ıĲĮ ȝȐĲȚĮ ĲȦȞ ȑțʌȜȘțĲȦȞ
ȚİȡȑȦȞ ĲĮ ȪȥȘ ĲȦȞ ʌȣȡĮȝȓįȦȞ Ȓ ĲȦȞ ȚİȡȫȞ ȠȕİȜȓıțȦȞ, ȤȡȘıȚȝȠʌȠȚȫȞĲĮȢ ĲȘ ȡȐȕįȠ ĲȠȣ ıĮȞ ȝȠȞȐįĮ
ȝȑĲȡȘıȘȢ țĮȚ ȝİĲĮĲȡȑʌȠȞĲĮȢ ĲȠ ĮʌȠĲȑȜİıȝĮ ıĲȚȢ ȝȠȞȐįİȢ ȝȑĲȡȘıȘȢ ʌȠȣ ȤȡȘıȚȝȠʌȠȚȠȪıĮȞ İțİȓ.
ǼȓȞĮȚ ĮțȩȝȘ ȖȞȦıĲȩ ıĲȘȞ ʌĮȖțȩıȝȚĮ İʌȚıĲȘȝȠȞȚțȒ țȠȚȞȩĲȘĲĮ ȩĲȚ Įʌȩ ĮȣĲȒ ĲȘȞ İʌȠȤȒ Ș
īİȦȝİĲȡȓĮ, Ș ǹȡȚșȝȘĲȚțȒ țĮȚ Ș ȀȠıȝȠȜȠȖȓĮ Įʌȩ ȉȑȤȞİȢ țĮȚ ȝȣșȠȜȠȖȚțȑȢ ȀȠıȝȠȖȠȞȓİȢ ( ȝİ țȐșİ
ȜĮȩ ĲȘȢ ȖȘȢ ȞĮ ĳȑȡİȚ ĲȘȞ įȚțȒ ĲȠȣ țȠıȝȠȖȠȞȓĮ ) ȝİĲĮıȤȘȝĮĲȓȗȠȞĲĮȚ ıİ țȜȐįȠȣȢ ĲȘȢ ǼʌȚıĲȒȝȘȢ ĲȦȞ
ȂĮșȘȝĮĲȚțȫȞ țĮȚ İȞȠʌȠȚȠȪȞĲĮȚ ıĲȘȞ ǼʌȚıĲȒȝȘ ĲȦȞ İʌȚıĲȘȝȫȞ ʌȠȣ Įʌȩ ĲȩĲİ ȑȦȢ ıȒȝİȡĮ țĮȜȠȪȝİ
ĭȚȜȠıȠĳȓĮ !
ȉĮ ĬİȦȡȒȝĮĲĮ ȜȠȚʌȩȞ ĮȣĲȐ ĲȠȣ ĬĮȜȒ ȝĮȗȓ ȝİ ĲȠ șİȫȡȘȝĮ ĲȠȣ ȝĮșȘĲȒ ĲȠȣ, ȆȣșĮȖȩȡĮ, Įʌȩ ĲȘ
ȈȐȝȠ, ĮʌȠĲİȜȠȪȞ ĲĮ įȣȠ ȖİȡȐ șİȝȑȜȚĮ ĲȘȢ ǼȣțȜİȓįİȚĮȢ īİȦȝİĲȡȓĮȢ ʌȠȣ șİȝİȜȚȫȞİȚ ȝİ ĲȘ ıİȚȡȐ ĲȘȢ
ȩȤȚ ȝȩȞȠ ĲȘȞ īİȦȝİĲȡȓĮ ıĮȞ țȜȐįȠ ĲȘȢ ǼʌȚıĲȒȝȘȢ ĲȦȞ ȂĮșȘȝĮĲȚțȫȞ ĮȜȜȐ ȝȑıĮ Įʌȩ ĲȘȞ
ĮʌȠįİȚțĲȚțȒ ĲȘȢ ȝİșȠįȠȜȠȖȓĮ, ĲȘȢ İʌȚıĲȘȝȠȞȚțȒȢ ıțȑȥȘȢ ȖİȞȚțȩĲİȡĮ.
ȉȚ İȓȞĮȚ ȩȝȦȢ ĮȣĲȩ ʌȠȣ țȐȞİȚ ĲȑııİȡȚȢ ĮȚȫȞİȢ ȪıĲİȡĮ Įʌȩ ĲȠȞ țȪțȜȠ ĲȘȢ ȗȦȒȢ ĲȠȣ ĬĮȜȒ ĲȠȞ
ȐȖȞȦıĲȠ ǹȜİȟĮȞįȡȚȞȩ «ĮȟȚȠȜȠȖȘĲȒ» ȞĮ ĲȠȞ țĮĲĮĲȐȟİȚ ȦȢ ʌȡȫĲȠ țĮȚ ȩȤȚ ȝȩȞȠ țĮĲ’ ĮȡȤĮȚȩĲȘĲĮ, Įʌȩ
ĲȠȣȢ 7 ıȠĳȠȪȢ ĲȘȢ ĮȡȤĮȓĮȢ ǼȜȜȐįĮȢ;
ǹȣĲȩ ʌȠȣ țĮĲȐ ĲȘȞ ȐʌȠȥȒ ȝȠȣ ĲȠȞ țȐȞİȚ ȚįȚĮȓĲİȡȠ ĳȚȜȩıȠĳȠ İȞ ȗȦȒ țĮȚ ıȠĳȩ ȝİĲȐ ĲȠȞ șȐȞĮĲȩ
ĲȠȣ , İȓȞĮȚ Ƞ ʌĮȡĮțȐĲȦ įİțȐȜȠȖȠȢ ʌȑȞĲİ ĮȡȤȫȞ:
- ȆȡİıȕȪĲĮĲȠȞ ĲȦȞ ȩȞĲȦȞ ĬİȩȢ , ĮȖȑȞȞȘĲȠȞ ȖĮȡ.
- ȀȐȜȜȚıĲȠȞ ȀȩıȝȠȢ , ʌȠȓȘȝĮ ȖĮȡ ĬİȠȪ.
- ȂȑȖȚıĲȠȞ ȉȩʌȠȢ , ȐʌĮȞĲĮ ȖĮȡ ȤȦȡİȓ. (ȉȠ ıȪȝʌĮȞ ĲĮ ȤȦȡȐİȚ ȩȜĮ)
- ȉȐȤȣıĲȠȞ ȃȠȣȢ , įȚĮ ʌĮȞĲȩȢ ȖĮȡ ĲȡȑȤİȚ.
- ȈȠĳȩĲĮĲȠȞ ȋȡȩȞȠȢ , ĮȞİȣȡȓıțİȚ ȖĮȡ ʌȐȞĲĮ
țĮȚ ʌȑȞĲİ ʌĮȡĮȚȞȑıİȦȞ:
- īȞȫșȚ ı’ ĮȣĲȩȞ (ĮȣĲȠȖȞȦıȓĮ – ĮȣĲȠțȡȚĲȚțȒ)
- ȂȑĲȡȦ ȤȡȦ (ȞĮ ȤȡȘıȚȝȠʌȠȚİȓȢ ĲȠ ȝȑĲȡȠ)
- ȀȠȜĮțİȪİȚȞ ȖȠȞİȓȢ ȝȘ ȩțȞİȚ (ȂȘȞ ĲİȝʌİȜȚȐȗİȚȢ ȞĮ ȚțĮȞȠʌȠȚİȓȢ ĲȠȣȢ
ȖȠȞİȓȢ)
- ǺĮȡȪ Ș ĮʌĮȚįİȣıȓĮ ( ȐıȤȘȝȠ ʌȡȐȖȝĮ Ș ĮȝȠȡĳȦıȚȐ)
- ĭȓȜȦȞ ʌĮȡȩȞĲȦȞ țĮȚ ĮʌȩȞĲȦȞ ȝȑȝȞȘıȠ (ȞĮ șȣȝȐıĮȚ ĲȠȣȢ ĳȓȜȠȣȢ ...)
ĬĮȜȒȢ Ƞ ȂȚȜȒıȚȠȢ
țĮȚ ĲȘȞ ıȣȝʌȜȒȡȦıȘ ĲȦȞ ʌĮȡĮʌȐȞȦ 5 ȠȡȚıȝȫȞ İȞȞȠȚȫȞ ȝİ ĲȠ:
«ǿıȤȣȡȩĲĮĲȠȞ ǹȞȐȖțĮ , șİȠȓ ȖĮȡ ʌİȓșȠȞĲĮȚ»
(ȆȚȠ ȚıȤȣȡȩ ȩȜȦȞ İȓȞĮȚ Ș ǹȞȐȖțȘ , įȚȩĲȚ ı’ ĮȣĲȒȞ ȣʌĮțȠȪȠȣȞ țĮȚ ȠȚ șİȠȓ).
Ȉİ ĲȠȪĲȘ ĲȘȞ ǹȞĮȖțĮȚȩĲȘĲĮ – ȃȠȝȠĲȑȜİȚĮ ĲȠȣ ȁȩȖȠȣ ȩȜȠȚ ȠȚ İʌȩȝİȞȠȚ ǴȦȞİȢ ĭȣıȚțȠȓ –
ȂĮșȘȝĮĲȚțȠȓ ĭȚȜȩıȠĳȠȚ ıĲȒȡȚȟĮȞ ĲȘ ĳȚȜȠıȠĳȓĮ ĲȠȣȢ İȡİȣȞȫȞĲĮȢ , ĮȞĮțĮȜȪʌĲȠȞĲĮȢ țĮȚ
ĮȟȚȠʌȠȚȫȞĲĮȢ ĲĮ ĮʌȠĲİȜȑıȝĮĲĮ ĲȠȪĲȘȢ ĲȘȢ ȑȡİȣȞĮȢ , ȕȐȗȠȞĲĮȢ ȑĲıȚ ĲĮ șİȝȑȜȚĮ ĲȘȢ ʌĮȖțȩıȝȚĮȢ
ǼʌȚıĲȒȝȘȢ țĮȚ ĭȚȜȠıȠĳȓĮȢ.
ǹʌȩ ĲȠȣȢ ȝĮșȘĲȑȢ ĲȠȣ ĬĮȜȒ Ƞ ǹȞĮȟȓȝĮȞįȡȠȢ ĲȘȢ ʌȡȫĲȘȢ ĮȣĲȒȢ ȈȤȠȜȒȢ ĲȘȢ ȂȚȜȒĲȠȣ șȑĲȠȞĲĮȢ
ĲȠ ǹȆǼǿȇȅȃ ıĮȞ ĮȡȤȒ – ȕȐıȘ İȡȝȘȞİȓĮȢ ĲȠȣ ȣȜȚțȠȪ ȀȩıȝȠȣ țĮȚ ȝİ ĲȘȞ ȚįȑĮ ĲȘȢ «ǹȞĮțȪțȜȘıȘȢ
ĲȘȢ ǶȜȘȢ» įȘȝȚȠȣȡȖİȓ ȖȚĮ ʌȡȫĲȘ ĳȠȡȐ ȝȚĮ İʌȚıĲȘȝȠȞȚțȒ șİȝİȜȓȦıȘ ĲȘȢ ǼȟİȜȚțĲȚțȒȢ ĬİȦȡȓĮȢ ,
ĲȘȞ ȠʌȠȓĮ Ƞ ǻĮȡȕȓȞȠȢ ȝİ ȑȞĮ ʌȚȠ ıȪȖȤȡȠȞȠ țĮȚ ȠȜȠțȜȘȡȦȝȑȞȠ ĲȡȩʌȠ ʌĮȡȠȣıȚȐȗİȚ İȞȐȝȚıȚ ȝȩȜȚȢ
ĮȚȫȞĮ ʌİȡȓʌȠȣ ʌȡȚȞ Įʌȩ ıȒȝİȡĮ.
īȚĮ ĲȠȞ ȆȣșĮȖȩȡĮ ĲȠȞ ȈȐȝȚȠ ĮȞ țĮȚ ȤȡİȚȐȗİĲĮȚ İȚįȚțȩ țĮȚ ȚįȚĮȓĲİȡȠ ȐȡșȡȠ ȖȚĮ ȞĮ ĮȞĮĳİȡșİȓ
țĮȞİȓȢ ıĲȠ ʌȠȜȪʌȜİȣȡȠ ĭȚȜȠıȠĳȚțȩ ǲȡȖȠ ĲȠȣ, ĮȢ ıȘȝİȚȫıȠȣȝİ ʌȑȡĮȞ ĲȘȢ ıȣȝȕȠȜȒȢ ĲȠȣ ıĲȘȞ
İʌȚıĲȘȝȠȞȚțȒ șİȫȡȘıȘ ĲȘȢ īİȦȝİĲȡȓĮȢ, ĲȘȢ ĬİȦȡȓĮȢ ǹȡȚșȝȫȞ, ĲȘȢ țĮșȚȑȡȦıȘȢ ĲȠȣ ǻİțĮįȚțȠȪ
ıȣıĲȒȝĮĲȠȢ ȑȞĮȞĲȚ ĲȠȣ İȟȘțȠȞĲĮįȚțȠȪ ĲȦȞ ʌȡȠİȜȜȘȞȚțȫȞ ʌȠȜȚĲȚıȝȫȞ țĮȚ ĲȘȢ ǹıĲȡȠȞȠȝȓĮȢ, Ș
ȂȠȣıȚțȒ ȕȡȓıțİȚ ȝȑıȦ ĲȦȞ ǹȡȚșȝȫȞ ĲȘȞ ʌȡȫĲȘ ȖȡĮʌĲȒ ȂĮșȘȝĮĲȚțȒ ȑțĳȡĮıȒ ĲȘȢ.
ȆȡȠıȦʌȚțȒ ȝȠȣ ȖȞȫȝȘ ıȒȝİȡĮ İȓȞĮȚ ȩĲȚ ȝİ ĲȘȞ ĮȟȚȠʌȠȓȘıȘ țĮȚ ĲȘȢ ıȣȞİȤȫȢ ĮȞĮʌĲȣııȩȝİȞȘȢ
ȉİȤȞȠȜȠȖȓĮȢ Ș ȀȠȚȞȦȞȓĮ ȝȑıĮ Įʌȩ ȑȞĮ ıȪȖȤȡȠȞȠ ʌȡȠȠįİȣĲȚțȩ ǼțʌĮȚįİȣĲȚțȩ ȈȪıĲȘȝĮ ʌȡȑʌİȚ ȞĮ
ĮȟȚȠʌȠȚȒıİȚ ĲȘ ʌȡȠıĳȠȡȐ țĮȚ ĲȠ ȝİȖȐȜȠ ǼʌȚıĲȘȝȠȞȚțȩ ǲȡȖȠ ĲȦȞ ǿȫȞȦȞ ȂĮșȘȝĮĲȚțȫȞ ĭȚȜȠıȩĳȦȞ»

-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
4o
șȑȝĮ. ȠȚ ĲİĲȡȐȖȦȞİȢ ĲȡȪʌİȢ ĲȠȣ Franz Reuleaux (ĭȡȐȞĲȢ ȇİȜȩ) (Įʌȩ ĲȠȞ ǱȡȘ ǻȚȕȑȡȘ)
ʌȡȠȜİȖȩȝİȞĮ țĮȞȠȞȚțȐ ĲȠ șȑȝĮ șĮ ȑʌȡİʌİ ȞĮ İʌȚȖȡȐĳİĲĮȚ: ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ țĮȚ ȉİȤȞȠȜȠȖȓĮ…..
ȉĮ ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ ĮȟȚȠʌȠȚȠȪȞĲĮȚ țĮȚ İĳĮȡȝȩȗȠȞĲĮȚ ıĲȚȢ İȣȡİıȚĲİȤȞȓİȢ ȝİ
İȞĲȣʌȦıȚĮțȠȪȢ ĲȡȩʌȠȣȢǜ ȑȞĮȢ Įʌȩ ĮȣĲȠȪȢ İȓȞĮȚ ĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ȇİȜȩ – ȑȞĮ
ĲȡȓȖȦȞȠ ȝİ țĮȝʌȪȜİȢ ʌȜİȣȡȑȢ. Ǿ ıȣȖțİțȡȚȝȑȞȘ ʌĮĲȑȞĲĮ ȝİ ĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ȇİȜȩ
ĮĳȠȡȐ țİĳĮȜȑȢ ĲȡȣʌĮȞȚȫȞ ʌȠȣ ȝĮȢ ȕȠȘșȠȪȞ ȞĮ ĮȞȠȓȟȠȣȝİ ĲİĲȡȐȖȦȞİȢ
ĲȡȪʌİȢ! [ȉȡȣʌȐȞȚ ȖȚĮ ĲİĲȡȐȖȦȞİȢ ĲȡȪʌİȢ (įȓʌȜȦȝĮ İȣȡİıȚĲİȤȞȓĮȢ, ǾȆǹ
4.074.778)]. Ǿ įȚĮĲȠȝȒ ĲȠȣȢ ȠȡȓȗİĲĮȚ Įʌȩ ĲȠ ĲȡȓȖȦȞȠ ȇİȜȩ (įȚʌȜĮȞȩ ıȤȒȝĮ),
ĲȠ ȠʌȠȓȠ ʌȒȡİ ĲȠ ȩȞȠȝȐ ĲȠȣ Įʌȩ ĲȠȞ įȚĮțİțȡȚȝȑȞȠ īİȡȝĮȞȩ ȝȘȤĮȞȠȜȩȖȠ
ȝȘȤĮȞȚțȩ Franz Reuleaux (1829–1905). Ǿ ȚįȑĮ İȞȩȢ ĲȡȣʌĮȞȚȠȪ ʌȠȣ ĮȞȠȓȖİȚ
ıȤİįȩȞ ĲİĲȡȐȖȦȞİȢ ĲȡȪʌİȢ İȞĮȞĲȚȫȞİĲĮȚ ıĲȘȞ țȠȚȞȒ ȜȠȖȚțȒ! ȆȫȢ İȓȞĮȚ
įȣȞĮĲȩȞ ȝȚĮ ʌİȡȚıĲȡİĳȩȝİȞȘ țİĳĮȜȒ ĲȡȣʌĮȞȚȠȪ ȞĮ ĮȞȠȓȖİȚ ȝȘ țȣțȜȚțȑȢ
ĲȡȪʌİȢ;; Ǿ ĮʌȐȞĲȘıȘ ıĲȘȞ ĮʌȠȡȓĮ ȝĮȢ, įȩșȘțİ ȩĲĮȞ ĲȠ 2013 țȣțȜȠĳȩȡȘıİ ĲȠ ȕȚȕȜȓȠ H ȜȦȡȓįĮ ĲȠȣ
ȂȑȝʌȚȠȣȢ, ĲȠȣ Clifford Rickover (İțį. ȉȇǹȊȁȅȈ),
ǼȓȞĮȚ İȪțȠȜȠ ȞĮ țĮĲĮıțİȣĮıĲİȓ ȑȞĮ ĲȡȓȖȦȞȠ ȇİȜȩ.
ǹȡȤȚțȐ țĮĲĮıțİȣȐıĲİ ȑȞĮ ȚıȩʌȜİȣȡȠ ĲȡȓȖȦȞȠ
ǹǺī ȝİ ʌȜİȣȡȐ ȝȒțȠȣȢ Į. ȈĲȘ ıȣȞȑȤİȚĮ ıȤİįȚȐıĲİ
ĲȡİȚȢ țȪțȜȠȣȢ (ǹ,Į),(Ǻ,Į),(ī,Į). ȉĮ ĲȩȟĮ ʌȠȣ
ıȤȘȝĮĲȓȗȠȞĲĮȚ Įʌȩ ĲĮ ıȘȝİȓĮ ĲȠȝȒȢ ĲȦȞ ĲȡȚȫȞ
țȪțȜȦȞ țĮȚ ʌİȡȞȠȪȞ Įʌȩ ĲȚȢ țȠȡȣĳȑȢ ĲȠȣ ĮȡȤȚțȠȪ
ĲȡȚȖȫȞȠȣ, ĮʌȠĲİȜȠȪȞ ĲȚȢ ʌȜİȣȡȑȢ ĲȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ
ȇİȜȩ.
ȋȐȡȘ ıĲȚȢ ȝİȜȑĲİȢ ʌȠȜȜȫȞ ȝĮșȘȝĮĲȚțȫȞ,
ȖȞȦȡȓȗȠȣȝİ ĮȡțİĲȐ ȖȚĮ ĲȚȢ ȚįȚȩĲȘĲİȢ ĲȠȣ ĲȡȚȖȫȞȠȣ
ȇİȜȩ. ȉȠ İȝȕĮįȩ ĲȠȣ ȚıȠȪĲĮȚ ȝİ: Ǽ=1/2.(ʌ–31/2
)Į2
țĮȚ ĲȠ İȝȕĮįȩ ĲȘȢ ʌİȡȚȠȤȒȢ ʌȠȣ įȚĮȞȠȓȖİĲĮȚ Įʌȩ
ȑȞĮ ĲȑĲȠȚȠ ĲȡȣʌȐȞȚ țĮȜȪʌĲİȚ ĲȠ 0,9877003907...
ĲȠȣ İȝȕĮįȠȪ İȞȩȢ ĲİĲȡĮȖȫȞȠȣ. Ǿ ȝȚțȡȒ ĮȣĲȒ
įȚĮĳȠȡȐ ȠĳİȓȜİĲĮȚ ıĲȠ ȩĲȚ Ș țİĳĮȜȒ ĲȠȣ
ĲȡȣʌĮȞȚȠȪ ȇİȜȩ įȘȝȚȠȣȡȖİȓ ĲİȜȚțȐ ȑȞĮ ĲİĲȡȐȖȦȞȠ
ȝİ İȜĮĳȡȫȢ ıĲȡȠȖȖȣȜİȝȑȞİȢ țȠȡȣĳȑȢ.

5Ƞ
șȑȝĮ «Ƞ įȚĮȝİıȠȜĮȕȘĲȚțȩȢ ȡȩȜȠȢ ĲȘȢ īİȦȝİĲȡȓĮȢ ıĲȘȞ ĮȞȐįİȚȟȘ ĲȘȢ ĮȜȜȘȜȠİȟȐȡĲȘıȘȢ ȝİĲĮȟȪ
ĲȦȞ ȖȡĮȝȝȚțȫȞ İȟȚıȫıİȦȞ, İȣșİȚȫȞ, įȚĮȞȣıȝȐĲȦȞ țĮȚ ȖȡĮȝȝȚțȫȞ ıȣıĲȘȝȐĲȦȞ»
[ĲȠȣ ȈĲȑȡȖȚȠȣ ȉȠȣȡȞĮȕȓĲȘ]
ʌȡȠȜİȖȩȝİȞĮ ĲȠ șȑȝĮ ĲȠȪĲȠ ĲȠ įȘȝȠıȚİȪȠȣȝİ ıĲȘ ıĲȒȜȘ ȝĮȢ, ȩȤȚ ıĮȞ ȣȜȚțȩ ǱȜȖİȕȡĮȢ ȁȣțİȓȠȣ ĮȜȜȐ
ȖȚĮ ȞĮ įȠȪȝİ ĲȠȞ «įȚĮȝİıȠȜĮȕȘĲȚțȩ ȡȩȜȠ ĲȘȢ īİȦȝİĲȡȓĮȢ...»
«ȈțȠʌȩȢ ĮȣĲȒȢ ĲȘȢ İȡȖĮıȓĮȢ, İȓȞĮȚ ȞĮ ĮȞĮįİȓȟİȚ țĮȚ
ȞĮ ĮȜȜȘȜȠıȣȞįȑıİȚ ĲȘ ȜȪıȘ țĮȚ ıĲȘ ıȣȞȑȤİȚĮ ĲȘȞ
įȚİȡİȪȞȘıȘ ȖȡĮȝȝȚțȫȞ ıȣıĲȘȝȐĲȦȞ ȝİ ĲĮ
įȚĮȞȪıȝĮĲĮ.
ǹȡȤȓȗȠȣȝİ ȝİ ĲȘȞ İʌȓȜȣıȘ İȞȩȢ ıȣıĲȒȝĮĲȠȢ įȪȠ
İȟȚıȫıİȦȞ ȝİ įȪȠ ĮȖȞȫıĲȠȣȢ:

1
x 2y 5
3x 4y 5
½
6
¾
¿

īȚĮ ȞĮ ĮʌĮȜİȓȥȠȣȝİ ĲȠȞ ȐȖȞȦıĲȠ x Įʌȩ ĲȘȞ 2Ș
İȟȓıȦıȘ, ʌȠȜȜĮʌȜĮıȚȐȗȠȣȝİ ĲĮ ȝȑȜȘ ĲȘȢ 1ȘȢ
İȟȓıȦıȘȢ ȝİ ĲȠ –3 țĮȚ ĲȘȞ İȟȓıȦıȘ ʌȠȣ șĮ
ʌȡȠțȪȥİȚ ʌȡȠıșȑĲȠȣȝİ țĮĲȐ ȝȑȜȘ ȝİ ĲȘȞ 2Ș
İȟȓıȦıȘ. ǲĲıȚ ȑȤȠȣȝİ ĲĮ ȚıȠįȪȞĮȝĮ ıȣıĲȒȝĮĲĮ:

1
x 2 2 5
x 2y 5 x 2y 5 x 1
y 2
3x 3x 6y 4y 15 5 10y 20 y 2
½
˜

½ ½ °
6 œ œ œ œ
¾ ¾ ¾

°
¿ ¿ ¿
Ȃİ ĲȘȞ ȝȑșȠįȠ ĲȦȞ ȠȡȚȗȠȣıȫȞ, ȕȡȓıțȠȣȝİ ȟĮȞȐ ĲȚȢ
ȓįȚİȢ ȜȪıİȚȢ, İĳȩıȠȞ ȕȑȕĮȚĮ Ș ȠȡȓȗȠȣıĮ ĲȦȞ
ıȣȞĲİȜİıĲȫȞ ĲȦȞ ĮȖȞȫıĲȦȞ İȓȞĮȚ įȚȐĳȠȡȘ ĲȠȣ
0. ȈȪȝĳȦȞĮ ȜȠȚʌȩȞ ȝİ ĲȘ ȝȑșȠįȠ Cramer, ȑȤȠȣȝİ:
D=10 țĮȚ x=Dx/D=1, y=Dy/D=–2
ȈĲĮ ȓįȚĮ ĮʌȠĲİȜȑıȝĮĲĮ țĮĲĮȜȒȖȠȣȝİ ĮȞ
ʌĮȡĮĲȘȡȒıȠȣȝİ ȩĲȚ ȠȚ İȣșİȓİȢ ʌȠȣ İȓȞĮȚ ȖȡĮĳȚțȑȢ
ĮȞĮʌĮȡĮıĲȐıİȚȢ ĲȦȞ ȖȡĮȝȝȚțȫȞ İȟȚıȫıİȦȞ ĲȠȣ
ıȣıĲȒȝĮĲȠȢ, ĲȑȝȞȠȞĲĮȚ ıĲȠ ıȘȝİȓȠ (1,–2).
Ǿ ʌĮȡĮʌȐȞȦ ȖȡĮĳȚțȒ ȜȪıȘ ĲȠȣ ıȣıĲȒȝĮĲȠȢ,
İʌȚțİȞĲȡȫȞİĲĮȚ ıĲȚȢ ȟİȤȦȡȚıĲȑȢ ȖȡĮȝȝȚțȑȢ
İȟȚıȫıİȚȢ (rows). ǹȣĲȩȢ Ƞ ĲȡȩʌȠȢ ȝĮȢ İȓȞĮȚ
ȚįȚĮȓĲİȡĮ ʌȡȠıȚĲȩȢ ıĲȚȢ įȪȠ įȚĮıĲȐıİȚȢ (İʌȓʌİįȠ),
Įȡțİȓ ȞĮ įȫıȠȣȝİ įȪȠ ĮȣșĮȓȡİĲİȢ ĲȚȝȑȢ ıĲȚȢ
ȝİĲĮȕȜȘĲȑȢ x ȖȚĮ ĲȘȞ țȐșİ İȟȓıȦıȘ țĮȚ ȞĮ ȜȪıȠȣȝİ
ȦȢ ʌȡȠȢ ĲĮ ĮȞĲȓıĲȠȚȤĮ y. Ȇ.Ȥ. Ș İȣșİȓĮ ȝİ İȟȓıȦıȘ

-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
x–2y=5 įȚȑȡȤİĲĮȚ Įʌȩ ĲĮ ȩĲȚ įȚĮıĲĮȣȡȫȞİĲĮȚ–
ĲȑȝȞİȚ ĲȘȞ ʌȡȫĲȘ, ıĲȠ ıȘȝİȓĮ (0,–2.5), (5,0) ĲȠ
(1,–2) țĮȚ ȩȜĮ ĲĮ İȞįȚȐȝİıĮ ȝİĲĮȟȪ ĲȦȞ įȪȠ
ʌȡȫĲȦȞ ıȘȝİȓȦȞ. ȉȘȞ įİȪĲİȡȘ İȟȓıȦıȘ 3x+4y=5,
ȝʌȠȡȠȪȝİ ȞĮ ĲȘȞ ʌȡȠıįȚȠȡȓıȠȣȝİ Įʌȩ ĲȘȞ țȜȓıȘ
ĲȘȢ –3/4 țĮȚ ıȘȝİȓȠ (1,–2) ĲȘȞ ȜȪıȘ ĲȠȣ
ıȣıĲȒȝĮĲȠȢ.
Ǿ įİȪĲİȡȘ ʌȡȠıȑȖȖȚıȘ ĳĮȓȞİĲĮȚ ıĲĮ įȚĮȞȪıȝĮĲĮ
ıĲȒȜİȢ ĲȠȣ ȖȡĮȝȝȚțȠȪ ıȣıĲȒȝĮĲȠȢ.

1 2 5
x y 1
3 4 5

ª º ª º ª º

« » « » « »

¬ ¼ ¬ ¼ ¬ ¼
ǹȜȖİȕȡȚțȐ Ș ıȤȑıȘ (1) İʌĮȜȘșİȪİĲĮȚ ȖȚĮ x=1,
y=2
ȉȠ ʌȡȩȕȜȘȝĮ İįȫ İȓȞĮȚ ȞĮ ȕȡȠȪȝİ ȑȞĮ țĮĲȐȜȜȘȜȠ
ȖȡĮȝȝȚțȩ ıȣȞįȣĮıȝȩ ĲȦȞ įȚĮȞȣıȝȐĲȦȞ – ıĲȘȜȫȞ
ĲȠȣ ıȣıĲȒȝĮĲȠȢ ʌȠȣ ȞĮ ʌĮȡȐȖİȚ ĲȠ įȚȐȞȣıȝĮ ĲȘȢ
įİȟȚȐȢ ʌȜİȣȡȐȢ ĲȘȢ ȚıȩĲȘĲĮȢ. ȆȡȠıșȑĲȠȞĲĮȢ ĲĮ
įȚĮȞȪıȝĮĲĮ 1.u+(2).v ȝİ ĲȠȞ «țĮȞȩȞĮ ĲȠȣ
ʌĮȡĮȜȜȘȜȠȖȡȐȝȝȠȣ» ʌĮȓȡȞȠȣȝİ ĲȠ įȚȐȞȣıȝĮ
5
5
ª º
« »

¬ ¼

V. İȚįȒıİȚȢ – İȚįȘıȠȪȜİȢ
1. ʌȡȠ Ș ȝİȡȫȞ ȑĳȣȖİ Įʌȩ ĲȘ ȗȦȒ Ƞ Isidore Singer [3/5/1924–11/2/2021] (ȜİʌĲȠȝȑȡİȚİȢ ıĲȠ İʌȩȝİȞȠ ĲİȪȤȠȢ)
2. Vietta Ȓ Vieta; ĲȠȞ ʌȡȠȘȖȠȪȝİȞȠ ȝȒȞĮ Ƞ ıȘȝĮȞĲȚțȩȢ
ĳȓȜȠȢ ȂȚȤȐȜȘȢ ȁȐȝʌȡȠȣ, ĮȞȐȡĲȘıİ ıĲȠ
''mathematica.gr'', ĲȠ İʌȩȝİȞȠ İȡȫĲȘȝĮ: «ȆĮȡĮĲȘȡȫ ȩĲȚ
ıȤİįȩȞ ȩȜȠȚ ȠȚ ĳȠȚĲȘĲȑȢ ıĲĮ ȖȡĮʌĲȐ ĲȠȣȢ ȖȡȐĳȠȣȞ Vietta
(ȝİ įȪȠ t) ȩĲĮȞ ĮȞĮĳȑȡȠȞĲĮȚ ıĲȠȞ Vieta, ʌȡȐȖȝĮ ʌȠȣ
ȕȜȑʌȦ ʌȐȡĮ ʌȠȜȪ ıȣȤȞȐ țĮȚ ĮȜȜȠȪ,
ıȣȝʌİȡȚȜĮȝȕĮȞȠȝȑȞȠȣ țĮȚ ĲȠȣ ''mathematica.gr''. ǻİȞ
ȟȑȡȦ ĲȘȞ ʌȘȖȒ ĲȘȢ ĮȞȠȡșȠȖȡĮĳȓĮȢ, ĮȜȜȐ ĮĳȠȪ İȓȞĮȚ
ĲȩıȠ įȚĮįİįȠȝȑȞȘ ȣʌȠșȑĲȦ ȩĲȚ șĮ İȓȞĮȚ ıİ țȐʌȠȚȠ ȕȚȕȜȓȠ
ʌȠȣ ĲȠ ȜĮȝȕȐȞİȚ/įȚĮȕȐȗİȚ ȝİȖȐȜȘ ȝȐȗĮ ȝĮșȘĲȫȞ. ȀĮȚ
ȑȝİȚȞİ, ĮȜȜȐ țĮȜȩ İȓȞĮȚ ȞĮ ĲȠ įȚȠȡșȫıȠȣȝİ. ȀȐȞȦ İįȫ
ȝȓĮ ʌȡȫĲȘ ĮȡȤȒ. ȉȠ ȩȞȠȝĮ ĲȠȣ İȞ ȜȩȖȦ īȐȜȜȠȣ
ȝĮșȘȝĮĲȚțȠȪ İȓȞĮȚ François Viète (1540–1603). ǲȝİȚȞİ
ȖȞȦıĲȩȢ ȝİ ĲȘȞ İțȜĮĲȚȞȚıȝȑȞȘ İțįȠȤȒ ĲȠȣ ȠȞȩȝĮĲȩȢ ĲȠȣ
Franciscus Vieta Ȓ ıĲȘȞ īİȞȚțȒ ʌĲȫıȘ FranciscȚ Vieta
ȝİ ĲȘȞ ȠʌȠȓĮ ȣʌȑȖȡĮĳİ ĲĮ ȣʌȑȡȠȤĮ ȕȚȕȜȓĮ ĲȠȣ.
3. ȅ țĮșȘȖȘĲȒȢ ĲȘȢ ǿıĲȠȡȓĮȢ ĲȦȞ ȂĮșȘȝĮĲȚțȫȞ, īȚȐȞȞȘȢ ȋȡȚıĲȚĮȞȓįȘȢ, ȣʌȠıĲȘȡȓȗİȚ ȩĲȚ ĮȞĲȓșİĲĮ ȝİ ȩ,ĲȚ
ʌȚıĲİȪĮȝİ ȦȢ ıȒȝİȡĮ, Ș ǱȜȖİȕȡĮ įİȞ İȓȞĮȚ İʌȚȞȩȘıȘ ĲȦȞ ǹȡȐȕȦȞ. ȃȑĮ ȝİȜȑĲȘ İȖȖȡȐĳȦȞ ĮʌȠįİȚțȞȪİȚ ȩĲȚ
ʌĮȜĮȚȩĲİȡĮ ȠȚ ĮȡȤĮȓȠȚ ǲȜȜȘȞİȢ İȓȤĮȞ İĳİȪȡİȚ «ĮȜȖİȕȡȚțȠȪȢ» ĲȡȩʌȠȣȢ İʌȓȜȣıȘȢ ʌȡĮțĲȚțȫȞ ʌȡȠȕȜȘȝȐĲȦȞ. ȂȑıĮ ıİ
ĮȣĲȐ ĲĮ įȪȠ ȑȖȖȡĮĳĮ țȡȪȕİĲĮȚ ȝȚĮ ıȘȝĮȞĲȚțȒ ȖȚĮ ĲĮ ǼȜȜȘȞȚțȐ ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ ĮȞĮțȐȜȣȥȘ. ȈĲȠ İʌȩȝİȞȠ ĲİȪȤȠȢ șĮ
ĮȞĮĳİȡșȠȪȝİ ĮȞĮȜȣĲȚțȩĲİȡĮ ıĲȠ șȑȝĮ.
4. Įʌȩ ĲȘȞ ȑȖțȣȡȘ ȚıĲȠıİȜȓįĮ ȈĲĮȖȩȞĮ4u.gr,
įĮȞİȚȗȩȝĮıĲİ ȑȞĮ ıȘȝİȓȦȝĮ ĲȠȣ ȀȫıĲĮ
ǹȞĮȖȞȦıĲȩʌȠȣȜȠȣ ȖȚĮ ĲĮ...ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ: ȅ ȁȚİȕ
ȆȠȞĲȡȚȐȖțȚȞ (ȂȩıȤĮ, 1908 – 1988) ȒĲĮȞ ȝĮșȘȝĮĲȚțȒ
ȚįȚȠĳȣǸĮ ȝİ ıȘȝĮȞĲȚțȩĲĮĲȠ ȑȡȖȠ ıĲĮ țĮșĮȡȐ țĮȚ
İĳĮȡȝȠıȝȑȞĮ ȂĮșȘȝĮĲȚțȐ. ȅ ȆȠȞĲȡȚȐȖțȚȞ ĲȣĳȜȫșȘțİ
ȠȜȠțȜȘȡȦĲȚțȐ Įʌȩ ĲȘȞ ȑțȡȘȟȘ ȝȚĮȢ ȖțĮȗȚȑȡĮȢ ıİ ȘȜȚțȓĮ
14 İĲȫȞ. ȉȩĲİ Ș ȝȘĲȑȡĮ ĲȠȣ, Tatyana Andreevna
Pontryagina, ıȒțȦıİ ĲĮ ȝĮȞȓțȚĮ țĮȚ ĮĳȚİȡȫșȘțİ ıĲȠȞ
ȖȚȩ ĲȘȢ. ǳĲĮȞ įȚĮȡțȫȢ ʌȜȐȚ ĲȠȣ ıĲȘ įȪıțȠȜȘ
țĮșȘȝİȡȚȞȩĲȘĲȐ ĲȠȣ. ȆȐȞȦ Įʌ' ȩȜĮ, ĮȣĲȒ Ș įȓȤȦȢ
ȚįȚĮȓĲİȡİȢ ȖȞȫıİȚȢ ȖȣȞĮȓțĮ, ĮȜȜȐ ȝİ ĮʌȓıĲİȣĲȠ
țȠȣȡȐȖȚȠ, ȑȖȚȞİ İʌȓ ʌȠȜȜȐ ȤȡȩȞȚĮ Ș «ȖȡĮȝȝĮĲȑĮȢ» ĲȠȣ:
ĲȠȣ įȚȐȕĮȗİ İʌȚıĲȘȝȠȞȚțȑȢ İȡȖĮıȓİȢ, ȑȖȡĮĳİ ĲȚȢ įȚțȑȢ
ĲȠȣ ț.Ƞ.ț. ȂȑȤȡȚ țĮȚ ȟȑȞİȢ ȖȜȫııİȢ ȑȝĮșİ ȞĮ įȚĮȕȐȗİȚ
ȖȚĮ ȞĮ ĲȠȞ ȕȠȘșȐ. ȁȑȖİĲĮȚ ʌȦȢ ĲĮ țĮĲȐĳİȡİ ȝİ ĲĮ
ȝĮșȘȝĮĲȚțȐ ıȪȝȕȠȜĮ ȖȚĮ ĲȠ ȞȩȘȝĮ ĲȦȞ ȠʌȠȓȦȞ įİȞ İȓȤİ
ȚįȑĮ, ʌİȡȚȖȡȐĳȠȞĲĮȢ ĲȘ ȝȠȡĳȒ ĲȠȣȢ, ʌ.Ȥ. ȖȚĮ ĲȠ ıȪȝȕȠȜȠ
ĲȘȢ ĲȠȝȒȢ ıȣȞȩȜȦȞ ŀ ȑȜİȖİ «ȐțȡİȢ ʌȡȠȢ ĲĮ țȐĲȦ». ǻİȞ
ȤȡİȚȐȗİĲĮȚ ȞĮ İȓȞĮȚ țȐʌȠȚȠȢ ȚįȚȠĳȣǸĮ ȖȚĮ ȞĮ țĮĲĮȜȐȕİȚ
ʌȩıȠ ȚįȚȠĳȣȒȢ ȒĲĮȞ Ƞ ĮȞĮȖțĮıȝȑȞȠȢ ȞĮ įȠȣȜİȪİȚ ȣʌ'
ĮȣĲȑȢ ĲȚȢ ıȣȞșȒțİȢ ȆȠȞĲȡȚȐȖțȚȞ, țĮȚ ĲȘȞ ĮĳȠıȓȦıȘ ĲȘȢ
ȝȘĲȑȡĮȢ ĲȠȣ. Ǿ İʌȚıĲȒȝȘ ȤȡȦıĲȐİȚ ʌȠȜȜȐ ıĲȠȞ
ȆȠȞĲȡȚȐȖțȚȞǜ țĮȚ ȐȜȜĮ ĲȩıĮ ıĲȘ ȝȘĲȑȡĮ ĲȠȣ.
VI. ǹʌȐȞĲȘıȘ ıĲȠ ĮȣĲȩ ĲȠ ȟȑȡĮĲİ;
įȪȠ ȣʌȠșİĲȚțȑȢ ʌȡȠĲȐıİȚȢ ȜȑȖȠȞĲĮȚ:
i. ĮȞĲȓıĲȡȠĳİȢ, ĮȞ ȚıȤȪȠȣȞ (Įʌȩ ǹ ȑʌİĲĮȚ Ǻ) țĮȚ (Įʌȩ Ǻ ȑʌİĲĮȚ ǹ),
ii. ĮȞĲȓșİĲİȢ, ĮȞ ȚıȤȪȠȣȞ (Įʌȩ ǹ ȑʌİĲĮȚ Ǻ) țĮȚ (Įʌȩ ȩȤȚ ǹ ȑʌİĲĮȚ ȩȤȚ Ǻ),
iii. ĮȞȐıĲȡȠĳİȢ, ĮȞ ȚıȤȪȠȣȞ (Įʌȩ ǹ ȑʌİĲĮȚ Ǻ) țĮȚ (Įʌȩ ȩȤȚ Ǻ ȑʌİĲĮȚ ȩȤȚ ǹ). ǻȪȠ ĮȞȐıĲȡȠĳİȢ ʌȡȠĲȐıİȚȢ Ȓ ĮȜȘșİȪȠȣȞ
țĮȚ ȠȚ įȪȠ Ȓ ȥİȪįȠȞĲĮȚ țĮȚ ȠȚ įȪȠ (ıȤİĲȚȗȩȝİȞİȢ ʌȡȠĲȐıİȚȢ)

ƶƼǉǃ ƧŅ
ƩǉǅķǕķĶǅǌ, ƧǈǅķǕķĶǅǌ
ƨĴķǅǆƽǌ ƽǈǈǊǅĶǌ ķǍǈĴǋĸƾķĶǐǈ
ĬĮȞȐıȘȢ ȃĲȡȓȗȠȢ
ȉȡȓțĮȜĮ
īȚȫȡȖȠȢ ȇȓȗȠȢ
7Ƞ īȣȝȞȐıȚȠ ȀȑȡțȣȡĮȢ
ȂǼȇȅȈ Ȇȇȍȉȅ
Ǿ İȟȓıȦıȘ xȞ
= Į – ǼȟȚıȫıİȚȢ 2Ƞȣ ǺĮșȝȠȪ
ǹȞȚıȫıİȚȢ 1Ƞȣ ǺĮșȝȠȪ – ǹȞȚıȫıİȚȢ 2Ƞȣ ǺĮșȝȠȪ
1. ȃĮ ȜȪıİĲİ ĲȚȢ İȟȚıȫıİȚȢ:
i. x2
= Ȝ3
țĮȚ ii. x3
= Ȝ4
,
ȩʌȠȣ Ȝ ʌȡĮȖȝĮĲȚțȩȢ ĮȡȚșȝȩȢ.
ȁȪıȘ:
i. ǹȞ Ȝ 0, ĲȩĲİ 3
0
O , ȠʌȩĲİ Ș İȟȓıȦıȘ
İȓȞĮȚ ĮįȪȞĮĲȘ, ĮĳȠȪ șĮ İȓȤĮȝİ x2
0.
AȞ Ȝ t 0, ĲȩĲİ Ȝ3
t 0, ȐȡĮ
2 3 3 3
x x Ȓ x –
x Ȓ x –
O œ O O
œ O O O O
ii.
3 3
3 4 4 3
3
3 3 3
x x
O œ O O ˜O
O ˜ O O ˜ O
ǱȡĮ x =
3
3
, 0
, 0
O O DQ O t
°
®
O O DQ O
°̄
2. ȃĮ ȜȪıİĲİ ĲȚȢ ĮȞȚıȫıİȚȢ:

x 4 2 x 12
d țĮȚ
x 5x 111
4x
3 2 6

țĮȚ ȞĮ ʌĮȡĮıĲȒıİĲİ ĲȚȢ ȜȪıİȚȢ ĲȠȣȢ
ıĲȠȞ ȓįȚȠ ȐȟȠȞĮ xǯx. ȆȠȚİȢ İȓȞĮȚ ȠȚ țȠȚ-
ȞȑȢ ȜȪıİȚȢ ĲȦȞ įȪȠ ĮȞȚıȫıİȦȞ;
ȁȪıȘ:

x 4 2 x 12 x 8 4x 12
5x 20 x 4 1
d œ d
œ d œ d

x 5x 111
4x
3 2 6
x 5x 111
6 6 4x 6 6
3 2 6
2x 24x 15x 111
37x 111
111
x x 3 2
37
œ
˜ ˜ ˜ ˜ œ
œ
œ
! œ !

ȅȚ (1) țĮȚ (2) ıȣȞĮȜȘșİȪȠȣȞ ȩĲĮȞ
3 x 4
d
-3 0 4
3. ȃĮ ȜȪıİĲİ ĲȘȞ ĮȞȓıȦıȘ:
x x
1
2 2
O O
! .
ȁȪıȘ:

2
x x
1 x 2 x
2 2
1 x 2
˜
O O
! œ O O !
œ O ! O
ǹȞ Ȝ 1, ĲȩĲİ
2
x
1
O
!
O
ǹȞ Ȝ 1, ĲȩĲİ
2
x
1
O

O
ǹȞ Ȝ = 1, ĲȩĲİ 0˜x – 1, ʌȠȣ ȚıȤȪİȚ ȖȚĮ
țȐșİ x .
4. īȚĮ ʌȠȚİȢ ĲȚȝȑȢ ĲȠȣ ʌȡĮȖȝĮĲȚțȠȪ
ĮȡȚșȝȠȪ ț Ș İȟȓıȦıȘ
(x + ț)2
+ 2(x + ț) = 15
ȑȤİȚ ȡȓȗĮ ĲȠȞ ĮȡȚșȝȩ 5;
ǹʌȐȞĲȘıȘ:
ȉȠ 5 șĮ İȓȞĮȚ ȡȓȗĮ ĲȘȢ İȟȓıȦıȘȢ, ĮȞ țĮȚ
ȝȩȞȠ ĮȞ ĲȘȞ İʌĮȜȘșİȪİȚ. ĬȑĲȠȞĲĮȢ ȩʌȠȣ
x ĲȠȞ ĮȡȚșȝȩ 5 įȚĮįȠȤȚțȐ ȑȤȠȣȝİ:
(5 + ț)2
+ 2(5 + ț) = 15 œ
25 + 10ț + ț2
+ 10 + 2ț = 15 œ
ț2
+ 12ț + 20 = 0.
Ǿ ĲİȜİȣĲĮȓĮ İȓȞĮȚ İȟȓıȦıȘ 2Ƞȣ ȕĮșȝȠȪ
ȦȢ ʌȡȠȢ ț ȝİ įȚĮțȡȓȞȠȣıĮ:
ǻ = 144 – 80 = 64, ȐȡĮ ȑȤİȚ įȪȠ ȡȓȗİȢ
1,2
12 64 12 8
2 2
r r
N .
ǱȡĮ 10
N Ȓ ț = – 2.
5. ǹȞ Į, Ȗ İĲİȡȩıȘȝȠȚ, ȞĮ ĮʌȠįİȓȟİĲİ ȩĲȚ
Ș İȟȓıȦıȘ Įx2
+ ȕx + Ȗ = 0 ȑȤİȚ įȪȠ
ȐȞȚıİȢ ʌȡĮȖȝĮĲȚțȑȢ ȡȓȗİȢ.

Eykleidhs b 119_eykleidhs_2021 (1)

Eykleidhs b 119_eykleidhs_2021 (1)

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

Tendances

Tendances (17)

Plus de Θανάσης Δρούγας

Plus de Θανάσης Δρούγας (20)

Eykleidhs b 119_eykleidhs_2021 (1)