.

1. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Ι Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Γκούφυ σε αγαστή συνεργασία µε τον Ρανταπλάν……………….0
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
Γ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ ΙI
(Προβλήµατα ρυθµού Μεταβολής)
ΟΜΑΔΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ
ΘΕΤΙΚΩΝ ΣΠΟΥΔΩΝ, ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: Μήταλας Γ , Δρούγας Α. Χάδος Χ. Γερμανός Ξ. Πάτσης Σ.
Ο ΤΣΕΛΕΜΕΝΤΕΣ ΤΟΥ ΥΠΟΨΗΦΙΟΥ
ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΟΥ
ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ

2. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Ι Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Γκούφυ σε αγαστή συνεργασία µε τον Ρανταπλάν………………. 1
Το χόμπι μου είναι η μαγειρική και ενίοτε παθαίνω εκρήξεις φαιδρότητας και κυνισμού.
Ηρεμήστε, δεν προτίθεμαι να παραθέσω συνταγές μαγειρικής, πλην όμως, τα τελευταία
χρόνια έχω πολλές ενστάσεις για τον τρόπο που εξετάζονται τα μαθηματικά στις
πανελλαδικές εξετάσεις. Γιατί να το κρύψουμε άλλωστε, η επιτροπή θεμάτων τα
τελευταία χρόνια πίνει νερό στο όνομα του Αλ Κβαρίσμι και έχει αγιοποιήσει την
μεθοδολογία.Διάβαζα,πρόσφατα σε γνωστό μέσο κοινωνικής δικτύωσης ότι
«μεθοδολογία στα μαθηματικά είναι ένα τέχνασμα που έγινε viral”,ένας on line
εξωραϊσμός του γνωστού αφορισμού του Τζωρτζ Πόλυα. Παρόλα αυτά, το παρόν είναι
απόλυτα εναρμονισμένο στην λογική ενός τσελεμεντέ τεχνικών επίλυσης ασκήσεων. Το
εγχειρίδιο του επιτήδειου στα μαθηματικά θετικού προσανατολισμού.Πέρα και μακριά
από την μαθηματική σκέψη στις παρακάτω σελίδες θα βρείτε μια σειρά από
τυφλοσούρτες για να λύνετε τα θέματα των πανελληνίων. Το παρόν συμπληρώνει το
σχολικό βιβλίο. Που και που, θα βρίσκετε αγαπημένες συνταγές!!
Σ.Ο.Κ.Ο.Ν
ΝΗΣΤΙΣΙΜΟ ΜΙΛΦΕΙΓ
Υλικά
4 κουτιά γάλα καρύδας των 400 ml
γάλα σόγιας 500-750 ml
1 κούπα αλεύρι
2 κούπες ζάχαρη
4-5 βανίλιες
1 κουταλιά σούπας μαργαρίνη
4 πακέτα κράκερς ή 2 φύλλα σφολιάτας
ζάχαρη άχνη
Πώς το κάνουμε:
Βάζουμε από την προηγούμενη μέρα το γάλα καρύδας να κρυώσει καλά στο ψυγείο (όχι στην
κατάψυξη)
Την επόμενη ,βγάζουμε τα δυο κουτια από το ψυγείο, τα αναποδογυρίζουμε (δεν τα ανακινούμε, τα
γυρίζουμε ανάποδα με μια κίνηση) και τα ανοίγουμε. Απομακρύνουμε το υγρο υπερκείμενο και το
κρατάμε, ενώ σε άλλο μπολ βάζουμε την παγωμένη κρέμα. Χτυπάμε την κρέμα σε υψηλή
ταχύτητα στο μίξερ ώστε να γίνει σφιχτή σαντυγι, και στο τέλος προσθέτουμε 1 βανίλια. Βάζουμε
τη σαντιγί στο ψυγείο για τουλάχιστον μισή ώρα.
Σε μια κατσαρόλα προσθέτουμε το υγρό που κρατήσαμε από το γάλα καρύδας, και τόσο γάλα
σόγιας ώστε να εχουμε συνολικα ένα λίτρο υγρό. Κρατάμε λίγο ξεχωριστά (περίπου μια κούπα) και
το ανακατεύουμε καλα με το αλεύρι, ώσπου να διαλυθεί εντελώς.
Στο υπόλοιπο μίγμα υγρών, ρίχνουμε τη ζαχαρη και 2 βανίλιες και το βάζουμε να βράσει.
Ρίχνουμε μέσα το διαλυμένο αλεύρι και ανακατεύουμε ζωηρά με σύρμα, ώσπου να πήξει η κρέμα.
Αν σβολιάσει, χτυπάμε την κρέμα με το μίξερ, ώσπου να γίνει ομοιογενής.
Στο τέλος, προσθέτουμε μια κουταλιά μαργαρίνη, αποσύρουμε από τη φωτιά και σκεπάζουμε την
κρέμα με μεμβράνη ώστε να μην πιάσει πέτσα.
Όταν κρυώσει εντελώς, προσθέτουμε την σαντυγί που έχουμε στο ψυγείο και χτυπάμε με το μίξερ
ώστε η κρέμα να αποκτήσει ομοιόμορφη υφη.
Στρώνουμε σε ένα αλουμίνιο ταψάκι μια στρώση κράκερς (ή αν θέλουμε σφολιάτα, την οποία
έχουμε προηγουμένως πασπαλίσει με ζάχαρη και ψήσει), ρίχνουμε την κρέμα, καλύπτουμε με μια
ακόμη στρώση κράκερς.
Στο μεταξύ έχουμε ετοιμάσει σαντιγί με τα άλλα δυο κουτιά γαλα καρύδας, όπως παραπάνω,
αλλά προσθέτοντας και όση ζάχαρη άχνη θέλουμε. Καλύπτουμε την επιφάνεια του γλυκού,
ρίχνουμε τριμμένα κράκερς και άχνη και βάζουμε στο ψυγείο.

3. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Ι Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Γκούφυ σε αγαστή συνεργασία µε τον Ρανταπλάν……………….2
ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ
1)Μαθηματικα Θετικού προσανατολισμού, Ανδρεαδάκης,Κατσαργύρης,Μέτης.Ο.Ε.Δ.Β
2) Μαθηματικά Γ Λυκείου, Μπάρλας Α., Εκδόσεις Ελληνοεκδοτική
3)Μαθηματικα Γ Λυκείου, Κατσαρός Δ. ,Εκδόσεις Ελληνοεκδοτική
4)Μαθηματικά Γ Λυκείου, Στεργίου –Νάκης ,Εκδόσεις Σαββάλα
5)Μαθηματικά Γ Λυκείου, Μαυρίδης Γ., Εκδόσεις Μαυρίδη
6)Μαθηματικά Γ Λυκείου, Σκομπρής Γ., Εκδόσεις Σαββάλα
7)Μαθηματικά Γ Λυκείου ,Μιχαηλίδης Γ., Εκδόσεις Μαυρίδη
8)Αναλυση Μαθηματικά, Αχτσαλωτίδης Χ. ,Εκδόσεις Μεταίχμιο
9)Μαθηματικά Γ Λυκείου ,Παπαδάκης ,Εκδόσεις Σαββάλα
10)Μαθηματικά Γ Λυκείου ,Ξένος. Θ. ,Εκδόσεις Ζήτη
11)Μαθηματικα-Αναλυση Μαντάς Γ. ,Εκδόσεις Μαντά
12)Μαθηματικα-Αναλυση Ευρυπιώτης Σ.Γ. ,Εκδόσεις Πατάκη
13)Μαθηματικα-Αναλυση Μπαιλάκης Σ.Γ., Εκδόσεις Σαββάλα
14) Ανάλυση 1,2 ,Γκατζούλη Κ., Εκδόσεις Γκατζούλη
15) 1000+1 ασκήσεις στις παραγώγους, Ξηνταβελώνης Π., Εκδόσεις Λιβάνη
16)Μαθηματικά Γ Λυκείου, Β &Ρ Σπανδάγου., Εκδόσεις Αίθρα
17)Μαθηματικά Γ Λυκείου, Αρχείο Σ.Ο.Κ.Ο.Ν
18)ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β
19)Συναρτήσεις, Ποστάντζης Β.
20)Βιβλιο του διδάσκοντος. Για το μάθημα ανάλυση της Γ λυκείου,Γ.Παντελίδη, Εκδόσεις Ζήτη
21)Θεωρημα μέσης τιμής ,Γιαννιτσιώτης-Καραγιώργος, Εκδόσεις Κωστόγιαννος
22)Συναρτήσεις Θ.Ν. Καζαντζής. Εκδόσεις Τυποεκδοτική
23)Αναλυση,Ντζιωρας.Η, Εκδόσεις Πατάκη
24)Αναλυση,Μπαραλός Γ. Εκδόσεις Παπαδημητρόπουλου
25) Απειροστικός λογισμός, Spivak M. , Παν. Εκδόσεις Κρήτης
26)Μαθηματική ανάλυση Ρασσιάς Μ. ,Εκδόσεις Σαββάλα
24)Problems in Calculus ,Ι.Μ.Maron,Mir Publisher
25)Θέματα μαθηματικών κατεύθυνσης,Πανουσάκης Ν. ,Εκδοτικός όμιλος Συγγραφέων
καθηγητών
26) Το Φ
27) Η διδασκαλία του Απειροστικού λογισμού, μέσω αντιπαραδειγμάτων, Πλάταρος Γιάννης
27)Οδηγος επανάληψης στα μαθηματικά Γ λυκείου, Χ.Πατήλας, εκδόσεις Κωστόγιαννος
28)Γενικα θέματα μαθηματικών, Βλάχος. Β., Κουτσούκος Π. ,Ξηροκώστας Π. ,Πλατής Χ.
29)Problem book: Algebra and Elementary functions, Kutepov A.,Rubanov, MIR Publishers
30) Θέματα για πανελλήνιες εξετάσεις πρώτης δέσμης,Σάκης Λιπορδέζης
31)The theory of functions of a real variable, R.L.Jeffery
32)A Problem book in mathematical analysis,G.N Berman
33) Bad problems in Calculus, A.G .Drolkun
34) Μαθηματικά 1,2,3 Γ.Δεμερτζής,Δ.Γουβίτσας Εκδόσεις Όλυμπος
35)Μεθοδολογία για ασκήσεις και προβλήματα μαθηματικών, Α.Καλομητσίνης, Εκδόσεις Σμίλη
36)Διδακτικη των θετικών επιστημών, Δ.Λ. Καραγεώργος.
Τα σχήματα επιμελήθηκε ο Ντόναλντ Ντάκ ενώ τους γραμμοκώδικες ( qr-code) δημιούργησε ο
Οβελίξ σε συνεργασία με τον Κακοφωνίξ.

4. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Ι Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Γκούφυ σε αγαστή συνεργασία µε τον Ρανταπλάν………………. 3
Ο ΕΠΤΑΛΟΓΟΣ ΤΟΥ ΕΜΠΕΙΡΟΥ ΛΥΤΗ
1.∆ιαβαζε προσεκτικά το πρόβληµα, πολλές φορές αν είναι αναγκαίο,
µέχρι να το κατανοήσεις.Αυτό σηµαίνει να καταλάβεις τι πρέπει να βρεις
(τα ζητούµενα) και τι σου δίνονται (τα γνωστά).
2.Κανε ένα σχήµα ή ένα διάγραµµα και σηµείωσε επάνω τα άγνωστα και
τα γνωστά στοιχεία.
3.Σκεψου για τύπους, νόµους, σχέσεις κ.λ.π που συνδέουν τις γνωστές µε
τις άγνωστες ποσότητες.
4.Επέλεξε µια από τις άγνωστες ποσότητες,συµβόλισε την µε µια
µεταβλητή, έστω, χ, και προσπάθησε να εκφράσεις όλες τις άλλες
άγνωστες ποσότητες συναρτήσει της χ. Αυτό είναι σηµαντικό βήµα και
πρέπει να γίνει µε προσοχή και ως προς την επιλογή της µεταβλητής,
άλλα και ως προς τη µετάφραση των λέξεων και φράσεων σε σχέσεις.
5.Σχηµατισε εξίσωση ή την ανίσωση (εξισώσεις ή ανισώσεις ) που να
συνδέουν τις άγνωστες µε τις γνωστές ποσότητες.
6.Λυσε την εξίσωση η την ανίσωση και γράψε τις απαντήσεις σε όλα τα
ερωτήµατα του προβλήµατος.
7.Ελεγξε και ερµήνευσε όλες τις λύσεις σε όρους του αρχικού προβλήµατος
και όχι µόνο αν επαληθεύουν την εξίσωση ή τις εξισώσεις του 5ου
βήµατος ,γιατί πιθανόν να είναι λάθος η εξίσωση (ή οι εξισώσεις) που
έφτιαξες.
(από το έγκυρο δισεβδοµαδιαίο έντυπο ποικίλης ύλης «Νέα του
ψαροντούφεκου»)
Ποικιλία μαθηματικών προβλημάτων με τις λύσεις τους για έμπειρους και
άπειρους λύτες στο σύνδεσμο:
http://mathhmagic.blogspot.gr/2012/12/blog-post_6.html

5. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Ι Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Γκούφυ σε αγαστή συνεργασία µε τον Ρανταπλάν……………….4
ΧΡΗΣΙΜΟΙ ΤΥΠΟΙ ΣΤΕΡΕΟΜΕΤΡΙΑ
(Το πιθανότερο είναι σε εκφώνηση θέματος πανελλαδικών να δοθούν, αλλά με
την επιτροπή ποτέ δεν ξέρεις….)
▪ Εμβαδόν ολικής επιφάνειας κυλίνδρου
Ε = 2πρh + 2πρ2
▪ Όγκος κυλίνδρου
V= πρ2
h
▪ Εμβαδόν ολικής επιφάνειας πυραμίδας
Ε=
1
2
περίμετρος βάσης • παράπλευρο ύψος + Εβάσης
▪ Όγκος πυραμίδας
V=
1
3
Εβάσης • ύψος
▪ Εμβαδόν Σφαίρας
E = 4πρ2
▪ Όγκος Σφαίρας
V=
4
3
πρ3
▪ Εμβαδόν ολικής επιφάνειας κώνου
E= πρλ + πρ2
▪ Όγκος κώνου
V= 21
3
hπρ
.
ρ
h
h

6. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Ι Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Γκούφυ σε αγαστή συνεργασία µε τον Ρανταπλάν………………. 5
71 ΕΥΡΕΣΗ ΤΥΠΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ
1. Αναγνωρίζω το μέγεθος του οποίου θέλω να κατασκευάσω την αντίστοιχη συνάρτηση.
2. Κατασκευάζω σχήμα αν είναι απαραίτητο.
3. Δίνω ονόματα σε μεταβλητές και τα σημειώνω στο σχήμα.
4. Βρίσκω τη σχέση μεταξύ μεταβλητών κάνοντας χρήση κυρίως
• γεωμετρικών τύπων (εμβαδών, όγκων),
• θεωρημάτων (Πυθαγόρειο, Θαλή, κ.λπ.),
• ιδιοτήτων (όμοια τρίγωνα ,μετρικές σχέσεις, ανάλογα ποσά).
5. Τελικά εκφράζουμε όλα τα μεγέθη ως συνάρτηση μόνο μιας μεταβλητής (συνήθως x).
Παράδειγμα 1: Να κατασκευαστεί συνάρτηση που εκφράζει το εμβαδόν ενός ορθογωνίου το οποίο
έχει σταθερή περίμετρο 100m.(Στην τάξη..)
ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
71-1. Αν μία διάσταση ενός ορθογωνίου είναι x και η περίμετρός του είναι 40, να εκφράσετε:
i) Το εμβαδόν του ορθογωνίου ως συνάρτηση του x.
ii) Τη διαγώνιο δ του ορθογωνίου ως συνάρτηση του x.
Λύση
i) Έστω y η άλλη διάσταση του ορθογωνίου ΑΒΓΔ. Τότε ισχύει
( )2x 2y 40 x y 20 y 20 x 0 x,y 20+ = ⇔ + = ⇔ = − < < (1).
Άρα το εμβαδόν του ορθογωνίου ως συνάρτηση του x δίνεται από τον τύπο
( ) ( ) ( ) 2
x x 20 x x 20x x , 0 x 20Ε = − ⇔ Ε = − < < .
ii) Από το Πυθαγόρειο Θεώρημα στο ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ ( )A 90=
έχουμε ( ) ( ) ( )
(1), δ 0
22 2 2 2 2
δ x y δ x x 20 x δ x x 40x 400, 0 x 20
>
= + ⇔ = + − ⇔ = − + < < .
71-2.Ένα δοχείο έχει το σχήμα κυλίνδρου με χωρητικότητα 100 3
π cm και ακτίνα βάσης r (σε
cm).Το κόστος του υλικού από το οποίο είναι φτιαγμένες οι βάσεις είναι 2
2,5 ευρώ / cm . Να
εκφραστεί το κόστος κατασκευής του δοχείου ως συνάρτηση του r.
Λύση
Η κάθε βάση του δοχείου έχει εμβαδόν 2
πr ( )2
σε cm . Οι δύο βάσεις μαζί έχουν εμβαδόν 2
2πr ,
οπότε κοστίζουν 2 2
2πr 2,5 5πr ευρώ⋅ =
Η παράπλευρη επιφάνεια έχει εμβαδόν 2πrh , όπου h το ύψος του δοχείου και κοστίζει
2πrh 2 4πrh ευρώ⋅ = .
Α
Γ Δ
Β
y
x
δ

7. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Ι Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Γκούφυ σε αγαστή συνεργασία µε τον Ρανταπλάν……………….6
Θα βρούμε τώρα το h συναρτήσει του r. Από τον τύπο του όγκου V ενός κυλίνδρου έχουμε:
2
V πr h= , δηλαδή 2
100π πr h= , δηλαδή 2
100
h
r
= .
Άρα η παράπλευρη επιφάνεια του δοχείου κοστίζει 2
100 400π
4πr ευρώ
rr
⋅ = .
Το κόστος κατασκευής του δοχείου είναι το άθροισμα του κόστους κατασκευής της παράπλευρης
επιφάνειας και του κόστους κατασκευής των βάσεων, άρα θα δίνεται ως συνάρτηση του r από τον
τύπο ( ) 2 400π
r 5πr ευρώ
r
 
Κ = + 
 
.
71-2β.Θεωρουμε ένα κουτί σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπίπεδου με βάση ορθογώνιο και
ανοικτό από πάνω.
Το ύψος του κουτιού είναι 5 dm.Η βάση του κουτιού έχει σταθερή περίμετρο και μια πλευρά
της είναι x dm με 0<x<10.Να αποδείξετε ότι η συνολική επιφάνεια του κουτιού ως συνάρτηση
του x είναι:
( ) ( )Ε = − + + ∈2
x x 10x 100,x 0,10
Λύση
Αν «ανοίξουμε» το κουτί, τότε διαπιστώνουμε:
Περίμετρος βάσης=20 , οπότε + = ⇔ + = ⇔ = − < <2x 2z 20 x z 10 z 10 x,0 x 10
( ) ( )
( )
( )
Ε = Ε + + ⇔ = + + ⇔
= + ⋅ − + − ⇔
= + − + − ⇔ = − + + ∈
1 2 3
2 2
x 2E E E x 2(5x) 2(5z) xz
E x 2(5x) 2 5(10 x) x(10 x)
E(x) 10x 100 10x 10x x E(x) x 10x 100,x 0,10

8. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Ι Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Γκούφυ σε αγαστή συνεργασία µε τον Ρανταπλάν………………. 7
71-2γ.Δυο καράβια Κ1 και Κ2 αναχωρούν συγχρόνως από το λιμάνι του Πειραιά (Π). Το
καράβι Κ1 κινείται ανατολικά με ταχύτητα =1
u (t) 12 km / h και το Κ2 κινείται βόρεια με
ταχύτητα =2
u (t) 5 km / h .
i)Να βρείτε τις συναρτήσεις θέσης x(t)και y(t) των πλοίων Κ1 και Κ2 αντίστοιχα.
ii)Ποια είναι η απόσταση του πλοίου Κ1 από τον Πειραιά μετά από ταξίδι 2 ωρών.
iii)Ποια χρονική στιγμή 1
t ωρών το καράβι Κ2 απέχει από τον Πειραιά απόσταση 35 km.
iv)Να αποδείξετε ότι κάθε χρονική στιγμή >t 0 η απόσταση d(t) των δυο πλοίων δίνεται από
την σχέση =d(t) 13t .
Λύση
Η θέση x(t)του πλοίου Κ1, την στιγμή t ,δίνεται από την σχέση
= ⋅ =1
x(t) u (t) t 12t ( σε Km)
Ανάλογα , η θέση y(t) του καραβιού Π2 ,δίνεται από την σχέση
= ⋅ =2
y(t) u (t) t 5t = ⋅ =1
x(t) u (t) t 12t
ii) = ⋅ =x(2) 12 2 24 Km
iii) = ⇔ = ⇔ =y(t) 35 5t 35 t 7 ώρες
iv)Σύμφωνα με το πυθαγόρειο θεώρημα, στο τρίγωνο Κ2ΠΚ1 έχουμε:
= + ⇔ = + =2 2 2 2 2 2 2
d (t) y (t) x (t) d (t) (5t) (12t) 169t
Άρα είναι =d(t) 13t Km.
d(t
))
x(t)
y(t)
K1
K2
Π
Ανατολή
Βορράς

9. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Ι Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Γκούφυ σε αγαστή συνεργασία µε τον Ρανταπλάν……………….8
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ
71-3. Στην μακρινή Λοξολάνδη, ο φόρος στα εισοδήματα υπολογίζεται ως εξής. Σε κάθε εισόδημα
το πρώτα 1500000 ευρώ δεν φορολογούνται ενώ το υπόλοιπο ποσό φορολογείται με 20%.
α. Πόσο φόρο πρέπει να πληρώσει κάποιος που έχει εισόδημα 4000000 ευρώ;
β. Αν x είναι το εισόδημα ( x >1500000 ) και y είναι ο φόρος τότε να βρείτε τη συνάρτηση ( )y=f x .
Στη συνέχεια να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση.
71-4. Οι ανθρωπολόγοι εκτιμούν ότι το ύψος του ανθρώπου δίνεται από τις
συναρτήσεις: A(x)=2,89x+70,64 (για τους άνδρες) και Γ(x)=2,75x+71,48 (για τις γυναίκες) όπου x σε
εκατοστά, το μήκος του βραχίονα. Σε μία ανασκαφή βρέθηκε ένα οστό από βραχίονα μήκους
0,45m.
α) Αν προέρχεται από άνδρα ποιο ήταν το ύψος του;
β) Αν προέρχεται από γυναίκα ποιο ήταν το ύψος της;
71-5. Οι πολεοδόμοι μιας πόλης εκτιμούν ότι, όταν ο πληθυσμός Ρ της πόλης είναι x εκατοντάδες
χιλιάδες άτομα, θα υπάρχουν στην πόλη 2
N=10 2(x +x) χιλιάδες αυτοκίνητα. Έρευνες δείχνουν ότι
σε t έτη από σήμερα ο πληθυσμός της πόλης θα είναι t+4 εκατοντάδες χιλιάδες άτομα.
i) Να εκφράσετε τον αριθμό Ν των αυτοκινήτων της πόλης ως συνάρτηση του t.
ii)Πότε θα υπάρχουν στην πόλη 120 χιλιάδες αυτοκίνητα;
71-6. Η περίοδος Τ ενός εκκρεμούς που εκτελεί μικρές ταλαντώσεις δίνεται από τη συνάρτηση
( ) =T l lκ όπου l είναι το μήκος του εκκρεμούς και κ είναι μια θετική σταθερά.
α. Ένα εκκρεμές ενός μέτρου έχει περίοδο ίση με 1,92 sec. Να προσδιορίσετε τη σταθερά κ.
β. Το εκκρεμές του Φουκώ* είχε μήκος 66m. Να βρείτε την περίοδο του. (θεωρήστε
65
66=
8
).
*Jean Bemard Leon Foucault: Γάλλος αυτοδίδακτος Φυσικός. Το 1851 κατασκεύασε στο Πάνθεον του
Παρισιού ένα εκκρεμές μήκους 66m το οποίο και χρησιμοποίησε για να αποδείξει την περιστροφή
της Γης μέσω της στροφής του επιπέδου αιωρήσεως του εκκρεμούς.
71-7. Σύμφωνα με τη φορολογική κλίμακα του 2060 ο φόρος που πρέπει να πληρώσουν οι
φορολογούμενοι με εισόδημα από 3977 έως 21673 € δίνεται από τη συνάρτηση:
( )
( ) [ )
( ) [ )
( ) [ ]
5
x-3977 , x 3977,7740
100
15
φ x = 188+ x-7740 x 7740,12384
100
30
885+ x-12384 x 12384,21673
100
 ∈


∈


∈
όπου x το δηλωθέν εισόδημα.
Να βρείτε πόσο φόρο πρέπει να πληρώσει φορολογούμενος με εισόδημα:
α. 11739 € β.5869 € γ. 20543 €
71-7. Ένα ορθογώνιο χωράφι έκτασης 15000 2
m είναι χωρισμένο σε τρία ίσα μέρη. Η εξωτερική
περίφραξη του χωραφιού κοστίζει 30 € το μέτρο, ενώ η εσωτερική περίφραξη κοστίζει 27 € το μέτρο.
Να εκφράσετε το συνολικό κόστος της περίφραξης (εσωτερικής και εξωτερικής) ως συνάρτηση του
x.

10. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Ι Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Γκούφυ σε αγαστή συνεργασία µε τον Ρανταπλάν………………. 9
71-8. Έχουμε περιφράξει με συρματόπλεγμα μήκους 100m, μια ορθογώνια περιοχή από τις τρεις
πλευρές της. Η τέταρτη πλευρά είναι τοίχος. Αν το μήκος του τοίχου που θα χρησιμοποιηθεί είναι
x, να εκφράσετε το εμβαδόν της περιοχής ως συνάρτηση του x.
71-9. Σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ είναι ΑΒ=ΑΓ=10 . Αν =θ
∧
ΑΒΓ , να εκφράσετε το ύψος υ του τριγώνου από
την κορυφή Β, καθώς και το εμβαδόν του ως συνάρτηση του θ.
(Υπόδειξη: Να διακρίνετε περιπτώσεις ως προς την γωνία Α .Οξεία, αμβλεία, ορθή )
71-10. Να εκφράσετε το μήκος λ της χορδής ενός κύκλου ακτίνας 10εκατοστών ως συνάρτηση της
απόστασής της από το κέντρο του κύκλου. Ποιο είναι το πεδίο ορισμού της συνάρτησης αυτής;
71-11. Σύρμα μήκους 20=ℓ cm κόβεται σε δύο κομμάτια με μήκη x cm και (20-x) cm. Με το πρώτο
κομμάτι σχηματίζουμε τετράγωνο και με το δεύτερο ισόπλευρο τρίγωνο. Να βρείτε το άθροισμα
των εμβαδών των δύο σχημάτων ως συνάρτηση του x.
71-12. Κόβουμε ένα σύρμα μήκους 10cm και φτιάχνουμε έναν κύκλο και ένα τετράγωνο πλευράς x.
Να εκφράσετε ως συνάρτηση του x το άθροισμα των εμβαδών των δύο σχημάτων και να βρείτε το
πεδίο ορισμού της συνάρτησης αυτής
71-13. Να εκφράσετε το μήκος του τμήματος ΜΝ του παρακάτω σχήματος ως συνάρτηση του x, και
να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου τομής Α της ευθείας και της καμπύλης.
71-14.Στο παρακάτω σχήμα είναι AB=1, ΑΓ=3 και ΓΔ=2 . Να εκφράσετε το εμβαδόν του
γραμμοσκιασμένου χωρίου (τρίγωνο ΑΝΜ) ως συνάρτηση του x=AM , όταν το Μ διαγράφει το
ευθύγραμμο τμήμα ΑΓ.
Τοίχος

11. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Ι Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Γκούφυ σε αγαστή συνεργασία µε τον Ρανταπλάν……………….10
71-15. Ένα ορθογώνιο ΚΛΜΝ ύψους x cm είναι εγγεγραμμένο σε ένα τρίγωνο ΑΒΓ βάσης
10=BΓ cm και ύψους 5=Α∆ cm. Να εκφράσετε το εμβαδό Ε και την περίμετρο Ρ του ορθογωνίου
ως συνάρτηση του x.
Ε Μ
ΓΛ∆
xx
KB
N
A
71-16. Ένα κυλινδρικό φλιτζάνι, ανοικτό από πάνω, κατασκευάζεται έτσι ώστε το ύψος του και το
μήκος της βάσης του να έχουν άθροισμα 20cm. Αν το φλιτζάνι έχει ύψος h cm, να εκφράσετε τον
όγκο του ως συνάρτηση του h. Αν η ακτίνα της βάσης του είναι r, να εκφράσετε το εμβαδόν της
επιφάνειάς του ως συνάρτηση του r.
71-17. Ένα κουτί κυλινδρικού σχήματος έχει ακτίνα βάσης x cm και όγκο 628 cm3. Το υλικό των
βάσεων κοστίζει 0.4 ευρώ ανά cm2, ενώ το υλικό της κυλινδρικής επιφάνειας 0,125 ευρώ ανά cm2.
Να εκφράσετε το συνολικό κόστος ως συνάρτηση του x. Πόσο κοστίζει ένα κουτί με ακτίνα βάσης 5
cm, και ύψος 8 cm;
Άσκηση είναι μια
επαναλαμβανομένη πράξη που
στοχεύει στην ενίσχυση
αποκτηθείσας δεξιότητας .Η
διαδικασία λύσης μιας άσκησης
είναι μια επανάληψη γνωστών
ενεργειών. Είναι μονοδιάστατη
νοητική πράξη που εξαρτάται σε
μεγάλο βαθμό από την μνήμη και
την αυτοματοποιημένη επανάληψη
αφομοιωμένων αντιδράσεων….
Πρόβλημα είναι κάθε εργασία για
την όποια το άτομο που την
αντιμετωπίζει θέλει ή έχει ανάγκη
να την κάνει.
▪ Κάθε εργασία για την όποια το
άτομο δεν έχει έτοιμη διαδικασία
για να την εκτελέσει, δηλαδή να
βρει λύση.
▪ Κάθε εργασία για την οποία το
άτομο πρέπει να κάνει κάποια
προσπάθεια να την εκτελέσει,
δηλαδή να βρει την λύση.

12. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Ι Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Γκούφυ σε αγαστή συνεργασία µε τον Ρανταπλάν………………. 11
72 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ
ΣΚΟΠΟΣ ΣΕ ΑΥΤΕΣ ΤΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΙΝΑΙ ΝΑ ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΣΟΥΜΕ ΜΙΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Η
ΟΠΟΙΑ ΝΑ ΕΚΦΡΑΖΕΙ ΤΟ ΜΕΓΕΘΟΣ ΤΟΥ ΟΠΟΙΟΥ ΑΝΑΖΗΤΟΥΜΕ ΤΟ ΜΕΓΙΣΤΟ Ή ΤΟ
ΕΛΑΧΙΣΤΟ
1. Διαβάζω προσεκτικά το πρόβλημα
2. Σχεδιάζω σχήμα.
3. Σημειώνω τις σχέσεις μεταξύ σταθερών – μεταβλητών
• από τα δεδομένα της υπόθεσης ή
• από τις γεωμετρικές ιδιότητες του σχήματος (θεωρήματα, κ.λπ
4. Αναγνωρίζω ποιού μεγέθους ζητάω το μέγιστο ή το ελάχιστο
5. Κατασκευάζω συνάρτηση που εκφράζει το μέγεθος αυτό
6. υπολογίζω το ακρότατο της συνάρτησης αυτής
Προσοχή αν μου ζητάει τη θέση ακροτάτου ox , την τιμή του ακροτάτου ( )of x ή το
σημείο ακροτάτου ( )( )o ox ,f x
Παράδειγμα 1: Από όλα τα ορθογώνια με εμβαδόν 400 2
m , να βρείτε τις διαστάσεις εκείνου, που
έχει τη μικρότερη περίμετρο.
Παράδειγμα 2: Πρόκειται να κατασκευάσουμε μια δεξαμενή χωρητικότητας 3
36m ανοικτή στο
επάνω μέρος και με εγκάρσια διατομή τετράγωνο. Να βρεθούν οι διαστάσεις της ώστε το κόστος
της πλαστικής ή μεταλλικής εσωτερικής κάλυψης να είναι ελάχιστο.
Παράδειγμα 3: Να βρεθεί η ελάχιστη κατακόρυφη απόσταση μεταξύ των
καμπυλών ( ) ( )y f x και y g x= = , όπου ( ) ( )3 2 3 2
f x x 2x 8x 12 και g x x x 2x 2= + − + = + − + .(Στην τάξη)
ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
72-1. Διαθέτουμε σύρμα μήκους 120 μέτρων και θέλουμε να περιφράξουμε έναν ορθογώνιο κήπο.
i). Αν x είναι το πλάτος του ορθογωνίου, να εκφράσετε την επιφάνεια (εμβαδόν) Ε του κήπου ως
συνάρτηση του πλάτους x.
ii). Να καθορίσετε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης αυτής.
iii). Να βρείτε τις διαστάσεις του ορθογωνίου για τις οποίες η επιφάνεια του κήπου γίνεται μέγιστη.
Λύση
i). Έστω y το μήκος του ορθογωνίου. Έχουμε 2x 2y 120 x y 60 y 60 x+ = ⇔ + = ⇔ = − (1).
Επομένως η επιφάνεια του κήπου είναι ( ) ( ) ( )Ε = − Ε = − +2
x 60 x x ή x x 60x .
ii). Πρέπει να ισχύει ( ) ( ) ( )x 0 και y 0 x 0 και 60 x 0 x 0 και x 60 0 x 60> > ⇔ > − > ⇔ > < ⇔ < <
Άρα το πεδίο ορισμού της συνάρτησης ( )xΕ είναι το σύνολο Α = (0,60).
iii). Παρατηρώ ότι η ( )xΕ είναι τριώνυμο με α 1 0= − < , άρα η ( )xΕ για
β 60
x 30
2α 2
= − = − =
−
παρουσιάζει μέγιστο, άρα ( )1 y 60 30 30⇒ = − = . Άρα το ορθογώνιο γίνεται τετράγωνο.
x
y

13. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Ι Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Γκούφυ σε αγαστή συνεργασία µε τον Ρανταπλάν……………….12
72-2β. (Θέμα εισαγωγικών εξετάσεων από Σκωτία ) Έναs κροκόδειλος-ο Σήφης-καραδοκεί μια
ζέβρα.Βρίσκεται στην αντίπερα όχθη του ποταμού από την ζέβρα και αν διασχίσει κάθετα
τον ποταμό και βρεθεί στην ιδια οχθη με την ζεβρα θα απέχει από το θύμα του 20 μέτρα.Είναι
γνωστό ότι ο κροκόδειλος κολυμπά στο νερό ή σέρνεται στο έδαφος με διαφορετική
σταθερή ταχύτητα.Ο χρόνος που απαιτείται για να φτάσει ο κροκόδειλος την ζέβρα αν αυτή
παραμείνει στο ίδιο σημείο ελαχιστοποιείται αν κολυμπύσει μέχρι ένα σημείο P στην
αντίπερα οχθη και κατόπιν συρθεί στο εδαφος μέχρι την ζέβρα.Το P απέχει x μέτρα από το
σημείο που ο κροκόδειλος θα έφτανε αν κολυμπούσε κάθετα στο ποτάμι.
Ο χρόνος Τ μετριέται σε δέκατα του δευτερολέπτου (!) και δίνεται από την συνάρτηση:
= − + −2
T(x) 5 36 x 4(20 x)
i)Να υπολογίσετε το χρόνο που απαιτείται για να φτάσει ο κροκόδειλος την ζέβρα αν δεν
κινηθεί καθόλου στην ξηρά.
ii) Να υπολογίσετε το χρόνο που απαιτείται για να φτάσει ο κροκόδειλος την ζέβρα αν
κολυμπήσει την λιγοτερη δυνατη αποσταση.
iii) Να βρείτε το ελάχιστο χρονικό διάστημα που απαιτείται για να φτάσει ο κροκόδειλος την
ζέβρα.
Λύση
i) O χρόνος που απαιτείται να φτάσει ο κροκόδειλος την ζέβρα αν δεν κινηθεί καθόλου στην ξηρά
προκύπτει από τον τύπο της συνάρτησης για x=0:
= − + − = =2
T(0) 5 36 0 4(20 0) .. 110 δέκατα του δευτερολέπτου ή 11 δευτερόλεπτα.
i) O χρόνος που απαιτείται για να φτάσει ο κροκόδειλος την ζέβρα αν διανύσει την ελάχιστη
απόσταση κολυμπώντας-δηλαδή κάθετα στον ποταμο-και κατόπιν κατά μήκος της όχθης
προκύπτει από τον τύπο της συνάρτησης για x=20:
= − + − = = ≈2
T(20) 5 36 20 4(20 20) .. 2 436 104 δέκατα του δευτερολέπτου ή 10,4 δευτερόλεπτα
iii)Για >x 0 .Θα βρούμε το ακρότατο της συνάρτησης T.Παραγωγίζουμε την ( )T x

14. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Ι Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Γκούφυ σε αγαστή συνεργασία µε τον Ρανταπλάν………………. 13
( ) ( )2
2
2 2 2
36 ' 2 5
'( ) 5 36 4(20 ) ' 5 (80 4 )' 5 4 4
2 36 2 36 36
x x x
T x x x x
x x x
+
= + + − = + − = − = −
+ + +
2
2 2
5 5
'( ) 0 4 4 5 4 36 ( 0)
36 36
x x
T x x x x
x x
= ⇔ − ⇔ = ⇔ = + >
+ +
( )2 2 2 2 2
2 2
5 4 36 25 16 36 25 16 36 16
16 36 4 6
9 16 36 8
9 3
x x x x x x
x x x x
= + ⇔ = + ⇔ = ⋅ + ⇔
⋅ ⋅
⇔ = ⋅ ⇔ = ⇔ = ± ⇔ = ±
Όμως 0 20x< < άρα 8x = . '(8) 0T =
▪ '( ) 0T x < οταν 8x <
▪ '( ) 0T x > οταν 8x >
Οπότε η ελάχιστη απόσταση που μπορεί να κάνει ο κροκόδειλος για να φτάσει την ζέβρα είναι 8
μέτρα και ο ελάχιστος χρόνος που θα απαιτηθεί
2
(8) 5 36 8 4(20 8) 5 36 64 4(12) 5 100 4(12) 50 48 98T = + + − = + + = + = + = δεκατα του
δευτερολέπτου ή 9.8 δευτερόλεπτα.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ
72-3. Το άθροισμα δύο αριθμών είναι ίσο με 40. Να βρείτε τη μεγαλύτερη τιμή που μπορεί να πάρει
το γινόμενό τους.
72-4. Να προσδιοριστούν δύο θετικοί αριθμοί με τις εξής ιδιότητες: Το άθροισμά τους να είναι 10 και
το άθροισμα των τετραγώνων τους να είναι ελάχιστο.
72-5. Δύο θετικοί αριθμοί έχουν σταθερό γινόμενο. Να βρείτε πότε το άθροισμά τους γίνεται
ελάχιστο.
72-6. Το άθροισμα δύο θετικών αριθμών είναι 20. Να βρείτε τους αριθμούς αυτούς αν:
α. το γινόμενό τους είναι μέγιστο
β. το άθροισμα των τετραγώνων τους είναι ελάχιστο
γ. το γινόμενο του τετραγώνου του ενός επί τον κύβο του άλλου είναι μέγιστο.
72-7. Να βρεθούν οι πλευρές x, y ορθογωνίου παραλληλογράμμου με σταθερό εμβαδόν 2
9cm και
ελάχιστη περίμετρο.
72-8. Να βρεθούν οι πλευρές x, y ορθογωνίου τριγώνου με σταθερή περίμετρο16cm και μέγιστο
εμβαδόν.
72-9. Θέλουμε να περιφράξουμε μια περιοχή 16000 2
m σχήματος ορθογωνίου με μεταβλητές
διαστάσεις και να τη χωρίσουμε στη μέση. Ο φράχτης για την περίφραξη κοστίζει 9 ευρώ ./m και ο
φράχτης για το χώρισμα 6 ευρώ /m. Να βρείτε ποιες πρέπει να είναι οι διαστάσεις του ορθογωνίου
ώστε, να έχουμε το ελάχιστο κόστος για την περίφραξη μαζί με το χώρισμα.
72-10. Οι διαστάσεις σε cm ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου είναι ( ) ( )
1
ΑΒ =3-2x και ΒΓ =x-
2
.
Να βρείτε την τιμή του x ώστε το εμβαδόν του να γίνει μέγιστο.

15. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Ι Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Γκούφυ σε αγαστή συνεργασία µε τον Ρανταπλάν……………….14
72-11. Κάθε σελίδα του βιβλίου Η χαρά της μελέτης πρόκειται να έχει εμβαδόν 384 2
cm . Τα
περιθώρια του κειμένου πάνω και κάτω είναι 3 cm ενώ δεξιά και αριστερά 2cm. Ποιες διαστάσεις
πρέπει να έχει η σελίδα, ώστε για τη γραφή του κειμένου να προσφέρεται ο μέγιστος δυνατός
χώρος;
72-12. Αν ω είναι η γωνία που σχηματίζει η διαγώνιος δ ενός ορθογωνίου παραλληλογράμμου με
οποιαδήποτε από τις πλευρές του να βρείτε τη μέγιστη τιμή της περιμέτρου του ορθογωνίου και
την τιμή της γωνίας ω για την οποία προκύπτει. Να δείξετε επίσης ότι το εμβαδόν του ορθογωνίου
γίνεται
δ 2
2
.
(Υπόδειξη: ισχύει ο τύπος
π
ημθ+συνθ= 2ημ θ+
4
 
 
 
)
72-13. Όπως γνωρίζουμε, ο στίβος του κλασικού αθλητισμού αποτελείται από ένα ορθογώνιο και
δύο ημικύκλια. Αν η περίμετρος του στίβου είναι 400m, να βρείτε τις διαστάσεις του, ώστε το
εμβαδόν του ορθογωνίου μέρους να γίνει μέγιστο.
x
x
E(x)
72-14. Με ένα σύρμα μήκους 4m κατασκευάζουμε ένα ισόπλευρο τρίγωνο πλευράς x m
και ένα τετράγωνο πλευράς y m.
i) Να βρείτε το άθροισμα των εμβαδών των δύο σχημάτων συναρτήσει της πλευράς
x του ισοπλεύρου τριγώνου.
ii) Για ποια τιμή του x το εμβαδόν γίνεται ελάχιστο.
…………………
…………………
…………………
…………………
…………………
…………………
…………………
…………………
…………………
3 cm
2 cm

16. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Ι Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Γκούφυ σε αγαστή συνεργασία µε τον Ρανταπλάν………………. 15
72-15. Ένα σύρμα μήκους λ κόβεται σε δύο τμήματα με τα οποία σχηματίζουμε έναν κύκλο και ένα
τετράγωνο αντιστοίχως.Να δείξετε ότι το άθροισμα των εμβαδών των δύο σχημάτων είναι
ελάχιστο, όταν η πλευρά του τετραγώνου είναι ίση με τη διάμετρο του κύκλου.
72-16. Δίνεται τετράγωνο ΑΒΓΔ του διπλανού σχήματος με πλευρά 2cm. Αν το τετράγωνο ΕΖΗΘ
έχει τις κορυφές του στις πλευρές του ΑΒΓΔ, i)να εκφράσετε την πλευρά ΕΖ συναρτήσει του x.
ii) να βρείτε το x έτσι, ώστε το εμβαδόν )(xE του ΕΖΗΘ να γίνει ελάχιστο
x
x
xx
∆
A Ε
Ζ
B
Θ
H Γ
Ε(x)
72-17. Σε ένα βάθρο με ύψος h έχει τοποθετηθεί ένα άγαλμα ύψους α. Να βρεθεί σε ποια οριζόντια
απόσταση x πρέπει να στηθεί παρατηρητής ύψους γ με γ<h, ώστε να βλέπει το άγαλμα υπό τη
μέγιστη δυνατή γωνία.
72-18. Σε έναν κύκλο ακτίνας ρ να εγγράψετε το ορθογώνιο με το μεγαλύτερο δυνατό εμβαδόν.
72-19. Ένα ισοσκελές τρίγωνο ΑΒΓ (ΑΒ=ΑΓ) είναι εγγεγραμμένο σε έναν κύκλο με κέντρο Κ και
ακτίνα R. Η κορυφή Α είναι σταθερή,ενώ οι πλευρές ΑΒ και ΑΓ μεταβάλλονται.Έστω θ η γωνία
που σχηματίζουν οι ίσες πλευρές του τριγώνου.
α. Να εκφράσετε τα μήκη των τμημάτων ΒΔ, ΒΓ, ΚΔ και ΑΔ ως συνάρτηση της γωνίας θ
β. Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ δίνεται από τον τύπο
( ) ( )2
E θ =R ημθ 1+συνθ , 0<θ<π
γ. Να βρείτε την E′ και να λύσετε την εξίσωση ( )Ε θ =0′ .
δ. Να βρείτε τη μονοτονία και τα ολικά ακρότατα της Ε.
ε. Ποιο είναι το είδος του τριγώνου ΑΒΓ, όταν αυτό έχει το μέγιστο εμβαδόν;
72-20. Ένα κουτί σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου με τετράγωνη βάση και ανοικτό από
πάνω πρέπει να έχει όγκο 32 3
dm . Να βρείτε ποιες πρέπει να είναι οι διαστάσεις του κουτιού, ώστε
για την κατασκευή του να χρειάζεται το ελάχιστο δυνατό υλικό.
72-21. Αν ένα κουτί σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου με βάση τετράγωνο και ανοικτό
από πάνω πρέπει να έχει επιφάνεια ίση με 12 2
dm , ποιος είναι ο μέγιστος δυνατός όγκος του;
72-22. Από ένα φύλλο λαμαρίνας σχήματος τετραγώνου πλευράς 60cm θα κατασκευαστεί ένα
δοχείο, ανοικτό από πάνω, αφού κοπούν από τις γωνίες του τέσσερα ίσα τετράγωνα και στη
συνέχεια διπλωθούν προς τα επάνω οι πλευρές. Να βρείτε ποιες πρέπει να είναι οι διαστάσεις του
δοχείου, ώστε να έχει το μέγιστο όγκο.
72-23. Ποιος κύλινδρος με άθροισμα διαμέτρου και ύψους 20 cm έχει το μέγιστο δυνατό όγκο;
72-24. Ένα κυλινδρικό δοχείο πρέπει να έχει χωρητικότητα 1lt. Να βρείτε τις διαστάσεις του οι
οποίες ελαχιστοποιούν το κόστος του μετάλλου από το οποίο θα κατασκευαστεί το δοχείο.
72-25. Από έναν κυκλικό δίσκο ακτίνας R αφαιρούμε έναν κυκλικό τομέα ΟΑΒ και ενώνοντας τις
ακτίνες ΟΑ και ΟΒ κατασκευάζουμε ένα κωνικό ποτήρι. Να βρείτε τη μέγιστη χωρητικότητα του
ποτηριού.
R
Ο
Β
Α
R
O

17. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Ι Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Γκούφυ σε αγαστή συνεργασία µε τον Ρανταπλάν……………….16
72-26. Να βρείτε την εξίσωση της ευθείας που διέρχεται από το σημείο Α(3,4) και σχηματίζει με
τους θετικούς ημιάξονες τρίγωνο ελάχιστου εμβαδού.
72-27. Να βρείτε το σημείο της ευθείας με εξίσωση y=2x-3 που είναι πλησιέστερο στην αρχή των
αξόνων.
72-28. Να βρεθεί σημείο Μ της γραφικής παράστασης της συνάρτησης ( ) 2
f x =x -3x+3 τέτοιο, ώστε η
απόσταση ΟΜ να είναι ελάχιστη.
72-29. Να βρεθεί σημείο Μ της καμπύλης 2
y x= του οποίου η απόσταση από το σημείο Α(4,0) είναι
ελάχιστη.
72-30. Δίνεται η συνάρτηση ( ) 2
f x =x , x R∈ και το σημείο Μ(3,0).
α) Να βρείτε σημείο Ρ της fC τέτοιο, ώστε η απόσταση του Ρ από το Μ να είναι η ελάχιστη δυνατή.
β) Να αποδείξετε ότι η ευθεία ΜΡ είναι κάθετη στην εφαπτομένη της fc στο σημείο της Ρ.
72-31. Δίνεται η συνάρτηση ( ) 2
f x =1-x . Η εφαπτομένη της συνάρτησης σε τυχαίο σημείο ( )M x,y
του πρώτου τεταρτημόριου τέμνει τους ημιάξονες Οx και Oy στα σημεία Α και Β αντίστοιχα.
α. Να υπολογίσετε το εμβαδόν ( )E x του τριγώνου ΟΑΒ ως συνάρτηση του x
β. Να βρείτε τη θέση του Μ ώστε το εμβαδόν να είναι ελάχιστο.
72-32. Δίνεται η συνάρτηση xxf =)( και το σημείο
9
,0
2
A
 
 
 
.
i) Να βρείτε το σημείο Μ της fC που απέχει από το σημείο Α τη μικρότερη απόσταση.
ii) Να αποδείξετε ότι η εφαπτομένη της fC στο Μ είναι κάθετη στην ΑΜ.
72-33. Στο διπλανό σχήμα έχουμε τις γραφικές παραστάσεις δύο παραγωγίσιμων συναρτήσεων
gf , σ’ ένα διάστημα ],[ βα . Το σημείο ),( βαξ ∈ είναι το σημείο στο οποίο η κατακόρυφη απόσταση
)(ΑΒ μεταξύ των fC και gC παίρνει τη μεγαλύτερη τιμή.
Να αποδείξετε ότι οι εφαπτόμενες των fC και gC στα σημεία ))(,( ξfξA και ))(,( ξgξΒ είναι
παράλληλες.
y
O
Cf
Cg
g(ξ)
f(ξ)
Α
Β
βα ξ x
72-34. Για ποια τιμή του θετικού αριθμού α η μέγιστη τιμή της συνάρτησης ( ) α 2α-x
f x =x e γίνεται
ελάχιστη;
72-35. Σε ποιο σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης 3 2
f(x)=x +3x -2x-1 η εφαπτομένη
έχει τον ελάχιστο συντελεστή διεύθυνσης;
72-36. Για ποια τιμή του x ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης ( ) 3 2
f x =2x +3x -2x ως προς x γίνεται
ελάχιστος; Με άλλα λόγια: Σε ποιο σημείο της γραφικής παράστασης της συνάρτησης
( ) 3 2
f x =2x +3x -2x η εφαπτομένη έχει τον ελάχιστο συντελεστή διεύθυνσης;
72-37. Να βρεθεί η τιμή της παραμέτρου α, ώστε το μέγιστο της
συνάρτησης ( ) α 2α x
f x x e με x 0−
= ⋅ > , να γίνεται ελάχιστο.

18. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Ι Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Γκούφυ σε αγαστή συνεργασία µε τον Ρανταπλάν………………. 17
72-38. Έστω Ε το εμβαδόν του κυκλικού δακτυλίου του διπλανού σχήματος. Υποθέτουμε ότι τη
χρονική στιγμή 0=t είναι 31 =r cm και 52 =r cm και ότι για 0>t η ακτίνα 1r αυξάνεται με σταθερό
ρυθμό 0,05cm/s, ενώ η ακτίνα 2r αυξάνεται με σταθερό ρυθμό 0,04 cm/s. Να βρείτε:
i) πότε θα μηδενιστεί το εμβαδόν του κυκλικού δακτυλίου και
ii) πότε θα μεγιστοποιηθεί το εμβαδόν του κυκλικού δακτυλίου.
r2
r1
72-39. Θέλουμε να κατασκευάσουμε ένα κανάλι του οποίου η κάθετη διατομή ΑΒΓΔ φαίνεται στο
διπλανό σχήμα.
i) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν της διατομής ΑΒΓΔ είναι ίσο με )συν1(ηµ4 θθE +=
ii) Για ποια τιμή του θ το εμβαδόν της κάθετης διατομής μεγιστοποιείται;
2m2m
2m Β
Γ∆
Α
θθ
72-40. Ένας κολυμβητής Κ βρίσκεται στη θάλασσα 100ft(1) μακριά από το πλησιέστερο σημείο Α
μιας ευθύγραμμης ακτής, ενώ το σπίτι του Σ βρίσκεται 300ft μακρυά από το σημείο Α. Υποθέτουμε
ότι ο κολυμβητής μπορεί να κολυμπήσει με ταχύτητα 3ft/s και να τρέξει στην ακτή με ταχύτητα
5ft/s.
i) Να αποδείξετε ότι για να διανύσει τη διαδρομή ΚΜΣ του διπλανού σχήματος χρειάζεται
χρόνο
5
300
3
100
)(
22
xx
xΤ
−
+
+
= .
ii) Για ποια τιμή του x o κολυμβητής θα χρειαστεί το λιγότερο δυνατό χρόνο για να φθάσει στο
σπίτι του; ( 1ft = 30,48cm)
Mx
Κ
ΣA
100 ft
300 ft

19. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Ι Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Γκούφυ σε αγαστή συνεργασία µε τον Ρανταπλάν……………….18
72-41. Ένας εργολάβος επιθυμεί να χτίσει ένα σπίτι στο δρόμο που συνδέει δύο εργοστάσια 1E και
2E τα οποία βρίσκονται σε απόσταση 12km και εκπέμπουν καπνό με παροχές Ρ και P8
αντιστοίχως. Αν η πυκνότητα του καπνού σε μια απόσταση d από ένα τέτοιο εργοστάσιο είναι
ανάλογη της παροχής καπνού του εργοστασίου και αντιστρόφως ανάλογη του τετραγώνου της
απόστασης d, να βρείτε σε ποια απόσταση x από το εργοστάσιο 1E πρέπει ο εργολάβος να χτίσει το
σπίτι για να έχει τη λιγότερη δυνατή ρύπανση. (Παροχή καπνού μιας καπνοδόχου ενός
εργοστασίου λέγεται η ποσότητα του καπνού που εκπέμπεται από την καπνοδόχο στη μονάδα του
χρόνου).
x Ε2Ε1
12km
Σ
72-42. Σε ένα ορθοκανονικό σύστημα δίνεται το σημείο A(α,β) του 1ου τεταρτημορίου. Μια
ευθεία ε διέρχεται από το Α και τέμνει τους θετικούς ημιάξονες 0x και 0y στα p και q αντιστοίχως.
Να δείξετε ότι η ελάχιστη τιμή του αθροίσματος p+q είναι ίση με 2
( α+ β) .
72-43. Το μεσημέρι ένα ιστιοφόρο βρίσκεται 20χιλιόμετρα βορείως ενός φορτηγού πλοίου. Το
ιστιοφόρο ταξιδεύει νότια με 40km/h, και το φορτηγό ανατολικά με 20km/h. Αν η ορατότητα είναι
10km, θα έχουν οι άνθρωποι των δύο πλοίων οπτική επαφή σε κάποια στιγμή;
72-44. Οι πορείες δύο πλοίων 1 2Π και Π που κινούνται με την ίδια ταχύτητα μέτρου 20 km/h
τέμνονται σε ένα σημείο Λ. Στη 1μ.μ. το ένα πλοίο κινείται ανατολικά και απέχει 60 km από το Λ,
ενώ το άλλο πλοίο κινείται βόρεια και απέχει 100km από το Λ.
α. Να εκφραστεί η απόσταση d των δύο πλοίων ως συνάρτηση του t, όπου t ο χρόνος σε ώρες που
παρήλθε από τη 1μ.μ.
β. Τι ώρα απέχουν τα πλοία μεταξύ τους την ελάχιστη απόσταση;
γ. Πόση είναι η ελάχιστη απόσταση που απέχουν μεταξύ τους τα πλοία;
δ. Όταν τα πλοία απέχουν μεταξύ τους 28km, έχουν διέλθει από το σημείο Λ ή όχι; Πόσο απέχουν
τότε τα πλοία από το Λ;
72-45. Η ταχύτητα ενός κύματος μήκους λ μέσα στο νερό είναι
λ c
υ=κ +
c λ
, όπου κ και c θετικές
σταθερές. Για ποιο μήκος κύματος έχουμε την ελάχιστη ταχύτητα;
72-46. Αν υ=100p(1+lnr)-100qr , όπου p και q θετικές σταθερές, να δείξετε ότι το υ έχει τη μέγιστη
τιμή του όταν
p
r=
q
.
72-47. Αν 2 1
υ=κx ln
x
 
 
 
, όπου κ θετική σταθερά, να δείξετε ότι το υ έχει τη μέγιστη τιμή του όταν
1
x=
e
.
72-48. Ένα ορισμένο όχημα όταν ταξιδεύει με ταχύτητα υ km/h, καταναλώνει την ώρα 3
6+0,0001υ
λίτρα καύσιμα.
i) Να βρείτε τη συνολική ποσότητα καυσίμων που χρειάζεται για να διανύσει μια απόσταση
1000km με σταθερή ταχύτητα υ.
ii) Να βρείτε την τιμή του υ για την οποία έχουμε την οικονομικότερη κατανάλωση καυσίμων,
καθώς και την ποσότητα καυσίμων που χρειάζεται το όχημα για να διανύσει τα 1000km.
Να σχολιάσετε αν η απάντηση στο ερώτημα ii) είναι εφαρμόσιμη λόγω της μεγάλης
απόστασης.

20. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Ι Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Γκούφυ σε αγαστή συνεργασία µε τον Ρανταπλάν………………. 19
72-49. Έστω 1υ η ταχύτητα του φωτός στον αέρα και 2υ η ταχύτητα του στο νερό. Σύμφωνα με
την αρχή του Fermat, μια ακτίνα φωτός από ένα σημείο Α του αέρα φθάνει σε ένα σημείο Β του
νερού ακολουθώντας μια πορεία ΑΓΒ η οποία ελαχιστοποιεί τον απαιτούμενο χρόνο. Να
αποδείξετε ότι
i) Ο χρόνος που χρειάζεται το φως για τη
διαδρομή ΑΓΒ είναι
2 2 2 2
1 1
1 2
x +d (d-x) +d
t(x)= +
υ υ
ii) Να υπολογίσετε την t (x)′ .
iii) Να αποδείξετε ότι 1
2
ημα υ
=
ημβ υ
.
β d2νερό
αέρας
d1
Γ
Β
Α
a
d
x d-x
72-50. Αν μια συρμάτινη ράβδος είναι ομογενής, τότε η γραμμική της πυκνότητα ρ ορίζεται ως η
μάζα της ανά μονάδα μήκους
 
 
 
m
ρ=
L
και μετριέται σε χιλιόγραμμα ανά μέτρο (kgr/m). Όμως αν η
ράβδος δεν είναι ομογενής και η μάζα της μετρούμενη από το αριστερό άκρο της μέχρι το σημείο
που απέχει από το άκρο αυτό απόσταση x μέτρα δίνεται από τη συνάρτηση m=f(x) , τότε ορίζουμε
ως γραμμική πυκνότητα ρ στο σημείο x το όριο
h 0
f(x+h)-f(x)
lim
h→
, δηλαδή την παράγωγο της μάζας ως
προς το μήκος.
x+hx
Αν υποθέσουμε ότι για μια ράβδο η μάζα της δίνεται από τη συνάρτηση m=f(x)= x , όπου το x
μετριέται σε μέτρα και η μάζα της σε χιλιόγραμμα, να βρεθεί
i) Η μέση πυκνότητα του τμήματος της ράβδου στο διάστημα [1, 1,21]
ii) Η γραμμική πυκνότητα της ράβδου για x=1 .
72-51. Δύο ηλεκτρικές αντιστάσεις πρέπει να έχουν άθροισμα 450Ω. Πως πρέπει να επιλεγούν
ώστε όταν συνδεθούν εν παραλλήλω να δίνουν τη μέγιστη ολική αντίσταση;
72-52. Η ναύλωση μιας κρουαζιέρας απαιτεί συμμετοχή τουλάχιστον 100 ατόμων. Αν δηλώνουν
ακριβώς 100 άτομα, το αντίτιμο ανέρχεται σε 100 ευρώ το άτομο. Για κάθε επιπλέον άτομο το
αντίτιμο ανά άτομο μειώνεται κατά 5 ευρώ. Πόσα άτομα πρέπει να δηλώσουν συμμετοχή, ώστε να
έχουμε τα περισσότερα έσοδα.
72-53. Για να πραγματοποιηθεί μια αεροπορική πτήση απαιτείται η συμμετοχή 100 τουλάχιστον
ατόμων.Αν δηλώσουν συμμετοχή ακριβώς 100 άτομα, το εισιτήριο ανέρχεται σε 100 ευρώ το
άτομο.Για κάθε επιπλέον άτομο το αντίτιμο μειώνεται κατά 5 ευρώ. Αν επιπλέον των 100 ατόμων
δηλώσουν συμμετοχή x άτομα, τότε:
α. Να βρεθεί η τιμή του εισιτηρίου ως συνάρτηση του x
β. Να εκφραστούν τα έσοδα από την πτήση ως συνάρτηση του x
γ. Να βρεθεί ο ρυθμός που μεταβάλλονται τα έσοδα αν κάποια στιγμή έχουν δηλώσει συμμετοχή
120 άτομα
δ . Να βρεθεί το πλήθος των ατόμων που θα πρέπει να δηλώσουν συμμετοχή, ώστε η εταιρεία να
έχει τα μέγιστα έσοδα.

21. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Ι Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Γκούφυ σε αγαστή συνεργασία µε τον Ρανταπλάν……………….20
72-54. Μία ώρα μετά τη λήψη x mgr ενός αντιπυρετικού, η μείωση της θερμοκρασίας ενός
ασθενούς δίνεται από τη συνάρτηση
4
)(
3
2 x
xxT −= , 30 << x . Να βρείτε ποια πρέπει να είναι η
δόση του αντιπυρετικού, ώστε ο ρυθμός μεταβολής της μείωσης της θερμοκρασίας ως προς x, να
γίνει μέγιστος.
72-55. Η έρευνα έχει δείξει ότι αν σε έναν ασθενή γίνει μια υποδόρια ένεση, τότε ύστερα από χρόνο
t η συγκέντρωση y του φαρμάκου στο αίμα του δίνεται από τη συνάρτηση ( )1 2-k t -k t
2 1
A
y(t)= e -e
k -k
,
όπου Α, 1k και 2k θετικές σταθερές με 2 1k >k . Να βρείτε το χρόνο t στον οποίο το φάρμακο θα
παρουσιάσει τη μέγιστη συγκέντρωση.
72-56. Η θερμοκρασία ενός ασθενούς δίνεται από τη συνάρτηση ( ) o
2
6t
Θ t = +36,6 (σε C)
3+t
, όπου
t 0≥ είναι ο χρόνος (σε ώρες). Να βρείτε τη χρονική στιγμή κατά την οποία ο ασθενής παρουσιάζει
τον υψηλότερο πυρετό. Ποια ήταν τότε η θερμοκρασία του;
72-57. Το κόστος της ημερήσιας παραγωγής x μονάδων ενός βιομηχανικού προϊόντος είναι
3 21
( ) 20 600 1000
3
K x x x x= − + + χιλιάδες ευρώ , 1050 ≤≤ x . Η είσπραξη από την πώληση των x
μονάδων είναι 2
2420)( xxxE −= χιλιάδες ευρώ. Να βρεθεί η ημερήσια παραγωγή του εργοστασίου,
για την οποία το κέρδος γίνεται μέγιστο.
72-58. Το κόστος C της ημερήσιας παραγωγής x μονάδων ενός προϊόντος από μια βιοτεχνία που
απασχολεί v εργάτες δίνεται από τον τύπο: 3 2 3
C(x)=x -3vx +5v σε χιλιάδες ευρώ . Το κέρδος ανά
μονάδα προϊόντος είναι 16-v χιλιάδες ευρώ. Να βρείτε πόσες μονάδες πρέπει να παράγονται
ημερησίως και από πόσους εργάτες, ώστε να έχουμε ελάχιστο κόστος και μέγιστο κέρδος.
72-59. Αν C(x) είναι το συνολικό κόστος για την παραγωγή x μονάδων ενός προϊόντος, τότε η
συνάρτηση C λέγεται συνάρτηση κόστους, το πηλίκο
C(x)
c(x)=
x
λέγεται μέσο κόστος και το όριο
h 0
C(x+h)-C(x)
lim
h→
λέγεται οριακό κόστος.
α) Να αποδείξετε ότι αν για κάποιο x το μέσο κόστος είναι ελάχιστο, τότε
ισχύει: οριακό κόστος =μέσο κόστος.
β) Μια εταιρεία εκτιμά ότι το κόστος (σε δολάρια) για την παραγωγή x
μονάδων ενός προϊόντος είναι 21
C(x)= x +2x+2600
1000
.
i) Να βρείτε το κόστος, το μέσο κόστος και το οριακό κόστος για την
παραγωγή 1000 μονάδων, 2000 μονάδων και 3000 μονάδων.
ii) Ποιο είναι το επίπεδο παραγωγής για το οποίο το μέσο κόστος είναι
το χαμηλότερο και ποια είναι η ελάχιστη τιμή του μέσου κόστους;
72-60. Αν x μονάδες ενός προϊόντος είναι διαθέσιμες για πώληση, τότε η τιμή πώλησης p(x) της
μονάδας του προϊόντος λέγεται συνάρτηση ζήτησης. Από την πώληση x μονάδων του προϊόντος,
τα συνολικά έσοδα είναι R(x)=x p(x)⋅ . Η συνάρτηση R λέγεται συνάρτηση εσόδων και η
παράγωγος R′ λέγεται οριακή συνάρτηση εσόδων. Επίσης από την πώληση x μονάδων του
προϊόντος το συνολικό κέρδος είναι P(x)=R(x)-C(x) . Η συνάρτηση P καλείται συνάρτηση κέρδους
και η παράγωγος P′ καλείται οριακή συνάρτηση κέρδους.
α) Να αποδείξετε ότι αν το κέρδος για κάποιο x είναι μέγιστο, τότε τα
οριακά έσοδα είναι ίσα με το οριακό κόστος.
β) Ποιο είναι το επίπεδο παραγωγής που μεγιστοποιεί τα κέρδη για μια
εταιρεία, αν η συνάρτηση κόστους είναι 2
C(x)=3800+5x-0,001x και
η συνάρτηση ζήτησης p(x)=50-0,01x ; ( Επαναφορά σε ξεχωριστή κατηγορία)

22. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Ι Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Γκούφυ σε αγαστή συνεργασία µε τον Ρανταπλάν………………. 21
73 . ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ
Η παράγωγος της f στο 0x εκφράζει το ρυθμό μεταβολής (rate of change) του )(xfy = ως προς
το x, όταν 0xx = .
• Ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης της καμπύλης που είναι η γραφική παράσταση
μιας συνάρτησης f στο σημείο ))(,( 00 xfx θα είναι )( 0xf ′ , δηλαδή ο ρυθμός μεταβολής της )(xf
ως προς x όταν 0xx = .
Ο ρυθμός μεταβολής μπορεί να έχει οποιοδήποτε πρόσημο.
Θετικός ρυθμός μεταβολής φανερώνει αύξηση ενώ αρνητικός ρυθμός μεταβολής φανερώνει
μείωση του αντίστοιχου μεγέθους.
• Ο ρυθμός μεταβολής της πίεσης μέσα στη θάλασσα ως προς το βάθος είναι θετικός. Αυτό
σημαίνει ότι όσο μεγαλώνει το βάθος η πίεση αυξάνεται.
• Ο ρυθμός μεταβολής των αποθεμάτων πετρελαίου της γης ως προς τον χρόνο είναι αρνητικός.
Αυτό σημαίνει ότι όσο περνάει ο χρόνος τα αποθέματα πετρελαίου λιγοστεύουν.
Γενικά σε προβλήματα ρυθμού μεταβολής
1. Διαβάζω προσεκτικά την εκφώνηση.
2. Ξεκαθαρίζω ποιου μεγέθους ζητάω τον ρυθμό μεταβολής.
3. Φτιάχνω σχήμα.
4. Καταγράφω ένα προς ένα τα δεδομένα και τα ζητούμενα. (προσοχή στα πρόσημα)
5. Δημιουργώ παράσταση που εκφράζει το μέγεθος αυτό.
6. Παραγωγίζω την παράσταση αυτή και στη συνέχεια θέτω όπου 0x το x .
7. Κάνω αντικατάσταση τα προηγούμενα δεδομένα και βάζω μονάδες.
Παράδειγμα 1: Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού ενός κύκλου ως προς την ακτίνα όταν
αυτή παίρνει τιμή 2εκατοστά.
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ
73-1 i) Το μήκος L ενός κύκλου ακτίνας r είναι L=2πr . Να βρείτε το ρυθμό
μεταβολής του L ως προς r, όταν r=3 .
ii) Το εμβαδόν Ε ενός κύκλου ακτίνας r είναι 2
E=πr . Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του
Ε ως προς r, όταν 2=r .
73-2. i) Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού Ε ενός τετραγώνου πλευράς x ως προς x
όταν x=5 .
ii) Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του όγκου ενός κύβου πλευράς x ως προς x, όταν x=10 .
73-3. Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του εμβαδού ενός κύκλου ως προς την ακτίνα του όταν η
ακτίνα του είναι ίση με 2. (θεωρήστε
22
π=
7
)
73-4. Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο έχει πλευρές με μήκη x και 2x+1. Να βρείτε το ρυθμό
μεταβολής του εμβαδού του ως προς x όταν x=10. (τα μήκη μετρώνται σε m)
73-5. Να βρεθεί ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού Ε ισοπλεύρου τριγώνου πλευράς x ως προς x
όταν x=1.
73-6. Ένα σημείο Μ κινείται πάνω στη γραφική παράσταση της συνάρτησης ( )f x = 6x . Να βρεθεί:
α. το πεδίο ορισμού της συνάρτησης
β. η απόσταση ( )d x του σημείου Μ από την αρχή των αξόνων ως συνάρτηση του x
γ. ο ρυθμός μεταβολής της απόστασης ( )d x ως προς x όταν x=2.
73-7. Η θερμοκρασία ενός ασθενούς (σε o
C ) δίνεται από τη συνάρτηση ( ) ( )
2
θ t =- t t-10 +37
25
, όπου
[ ]t 0,10∈ είναι ο χρόνος (σε ώρες). Να εξετάσετε αν τη χρονική στιγμή t=7 ο πυρετός του ασθενούς
ανεβαίνει ή πέφτει.

23. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Ι Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Γκούφυ σε αγαστή συνεργασία µε τον Ρανταπλάν……………….22
73-8. Το βάρος Β σε γραμμάρια ενός θηλυκού ποντικιού ύστερα από t εβδομάδες δίνεται
προσεγγιστικά από τη συνάρτηση 21
B(t)=1+ (t+2)
4
, όπου t 8≤ . Να βρείτε το ρυθμό ανάπτυξης του
ποντικιού:
i) Ύστερα από t εβδομάδες και ii) ύστερα από 1, 2 και 8 εβδομάδες.
73-9. Η θερμοκρασία σε μια περιοχή δίνεται κατά τη διάρκεια ενός εικοσιτετραώρου από τη
συνάρτηση ( )Θ t =t-5 t (σε o
C ) όπου [ ]t 0,24∈ είναι ο χρόνος (σε ώρες). Να βρείτε αν τις χρονικές
στιγμές t=4 και t=16 η θερμοκρασία ανεβαίνει ή πέφτει.
73-10. Ο ρυθμός της φωτοσύνθεσης P ενός φυτού δίνεται από τον τύπο
I
P(I)=
α+βI
, I 0≥ , όπου Ι η
ένταση του φωτός και α, β σταθερές.
i) Να βρείτε την P (I)′ ή, όπως λέγεται, τη φωτοχημική ικανότητα του φυτού, καθώς και την P (0)′ .
ii) Να δείξετε ότι
21
P (I)= 1-βP(I)
α
′    .
73-11. Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της απόστασης των σημείων )3,0(A και )0,(xB ως προς x
όταν x=10 .
O
x
y
B(x,0)
A(0,3)
73-12. Έστω ( ) ( )2
g t =400 15-t η ποσότητα (σε λίτρα) του νερού που παρέχεται όταν ανοίξει μια
βρύση σε χρόνο t (σε min).
α. Να βρείτε τη μέση τιμή της ποσότητας που παρέχεται στα 5 πρώτα λεπτά
β. Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της ποσότητας ( )g t , τη χρονική στιγμή t=5 min.
Ο θείος Αλβέρτος συμβουλεύει…
Μην ανησυχείς αν δυσκολεύεσαι
στα μαθηματικά... κι εγώ το ίδιο...

24. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Ι Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Γκούφυ σε αγαστή συνεργασία µε τον Ρανταπλάν………………. 23
74 . ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ
Όπως ξέρουμε, αν η συνάρτηση θέσης ενός σώματος που εκτελεί ευθύγραμμη κίνηση είναι η ( )S t ,
τότε η παράγωγος ( )S t′ είναι η ταχύτητα του σώματος. Η ταχύτητα που ονομάζεται και ρυθμός
μεταβολής της θέσης ως προς τον χρόνο φανερώνει πόσο γρήγορα αλλάζει η θέση του σώματος
ανά μονάδα χρόνου.
Γι’ αυτό η μονάδα μέτρησης της ταχύτητας είναι:
μονάδα μέτρησης της μονάδα μέτρησης της θέσης
ταχύτητας μονάδα μέτρησης του χρόνου
 
= 
 
.
Αν π.χ. η θέση μετριέται σε m και ο χρόνος σε sec, τότε η ταχύτητα μετριέται σε m/sec.
Συνήθως συμβολίζουμε την ταχύτητα με το γράμμα υ. Σύμφωνα με τα παραπάνω έχουμε
επομένως: ( ) ( )υ t S t′= , ή χρησιμοποιώντας τον συμβολισμό Leibniz: ( )
( )dS t
υ t
dt
= .
Για παράδειγμα, η ίδια ταχύτητα είναι ένα φυσικό μέγεθος που μπορεί να μεταβάλλεται με τον
χρόνο. Ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας ως προς τον χρόνο, δηλαδή η παράγωγός της,
ονομάζεται επιτάχυνση, και φανερώνει πόσο γρήγορα μεταβάλλεται η ταχύτητα ως συνάρτηση
του χρόνου. Γι’ αυτό η μονάδα μέτρησης της επιτάχυνσης είναι:
μονάδα μέτρησης της μονάδα μέτρησης της ταχύτητας
επιτάχυνσης μονάδα μέτρησης του χρόνου
 
= 
 
.
Αν π.χ. η ταχύτητα μετριέται σε m/sec (και ο χρόνος προφανώς σε sec) τότε η επιτάχυνση μετριέται
σε
m / sec
sec
, δηλαδή σε 2
m / sec .
Συνήθως συμβολίζουμε την επιτάχυνση με το γράμμα α. Είναι επομένως: ( ) ( )α t υ t′= , ή
χρησιμοποιώντας τον συμβολισμό Leibniz: ( )
( )dυ t
α t
dt
= .
Παρατηρούμε ότι, αφού ( ) ( ) ( ) ( )α t υ t και υ t S t′ ′= = , η επιτάχυνση είναι η δεύτερη παράγωγος της
συνάρτησης θέσης. ( ) ( ) ( )α t υ t S t′ ′′= = .
Από τις συναρτήσεις θέσης, ταχύτητας και επιτάχυνσης μπορούμε να προσδιορίσουμε την τιμή
καθενός από αυτά τα μεγέθη οποιαδήποτε συγκεκριμένη χρονική στιγμή 0t , απλά θέτοντας στον
τύπο της αντίστοιχης συνάρτησης όπου 0t το t .
Η ταχύτητα ή και η επιτάχυνση μπορούν να είναι αρνητικές. Αρνητική ταχύτητα φανερώνει
κίνηση προς τα πίσω. Αν η ταχύτητα και η επιτάχυνση είναι ετερόσημες τότε λέμε ότι έχουν
επιβράδυνση.
• Η ΣΤΙΓΜΙΑΙΑ ταχύτητα ενός κινητού που κινείται ευθύγραμμα και η θέση του στον άξονα
κίνησής του εκφράζεται από τη συνάρτηση )(tfx = θα είναι τη χρονική στιγμή 0t
)()( 00 tftυ ′= ,
δηλαδή ο ρυθμός μεταβολής της )(tf ως προς t όταν 0tt = .
• ΜΕΣΗ ταχύτητα ενός κινητού που κινείται ευθύγραμμα και η θέση του στον άξονα κίνησής
του εκφράζεται από τη συνάρτηση )(tfx = θα είναι το χρονικό διάστημα [ ]1 2t ,t
[ ]
( ) ( )
1 2
2 1
2 1
t ,t
f t f t
υ
t t
−
=
−
,
• Η επιτάχυνση ενός κινητού που κινείται ευθύγραμμα και η θέση του στον άξονα κίνησής του
εκφράζεται από τη συνάρτηση )(tfx = θα είναι
α(t)= (t)′υ , α(t)=x (t)′′

25. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Ι Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Γκούφυ σε αγαστή συνεργασία µε τον Ρανταπλάν……………….24
Έστω ότι η τετμημένη ενός κινητού που κινείται ευθύγραμμα είναι ( )x x t= και η ταχύτητά του
είναι ( )υ t , τη χρονική στιγμή t. Ισχύουν
• Το κινητό είναι ακίνητο 0⇔ υ =(t)
• Το κινητό κινείται στη θετική κατεύθυνση υ(t)>0⇔
• Το κινητό κινείται στην αρνητική κατεύθυνση (t)<0⇔ υ
• Η απόσταση που διανύει το κινητό από τη χρονική στιγμή 1t εως τη χρονική στιγμή 2t με
την προϋπόθεση ότι έχει θετική ή αρνητική κατεύθυνση στο διάστημα χρόνου [ ]1 2t ,t είναι
( ) ( )2 1S x t x t= −
Παράδειγμα1: Ένα κινητό εκτελεί ευθύγραμμη κίνηση. Η θέση του κινητού δίνεται από τη
συνάρτηση ( ) 3 2
x=f t =2t -3t -12t , όπου t 0≥ ο χρόνος σε δευτερόλεπτα.
α. Σε ποια θέση βρίσκεται το κινητό πριν αρχίσει να κινείται;
β. Ποια είναι η ταχύτητα του κινητού τη χρονική στιγμή t=1 s;
γ. Να βρεθεί η στιγμιαία ταχύτητα την κάθε χρονική στιγμή t
δ. Ποιες χρονικές στιγμές η ταχύτητα είναι ίση με μηδέν;
ε. Γνωρίζοντας ότι το σώμα κινείται προς τα δεξιά αν η ταχύτητά του είναι θετική και προς τα
αριστερά αν η ταχύτητά του είναι αρνητική, να βρεθεί σε ποιο χρονικό διάστημα το σώμα κινείται
προς τα αριστερά
στ. Ποια είναι η μεγαλύτερη απομάκρυνση του κινητού προς τα αριστερά; (Στην τάξη)
ΛΥΜΕΝΑ ΠΑΡΑ∆ΕΙΓΜΑΤΑ
74-1. Πεζοπόρος Α βρίσκεται σε απόσταση 4Km ανατολικά από ένα σταυροδρόμι Ο και
βαδίζει προς αυτό με ταχύτητα 8Km / h . Την ίδια στιγμή πεζοπόρος Β βρίσκεται σε
απόσταση 3Km / h νότια από το σταυροδρόμι Ο και απομακρύνεται από αυτό με
ταχύτητα 9Km / h . Να βρεθεί αν στη θέση αυτή η απόστασή των AB s= μεγαλώνει η
μικραίνει και με ποιο ρυθμό.
Λύση
Αν x και yΟΑ = ΟΒ = τότε στο ορθογώνιο τρίγωνο ΟΑΒ ισχύει 2 2 2
s x y= + , οπότε για x 4 και y 3= =
είναι: 2 2 2
s 4 3 25, 5 5= + = = .
Αν τα μεγέθη x, y, s τα εκφράσουμε ως συναρτήσεις του χρόνου η σχέση γίνεται ( ) ( ) ( )2 2 2
s t x t y t= +
και με παραγώγιση ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )s t s t x t x t y t y t′ ′ ′⋅ = ⋅ + ⋅ .
Είναι ( ) ( ) ( ) ( )s t 5, x t 4, y t 3, x t 8′= = = = − γιατί το διάστημα xΟΑ = μικραίνει και ( )y t 9′ = + γιατί το
διάστημα yΟΒ = μεγαλώνει. Έτσι με αντικατάσταση έχουμε:
( ) ( ) ( ) ( )5 s t 4 8 3 9, 5 s t 5, s t 1Km / h′ ′ ′⋅ = − + ⋅ ⋅ = − = − .
Η απόσταση s μειώνεται με ρυθμό 1Km / h .

26. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Ι Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Γκούφυ σε αγαστή συνεργασία µε τον Ρανταπλάν………………. 25
74-2. Ένα σώμα κινείται ευθύγραμμα και διανύει το διάστημα
( ) ( )3 2
s t 2t 27t 108t 5 s σε m και t σε sec= − + − . Να βρεθούν:
(1). Η ταχύτητα τη χρονική στιγμή t 2, t 3, t 4= = = .
(2). Η επιτάχυνση τη χρονική στιγμή t 5, t 4= = .
Λύση
Η ταχύτητα τη χρονική στιγμή t είναι ( ) ( )υ t s t′= , δηλαδή ( ) 2
υ t 6t 54t 108= − + .
Για ( )t 2 : υ 2 24 108 108 24m / sec= = − + = . Το διάστημα s αυξάνει με ρυθμό 24m / sec .
Για ( )t 3 : υ 3 54 162 108 0= = − + = . Το σώμα αλλάζει φορά κίνησης (μηδενίζεται η ταχύτητά του).
Για ( )t 4 : υ 4 96 216 108 12= = − + = − . Το διάστημα s μειώνεται με ρυθμό12m / sec .
Η επιτάχυνση τη χρονική στιγμή t είναι ( ) ( ) ( )γ t υ t s t′ ′′= = , δηλαδή ( )γ t 12t 54= − .
Για ( ) 2
t 5 : γ 5 60 54 6m / sec= = − = . Η ταχύτητα υ αυξάνει με ρυθμό 2
6m / sec .
Για ( ) 2
t 4 : γ 4 48 54 6m / sec= = − = − . Η ταχύτητα υ μειώνεται με ρυθμό 2
6m / sec .
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ
74-3. Στο παρακάτω σχήμα δίνονται οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων θέσεως τριών
κινητών που κινήθηκαν πάνω στον άξονα xx′ στο χρονικό διάστημα από 0sec έως 8sec. Να
βρείτε:
8
765
42
O
t (sec)
x=S(t) κινητό Γ
κινητό Α
κινητό Β
i) Ποιο κινητό ξεκίνησε από την αρχή του άξονα κίνησης;
ii) Ποιο κινητό κινήθηκε μόνο προς τα δεξιά;
iii) Ποιο κινητό άλλαξε φορά κίνησης τη χρονική στιγμή 2=t sec, ποιο τη χρονική στιγμή
4=t sec και ποιο τη χρονική στιγμή 5=t sec;
iv) Ποιο κινητό κινήθηκε προς τα αριστερά σε όλο το χρονικό διάστημα από 0sec έως
4sec;
v) Ποιο κινητό τερμάτισε πιο κοντά στην αρχή του άξονα κίνησης;
vi) Ποιο κινητό διάνυσε το μεγαλύτερο διάστημα;
74-4. Η θέση ενός υλικού σημείου που κινείται πάνω σε έναν άξονα δίνεται από την συνάρτηση
( ) 2
x t =t +2t+3 , όπου t ο χρόνος σε sec.
α. Να βρείτε τη μέση ταχύτητα στο διάστημα [ ]1,3
β. Ποια είναι η θέση του σημείου πριν αρχίσει να κινείται;
γ. Με τι ταχύτητα ξεκινάει το κινητό;
δ. Ποια είναι η ταχύτητα του σημείου μετά από 4 sec;
74-5. Ένα σώμα κινείται σε έναν άξονα έτσι ώστε η θέση του σε χρόνο t να δίνεται από τον τύπο
3 2
x(t)=t -2t +t . Να βρείτε την ταχύτητα του σώματος σε χρόνο t και να προσδιορίσετε πότε το σώμα
είναι ακίνητο. Ποια είναι η επιτάχυνση του σώματος στις χρονικές αυτές στιγμές;

27. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Ι Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Γκούφυ σε αγαστή συνεργασία µε τον Ρανταπλάν……………….26
74-6. Η θέση ενός κινητού ( )x t το οποίο εκτελεί ευθύγραμμη κίνηση δίνεται από τον τύπο
( ) 3
x t =t +1 όπου t ο χρόνος σε sec. Να βρεθεί:
α. η ταχύτητα του κινητού για t=2
β. η επιτάχυνση του κινητού για t=3.
74-7. Ένα σώμα κινείται πάνω στον άξονα x’x ώστε η θέση του κάθε χρονική στιγμή t 0≥ να
δίνεται από τη συνάρτηση ( ) t 2
x t =e t-3t . Να εξετάσετε αν τις χρονικές στιγμές t=1, t=4 το σώμα
κινείται προς τα δεξιά ή προς τα αριστερά. (θεωρήστε 4 273
e =
5
).
74-8. Η θέση ενός υλικού σημείου που κινείται σε έναν κατακόρυφο άξονα δίνεται από τον τύπο
y(t)=Aημωt , όπου t ο χρόνος και τα Α, ω σταθερές.
i)Να βρείτε την ταχύτητα και την επιτάχυνση του σημείου ως συνάρτηση
του t.
ii) Να δείξετε ότι η επιτάχυνση είναι ανάλογη της απομάκρυνσης y.
iii) Να δείξετε ότι, όταν η επιτάχυνση είναι 0, το μέτρο της ταχύτητας είναι
μέγιστο.
74-9. Η συνάρτηση θέσης ενός σωματιδίου που κινείται σε ευθεία γραμμή είναι ( ) 2
S t =t , όπου t 0≥ .
α) Να βρείτε την ταχύτητα του σωματιδίου τη χρονική στιγμή t=7
β) Να προσδιορίσετε τη χρονική στιγμή κατά την οποία η ταχύτητα του σωματιδίου είναι ίση με 7.
(Τα μήκη μετρώνται σε μέτρα ενώ ο χρόνος μετριέται σε δευτερόλεπτα)
74-10.
Αν ( ) 3 2
s t 2t 18t 48t 12= − + − είναι η εξίσωση κίνησης ενός σώματος που κινείται ευθύγραμμα, να
βρεθεί:
(1). Η ταχύτητα του σώματος όταν ο χρόνος είναι t 1, t 2, t 3= = = .
(2). Η επιτάχυνση του σώματος όταν t 3, t 4= = .
(3). Το διάστημα που διανύει στο πρώτο δευτερόλεπτο (το s εκφράζεται σε m και ο χρόνος t σε sec)
74-11. Το διάστημα s (σε m) που διανύει ένα κινούμενο σώμα σε χρόνο t (sec) δίνεται από τη
σχέση ( ) 1
s t t lnt−
= . Να βρεθεί:
(1). Η ταχύτητα του σώματος όταν ο χρόνος είναι 2
t 1, t e, t e= = = .
(2). Η επιτάχυνση του σώματος όταν t 1= .
Ο Ρ. Φάινμαν νομπελίστας φυσικός και απόλυτη math geek περσόνα συμβουλεύει:

28. ΠΑΡΑΓΩΓΟΣ Ι Μαθηµατικά Γ’ Λυκείου mathhmagic.blogspot.gr
ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Γκούφυ σε αγαστή συνεργασία µε τον Ρανταπλάν………………. 27
75 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ
Όσο μεγαλώνει η παραγωγή ενός εργοστασίου μεγαλώνει και το κόστος λειτουργίας του, αφού
αυξημένη παραγωγή σημαίνει περισσότερες πρώτες ύλες, περισσότερες εργατοώρες, κ.λπ.
Επομένως το κόστος παραγωγής ( )C x ενός συγκεκριμένου προϊόντος είναι συνάρτηση της
ποσότητας x που πρόκειται να παραχθεί. Η συνάρτηση ( )C x ονομάζεται συνάρτηση κόστους.
Αν υποθέσουμε ότι το εργοστάσιο πουλάει ολόκληρη την παραγωγή του τότε είναι φανερό ότι τα
έσοδα ( )E x είναι επίσης συνάρτηση του x, η οποία ονομάζεται συνάρτηση εσόδων. Η συνάρτηση
κέρδους ( ) ( ) ( )K x E x C x= − δίνει τα κέρδη που προκύπτουν για το εργοστάσιο από την παραγωγή
ποσότητας x του συγκεκριμένου προϊόντος.
Φυσικά οι συναρτήσεις κόστους και εσόδων παίρνουν μόνο θετικές τιμές.Όμως η συνάρτηση
κέρδους μπορεί να πάρει τιμές με οποιοδήποτε πρόσημο. Αν η τιμή της συνάρτησης κέρδους για
παραγωγή ποσότητας x του προϊόντος είναι αρνητική τότε αυτό σημαίνει ότι το κόστος υπερβαίνει
τα έσοδα και επομένως η παραγωγή είναι ζημιογόνα.
Άρα αρνητικό κέρδος σημαίνει ζημιά.
Συχνά χρησιμοποιούνται και οι συναρτήσεις μέσου κόστους, μέσων εσόδων και μέσου κέρδους.
Που δείχνουν αντίστοιχα το κόστος, τα έσοδα και το κέρδος ανά μονάδα προϊόντος. Αν για την
παραγωγή x προϊόντων το κόστος είναι ( )C x δρχ. τότε προφανώς η παραγωγή καθενός προϊόντος
κοστίζει
( )C x
x
ευρώ .
Άρα η συνάρτηση μέσου κόστους ορίζεται από τον τύπο ( )
( )=
C x
C x
x
.
Ομοίως ορίζονται οι συναρτήσεις μέσων εσόδων και μέσου κέρδους: ( )
( )
( )
( )E x K x
E x , K x
x x
= = .
Παρατηρούμε,ότι αν π.χ. τα παραγόμενα προϊόντα είναι αυτοκίνητα τότε το x μπορεί να πάρει
μόνο θετικές ακέραιες τιμές. Ωστόσο στην πράξη θεωρούμε ότι το x παίρνει σε κάθε περίπτωση
πραγματικές τιμές αφού έτσι διευκολύνεται πολύ η μελέτη των συναρτήσεων κόστους, εσόδων και
κέρδους. Γεγονός που δεν βλάπτει την ακρίβεια των αποτελεσμάτων.
Προφανώς το ενδιαφέρον σημείο στις συναρτήσεις κόστους, εσόδων και κέρδους βρίσκεται στις
μεταβολές που παρουσιάζουν οι συναρτήσεις αυτές όταν μεταβάλλεται η ποσότητα x του
παραγόμενου προϊόντος.
Για παράδειγμα για να εξετάσει ο διευθυντής ενός εργοστασίου κατασκευής αυτοκινήτων αν
πρέπει να αυξήσει την παραγωγή πρέπει να ελέγξει ποιο αντίκτυπο θα έχει αυτή η αύξηση στις
συναρτήσεις κόστους και εσόδων.
Άρα έχει ενδιαφέρον ο ρυθμός μεταβολής των συναρτήσεων αυτών ως προς την ποσότητα του
παραγόμενου προϊόντος.
Ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης κόστους ( )C x ονομάζεται οριακό κόστος: ( )C x′ , και
φανερώνει την τάση μεταβολής του κόστους όταν μεταβάλλεται η παραγωγή. Θετικό οριακό
κόστος σημαίνει αύξηση του κόστους ενώ αρνητικό οριακό κόστος σημαίνει μείωση του κόστους.
Με τον ίδιο τρόπο ορίζονται τα οριακά έσοδα και το οριακό κέρδος.
Παράδειγμα 1: To κόστος παραγωγής, )(xK , και η τιμή πώλησης, )(xΠ , x μονάδων ενός
βιομηχανικού προϊόντος δίνονται από τις συναρτήσεις 100060020
3
1
)( 23
++−= xxxxK και
xxΠ 420)( = αντιστοίχως. Να βρείτε πότε ο ρυθμός μεταβολής του κέρδους, )()()( xKxΠxP −= ,
είναι θετικός. (στην τάξη)
Παράδειγμα 2: Το κόστος παραγωγής ενός αυτοκινήτου και η τιμή πώλησης του, συναρτήσει του
χρόνου t σε ώρες, δίνονται από τις σχέσεις ( ) ( )2 250
K t =30t και E t =30 100-
t
 
 
 
σε χιλιάδες δραχμές.
Να βρεθεί το οριακό κέρδος από την πώληση ενός αυτοκινήτου τη χρονική στιγμή t=5 ώρες που
απαιτείται για την παραγωγή του.