3. Ο Τσελεµεντές του υποψηφίου Γενικές Επαναληπτικές Ασκήσεις
Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 3
• ∆ιάνυσµα AB: Α αρχή (σηµείο εφαρµογής), Β πέρας
• Μηδενικό διάνυσµα: AB 0 A B= ⇔ ≡
• Μέτρο διανύσµατος ( )AB BA AB 0= = ≥
• α µοναδιαίο 1⇔ α =
• //α β ⇔ α ↑↑ β ή α ↑↓ β
• και αα = β ⇔ α ↑↑ β = β
• και αα = −β ⇔ α ↑↓ β = β
• Γωνία ( ) ( ), ,θ = α β = β α των ,α β µε 0 ≤ θ ≤ π
• Αν , 0α β ≠ , τότε ισχύουν οι ισοδυναµίες:
0 1α ↑↑ β ⇔ θ = ⇔ συνθ =
1α ↑↓ β ⇔ θ = π ⇔ συνθ = −
// 0 1α β ⇔ θ = ηπ ⇔ συνθ = ±
0
2
π
α ⊥ β ⇔ θ = ⇔ συνθ =
• Συγκεντρώνοντας τους βασικότερους τύπους έχουµε:
AA 0=
AB 0 A B= ⇔ ≡
Μ µέσο του ΑΒ AM MB⇔ =
AB BA= −
ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ
AΑΒ + Γ = Α∆ , όπου ΑΒΓ∆ παραλληλόγραµµο.
AΑΒ − Γ = ΓΒ
α − β ≤ α ±β ≤ α + β
α +β + γ ≤ α + β + γ
• Να σηµειωθεί ότι ένα διάνυσµα AB µπορεί να γραφεί:
ως άθροισµα δύο διανυσµάτων µε άπειρους σε πλήθος τρόπους:
A ...ΑΒ = Γ + ΓΒ = Α∆ + ∆Β =
ως διαφορά δύο διανυσµάτων µε κοινή αρχή µε άπειρους σε πλήθος
τρόπους:
...ΑΒ = ΓΒ − ΓΑ = ∆Β − ∆Α =
συναρτήσει του διανύσµατος ΑΚ ως AΑΒ = Κ + ΚΒ
συναρτήσει του διανύσµατος ΛΒ ως AΑΒ = Λ + ΛΒ
συναρτήσει του διανύσµατος ΚΛ ως AΑΒ = Κ + ΚΛ + ΛΒ
• Αν 0λ ≥ , τότε
β ↑↑ α
β = λα ⇔
β = λ α = λ α
4. Ο Τσελεµεντές του υποψηφίου Γενικές Επαναληπτικές Ασκήσεις
Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 4
• Αν 0λ ≤ , τότε
β ↑↓ α
β = λα ⇔
β = λ α = −λ α
• Ιδιότητες
( )λ α ±β = λα ± λβ
( )λ ± µ α = λα ± µα
( ) ( )λ µα = λµ α
0 0 0λα = ⇔ λ = η α =
Αν και λ 0λα = λβ ≠ , τότε α = β
Αν και α 0λα = µα ≠ , τότε λ = µ
• β γραµµικός συνδυασµός των 1 2 1 21 2, ,..., ...ν ννα α α ⇔ β = λ α + λ α + + λ α
• Μ µέσο του ΑΒ
2
ΟΑ + ΟΒ
⇔ ΟΜ =
• Συντεταγµένες διανύσµατος α : ( )x,y xi yjα = ⇔ α = +
• Αν ( ) ( )1 1 2 2x ,y και x ,yα = β = , τότε ισχύουν:
1 10 x 0 και y 0α = ⇔ = = , οπότε 1 10 x 0 η y 0α ≠ ⇔ ≠ ≠
1 2 1 2x x και y yα = β ⇔ = = , οπότε 1 2 1 2x x η y yα ≠ β ⇔ ≠ ≠
( ) ( ) ( )1 2 1 2 1 1 1 2 1 2x x ,y y , x y , x x , y yα +β = + + λα = λ λ λα + µβ = λ + µ λ +µ
Ορίζουσα των ,α β : ( ) 1 1
1 2 2 1
2 2
x y
det , x y x y R
x y
α β = = − ∈
• Συνθήκη παραλληλίας: //α β ( ) 1 1
2 2
x y
det , 0 0
x y
⇔ α β = ⇔ =
• Αν ( )x,yα = , τότε
2 2
x y
y
( x 0)
xα
α = +
λ = εφοσον ≠
• Αν 0α ≠ , τότε έχουµε:
// x x 0α
′α ⇔ λ =
// y y′α ⇔ δεν ορίζεται συντελεστής διεύθυνσης του α
• Αν ορίζονται τα ,α β
λ λ , τότε ισχύουν οι ισοδυναµίες:
// α β
α β ⇔ λ = λ
1α β
α ⊥ β ⇔ λ λ = −
• Γωνία φ που σχηµατίζει το ( )0α α ≠ µε τον άξονα x’x. Ισχύει α
εφφ = λ (εφόσον
ορίζεται ο α
λ ).
• Έστω τα σηµεία ( ) ( )1 1 2 2A x ,y , B x ,y . Τότε:
το µέσο Μ του ΑΒ έχει συντεταγµένες 1 21 2 y yx x
,
2 2
++
οι συντεταγµένες του διανύσµατος ΑΒ είναι: ( )2 1 2 1x x ,y yΑΒ = − −
5. Ο Τσελεµεντές του υποψηφίου Γενικές Επαναληπτικές Ασκήσεις
Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 5
το µέτρο του διανύσµατος ΑΒ είναι: ( ) ( )
22
2 1 2 1x x y yΑΒ = − + −
•
• Αν , 0α β ≠ , τότε αβ = α β συνφ, όπου ( ),φ = α β
• Αν 0α = ή 0β = , τότε 0αβ =
• Το εσωτερικό γινόµενο αβ είναι ένας πραγµατικός αριθµός και όχι ένα
διάνυσµα, δηλαδή Rαβ∈
• Ιδιότητες
αβ = βα
0α ⊥ β ⇔ αβ =
22
α = α (όπου
2
α = α⋅α )
α ↑↑ β ⇔ αβ = α β
α ↑↓ β ⇔ αβ = − α β
( )
2 2 22 2
2 2α ±β = α ± αβ +β = α ± αβ + β
Αν ( ) ( )1 1 2 2x ,y , x ,yα = β = , τότε 1 2 1 2x x y yαβ = + (έκφραση του εσωτερικού
γινοµένου αβ συναρτήσει των συντεταγµένων των ,α β )
( )( ) ( )( )
2 22 2
α +β α −β = α −β = α − β = α − β α + β
( ) ( ) ( )λα β = α λβ = λ αβ
( )α β ± γ = αβ ± αγ
1α β
α ⊥ β ⇔ λ λ = − , εφόσον , //α β y y′
• Γωνία θ δύο µη µηδενικών διανυσµάτων:
1 2 1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
θ οξεια 0
x x y y
και 0
x y x y
0
⇔ αβ >
+αβ
συνθ = = θορθη ⇔ αβ =
α β + +
θαµβλεια ⇔ αβ <
Προσοχή! Ενδέχεται να είναι:
• αβ ≠ α β (πάντα όµως ισχύει αβ ≤ α β )
• ( )
2 2 2
αβ ≠ α β (πάντα όµως ισχύει ( )
2 2 2
αβ ≤ α β )
• ( ) ( )α βγ ≠ αβ γ
Επίσης:
• Από αβ = αγ δεν προκύπτει ότι β = γ (ακόµη και αν δίνεται ότι 0α ≠ ). Το
σωστό είναι ( ) ( )0 0αβ = αγ ⇔ αβ − αγ = ⇔ α β − γ = ⇔ α ⊥ β − γ
• Τέλος δεν ορίζονται οι δυνάµεις
3 4
,α α κ.λπ.
6. Ο Τσελεµεντές του υποψηφίου Γενικές Επαναληπτικές Ασκήσεις
Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 6
Εξίσωση γραµµής C ονοµάζεται µια εξίσωση της µορφής f(x, y) = 0 (µε δύο
µεταβλητές x, y) όταν για κάθε σηµείο ( )0 0M x ,y ισχύει η ισοδυναµία
( ) ( )0 0 0 0M x ,y C f x ,y 0∈ ⇔ = .
• Γωνία ω που σχηµατίζει µια ευθεία ε µε τον άξονα x’x:
Ισχύει πάντα 0 ≤ ω ≤ π
Επίσης 0 // x x′ω = ⇔ ε
λ = εφω = συντελεστής διεύθυνσης της ε (εφόσον //ε y y′ )
• Αν ( ) ( )1 1 2 2A x ,y ,B x ,y είναι δύο σηµεία της ε µε 1 2x x≠ , τότε 2 1
2 1
y y
x x
−
λ =
−
• Αν οι ευθείες 1 2,ε ε έχουν συντελεστές διεύθυνσης 1 2,λ λ αντίστοιχα, τότε
1 2 1 2 1 2 1 2// και 1ε ε ⇔ λ = λ ε ⊥ ε ⇔ λ λ = −
• Αν µια ευθεία ε διέρχεται από το σηµείο ( )0 0A x ,y και
έχει συντελεστή διεύθυνσης λ, τότε έχει εξίσωση ( )0 0y y x x− = λ −
είναι κατακόρυφη ( // y y′ε ), τότε έχει εξίσωση 0x x= .
• Αν για µια ευθεία ε έχουµε //ε y y′ , τότε η ε έχει εξίσωση της µορφής
y x= λ +β (λ είναι ο συντελεστής διεύθυνσης της ε και β η τεταγµένη του κοινού
σηµείου της µε τον άξονα y’y). Αν // y y′ε , τότε η ε έχει εξίσωση της µορφής
0x x= ( 0x είναι η κοινή τετµηµένη όλων των σηµείων της ε).
• Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας: Ax By 0 0+ + Γ = µε Α ≠ ή B 0≠
• Η ευθεία µε εξίσωση Ax By 0+ + Γ = είναι:
παράλληλη στο διάνυσµα ( ),δ = Β −Α
κάθετη στο διάνυσµα ( ),η = Α Β
• Απόσταση σηµείου ( )0 0M x ,y από ευθεία ε: Ax By 0+ + Γ = :
( ) 0 0
2 2
x By
d M,
Α + + Γ
ε =
Α + Β
• Εµβαδόν τριγώνου µε κορυφές τα σηµεία Α, Β, Γ: ( ) ( )1
det ,
2
ΑΒΓ = ΑΒ ΑΓ
7. Ο Τσελεµεντές του υποψηφίου Γενικές Επαναληπτικές Ασκήσεις
Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 7
Εξίσωση κύκλου ακτίνας ρ:
( ) ( )
22 2
0 0x x y y− + − = ρ (κέντρο Κ( )0 0x ,y )
2 2 2
x y+ = ρ (κέντρο Ο(0,0))
Μοναδιαίος κύκλος 2 2
C : x y 1+ = (κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ=1)
• Εξίσωση εφαπτοµένης κύκλου 2 2 2
C : x y+ = ρ (κέντρου Ο(0,0)) στο σηµείο του
( )1 1A x ,y : 2
1 1xx yy+ = ρ
• Η εξίσωση 2 2
x y Ax By 0+ + + + Γ = παριστάνει κύκλο, αν και µόνο αν
2 2
A B 4 0+ − Γ >
Στην περίπτωση αυτή το κέντρο είναι
A B
K ,
2 2
− −
και ακτίνα
2 2
4
2
Α + Β − Γ
ρ = .
Ορισµός παραβολής C, µε εστία Ε και διευθετούσα δ: ( ) ( )M C ME d M,∈ ⇔ = δ
• Εξίσωση παραβολής C:
µε διευθετούσα δ:
p
x
2
= − και εστία 2p
E ,0 : y 2px
2
=
µε διευθετούσα δ:
p
y
2
= − και εστία 2p
E 0, : x 2py
2
=
• Εξίσωση εφαπτοµένης παραβολής C στο σηµείο της ( )1 1A x ,y :
Αν 2
C : y 2px= , τότε ε: ( )1 1yy p x x= +
Αν 2
C : x 2py= , τότε ε: ( )1 1xx p y y= +
• Ανακλαστική ιδιότητα 1 2φ = φ
Ορισµός έλλειψης C µε εστίες Ε’, Ε: ( ) ( ) ( )M C ME ME 2′ ′∈ ⇔ + = α > Ε Ε
• Α’Α µεγάλος άξονας
• Β’Β µικρός άξονας
• Α, Α’, Β, Β’ κορυφές της έλλειψης
• Μήκος µεγάλου άξονα: (Α’Α) = 2α
• Μήκος µικρού άξονα: (Β’Β) = 2β
• Εστιακή απόσταση: (Ε’Ε) = 2γ
• Ισχύει 2 2 2
α = β + γ
• Εκκεντρότητα ε:0 1
γ
< ε = <
α
• Εξίσωση έλλειψης µε εστίες Ε’(-γ,0), Ε(γ,0):
22
2 2
yx
1+ =
α β
• Εξίσωση έλλειψης µε εστίες Ε’(0,-γ), Ε(0,γ):
22
2 2
yx
1+ =
β α
• Για να αλλάξουµε άξονα στις εστίες, αλλάζουµε τη θέση των
παρονοµαστών
8. Ο Τσελεµεντές του υποψηφίου Γενικές Επαναληπτικές Ασκήσεις
Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 8
• Εξίσωση εφαπτοµένης έλλειψης
22
2 2
yx
C : 1+ =
κ λ
στο σηµείο της ( )1 1M x ,y :
11
2 2
yyxx
1+ =
κ λ
Υπερβολή C µε εστίες Ε’ και Ε: ( ) ( ) ( )M C ME ME 2 , 2 2′ ′∈ ⇔ − = α α < Ε Ε = γ
• Εξίσωση υπερβολής µε εστίες Ε’(-γ,0) και Ε(γ,0):
22
2 2 2
2 2
yx
1,− = β = γ − α
α β
Κορυφές: Α(α,0), Α’(-α,0)
Ασύµπτωτες: 1 2: y x, : y x
β β
ε = ε = −
α α
Εκκεντρότητα: 1
γ
ε = >
α
Ορθογώνιο βάσης: Το ορθογώνιο ΚΛΜΝ µε Κ(α, β), Λ(α, -β), Μ(-α, -
β), Ν(-α, β)
Εξίσωση εφαπτοµένης στο ( ) 11
1 1 2 2
yyxx
P x ,y : 1− =
α β
• Εξίσωση υπερβολής µε εστίες Ε’(0,-γ) και Ε(0,γ):
2 2
2 2 2
2 2
y x
1,− = β = γ − α
α β
Κορυφές: Α(0,α), Α’(0,-α)
Ασύµπτωτες: 1 2: y x, : y x
α α
ε = ε = −
β β
Εκκεντρότητα: 1
γ
ε = >
α
Ορθογώνιο βάσης: Το ορθογώνιο ΚΛΜΝ µε Κ(β, α), Λ(-β, α), Μ(-β, -
α), Ν(β, -α)
Εξίσωση εφαπτοµένης στο ( ) 1 1
1 1 2 2
yy xx
P x ,y : 1− =
α β
• Για να αλλάξουµε άξονα στις εστίες, αλλάζουµε τη θέση των αριθµητών
9. Ο Τσελεµεντές του υποψηφίου Γενικές Επαναληπτικές Ασκήσεις
Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 9
Ηµεροµηνία: / / .
Ε-4 Γενικές Επαναληπτικές Ασκήσεις
Παράδειγµα 1
Έστω το τρίγωνο ΑΒΓ µε και ΑΓΑΒ = α = β . Να αποδειχθεί ότι το εµβαδόν του ΑΒΓ δίνεται από
τον τύπο ( ) ( )
2 21
E
2
= α ⋅ β − α⋅β . Κατόπιν αν υπάρχει πραγµατικός αριθµός λ, τέτοιος ώστε να
ισχύει 1λα +β = , να αποδειχθεί ότι
1
E
2
≤ α .
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
10. Ο Τσελεµεντές του υποψηφίου Γενικές Επαναληπτικές Ασκήσεις
Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 10
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
Παράδειγµα 2
∆ίνονται οι εξισώσεις
2 2
1C :x +y -2x+4y-11=0 και ε:x-y+1=0 .
α) Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση 1C παριστάνει κύκλο, του οποίου να βρεθούν το κέντρο και η
ακτίνα.
β) Να βρεθούν τα κοινά σηµεία του κύκλου 1C και της ευθείας ε.
γ) Να αποδειχθεί ότι η εξίσωση ( )2 2
x +y -2x+4y-11+λ x-y+1 =0 παριστάνει κύκλο Cλ
γιακαθελ R∈ .
δ) Να βρεθεί το κέντρο Kλ του κύκλου Cλ .
ε) Να αποδειχθεί ότι καθώς το λ µεταβάλλεται στο R, τα κέντρα Kλ του κύκλου Cλ κινούνται σε
µια ευθεία µ.
στ) Να αποδειχθεί ότι µ ⊥ ε .
ζ) Να αποδειχθεί ότι ο κύκλος Cλ διέρχεται από δύο σταθερά σηµεία γιακαθελ R∈ .
η) Έστω Σ∆ και ΣΕ τα εφαπτόµενα τµήµατα από το σηµείο Σ(2004,2005) προς τους κύκλους
1821C και 1940C αντίστοιχα. Να αποδειχθεί ότι ισχύει Σ∆ = ΣΕ .
θ) Να βρεθούν οι τιµές του λ, ώστε ο κύκλος Cλ να εφάπτεται στην ευθεία ζ: x 3y 7 0+ − = .
13. Ο Τσελεµεντές του υποψηφίου Γενικές Επαναληπτικές Ασκήσεις
Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 3
• ∆ιάνυσµα AB: Α αρχή (σηµείο εφαρµογής), Β πέρας
• Μηδενικό διάνυσµα: AB 0 A B= ⇔ ≡
• Μέτρο διανύσµατος ( )AB BA AB 0= = ≥
• α µοναδιαίο 1⇔ α =
• //α β ⇔ α ↑↑ β ή α ↑↓ β
• και αα = β ⇔ α ↑↑ β = β
• και αα = −β ⇔ α ↑↓ β = β
• Γωνία ( ) ( ), ,θ = α β = β α των ,α β µε 0 ≤ θ ≤ π
• Αν , 0α β ≠ , τότε ισχύουν οι ισοδυναµίες:
0 1α ↑↑ β ⇔ θ = ⇔ συνθ =
1α ↑↓ β ⇔ θ = π ⇔ συνθ = −
// 0 1α β ⇔ θ = ηπ ⇔ συνθ = ±
0
2
π
α ⊥ β ⇔ θ = ⇔ συνθ =
• Συγκεντρώνοντας τους βασικότερους τύπους έχουµε:
AA 0=
AB 0 A B= ⇔ ≡
Μ µέσο του ΑΒ AM MB⇔ =
AB BA= −
ΑΒ + ΒΓ = ΑΓ
AΑΒ + Γ = Α∆ , όπου ΑΒΓ∆ παραλληλόγραµµο.
AΑΒ − Γ = ΓΒ
α − β ≤ α ±β ≤ α + β
α +β + γ ≤ α + β + γ
• Να σηµειωθεί ότι ένα διάνυσµα AB µπορεί να γραφεί:
ως άθροισµα δύο διανυσµάτων µε άπειρους σε πλήθος τρόπους:
A ...ΑΒ = Γ + ΓΒ = Α∆ + ∆Β =
ως διαφορά δύο διανυσµάτων µε κοινή αρχή µε άπειρους σε πλήθος
τρόπους:
...ΑΒ = ΓΒ − ΓΑ = ∆Β − ∆Α =
συναρτήσει του διανύσµατος ΑΚ ως AΑΒ = Κ + ΚΒ
συναρτήσει του διανύσµατος ΛΒ ως AΑΒ = Λ + ΛΒ
συναρτήσει του διανύσµατος ΚΛ ως AΑΒ = Κ + ΚΛ + ΛΒ
• Αν 0λ ≥ , τότε
β ↑↑ α
β = λα ⇔
β = λ α = λ α
14. Ο Τσελεµεντές του υποψηφίου Γενικές Επαναληπτικές Ασκήσεις
Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 14
Λυµένα Παραδείγµατα
Ασκήσεις για Λύση
E4-1
Σε ορθοκανονικό σύστηµα αναφοράς ( )Oxy M x,yµε παριστάνουµε τα σηµεία µιας περιοχής. Στο
Κ(12,6) είναι τοποθετηµένος ένας ποµπός κινητής τηλεφωνίας. Η λήψη σε ένα σηµείο της
περιοχής θεωρείται «πολύ καλή», αν αυτό βρίσκεται στον κυκλικό δίσκο που ορίζεται από τον
κύκλο 1C , ο οποίος έχει κέντρο το Κ και ακτίνα 1 10ρ = , ενώ η λήψη θεωρείται «καλή», αν το
σηµείο είναι εξωτερικό του 1C και εσωτερικό του κύκλου 2C , που γράφεται µε κέντρο Κ και
ακτίνα 2 4ρ = .
α) Να γράψετε τις εξισώσεις των κύκλων 1C και 2C .
β) Να εξετάσετε αν η λήψη στα σηµεία Α(10,7) και Β(9,4) είναι «καλή» ή «πολύ καλή».
γ) Ένας αυτοκινητόδροµος της περιοχής (θεωρούµενος ως ευθεία) έχει εξίσωση ε: x-y-1=0 . Να
εξετάσετε αν υπάρχει τµήµα του αυτοκινητοδρόµου στο οποίο η λήψη είναι «καλή» ή «πολύ
καλή».
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
16. Ο Τσελεµεντές του υποψηφίου Γενικές Επαναληπτικές Ασκήσεις
Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 16
E4-2
Έστω η ε: ( ) ( )2λ+1 x- λ-1 y+3=0 και ο ( ) ( )
22
C : x 1 y 2 4− + + = . Να δειχτεί ότι γιακαθελ R∈ , η
ευθεία ε τέµνει τον C. Κατόπιν να βρεθούν οι τιµές του λ ώστε η ε να ορίζει χορδή που:
1. Να έχει µέγιστο µήκος.
2. Να έχει ελάχιστο µήκος.
3. Να έχει µήκος 8 .
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
17. Ο Τσελεµεντές του υποψηφίου Γενικές Επαναληπτικές Ασκήσεις
Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 17
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
E4-3
∆είξτε ότι το συµµετρικό του σηµείου Μ(λ,0) ως προς την ευθεία ε: ( )2
2λx+y-1-λ =0 λ R∈
βρίσκεται σε κύκλο του οποίου να βρείτε το κέντρο και την ακτίνα.
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
19. Ο Τσελεµεντές του υποψηφίου Γενικές Επαναληπτικές Ασκήσεις
Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 19
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
E4-5
Έστω ,α β διανύσµατα του επιπέδου ( ) [ ]1 και 3 και = 0,
∧
α = β = φ α β µε φ∈ π και η σχέση
( ) ( )3 x 3 y 1 0αβ + + αβ − − = (1) για κάθε [ ]0,φ∈ π . Τότε
α) Να δειχθεί ότι η (1) παριστάνει ευθεία για κάθε [ ]0,φ∈ π .
20. Ο Τσελεµεντές του υποψηφίου Γενικές Επαναληπτικές Ασκήσεις
Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 20
β) Η ευθεία αυτή περνά πάντοτε από σταθερό σηµείο το οποίο και να βρεθεί.
γ) Εάν η ευθεία είναι παράλληλη στον άξονα x’x τότε το και β= -3αα βրւ .
δ) Εάν η ευθεία είναι παράλληλη στον άξονα y’y τότε και β=3αα βրւ .
ε) Εάν η ευθεία σχηµατίζει γωνία
4
π
µε τον άξονα x’x τότε α ⊥ β .
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
21. Ο Τσελεµεντές του υποψηφίου Γενικές Επαναληπτικές Ασκήσεις
Γιάννης Μήταλας - Θανάσης Δρούγας - Βαλάντης Χάδος - Ξένος Γερμανός - Σπύρος Πάτσης 21
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
……………………………………………………………………………………………………………………………………………….
E4-6
Έστω η γραµµή ( ): x 2 1 y 3 5 0, Rλε λ + λ − + λ + = λ∈ .
α) Να δείξετε ότι η λε παριστάνει ευθεία που διέρχεται από σταθερό σηµείο.
β) Να βρείτε το λ, ώστε η ευθεία λε να απέχει από την αρχή των αξόνων τη µεγαλύτερη
απόσταση.
